Míg a komplex számok összeadása és kivonása kényelmesebb algebrai formában, a szorzás és az osztás egyszerűbb a komplex számok trigonometrikus alakjával.
Vegyünk két tetszőleges komplex számot trigonometrikus formában:
Ezeket a számokat megszorozva kapjuk:
De a trigonometriai képletek szerint
Így a komplex számok szorzásakor azok moduljait és az argumentumokat szorozzák
hajtsd fel. Mivel ebben az esetben a modulokat külön-külön, az argumentumokat pedig külön-külön konvertáljuk, a szorzás trigonometrikus formában könnyebb, mint algebrai formában.
Az (1) egyenlőségből a következő összefüggések következnek:
Mivel az osztás a szorzás fordított művelete, ezt kapjuk
Más szóval, egy hányados modulusa egyenlő az osztó és az osztó modulusának arányával, a hányados argumentuma pedig az osztó és az osztó argumentuma közötti különbség.
Most időzzünk tovább geometriai érzék komplex számok szorzása. Az (1) - (3) képletek azt mutatják, hogy a szorzat megtalálásához először a szám modulusát kell növelni anélkül, hogy megváltoztatná az argumentumát, majd növelni kell a kapott szám argumentumát a modulus megváltoztatása nélkül. Ezen műveletek közül az első geometriailag homotitást jelent az O ponthoz képest együtthatóval, a második pedig az O ponthoz képest szöggel egyenlő elforgatást. Ha itt az egyik tényező állandó, a másik változó, akkor meg tudjuk fogalmazni az eredményt. a következőképpen: képlet
Míg a komplex számok összeadása és kivonása kényelmesebb algebrai formában, a szorzás és az osztás egyszerűbb a komplex számok trigonometrikus alakjával.
Vegyünk két tetszőleges komplex számot trigonometrikus formában:
Ezeket a számokat megszorozva kapjuk:
De a trigonometriai képletek szerint
Így a komplex számok szorzásakor azok moduljait és az argumentumokat szorozzák
hajtsd fel. Mivel ebben az esetben a modulokat külön-külön, az argumentumokat pedig külön-külön konvertáljuk, a szorzás trigonometrikus formában könnyebb, mint algebrai formában.
Az (1) egyenlőségből a következő összefüggések következnek:
Mivel az osztás a szorzás fordított művelete, ezt kapjuk
Más szóval, egy hányados modulusa egyenlő az osztó és az osztó modulusának arányával, a hányados argumentuma pedig az osztó és az osztó argumentuma közötti különbség.
Most nézzük meg a komplex számok szorzásának geometriai jelentését. Az (1) - (3) képletek azt mutatják, hogy a szorzat megtalálásához először a szám modulusát kell növelni anélkül, hogy megváltoztatná az argumentumát, majd növelni kell a kapott szám argumentumát a modulus megváltoztatása nélkül. Ezen műveletek közül az első geometriailag homotitást jelent az O ponthoz képest együtthatóval, a második pedig az O ponthoz viszonyított szöggel egyenlő elforgatást. Ha itt az egyik tényező állandó, a másik változó, akkor megfogalmazhatjuk az eredményt. a következőképpen: képlet
A komplex szám egy formájú szám, ahol és valós számok, az ún képzeletbeli egység. A számot hívják valódi rész () komplex szám, a számot hívják képzeletbeli rész () komplex szám.
A komplex számokat a összetett sík:
Mint fentebb említettük, a betű általában a valós számok halmazát jelöli. Sok azonos komplex számokáltalában „félkövér” vagy vastagított betűvel jelölik. Ezért a betűt a rajzon kell elhelyezni, jelezve, hogy összetett síkunk van.
Komplex szám algebrai alakja. Komplex számok összeadása, kivonása, szorzása és osztása
Komplex számok összeadása
Két komplex szám összeadásához hozzá kell adni a valós és a képzeletbeli részüket:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i* (b 1 + b 2).
Komplex számokra az első osztály szabálya érvényes: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – az összeg nem változik a tagok átrendezésétől.
Komplex számok kivonása
A művelet hasonló az összeadáshoz, az egyetlen sajátosság, hogy a részfejet zárójelbe kell tenni, majd a zárójeleket a szokásos módon, előjelváltással kell megnyitni:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Komplex számok szorzása
A komplex számok alapvető egyenlősége:
Komplex számok szorzata:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Az összeghez hasonlóan a komplex számok szorzata is kommutálható, azaz igaz az egyenlőség: .
Komplex számok osztása
A számok felosztása megtörténik úgy, hogy a nevezőt és a számlálót megszorozzuk a nevező konjugált kifejezésével.
2 Kérdés. Komplex sík. Komplex számok modulja és argumentumai
Minden z = a + i*b komplex szám társítható egy (a;b) koordinátájú ponthoz, és fordítva, minden (c;d) koordinátájú ponthoz társítható w = c + i* komplex szám. d. Így egy-egy megfeleltetés jön létre a sík pontjai és a komplex számok halmaza között. Ezért a komplex számok egy síkon pontként ábrázolhatók. Azt a síkot, amelyen a komplex számok ábrázolják, általában hívják összetett sík.
A komplex számokat azonban gyakrabban ábrázolják O pontban kezdődő vektorként, azaz a z = a + i*b komplex számot egy (a;b) koordinátákkal rendelkező pont sugárvektoraként ábrázolják. Ebben az esetben a komplex számok képe az előző példából a következő lesz: 
Két komplex szám összegének képe egy vektor, amely egyenlő a számokat és a számokat ábrázoló vektorok összegével. Más szóval, amikor komplex számokat adunk össze, akkor az azokat reprezentáló vektorokat is összeadjuk.
Legyen a z = a + i*b komplex szám egy sugárvektorral ábrázolva. Ekkor ennek a vektornak a hosszát nevezzük modul z szám, és |z| jelöli .
|
|
A szám sugárvektora által a tengellyel bezárt szöget nevezzük érv számok és arg z jelöli. A szám argumentuma nem egyedileg, hanem a többszörösén belül van meghatározva. Általában azonban az argumentum 0-tól vagy -tól ig terjedő tartományban van megadva. Ezenkívül a számnak van egy meghatározatlan argumentuma.
Ezzel a kapcsolattal megtalálhatja egy komplex szám argumentumát:
Sőt, az első képlet akkor érvényes, ha a szám képe az első vagy negyedik negyedben van, a második pedig, ha a második vagy harmadik negyedben van. Ha , akkor a komplex számot egy vektor ábrázolja az Oy tengelyen, és argumentuma egyenlő /2 vagy 3*/2.
Vegyünk egy másik hasznos formulát. Legyen z = a + i*b. Akkor ,
Két komplex szám szorzatát a valós számok szorzatához hasonlóan definiáljuk, nevezetesen: a szorzatot egy szorzóból álló számnak tekintjük, mint ahogy egy tényezőt egy egységből.
A modulusos és argumentumú komplex számnak megfelelő vektort egy olyan egységvektorból kaphatjuk meg, amelynek hossza eggyel egyenlő és iránya egybeesik az OX tengely pozitív irányával, egy tényezővel meghosszabbítva és elforgatva. azt egy tényezővel pozitív irány szögben
Egy adott vektor szorzata egy vektorral az a vektor, amelyet akkor kapunk, ha a vektorra alkalmazzuk a fent említett hosszabbítást és elforgatást, aminek segítségével a vektort egységvektorból kapjuk, és ez utóbbi nyilvánvalóan megfelel a igazi egység.
Ha a modulusok és az argumentumok vektoroknak megfelelő komplex számok, akkor ezeknek a vektoroknak a szorzata nyilvánvalóan egy modulusos és argumentumú komplex számnak felel meg. Így a komplex számok szorzatának következő definíciójához jutunk:
Két komplex szám szorzata egy olyan komplex szám, amelynek modulusa egyenlő a tényezők modulusainak szorzatával, és argumentuma egyenlő a tényezők argumentumainak összegével.
Így abban az esetben, ha a komplex számokat trigonometrikus formában írjuk fel, akkor lesz
Vezessük le a szorzat összeállításának szabályát arra az esetre, ha a komplex számok nem trigonometrikus formában vannak megadva:
A fenti jelölést használva a modulokra és a faktorok argumentumaira írhatunk
a szorzás meghatározása szerint (6):
és végül megkapjuk
Abban az esetben, ha a tényezők valós számok, és a szorzat ezeknek a számoknak a szorzatára redukálódik. A (7) egyenlőség esetén megadja
azaz a képzeletbeli egység négyzete egyenlő
A pozitív egész hatványok szekvenciális kiszámításával megkapjuk
és általában véve bármilyen általános pozitívumot
A (7) egyenlőséggel kifejezett szorzási szabály a következőképpen fogalmazható meg: a komplex számokat úgy kell szorozni, mint a betűpolinomokat, számolni
Ha a komplex szám, akkor azt mondjuk, hogy a komplex szám konjugált a-hoz, és a-val jelöljük. A (3) képlet szerint a (7) egyenlőségből az következik
és ezért
vagyis a konjugált komplex számok szorzata egyenlő mindegyik modul modulusának négyzetével.
Jegyezzünk meg nyilvánvaló képleteket is
A (4) és (7) képletből azonnal következik, hogy a komplex számok összeadása és szorzása a kommutatív törvénynek engedelmeskedik, vagyis az összeg nem függ a tagok sorrendjétől, és a szorzat sem a számok sorrendjétől. tényezőket. Nem nehéz ellenőrizni a kombinációs és disztributív törvények érvényességét, amelyeket a következő azonosságok fejeznek ki:
Ezt az olvasóra bízzuk.
Végül vegye figyelembe, hogy több tényező szorzatának modulusa egyenlő lesz a faktorok modulusainak szorzatával, és egy argumentuma megegyezik a tényezők argumentumainak összegével. Így a komplex számok szorzata akkor és csak akkor lesz egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla.
Két komplex szám szorzata hasonló két valós szám szorzatához, nevezetesen: a szorzatot egy szorzóból álló számnak tekintjük, ahogy a tényezőt egy egységből. Az r modulusú és j argumentumú komplex számnak megfelelő vektort egy olyan egységvektorból kaphatjuk meg, amelynek hossza eggyel egyenlő és iránya egybeesik az OX tengely pozitív irányával, r-szeres meghosszabbítással és a pozitív irány j szöggel. Egy bizonyos a 1 vektor szorzata egy a 2 vektorral az a vektor, amelyet akkor kapunk, ha az a 1 vektorra hosszabbítást és elforgatást alkalmazunk, aminek segítségével egységvektorból az a 2 vektort kapjuk, az utóbbit pedig nyilván valós egységnek felel meg. Ha (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) az a 1 és a 2 vektoroknak megfelelő komplex számok moduljai és argumentumai, akkor ezeknek a vektoroknak a szorzata nyilvánvalóan egy komplex számnak fog megfelelni a modullal r 1 r 2 és argumentum (j 1 + j 2). Így két komplex szám szorzata egy olyan komplex szám, amelynek modulusa egyenlő a tényezők modulusainak szorzatával, és argumentuma egyenlő a tényezők argumentumainak összegével.
Abban az esetben, ha a komplex számokat trigonometrikus formában írjuk fel, ez van
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
Az (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi esetben a faktorok moduljainak és argumentumainak jelölésével a következőt írhatjuk:
a 1 = r 1 cos? 1; b 1 = r 1 bűn? 1; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 = r 2 sin? 2;
a szorzás definíciója szerint:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 bűn? 1 r 2 bűn? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 bűn? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2 ,
és végül megkapjuk:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.
Abban az esetben, ha b 1 = b 2 = 0, a tényezők a 1 és a 2 valós számok, és a szorzat ezeknek a számoknak a 1 a 2 szorzatára redukálódik. Amennyiben
a 1 = a 2 = 0 és b 1 = b 2 = 1,
egyenlőség (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I a következőt adja: i???i = i 2 = -1, azaz. a képzeletbeli egység négyzete -1. Az i pozitív egész hatványok szekvenciális kiszámításával kapjuk:
i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
és általában minden pozitív k esetén:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Az (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I egyenlőséggel kifejezett szorzási szabály lehet a következőképpen fogalmazzuk meg: a komplex számokat úgy kell szorozni, mint az alfabetikus polinomokat, i 2 = -1 számolással.
A fenti képletekből azonnal következik, hogy a komplex számok összeadása és szorzása megfelel a kommutatív törvénynek, azaz. az összeg nem függ a feltételek sorrendjétől, és a szorzat sem a tényezők sorrendjétől. Nem nehéz ellenőrizni a kombinációs és disztributív törvények érvényességét, amelyeket a következő azonosságok fejeznek ki:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Több tényező szorzatának modulusa lesz egyenlő a faktorok modulusainak szorzatával, és argumentuma, amely egyenlő a tényezők argumentumainak összegével. Így a komplex számok szorzata akkor és csak akkor lesz egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla.
Példa: adott komplex számok z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Lelet:
a) z 1 + z 2; b) z1-z2; c) z 1 z 2 .
a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i) (5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (itt azt veszik figyelembe, hogy i 2 = - 1).
Példa: kövesse az alábbi lépéseket:
a) (2 + 3i) 2; b) (3-5i) 2; c) (5 + 3i) 3.
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; mivel i 2 = - 1, és i 3 = - i, azt kapjuk, hogy (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
Példa: műveletek végrehajtása
a) (5 + 3i) (5-3i); b) (2 + 5i) (2-5i); c) (1 + i) (1 - i).
a) (5 + 3i) (5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i) (2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i) (1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.
