Sok számot nem lehet teljesen felosztani, gyakran van egy nullától eltérő maradék is. Ebben a cikkben megvizsgáljuk az osztási módszereket természetes számok a fennmaradó részekkel, és példák segítségével részletesen fontolja meg alkalmazásukat.
Kezdjük a természetes számok maradékkal való osztásával, majd fontolja meg az osztást szekvenciális kivonással. Végül fejezzük be a hiányos hányados kiválasztásának módszerének elemzését. Bemutatunk egy algoritmust a maradékkal való osztásra a legáltalánosabb esetre, és megmutatjuk, hogyan ellenőrizhető a természetes számok maradékkal való osztásának eredménye.
Ez az egyik legkényelmesebb felosztási mód. Ezt egy külön cikkben ismertetjük részletesen, amely a természetes számok oszloppal való osztásával foglalkozik. Itt nem a teljes elméletet mutatjuk be újra, hanem konkrétan a maradékokkal való felosztás esetére koncentrálunk.
Példamegoldásra adunk, hiszen a gyakorlatban a legkönnyebb megérteni a módszer lényegét.
Példa 1. Hogyan oszthatunk természetes számokat maradékkal?
Osszuk el a 273844 természetes számot a 97 természetes számmal.
Osztjuk egy oszloppal, és írjuk:
Eredmény: az osztás parciális hányadosa 2823, a maradék pedig 13.
Számok osztása maradékkal szekvenciális kivonással
A parciális hányados és a maradék megtalálásához használhatja az osztó szekvenciális kivonását az osztalékból. Ez a módszer nem mindig tanácsos, de bizonyos esetekben nagyon kényelmes a használata. Nézzük újra a példát.
2. példa Osztás maradékkal szekvenciális kivonással.
Legyen 7 almánk. Ezt a 7 almát 3 almás zacskóba kell helyeznünk. Más szóval, 7 osztva 3-mal.
Vegyünk 3 almát a kezdeti mennyiségből, és tegyük egy zacskóba. 7-3 = 4 almánk marad. Most a maradék almából ismét veszünk 3 darabot, és egy másik zacskóba tesszük. 4 - 3 = 1 alma maradt.
1 alma a felosztás maradéka, mivel ebben a szakaszban már nem tudunk három almából újabb csomagot alkotni és a felosztás lényegében kész. Osztály eredménye:
7 ÷ 3 = 2 (a maradék 1)
Ez azt jelenti, hogy a 3-as szám kétszeresen belefér a 7-be, az egyik pedig a maradék, kevesebb, mint 3.
Nézzünk egy másik példát. Ezúttal csak matematikai számításokat mutatunk be, analógiák nélkül.
3. példa Osztás maradékkal szekvenciális kivonással.
Számítsuk ki: 145 ÷ 46.
A 99-es szám nagyobb, mint 46, ezért folytatjuk az osztó szekvenciális kivonását:
Ismételjük meg ezt a műveletet:
Ennek eredményeként háromszor kellett kivonnunk az osztót az osztóból, mielőtt megkaptuk a maradékot - a kivonás eredményét, amely kisebb, mint az osztó. Esetünkben a maradék a 7-es szám.
145 ÷ 46 = 3 (a maradék 7).
A szekvenciális kivonás módszere nem megfelelő, ha az osztó kisebb, mint az osztó. Ebben az esetben azonnal felírhatja a választ: a hiányos hányados egyenlő nullával, a maradék pedig magával az osztalékkal.
Ha a< b , то a ÷ b = 0 (остаток a) .
Például:
12 ÷ 36 = 0 (a maradék 12) 47 ÷ 88 = 0 (a maradék 47)
A szekvenciális kivonás módszerével kapcsolatban is meg kell jegyezni, hogy ez csak olyan esetekben kényelmes, amikor a teljes osztási műveletet kis számú kivonásra csökkentik. Ha az osztalék sokszorosa az osztóénak, akkor ennek a módszernek a használata nem praktikus, és sok körülményes számítással jár.
A hiányos hányados kiválasztásának módszere
A természetes számok maradékkal való osztásakor az eredményt egy hiányos hányados kiválasztásával számíthatja ki. Megmutatjuk, hogyan kell lefolytatni a kiválasztási folyamatot, és mi alapján történik.
Először is meghatározzuk, hogy mely számok között kell keresnünk a hiányos hányadost. Már az osztási folyamat definíciójából is kitűnik, hogy a hiányos hányados egyenlő nullával, vagy az 1, 2, 3 stb. természetes számok egyike.
Másodszor, létrehozzuk az osztó, az osztalék, a hiányos hányados és a maradék közötti kapcsolatot. Tekintsük a d = a - b · c egyenletet. Itt d az osztás maradéka, a az osztó, b az osztó, c a hiányos hányados.
Harmadszor, ne felejtsük el, hogy a maradék mindig kisebb, mint az osztó.
Most pedig nézzük magát a kiválasztási folyamatot. Az a osztó és a b osztó a kezdetektől fogva ismert. A c hiányos hányadosként sorra veszünk számokat a 0, 1, 2, 3 stb. sorozatból. A d = a - b · c képletet alkalmazva és a kapott értéket osztóval számítva akkor fejezzük be a folyamatot, amikor a d maradék kisebb, mint a b osztó. Az ebben a lépésben c-nek felvett szám hiányos hányados lesz.
Nézzük meg ennek a módszernek az alkalmazását egy példa segítségével.
4. példa Osztás maradékkal kiválasztási módszerrel
Ossza el a 267-et 21-gyel.
a = 267; b = 21. Válasszunk ki egy hiányos hányadost.
A d = a - b · c képletet használjuk, és szekvenciálisan iteráljuk c felett, megadva a 0, 1, 2, 3 stb. értékeket.
Ha c = 0, akkor a következőt kapjuk: d = a - b · c = 267 - 21 · 0 = 267. A 267-es szám nagyobb, mint 21, így folytatjuk a helyettesítést.
Ha c = 1, akkor a következőt kapjuk: d = a - b · c = 267 - 21 · 1 = 246. Mert 246 > 21, ismételje meg a folyamatot.
c = 2 esetén a következőket kapjuk: d = a - b · c = 267 - 21 · 2 = 267 - 42 = 225; 225 > 21.
c = 3 esetén a következőt kapjuk: d = a - b · c = 267 - 21 · 3 = 267 - 63 = 204 ; 204 > 21.
Ha c = 12, akkor a következőt kapjuk: d = a - b c = 267 - 21 12 = 267 - 252 = 15; 15< 21 .
A természetes számok maradékkal való osztásának algoritmusa
Ha a fenti módszerek a hiányos hányados kiválasztására és a szekvenciális kivonásra túlságosan körülményes számításokat igényelnek, a maradékkal való osztáshoz a következő módszert alkalmazzuk. Tekintsünk egy algoritmust egy a természetes szám egy b számmal való elosztására maradékkal.
Emlékezzünk arra, hogy abban az esetben, amikor a< b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a >b.
Fogalmazzunk meg három kérdést, és válaszoljunk rájuk:
- Mit ismernek ott?
- Mit kell találnunk?
- Hogyan fogjuk ezt megtenni?
Kezdetben az osztalék és az osztó ismert: a és b.
Meg kell találni a c parciális hányadost és a d maradékot.
Mutassunk be egy képletet, amely meghatározza az osztó, az osztó, a parciális hányados és a maradék közötti kapcsolatot. a = b c + d. Ezt az összefüggést vesszük alapul a természetes számok maradékkal való osztására szolgáló algoritmushoz. Az a osztalékot a = b · c + d összeggel kell ábrázolni, ekkor megkeressük a szükséges mennyiségeket.
Az osztási algoritmus, amelynek köszönhetően a-t a = b · c + d összegként ábrázoljuk, nagyon hasonlít a természetes számok maradék nélküli osztására szolgáló algoritmushoz. Az alábbiakban az algoritmus lépéseit mutatjuk be a 899-es szám 47-tel való osztásának példájával.
1. Először is nézzük az osztalékot és az osztót. Megtudjuk, és megjegyezzük, hogy az osztalékban lévő szám hány számjegyű nagyobb, mint az osztó szám. Konkrét példánkban az osztaléknak három előjele van, az osztónak pedig kettő.
Emlékezzünk erre a számra.
2. Az osztó jelölésétől jobbra adja hozzá az osztó és az osztó számjegyeinek különbsége által meghatározott nullák számát. Esetünkben egy nullát kell hozzáadnunk. Ha az írott szám nagyobb, mint az osztalék, akkor az első bekezdésben megjegyzett számból le kell vonni egyet.
Példánkban a 47-től jobbra nullát adunk. 470 óta< 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.
3. Az 1-es számtól jobbra hozzárendeljük a nullák számát, számával egyenlő az előző bekezdésben meghatározott. Példánkban, ha egy nullát adunk egyhez, a 10-es számot kapjuk. Az akció eredményeként kaptunk egy mentesítő munkaegységet, amellyel tovább dolgozunk.
4. Sorrendben megszorozzuk az osztót 1-gyel, 2-vel, 3-mal. . stb. egységnyi munkajegyet, amíg nem kapunk egy számot, amely nagyobb vagy egyenlő, mint az osztalék.
Példánkban a munkakategória tízes. Miután megszoroztuk az osztót a munkajegy egy egységével, 470-et kapunk.
470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 .
Az utolsó előtti lépésben kapott szám (470 = 47 10) az első a keresett kifejezések közül.
5. Határozza meg a különbséget az osztalék és az első talált tag között! Ha a kapott szám nagyobb, mint az osztó, akkor keressük a második tagot.
Megismételjük az 1-5 lépéseket, de az itt kapott számot vegyük osztaléknak. Ha ismét az osztónál nagyobb számot kapunk, ismételjük meg ismét az 1-5 lépéseket körben, de az új számmal osztalékként. Addig folytatjuk, amíg az itt kapott szám kisebb lesz, mint az osztó. Térjünk át a végső szakaszra. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy az utoljára kapott szám egyenlő lesz a maradékkal.
Nézzünk egy példát. 899 - 470 = 429, 429 > 47. Megismételjük az algoritmus 1-5 lépéseit a 429-es számmal osztalékként.
1. A 429-es szám eggyel több számjegyből áll, mint a 47-es. Emlékezzünk a különbségre - az 1-es számra.
2. Adjon hozzá egy nullát az osztalék jobb oldalán. A 470-es számot kapjuk. Mivel 470 > 429, vonjon ki 1-et az előző bekezdésben megjegyzett 1-es számból, és kapja meg, hogy 1 - 1 = 0. 0-ra emlékszünk.
3. Mivel az előző bekezdésben megkaptuk a 0-t és emlékeztünk rá, nem kell egyetlen nullát sem a jobb oldalihoz hozzáadnunk. Így a munkaszám egységek
4. Következetesen megszorozzuk a 47 osztóját 1-gyel, 2-vel, 3-mal. . stb. Részletes számításokat nem adunk, de figyeljünk a végeredményre: 47 9 = 423< 429 , 47 · 10 = 470 >429. Így a második keresett tag a 47 · 9 = 423.
5. A 429 és 423 közötti különbség egyenlő a 6-os számmal. 6 óta< 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.
6. Az előző lépések célja az volt, hogy az osztalékot több tag összegeként ábrázoljuk. Példánkban a következőt kaptuk: 899 = 470 + 423 + 6. Ne feledje, hogy 470 = 47 10, 423 = 47 9. Írjuk át az egyenlőséget:
899 = 47 10 + 47 9 + 6
Alkalmazzuk a szorzás eloszlási tulajdonságát.
899 = 47 10 + 47 9 + 6 = 47 (10 + 9) + 6
899 = 47 19 + 6.
Így az osztalékot a korábban megadott a = b · c + d képlet formájában mutattuk be.
A szükséges ismeretlenek: hiányos hányados c = 19, maradék d = 6.
Természetesen a gyakorlati példák megoldása során nem kell ilyen részletesen ismertetni az összes műveletet. Mutassuk meg ezt:
5. példa Természetes számok osztása maradékkal
Osszuk el a 42252-t és a 68-at.
Algoritmust használunk. Az első öt lépés adja az első tagot - a 40800 = 68 600 számot.
Ismételjük meg az algoritmus első öt lépését az 1452 = 42252 - 40800 számmal, és megkapjuk a második tagot 1360 = 68 20
Harmadik alkalommal megyünk végig az aglorritmus lépésein, de új számmal 92 = 1452 - 1360. A harmadik tag 68 = 68 1. A maradék 24 = 92-68.
Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 600 + 68 20 + 68 1 + 24 = 68 (600 + 20 + 1) + 24 = 68 621 + 24
A parciális hányados 621, a maradék 24.
Természetes számok osztása maradékkal. Az eredmény ellenőrzése
A természetes számok maradékkal való osztása, különösen nagy számok esetén, meglehetősen munkaigényes és körülményes folyamat. Bárki hibázhat a számításokban. Éppen ezért az osztás eredményének ellenőrzése segít megérteni, hogy mindent helyesen tett-e. A természetes számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése két lépésben történik.
Az első lépésben ellenőrizzük, hogy a maradék nagyobb-e, mint az osztó. Ha nem, akkor minden rendben van. Ellenkező esetben azt a következtetést vonhatjuk le, hogy valami elromlott.
Fontos!
A maradék mindig kisebb, mint az osztó!
A második lépésben az a = b · c + d egyenlőség érvényességét ellenőrizzük. Ha az egyenlőség az értékek behelyettesítése után igaznak bizonyul, akkor az osztás hiba nélkül történt.
6. példa Természetes számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése.
Ellenőrizzük, hogy igaz-e, hogy 506 ÷ 28 = 17 (a maradék 30).
Hasonlítsd össze a maradékot és az osztót: 30 > 28.
Ez azt jelenti, hogy a felosztást hibásan hajtották végre.
7. példa Természetes számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése.
A tanuló 121-et osztott 13-mal, és ennek eredményeként 9-et kapott, a maradék 5-tel. Helyesen cselekedett?
Ennek megállapításához először hasonlítsa össze a maradékot és az osztót: 5< 13 .
Az első ellenőrző ponton túljutottunk, térjünk át a másodikra.
Írjuk fel az a = b · c + d képletet. a = 121; b = 13; c = 9; d = 5.
Cserélje be az értékeket, és hasonlítsa össze az eredményeket
13 · 9 + 5 = 117 + 5 = 122 ; 121 ≠ 122
Ez azt jelenti, hogy valahol hiba csúszott a tanuló számításaiba.
8. példa Természetes számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése.
A diák fellépett laboratóriumi munka a fizikában. A kivégzés során 5998-at el kellett osztania 111-gyel. Ennek eredményeként az 54-es számot kapta a maradék 4-gyel. Mindent jól számoltak?
Ellenőrizzük! A maradék 4 kisebb, mint a 111 osztó, így továbblépünk az ellenőrzés második szakaszába.
Az a = b · c + d képletet használjuk, ahol a = 5998; b = 111; c=54; d = 4.
Csere után a következőkkel rendelkezünk:
5998 = 111 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998.
Az egyenlőség helyes, ami azt jelenti, hogy az osztás helyes.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Olvassa el a lecke témáját: „Osztás a maradékkal”. Mit tudsz már erről a témáról?
El lehet osztani 8 szilvát egyenlően két tányéron (1. ábra)?
Rizs. 1. Illusztráció például
Mindegyik tányérba 4 szilvát tehet (2. ábra).
Rizs. 2. Illusztráció például
Az általunk végrehajtott művelet így írható fel.
8: 2 = 4
Szerintetek lehet 8 szilvát egyenlően osztani 3 tányérra (3. ábra)?
Rizs. 3. Illusztráció például
Csináljunk így. Először minden tányérba tegyen egy szilvát, majd egy második szilvát. 2 szilvánk marad, de 3 tányér. Ez azt jelenti, hogy nem tudjuk egyenletesen elosztani őket. Minden tányérba 2 szilvát tettünk, és maradt 2 szilva (4. kép).
Rizs. 4. Illusztráció például
Folytassuk a megfigyelést.
Olvasd el a számokat. Keresse meg a megadott számok közül azokat, amelyek oszthatók 3-mal!
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Teszteld magad.
A fennmaradó számok (11, 13, 14, 16, 17, 19) nem oszthatók 3-mal, vagy azt mondják "megosztva a maradékkal."
Keressük meg a hányados értékét.
Nézzük meg, hogy a 3-at hányszor tartalmazza a 17-es szám (5. ábra).
Rizs. 5. Illusztráció például
Azt látjuk, hogy 3 ovális 5-ször belefér és 2 ovális marad.
A befejezett művelet így írható fel.
17: 3 = 5 (maradék 2)
Beírhatod oszlopba is (6. ábra)
Rizs. 6. Illusztráció például
Nézd meg a képeket. Magyarázza el ezeknek az ábráknak a feliratait (7. ábra).
Rizs. 7. Illusztráció például
Nézzük az első képet (8. ábra).
Rizs. 8. Illusztráció például
Látjuk, hogy 15 ovális 2-re volt osztva. 2-t 7-szer ismételtünk meg, a maradék 1 ovális.
Nézzük a második képet (9. ábra).
Rizs. 9. Illusztráció például
Ezen az ábrán 15 négyzetet 4-re osztunk. 4-et háromszor ismételtünk meg, a maradék 3 négyzetet.
Nézzük a harmadik képet (10. ábra).
Rizs. 10. Illusztráció például
Elmondhatjuk, hogy 15 oválist 3-ra osztottak. 3-at 5-ször egyformán ismételtünk. Ilyen esetekben a maradékot 0-nak mondjuk.
Végezzük el a felosztást.
Hét négyzetet három részre osztunk. Két csoportot kapunk, és egy négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (11. ábra).
Rizs. 11. Illusztráció például
Végezzük el a felosztást.
Nézzük meg, hogy a 10-es szám hányszor tartalmaz négyet. Látjuk, hogy a 10-es szám négyszer 2-szert tartalmaz, és 2 négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (12. ábra).
Rizs. 12. Illusztráció például
Végezzük el a felosztást.
Nézzük meg, hogy a 11-es szám hányszor tartalmaz kettőt. Látjuk, hogy a 11-es számban kettő ötször szerepel, és 1 négyzet marad. Írjuk fel a megoldást (13. ábra).
Rizs. 13. Illusztráció például
Vonjuk le a következtetést. A maradékkal való osztás azt jelenti, hogy megtudjuk, hányszor szerepel az osztó az osztalékban, és hány egység maradt.
A maradékkal való osztás a számegyenesen is végrehajtható.
A számegyenesen 3 osztásból álló szakaszokat jelölünk, és azt látjuk, hogy háromszor van három osztás és egy osztás marad (14. ábra).
Rizs. 14. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
10:3 = 3 (a maradék 1)
Végezzük el a felosztást.
A számegyenesen 3 osztású szakaszokat jelölünk, és azt látjuk, hogy háromszor van három osztás, és két osztás marad (15. ábra).
Rizs. 15. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
11:3 = 3 (a maradék 2)
Végezzük el a felosztást.
A számegyenesen 3 osztású szakaszokat jelölünk, és azt látjuk, hogy pontosan 4-szer kaptunk, maradék nincs (16. ábra).
Rizs. 16. Illusztráció például
Írjuk le a megoldást.
12: 3 = 4
A mai órán megismerkedtünk a maradékkal való osztással, megtanultuk a nevezett művelet végrehajtását rajz és számegyenes segítségével, valamint példák megoldását gyakoroltuk az óra témájában.
Hivatkozások
- M.I. Moreau, M.A. Bantova és mások: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 1. rész - M.: „Felvilágosodás”, 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova és mások: Tankönyv. 3. évfolyam: 2 részben, 2. rész. - M.: „Felvilágosodás”, 2012.
- M.I. Moro. Matek órák: Módszertani ajánlások a tanár számára. 3. évfolyam. - M.: Oktatás, 2012.
- Szabályozó dokumentum. A tanulási eredmények nyomon követése és értékelése. - M.: „Felvilágosodás”, 2011.
- "Oroszország Iskola": Programok számára általános iskola. - M.: „Felvilágosodás”, 2011.
- S.I. Volkova. Matematika: Próbamunka. 3. évfolyam. - M.: Oktatás, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tesztek. - M.: „Vizsga”, 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Házi feladat
1. Írja fel azokat a számokat, amelyek maradék nélkül oszthatók 2-vel!
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Végezze el az osztást a maradékkal egy kép segítségével.
3. Hajtsa végre az osztást a maradékkal a számegyenesen.
4. Készítsen feladatot barátainak az óra témájában.
Utasítás
Először tesztelje gyermeke szorzási képességeit. Ha egy gyerek nem ismeri pontosan a szorzótáblát, akkor az osztással is problémái lehetnek. Aztán a felosztás magyarázatánál megengedhető, hogy lessen a csalólapra, de a táblázatot még meg kell tanulni.
Írja be az osztót és az osztót egy függőleges elválasztó sáv segítségével. Az osztó alá írja fel a választ - a hányadost, vízszintes vonallal elválasztva. Vegyük a 372 első számjegyét, és kérdezzük meg gyermekétől, hogy a hatos szám hányszor „fér bele” háromba. Így van, egyáltalán nem.
Ezután vegyen két számot - 37. Az egyértelműség kedvéért kiemelheti őket egy sarokkal. Ismételje meg újra a kérdést - hányszor szerepel a hatos szám a 37-ben. Hasznos lesz a gyors számolás. Állítsd össze a választ: 6*4 = 24 – egyáltalán nem hasonló; 6*5 = 30 – közel a 37-hez. De 37-30 = 7 – hat újra „belefér”. Végül 6*6 = 36, 37-36 = 1 – megfelelő. A talált hányados első számjegye 6. Írd az osztó alá!
Írjon 36-ot a 37-es szám alá, és húzzon egy vonalat. Az egyértelműség kedvéért használhatja a jelet a felvételen. A vonal alá tegye a maradékot - 1. Most „leereszkedjen” a szám következő számjegye, kettő, egy - kiderül, hogy 12. Magyarázza el a gyermeknek, hogy a számok mindig egyenként „ereszkednek”. Kérdezd meg újra, hány „hatos” van a 12-ben. A válasz 2, ezúttal maradék nélkül. Írja az első mellé a hányados második számjegyét! A végeredmény 62.
Tekintse meg részletesen a felosztás esetét is. Például 167/6 = 27, maradék 5. Valószínűleg gyermeke még nem hallott az egyszerű törtekről. De ha kérdéseket tesz fel, akkor az alma példáján keresztül megmagyarázható, hogy mi a teendő a maradékkal. 167 almát osztottak szét hat ember között. Mindenki kapott 27 darabot, és öt alma maradt osztatlanul. Úgy is oszthatja őket, hogy mindegyiket hat szeletre vágja, és egyenlően elosztja. Mindenki kapott egy szeletet minden almából - 1/6. És mivel öt alma volt, mindegyikben öt szelet volt – 5/6. Vagyis az eredmény így írható fel: 27 5/6.
Ebben a cikkben megvizsgáljuk egész számok osztása maradékkal. Kezdjük azzal általános elv egész számok maradékkal való osztása során megfogalmazzuk és bebizonyítjuk az egész számok maradékkal való oszthatóságáról szóló tételt, nyomon követjük az osztó, az osztó, a hiányos hányados és a maradék közötti összefüggéseket. Ezután felvázoljuk azokat a szabályokat, amelyek alapján az egész számokat maradékkal osztjuk fel, és figyelembe vesszük ezek alkalmazását a példák megoldása során. Ezek után megtanuljuk, hogyan ellenőrizzük az egész számok maradékkal való osztásának eredményét.
Oldalnavigáció.
Az egész számok maradékkal való osztásának általános ismerete
Az egész számok maradékkal való osztását a természetes számok maradékával való osztás általánosításának tekintjük. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a természetes számok az egész számok összetevői.
Kezdjük a leírásban használt kifejezésekkel és megjelölésekkel.
A természetes számok maradékkal való osztásával analóg módon feltételezzük, hogy a két a és b maradékból álló osztás eredménye (b nem egyenlő nullával) két c és d egész szám. Az a és b számokat hívják oszthatóÉs osztó ennek megfelelően a d szám – a maradékot attól, hogy a-t elosztjuk b-vel, és a c egész számot hívjuk hiányos privát(vagy csak magán, ha a maradék nulla).
Tegyük fel, hogy a maradék egy nem negatív egész szám, és értéke nem haladja meg a b-t, azaz (hasonló egyenlőtlenségi láncokkal találkoztunk, amikor három vagy több egész szám összehasonlításáról beszéltünk).
Ha a c szám egy nem teljes hányados, és a d szám az a egész szám b egész számmal való osztásának maradéka, akkor ezt a tényt röviden a:b=c alakú egyenlőségként írjuk fel (a maradék d).
Vegye figyelembe, hogy ha egy a egész számot elosztunk egy b egész számmal, a maradék nulla lehet. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a osztható b-vel nyom nélkül(vagy teljesen). Így az egész számok maradék nélküli felosztása az egész számok maradékkal való felosztásának speciális esete.
Érdemes azt is elmondani, hogy ha nullát valamilyen egész számmal osztunk, akkor mindig maradék nélküli osztásról van szó, hiszen ebben az esetben a hányados nullával lesz egyenlő (lásd a nulla egész számmal való osztásának elméleti részét), a maradék pedig nullával is egyenlő lesz.
Elhatároztuk a terminológiát és a jelölést, most értsük meg az egész számok maradékkal való osztásának jelentését.
Negatív a egész szám elosztása egész számmal pozitív szám b is kaphat jelentést. Ehhez tekintsünk egy negatív egész számot adósságnak. Képzeljük el ezt a helyzetet. A tételeket képező tartozást b személynek egyenlő hozzájárulással kell törlesztenie. Ebben az esetben a c hiányos hányados abszolút értéke határozza meg ezeknek az embereknek az adósság összegét, a maradék d pedig azt, hogy hány tétel marad a tartozás kifizetése után. Mondjunk egy példát. Tegyük fel, hogy 2 ember tartozik 7 almával. Ha feltételezzük, hogy mindegyiküknek 4 almával tartozik, akkor az adósság kifizetése után 1 alma marad. Ez a helyzet a (−7):2=−4 egyenlőségnek felel meg (a maradék 1).
Osztás egy tetszőleges egész szám maradékával egy egész számmal negatív szám jelentést nem tulajdonítunk, de a létezés jogát fenntartjuk.
Tétel az egész számok maradékkal való oszthatóságáról
Amikor a természetes számok maradékkal való osztásáról beszéltünk, azt találtuk, hogy az a osztó, a b osztó, a c részhányados és a d maradék az a=b·c+d egyenlőséggel függ össze. Az a, b, c és d egész számok között ugyanaz a kapcsolat. A kapcsolat megerősítése a következőképpen történik oszthatósági tétel maradékkal.
Tétel.
Bármely a egész szám egyértelmûen ábrázolható egész és nem nulla b számon keresztül a=b·q+r formában, ahol q és r néhány egész szám, és .
Bizonyíték.
Először is bizonyítjuk az a=b·q+r ábrázolásának lehetőségét.
Ha az a és b egész számok olyanok, hogy a osztható b-vel, akkor definíció szerint van olyan q egész szám, amelyre a=b·q. Ebben az esetben az a=b·q+r egyenlőség érvényes r=0-nál.
Most feltételezzük, hogy b egy pozitív egész szám. Válasszunk egy q egész számot úgy, hogy a b·q szorzat ne haladja meg az a számot, és a b·(q+1) szorzat már nagyobb legyen a-nál. Vagyis úgy vesszük q-t, hogy a b q egyenlőtlenségek Be kell bizonyítani az a=b·q+r ábrázolásának lehetőségét negatív b esetén. Mivel a b szám modulusa ebben az esetben egy pozitív szám, akkor létezik olyan ábrázolás, ahol q 1 valamilyen egész szám, r pedig egy olyan egész szám, amely teljesíti a feltételeket. Ekkor q=−q 1-et véve megkapjuk azt a reprezentációt, amelyre szükségünk van a=b·q+r negatív b-hez. Térjünk át az egyediség bizonyítására. Tegyük fel, hogy az a=b·q+r ábrázoláson kívül q és r egész és , van egy másik a=b·q 1 +r 1 reprezentáció, ahol q 1 és r 1 néhány egész szám, és q 1 ≠ q és . Miután kivontuk a második egyenlőség bal és jobb oldalát az első egyenlőség bal és jobb oldalából, megkapjuk a 0=b·(q−q 1)+r−r 1 értéket, amely ekvivalens az r− egyenlőséggel. r 1 =b·(q 1 −q) . Ezután a forma egyenlősége A feltételekből arra következtethetünk. Mivel q és q 1 egész számok, és q≠q 1, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy Az a=b·c+d egyenlőség lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az a ismeretlen osztót, ha ismert a b osztó, a c parciális hányados és a d maradék. Nézzünk egy példát. Példa. Mekkora az osztalék értéke, ha a −21 egész számmal elosztva 5 nem teljes hányadosa és 12 maradéka lesz? Megoldás. Ki kell számolnunk az a osztót, ha ismert a b=−21 osztó, a c=5 parciális hányados és a d=12 maradék. Az a=b·c+d egyenlőségre áttérve a=(−21)·5+12-t kapjuk. Megfigyelve először megszorozzuk a −21 és 5 egész számokat a különböző előjelű egészek szorzási szabálya szerint, majd elvégezzük a különböző előjelű egészek összeadását: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Válasz: −93
.
Az osztó, osztó, parciális hányados és maradék közötti összefüggéseket a b=(a−d):c, c=(a−d):b és d=a−b·c formájú egyenlőségek is kifejezik. Ezek az egyenlőségek lehetővé teszik az osztó, a parciális hányados és a maradék kiszámítását. Gyakran meg kell találnunk a maradékot, amikor egy a egész számot elosztunk egy b egész számmal, ha ismert az osztó, az osztó és a parciális hányados, a d=a−b·c képlet segítségével. A további kérdések elkerülése érdekében nézzünk meg egy példát a maradék kiszámítására. Példa. Keresse meg a maradékot, amikor a −19 egész számot elosztja 3-mal, ha tudja, hogy a parciális hányados egyenlő -7-tel. Megoldás. Az osztás maradékának kiszámításához egy d=a-b·c képletet használunk. A feltételből minden szükséges adatunk megvan a=−19, b=3, c=−7. d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (a különbséget −19−(−21) a szabály alapján számoltuk ki. negatív egész szám kivonása ). Válasz: Amint azt már többször megjegyeztük, a pozitív egész számok természetes számok. Ezért a pozitív egész számok maradékával való osztás a természetes számok maradékával való osztás összes szabálya szerint történik. Nagyon fontos, hogy könnyedén tudjunk osztást végrehajtani a természetes számok maradékával, hiszen éppen ez az alapja nem csak a pozitív egészek osztásának, hanem a tetszőleges egész számok maradékával való osztási szabályoknak is. A mi szempontunkból a legkényelmesebb az oszloposztás végrehajtása, amely lehetővé teszi egy hiányos hányados (vagy egyszerűen egy hányados) és egy maradék megszerzését. Nézzünk egy példát a pozitív egész számok maradékával való osztásra. Példa. A maradék 14 671-et oszd el 54-gyel. Megoldás. Osszuk el ezeket a pozitív egész számokat egy oszloppal: A parciális hányados 271-nek bizonyult, a maradék pedig 37. Válasz: 14 671:54=271 (többi 37.) . Fogalmazzuk meg azt a szabályt, amely lehetővé teszi, hogy osztást hajtsunk végre egy pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal. Egy pozitív a pozitív egész szám egy negatív b egész számmal való osztásának parciális hányadosa ellentéte annak a parciális hányadosának, amikor a-t osztjuk b modulusával, és az a-t b-vel való osztásának maradéka egyenlő az osztás maradékával. Ebből a szabályból az következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztásának parciális hányadosa egy nem pozitív egész szám. Alakítsuk át a megadott szabályt egy olyan algoritmussá, amely egy pozitív egész számot a maradékkal oszt egy negatív egész számmal: Nézzünk egy példát a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus használatára. Példa. Osszuk el a 17 pozitív egész szám maradékával a −5 negatív egész számmal. Megoldás. Használjuk az algoritmust egy pozitív egész szám egy negatív egész számmal való elosztására. Osztással A 3 ellentétes száma −3. Így a 17 -5-tel való osztásához szükséges parciális hányados -3, a maradék pedig 2. Válasz: 17 :(-5)=-3 (maradék 2). Példa. Osztani 45 x -15. Megoldás. Az osztalék és az osztó modulja 45, illetve 15. A 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel, hányadosa pedig 3. Ezért a 45 pozitív egész számot maradék nélkül elosztjuk a −15 negatív egész számmal, és a hányados egyenlő a 3-mal ellentétes számmal, azaz −3. Valóban, a különböző előjelű egész számok osztására vonatkozó szabály szerint . Válasz: 45:(−15)=−3
.
Adjuk meg annak a szabálynak a megfogalmazását, hogy egy negatív egész számot maradékkal osztunk pozitív egész számmal. Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy pozitív b egész számmal osztva hiányos c hányadost kapjunk, ki kell venni a hiányos hányadossal ellentétes számot az eredeti számok modulusainak elosztásából, és ki kell vonni belőle egyet, ami után kiszámítjuk a d maradékot. a d=a-b·c képlet segítségével. Ebből a maradékkal való osztás szabályából az következik, hogy a negatív egész szám pozitív egész számmal való osztásának parciális hányadosa negatív egész szám. A megadott szabályból következik egy algoritmus, amely egy negatív egész számot a maradékkal oszt egy pozitív egész számmal b: Elemezzük a példa megoldását, amelyben az írott osztási algoritmust használjuk maradékkal. Példa. Határozzuk meg a parciális hányadost és a maradékot, amikor a −17 negatív egész számot elosztjuk az 5 pozitív egész számmal. Megoldás. A −17 osztó modulusa 17, az 5 osztó modulusa pedig 5. Osztással 17-tel 5-tel kapjuk a 3-as parciális hányadost, a maradék pedig 2-t. A 3 ellentéte −3. Vonjon ki egyet a −3-ból: −3−1=−4. Tehát a szükséges parciális hányados egyenlő -4. Már csak a maradékot kell kiszámítani. Példánkban a=-17, b=5, c=-4, majd d=a-b·c=-17-5·(-4)= -17-(-20)=-17+20=3 . Így a −17 negatív egész szám 5 pozitív egész számmal való részleges hányadosa −4, a maradék pedig 3. Válasz: (−17):5=−4 (maradék 3) . Példa. Osszuk el a −1,404 negatív egész számot a 26 pozitív egész számmal. Megoldás. Az osztalék modulja 1.404, az osztó modulja 26. Oszd el 1404-et 26-tal egy oszlop segítségével: Mivel az osztó modulját maradék nélkül osztjuk az osztó moduljával, az eredeti egész számokat maradék nélkül osztjuk, és a kívánt hányados egyenlő az 54-gyel szemközti számmal, azaz −54. Válasz: (−1 404):26=−54
.
Fogalmazzuk meg a negatív egész számok maradékával való osztás szabályát. Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy negatív b egész számmal osztva hiányos c hányadost kapjunk, ki kell számítanunk a hiányos hányadost az eredeti számok modulusainak elosztásából, és hozzá kell adni egyet, majd a d maradékot a d képlet segítségével kell kiszámítani. =a−b·c. Ebből a szabályból következik, hogy a negatív egészek osztó hányadosa pozitív egész szám. Írjuk át a megadott szabályt negatív egészek osztására szolgáló algoritmus formájában: Tekintsük a negatív egész számok felosztására szolgáló algoritmus használatát egy példa megoldása során. Példa. Határozzuk meg a parciális hányadost és a maradékot, amikor egy negatív egész számot –17 elosztunk egy negatív egész számmal –5. Megoldás. Használjuk a megfelelő osztási algoritmust maradékkal. Az osztalék modulja 17, az osztó modulja 5. Osztály A 17 5 felett a 3-as parciális hányadost adja, a maradék pedig 2-t. A 3. hiányos hányadoshoz adunk egyet: 3+1=4. Ezért a −17 -5-tel való osztásához szükséges parciális hányados egyenlő 4-gyel. Már csak a maradékot kell kiszámítani. Ebben a példában a=-17, b=-5, c=4, majd d=a-b·c=-17-(-5)·4= -17-(-20)=-17+20=3 . Tehát a −17 negatív egész szám elosztásának egy negatív egész számmal −5 parciális hányadosa 4, a maradék pedig 3. Válasz: (−17):(−5)=4 (maradék 3) . Az egész számok maradékkal való elosztása után célszerű ellenőrizni az eredményt. Az ellenőrzés két szakaszban történik. Az első lépésben azt ellenőrizzük, hogy a d maradék nem-negatív szám-e, és a feltételt is ellenőrizzük. Ha az ellenőrzés első szakaszának minden feltétele teljesül, akkor folytathatja az ellenőrzés második szakaszát, ellenkező esetben vitatható, hogy valahol hiba történt a maradékkal való megosztáskor. A második lépésben az a=b·c+d egyenlőség érvényességét ellenőrizzük. Ha ez az egyenlőség igaz, akkor a maradékkal való osztás helyesen történt, különben valahol hiba történt. Nézzünk olyan példák megoldásait, amelyekben az egész számok maradékkal való osztásának eredményét ellenőrizzük. Példa. Ha a −521 számot elosztjuk −12-vel, a parciális hányados 44, a maradék pedig 7, ellenőrizze az eredményt. Megoldás. −2, ha b=−3, c=7, d=1. megvan b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Így az a=b·c+d egyenlőség hibás (példánkban a=−19). Ezért a maradékkal való felosztást helytelenül hajtották végre. A cikk az egész számok maradékkal való osztásának fogalmát vizsgálja. Bizonyítsuk be az egész számok maradékkal való oszthatóságáról szóló tételt, és nézzük meg az osztók és osztók, a hiányos hányadosok és a maradékok közötti összefüggéseket. Tekintsük az egész számok maradékokkal való felosztásának szabályait, és nézzük meg őket részletesen példákon keresztül. A megoldás végén ellenőrzést végzünk. Az egész számok maradékkal való osztása a természetes számok maradékával általánosított osztásnak tekinthető. Ez azért van így, mert a természetes számok az egész számok összetevői. Egy tetszőleges szám maradékával való osztás azt jelenti, hogy az a egész számot egy nullától eltérő b számmal osztjuk. Ha b = 0, akkor ne osszuk maradékkal. Csakúgy, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor, az a és b egész számokat c-vel és d-vel osztjuk, ahol b nem nulla. Ebben az esetben a-t és b-t osztónak és osztónak nevezzük, d pedig az osztás maradéka, c egész szám vagy nem teljes hányados. Ha feltételezzük, hogy a maradék nemnegatív egész szám, akkor értéke nem nagyobb, mint a b szám modulusa. Írjuk fel így: 0 ≤ d ≤ b. Ezt az egyenlőtlenségi láncot 3 vagy több szám összehasonlításakor használjuk. Ha c egy nem teljes hányados, akkor d az a egész szám b-vel való osztásának maradéka, amely röviden megfogalmazható: a: b = c (maradék d). Az a szám b-vel való osztásakor a maradék nulla lehet, akkor azt mondják, hogy a teljesen osztható b-vel, azaz maradék nélkül. A maradék nélküli osztás az osztás speciális esetének számít. Ha nullát elosztunk valamilyen számmal, az eredmény nulla. Az osztás maradéka is nulla lesz. Ez a nulla egész számmal való osztásának elméletéből követhető. Most nézzük meg az egész számok maradékkal való osztásának jelentését. Ismeretes, hogy a pozitív egész számok természetes számok, akkor maradékkal osztva ugyanazt a jelentést kapjuk, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor. Az a negatív egész szám elosztása egy pozitív b egész számmal van értelme. Nézzünk egy példát. Képzeljünk el egy olyan helyzetet, amikor a tételes tartozásunk van, amelyet b személynek vissza kell fizetnie. Ennek eléréséhez mindenkinek egyformán hozzá kell járulnia. Az egyes tartozás összegének meghatározásához figyelni kell a magánjellegű s értékére. A maradék d azt jelzi, hogy a tartozások törlesztése utáni tételek száma ismert. Nézzük az alma példáját. Ha 2 ember tartozik 7 almával. Ha úgy számolunk, hogy mindenkinek 4 almát kell visszaadnia, akkor a teljes számítás után 1 alma marad. Írjuk fel ezt egyenlőségként: (− 7) : 2 = − 4 (t. 1-ből) . Egy tetszőleges a szám egész számmal való elosztása értelmetlen, de lehetőségként lehetséges. Megállapítottuk, hogy a az osztó, majd b az osztó, c a parciális hányados és d a maradék. Össze vannak kötve egymással. Ezt az összefüggést az a = b · c + d egyenlőséggel fogjuk bemutatni. A köztük lévő kapcsolatot a maradékkal való oszthatósági tétel jellemzi. Tétel Bármely egész szám csak egész számon és nem nulla b számon keresztül ábrázolható a következő módon: a = b · q + r, ahol q és r néhány egész szám. Itt 0 ≤ r ≤ b. Bizonyítsuk be a = b · q + r létezésének lehetőségét. Bizonyíték Ha két a és b szám van, és a osztható b-vel maradék nélkül, akkor a definícióból következik, hogy van q szám, és igaz lesz az a = b · q egyenlőség. Ekkor az egyenlőség igaznak tekinthető: a = b · q + r r = 0 esetén. Ekkor olyan q-t kell venni, hogy a b · q egyenlőtlenség adja meg< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Megvan, hogy az a − b · q kifejezés értéke nagyobb nullánál és nem nagyobb a b szám értékénél, ebből következik, hogy r = a − b · q. Azt találjuk, hogy az a szám a = b · q + r formában ábrázolható. Most mérlegelni kell az a = b · q + r ábrázolásának lehetőségét b negatív értékeire. A szám modulusa pozitívnak bizonyul, ekkor kapjuk a = b · q 1 + r, ahol a q 1 érték valamilyen egész szám, r olyan egész szám, amely megfelel a 0 ≤ r feltételnek.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Az egyediség bizonyítéka Tegyük fel, hogy a = b q + r, q és r egész számok, amelyek feltétele 0 ≤ r igaz< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1És r 1 van néhány szám, ahol q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b . Ha az egyenlőtlenséget kivonjuk a bal és a jobb oldalról, akkor 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 -t kapunk, ami r - r 1 = b · q 1 - q. Mivel a modult használjuk, az r - r 1 = b · q 1 - q egyenlőséget kapjuk. Az adott feltétel azt mondja, hogy 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qÉs q 1- egész, és q ≠ q 1, akkor q 1 - q ≥ 1. Innen azt kapjuk, hogy b · q 1 - q ≥ b. A kapott r - r 1 egyenlőtlenségek< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. Ebből következik, hogy az a szám nem ábrázolható más módon, csak az a = b · q + r felírásával. Az a = b · c + d egyenlőség segítségével megtalálhatja az ismeretlen a osztót, ha ismert a b osztó a hiányos c hányadossal és a d maradékkal. 1. példa Határozzuk meg az osztalékot, ha osztáskor -21-et kapunk, a parciális hányados 5, a maradék pedig 12. Megoldás
Ki kell számítani az a osztót ismert osztóval b = − 21, hiányos hányadossal c = 5 és maradékkal d = 12. Az a = b · c + d egyenlőségre kell rátérnünk, innen a = (− 21) · 5 + 12 egyenlőséget kapjuk. Ha követjük a cselekvések sorrendjét, a - 21-et megszorozzuk 5-tel, ami után (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93-at kapunk. Válasz: - 93 . Az osztó és a parciális hányados és maradék közötti összefüggés a b = (a − d) : c , c = (a − d) : b és d = a − b · c egyenlőségekkel fejezhető ki. Segítségükkel kiszámolhatjuk az osztót, a parciális hányadost és a maradékot. Ez abból adódik, hogy állandóan meg kell keresni a maradékot, amikor az a egész számot elosztjuk b-vel, ismert osztó-, osztó- és parciális hányadossal. A d = a − b · c képletet alkalmazzuk. Nézzük meg részletesen a megoldást. 2. példa Keresse meg a maradékot, amikor a - 19 egész számot elosztja a 3 egész számmal, amelynek ismert hiányos hányadosa egyenlő -7. Megoldás
Az osztás maradékának kiszámításához d = a − b · c képletet alkalmazunk. Feltétel szerint minden adat elérhető: a = −19, b = 3, c = −7. Innen kapjuk, hogy d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (különbség − 19 − (− 21). a kivonási szabály segítségével egy negatív egész szám. Válasz: 2 . Minden pozitív egész szám természetes szám. Ebből következik, hogy az osztás az összes osztási szabály szerint történik a természetes számok maradékával. A természetes számok maradékával való osztás sebessége fontos, hiszen nem csak a pozitív számok osztása, hanem a tetszőleges egészek osztásának szabályai is ezen alapulnak. Az osztás legkényelmesebb módja az oszlop, mivel könnyebben és gyorsabban lehet hiányos vagy egyszerűen hányadost kapni a maradékkal. Nézzük meg részletesebben a megoldást. 3. példa Ossza el az 14671-et 54-gyel. Megoldás
Ezt a felosztást egy oszlopban kell elvégezni: Vagyis a parciális hányados 271, a maradék pedig 37. Válasz: 14 671: 54 = 271. (többi 37) Ha egy pozitív szám maradékával szeretne osztani egy negatív egész számmal, akkor meg kell fogalmaznia egy szabályt. 1. definíció Az a pozitív egész szám b negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosa olyan számot eredményez, amely ellentétes az a számok modulusainak b-vel való elosztásának hiányos hányadosával. Ekkor a maradék egyenlő a maradékkal, ha a-t osztjuk b-vel. Ebből következik, hogy a pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának hiányos hányadosa nem pozitív egész számnak tekinthető. Megkapjuk az algoritmust: Nézzük meg a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmus példáját. 4. példa A maradék 17-tel oszd el -5-tel. Megoldás
Alkalmazzuk azt az algoritmust, hogy egy pozitív egész számot egy negatív egész számmal elosztunk maradékkal. A 17-et el kell osztani 5-tel modulo. Innen azt kapjuk, hogy a parciális hányados egyenlő 3-mal, a maradék pedig 2-vel. Azt kapjuk, hogy a szükséges számot elosztjuk 17-tel - 5 = - 3-mal, és a maradék egyenlő 2-vel. Válasz: 17: (− 5) = − 3 (maradék 2). 5. példa A 45-öt el kell osztani 15-tel. Megoldás
A számokat modulo kell osztani. A 45-ös számot elosztjuk 15-tel, maradék nélkül megkapjuk a 3 hányadosát. Ez azt jelenti, hogy a 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel. A válasz - 3, mivel a felosztás modulo módon történt. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Válasz: 45: (− 15) = − 3 . A maradékkal való osztás szabályának megfogalmazása a következő. 2. definíció Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot pozitív b-vel osztva hiányos c hányadost kapjunk, az adott szám ellentétét kell alkalmazni, és ki kell vonni belőle 1-et, majd a d maradékot a következő képlettel számítjuk ki: d = a − b · c. A szabály alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy osztáskor nemnegatív egész számot kapunk. A megoldás pontosságának biztosítása érdekében használja az a-t b-vel egy maradékkal osztó algoritmust: Nézzünk egy példát egy olyan megoldásra, ahol ezt az algoritmust használják. 6. példa Határozzuk meg a 17 5-tel osztás parciális hányadosát és maradékát. Megoldás
A megadott számokat elosztjuk modulo. Azt találjuk, hogy osztáskor a hányados 3, a maradék pedig 2. Mivel 3-at kaptunk, az ellenkezője a 3. 1-et ki kell vonni. − 3 − 1 = − 4 . A kívánt érték egyenlő -4. A maradék kiszámításához a = − 17, b = 5, c = − 4, majd d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = szükséges. 3. Ez azt jelenti, hogy az osztás hiányos hányadosa a - 4, a maradék pedig 3. Válasz:(− 17) : 5 = − 4 (maradék 3). 7. példa Osszuk el a negatív egész számot - 1404 a pozitív 26-tal. Megoldás
Oszlopokra és modulokra kell osztani. A számok moduljainak felosztását maradék nélkül megkaptuk. Ez azt jelenti, hogy az osztás maradék nélkül történik, és a kívánt hányados = -54. Válasz: (− 1 404) : 26 = − 54 . Meg kell fogalmazni egy szabályt a negatív egész számok maradékával való osztáshoz. 3. definíció Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy b negatív egész számmal elosztva hiányos c hányadost kapjunk, modulo számításokat kell végezni, majd össze kell adni 1-et, majd a d = a − b · c képlet alapján végezhetünk számításokat. Ebből következik, hogy a negatív egészek osztó hányadosa pozitív szám lesz. Fogalmazzuk meg ezt a szabályt algoritmus formájában: Nézzük meg ezt az algoritmust egy példa segítségével. 8. példa Határozza meg a parciális hányadost és a maradékot, amikor a -17-et osztja -5-tel. Megoldás
A megoldás helyességének biztosítása érdekében a maradékkal való osztás algoritmusát alkalmazzuk. Először osszuk el a számokat modulo. Ebből azt kapjuk, hogy a hiányos hányados = 3, a maradék pedig 2. A szabály szerint össze kell adni a hiányos hányadost és az 1-et. Azt kapjuk, hogy 3 + 1 = 4. Innen azt kapjuk, hogy a megadott számok elosztásának parciális hányadosa 4. A maradék kiszámításához a képletet használjuk. Feltétellel azt kapjuk, hogy a = − 17, b = − 5, c = 4, akkor a képlet segítségével azt kapjuk, hogy d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . A szükséges válasz, vagyis a maradék egyenlő 3-mal, a részhányados pedig 4-gyel. Válasz:(− 17) : (− 5) = 4 (maradék 3). Miután elosztotta a számokat maradékkal, ellenőriznie kell. Ez az ellenőrzés 2 szakaszból áll. Először a d maradékot ellenőrizzük a negativitás szempontjából, a 0 ≤ d feltétel teljesül< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Nézzünk példákat. 9. példa A felosztás - 521-re - 12. A hányados 44, a maradék 7. Végezzen ellenőrzést. Megoldás
Mivel a maradék egy pozitív szám, értéke kisebb, mint az osztó modulusa. Az osztó - 12, ami azt jelenti, hogy a modulusa 12. Továbbléphet a következő ellenőrző pontra. Feltétel alapján azt kapjuk, hogy a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Innen számítjuk ki a b · c + d értéket, ahol b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Ebből következik, hogy az egyenlőség igaz. Az ellenőrzés sikeres. 10. példa Hajtsa végre az osztásellenőrzést (− 17): 5 = − 3 (maradék − 2). Igaz az egyenlőség? Megoldás
Az első szakasz lényege, hogy ellenőrizni kell az egész számok osztását maradékkal. Ebből egyértelmű, hogy a műveletet helytelenül hajtották végre, mivel -2-vel egyenlő maradékot adtak. A maradék nem negatív szám. Megvan, hogy a második feltétel teljesül, de nem elegendő erre az esetre. Válasz: Nem. 11. példa A 19-es számot elosztottuk 3-mal. A parciális hányados 7, a maradék pedig 1. Ellenőrizze, hogy ezt a számítást helyesen végezte-e el. Megoldás
Adott egy 1-gyel egyenlő maradék. Pozitív. Az érték kisebb, mint az elválasztó modulé, ami azt jelenti, hogy az első szakasz befejeződik. Térjünk át a második szakaszra. Számítsuk ki a b · c + d kifejezés értékét. Feltétellel azt kapjuk, hogy b = − 3, c = 7, d = 1, ami azt jelenti, hogy a számértékeket behelyettesítve b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Ebből következik, hogy a = b · c + d az egyenlőség nem teljesül, mivel a feltétel a = - 19-et adja. Ebből az következik, hogy a felosztás hibával történt. Válasz: Nem. Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
, és a számok modulusának tulajdonságaiból adódóan az egyenlőség 
.
. A kapott egyenlőtlenségekből és ebből következik, hogy a forma egyenlősége feltételezésünk szerint lehetetlen. Ezért az a számnak nincs más reprezentációja, mint a=b·q+r.Kapcsolatok osztalék, osztó, parciális hányados és maradék között
Osztás pozitív egész számok maradékával, példák
Pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának szabálya, példák
Osztás negatív egész szám maradékával pozitív egész számmal, példák
Osztási szabály maradékkal negatív egész számokhoz, példák
Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése
Az egész számok maradékokkal való felosztásának általános ismerete
Tétel az egész számok maradékkal való oszthatóságáról
Osztalék, osztó, parciális hányados és maradék kapcsolata
Pozitív egész szám negatív egész számmal való elosztásának szabálya, példák
Osztási szabály maradékkal negatív egész számokhoz, példák
Egész számok maradékkal való osztásának eredményének ellenőrzése
