A halmazelmélet elemei

A készlet fogalma

A matematikában nagyon sokféle létezik készletek. Beszélhetünk egy poliéder lapjainak halmazáról, egy egyenes pontjairól, halmazáról természetes számok stb. A halmaz fogalma azon elsődleges fogalmak közé tartozik, amelyeket nem más, egyszerűbb fogalmakon keresztül határoznak meg. A „készlet” szó helyett néha azt mondják, hogy „gyűjtemény”, „tárgyak gyűjtése” stb. Az adott halmazt alkotó objektumokat az adott halmaz elemeinek nevezzük.

A halmazelmélet főként annak tanulmányozására irányul végtelen halmazok. Elmélet véges halmazok néha hívják kombinatorika.

De a halmazok legegyszerűbb tulajdonságai, amelyekről itt csak szó lesz, a legtöbb esetben egyformán érvényesek mind a véges, mind a végtelen halmazokra.

Vegye figyelembe, hogy a matematikában egy olyan halmaz is figyelembe vehető, amely nem tartalmaz elemeket - az üres halmaz. Rekord AÎ X azt jelenti A az X halmaz egyik eleme.

Meghatározás. A B halmazt hívjuk részhalmaz A halmaz, ha a B halmaz minden eleme egyben az A halmaz eleme is.

Az A halmaz minden egyes eleme egy részhalmazt alkot, amely abból az egy elemből áll. Ráadásul az üres halmaz minden halmaz egy részhalmaza.

Az A halmaz egy részhalmazát hívjuk nem a sajátod, ha egybeesik az A halmazzal.

Ha a B halmaz az A halmaz egy részhalmaza, akkor azt mondjuk, hogy B benne van A-ban, és jelöljük B Í A-t. Az A halmaz B részhalmazát ún. saját egy részhalmaz, ha B nem üres és nem esik egybe A-val (vagyis van az A halmaznak olyan eleme, amelyet B nem tartalmaz).

Műveletek beállítása

Legyenek A és B tetszőleges halmazok.

Meghatározás. Két A és B halmaz uniója egy C = AÈB halmaz, amely az A és B halmazok legalább egyikéhez tartozó összes elemből áll (lásd 1. ábra).

Tetszőleges (véges vagy végtelen) számú halmaz unióját hasonlóan definiáljuk: ha A én tetszőleges halmazok, akkor egyesülésük olyan elemek halmaza, amelyek mindegyike az A halmazok legalább egyikéhez tartozik. én.

Fig.1 Fig.2

Meghatározás. Az A és B halmazok metszéspontja a C = AÇB halmaz, amely mind az A-hoz, mind a B-hez tartozó összes elemből áll (lásd 2. ábra). Bármely (véges vagy végtelen) számú A halmaz metszéspontja én az egyes A halmazokhoz tartozó elemek halmaza én.

A halmazok egyesülésének és metszetének műveletei definíció szerint kommutatívak és asszociatívak, azaz.

AÈB = BÈ A, (AÈB)ÈC = AÈ (BÈ C),

A Ç B = B Ç A, (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C).

Ezenkívül kölcsönösen elosztják:

(A Ç B) Ç C = (A Ç C) È (B Ç C), (1)

(A Ç B) È C = (A È C) Ç (B È C). (2)

Meghatározás. Különbség szerint Az A és B halmaz az A-ból származó azon elemek halmaza, amelyek nem szerepelnek B-ben ( rizs. 3).

A funkció fogalma. Készletek megjelenítése

Legyen X és Y két tetszőleges halmaz.

Meghatározás. Azt mondják, hogy egy függvény X-en van definiálva f, vesz egy értéket Y-ból, ha minden elem xÎ X egy és csak egy elemhez van társítva yО Y. Ebben az esetben az X halmazt hívjuk meg definíciós tartomány adott függvény, és az Y halmaz annak értéktartomány.

Tetszőleges természetű halmazoknál a „függvény” kifejezés helyett gyakran a „leképezés” kifejezést használják, egy halmaz egy másik halmazhoz való leképezéséről beszélve.

Ha A elem X-ből, majd a megfelelő elem b = f(A) Y-ból hívjuk módon a amikor megjelenik f. Mindezen elemek összessége A X-ből, amelynek képe az adott elem bО Y, hívták prototípus(vagy pontosabban komplett prototípus) elem bés ki van jelölve f –1 (b).

Legyen A valamilyen halmaz X-ből; beállítva ( f (A): AÎ A) az űrlap összes eleme f (A), Hol AÎ A-t A képének nevezzük, és jelöljük f(A). Viszont minden Y-ból származó B halmazhoz meghatározásra kerül a teljes inverz képe f–1 (V), nevezetesen: f–1 (B) az X azon elemeinek gyűjteménye, amelyek képei B-hez tartoznak.

Meghatározás. Mondjuk úgy f egy leképezés az X halmazból az Y halmazba, ha f(X) = Y; egy ilyen leképezést hívnak szurjektálás. Általános esetben, i.e. Amikor f(X) М Y, ezt mondják f Y-ban van leképezés. Ha bármely két különálló elemre X 1 és X X képeik közül 2 y 1 = f (x 1) és y 2 = f (x 2) akkor is különböznek f hívott injekció. Kijelző f: Az X®Y-t, amely egyben szurjektív és injekció is, ún egy-egy levelezés X és Y között.

Legyen adott két X és Y halmaz 2.1. Egy X halmaz f leképezése egy Y halmazra, vagy egy X halmazon definiált függvény az Y halmazban lévő értékekkel olyan megfelelés, hogy minden x £ X elemhez egy bizonyos egyedi y € Y elem tartozik. Az X halmazt a definiált függvény / tartományának nevezzük, és D(f ) jelöli, az xbX elem a függvény argumentuma, az y £ Y elem pedig a függő. Ebben az esetben a z £ X elemnek megfelelő y £ Y elemet az x elem leképezés alatti képének / vagy az f függvény x pontban lévő értékének nevezzük, és f(x)-szel jelöljük. Egy függvény / (vagy a / leképezés alatti X halmaz képe) értéktartománya egy D(/)-vel jelölt halmaz. Az X = D(f) halmaz az f(X) = R(f) halmaz inverz képe a / térkép alatt. Adott y £ Y elemre az összes x 6 Xy elem halmazát úgy, hogy f(x) = y az y elem inverz képének nevezzük, és /-1(y)-vel jelöljük, azaz. A leképezés (vagy függvény) megadásának ténye megfelel a / : X Y, vagy /: x y, vagy egyszerűen y = /(i) jelölésnek. Így a / függvényt gyakran /(g) jelölik. Egy függvénynek és értékének x € X pontban ugyanazzal az f(x) szimbólummal való megjelölése általában nem okoz félreértéseket, mivel általában minden konkrét esetben világos, hogy mire gondolunk. Az f(x) jelölés gyakran kényelmesebb, mint az f:x-+y. Például az analitikus transzformációknál az f(x) = x2 jelölés kényelmesebb a /: x -> x2-hez képest. Hogy megkülönböztessük egy függvény adott értékének f(x) kijelölését az x argumentum egy meghatározott értékéhez magának a függvénynek a megjelölésétől, az utóbbi esetben néha f(x), x eX-et írunk. Tehát a függvény fogalma három szerves részből áll: 1) X definíciós tartomány 2) Y halmaz, amely a függvény értékeit tartalmazza; 3) / szabály, amely minden x £ X elemhez egyetlen elemet ad meg y = f(x) £ Y. A 2.1 definíció nem ír elő semmilyen korlátozást az X és Y halmazokra. Attól függően, hogy melyek ezek a halmazok, megkapjuk a függvények egyik vagy másik osztályát. Tehát, ha Y C R, akkor f(x) valós (vagy skalár) függvénynek, ha Y C Rn, akkor f(x) vektorfüggvénynek nevezzük. Ha egy f(x) függvény X tartománya egy R halmaz vagy annak valamely részhalmaza, akkor f(x)-et egy valós (vagy valós) változó függvényének nevezzük. Amikor és XCR.h Y CR, f(x) egy valós változó valós függvényének nevezzük. Ha egy függvény definíciós tartománya az N = (1, 2, ...) természetes számok halmaza, akkor azt az Y halmaz elemeinek sorozatának nevezzük, és Vn]-nek vagy (yn-nek) jelöljük, ami azt jelenti, hogy vn = /n = /(n) €U n € N esetén, és Y C R esetén numerikus sorozat(vagy csak egy sorozat). Egy részhalmaz az A C X részhalmaz képe a / : X Y leképezés alatt. Az A C X és B C X részhalmazok képeire a következő összefüggések érvényesek: és L C B esetén A részhalmaz az S C Y részhalmaz inverz képe lesz. az f leképezés alatt: X->Y. Tehát az 5 halmaz inverz képe mindazon x € Xy elemekből áll, amelyeket a függvény / leképez S-ből elemekre, vagy ami ugyanaz, az 5 halmaz inverz képe az elemek összes inverz képéből áll. y G 5, azaz Az 5 С У és Г С У halmazok inverz képeire az összefüggések érvényesek, és az S ST /-1(S) С /-1(Г) feltétel mellett. A C X esetén a /: X leképezés generálja az /a(α) = f(x) képlettel definiált /q: A Y) leképezést x € A esetén. Ezt a leképezést az f leképezés (függvény) korlátozásának nevezzük. Azt is mondják, hogy f az A halmaz fA leképezésének (függvényének) folytatása, hogy Y-t X halmazra állítsa, de általában továbbra is a /-et írják helyette

Kijelzők (funkciók)

A függvények központi szerepet játszanak a matematikában, ahol minden olyan folyamat leírására szolgálnak, amelyben az egyik halmaz elemei valamilyen módon átalakulnak egy másik halmaz elemeivé. Az elemek ilyen átalakítása olyan alapvető gondolat, amely minden számítási folyamat számára kiemelkedő jelentőségű.

Meghatározás. Az AB-n lévő f relációt nevezzük kijelző (funkció) A-ból B-be, ha minden xA-hoz csak egy yB tartozik. bináris reláció ekvivalencia beállítása

f: AB vagy y=f(x)

Az A halmazt nevezzük definíciós tartomány. B készlet - értéktartomány.

Ha y=f(x), akkor x-et hívjuk érv, és y - függvény értéke.

Legyen f: AB, akkor

definíciókészlet Jellemzők:

többféle jelentése Jellemzők:

Egy függvény definíciós halmaza a definíciós tartomány egy részhalmaza, azaz. Dom f A, és a függvényértékek halmaza a függvénytartomány egy részhalmaza, azaz. Im f B. Ha, akkor a függvényt összfüggvénynek, ha pedig parciális függvénynek nevezzük. Így egy Venn-diagram kényelmesen illusztrálja az A halmazban meghatározott függvényt a B halmazban lévő értékekkel.

A függvény megadásának módjai:

• 1) Szóbeli.
• 2) Analitikai.
• 3) Grafikon vagy rajz használata.
• 4) Táblázatok használata.

Meghatározás. Ha MA, akkor az f(M)=y f(x)=y halmazt M-ből valamilyen x-re hívjuk útállítja be M.

Ha KB, akkor az f -1 (K)=x f(x)K halmazt hívjuk meg prototípusállítja be K.

Meghatározás A függvényt n-argumentumúnak vagy n-áris függvénynek nevezzük. Ez a függvény leképez egy sort a bB, elemre.

A leképezések (függvények) tulajdonságai.

1) Meghívjuk az f: AB leképezést injektív, ha az különféle elemek A-ból leképez B-ből különböző elemekre: .

Ezt a tulajdonságot Venn-diagramok segítségével lehet megjeleníteni.

2) Meghívjuk az f: AB leképezést szürjektív vagy egy leképezés a teljes B halmazra, ha legalább egy elem A-ból van leképezve a B halmaz minden elemére: .

Ez a tulajdonság Venn-diagramok segítségével is megjeleníthető.

3) Az f: AB leképezést, amely injektív és szürjektív is, nevezzük bijektív vagy egy-egy leképezést A halmazból B halmazba.

Példa. Adjunk egy f: RR leképezést, amely úgy van definiálva, hogy. Nézze meg, milyen tulajdonságai vannak ennek a leképezésnek.

Megoldás. Az f függvény nem injektív, mert f (2) = f (2), de 2 2.

Az f függvény szintén nem szürjektív, mivel nincs olyan x valós szám, amelyre f (x) = 1.

Meghatározás. Legyen f egy A halmaz bijektív leképezése egy B halmazba. Ha minden B elemet társítunk egy A halmaz társított elemével, akkor ez a megfeleltetés B leképezése A halmazra. Ezt a leképezést jelöljük és ún. az inverz leképezés f-re.

Az inverz leképezésnek van néhány tulajdonsága, amelyeket a következő tételben fogunk megfogalmazni.

3. tétel. Ha f: AB bijekció, akkor

1) bármely y-ra B-ből;

2) bármely x-re A-ból.

Bizonyíték. 1) Legyen yB és. Ekkor f(x)=y. De mióta

2) Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy A-ból bármely x-re.

Meghatározás. Kompozíció (szuperpozíció, munka) Az f: AB és g: BC leképezéseket h: leképezésnek nevezzük, amelyet h=g f-nek írunk.

A függvények szuperpozíciójának ezt a módját az magyarázza, hogy a függvényjelölést általában az argumentumlistától balra írják:

A matematikában fontos szerepet játszik a két halmaz közötti kapcsolatok létrehozása, és az első halmaz elemeiből és a második halmaz megfelelő elemeiből képzett objektumpárok figyelembevételével jár. A halmazok feltérképezése különösen fontos.

Legyenek tetszőleges halmazok. Kijelző készletek X beállításához Y minden szabályt hívnak f, amely szerint a halmaz minden eleme a halmaz egy teljesen meghatározott (egyetlen) eleméhez kapcsolódik.

Az a tény, hogy f van egy leképezés, röviden a következő formában írva: .

A megnevezést is használják. Leggyakrabban a kijelzőket betűk jelölik f, q, F.

Tehát a készlet megjelenítésének beállításához X egy halmazban minden elemhez egy és csak egy elemhez kell rendelni.

Ha az elem X-tól X illesztett elem Y, akkor hívnak útelemek , A X – az elem prototípusa amikor megjelenik, ami .

A leképezés definíciójából az következik, hogy minden elem a X a kép egyedi, de lehet, hogy egy elemhez sok prototípus létezik, vagy egyáltalán nem. Egy elem összes előképének halmazát annak nevezzük komplett prototípus és jelölése. Így, .

Természetesen részhalmazának képe Aés egy részhalmazának inverz képe IN amikor megjelenik:

Például, legyen és legyen leképezés A V A, minden elemhez illeszkedve A-tól A osztás maradéka A a 4-es számmal. Akkor van:

A tulajdonságoktól, képektől és prototípusoktól függően a leképezéseket megkülönböztetik: szürjektív, injektív és bijektív.

A leképezést ún szürjektív , ha , azaz minden eleme legalább egy elemet jelenít meg X, vagy bármely .

A leképezést ún injektív , ha a halmaz különböző elemei X a halmaz különböző elemeire vannak leképezve, azaz. , vagy üres vagy szingli beállítva bármely . Injektív leképezéseket is neveznek beruházások .

A leképezést ún bijektív , vagy egy az egyben egy leképezés, ha szürjektív és injektív, azaz. ha van szingli készlet bármely . Ebben az esetben a leképezéseket úgy határozhatjuk meg, hogy bármely: . Úgy hívják fordított k és jelölése .

Az érthetőség kedvéért mutassuk be a leképezések típusait.

Szurjektív Injektív Bijektív

12. ábra

Kijelző beállítása A magába hívta a halmaz átalakítása A. Bijektív halmaztranszformáció A hívott beállított helyettesítés A.

Egész számok halmazának helyettesítésére példa az egyenlőség által meghatározott leképezés.

Vegye figyelembe azt is, hogy a halmaz leképezése A V IN is hívják funkció , a készleten meghatározott A a készletben lévő értékekkel IN. Ebben az esetben az elemet hívják jelentése funkciókat pont A. Maga a sokaság A hívott régióban meghatározások függvények, a halmaz pedig a függvény értéktartománya.

Egy függvényt gyakran olyan változóként kezelnek, amelyből értékeket vesz fel INés így a változótól függően X, az értékeket innen véve A, hogy az egyes értékekhez A változó méretű X nagyon konkrét értéknek felel meg. Ugyanakkor írnak, és a „funkció” helyett azt mondják, hogy „funkció”.

Nézzünk meg különféle leképezéseket, és határozzuk meg azok típusait.

1) Hagyjuk X– körök halmaza egy síkon. Ha minden kört a középpontjához rendelünk, megkapjuk a leképezést X on . Ez a leképezés nem injektív, mivel ugyanaz a pont lehet a középpont végtelen szám körökben. De szürjektív, mivel bármely pont egy kör középpontja. Ezért az inverz megfelelés mindenhol meghatározott, szürjektív, de nem funkcionális.

2) A megfeleltetés a teljes halmazon definiált numerikus függvény valós számok. Ennek a függvénynek az értékkészlete nem negatív számok halmaza. Mivel a függvény nem szürjektív. Nem injektív, mivel . Ezért nincs inverz függvénye.

3) A leképezés szürjektív és injektív: bármelyikhez csak egy olyan szám van, hogy . Ez a szám .

4) Egy halmaz önmagába való leképezése ( - a nem negatív számok halmaza) mindenhol definiálva van, injektív, de nem szürjektív. Valójában a töredék esetében teljesül.

Ezért ennek a függvénynek az értékkészlete az intervallum. Inverz függvény ezen az intervallumon van definiálva, és nem negatív értékeket vesz fel.

5) A szabály által meghatározott leképezés injektív leképezés. Nem bijektív, mert . Ha azonban a leképezést ugyanúgy definiáljuk, akkor bijektív leképezést kapunk. . ; a szürjektivitásból csak a szürjektivitás következik, az injektivitásból pedig csak az injektivitás.

3. Ha és vannak beállított transzformációk A, akkor összetételük is a halmaz átalakítása A.

Levelezés Az A és B halmazok között a derékszögű szorzatuk részhalmaza

Más szóval, a párok megfeleltetést határoznak meg az A=( ​​) és B=( ) halmazok között, ha meg van adva R szabály, amely szerint a B halmaz egy eleme kiválasztásra kerül az A halmaz eleméhez.

Ha egy elemet valamilyen elemhez társítunk, akkor b-t hívunk út a elemet és a következőképpen írjuk: b = R (a). Aztán - prototípus elem, amely az egyediség és a teljesség tulajdonságaival rendelkezik:

1. Minden prototípus egyetlen képnek felel meg;

2. A képnek teljesnek kell lennie, ahogy a prototípusnak is.

Példa. Ha A parabolák halmaza, B pontok halmaza egy síkon, és R a megfelelési „a parabola csúcsa”, akkor R (a) egy pont, amely az a parabola csúcsa, és mindenből áll parabolák, amelyek csúcsa a b pontban van (6. ábra)

Az R megfeleltetésű A halmaz képét nevezzük jelentéskészlet Ezt a megfelelést R (A) jelöljük, ha R (A) az A halmaz összes elemének képeiből áll.

A B halmaz inverz képét valamilyen R megfeleléssel nevezzük definíciós tartomány ezt a megfelelést jelöli. Viszont az fordított illik R-hez.

Tehát, hogy megfeleljen R-nek, pontokkal adott koordinátasík, a definíciós tartomány az abszcissza tengelyen lévő pontok halmaza, az értékkészlet pedig a pontoknak az ordináta tengelyre való vetülete (7. ábra). Ezért egy bizonyos ideig

M (x, y) y egy kép, és x egy inverz képe valamilyen R megfeleltetéshez: Y = R (x), Az X halmazok közötti megfelelést célszerűen egy síkon lévő pont formájában lehet megadni a derékszögű koordináta módszerrel.

Legyen adott az R és Y=R (X) közötti megfelelés. Az (x; y) koordinátákkal rendelkező M pontoknak felel meg (7. ábra). Ekkor a sík R leképezés által megkülönböztetett pontjainak halmaza lesz menetrend.

A halmazok közötti megfelelések leírására az egyik halmaz másik halmazhoz való leképezése (függvénye) fogalmát használjuk.

A kijelző beállításához meg kell adnia:

1. A leképezett halmaz (egy adott térkép definíciós tartománya, gyakran jelöli);

2. Az a halmaz, amelyben (on) egy adott definíciós tartomány le van képezve (ennek a leképezésnek az értékkészletét gyakran jelöli);

3. E halmazok közötti törvény vagy megfelelés, amely szerint a második halmaz elemei (képei) kerülnek kiválasztásra az első halmaz elemeihez (prototípusok, argumentumok).

Megnevezések: .

A kijelzők megadásának módjai: elemző(képletek formájában), táblázatos, grafikus(diagramok vagy grafikonok).

Az egyértékű leképezéseknek (függvényeknek) két fő típusa van. Hatalom szerint osztják őket szürjektívÉs injektív.

1. Azt a megfelelést, amelyben az A halmaz minden elemét a B halmaz egyetlen eleme jelöli, és a B halmaz minden eleme az A halmaz legalább egy elemét jelzi, az A halmaz leképezésének nevezzük. beállítani B(felvetés).

2. Azt a megfelelést, amelyben az A halmaz minden eleme a B halmaz egyetlen elemének felel meg, és B minden eleme legfeljebb egy előképnek felel meg A halmazból, az A halmaz leképezésének nevezzük. sokban B (injekció).

Az A halmazból a B halmazba való leképezést, amelyben a B halmaz minden eleme az A halmaz egyetlen elemének felel meg, az ún. egy az egyben két halmaz közötti levelezés, ill bijekció.injekció és szurjektálás.