MCOU "3namenskaya másodlagos középiskola» Shchigrovsky kerület, Kurszk régió

Lecke - kirándulás

"Poliéderek. Forgótestek"

(geometria óra 11. osztályban)

Felkészítő: T. A. Bukreeva matematikatanár

ÓRA TÉMA: Ismétlés a „Poliéderek. A forgó testek."

Az óra célja: 1. Ismételje meg a tanultakat, és általánosítsa a tanulók tudását.

2. Fejlesztés kognitív érdeklődés tanulókat a tárgyhoz, látókörük szélesítését, interdiszciplináris kapcsolatokat.

H. Oktatás kognitív tevékenység hallgatók.

Óraterv:

1. A tanár bevezető beszéde.

2. Kirándulás „A poliéderek világa”.

H. Kísérleti kísérletek.

4. Gyakorlati munka.

5. Problémamegoldás.

7. Óra összefoglalója.

Felszerelés: Poliéderek modelljei, forgó testek, Shishkin művész „A hajóliget” festménye, Salvador Dali festménye „Az utolsó vespera”, táblázatok képletekkel, rajzok poliéderek képeivel, tudósok portréi, edények vízzel kísérletek, mérőedények, számítógép, projektor.

Az óra előrehaladása:

1 . Tanár megnyitó beszéde

Srácok, ma egy újabb leckét tartunk a geometria tanfolyam áttekintésével, amelyet szokatlan formában tartanak. Az áttekintő óra témája: „Poliéderek. Forradalom testei" Már megismételtük veled a témához kapcsolódó alapfogalmakat, problémákat oldottunk meg különféle képletek segítségével. De úgy gondolom, hogy a mai leckében még sok érdekes tényt fogsz megtudni (mondd el az óravázlatot). Most emlékezzünk egy kicsit.

Mit nevezünk poliédernek?

Mondjon példákat poliéderekre?

Hogy hívják a forradalom testét?

Mondjon példákat a forgástestekre!

Melyek minden poliéder fő elemei? (csúcsok, élek, lapok).

Milyen gyakori jellemző tulajdonság minden konvex poliéder rendelkezik?

(Az egyes poliéderek csúcsainak és lapjainak összege kettővel több, mint az élei, azaz B+G – P = 2). Ezt a tételt Euler-tételként ismerjük.

Srácok, most azt javaslom, hogy tegyenek egy rövid kirándulást a „Poliéderek és a forgástestek világába”. Ebben segít nekünk egy kalauzcsoport. Kérem srácok. Rád.

"EULER TÉTELE" a poliéderekről

B+G-R=2

2. Kirándulás.

1 idegenvezető . Mindenki jól ismeri az olyan testeket, mint a piramis, kúp, prizma, henger, golyó és mások. Gondolkozott már azon, hogy honnan ered ezeknek a figuráknak a neve? Kérjük, nézze meg a híres művész Shishkin „Hajóliget” című festményét, amely fenyőfákat ábrázol. Most figyeljen a következő ábrára (2. dia). Itt egy kúp képe látható. És a kezemben van egy kúp makettje. Mondd meg, mi a kapcsolat e kép és a test között. A legközvetlenebbnek bizonyul. A festményen fenyőfák láthatók, az általam tartott modellt kúpnak hívják, ami azt jelenti görög nyelv jelentése "fenyőtoboz". És valóban, nézd, a kúp úgy néz ki, mint egy kúp. ezt a „dudort” görögül „konos”-nak nevezik. Ezért az ilyen alakú testeket kúpoknak nevezzük.

Általában a görögországi Thalész előtt senki sem tanult geometriát, így a geometriai alakzatoknak nem volt neve. A görögök elkezdték az alakokat olyan szavakkal elnevezni, amelyek az őket körülvevő hasonló alakú tárgyakat jelölik. Például a ruhanemű feltekerésére a nők sodrófát használtak, amelyet görögül „kalander”-nek hívtak, ami lefordítva „hengert” jelent. Ezért minden kerek keresztmetszetű hosszúkás testet hengernek nevezünk. A következő ábrán látható test az egyiptomi piramisokra emlékeztet, ezért is nevezték az ilyen testeket piramisoknak.

Ráadásul Egyiptomban a piramisok alapjai négyszögletesek voltak, és a görögök négyszögletű, sőt hatszögletű piramisokat is tanulmányoztak.

Honnan kapta a „gömb” nevét? Görögül így nevezték azt a labdát, amellyel a gyerekek játszottak (3. dia).

2 idegenvezető. Most figyeljünk a poliéderek következő csoportjára (4. dia): tetraéder, kocka, ikozaéder, oktaéder, dodekaéder. Mint tudják, ezek szabályos poliéderek, amelyeket régen is ismertek Ókori Görögországés Eukleidész híres „Elemeinek” 13. könyvét szentelték nekik.

„Elveinek” a koronája a szabályos poliéder doktrínája. Eukleidész először megállapítja ezeknek a poliédereknek a létezését, majd bebizonyítja. A 13. könyv 18. utolsó mondatában, hogy az említett öt testen kívül nincs más szabályos poliéder.

De kiderül, hogy Arkhimédész is dolgozott szabályos poliédereken (5. dia), de munkája nem jutott el hozzánk. Archimedes felelős 13 úgynevezett félig szabályos poliéder (Archimédeszi test) felfedezéséért, amelyek mindegyikét azonos nevű nem szabályos sokszögek határolják, és amelyekben a poliéder szögei és az azonos nevű sokszögek egyenlőek, és minden csúcs ugyanannyi azonos lap konvergál ugyanabban a sorrendben. E testek arcainak száma 8 és 92 között van.

Az ókori görögök kifejezetten a szabályos poliédereket tanulmányozták, mert úgy vélték, hogy ezeknek a testeknek az alakja a létezés alapelveinek elemeiben rejlik (6. dia): nevezetesen a tűz - tetraéder, a föld - a hexaéder (kocka), a levegő - oktaéder, víz - ikozaéder, vagy ezt mondták; hogy ez a négy poliéder megszemélyesítette a négy elemet: a tüzet, a földet, a vizet és a levegőt, és az ötödik poliéder alakja a régiek szerint az egész Univerzumot jelentette, vagyis a dodekaéder az egész univerzumot szimbolizálta.

És nem hiába, Salvador Dahl „Az utolsó vesperás” című festményének reprodukcióján Krisztust és tanítványait egy hatalmas, átlátszó dodekaéder hátterében ülve ábrázolják (7. dia).

Azt is észrevettük, hogy a poliéderek sok formáját nem maga az ember találta ki, hanem a természet alkotta kristályok formájában. A kristályok természetes poliéderek. Például hegyikristály vagy kvarc. Mindkét oldalán kihegyezett ceruzára hasonlít, azaz hatszögletű prizma alakjára, melynek alapjára hatszögletű piramisok kerülnek. Az izlandi szár ferde paralelepipedon alakú.

A pirit (vagy kén-pirit) leggyakrabban oktaéder, néha kocka, vagy akár csonka oktaéder formájában fordul elő.

A múlt század elején L. Poinsot (1777-1859) francia matematikus és mechanikus (8. dia), akinek geometriai munkái a „csillagpoliéderekhez” kapcsolódnak, felfedezte a szabályos, nem konvex poliéderek létezését. Négyféle ilyen figura vált ismertté. 1812-ben O. Cauchy bebizonyította, hogy nincs más szabályos csillagozott poliéder (9. dia).

3 útmutató . Most beszéljünk a képletekről és a tudósokról, akiknek köszönhetően megjelentek. Számos képletet tanulmányoztunk poliéderek és körtestek térfogatának, felületeik területeinek kiszámítására. De gondoltál már erre a kérdésre: mióta jelentek meg ezek a képletek, és ki fedezte fel először őket? Kiderült, hogy már jóval korszakunk előtt ismertek sok test (parallelelepiped, prizma, henger) térfogatának képlete.

Később az ókori görög tudósok, Démokritosz, Eudoxosz és Arkhimédész munkáinak köszönhetően képleteket fedeztek fel a piramisok, kúpok, gömbök és más testek térfogatának kiszámítására. Lehetetlen minden tudós hozzájárulásáról beszélni, de nem tudunk nem maradni egyiküknél - a tudós és feltaláló Arkhimédésznél, aki sok mindent megoldott. gyakorlati problémák matematikában és fizikában. Arkhimédész annyi mindent tett élete során, hogy lehetetlen mindent elmondani. Ő volt az első, aki sok nehéz geometriai problémát megoldott: szabályokat talált a különböző testek területeinek és térfogatainak kiszámításához. Az összes probléma között volt egy ilyen: „Keresse meg a hengerbe behelyezett (beírt) gömb térfogatának arányát a henger térfogatához”.

Archimedes megállapította, hogy egy beírt henger térfogata a henger térfogatának 2/3-a, a gömb felülete pedig a henger felületének 2/3-a. Archimedes csatolva a javaslathoz kivételes érték. A hagyomány szerint Arkhimédész azt a óhaját fejezte ki barátainak, hogy halála után egy rajzot vágjanak ki erre a feladatra a sírdombra, és még egy dolog érdekes tény el akarom mondani. Arkhimédész Szirakúza kisvárosában élt, Szicília szigetén. Körülbelül 70 éves korában, 212-ben, naptárunk kezdete előtt, ő szülővárosa ostrom alá vette a hatalmas Róma csapatait, és megadást követelt. A szirakuzaiak úgy döntöttek, hogy megvédik magukat. A védelem egyik vezetője Arkhimédész volt, akinek vezetése alatt a szirakuzaiak közel egy évig harcoltak számos római csapat ellen. Arkhimédész geometriai tudását felhasználva, ahogy a legendák mondják, hatalmas tükröket épített, és ezek segítségével római hajókat égetett el, a római katonák pedig, amikor az erődfal mögül egy kötelet vagy egy rönköt láttak, rémülten elmenekültek, azt kiabálva, hogy Arkhimédész találta ki. valami mást a halálukra. De a rómaiak mégis betörtek a városba, és majdnem az összes lakost megölték. Arkhimédész a halottak között volt. A legendák szerint amikor a római katona már meglendítette kardját Arkhimédészre, a tudós azt kiáltotta: „Ne érintsd meg a rajzaimat”. Arkhimédész vágya teljesült. Arkhimédész szirakúzai sírjának sírköve egy hengert ábrázol, amelybe egy golyó van beírva (10. dia). Ezen a rajzon találták meg a tudós sírját 200 évvel később. Ez a gömb térfogatára és a gömb területére vonatkozó képletek felfedezésének szimbóluma. Sok verset Arkhimédész emlékének szentelnek. Hallgasd meg az egyiket. (Vers).

ARCHIMÉDÉSZ EMLÉKÉRE

Távol az Uniótól

És sok évvel előttünk

IN nehéz évőshonos Syracuse

Arkhimédész tudós védte.

Sok védelmi fegyver

Ezeket ő tervezte

A hajthatatlan város sokáig harcolt,

Megőrizzük a tudós bölcsességét.

De a katonai boldogság törvényei

Még mindig senki nem vette figyelembe,

És beáramlik az ellenséges egységek

A fal sötét lyukaiba.

Egy ismeretlen terv elfogta,

Nem tudta, hogy ellenségek vannak a városban,

És gondolatban a forró földön

Rajzolj néhány kört.

Elgondolkodva rajzolt, nem büszkén,

Elfeledve az aktuális eseményeket,

És hirtelen egy érthetetlen akkordban

A lándzsa árnyéka keresztezte a rajzot.

De nyugalommal megijeszti a gyilkosokat,

Ő anélkül, hogy megalázta volna magát, anélkül, hogy megremegne,

Kinyújtotta a kezét, védekezve

Nem magad, hanem a rajz jelei.

Merészen a katona szemébe nézett:

„Ölj, a rómaiak ellenségek!

Ölj meg, ha ez a helyzet,

De ne lépj a körökbe!

Szeretnék így tollal dolgozni,

Teljesen átadta magát a szülőföldnek,

Tehát a csatatéren vagy a kórházban

Nem magam miatt féltem.

Hogy legyen elég lelkem

Mondd a végzetednek:

„Személyesen ölj meg, öregasszony,

De ne merészelj a sorokba lépni!”

3. Kísérleti kísérletek

Tanár: Srácok, azt hiszem, az útmutatóknak köszönhetően sikerült, érdekes történet a távoli múltba. Ha valakit érdekel Arkhimédész életrajza, az a „Matematika és Élet” faliújság oldalain részletesebben olvashat, illetve a könyvtárban fellelhető szakirodalomra hivatkozhat. (Kiállítás).

Most pedig nézzük meg azt a laboratóriumot, ahol egy kutatócsoport a poliéderekkel és forradalomtestekkel kapcsolatos képletek kísérleti bizonyításával foglalkozott. Kérem, srácok, tiéd a szó.

1 diák. Kutatómunkánk eredményeként néhány képlet érvényességét kísérletekkel tudtuk igazolni. Most ezt mutatjuk be nektek.

1. számú tapasztalat.(a piramis térfogata)

Ezzel a kísérlettel meg fogjuk győződni arról, hogy a piramis térfogata egyenlő a prizma térfogatának 1/3-ával. Ehhez vegyünk két edényt: az egyik prizma alakú, a másik piramis. A piramis és a prizma azonos magasságú (h) az alaphoz húzva, és az alapok területe egyenlő. Az edény-piramist megtöltöttük vízzel, majd az edény-piramisból a vizet az edény-prizmába öntjük. Látjuk, hogy a piramisedény kapacitása háromszor kisebb, mint a prizmaedényé, azaz V pyr = 1/3V pr.

Tehát megbizonyosodtunk arról, hogy a piramis térfogata egyenlő a prizma térfogatának 1/3-ával.

Tapasztalat №2 . (Az egyenlő alappal és egyenlő magasságú piramisok tulajdonsága)

Ismerjük a következő állítást: két egyenlő alapterületű és azonos magasságú (háromszögletű) gúla egyenlő méretű, i.e. azonos térfogatúak.

Erősítsük meg ezt a következő kísérlettel.

Tapasztalat.

Öntsön vizet egy keskeny kifolyócsővel rendelkező edénybe, hogy a felesleg a lyukon keresztül kifolyjon. A lyuk alá mérőpoharat helyezve belemerítjük az egyik piramist az edénybe. Miután egy mérőpohár segítségével meghatároztuk a piramis által kiszorított víz térfogatát, egyidejűleg megtudjuk magának a piramisnak a térfogatát. Miután elvégeztük a kísérletet egy másik piramissal, azt látjuk, hogy ha a piramisoknak egyenlő alapjai és azonos magasságai vannak, akkor a térfogatuk egyenlő.

1 piramis – négyszögletű, melynek alján egy 4 cm-es oldalú négyzet, azaz. Az alapfelület 16 cm.

2 piramis négyszögletű, az alján egy téglalap, melynek oldalai 2 és 8 cm.

(a folyadékba merített test térfogata megegyezik a test által kiszorított folyadék térfogatával).

3. számú tapasztalat. (egy gömb felülete)

Egy gömb felületét ugyanúgy nem lehet megtalálni, mint egy poliéder felületét, pl. síkba való kibontásával, hiszen egy gömb sem bontható ki síkra. De használhatja a következő tapasztalatokat.

Vegyünk egy félgolyó modelljét, és rögzítsünk rá két szöget: az egyiket egy nagy kör közepére, a másikat a félgömb tetejére. Rögzítse a cérna végét a félgolyó tetején található szögre, és fedje le a félgömb felületét a cérnával, spirál alakúra hajtva. Ezután a félgömb alapját is lefedjük - egy nagy kört. A felhasznált szálak hosszának mérése után azt látjuk, hogy az alap lefedésére fordított szál hossza, azaz egy sugarú kör körülbelül 2-szer kisebb, mint a félgömb felületét borító szál hossza.

Ebből a következtetés: a félgömb felülete 2, a golyó felülete pedig 4. Tehát a gömb területét az S = 4πR 2 képlettel számítjuk ki.

Tanár: A leírt élmény az egyik legrégebbi. Segítségével az emberek megtanulták, hogy egy labda felülete 4-szeres több területet nagy köre.

Következtetés: Az elméleti tények kísérleti alátámasztását a geometriatanítás és a gyakorlat összekapcsolásának eszközeként tekintjük.

4. Gyakorlati munka.

És most egy kis gyakorlati munkát ajánlok.

Gyakorlat. Különféle geometriai testek vannak az asztalaidon. Válasszon magadnak bármilyen figurát, végezze el a szükséges méréseket, és számítsa ki a test térfogatát a megfelelő képlet segítségével. (Mondd el, hogyan számították ki a térfogatot).

5. Feladatok megoldása szórakoztató geometriából.

A következő csoport srácok felajánlanak neked feladatokat. (11. dia)

1. számú feladat

Két helyes prizmák arról vitatkozott

Melyikben van több kötet?

Az egyik azt mondta: „Ha minden tényezőt figyelembe veszünk,

Végül is kétszer olyan magas vagyok, és hat oldalam van, -

Nincs értelme vitatkozni, itt a győzelem az enyém..."

Egy másik így válaszolt: „Ne rohanj, várj!

Bár nekem öt oldalam van, és nem vagyok magas,

De az alap oldala kétszer akkora.

Miután estig veszekedtek, semmivel hazamentek.

Kinek volt igaza ebben a vitában?

(1. számú probléma megoldása)

Következtetés: Az összehasonlításhoz meg kell találni a köteteket.

2. feladat

A futballlabda egy poliéderhez hasonlít, amelynek 32 oldala van, ebből 20 oldal szabályos hatszögekés 12- szabályos ötszögek. Hány csúcsa van egy ilyen poliédernek? (12. dia)

Megoldás. A problémában arról beszélünk a csonka ikozaéderről. meg fogjuk találni teljes szám ennek a poliédernek az élei. Mivel 12 ötszöglapja van, akkor 5 12 + 620 = 180, azaz 2P = 180, P = 90. És G = 32 feltétellel, akkor az Euler-tétel szerint

B+G - P =2, azaz. B = P - G +2 = 90 - 32 +2 = 60

Euler-tétel: Egy poliéder csúcsai és lapjai számának összege 2-vel nagyobb, mint az élei, azaz. B + G - P = 2

Nyilatkozat: Az összes lap oldalainak száma egyenlő az élek számának kétszeresével,

mivel minden él egyszerre két laphoz tartozik, ezért a számításnál kétszer veszik figyelembe. (13. dia)

3. feladat

Van egy csomó búzaszem, amit a raktárba kell küldeni. Becsülje meg a kupacban lévő gabona mennyiségét. Hogyan kell ezt csinálni? (14. dia)

Megoldás. Alakjában egy gabonakupac érezhetően eltér az ismert téralakoktól, de homályosan körkúpra emlékeztet.

Kúp térfogata V = 1/3·S·h. Még ha feltételezzük is, hogy egy szemcsomó kúp alakú, akkor is nehéz közvetlenül megmérni R-t és H-t. Feltételezhetjük, hogy a kúpmodell alapja egy kör, amelynek kerülete azonos hosszúságú. mint a kupac aljának kerülete. Ez a hossz közvetlenül a zsinórral mérhető. Ha egyenlő C-vel, akkor R=C/2π. A H magasságot szintén kényelmetlen közvetlenül megmérni, de vezeték segítségével könnyű megtalálni az „átállást”. P = A B tehát

4. feladat

És most azt javaslom, hallgassa meg azon kevés legendák egyikét, amelyekben a hihetőnek tűnő igazság ellenére még csak egy szemernyi igazság sincs. Ha bármelyik ősi despota elhatározta volna, hogy végrehajt egy ilyen vállalkozást, mint ahogy most leírom, elbátortalanította volna az eredmény képmutatása. (15. dia)

Tehát AS Puskin versében " Fösvény lovag„A keleti népek legendáját mesélik.

olvastam valahol

Hogy a király egyszer odaadja katonáit

Megparancsolta, hogy a földet bontsák le, marékról marékra, egy kupacba, -

És felemelkedett a büszke domb.

A király pedig örömmel nézhetett körül felülről.

És a völgyet fehér sátrak borítják,

És a tenger, ahová a hajók menekültek.

Milyen magas lehet egy ilyen domb? Ha megválaszolja ezt a kérdést, meggyőződni fog a csekély eredményekről.

Megoldás. 1 marék = 1/5l = 0,2 dm 3

Legyen a hadsereg 100 000 fős. A szög csak 45° lehet (vagy kisebb), különben a föld összeomlik. Gazdag fantázia kell ahhoz, hogy egy másfél embermagas földhalmot büszke dombnak nevezhess.

6 Teszt.

A tanulók egyéni csomagokat kapnak tesztekkel, amelyeket az órán kezdenek és otthon fejeznek be.

7 Óra összefoglalója.

A tanulónak:

tud:

a poliéder fogalma, felülete, a szabályos poliéder fogalma;

prizma meghatározása, paralelepipedon; prizmák típusai; piramis definíció, szabályos piramis;

a forradalom testének és a forradalom felületének fogalma;

henger, kúp, golyó, gömb meghatározása;

képes legyen:

ábrázolja és kiszámítja az egyenes hasábok, paralelepipedonok és gúlák alapelemeit;

megszerkeszteni a fent jelzett poliéder legegyszerűbb szakaszait.

Poliéder csúcsai, élei, lapjai. Letapogatás. Poliéderes szögek. Konvex poliéder. Euler-tétel.

Prizma. Közvetlen és hajlamos prizma. Helyes prizma. Paralelepipedon. Kocka

Piramis. Helyes piramis. Csonka piramis. Tetraéder.

Szimmetriák kockában, paralelepipedonban, be prizma és piramis.

Kocka, prizma és piramis metszete.

A szabályos poliéderek (tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder) ötlete.

Henger és kúp. csonka kúp. Alap, magasság, oldalfelület, generatrix, fejlettség. Axiális szakaszok és az alappal párhuzamos szakaszok.

Labda és gömb, szakaszaik. Egy gömb érintősíkja.

9. témakör „Matematikai elemzés alapelvei”

A tanulónak:

tud:

számsorozat meghatározása;

derivált fogalma, geometriai és fizikai jelentése;

a tudományági programban felsorolt ​​funkciók megkülönböztetésének szabályai, képletei;

függvény grafikonjának érintő egyenlete egy meghatározott pontban, egy egyenes meredekségének fogalma;

a funkció növekedésének és csökkenésének elegendő jele, szélsőségek fennállása;

a második származék meghatározása, fizikai jelentése;

általános séma függvények tanulmányozásához és grafikonok deriváltok segítségével történő felépítéséhez;

egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásának szabálya egy intervallumon;

az antiderivatív definíciója;

táblázat és szabályok az antiderivatívák kiszámításához;

a határozott integrál fogalma, geometriai jelentése;

ívelt trapéz fogalma, területszámítási módszer ívelt trapéz az antiderivatív és a határozott integrál használata;

képes legyen:

a függvények megkülönböztetése a táblázat és a derivatívák számítási szabályai segítségével;

kiszámítja egy függvény deriváltjának értékét egy adott pontban;

keresse meg az érintő meredekségét, alkosson egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére a megadott pontban;

a derivált alkalmazása egy függvény monotonitási és szélsőséges intervallumainak megkeresésére;

keressük meg a másodrendű deriváltot, alkalmazzuk a másodrendű deriváltot a függvény tanulmányozásához;

keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy intervallumon;

egyszerű alkalmazott problémák megoldása a legnagyobb és legalacsonyabb értékek valódi értékek;

antiderivatívák kiszámítása elemi függvények táblázatok és szabályok használata;

kiszámítja az adott kezdeti feltételeket kielégítő antiderivált;

számítsuk ki a határozott integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével;

keresse meg az ívelt trapézok területét.

Szekvenciák. Numerikus sorozatok megadásának módszerei és tulajdonságai. Egy sorozat határának fogalma.Egy monoton korlátos sorozat határértékének megléte. Sorozatok összegzése. Végtelenül csökkenő geometriai progresszió és összege.

A funkció folytonosságának fogalma.

Származék. Egy függvény deriváltjának fogalma, geometriai és fizikai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintőjének egyenlete. Összegek, különbségek, szorzatok, hányadosok származékai. Alapvető elemi függvények származékai. A derivált alkalmazása függvények és grafikonok tanulmányozására. Inverz függvények származékai és függvényösszetételek.

Példák a derivált használatára az alkalmazott problémák legjobb megoldásának megtalálására. A második származék, geometriai és fizikai jelentése. A derivált alkalmazása függvények és grafikonok tanulmányozására. Egy képlettel és grafikonnal megadott folyamat sebességének meghatározása.

Antiderivatív és integrál. Határozott integrál segítségével keressük meg az ívelt trapéz területét. Newton-Leibniz képlet. Példák az integrál alkalmazására a fizikában és a geometriában.

A poliéder olyan test, amelyet minden oldalról sík határol.A poliéder elemei: lapok, élek, csúcsok. A poliéder összes élének halmazát hálójának nevezzük. A poliédert konvexnek nevezzük, ha mindegyik lapja síkjának egyik oldalán fekszik; Ráadásul a lapjai konvex sokszögek. A konvex poliéderekre Leonhard Euler egy képletet javasolt:

Г+В-Р=2, ahol Г az arcok száma; B – csúcsok száma; P – bordák száma.

A sok domború poliéder közül a legérdekesebbek a szabályos poliéderek (platoni testek), a piramisok és a prizmák. Egy poliédert szabályosnak nevezünk, ha minden lapja egyenlő szabályos sokszög. Ezek a következők (26. ábra): a - tetraéder; b - hexaéder (kocka); c - oktaéder; g - dodekaéder; d - ikozaéder.

a) b) c) d) e)

Rizs. 26

Szabályos poliéderek paraméterei (26. ábra)

	Helyes poliéder (Platón teste)	Szám	Szög a szomszédosak között bordák, fok.
	arcok	csúcsok	borda	oldalain minden arc	Az élek száma minden csúcsban
Tetraéder	4	4	6	3	60	3
Hexaéder (kocka)	6	8	12	4	90	3
Oktaéder	8	6	12	3	60	4
Dodekaéder	12	20	30	5	72	3
Ikozaéder	20	12	30	3	60	5

A táblázatból látható, hogy a kocka és az oktaéder lapjainak és csúcsainak száma 6,8, illetve 8,6 Ez lehetővé teszi, hogy a végtelenségig egymásba írhatók (leírhatók) (27. ábra).

Egy nagy csoportot alkotnak az úgynevezett félszabályos poliéderek (archimedesi szilárdtestek). Ezek konvex poliéderek, amelyek lapjai különböző típusú szabályos sokszögek. Archimedes szilárd testei csonka platóni testek. Megjelenésábrán látható néhány közülük. 28, alatta pedig a táblázatban találhatók paramétereik.

a) b) c) d)

Rizs. 27 Fig. 28

A félig szabályos poliéderek paraméterei (28. ábra)

A poliéder elfoglalhat egy általános helyet a térben, vagy elemei párhuzamosak és/vagy merőlegesek lehetnek a vetítési síkokkal. A poliéder felépítésének kezdeti adatai az első esetben a csúcsok koordinátái, a másodikban a méretei. A poliéder vetületeinek megalkotása a hálójának vetületeinek megalkotásához vezet. A poliéder vetületének külső körvonalát a test körvonalának nevezzük.

Prizma

─ konvex poliéder, amelynek oldalélei párhuzamosak egymással. Az alsó és felső lapokat – az oldalélek számát meghatározó egyenlő sokszögeket – a prizma alapjainak nevezzük. A prizmát szabályosnak nevezzük, ha az alapja szabályos sokszög, és jobbnak, ha az oldalélei merőlegesek az alapra. Ellenkező esetben a prizma ferde. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok, a ferde oldalak paralelogrammák. Az egyenes prizma oldalfelülete a vetületi objektumok közé tartozik, és az oldalélekre merőleges vetítési síkra sokszöggé fajul. A prizma oldalfelületén elhelyezkedő pontok és vonalak vetületei egybeesnek annak degenerált vetületével.

Tipikus feladat 3 (29. ábra) : Készítsen összetett rajzot egy egyenes prizmáról a következő méretekkel: l - az alap oldala (a prizma hossza); b- az alap egyenlő szárú háromszögének magassága (a prizma szélessége); h a prizma magassága. Határozza meg az élek és lapok helyzetét a vetítési síkokhoz képest! Az arcokon ABB’A’ és ACC’A’ meg frontális vetületek az M pontot és az n egyenest, és megszerkesztjük a hiányzó vetületeiket.

1. Mentálisan helyezze el a poliédert a vetítési síkrendszerben úgy, hogy az alapja D ABC║P 1, éle pedig AC║P 3 (29. ábra, a).

2. Mentálisan mutassa be az alapsíkokat: S║P 1 és az alappal egybeeső (D ABC); D║P 2 és egybeesik az ACC’A’ hátsó éllel. Megépítjük az S 2, S 3, D 1, D 3 alapvonalakat (29. ábra, b).

3. Megépítjük a prizma vízszintes, majd frontális és végül profil vetületeit a D 1, D 3 alapvonalak segítségével (29. ábra, c).

Borda: AB, BC ─ vízszintes; AC ─ profilvetítés; AS, SC, SB ─ vízszintesen kiálló. Élek: ABC A"B'C' ─ vízszintes szintek; ABB'A', BCC'B' ─ vízszintesen kiálló; ACC"A' ─frontális szint..

5. A prizma oldalsó felületein fekvő pontok vízszintes vetületeinek megalkotása a kiálló tárgy kollektív tulajdonságának felhasználásával történik: a prizma oldalfelületén található pontok és vonalak összes vetülete egybeesik a prizma elfajultával (vízszintes) vetítés. A pontok (például M) profilvetületeit úgy építjük fel, hogy a mélységük (Y M) D 3-tól vett vízszintes kapcsolódási vonalai mentén ábrázoljuk, amelyeket a D 1-től a vízszintes vetületen mérünk (lásd még 8., 17. oldal). Az n egyenesen beállítjuk az 1, 2 pontokat, és az M ponthoz hasonlóan ezeket a prizma felületére építjük. A láthatóságot a versengő pontok módszerével határozzuk meg. A „Prizma kivágással” feladat végrehajtásához lásd.

a) b) c)

Rizs. 29

Piramis

poliéder, melynek egyik lapja egy sokszög (a gúla alapja), amely meghatározza az oldallapok számát, a fennmaradó lapok (oldalak) pedig közös csúcsú háromszögek, amelyeket a piramis csúcsának nevezünk. A piramis csúcsát az alap csúcsaival összekötő szakaszokat oldalsó éleknek nevezzük. A piramis tetejéről az alapsíkra leejtett merőlegest a gúla magasságának nevezzük. A piramis szabályos, ha az alap szabályos sokszög, és egyenes, ha a csúcs az alap közepébe van vetítve. Egy szabályos gúla oldalsó élei egyenlőek, oldallapjai pedig egyenlőek egyenlő szárú háromszögek. A szabályos piramis oldallapjának magasságát apotémnek nevezzük. Ha a piramis csúcsa az alapján kívülre vetül, akkor a piramis ferde.

Tipikus probléma 4(30-32. ábra) : Készítsen összetett rajzot egy egyenes szabályos gúláról a következő méretekkel: l - az alap oldala (hosszúság); b- az alapháromszög magassága (szélessége); h a piramis magassága. Határozza meg az élek és lapok helyzetét a vetítési síkokhoz képest! Állítsa be az ASB, illetve az ASC lapokhoz tartozó M és N pontok frontális és vízszintes vetületeit, és készítse el a hiányzó vetületeiket.

1. Mentálisan helyezze el a poliédert a vetületi síkok rendszerébe úgy, hogy az alapja D ABC║P 1, éle pedig AC║P 3 (31. ábra).

2. Mentálisan mutassa be az alapsíkokat: S║P 1 és az alappal egybeeső (D ABC);

D║P 2 és egybeesik az AC éllel. Megépítjük az S 2, S 3, D 1, D 3 alapvonalakat (32. ábra).

3. Vízszintes, majd frontális és végül

a gúla profilvetülete (lásd 32. ábra).

4. Elemezzük az élek és lapok helyzetét a gúla összetett rajzán, figyelembe véve az egyenesek és síkok helyzetének kiindulási adatait és osztályozóit (11,14. o.).

Bordák: AB, BC ─ vízszintes; AC ─ profilvetítés; AS, SC ─ általános álláspont; SB ─ profilszint. Arcok: ASB, BSC ─ általános pozíció; ABC ─vízszintes szint; ASC ─ profil-kivetítés.

5. Megszerkesztjük a piramis lapjain fekvő pontok hiányzó vetületeit a „pontok síkhoz tartozása” attribútummal. Segédvonalként vízszintes vonalakat vagy tetszőleges vonalakat használunk. A pontok profilvetületeit úgy készítjük, hogy vízszintes kapcsolódási vonalak mentén ábrázoljuk a pontok mélységét (az Y tengely irányában), amelyeket a vízszintes vetületen mérünk (lásd 8., 17. oldal).

Rizs. 30 Fig. 31 Fig. 32

Poliéderek és forradalomtestek

Az USP „Első lépések az űrbe” keretein belül

Csapat "Prémfókák", Novokuznyeck

"Navy Seals"?

A szőrfókák nem csak aranyosak, de nagyon okosak is. Könnyen nevelhetők. A macskáknak nagyszerű beépített navigációs rendszerük van. Annak ellenére, hogy iskolai állatok, a prémfókák egyedül járnak vadászni, és általában egyéniséget mutatnak. Azért neveztük magunkat ezeknek az állatoknak, mert sok mindenben szeretnénk hozzájuk hasonlítani, bátrak és okosak lenni, mert ezeket az állatokat gyakran alábecsülik.

A csapat mottója:

Mi Navy SEAL-ek vagyunk Aktív és okos Mottónk mindössze három szó, Mosolyogni menő!

Versek a geometriai formákról

Van egy piramis a világon -

Csodálatos tárgy

Egyiptomban épült

De itt van egy titok mindenki számára.

Szóval körbejárok a lakásban és körülnézek magam körül, És forgó testek vesznek körül mindenhol. Az ablakon egy kúp alakú játék található. De a teásdoboz henger alakot öltött.

A konyhában hűtőszekrény található Paralelepipedon alakú. Mint a négyzete Hat oldal az arcon Vannak azonban különbségek

A kockának egyenlő oldalai vannak

És neki az ellenkezője van.

Bevallom neked prizma, Hát nagyon szeszélyes. Megtévesztés nélkül mondom De olyan sokrétű (szerző: Natalya U.)

És a legjobb figura a kocka!

Felteszem a fogam

És minden él és él benne,

Pontosan derékszögben

Poliéderek és forradalomtestek a környező világ tárgyaiban

Hipotézis: A környező világ számos objektumában poliédereket és forradalomtesteket láthatunk

poliéder -

Olyan geometriai test, amelynek felülete véges számú sík sokszögből áll.

Prizma -

Egy poliéder, amelynek két lapja n-szögű, a többi lapja paralelogramma.

párhuzamos csövű -

Prizma, amelynek alapjai paralelogrammák.

Kocka -

Téglalap alakú paralelepipedonnal egyenlő méretűek. A kocka minden lapja egyenlő négyzet.

piramis -

Olyan poliéder, amelynek alapja sokszög, a többi lapja pedig olyan háromszög, amelynek közös csúcsa van.

Csonka piramis -

Olyan poliéder, amelynek csúcsai az alap csúcsai és az alappal párhuzamos sík szerinti metszetének csúcsai.

A forradalom testei -

A lakás forgásából származó térfogattestek geometriai alakzat, görbe által határolt, egy síkban fekvő tengely körül.

henger -

Egy téglalap oldalát tartalmazó tengely körüli elforgatásával kapott ábra.

Kúp -

Forgatással kapott ábra derékszögű háromszög a tengely körül.

Következtetés

A vizsgálat során megerősítettük hipotézisünket, és megbizonyosodtunk arról, hogy a körülöttünk lévő világban számos objektum forradalom és poliéder alakú.

Hipotézis:

NINCS TÁBLA A MŰVÉSZET VILÁGA KÖZÖTT

ÉS A GEOMETRIA VILÁGA.

A híres művész, aki szerette a geometriát, Albrecht Durer (1471-1528), egy híres metszetben "Melankólia"

az előtérben

követ ábrázolt poliéder .

holland művész Moritz Cornilis Escher (1898-1972) egyedi és lebilincselő alkotásokat készített, amelyek matematikai ötletek széles skáláját használják fel vagy jelenítik meg.

A szabályos geometrikus testek - poliéderek - különleges varázst jelentettek Escher számára. Sok művében a poliéder a főszerep, és még sok másban is több művek segédelemként találhatók.

"Négy test" Escher ábrázolta a fő szabályos poliéderek metszéspontját, amelyek ugyanazon a szimmetriatengelyen helyezkednek el, ráadásul a poliéderek áttetszőnek tűnnek, és bármelyikükön keresztül látható a többi.

Egy sztár elegáns példája dodekaéder munkáiban megtalálható – Rend és káosz. Ebben az esetben a csillagpoliéder egy üveggömb belsejébe kerül. Ennek a dizájnnak aszketikus szépsége ellentétben áll az asztalon véletlenszerűen szétszórt szeméttel.

Legtöbb érdekes munka Escher - gravírozás "Csillagok" amelyen a tetraéderek, kockák és oktaéderek kombinálásával kapott testek láthatók.

Ha Escher csak a poliéderek különféle változatait ábrázolta volna ebben a művében, soha nem tudtunk volna róla. De valamiért kaméleonokat helyezett el a központi alak belsejében, hogy megnehezítsük az egész alak észlelését.

A képen "Gravitáció" ábrázolva dodekaéder , amelyet tizenkét lapos ötágú csillag alkot. Mindegyik helyen él egy-egy hosszú nyakú, négylábú, farkatlan fantasztikus állat; teste piramisban van, melynek lyukaiba kidugja végtagjait, a piramis teteje a szomszéd szörny lakásának egyik fala .

A művész festményén Salvador Dali "Az utolsó vacsora" Krisztust és tanítványait egy hatalmas, átlátszó dodekaéder háttere ábrázolja.

A régiek szerint az Univerzum dodekaéder alakú volt, i.e. azt hitték, hogy egy szabályos dodekaéder felületéhez hasonló boltozatban élünk.

Következtetés:

A HIPOTÉZIS BIZONYÍTOTT, A GEOMETRIAI ÁBRÁK, A POLIHÉDEK A GEOMETRIA ALAPVETŐ RÉSZE. NAGY MŰVÉSZEK ALKALMAZÁSÁVAL BIZONYÍTOTTUK, HOGY NINCS DIMENZIÓ A MŰVÉSZET ÉS A GEOMETRIA KÖZÖTT.

Hogyan járul hozzá a geometria az emberi kultúra fejlődéséhez?

A művészet a valóság megértésének és tükrözésének sajátos módja. A művészet fejleszti az ember spirituális kultúráját. A nagy művészek munkáit elemezve kétségtelenül kijelenthetjük, hogy nincs határ a művészet világa és a geometria világa között. Ez azt jelenti, hogy a geometria fejleszti az intellektuális, kreativitás emberi, átvitt és térbeli gondolkodás Ezért ez a tudomány az emberi kultúra szerves része.

Gondolattérkép „Poliéderek és forgástestek a városomban működő vállalkozások termékeiben”

Hol él a geometria a városodban?

Városunkban mindenhol él a geometria!!! Minek építészeti szerkezet ne nézd, feltétlenül poliédereket és forgástesteket tartalmaz. Egy épületben összegyűjtve egyedi, utánozhatatlan, ötletes épületeket hoznak létre!!!

Felhasznált irodalom:

• http://www.uzluga.ru/potrb/Polyhedron+–+ez+egy+egy+test, amelynek felülete+egy+véges+számú+lapos+poligonbólb/part-5.html
• http://kamensky.perm.ru/proj/mng/01.htm
• http://www.liveinternet.ru/tags/%FD%F8%E5%F0/page3.html
• http://www.distedu.ru/mirror/_math/www.tmn.fio.ru/works/26x/304/d9_3.htm
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Escher,_Maurits_Cornelis
• http://www.propro.ru/graphbook/graphbook/book/001/027.htm
• http://math4school.ru/mnogogranniki.html

A prezentáció képekkel, dizájnnal és diákkal való megtekintéséhez, töltse le a fájlt, és nyissa meg a PowerPointban a számítógépén.
A bemutató diák szöveges tartalma: Poliéderek és a forradalom testei Evgenia Valentinovna Ponarina MBOU Középiskola 432016 Voronezh Poliéder Egy testet, amelyet lapos sokszögek határolnak, poliédernek neveznek. A poliéder felületét alkotó sokszögeket lapoknak nevezzük. Ezeknek a sokszögeknek az oldalai a poliéderek élei. A sokszögek csúcsai a poliéderek csúcsai. Polyhedra Polyhedra PrismParallelepipedPyramid Elements of polyhedra Faces: ABCD, AA1B1B, AA1D1D, CC1B1B, CC1D1D, A1B1C1D1 Edges: AB, BC, CD, DA, AA1, BB1, CC1, DD1, A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 Ver tires:A, B , C, D, A1, B1, C1, D1 PrismOp: A prizma egy poliéder, amely két egyenlő sokszögből áll párhuzamos síkokés n paralelogramma Sokszög - prizma alapjai Paralelogrammok - prizma lapjai Sokszögek csúcsait összekötő párhuzamos szakaszok - prizma oldalélei Prizma Egyenes prizma Ferde prizma Szabályos prizma Def: A prizmát egyenesnek nevezzük, ha oldalélei merőlegesek. az alapok Def: A prizmát ferdenek nevezzük, ha az oldalélei nem merőlegesek az alapokra, és nem dőlnek be egy bizonyos szögben paralelepipedon téglalappal Definíció: A kockát ún kocka alakú, amelynek minden éle egyenlő. Piramis Def: egy n-szögű piramis egy tetszőleges n-szögű, a többi lap pedig olyan háromszög, amelynek közös csúcsa van. Az A1A2...An sokszöget S pontnak nevezzük a piramis csúcsa SA1, SA2 ... SAn oldalélek piramisok.ΔA1SA2 ... ΔAn-1SAn – a gúla oldallapjai. Szabályos piramis Def: A piramist szabályosnak nevezzük, ha az alapja szabályos sokszög, és a csúcsot az alap középpontjával összekötő szakasz a magassága. (SO - magasság) Def: A piramis magassága a gúla tetejétől az alap síkjára húzott merőleges szakasz, valamint ennek a szakasznak a hossza Def: Középpontja szabályos sokszög a beleírt vagy körülírt kör középpontjának nevezzük. Def: Egy szabályos gúla csúcsából húzott oldallapjának magasságát nevezzük ennek a piramisnak a h - apotémának. Feladat Néhány ábra a képen poliéderek, és néhányan nem. Milyen számok alatt láthatók a poliéderek? Feladat: A képen látható poliéderek egy része piramis, néhány pedig nem. Milyen számok alatt vannak a piramisok? ForradalomtestekA forgástest egy lapos sokszög tengely körüli elforgatásával kapott alakzat. ForgástestekCylinderConeBall, gömb CylinderDef: A derékszögű körhenger egy olyan alakzat, amelyet két egyenlő kör alkot, amelyek síkjai merőlegesek a középpontjukon átmenő egyenesre, valamint az ezzel az egyenessel párhuzamos összes szakasz, amelynek vége a kör kerületén van. ezek a körök. A henger elemei: A hengert alkotó két kört alapnak nevezzük. Def: A henger alapjának sugarát nevezzük ennek a hengernek a sugarának. Def: A henger alapjainak középpontjain áthaladó egyenest a tengelyének nevezzük és ennek a szakasznak a hosszát a henger magasságának nevezzük. Def: A henger tengelyével párhuzamos szakaszt, amelynek végei az alapjainak körein vannak, az adott henger generátorának nevezzük. A ConeOp henger metszetei: Tekintsünk egy L kört, amelynek középpontja O és egy OP szakasza merőleges ennek a körnek a síkjára. A kör minden pontját egy szegmenssel összekötjük egy P ponttal. Az ezen szakaszok által alkotott felületet kúpos felületnek nevezzük, és maguk a szakaszok a generátorai ennek a felületnek, amelyet egy kúpos felület és egy határvonal határol L-t kúpnak nevezzük. A kúpot úgy kapjuk meg, hogy egy ABC derékszögű háromszöget forgatunk az AB láb körül. Kúp: A kúpos felületet oldalfelületnek nevezzük, a kör pedig a kúp alapja. Az OP szakaszt magasságnak, az OP egyenest a kúp tengelyének nevezzük. A P pontot a kúp csúcsának nevezzük A kúpos felület generátorait a kúp generátorainak is nevezzük, az R kör sugarát a kúp sugarának. Kúp metszete A kúp tengelyére merőleges α síkmetszete A kúp tengelyirányú metszete egyenlő szárú háromszög Gömb Definíció: A gömb a térben egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. adott pont. Ezt a pontot a gömb középpontjának nevezzük. Def: A gömb bármely pontját és középpontját összekötő szakaszt, valamint ennek a szakasznak a hosszát a gömb sugarának nevezzük A gömböt a labda határának vagy felületének nevezzük, a gömb középpontja pedig a labda közepe. Gömb Azokat a pontokat, amelyek távolsága a gömb középpontjától kisebb, mint a gömb sugara, azokat a pontokat, amelyek távolsága a gömb középpontjától nagyobb, mint a gömb sugara, a gömb külső pontjainak nevezzük. Gömb A gömb két pontját összekötő szakaszt a gömb (gömb) húrjának nevezzük.