Ostrogradsky-Green formula

Ez a képlet kapcsolatot hoz létre a zárt C kontúr feletti görbe integrál és a kontúr által határolt tartományon lévő kettős integrál között.

Definíció 1. Egy D régiót egyszerű régiónak nevezünk, ha véges számú első típusú és ettől függetlenül véges számú második típusú régióra osztható.

1. Tétel. Legyen P(x,y) és Q(x,y) függvény definiálva egy egyszerű tartományban, és legyen folytonos a parciális deriváltjaikkal és

Akkor a képlet érvényes

ahol C a D terület zárt körvonala.

Ez az Ostrogradsky-Green képlet.

A görbe vonalú integrál függetlenségének feltételei az integráció útjától

Definíció 1. Egy zárt négyzet alakú D tartományt egyszerűen összekapcsoltnak mondjuk, ha bármely l D zárt görbe folyamatosan ponttá alakítható úgy, hogy ennek a görbének minden pontja a D tartományba tartozzon ("lyukak" nélküli régió - D 1). , ha az ilyen deformáció lehetetlen, akkor a régiót többszörösen összekapcsoltnak nevezik ("lyukakkal" - D 2).

Definíció 2. Ha az AB görbe mentén egy görbe integrál értéke nem függ az A és B pontot összekötő görbe típusától, akkor ezt a görbeintegrált függetlennek mondjuk az integrációs úttól:

1. Tétel. Legyen a P(x,y) és Q(x,y) folytonos függvény definiálva egy zárt, egyszerűen összefüggő D tartományban a parciális deriváltjaikkal együtt. Ekkor a következő 4 feltétel egyenértékű:

1) görbe vonalú integrál zárt hurkon keresztül

ahol C bármely zárt hurok D-ben;

2) a zárt hurkon keresztüli görbe integrál nem függ a D tartomány integrációs útjától, azaz.

3) a P(x,y)dx + Q(x,y)dy differenciálforma az teljes differenciálmű valamilyen F függvény a D tartományban, azaz van olyan F függvény, amelyre (x,y) D az egyenlőség teljesül

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) minden (x,y) D pontra a következő feltétel teljesül:

Bizonyítsuk be a diagram segítségével.

Bizonyítsuk be ebből.

Legyen 1 adott), azaz. = 0 a 2. §1 tulajdonsággal, amely = 0 (1. §1 tulajdonság szerint) .

Bizonyítsuk be ebből.

Adott, hogy cr.int. nem az integráció útjától függ, hanem csak az út kezdetének és végének megválasztásától

Fontolja meg a funkciót

Mutassuk meg, hogy a P(x,y)dx + Q(x,y)dy differenciálforma az F(x,y) függvény teljes differenciálja, azaz. , Mi

Állítsuk be a privát növekedést

x F (x,y)= F(x + x, y) -F (x,y)= = == =

(az 1. § 3. tulajdonsága szerint BB* Oy) = = P (c,y)x (az átlagérték tétellel, c -const), ahol x

(a P függvény folytonossága miatt). Megkaptuk az (5) képletet. A (6) képletet hasonló módon kapjuk meg.

Bizonyítsuk be ebből.

A képlet adott

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Nyilván = P(x,y). Majd

A tétel feltételei szerint a (7) és (8) egyenlőségek jobb oldalai folytonos függvények, akkor a vegyes deriváltak egyenlőségére vonatkozó tétel alapján a bal oldalak is egyenlők lesznek, azaz hogy

Bizonyítsuk be, hogy a 41-ből.

Válasszunk a D tartományból tetszőleges zárt körvonalat, amely a D 1 tartományt határolódik.

A P és Q függvények kielégítik az Ostrogradsky-Green feltételeket:

A (4) egyenlőség értelmében a (9) bal oldalán az integrál egyenlő 0-val, ami azt jelenti, hogy az egyenlőség jobb oldala is egyenlő

Megjegyzés 1. Az 1. tétel három független tétel formájában is megfogalmazható

Tétel 1*. Annak érdekében, hogy egy egyszerűen összekapcsolt négyzet alakú D tartománynak ívelt intje legyen. nem függött az integráció útjától, így a (.1) feltétel teljesül, azaz.

2. tétel*. Annak érdekében, hogy egy egyszerűen összekapcsolt négyzet alakú D tartománynak ívelt intje legyen. nem függött az integráció útjától, így a (3) feltétel teljesül:

a P(x,y)dx + Q(x,y)dy differenciálforma valamely F függvény teljes differenciája a D tartományban.

3. tétel*. Annak érdekében, hogy egy egyszerűen összekapcsolt négyzet alakú D tartománynak ívelt intje legyen. nem függött az integráció útjától, így a (4) feltétel teljesül:

Megjegyzés 2. A 2* tételben a D tartomány szorzatosan is összekapcsolható.

Kommunikáció a kettő között Int. D területen és görbe vonalú. Int. Az L régióra az Ostrogradsky-Green képletet állapítják meg.

Adjuk meg a D területhatárt az OXY síkon. Egyenes párhuzamos zsinórokkal metsző görbe. A tengelyek legfeljebb 2 ponton vannak, azaz a D régió helyes.

T1.Ha f. P(x,y), Q(x,y) folytonos a deriváltjaival együtt,

A D régiónak ekkor tisztességes formái vannak. (f. Ostr.-Gr.)

L a D régió határa, és az L görbe mentén a pozitív irányba történő integrációt hajtjuk végre.

T2.Ha = (2), akkor az alintegrátor. A P*dx+Q*dy yavl kifejezés. Teljes differenciálmű Függvények U=U(x,y).

P*dx+Q*dy =U(x.y)

Megfelel a (2) feltételnek az f használatával kereshető.

1. megjegyzés Hogy ne keverjük össze a változó integrált. X a felső előszóval a jelölése. Újabb levél.

Helyettes 2 általában a pontot (0.0) veszik kiindulópontnak (x0,Y0)

Egy görbe vonalú int függetlenségének feltétele. 2. fajta az útvonal integrától.

Legyen t A (X1, Y1), B (X2, Y2),. Hagyja, hogy a prod. pontjai a D. Az A és B pontok különböző vonalakkal köthetők össze. Mindegyiküknek kr. Int. lesz saját értéke, ha minden görbe mentén azonos az érték, akkor az integrál nem függ az út típusától int., ebben az esetben elég megjegyezni a kezdőbetűt. Az A pont (X1, Y1) és a B végpont (X2, Y2).

T. Annak érdekében, hogy kr. Int.

Nem függ az elérési úttól int. D terület a macskában. F. P(X,Y), Q(X,Y) folytonosak a deriváltjaikkal együtt, és szükséges, hogy a tartomány minden pontjában = Doc.

Kr. Int. A 2. fajta nem függ az integrációs úttól

Helyettes = innen azt kapjuk

Saját tulajdonú gépjármű. Int. 1. fajta.Az ő St. és kalc.

Hagyjuk a pontokon S S PL. S tér oxyz def. Folyamatos f. f(x,y.z) .

Bontsuk fel a pov-ot. S n részre Si, PL. MINDEN RÉSZNEK Si delta, és Di i átmérője=1..m minden Si részben, válasszunk egy tetszőleges Mi pontot (xi, yi, zi) közül, és állítsuk össze az összeget . Az összeget f-re integrálnak nevezzük. f(x,y.z) az S felület felett, ha az integrál. Az összegnek van határa, úgy hívják. 1. típusú integrállal f-től. f(x,y.z) az S felület felett, és =

A felület tulajdonságai Int.

2) 3) S=s1+s2, majd 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .

Az 1. típusú pov int számítása redukáljuk a 2. int kiszámítására a D tartomány felett, ami az S felület vetülete az oxisíkra, ha az s felület Ur z=z(x,y) akkor a csavar egyenlő -val.

Ha S y=y(x, z) formában van megadva, akkor...

Pov int 2. fajta

Legyen adott egy kétoldali felület, ha egy ilyen felületet megkerülünk anélkül, hogy átlépnénk a határait, a normál iránya nem változik. Egyoldalas pov: egy Mobius-szalag. Legyen az oxiz térben a vizsgált kétoldali S felület egy pontjában f. F(x,y,z). A felület kiválasztott oldalát Si i=1..m részekre osztjuk és rávetítjük a sík zsinórjára. Ebben az esetben a pl pov-t a „+” jellel vesszük, ha a pov felső oldala van kiválasztva (ha a normál hegyesszöget alkot oz-szal, akkor válassza a „–” jelet, ha a pov alsó oldala kiválasztott (OBTITUDE ANGLE)). Állítsunk össze egy int összeget Ahol - pl pov Si -parts, ha létezik, és nem függ a felület részekre osztásának módszerétől és a bennük lévő pontok megválasztásától, amelyet f-ből 2. típusú int-nek nevezünk. f(x,y,z) az s felületen és jelölése: Definíció szerint az integrál = az integrálösszeg határa. Hasonlóképpen definiálja az int a pov s segítségével

, akkor a 2. típusú felület int általános alakja int ahol P, Q, R egy s kétoldalas felület pontjaiban meghatározott folytonos függvények. Ha S zárt felület, akkor a külső oldal mentén int a belső oldal mentén is. ds. Ahol ds a pov S terület eleme, és a cos, a cos cos például a cos n-re normalizálódik. Sorra kiválasztott oldal.

Ezek a képletek összekapcsolják az ábra feletti integrált egy adott ábra határán lévő integrállal.

Legyenek a függvények folytonosak a tartományban DÌ Oxyés a határán G; régióban D– csatlakoztatva; G– darabonként sima görbe. Akkor igaz Green képlete:

itt a bal oldalon az első típusú görbe vonalú integrál, a jobb oldalon egy kettős integrál; áramkör G az óramutató járásával ellentétes irányba megy.

Hadd T– darabonként sima határolt kétoldali felület darabonként sima határvonallal G. Ha a funkciók P(x,y,z), K(x,y,z), R(x,y,z) és elsőrendű parciális deriváltjaik folytonosak a felület pontjain Tés határok G, akkor előfordul Stokes képlet:

(2.23)

a bal oldalon egy második típusú görbe integrál; a jobb oldalon – a felület azon oldala mentén vett második típusú felületi integrál T, amely a görbe áthaladásakor balra marad G.

Ha egy csatlakoztatott régió WÌ Oxyz darabonként sima, zárt felület határolja Tés a funkciókat P(x,y,z), K(x,y,z), R(x,y,z) és elsőrendű parciális deriváltjaik folytonosak a pontoktól kezdve WÉs T, akkor előfordul Ostrogradsky-Gauss képlet:

(2.24)

a bal oldalon – a felület külső oldala felett a második típusú felületi integrál T; jobb oldalon – hármas integrál a terület felett W.

1. példa Számítsa ki az erő által végzett munkát! amikor a kör alkalmazásának pontját bejárjuk G: , a tengelytől kezdve Ökör, az óramutató járásával megegyező irányban (2.18. ábra).

Megoldás. A munka egyenlő . Alkalmazzuk Green formulát (2.22), tegyük a „-” jelet jobbra az integrál elé (mivel az áramkört az óramutató járásával megegyezően haladjuk), és vegyük figyelembe, hogy P(x,y)=x-y, K(x,y)=x+y. Nálunk:
,
Ahol S D– egy kör területe D: , egyenlő: . Ennek eredményeként: – a szükséges erőmunka.

2. példa Integrál kiszámítása , Ha G van egy kör a síkban z=2, az óramutató járásával ellentétes irányba haladva.

Megoldás. A Stokes-képlet (2.23) segítségével az eredeti integrált egy körön át a felületi integrálra redukáljuk T:
T:

Tehát ezt figyelembe véve a következőkkel rendelkezünk:

Az utolsó integrál egy kör feletti kettős integrál DÌ Oxy, amelyre a kört vetítették T; D: . Térjünk át a poláris koordinátákra: x=r cosj, y=r sinj, jÎ, r O. Ennek eredményeként:
.

3. példa Patak keresése P T piramisok W: (2.19. ábra) a felület külső normálja irányában.

Megoldás. Az áramlás az . Az Ostrogradsky-Gauss képlet (2.24) alkalmazásával lecsökkentjük a feladatot az ábra hármas integráljának kiszámítására. W-piramis:

4. példa Patak keresése P vektormező a teljes felületen keresztül T piramisok W: ; (2.20. ábra), a felület külső normálja irányában.

Megoldás. Alkalmazzuk az Ostrogradsky-Gauss formulát (2.24), ahol V– a piramis térfogata. Hasonlítsuk össze az áramlás közvetlen számításának megoldásával ( – a piramis lapjai).

,
mivel az arcok kivetítése a síkra Oxy nulla területtel rendelkezik (2.21. ábra),