Tekintsünk egy görbült trapézt, amelyet az Ox tengely határol, az y=f(x) görbét és két egyenest: x=a és x=b (85. ábra). Vegyünk egy tetszőleges x értéket (csak nem a és nem b). Adjunk neki h = dx növekményt, és tekintsünk egy AB és CD egyenesekkel határolt sávot, az Ox tengelyt és a vizsgált görbéhez tartozó BD ívet. Ezt a csíkot nevezzük elemi csíknak. Egy elemi szalag területe eltér az ACQB téglalap területétől a BQD görbe vonalú háromszöggel, és ez utóbbi területe kisebb, mint a BQDM téglalap területe, amelynek oldalai BQ = =h= dx) QD=Ay és terület egyenlő haAy = Ay dx. Ahogy a h oldal csökken, a Du oldal is csökken, és a h-val egyidejűleg nullára hajlik. Ezért a BQDM területe másodrendű végtelenül kicsi. Egy elemi szalag területe a terület növekménye, az ACQB téglalap területe pedig AB-AC ==/(x) dx> a terület differenciálja. Következésképpen magát a területet a differenciáljának integrálásával találjuk meg. A vizsgált ábrán belül az l: független változó a-ról b-re változik, így a szükséges 5 terület 5= \f(x) dx lesz. (I) 1. példa Számítsuk ki az y - 1 -x* parabola, az X =--Fj-, x = 1 egyenesek és az O* tengely által határolt területet (86. ábra). ábrán 87. ábra. 86. 1 Itt f(x) = 1 - l?, az integrálás határai a = - és £ = 1, ezért J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 2. példa Számítsuk ki az y = sinXy szinusz, az Ox tengely és az egyenes által határolt területet (87. ábra). Az (I) képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf 3. példa Számítsa ki a mellékelt ^у = sin jc szinusz íve által határolt területet két szomszédos metszéspont között az Ox tengellyel (például az origó és az i abszcissza pont között). Vegye figyelembe, hogy geometriai megfontolások alapján egyértelmű, hogy ez a terület kétszerese lesz több területet előző példa. Azonban végezzük el a számításokat: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Valóban, a feltevésünk helyesnek bizonyult. 4. példa Számítsa ki a szinusz és az Ox tengely által egy periódusban határolt területet (88. ábra). Az előzetes számítások azt sugallják, hogy a terület négyszer nagyobb lesz, mint a 2. példában. A számítások elvégzése után azonban azt kapjuk, hogy „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ez az eredmény pontosítást igényel. A dolog lényegének tisztázására kiszámoljuk azt a területet is, amelyet ugyanaz a szinuszos y = sin l: és az Ox tengely határol az l-től 2i-ig terjedő tartományban. Az (I) képlet alkalmazásával 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 kapjuk. Így azt látjuk, hogy ez a terület negatívnak bizonyult. Összehasonlítva a 3. feladatban kiszámított területtel, azt találjuk, hogy abszolút értékük megegyezik, de az előjelek eltérőek. Ha az V tulajdonságot alkalmazzuk (lásd XI. fejezet, 4. §), akkor 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ami ebben a példában történt, az nem véletlen. Mindig az Ox tengely alatti területet kapjuk, feltéve, hogy a független változó balról jobbra változik, ha integrálok segítségével számítjuk ki. Ezen a tanfolyamon mindig figyelembe vesszük a táblák nélküli területeket. Ezért az imént tárgyalt példában a válasz a következő lesz: a szükséges terület 2 + |-2| = 4. Példa 5. Számítsuk ki az ábrán látható BAB területét! 89. Ezt a területet az Ox tengely, az y = - xr parabola és az y - = -x+\ egyenes korlátozza. A görbe vonalú trapéz területe A szükséges OAB terület két részből áll: OAM és MAV. Mivel az A pont egy parabola és egy egyenes metszéspontja, a koordinátáit a 3 2 Y = mx egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. (csak meg kell találnunk az A pont abszcisszáját). A rendszert megoldva azt találjuk, hogy l; = ~. Ezért a területet részekben, első négyzetben kell kiszámítani. OAM, majd pl. MÁV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x. Vagyis nem veszik figyelembe az olyan vonalakat, mint például a gomba vágása, amelynek szára jól illeszkedik ebbe a szegmensbe, és a sapka sokkal szélesebb.

Az oldalszegmensek pontokká degenerálódhatnak . Ha ilyen ábrát lát a rajzon, ez nem zavarhatja meg, mivel ennek a pontnak mindig az „x” tengelyen van az értéke. Ez azt jelenti, hogy az integráció határaival minden rendben van.

Most áttérhet a képletekre és a számításokra. Tehát a terület s görbe trapéz kiszámítható a képlet segítségével

Ha f(x) ≤ 0 (a függvény grafikonja a tengely alatt található Ökör), Ez egy ívelt trapéz területe képlettel lehet kiszámítani

Vannak olyan esetek is, amikor mind a felső, mind a alsó határ az ábrák függvények, ill y = f(x) És y = φ (x) , akkor egy ilyen szám területét a képlet számítja ki

. (3)

A problémák közös megoldása

Kezdjük azokkal az esetekkel, amikor egy ábra területe kiszámítható az (1) képlet segítségével.

1. példaÖkör) és egyenes x = 1 , x = 3 .

Megoldás. Mert y = 1/x> 0 a szakaszon, akkor a görbe vonalú trapéz területét az (1) képlet segítségével találjuk meg:

.

2. példa Keresse meg az ábra azon területét, amelyet a függvény, egyenes grafikonja határol x= 1 és x-tengely ( Ökör ).

Megoldás. Az (1) képlet alkalmazásának eredménye:

Ha akkor s= 1/2; ha akkor s= 1/3 stb.

3. példa Keresse meg az ábra azon területét, amelyet a függvény grafikonja, az abszcissza tengely határol ( Ökör) és egyenes x = 4 .

Megoldás. A feladat feltételeinek megfelelő ábra egy görbe vonalú trapéz, amelyben a bal oldali szakasz ponttá degenerálódott. Az integrálás határai 0 és 4. Mivel az (1) képlet segítségével megtaláljuk a görbe vonalú trapéz területét:

.

4. példa Keresse meg az ábra területét, vonalak korlátozzák, , és az 1. negyedévben található.

Megoldás. Az (1) képlet használatához képzeljük el a példa feltételei által adott ábra területét a háromszög területének összegeként OABés ívelt trapéz ABC. A háromszög területének kiszámításakor OAB az integráció határai a pontok abszcisszái OÉs A, és a figurához ABC- pontok abszcisszán AÉs C (A az egyenes metszéspontja O.A.és parabolák, és C- a parabola és a tengely metszéspontja Ökör). Egy egyenes és egy parabola egyenleteit együttesen (rendszerként) megoldva megkapjuk (a pont abszcisszáját A) és (az egyenes és a parabola másik metszéspontjának abszcisszája, amely nem szükséges a megoldáshoz). Hasonlóképpen megkapjuk a , (pontok abszcisszán CÉs D). Most minden megvan, ami egy figura területének megtalálásához szükséges. Találjuk:

5. példa Keresse meg az ívelt trapéz területét ACDB, ha a görbe egyenlete CDés abszciszák AÉs B 1, illetve 2.

Megoldás. Fejezzük ki a görbe egyenletét a játékon keresztül: A görbe vonalú trapéz területét az (1) képlet segítségével találjuk meg:

.

Térjünk át azokra az esetekre, amikor egy ábra területe kiszámítható a (2) képlet segítségével.

6. példa. Keresse meg az ábra parabola és az x tengely által határolt területét ( Ökör ).

Megoldás. Ez az ábra az x tengely alatt található. Ezért a terület kiszámításához a (2) képletet használjuk. Az integráció határai az abszcissza és a parabola metszéspontjai a tengellyel Ökör. Ezért,

7. példa. Keresse meg az abszcissza tengely közé eső területet ( Ökör) és két szomszédos szinuszhullám.

Megoldás. Az ábra területét a (2) képlet segítségével találhatjuk meg:

.

Keressük az egyes kifejezéseket külön:

.

.

Végül megtaláljuk a területet:

.

8. példa. Keresse meg a parabola és a görbe közé zárt ábra területét.

Megoldás. Fejezzük ki a vonalak egyenleteit a játékon keresztül:

A (2) képlet szerinti területet így kapjuk

,

Ahol aÉs b- pontok abszcisszán AÉs B. Keressük meg őket az egyenletek közös megoldásával:

Végül megtaláljuk a területet:

És végül olyan esetek, amikor egy ábra területe a (3) képlet segítségével kiszámítható.

9. példa. Keresse meg a parabolák közé zárt ábra területét És .

Az előző részben az elemzésről geometriai jelentése határozott integrál, számos képletet kaptunk egy görbe vonalú trapéz területének kiszámításához:

S (G) = ∫ a b f (x) d x folytonos és nem negatív y = f (x) függvényre az [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x y = f (x) folytonos és nem pozitív függvényre az [ a ; b ] .

Ezek a képletek viszonylag egyszerű feladatok megoldására alkalmazhatók. A valóságban gyakran bonyolultabb figurákkal kell dolgoznunk. Ebben a tekintetben ezt a részt az olyan ábrák területének kiszámítására szolgáló algoritmusok elemzésének szenteljük, amelyeket a függvények explicit formában korlátoznak, pl. mint például y = f(x) vagy x = g(y).

Tétel

Legyen az y = f 1 (x) és y = f 2 (x) függvény definiált és folytonos az [ a ; b ] , és f 1 (x) ≤ f 2 (x) bármely x értékre [a ; b ] . Ekkor az x = a, x = b, y = f 1 (x) és y = f 2 (x) egyenesekkel határolt G ábra területének kiszámítására szolgáló képlet így fog kinézni: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Hasonló képlet alkalmazható az y = c, y = d, x = g 1 (y) és x = g 2 (y) egyenesekkel határolt alakzat területére is: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Bizonyíték

Nézzünk meg három olyan esetet, amelyekre a képlet érvényes lesz.

Az első esetben, figyelembe véve a terület additivitásának tulajdonságát, az eredeti G ábra és a görbe vonalú G1 trapéz területének összege megegyezik a G2 ábra területével. Ez azt jelenti

Ezért S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Az utolsó átmenetet a határozott integrál harmadik tulajdonságával tudjuk végrehajtani.

A második esetben az egyenlőség igaz: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Ha mindkét függvény nem pozitív, akkor a következőt kapjuk: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . A grafikus illusztráció így fog kinézni:

Térjünk át arra az általános esetre, amikor y = f 1 (x) és y = f 2 (x) metszi az O x tengelyt.

A metszéspontokat x i, i = 1, 2, -vel jelöljük. . . , n - 1 . Ezek a pontok felosztják a szakaszt [a; b ] n részre x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, ahol α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ezért,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Az utolsó átmenetet a határozott integrál ötödik tulajdonságával végezhetjük el.

Illusztráljuk az általános esetet a grafikonon.

Az S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x képlet bizonyítottnak tekinthető.

Most menjünk tovább az y = f (x) és x = g (y) egyenesek által határolt ábrák területének kiszámítására vonatkozó példák elemzésére.

A példák bármelyikének vizsgálatát egy gráf felépítésével kezdjük. A kép lehetővé teszi számunkra, hogy összetett alakokat több egységként ábrázoljunk egyszerű figurák. Ha nehézségeket okoz a grafikonok és ábrák készítése rájuk, tanulmányozhatja az alapokról szóló részt elemi függvények, függvénygráfok geometriai transzformációja, valamint a függvény vizsgálata során gráfok felépítése.

1. példa

Meg kell határozni az ábra területét, amelyet az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola és az y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 egyenesek korlátoznak.

Megoldás

Rajzoljuk be a vonalakat a grafikonon Descartes-rendszer koordináták

A szakaszon [ 1 ; 4 ] az y = - x 2 + 6 x - 5 parabola grafikonja az y = - 1 3 x - 1 2 egyenes felett helyezkedik el. Ebben a tekintetben a válasz megszerzéséhez a korábban kapott képletet, valamint a határozott integrál kiszámításának módszerét használjuk a Newton-Leibniz képlet segítségével:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Válasz: S(G) = 13

Nézzünk egy összetettebb példát.

2. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x + 2, y = x, x = 7 vonalak határolnak.

Megoldás

Ebben az esetben csak egyetlen egyenesünk van, amely párhuzamos az x tengellyel. Ez x = 7. Ez megköveteli, hogy magunk találjuk meg az integráció második határát.

Építsünk egy gráfot, és ábrázoljuk rajta a problémafelvetésben megadott egyeneseket.

Ha a gráf a szemünk előtt van, könnyen megállapíthatjuk, hogy az integráció alsó határa az y = x egyenes és az y = x + 2 félparabola grafikonja metszéspontjának abszcisszája lesz. Az abszcissza meghatározásához az egyenlőségeket használjuk:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Kiderül, hogy a metszéspont abszcisszája x = 2.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy in általános példa a rajzon az y = x + 2, y = x egyenesek a (2; 2) pontban metszik egymást, így az ilyen részletes számítások szükségtelennek tűnhetnek. Csak azért adtunk itt ilyen részletes megoldást, mert többben nehéz esetek a megoldás nem biztos, hogy olyan nyilvánvaló. Ez azt jelenti, hogy mindig jobb az egyenesek metszéspontjának koordinátáit analitikusan kiszámítani.

Az intervallumon [ 2 ; 7] az y = x függvény grafikonja az y = x + 2 függvény grafikonja felett helyezkedik el. Alkalmazzuk a képletet a terület kiszámításához:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Válasz: S (G) = 59 6

3. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = 1 x és y = - x 2 + 4 x - 2 függvények grafikonjai korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a vonalakat a grafikonon.

Határozzuk meg az integráció határait. Ehhez az 1 x és - x 2 + 4 x - 2 kifejezések egyenlővé tételével határozzuk meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit. Feltéve, hogy x nem nulla, az 1 x = - x 2 + 4 x - 2 egyenlőség ekvivalenssé válik a harmadfokú - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 egyenlettel egész együtthatókkal. Az ilyen egyenletek megoldására szolgáló algoritmus emlékezetének felfrissítéséhez olvassa el a „Köbös egyenletek megoldása” című részt.

Ennek az egyenletnek a gyöke x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Az - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 kifejezést elosztva az x - 1 binomiálissal, a következőt kapjuk: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

A maradék gyököket az x 2 - 3 x - 1 = 0 egyenletből találhatjuk meg:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Megtaláltuk az x ∈ 1 intervallumot; 3 + 13 2, amelyben a G ábra a kék felett és a piros vonal alatt található. Ez segít meghatározni az ábra területét:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Válasz: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x 3, y = - log 2 x + 1 görbék és az abszcissza tengely korlátoznak.

Megoldás

Ábrázoljuk a grafikonon az összes vonalat. Az y = log 2 x grafikonból megkaphatjuk az y = - log 2 x + 1 függvény grafikonját, ha szimmetrikusan pozícionáljuk az x tengelyre, és egy egységgel feljebb mozgatjuk. Az x tengely egyenlete y = 0.

Jelöljük az egyenesek metszéspontjait.

Amint az ábrán látható, az y = x 3 és y = 0 függvények grafikonjai a (0; 0) pontban metszik egymást. Ez azért történik, mert az x = 0 az x 3 = 0 egyenlet egyetlen valódi gyöke.

x = 2 az egyetlen gyöke a - log 2 x + 1 = 0 egyenletnek, így az y = - log 2 x + 1 és y = 0 függvények grafikonjai a (2; 0) pontban metszik egymást.

x = 1 az x 3 = - log 2 x + 1 egyenlet egyetlen gyöke. Ebben a tekintetben az y = x 3 és y = - log 2 x + 1 függvények grafikonjai az (1; 1) pontban metszik egymást. Lehet, hogy az utolsó állítás nem nyilvánvaló, de az x 3 = - log 2 x + 1 egyenletnek nem lehet több gyöke, mivel az y = x 3 függvény szigorúan növekvő, az y = - log 2 x + 1 függvény pedig szigorúan csökken.

A további megoldás több lehetőséget is magában foglal.

1. lehetőség

Elképzelhetjük a G ábrát az x tengely felett elhelyezkedő két görbe vonalú trapéz összegeként, amelyek közül az első található alatta középvonal az x ∈ 0 szakaszon; 1, a második pedig a piros vonal alatt van az x ∈ 1 szakaszon; 2. Ez azt jelenti, hogy a terület egyenlő lesz S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

2. lehetőség

A G ábra két ábra különbségeként ábrázolható, amelyek közül az első az x tengely felett és a kék vonal alatt található az x ∈ 0 szakaszon; 2, a második pedig az x ∈ 1 szakasz piros és kék vonalai között; 2. Ez lehetővé teszi, hogy a következőképpen találjuk meg a területet:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Ebben az esetben a terület megtalálásához egy S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y képletet kell használnia. Valójában az ábrát határoló vonalak az y argumentum függvényeiként ábrázolhatók.

Oldjuk meg az y = x 3 és - log 2 x + 1 egyenleteket x vonatkozásában:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Megkapjuk a szükséges területet:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Válasz: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5. példa

Ki kell számítani az ábra területét, amelyet az y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 vonalak korlátoznak.

Megoldás

Rajzolunk egy vonalat a grafikonon egy piros vonallal, függvény adja meg y = x. Az y = - 1 2 x + 4 vonalat kékkel, az y = 2 3 x - 3 vonalat feketével húzzuk.

Jelöljük meg a metszéspontokat.

Keressük meg az y = x és y = - 1 2 x + 4 függvények grafikonjainak metszéspontjait:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Ellenőrizze: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nem az x 2 = egyenlet megoldása 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 a ⇒ (4; 2) egyenlet megoldása i y = x és y = - 1 2 x metszéspont + 4

Keressük meg az y = x és y = 2 3 x - 3 függvények grafikonjainak metszéspontját:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Ellenőrizze: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 a ⇒ (9 ; 3) egyenlet megoldása, pont a s y = x és y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Az egyenletnek nincs megoldása

Keressük meg az y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3 egyenesek metszéspontját:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) metszéspont y = - 1 2 x + 4 és y = 2 3 x - 3

1. számú módszer

Képzeljük el a kívánt ábra területét az egyes figurák területének összegeként.

Ekkor az ábra területe:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

2. számú módszer

Az eredeti ábra területe két másik ábra összegeként is ábrázolható.

Ezután megoldjuk az x-hez viszonyított egyenes egyenletét, és csak ezután alkalmazzuk az ábra területének kiszámításának képletét.

y = x ⇒ x = y 2 piros vonal y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 fekete vonal y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Tehát a terület:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 év + 9 2 - - 2 év + 8 é + ∫ 2 3 3 2 év + 9 2 - y 2 é = = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 é 2 + ∫ 3 3 2 év + 9 2 - y 2 nap y = = 7 4 év 2 - 7 4 év 1 2 + - y 3 3 + 3 év 2 4 + 9 2 év 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Mint látható, az értékek ugyanazok.

Válasz: S (G) = 11 3

Eredmények

Ahhoz, hogy megtaláljuk egy alakzat azon területét, amelyet adott vonalak határolnak, vonalakat kell megszerkesztenünk egy síkon, meg kell találnunk a metszéspontjaikat, és a képlet segítségével meg kell találnunk a területet. Ebben a részben a feladatok leggyakoribb változatait vizsgáltuk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt