Sok differenciálegyenletrendszer, mind homogén, mind inhomogén, egy egyenletre redukálható egy ismeretlen függvényre. Mutassuk meg példákkal a módszert.

Példa 3.1. Oldja meg a rendszert

Megoldás. 1) Megkülönböztetés a szerint t az első egyenletet, és a második és harmadik egyenlet felhasználásával helyettesítjük És , találjuk

Az eredményül kapott egyenletet megkülönböztetjük újra

1) Létrehozunk egy rendszert

A rendszer első két egyenletéből fejezzük ki a változókat És keresztül
:

Helyettesítsük a talált kifejezéseket! És a rendszer harmadik egyenletébe

Tehát a függvény megtalálásához
egy harmadrendű differenciálegyenletet kapott állandó együtthatókkal

.

2) Az utolsó egyenletet a standard módszerrel integráljuk: összeállítjuk a karakterisztikus egyenletet
, találja meg a gyökereit
és alkossanak egy általános megoldást exponenciálisok lineáris kombinációja formájában, figyelembe véve az egyik gyök többszörösét:.

3) Következő, hogy megkeresse a fennmaradó két funkciót
És
, a kapott függvényt kétszer differenciáljuk

A rendszer funkciói közötti kapcsolatok (3.1) segítségével helyreállítjuk a megmaradt ismeretleneket

.

Válasz. ,
,.

Kiderülhet, hogy egy kivételével minden ismert függvény egyetlen differenciálással is kikerül a harmadrendű rendszerből. Ebben az esetben a differenciálegyenlet sorrendje kisebb lesz, mint az eredeti rendszerben található ismeretlen függvények száma.

Példa 3.2. Integrálja a rendszert

(3.2)

Megoldás. 1) Megkülönböztetés a szerint az első egyenletet találjuk

Változók kivételével És egyenletekből

tekintetében lesz egy másodrendű egyenletünk

(3.3)

2) A (3.2) rendszer első egyenletéből kiderül

(3.4)

A (3.2) rendszer harmadik egyenletébe behelyettesítve a talált (3.3) és (3.4) kifejezéseket És , egy elsőrendű differenciálegyenletet kapunk a függvény meghatározásához

Ezt az inhomogén egyenletet állandó elsőrendű együtthatókkal integrálva azt találjuk
A (3.4) segítségével megtaláljuk a függvényt

Válasz.
,,
.

Feladat 3.1. Oldja meg a homogén rendszereket egyetlen differenciálegyenletre redukálva.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletrendszerek megoldása alapvető megoldási rendszer megtalálásával

A lineáris homogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása a rendszer alapvető megoldásainak lineáris kombinációjaként érhető el. Állandó együtthatójú rendszerek esetén lineáris algebrai módszerekkel alapvető megoldásokat találhatunk.

Példa 3.3. Oldja meg a rendszert

(3.5)

Megoldás. 1) Írjuk át a rendszert mátrix alakban

. (3.6)

2) Meg fogjuk keresni a rendszer alapvető megoldását vektor formájában
. Helyettesítő függvények
a (3.6)-ban, és ezzel csökkentve , megkapjuk

, (3.7)

az a szám a mátrix sajátértékének kell lennie
, és a vektor a megfelelő sajátvektor.

3) A lineáris algebra során ismert, hogy a (3.7) rendszernek van nem triviális megoldása, ha a determinánsa nulla

,

vagyis . Innen megtaláljuk a sajátértékeket
.

4) Keresse meg a megfelelő sajátvektorokat! Az első érték behelyettesítése a (3.7)-be
, kapunk egy rendszert az első sajátvektor megtalálására

Innen kapjuk meg az ismeretlenek közötti kapcsolatot
. Elég, ha egy nem triviális megoldást választunk. hinni
, Akkor
, vagyis a vektor a sajátérték sajátja
, és a függvényvektor
adott differenciálegyenlet-rendszer alapvető megoldása (3.5). Hasonlóképpen a második gyökér helyettesítésekor
a (3.7)-ben van egy mátrixegyenletünk a második sajátvektorra
. Hol találjuk a kapcsolatot az összetevői között?
. Így megvan a második alapvető megoldás

.

5) A (3.5) rendszer általános megoldását a két kapott alapmegoldás lineáris kombinációjaként készítjük el.

vagy koordináta formában

.

Válasz.

.

Feladat 3.2. Oldja meg a rendszereket a megoldások alapvető rendszerének megtalálásával.

Alapfogalmak és definíciók Egy pont dinamikájának legegyszerűbb problémája egy differenciálegyenlet-rendszerhez vezet: az anyagi pontra ható erők adottak; keresse meg a mozgástörvényt, azaz keresse meg az x = x(t), y = y(t), z = z(t) függvényeket, kifejezve egy mozgó pont koordinátáinak az időtől való függését. Az ebben az esetben kapott rendszer általános esetben a következő alakú: Itt x, y, z a mozgó pont koordinátái, t az idő, f, g, h argumentumaik ismert függvényei. Az (1) típusú rendszert kanonikusnak nevezzük. Áttérve a t argumentum m ismeretlen függvényével rendelkező m differenciálegyenlet-rendszer általános esetére, kanonikusnak nevezzük a magasabb deriváltokra feloldott alakú rendszert. A kívánt függvények deriváltjaira feloldott elsőrendű egyenletrendszert normálisnak nevezzük. Ha új segédfüggvényeket veszünk, akkor az általános kanonikus rendszer (2) helyettesíthető egy ekvivalens, egyenletekből álló normálrendszerrel. Ezért elegendő csak a normál rendszereket figyelembe venni. Például az egyik egyenlet a kanonikus rendszer speciális esete. Ha ^ = y-t teszünk, az eredeti egyenlet alapján kapunk Ennek eredményeként egy normális egyenletrendszert kapunk DIFFERENCIÁL-EGYENLETRENDSZEREK Integrálási módszerek Kiküszöbölés módszere Integrálható kombinációk módszerei Lineáris differenciálegyenletrendszerek Alapvető mátrix Változási módszer konstansok Lineáris differenciálegyenletrendszerek állandó együtthatókkal Az eredeti egyenlettel egyenértékű mátrix módszer. 1. definíció. A (3) normálrendszer megoldása a t argumentum változtatásának (a, b) intervallumán bármely n függvényből álló, azon az intervallumon differenciálható rendszer, amely a (3) rendszer egyenleteit azonosságokká alakítja t-hez képest az (a, b) intervallumon A (3) rendszer Cauchy-problémája a következőképpen fogalmazódik meg: keressünk olyan megoldást (4) a rendszernek, amely t = pontban kielégíti az 1. Tétel kezdeti feltételeit (a megoldás létezése és egyedisége). Legyen egy normál differenciálegyenletrendszer, és a függvények a t, X\, x2, ..., változók D dimenziótartományában. Ha van egy ft szomszédság, amelyben az ft függvények folytonosak az argumentumhalmazban, és korlátos parciális deriváltjaik vannak az X\, x2, ..., xn változókra vonatkozóan, akkor van egy - A0 intervallum. t változás, amelyen létezik a (3) normálrendszer egyedi megoldása, amely kielégíti a kezdeti feltételeket. 2. definíció. Egy n függvényből álló rendszert, amely tetszőleges állandók tunjától függ, a (3) normálrendszer általános megoldásának nevezzük. A megoldás létezésének és egyediségének Π régiója Cauchy-feladat, ha 1) bármely megengedett érték esetén a (6) függvényrendszer a (3) egyenleteket azonosságokká alakítja, 2) a Π tartományban a (6) függvények bármilyen Cauchy-feladatot megoldanak. . Az általánosból az állandók meghatározott értékein kapott megoldásokat partikuláris megoldásoknak nevezzük. Az érthetőség kedvéért térjünk át a két egyenlet normálrendszerére. A t> X\, x2 értékrendszert egy háromdimenziós térben lévő pont derékszögű derékszögű koordinátáinak tekintjük, az Otx\x2 koordinátarendszerrel. A (7) rendszer megoldása, amely a t - to értékeket veszi fel, meghatároz a térben egy bizonyos ponton áthaladó egyenest) - Ezt az egyenest a normál rendszer (7) integrálgörbéjének nevezik. A (7) rendszer Koshi-feladata a következő geometriai megfogalmazást kapja: a t> X\, x2 változók terében keressük meg az adott Mo(to, x1, x2) ponton átmenő integrálgörbét (1. ábra). Az 1. tétel megállapítja egy ilyen görbe létezését és egyediségét. A (7) normálrendszer és megoldása a következőképpen értelmezhető: a t független változót paraméternek, a rendszer megoldását pedig az x\Ox2 síkon lévő görbe parametrikus egyenleteinek tekintjük. Az X\X2 változók ezt a síkját fázissíknak nevezzük. A fázissíkban a (7) rendszer 0 megoldását, amely t = t0-nál felveszi az x°(, x2, kezdeti értékeket) a ponton átmenő AB görbe ábrázolja. Ezt a görbét pályának nevezzük. A rendszer (7) pályája a fázissíkra vetített integrálgörbe Differenciálegyenletek 2.1 Kiküszöbölési módszer Az integrálás egyik módszere a legmagasabb deriváltra való feloldás. Az új függvényegyenletet bevezetjük a következő normál egyenletrendszerrel: ezt az egy n-ed rendű egyenletet helyettesítjük. ekvivalens az (1) normálrendszerrel, hogy általánosságban elmondható, hogy egy n elsőrendű egyenletből álló normálrendszer ekvivalens a p eliminációs módszerrel differenciálegyenlet-rendszerek integrálása. Ez így van megcsinálva. Legyen egy normál differenciálegyenletrendszerünk. Differenciáljunk a (2) egyenlet közül az elsőt t függvényében. A szorzat cseréje a jobb oldalon van, vagy röviden, a (3) egyenlet ismét differenciált t tekintetében. A (2) rendszer figyelembevételével megkapjuk, vagy ezt a folyamatot folytatva azt találjuk, hogy Tegyük fel, hogy a függvényrendszer determinánsa (Jacobian nem nulla a vizsgált értékekhez. Ekkor a rendszer első egyenletéből álló egyenletrendszer () 2) és az egyenletek megoldhatók lesznek az ismeretlenekre vonatkozóan. A talált kifejezéseket az egyenletbe bevezetve egy n-edrendű egyenletet kapunk, már a felépítésének módszeréből következik, hogy ha) vannak megoldások a rendszerre (2), akkor az X\(t) függvény az (5) egyenlet megoldása lesz. Fordítva, legyen az (5) egyenlet megoldása. Megkülönböztetve ezt a megoldást t függvényében, kiszámítjuk és helyettesítjük a talált értékeket, mint ismert függvényeket. Megmutatható, hogy az így felépített függvényrendszer megoldást jelent a (2) differenciálegyenlet-rendszerre. Példa. Szükséges a rendszer integrálása A rendszer első egyenletét differenciálva, ahonnan a második egyenlet felhasználásával egy másodrendű lineáris differenciálegyenletet kapunk, állandó együtthatókkal, egy ismeretlen függvénnyel. Általános megoldásának megvan a formája. A rendszer első egyenlete alapján megtaláljuk a függvényt. A talált x(t), y(t) függvények könnyen ellenőrizhetők C| bármely értékére és C2 megfelel az adott rendszernek. A függvények olyan formában ábrázolhatók, amelyből látható, hogy a (6) rendszer integrálgörbéi olyan spirális egyenesek, amelyeknek közös tengelye x = y = 0, ami szintén integrálgörbe (3. ábra). ). A (7) képletekben a paramétert kiküszöbölve megkapjuk az egyenletet, hogy egy adott rendszer fázispályái olyan körök, amelyek középpontja a koordináták origójában van - csavarvonalak vetületei egy síkra Ha A = 0, akkor a fázispálya áll egy pont, amelyet a rendszer nyugalmi pontjának neveznek. " Kiderülhet, hogy a függvények nem fejezhetők ki, így nem kapunk az eredeti rendszerrel ekvivalens n-edrendű egyenletet. Íme egy egyszerű példa. Az egyenletrendszer nem helyettesíthető másodrendű x\ vagy x2 egyenletekkel. Ez a rendszer egy pár elsőrendű egyenletből áll, amelyek mindegyike egymástól függetlenül van integrálva, így az integrálható kombinációk módszere A dXi differenciálegyenlet normál rendszereinek integrálása néha integrálható kombinációk módszerével történik. Az integrálható kombináció egy differenciálegyenlet, amely a (8) egyenletek következménye, de már könnyen integrálható. Példa. Rendszer integrálása DIFFERENCIÁL-EGYENLETRENDSZEREK Integrálás módszerei Kiküszöbölés módszere Integrálható kombinációk módszere Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Alapvető mátrix Konstansváltoztatási módszer Konstans együtthatós lineáris differenciálegyenletrendszerek 4. mátrix módszer Ha ezeket az egyenleteket összeadjuk egy taggal integrálható kombináció: A rendszer első egyenletéből tagonként kivonva a másodikat, második integrálható kombinációt kapunk: ahonnan két véges egyenletet találtunk, amelyekből könnyen meghatározható a rendszer általános megoldása: Egy integrálható kombináció lehetővé teszi, hogy megkapjuk a független t változót és az ismeretlen függvényeket összekötő egyenlet. Az ilyen véges egyenletet a (8) rendszer első integráljának nevezzük. Egyébként: a differenciálegyenlet-rendszer (8) első integrálja egy olyan differenciálható függvény, amely nem azonosan állandó, de állandó értéket tart a rendszer bármely integrálgörbéjén. Ha a (8) rendszer n első integrálja található, és ezek mind függetlenek, vagyis a függvényrendszer Jacobi-félesége nem nulla: Egy differenciálegyenletrendszert lineárisnak nevezünk, ha az ismeretlen függvényekre és származékaikra nézve lineáris. szerepel az egyenletben. Egy n elsőrendű lineáris egyenletrendszer normál alakban felírva alakja vagy mátrix alakban a 2. Tétel. Ha minden függvény folytonos egy intervallumon, akkor minden pont kellően kis környezetében., xn) , ahol) teljesülnek a létezési tétel feltételei, és a Causchia-probléma megoldásának egyedisége, ezért minden ilyen ponton áthalad az (1) rendszer egyedi integrálgörbéje. Meghatározás. Legyen egy lineáris homogén rendszerünk, ahol elemes mátrix Egy lineáris homogén rendszer (6) n megoldásából álló rendszert, amely lineárisan független az intervallumtól, fundamentálisnak nevezzük. 6. Tétel. Az ab intervallumon folytonos a-ij(t) együtthatójú lineáris homogén rendszer (6) egy intervallumon alapvető megoldási rendszerének W(t) Wronski-determinánsa az (a) intervallum minden pontjában nem nulla , 6). 7. tétel (egy lineáris homogén rendszer általános megoldásának szerkezetéről). Egy intervallumon folytonos együtthatójú lineáris homogén rendszer általános megoldása a (6) rendszer n megoldásának lineáris kombinációja, amelyek lineárisan függetlenek az a intervallumtól: tetszőleges állandó számok). Az utolsó összefüggéseket integrálva ezeket az értékeket behelyettesítve egy sajátos megoldást találunk a (2) rendszerre: (itt a szimbólum a 4. § függvény egyik antideriváltja. Lineáris differenciálegyenletrendszerek állandó együtthatókkal Tekintsünk egy lineárist Differenciálegyenletrendszer, amelyben az összes együttható konstans Általánosságban elmondható, hogy egy ilyen rendszert egy magasabb rendű egyenletre redukálnak, és ez az egyenlet is lineáris lesz állandó együtthatókkal konstans együtthatók a Laplace-transzformációs módszer. A konstans együtthatós lineáris homogén egyenletrendszerek integrálására szolgáló Euler-módszert a következőkből áll: Euler-módszer Megoldást keresünk arra a rendszerre, ahol az állandók (3) n ismeretlent tartalmazó lineáris homogén algebrai egyenletek an nemtriviális megoldása szükséges és elegendő, ha a determinánsa nullával egyenlő: A (4) egyenletet karakterisztikusnak nevezzük. A bal oldalán van egy n fokú polinom az A-hoz képest. Ebből az egyenletből meghatározzuk az A-nak azokat az értékeit, amelyekre a (3) rendszer nemtriviális megoldásokat tartalmaz, ha a (4) egyenlet összes gyöke különböznek, akkor sorra behelyettesítve őket a (3) rendszerbe, megtaláljuk ennek a rendszernek a megfelelő nemtriviális megoldásait, és ezért az eredeti (1) differenciálegyenlet-rendszerre n megoldást találunk olyan formában, ahol a második index a megoldás számát jelöli, az első pedig az ismeretlen függvény számát. Az így felépített lineáris homogén rendszer (1) n parciális megoldása, mint igazolható, ennek a rendszernek egy alapvető megoldási rendszerét alkotja. Következésképpen az (1) homogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldásának alakja - tetszőleges állandók. Nem vesszük figyelembe azt az esetet, amikor a karakterisztikus egyenletnek több gyöke van. M Megoldást keresünk karakterisztikus egyenlet formájában A (3) rendszer a 01.02 meghatározásához így néz ki: Behelyettesítve honnan kapjuk Ezért, Feltéve, hogy ezért találjuk Ennek a rendszernek az általános megoldása: DIFFERENCIÁL-EGYENLETRENDSZEREK Integrálási módszerek Kiküszöbölés módja Integrálható kombinációk módszere Lineáris differenciálegyenletrendszerek Alapvető mátrix Variációs állandók módszere Konstans együtthatós lineáris differenciálegyenletrendszerek Mátrix módszer Nézzük meg a homogén rendszer integrálásának mátrixmódszerét is (1). Írjuk fel az (1) rendszert mátrixként állandó a,j valós elemekkel. Idézzünk fel néhány fogalmat a lineáris algebrából. A g ФО vektort az A mátrix sajátvektorának nevezzük, ha az A számot az A mátrix sajátértékének nevezzük, amely megfelel a g sajátvektornak, és ez a karakterisztikus egyenlet gyöke, ahol I az azonosságmátrix. Feltételezzük, hogy az A mátrix minden A" sajátértéke eltérő. Ebben az esetben a sajátvektorok lineárisan függetlenek, és van egy n x n T mátrix, amely az A mátrixot átlós alakra redukálja, azaz úgy, hogy a T mátrix oszlopai a sajátvektorok koordinátái. Vezessük be a következő fogalmakat. Legyen B(ξ) egy n × n-mátrix, melynek 6,;(0) elemei a halmazon definiált t argumentum függvényei. A B(f) mátrixot Π-n folytonosnak nevezzük, ha minden eleme 6,j(. f) folytonosak Q-n. Egy B(*) mátrixról azt mondjuk, hogy differenciálható Π-n, ha ennek a mátrixnak minden eleme differenciálható Q-n. Ebben az esetben a B(*) ^p-mátrix deriváltja egy mátrix melynek elemei a B(*) mátrixoszlopvektor megfelelő elemei A mátrixalgebra szabályait figyelembe véve közvetlenül ellenőrizhetjük a képlet érvényességét mivel ^ egy nullmátrix 9. Tétel. Ha az A mátrix sajátértékei eltérőek, akkor a (7) rendszer általános megoldása olyan formában van, ahol - a mátrix sajátvektorai tetszőleges állandó számok bevezetünk egy új ismeretlen vektoroszlopot a képlet szerint, ahol T egy mátrix, amely az A mátrixot átlós alakra redukálja. Behelyettesítve a bal oldali utolsó reláció mindkét oldalát megszorozzuk T 1-gyel, és figyelembe vesszük, hogy. T. 1 AT = А, megkapjuk a rendszert n független egyenletrendszert kaptunk, amely könnyen integrálható: (12) Itt tetszőleges állandó számok vannak. Az egységnyi n-dimenziós oszlopvektorok bevezetésével a megoldás a következő formában ábrázolható. Mivel a T mátrix oszlopai a mátrix sajátvektorai, az A mátrix sajátvektora. Ezért (13) helyett (11) kapjuk meg a (10) képletet: Tehát, ha az A mátrix differenciálegyenlet-rendszerének (7) különböző sajátértékei vannak, a rendszer általános megoldásához: 1) keresse meg a mátrix sajátértékeit az algebrai egyenlet gyökeként 2) keresse meg az összes sajátvektort 3) írja ki a (7) differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását a (10 ) képlet segítségével. 2. példa: Oldja meg a rendszert Mátrix módszer 4 A rendszer A mátrixának alakja 1) Állítsa össze a karakterisztikus egyenletet A karakterisztikus egyenlet gyökerei. 2) Keresse meg a sajátvektorokat A = 4 esetén olyan rendszert kapunk, amelyből = 0|2, így A = 1-re hasonlóan I 3) A (10) képlet segítségével általános megoldást kapunk a differenciálegyenlet-rendszerre. A karakterisztikus egyenlet gyökerei lehetnek valósak és összetettek. Mivel feltételezzük, hogy a (7) rendszer ay együtthatói valósak, a karakterisztikus egyenletnek valós együtthatói lesznek. Ezért az A komplex gyökével együtt lesz egy \* gyöke is, amely komplex konjugált A-val. Könnyen kimutatható, hogy ha g egy sajátvektor, amely megfelel A sajátértékének, akkor A* is egy sajátérték, amelyhez a g* sajátvektornak felel meg, komplex konjugált g-vel.

Kint fülledt idő van, nyárfabolyhok szállnak, ez az időjárás kedvez a kikapcsolódásnak. A tanév során mindenkiben felgyülemlett a fáradtság, de a nyári vakáció/szüneti napok várakozása inspirálja a sikeres vizsgák és vizsgák letételére. Mellesleg a tanárok is tompák a szezonban, úgyhogy hamarosan én is szakítok egy kis időt, hogy leterheljem az agyam. És most ott van a kávé, a rendszeregység ritmikus zümmögése, néhány döglött szúnyog az ablakpárkányon és teljesen működőképes állapot... ...a fenébe is... a kibaszott költő.

A lényegre. Kit érdekel, de ma június 1-je van számomra, és megvizsgáljuk a komplex elemzés egy másik tipikus problémáját - egy differenciálegyenlet-rendszer sajátos megoldásának megtalálása a műveleti számítás módszerével. Mit kell tudnod és mit kell tenned, hogy megtanuld a megoldást? Először is, nagyon ajánlom hivatkozz a leckére. Kérjük, olvassa el a bevezető részt, értse meg a téma általános megfogalmazását, a terminológiát, a jelöléseket és legalább két-három példát. A helyzet az, hogy a diffúzorrendszerekkel minden szinte ugyanolyan és még egyszerűbb lesz!

Természetesen meg kell értened, mi az differenciálegyenlet-rendszer, ami azt jelenti, hogy általános megoldást kell találni a rendszerre és egy adott megoldást a rendszerre.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a differenciálegyenlet-rendszer „hagyományos” módon is megoldható: megszüntetésével vagy a karakterisztikus egyenlet segítségével. A szóban forgó műveleti számítási módszer a távirányító rendszerre alkalmazható, ha a feladat a következőképpen van megfogalmazva:

Keressen megoldást egy homogén differenciálegyenlet-rendszerre , amely megfelel a kezdeti feltételeknek .

Alternatív megoldásként a rendszer heterogén is lehet - „kiegészítő súlyokkal” függvények formájában és a jobb oldalon:

De mindkét esetben figyelni kell a feltétel két alapvető pontjára:

1) Ez kb csak privát megoldásról.
2) A kezdeti feltételek zárójelében vannak szigorúan nullák, és semmi más.

Az általános tanfolyam és algoritmus nagyon hasonló lesz differenciálegyenlet megoldása műveleti módszerrel. A referenciaanyagokból ugyanerre lesz szüksége az eredetik és képek táblázata.

1. példa

, ,

Megoldás: A kezdet triviális: használ Laplace transzformációs táblázatok Térjünk át az eredetiekről a megfelelő képekre. Távirányító rendszerekkel kapcsolatos problémák esetén ez az átmenet általában egyszerű:

Az 1., 2. számú táblázatos képletekkel, figyelembe véve a kezdeti feltételt, megkapjuk:

Mi a teendő a "játékokkal"? Változtassa meg gondolatban az „X”-et a táblázatban „én”-re. Ugyanazokat az 1., 2. transzformációkat alkalmazva, figyelembe véve a kezdeti feltételt, azt találjuk:

Helyettesítsük be a talált képeket az eredeti egyenletbe :

Jelenleg a bal oldali részekben egyenleteket kell összegyűjteni Minden kifejezések, amelyekben vagy jelen van. A jobb oldali részekre az egyenleteket "formalizálni" kell mindenki más feltételek:

Ezután minden egyenlet bal oldalán zárójelet végzünk:

Ebben az esetben a következőket kell elhelyezni az első és a második pozíciókban:

A kapott egyenletrendszer két ismeretlennel általában megoldott Cramer képletei szerint. Számítsuk ki a rendszer fő meghatározóját:

A determináns számításának eredményeként polinomot kaptunk.

Fontos technika! Ez a polinom jobb azonnal próbáld meg figyelembe venni. Ebből a célból meg kell próbálni megoldani a másodfokú egyenletet , de sok másodéves gyakorlott szemű olvasó észreveszi .

Tehát a rendszer fő meghatározója:

A rendszer további szétszerelése, hála Kramernek, szabványos:

Ennek eredményeként azt kapjuk a rendszer operátori megoldása:

A szóban forgó feladat előnye, hogy a törtek általában egyszerűnek bizonyulnak, és sokkal könnyebb kezelni őket, mint a feladatokban lévő törtekkel egy adott megoldás megtalálása egy DE-re az operatív módszer segítségével. Az előérzeted nem csalt meg - a jó öreg bizonytalan együtthatók módszere, melynek segítségével az egyes törteket elemi törtekre bontjuk:

1) Foglalkozzunk az első törttel:

Így:

2) A második törtet egy hasonló séma szerint bontjuk, de helyesebb más állandók (meghatározatlan együtthatók) használata:

Így:

Azt tanácsolom a dumáknak, hogy a felbontott operátormegoldást a következő formában írják le:
- így világosabb lesz a végső szakasz - az inverz Laplace-transzformáció.

A táblázat jobb oldali oszlopát használva térjünk át a képekről a megfelelő eredetikre:

A jó matematikai modor szabályai szerint egy kicsit rendbe tesszük az eredményt:

Válasz:

A választ egy szabványos séma szerint ellenőrizzük, amelyet a leckében részletesen tárgyalunk. Hogyan lehet differenciálegyenlet-rendszert megoldani? Mindig próbálja meg befejezni, hogy nagy pluszt adjon a feladathoz.

2. példa

Műveleti kalkulus segítségével keressen egy adott megoldást az adott kezdeti feltételeknek megfelelő differenciálegyenlet-rendszerre.
, ,

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Hozzávetőleges minta a feladat végső formájából és a válaszból a lecke végén.

Egy nem homogén differenciálegyenlet-rendszer megoldása algoritmikusan nem különbözik attól, hogy technikailag egy kicsit bonyolultabb lesz:

3. példa

Műveleti kalkulus segítségével keressen egy adott megoldást az adott kezdeti feltételeknek megfelelő differenciálegyenlet-rendszerre.
, ,

Megoldás: A Laplace transzformációs tábla használata, a kezdeti feltételek figyelembe vételével , térjünk át az eredetiről a megfelelő képekre:

De ez még nem minden, az egyenletek jobb oldalán magányos állandók találhatók. Mi a teendő olyan esetekben, amikor az állandó teljesen egyedül van önmagában? Erről már volt szó az órán. Hogyan lehet megoldani egy DE-t a műveleti módszerrel. Ismételjük meg: az egyes állandókat gondolatban meg kell szorozni eggyel, és a következő Laplace-transzformációt kell alkalmazni az egységekre:

Helyettesítsük be a talált képeket az eredeti rendszerbe:

A -t tartalmazó kifejezéseket mozgassuk balra, a többit pedig helyezzük a jobb oldalra:

A bal oldalakon zárójelezést végzünk, emellett a második egyenlet jobb oldalát is közös nevezőre hozzuk:

Számítsuk ki a rendszer fő meghatározóját, ne felejtsük el, hogy célszerű azonnal megpróbálni az eredményt faktorozni:
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Menjünk tovább:



Így a rendszer operátori megoldása a következő:

Néha az egyik vagy akár mindkét frakció csökkenthető, néha pedig olyan sikeresen, hogy nem is kell bővíteni semmit! És bizonyos esetekben azonnal kap egy ajándékot, egyébként a lecke következő példája jelzésértékű lesz.

A határozatlan együtthatók módszerével megkapjuk az elemi törtek összegét.

Bontsuk fel az első törtet:

És elérjük a másodikat:

Ennek eredményeként az operátori megoldás a számunkra szükséges formát ölti:

A jobb oldali oszlop használata az eredeti dokumentumokat és képeket tartalmazó táblázatok végrehajtjuk az inverz Laplace transzformációt:

Helyettesítsük be a kapott képeket a rendszer operátori megoldásába:

Válasz: privát megoldás:

Amint látható, egy heterogén rendszerben munkaigényesebb számításokat kell végezni, mint egy homogén rendszerben. Nézzünk még néhány példát szinuszokkal és koszinuszokkal, és ez elég, mivel a probléma szinte minden típusát és a megoldás legtöbb árnyalatát figyelembe veszik.

4. példa

Az operatív kalkulus módszerével keressen egy adott megoldást egy differenciálegyenlet-rendszerre adott kezdeti feltételekkel,

Megoldás: Ezt a példát magam is elemzem, de a megjegyzések csak különleges pillanatokra vonatkoznak. Feltételezem, hogy már jól ismeri a megoldási algoritmust.

Térjünk át az eredetiről a megfelelő képekre:

Helyettesítsük be a talált képeket az eredeti távirányító rendszerbe:

Oldjuk meg a rendszert a Cramer-képletekkel:
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Az eredményül kapott polinom nem faktorizálható. Mi a teendő ilyen esetekben? Abszolút semmi. Ez is megteszi.

Ennek eredményeként a rendszer kezelői megoldása a következő:

Íme a szerencsejegy! Egyáltalán nem szükséges a határozatlan együtthatók módszerét alkalmazni! Az egyetlen dolog, hogy a táblatranszformációk alkalmazásához átírjuk a megoldást a következő formában:

Térjünk át a képekről a megfelelő eredetikre:

Helyettesítsük be a kapott képeket a rendszer operátori megoldásába:

Úgy döntöttünk, hogy ezt a részt a legegyszerűbb d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 alakú differenciálegyenlet-rendszerek megoldásának szenteljük, amelyben a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 - néhány valós szám. Az ilyen egyenletrendszerek megoldásának leghatékonyabb módja az integrációs módszer. Megfontoljuk egy példa megoldását is a témában.

A differenciálegyenlet-rendszer megoldása egy x (t) és y (t) függvénypár lesz, amely a rendszer mindkét egyenletét azonossággá alakíthatja.

Tekintsük a DE rendszer integrálásának módszerét d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2. Adjunk ki x-et a rendszer 2. egyenletéből, hogy az ismeretlen x (t) függvényt kiküszöböljük az 1. egyenletből:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Megkülönböztetjük a 2. egyenletet tés oldja meg a d x d t egyenletét:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 n 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Most cseréljük be az előző számítások eredményét a rendszer 1. egyenletébe:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ dt2 (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Így kiküszöböltük az ismeretlen x (t) függvényt, és egy lineáris inhomogén, 2. rendű differenciálegyenletet kaptunk állandó együtthatókkal. Keressük meg ennek az y (t) egyenletnek a megoldását, és cseréljük be a rendszer 2. egyenletébe. meg fogjuk találni x(t). Feltételezzük, hogy ezzel befejeztük az egyenletrendszer megoldását.

1. példa

Keresse meg a d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3 differenciálegyenlet-rendszer megoldását

Megoldás

Kezdjük a rendszer első egyenletével. Oldjuk meg x-hez képest:

x = d y d t - 2 y + 3

Most differenciáljuk a rendszer 2. egyenletét, ami után megoldjuk d x d t vonatkozásában: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 t d

A számítások során kapott eredményt behelyettesíthetjük a távirányító rendszer 1. egyenletébe:

d x d t = x - 1 n 2 év d t 2 - 2 n y d t = n n d t - 2 év + 3 - 1 n 2 év d t 2 - 3 n y d t + 2 y = 2

A transzformációk eredményeként d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 állandó együtthatójú 2. rendű lineáris inhomogén differenciálegyenletet kaptunk. Ha megtaláljuk az általános megoldását, megkapjuk a függvényt y(t).

A megfelelő LOD y 0 általános megoldását a k 2 - 3 k + 2 = 0 karakterisztikus egyenlet gyökeinek kiszámításával találhatjuk meg:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Az általunk megszerzett gyökerek valódiak és különállóak. Ebben a tekintetben a LODE általános megoldása y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t alakban lesz.

Most keressünk egy konkrét megoldást az y ~ lineáris inhomogén differenciálegyenletre:

n 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Az egyenlet jobb oldala egy nulla fokú polinom. Ez azt jelenti, hogy egy adott megoldást y ~ = A formában fogunk keresni, ahol A egy meghatározatlan együttható.

A határozatlan együtthatót a d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2 egyenlőségből határozhatjuk meg:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Így y ~ = 1 és y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1. Találtunk egy ismeretlen függvényt.

Most cseréljük be a talált függvényt a DE rendszer 2. egyenletébe, és oldjuk meg az új egyenletet x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Így kiszámítottuk a második ismeretlen függvényt, x (t) = - C 1 · e t + 1.

Válasz: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt