A cikket a 15. feladat elemzésének szentelték profil Egységes államvizsga matematikából 2017. Ebben a feladatban az iskolásokat kérik fel egyenlőtlenségek, leggyakrabban logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására. Bár lehetnek tájékoztató jellegűek. Ez a cikk példák elemzését tartalmazza logaritmikus egyenlőtlenségek, beleértve azokat is, amelyek a logaritmus alapján változót tartalmaznak. Minden példa innen származik nyitott bank matematika (profil) egységes államvizsga feladatait, így ilyen egyenlőtlenségek a vizsgán valószínűleg 15. feladatként találkozhatnak. Ideális azoknak, akik szeretnék megtanulni a 15. feladat megoldását a profil második részéből Egységes államvizsga matematikát rövid időn belül, hogy több pontot szerezzen a vizsgán.
Feladatok elemzése 15 profilból Egységes államvizsga matematikából
| 1. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget: |
A matematika egységes államvizsga (profil) 15. feladatában gyakran találkozunk logaritmikus egyenlőtlenségekkel. A logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása az elfogadható értékek tartományának meghatározásával kezdődik. Ebben az esetben mindkét logaritmus alapjában nincs változó, csak a 11-es szám van, ami nagyban leegyszerűsíti a feladatot. Tehát az egyetlen korlátozás itt az, hogy mindkét logaritmusjel alatti kifejezés pozitív:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
A rendszer első egyenlőtlensége az másodfokú egyenlőtlenség. A megoldáshoz nagyon szeretnénk a bal oldalt faktorizálni. Szerintem ismeri ezt bárki másodfokú trinomikus típus 
a következőképpen van faktorizálva:
hol és vannak az egyenlet gyökerei. Ebben az esetben az együttható 1 (ez a szám előtti együttható). Az együttható is egyenlő 1-gyel, és az együttható az áltag, egyenlő -20. A trinomiális gyökereit legkönnyebben Vieta tételével határozhatjuk meg. Az általunk megadott egyenlet azt jelenti, hogy a gyökök összege egyenlő lesz az ellenkező előjelű együtthatóval, azaz -1, és ezen gyökök szorzata egyenlő lesz az együtthatóval, azaz -20. Könnyű kitalálni, hogy a gyökerek -5 és 4 lesznek.
Most az egyenlőtlenség bal oldala faktorizálható: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség szükséges megoldása a . Aki nem érti az itt leírtakat, az ettől a pillanattól kezdve megnézheti a részleteket a videóban. Itt részletes magyarázatot talál a rendszer második egyenlőtlenségének megoldására is. Megoldás alatt áll. Ráadásul a válasz pontosan ugyanaz, mint a rendszer első egyenlőtlenségére. Vagyis a fent írt halmaz az egyenlőtlenség megengedett értékeinek tartománya.
Tehát, figyelembe véve a faktorizációt, az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen alakul:
A képlet segítségével hozzáadunk 11-et a kifejezés hatványához az első logaritmus előjele alatt, és a második logaritmust az egyenlőtlenség bal oldalára mozgatjuk, előjelét az ellenkezőjére változtatva:
A csökkentés után a következőket kapjuk:
Az utolsó egyenlőtlenség a függvény növekedése miatt ekvivalens az egyenlőtlenséggel 
, melynek megoldása az intervallum 
. Már csak az egyenlőtlenség elfogadható értékeinek tartományával kell metszeni, és ez lesz a válasz az egész feladatra.
Tehát a feladatra adott válasz így néz ki:
Ezzel a feladattal foglalkoztunk, most áttérünk a matematika egységes államvizsga (profil) 15. feladatának következő példájára.
| 2. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget:
|
A megoldást az egyenlőtlenség elfogadható értékeinek tartományának meghatározásával kezdjük. Minden logaritmus alapja legyen pozitív szám, ami nem egyenlő 1-gyel. A logaritmusjel alatti kifejezéseknek pozitívnak kell lenniük. A tört nevezője nem tartalmazhat nullát. Az utolsó feltétel ekvivalens azzal a ténnyel, hogy , mivel csak egyébként mindkét logaritmus eltűnik a nevezőben. Mindezek a feltételek meghatározzák ennek az egyenlőtlenségnek a megengedett értékeinek tartományát, amelyet a következő egyenlőtlenségi rendszer adja:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Az elfogadható értékek tartományában logaritmus-konverziós képletekkel egyszerűsíthetjük az egyenlőtlenség bal oldalát. Képlet segítségével 
megszabadulunk a nevezőtől:
Most már csak logaritmusaink vannak bázissal. Ez már kényelmesebb. Ezután a képletet és a képletet használjuk, hogy a dicsőséget érdemlő kifejezést a következő alakra vigyük:
A számításoknál azt használtuk, ami az elfogadható értékek tartományába került. A helyettesítés segítségével a következő kifejezéshez jutunk:
Használjunk még egy helyettesítőt: . Ennek eredményeként a következő eredményre jutunk:
Tehát fokozatosan visszatérünk az eredeti változókhoz. Először a változóhoz:
LOGARITMIKUS EGYENLŐTLENSÉGEK A HASZNÁLATBAN
Sechin Mihail Alekszandrovics
Kis Tudományos Akadémia a Kazah Köztársaság diákjai számára „Iskatel”
MBOU "Szovetszkaja Középiskola No. 1", 11. osztály, város. Szovetszkij Szovetszkij kerület
Gunko Ljudmila Dmitrijevna, a Városi Költségvetési Oktatási Intézmény „Szovetszkaja 1. Sz. Középiskola” tanára
Szovetszkij kerület
A munka célja: a C3 logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának mechanizmusának vizsgálata nem szabványos módszerekkel, azonosítás érdekes tények logaritmus
A kutatás tárgya:
3) Tanulja meg megoldani a C3 specifikus logaritmikus egyenlőtlenségeket nem szabványos módszerekkel.
Eredmények:
Tartalom
Bevezetés…………………………………………………………………………………….4
1. fejezet A probléma története…………………………………………………………………………………………………………
2. fejezet Logaritmikus egyenlőtlenségek gyűjteménye …………………………… 7
2.1. Egyenértékű átmenetek és az intervallumok általánosított módszere…………… 7
2.2. Racionalizálási módszer………………………………………………………………… 15
2.3. Nem szabványos helyettesítés………………................................................ .............. 22
2.4. Feladatok csapdákkal………………………………………………………27
Következtetés………………………………………………………………………………… 30
Irodalom……………………………………………………………………. 31
Bevezetés
11. osztályos vagyok, és egy olyan egyetemre szeretnék belépni, ahol az alaptárgy a matematika. Ezért sokat dolgozom a C részben található problémákkal. A C3 feladatban egy nem szabványos egyenlőtlenséget vagy egyenlőtlenség-rendszert kell megoldanom, általában logaritmusokkal kapcsolatban. A vizsgára való felkészülés során azzal a problémával szembesültem, hogy a C3-ban felkínált vizsgalogaritmikus egyenlőtlenségek megoldására szolgáló módszerek és technikák hiányoznak. A tanulmányozott módszerek iskolai tananyag ebben a témában ne adjon alapot a C3-as feladatok megoldásához. A matektanárnő azt javasolta, hogy az ő irányításával önállóan dolgozzam a C3-as feladatokat. Emellett érdekelt a kérdés: találkozunk-e az életünkben logaritmusokkal?
Ennek figyelembevételével választották ki a témát:
„Logaritmikus egyenlőtlenségek az egységes államvizsgán”
A munka célja: a C3 problémák megoldásának mechanizmusának tanulmányozása nem szabványos módszerekkel, érdekes tények azonosítása a logaritmussal kapcsolatban.
A kutatás tárgya:
1) Keresse meg a szükséges információkat a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásának nem szabványos módszereiről!
2) Találd meg további információk a logaritmusokról.
3) Tanuljon meg speciális C3 problémákat nem szabványos módszerekkel megoldani.
Eredmények:
Gyakorlati jelentősége a C3 feladatok megoldására szolgáló apparátus bővítéséből áll. Ez az anyag használható egyes órákon, klubokon és választható matematika órákon.
A projekt terméke a „C3 logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásokkal” gyűjtemény lesz.
1. fejezet Háttér
A 16. század során a közelítő számítások száma gyorsan növekedett, elsősorban a csillagászatban. A műszerek fejlesztése, a bolygómozgások tanulmányozása és egyéb munkák kolosszális, néha sok éves számításokat igényeltek. A csillagászatot valós veszély fenyegette, hogy belefullad a teljesítetlen számításokba. Más területeken is felmerültek nehézségek, például a biztosítási üzletágban kamatos kamattáblázatokra volt szükség a különféle kamatokhoz. A fő nehézséget a többjegyű számok, különösen a trigonometrikus mennyiségek szorzása és osztása jelentette.
A logaritmusok felfedezése a 16. század végére jól ismert progresszió tulajdonságain alapult. A tagok közötti kapcsolatról geometriai progresszió q, q2, q3, ... és számtani progresszió mutatóik 1, 2, 3,... Arkhimédész beszélt „Psalmitis”-ben. További előfeltétel volt a fok fogalmának kiterjesztése negatív és törtkitevőkre. Sok szerző rámutatott arra, hogy a szorzás, az osztás, a hatványozás és a gyökkivonás a geometriai progresszióban megfelel az aritmetikai összeadásnak, kivonásnak, szorzásnak és osztásnak ugyanabban a sorrendben.
Itt volt a logaritmus mint kitevő ötlete.
A logaritmustan fejlődésének történetében több szakasz is elmúlt.
1. szakasz
A logaritmusokat legkésőbb 1594-ben egymástól függetlenül Napier skót báró (1550-1617), tíz évvel később pedig Bürgi (1552-1632) svájci szerelő találta fel. Mindketten új, kényelmes eszközt akartak nyújtani az aritmetikai számításokhoz, bár különböző módon közelítették meg ezt a problémát. Napier kinematikusan fejezte ki a logaritmikus függvényt, és ezzel a függvényelmélet új területére lépett. Bürgi a diszkrét előrehaladások figyelembevétele alapján maradt. Mindkettő logaritmusának meghatározása azonban nem hasonlít a modernhez. A "logaritmus" (logaritmus) kifejezés Napierhez tartozik. Kombinációból jött létre görög szavak: logos - „reláció” és ariqmo - „szám”, ami „kapcsolatok számát” jelentette. Kezdetben Napier más kifejezést használt: numeri mākslīges – „mesterséges számok”, szemben a numeri naturalts – „természetes számok” kifejezéssel.
1615-ben, Henry Briggs-szel (1561-1631), a londoni Gresh College matematikaprofesszorával folytatott beszélgetés során Napier azt javasolta, hogy nullát vegyünk egy logaritmusának, 100-at pedig tíz logaritmusának, vagyis ami megegyezik. dolog, csak 1. Így nyomtatták ki a decimális logaritmusokat és Az első logaritmikus táblázatokat. Később Briggs táblázatait a holland könyvkereskedő és a matematika iránt érdeklődő Adrian Flaccus (1600-1667) egészítette ki. Napier és Briggs, bár mindenkinél korábban jutottak el a logaritmushoz, táblázataikat később – 1620-ban – publikálták, mint a többiek. A log és Log jeleket 1624-ben vezette be I. Kepler. A „természetes logaritmus” kifejezést Mengoli vezette be 1659-ben, majd N. Mercator követte 1668-ban, John Speidel londoni tanár pedig „Új logaritmusok” néven 1-től 1000-ig terjedő számok természetes logaritmusainak táblázatait tette közzé.
Az első logaritmikus táblázatokat 1703-ban adták ki oroszul. De minden logaritmikus táblázatban voltak számítási hibák. Az első hibamentes táblázatok 1857-ben jelentek meg Berlinben, K. Bremiker (1804-1877) német matematikus feldolgozásával.
2. szakasz
A logaritmuselmélet továbbfejlesztése szélesebb körű alkalmazással jár analitikus geometriaés infinitezimális számítás. Addigra az egyenlő oldalú hiperbola négyzetre emelése és a kapcsolat természetes logaritmus. Ennek az időszaknak a logaritmuselmélete számos matematikus nevéhez fűződik.
Nikolaus Mercator német matematikus, csillagász és mérnök egy esszében
A "Logaritmotechnics" (1668) egy sorozatot ad, amely megadja az ln(x+1) kiterjesztését
x hatványai:
Ez a kifejezés pontosan megfelel az ő gondolatmenetének, bár természetesen nem a d, ... jeleket használta, hanem körülményesebb szimbolikát. A logaritmikus sorozat felfedezésével megváltozott a logaritmusszámítás technikája: elkezdték meghatározni őket végtelen sorok segítségével. előadásaiban" Elemi matematika magasabb nézőpontból” – olvasható 1907-1908-ban F. Klein a képlet használatát javasolta a logaritmuselmélet kiindulópontjaként.
3. szakasz
A logaritmikus függvény definíciója inverz függvényként
exponenciális, logaritmus, mint adott bázis kitevője
nem fogalmazták meg azonnal. Leonhard Euler (1707-1783) esszéje
"Bevezetés a végtelen kicsik elemzésébe" (1748) arra szolgált, hogy tovább
a logaritmikus függvények elméletének fejlesztése. Így,
134 év telt el a logaritmus első bevezetése óta
(1614-től számítva), mielőtt a matematikusok a definícióhoz jutottak
a logaritmus fogalma, amely ma már az iskolai tanfolyam alapját képezi.
2. fejezet Logaritmikus egyenlőtlenségek gyűjteménye
2.1. Egyenértékű átmenetek és az intervallumok általánosított módszere.
Egyenértékű átmenetek
, ha a > 1
, ha 0 <
а <
1
Általánosított intervallum módszer
Ez a módszer a leguniverzálisabb szinte bármilyen típusú egyenlőtlenség megoldására. A megoldási diagram így néz ki:
1. Hozd az egyenlőtlenséget arra az alakra, ahol a bal oldali függvény van 
, jobb oldalon pedig 0.
2. Keresse meg a függvény tartományát .
3. Keresse meg a függvény nulláit! , azaz oldja meg az egyenletet 
(és egy egyenlet megoldása általában könnyebb, mint egy egyenlőtlenség).
4. Rajzolja fel a számegyenesen a függvény definíciós tartományát és nulláit!
5. Határozza meg a függvény előjeleit! a kapott intervallumokon.
6. Válassza ki az intervallumokat, ahol a függvény felveszi a kívánt értékeket, és írja le a választ.
1. példa
Megoldás:
Alkalmazzuk az intervallum módszert
ahol
Ezeknél az értékeknél a logaritmikus előjelek alatti összes kifejezés pozitív.
Válasz:
2. példa
Megoldás:
1 út . Az ADL-t az egyenlőtlenség határozza meg x> 3. Logaritmusok felvétele olyanokra x a 10-es alapban kapjuk
Az utolsó egyenlőtlenséget bővítési szabályok alkalmazásával lehetne feloldani, pl. a tényezőket nullához viszonyítva. Ebben az esetben azonban könnyű meghatározni a függvény konstans előjelének intervallumait
ezért az intervallum módszer alkalmazható.
Funkció f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ folyamatos at x> 3 és pontokon eltűnik x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Így meghatározzuk a függvény konstans előjelének intervallumait f(x):
Válasz:
2. módszer . Alkalmazzuk közvetlenül az intervallummódszer gondolatait az eredeti egyenlőtlenségre.
Ehhez emlékezzen arra, hogy a kifejezések a b- a c és ( a - 1)(b- 1) legyen egy jele. Aztán az egyenlőtlenségünk at x> 3 egyenlő az egyenlőtlenséggel
vagy
Az utolsó egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel oldjuk meg
Válasz:
3. példa
Megoldás:
Alkalmazzuk az intervallum módszert
Válasz:
4. példa
Megoldás:
2 óta x 2 - 3x+ 3 > 0 minden igazinak x, Azt
A második egyenlőtlenség megoldásához az intervallum módszert használjuk
Az első egyenlőtlenségben végrehajtjuk a cserét
akkor eljutunk a 2y 2 egyenlőtlenséghez - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, amelyek kielégítik a -0,5 egyenlőtlenséget< y < 1.
Honnan, mióta
megkapjuk az egyenlőtlenséget
amelyet mikor hajtanak végre x, amelyhez 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Most, ha figyelembe vesszük a rendszer második egyenlőtlenségének megoldását, végül megkapjuk
Válasz:
5. példa
Megoldás:
Az egyenlőtlenség egyenértékű a rendszerek halmazával
vagy
Használjuk az intervallum módszert ill
Válasz:
6. példa.
Megoldás:
Az egyenlőtlenség egyenlő a rendszerrel
Hadd
Majd y > 0,
és az első egyenlőtlenség
rendszer formát ölt
vagy kibontakozó
másodfokú trinomiális tényező,
Az intervallum módszert alkalmazva az utolsó egyenlőtlenségre,
látjuk, hogy megoldásai kielégítik a feltételt y> 0 lesz az összes y > 4.
Így az eredeti egyenlőtlenség ekvivalens a rendszerrel:
Tehát az egyenlőtlenség megoldása minden
2.2. Racionalizálási módszer.
Korábban az egyenlőtlenséget nem oldották meg a racionalizálási módszerrel; Ez az "új modern" hatékony módszer exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásai" (idézet S. I. Kolesnikova könyvéből)
És még ha a tanár ismerte is, volt egy félelem - ismeri az egységes államvizsga-szakértő, és miért nem adják meg az iskolában? Voltak helyzetek, amikor a tanár azt mondta a diáknak: „Hol vetted le – 2.”
Most mindenhol népszerűsítik a módszert. A szakértők számára pedig van iránymutatásokat ehhez a módszerhez kapcsolódóan és a "Legteljesebb kiadásokban tipikus lehetőségek..." A C3 megoldás ezt a módszert használja.
CSODÁLATOS MÓDSZER!
"Varázsasztal"
Más forrásokban
Ha a >1 és b >1, majd log a b >0 és (a -1)(b -1)>0;
Ha a >1 és 0 ha 0<a<1 и b
>1, majd naplózza a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ha 0<a<1 и 00 és (a -1) (b -1)>0. Az elvégzett érvelés egyszerű, de jelentősen leegyszerűsíti a logaritmikus egyenlőtlenségek megoldását. 4. példa
napló x (x 2-3)<0
Megoldás:
5. példa
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x ) Megoldás: 6. példa.
Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldására a nevező helyett (x-1-1)(x-1), a számláló helyett az (x-1)(x-3-9 + x) szorzatot írjuk. 7. példa.
8. példa.
2.3. Nem szabványos helyettesítés. 1. példa
2. példa
3. példa
4. példa
5. példa
6. példa.
7. példa.
log 4 (3 x -1)log 0,25 Tegyük az y=3 x -1 cserét; akkor ez az egyenlőtlenség olyan formát ölt Napló 4 log 0,25 Mert log 0,25 Tegyük meg a t =log 4 y pótlást, és kapjuk meg a t 2 -2t +≥0 egyenlőtlenséget, melynek megoldása a - intervallumok Így y értékeinek megtalálásához két egyszerű egyenlőtlenség halmaza van Ezért az eredeti egyenlőtlenség ekvivalens két exponenciális egyenlőtlenség halmazával, Ennek a halmaznak az első egyenlőtlenségének megoldása a 0 intervallum<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8. példa.
Megoldás:
Az egyenlőtlenség egyenlő a rendszerrel Az ODZ-t meghatározó második egyenlőtlenség megoldása ezek halmaza lesz x,
amiért x > 0.
Az első egyenlőtlenség megoldásához behelyettesítést végzünk Akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget vagy A módszerrel megtaláljuk az utolsó egyenlőtlenség megoldásainak halmazát intervallumok: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, megkapjuk vagy Sok ilyen x, amelyek kielégítik az utolsó egyenlőtlenséget az ODZ-hez tartozik ( x> 0), tehát a rendszer megoldása, és innen ered az eredeti egyenlőtlenség. Válasz: 2.4. Feladatok csapdákkal. 1. példa
Megoldás. Az egyenlőtlenség ODZ-je mind x teljesíti a 0 feltételt 2. példa
napló 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
Válasz. (0; 0,5)U.
Válasz :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , akkor az utolsó egyenlőtlenséget átírjuk 2log 4 y -log 4 2 y ≤ értékre.
Ennek a halmaznak a megoldása a 0 intervallum<у≤2 и 8≤у<+.
vagyis aggregátumok 
. Így az eredeti egyenlőtlenség teljesül a 0 intervallumokból származó x összes értékére<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Ezért minden x a 0 intervallumból származik
Következtetés
Nem volt könnyű konkrét módszereket találni a C3 problémák megoldására a rengeteg különböző oktatási forrásból. Az elvégzett munka során nem szabványos módszereket tanulmányoztam komplex logaritmikus egyenlőtlenségek megoldására. Ezek a következők: ekvivalens átmenetek és az intervallumok általánosított módszere, a racionalizálás módszere , nem szabványos helyettesítés , feladatok csapdákkal az ODZ-n. Ezek a módszerek nem szerepelnek az iskolai tantervben.
Különböző módszerekkel oldottam meg a C részben az Egységes Államvizsgán javasolt 27 egyenlőtlenséget, nevezetesen a C3. Ezek a módszeres megoldásokkal való egyenlőtlenségek képezték az alapját a „C3 logaritmikus egyenlőtlenségek megoldásokkal” gyűjteménynek, amely tevékenységem projektterméke lett. A projekt elején feltett hipotézisem beigazolódott: a C3 problémák hatékonyan megoldhatók, ha ismeri ezeket a módszereket.
Ezen kívül érdekes tényeket fedeztem fel a logaritmusokkal kapcsolatban. Érdekes volt ezt megcsinálni. Projekttermékeim hasznosak lesznek mind a diákok, mind a tanárok számára.
Következtetések:
Így a projekt célja megvalósult és a probléma megoldódott. A projekttevékenységek legteljesebb és legváltozatosabb tapasztalatait kaptam a munka minden szakaszában. A projekt során a fő fejlesztő hatásom a mentális kompetenciára, a logikai mentális műveletekhez kapcsolódó tevékenységekre, a kreatív kompetencia, a személyes kezdeményezőkészség, a felelősségvállalás, a kitartás és az aktivitás fejlesztésére irányult.
A siker garanciája a kutatási projekt létrehozásakor Megszereztem: jelentős iskolai tapasztalatot, különböző forrásokból tájékozódhattam, ellenőriztem a megbízhatóságát, fontossági sorrendbe állítottam.
A matematikában a közvetlen tantárgyi ismeretek mellett bővítettem gyakorlati ismereteimet az informatika területén, új ismereteket, tapasztalatokat szereztem a pszichológia területén, kapcsolatokat építettem ki osztálytársakkal, megtanultam a felnőttekkel való együttműködést. A projekttevékenységek során a szervezési, intellektuális és kommunikációs általános nevelési készségek fejlesztésére került sor.
Irodalom
1. Koryanov A. G., Prokofjev A. A. Egyenlőtlenségrendszerek egy változóval (C3 standard feladatok).
2. Malkova A. G. Felkészülés az egységes matematika államvizsgára.
3. Samarova S. S. Logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása.
4. Matematika. Képzési munkák gyűjteménye szerkesztette A.L. Semenov és I.V. Jascsenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
„LOGARITMIKUS EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA (A PROFIL HASZNÁLATÁNAK 15. FELADATA). LOGARITMUSOK ALKALMAZÁSA AZ EMBERI ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN"
A lecke epigráfja Maurice Cline szavai lesz „A zene felemelheti vagy megnyugtathatja a lelket, a festészet gyönyörködtet a szemnek, a költészet érzelmeket ébreszthet, a filozófia kielégítheti az elme igényeit, a mérnöki munka javíthatja az emberek életének anyagi oldalát, ésa matematika mindezeket a célokat elérheti »
Most teremtsük meg a siker hangulatát!
A következő kérdésekre válaszolunk:
A vizsgadolgozatok ellenőrzésének gyakorlata, és 2005 óta vagyok egységes államvizsga-szakértő matematikából, azt mutatja, hogy az iskolások számára a legnagyobb nehézséget a transzcendentális egyenlőtlenségek, különösen a változó bázisú logaritmikus egyenlőtlenségek megoldása jelenti.
Ezért javaslom először is a racionalizálási módszert (Modenov-dekompozíciós módszer) vagy más néven Golubev-szorzóhelyettesítési módszert, amely lehetővé teszi az összetett, különösen a logaritmikus egyenlőtlenségek egyszerűbb racionális egyenlőtlenségek rendszerére való redukálását.
Így például az egyenlőtlenség feloldásakor
az értékelési változatban a javasolt egységes államvizsga-szakértők a következő megoldást kapták:
Javaslom a racionalizálási módszer használatát:
Az első egyenlőtlenség megoldása intervallum módszerrel és annak figyelembevételével, amit kapunk
Megoldás a következő egyenlőtlenségre
Én így láttam:
És elmagyaráztam a hallgatóknak, hogy néha könnyebb egy grafikus megoldás.
Ennek eredményeképpen ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása a következő formában jelenik meg:
Vegye figyelembe az egyenlőtlenséget
Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldására használhatja a képletet
de az alapra lépés egy szám, és abszolút bármilyen:
és oldja meg a kapott egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:
ODZ: 
és oldja meg a kapott egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel
és az ODZ-t figyelembe véve a következőket kapjuk:
Az alábbi típusú egyenlőtlenség megoldása során pedig a tanulók általában elveszítik valamelyik megoldást a válasz leírásakor. Erre mindenképpen oda kell figyelni.
Keressük az ODZ-t:
és végezzük el a cserét: kapjuk:
Felhívom a figyelmet arra, hogy gyakran a tanulók ennek a kialakult egyenlőtlenségnek a megoldása során elvetik a nevezőt, ezzel elveszítve az egyik megoldást:
Az ODZ-t figyelembe véve megkapjuk: és
Az óra végén érdekes tényeket kínálok a hallgatóknak a logaritmusok különféle területeken történő használatáról.
Ahol vannak olyan folyamatok, amelyek idővel változnak, ott logaritmusokat használnak.
A logaritmus egy matematikai fogalom, amelyet a tudomány minden ágában használnak: kémiában, biológiában, fizikában, földrajzban, számítástechnikában és még sok másban, de a logaritmusok legszélesebb körben a közgazdaságtanban találhatók.
