Egy pont összetett (összetett) mozgásának definíciója. Abszolút, relatív és hordozható mozgás, sebesség és gyorsulás meghatározása. A sebességek összeadásáról szóló tétel és a gyorsulások összeadásáról szóló Coriolis-tétel bizonyítása. Coriolis (forgó) gyorsulás.

Tartalom

Itt megmutatjuk, hogy összetett mozgásban, abszolút pontsebesség egyenlő vektor összege relatív és hordozható sebességek:
.
Egy pont abszolút gyorsulása egyenlő a relatív, transzport és Coriolis (forgó) gyorsulások vektorösszegével:
,
hol van a Coriolis-gyorsulás.

Az alábbiakban vázolt elmélet alkalmazására a „Komplex pontmozgás. Példa egy probléma megoldására.”

Egy pont összetett (összetett) mozgása

Gyakran előfordul, hogy egy pont bizonyos mozgást végez egyesekhez képest szilárd. Ez a test pedig egy rögzített koordinátarendszerhez képest mozog. Sőt, egy pontnak a testhez viszonyított mozgása és a test mozgásának törvénye egy rögzített koordinátarendszerhez képest ismert vagy meghatározott. Meg kell találni egy pont kinematikai mennyiségeit (sebesség és gyorsulás) egy rögzített koordináta-rendszerhez képest.

Egy pontnak ezt a mozgását ún összetett vagy összetett.

Egy pont összetett vagy összetett mozgása egy mozgó koordinátarendszerben történő mozgás. Vagyis egy pont mozgását egy koordinátarendszerben írják le, amely maga is egy rögzített koordinátarendszerhez képest mozog.

Továbbá a bemutatás érthetősége érdekében feltételezzük, hogy a mozgó koordinátarendszer mereven kapcsolódik valamilyen merev testhez. Egy pont testhez viszonyított mozgását fogjuk figyelembe venni ( relatív mozgás) és a test mozgása egy rögzített koordinátarendszerhez képest (hordozható mozgás).

Egy pont relatív mozgása összetett mozgás során a pontnak a testhez viszonyított mozgása (mozgó koordinátarendszer), feltételezve, hogy a test nyugalomban van.

Egy pont hordozható mozgása összetett mozgás során egy test által mereven összekötött pont mozgása, amelyet a test mozgása okoz.

Egy pont abszolút mozgása összetett mozgás során a pontnak egy rögzített koordinátarendszerhez viszonyított mozgása, amelyet a test mozgása és a pont testhez viszonyított mozgása okoz.

Nehéz mozgás. Az M pont egy mozgó testhez képest elmozdul.

Legyen Oxyz egy rögzített koordinátarendszer, O n x o y o z o egy mozgó koordinátarendszer, amely mereven kapcsolódik a testhez. Legyenek a mozgó koordinátarendszer x o , y o , z o tengelyei mentén irányított egységvektorok (orts). Ekkor egy rögzített rendszerben az M pont sugárvektorát a következő képlet határozza meg:
(1) ,
ahol az O n pont sugárvektora - a testhez tartozó mozgó koordinátarendszer origója.

Relatív sebesség és gyorsulás

at relatív mozgás a pont testváltozáshoz viszonyított x o, y o, z o koordinátái. A vektorok pedig állandóak, függetlenek az időtől. Megkülönböztető (1) időben, állandókat feltételezve, képleteket kapunk a relatív sebességre és gyorsulásra:
(2) ;
(3) .

Egy pont relatív sebessége az összetett mozgás során a pont sebessége a test stacioner helyzetében (mozgó koordinátarendszer), amelyet a pont testhez viszonyított mozgása okoz.

Egy pont relatív gyorsulása összetett mozgás során egy pont gyorsulása, amikor a test áll, és amelyet a pont testhez viszonyított mozgása okoz.

Átviteli sebesség és gyorsulás

at hordozható mozgás megváltoznak a test helyzetét meghatározó vektorok. Az x o, y o, z o pont relatív koordinátái állandók. Megkülönböztető (1) időben, figyelembe véve x o, y o, z o állandót, képleteket kapunk a hordozható sebességre és gyorsulásra:
(4) ;
(5) .

Egy pont hordozható sebessége összetett mozgás során a testhez mereven kapcsolódó pont sebessége, amelyet a test mozgása okoz.

Egy pont hordozható gyorsulása összetett mozgás során a testhez mereven kapcsolódó pontnak a test mozgása által okozott gyorsulása.

Az idő deriváltjai az O n mozgó koordinátarendszer origójának sebessége és gyorsulása: ; .

Keressünk képleteket a vektorok időbeli deriváltjaira. Ehhez vegyünk egy merev test két tetszőleges pontját A és B.

Sebességüket a következő összefüggés határozza meg:
.
(lásd a „Merev test pontjainak sebessége és gyorsulása” oldalt). Tekintsünk egy A pontból B pontba húzott vektort.
.
Majd
.
Idő szerint megkülönböztetünk, és az előző képletet alkalmazzuk:
(6) , , .

Tehát találtunk egy képletet a test két pontját összekötő vektor időbeli deriváltjára: (4) :

.
Mivel a vektorok mereven kapcsolódnak a testhez, időbeli deriváltjaikat a következő képlet határozza meg: (4) Csere be

Tehát a kifejezés (5) egy merev test pontjainak sebességének képletéhez vezet.
,
Hasonló átalakítások végrehajtása a képleten

, kapunk egy képletet egy merev test pontjainak gyorsulására:

at hol van a test szöggyorsulása. mind a test helyzetét meghatározó vektorok, mind az x o, y o, z o pont relatív koordinátái változnak.

Egy pont abszolút sebessége összetett mozgás közben a pont sebessége egy rögzített koordinátarendszerben.

Egy pont abszolút gyorsulása összetett mozgás során a pont gyorsulása egy rögzített koordinátarendszerben.

Sebességösszeadás tétel

Összetett mozgás esetén egy pont abszolút sebessége megegyezik a relatív és a transzlációs sebesség vektorösszegével:
.

Bizonyíték

Tegyünk különbséget (1) (2) És (4) .
(1) ;
(7)
.

Coriolis-tétel a gyorsulások összeadásáról

Összetett mozgásban egy pont abszolút gyorsulása megegyezik a relatív, transzlációs és Coriolis (forgó) gyorsulások vektorösszegével:
,
Ahol
- Coriolis gyorsulás.

Bizonyíték

Tegyünk különbséget (7) időben, az összeg és a szorzat megkülönböztetésének szabályait alkalmazva. Aztán cseréljük (3) És (5) .
(7) .


.

Az utolsó félévben jelentkezünk (6) És (2) .

.
Majd
.

Valamelyik vonatkoztatási rendszerhez képest mozog, az pedig egy másik referenciarendszerhez képest. Ebben az esetben felmerül a kérdés, hogy mi a kapcsolat a pont mozgása között ebben a két referenciapontban.

Általában az egyik referenciapontot alapnak („abszolút”) választják, a másikat „mozgathatónak” nevezik, és a következő kifejezéseket vezetjük be:

• abszolút mozgás- ez egy pont/test mozgása az alap SO-ban.
• relatív mozgás- ez egy pont/test mozgása egy mozgó vonatkoztatási rendszerhez képest.
• hordozható mozgás- ez a második CO mozgása az elsőhöz képest.

Bemutatjuk a megfelelő sebességek és gyorsulások fogalmait is. Például a hordozható sebesség egy pont sebessége, amely egy mozgó referenciakeretnek az abszolúthoz viszonyított mozgásából adódik. Más szóval, ez egy mozgó vonatkoztatási rendszerben egy pont sebessége, amely egy adott időpillanatban egy anyagi ponttal esik egybe.

Kiderül, hogy a különböző referenciarendszerekben a gyorsulások közötti kapcsolat megszerzésekor a mozgó referenciarendszer elfordulása miatt újabb gyorsulás bevezetése válik szükségessé:

A további megfontolás során az alap FR inerciálisnak tekinthető, és a mozgó FR-re nincs korlátozás.

Klasszikus mechanika

Az összetett pontmozgás kinematikája

Sebesség

.

Az összetett mozgás kinematikájának fő feladata, hogy egy pont (vagy test) abszolút és relatív mozgásának kinematikai jellemzői és egy mozgó vonatkoztatási rendszer, azaz a hordozható mozgás jellemzői között összefüggéseket állapítson meg. Egy pont esetében ezek a függőségek a következők: a pont abszolút sebessége egyenlő geometriai összeg relatív és hordozható sebesség, azaz

.

Gyorsulás

A gyorsulások közötti kapcsolatot úgy találhatjuk meg, hogy differenciáljuk az összefüggést a sebességekre, nem feledve, hogy a mozgó koordináta-rendszer koordinátavektorai is függhetnek az időtől.

Egy pont abszolút gyorsulása megegyezik három gyorsulás – relatív, hordozható és Coriolis – geometriai összegével, azaz

.

A komplex testmozgások kinematikája

Merev test esetén, amikor az összes összetett (vagyis a relatív és transzlációs) mozgás transzlációs, az abszolút mozgás is transzlációs, amelynek sebessége megegyezik az összetett mozgások sebességének geometriai összegével. Ha egy test alkotóelemeinek mozgásai olyan tengelyek körül forognak, amelyek egy pontban metszik egymást (például giroszkópban), akkor az így létrejövő mozgás e pont körül is forog, a szög geometriai összegével egyenlő pillanatnyi szögsebességgel. az alkatrészek mozgásának sebessége. Ha a test alkotóelemeinek mozgása mind transzlációs, mind forgó jellegű, akkor az így létrejövő mozgás általános esetben pillanatnyi csavarmozgások sorozatából tevődik össze.

Kiszámíthatja a merev test különböző pontjainak sebességei közötti összefüggést a különböző referenciarendszerekben, ha kombinálja a sebességek összeadási képletét és a merev test pontjai sebességének összefüggésére vonatkozó Euler-képletet. A gyorsulások közötti kapcsolatot úgy találjuk meg, hogy az eredményül kapott vektoregyenlőséget egyszerűen megkülönböztetjük az idő függvényében.

Komplex pontmozgások dinamikája

Ha nem inerciális vonatkoztatási rendszerben vizsgáljuk a mozgást, az első 2 Newton-törvény sérül. Formális megvalósításuk biztosítására általában további, fiktív (valójában nem létező) tehetetlenségi erőket vezetnek be: centrifugális erőt és Coriolis erőt. Ezeknek az erőknek a kifejezéseit a gyorsulások közötti kapcsolatból kapjuk (előző rész).

Relativisztikus mechanika

Sebesség

A fénysebességhez közeli sebességeknél a Galilei-transzformációk nem teljesen invariánsak, és a sebességek hozzáadásának klasszikus képlete nem állja meg a helyét. Ehelyett a Lorentz-transzformációk invariánsak, és a sebességek közötti kapcsolat két inerciális referenciakeretben a következő:

feltéve, hogy a sebesség az S rendszer x tengelye mentén irányul. Könnyen belátható, hogy a nem relativisztikus sebességek határán a Lorentz-transzformációk a galilei transzformációkra redukálódnak.

Irodalom

• N. G. Chetaev. " Elméleti mechanika" M.: Tudomány. 1987. 368 p.

A relatív mozgási probléma általános megfogalmazása a következő: egy pont mozgását két különböző koordinátarendszerhez (referenciarendszerhez) társított megfigyelők határozzák meg, és ezek a rendszerek egymáshoz képest adott módon mozognak. Minden megfigyelő a saját referenciarendszerében határozza meg a mozgás kinematikai elemeit: a pályát, a sebességet és a gyorsulást. A feladat felvetődik: az egyik vonatkoztatási rendszer mozgásának ismeretében a másikhoz viszonyítva keresse meg a kapcsolatot egy pont mozgásának kinematikai elemei között minden rendszerhez képest külön-külön. Tegyük fel, hogy a pont mozgása M a térben két egymáshoz képest mozgó koordinátarendszerben tekinthető: Oxyz, És (41. ábra). A ránk váró feladat tartalmától függően az egyik ilyen rendszer Oxyz Vegyük ezt főnek, és nevezzük abszolút rendszernek és minden kinematikai elemét abszolútnak. Egy másik rendszer Nevezzük relatívnak, és ennek megfelelően az ehhez a rendszerhez viszonyított mozgást, valamint kinematikai elemeit relatívnak. Az „abszolút” és a „relatív” kifejezések itt konvencionális jelentéssel bírnak; a mozgások mérlegelésekor tanácsos lehet először az egyik vagy a másik rendszert abszolútnak tekinteni. Az abszolút mozgás elemeit az alsó index jelöli A ", és relatív - az indexszel" r ».

Bemutatjuk a hordozható mozgás fogalmát, melynek elemeit az alsó index jelöli. e " Egy pont hordozható mozgását mozgásnak nevezzük (a abszolút rendszer) a relatív rendszer azon pontja, amelyen a mozgó pont áthalad a vizsgált időpillanatban. A hordozható mozgás fogalmát tisztázni kell. Világosan meg kell különböztetni azt a pontot, amelynek abszolút és relatív mozgását vizsgáljuk, attól a ponttól, amely változatlanul kapcsolódik ahhoz a relatív rendszerhez, amelyen a mozgó pont éppen áthalad. Általában mindkét pontot ugyanaz a betű jelöli M, mivel a rajz nem közvetít mozgást; valójában két különböző pont mozog egymáshoz képest.

Maradjunk a hordozható mozgás fogalmának két szemléltetésénél. Ha egy személy egy mozgó platformon sétál, akkor először is figyelembe vehetjük az ember „abszolút” mozgását a talajhoz képest, másodsorban pedig „relatív” mozgását az emelvény mentén. Ebben az esetben a hordozható mozgás az a peron helyének talajhoz viszonyított mozgása, amelyen egy személy éppen halad.

A PONT KOMPLEX MOZGÁSAI

1. § Egy pont abszolút, relatív és hordozható mozgása

Számos esetben figyelembe kell venni egy pont elmozdulását az O 1 ξηζ koordinátarendszerhez képest, amely viszont egy másik Oxy koordinátarendszerhez képest mozog, amelyet hagyományosan stacionerként fogadnak el. A mechanikában ezen koordinátarendszerek mindegyike egy bizonyos testhez kapcsolódik. Például fontolja meg a gördülést anélkül, hogy az autó kereke elcsúszna a sínen. Csatlakoztatjuk az Axy rögzített koordinátarendszert a sínhez, az Oξη mozgó koordinátarendszert pedig a kerék közepéhez, és feltételezzük, hogy az transzlációsan mozog. Egy pont mozgása a kerék peremén összetett vagy összetett.

Vezessük be a következő definíciókat:

1. Egy pontnak az Oxyz koordinátarendszerhez viszonyított mozgását (53. ábra) abszolútnak nevezzük.

2. Egy pont mozgása mozgó koordináta-rendszerhez képest O 1 ξηζ lakottnak nevezik.

3. Egy pont transzlációs mozgása egy mozgó koordináta-rendszerhez tartozó test azon pontjának mozgása O 1 ξηζ, egy rögzített koordináta-rendszerhez képest, amellyel a kérdéses mozgó pont jelenleg egybeesik.

Így a hordozható mozgást egy mozgó koordinátarendszer fixhez viszonyított mozgása okozza. Az adott kerék példában a kerék peremén lévő pont hordozható mozgása a koordinátarendszer transzlációs mozgásának köszönhető. O 1 ξηζ az Axy rögzített koordinátarendszerhez képest.

Egy pont abszolút mozgásának egyenleteit úgy kapjuk meg, hogy az x, y, z pont koordinátáit az idő függvényében fejezzük ki:

x=x(t), y = y(t), z = z(t).

Egy pont relatív mozgásának egyenletei alakja

ξ = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t).

IN parametrikus forma a (11.76) egyenletek az abszolút pálya, a (11.77) egyenletek pedig a relatív pálya egyenleteit fejezik ki.

Vannak még abszolút, hordozható és relatív sebességek, és ennek megfelelően egy pont abszolút, hordozható és relatív gyorsulása. Az abszolút sebességet jelöli υ a, rokon - υ r, hordozható - υ e Ennek megfelelően a gyorsulásokat a következőkkel jelöljük: ω a, ω rÉs ω e.

Egy pont összetett mozgásának kinematikájának fő feladata egy pont sebessége és gyorsulása közötti kapcsolat megállapítása két koordinátarendszerben: álló és mozgó.

Egy pont összetett mozgásában a sebességek és gyorsulások összeadására vonatkozó tételek bizonyítására bevezetjük a lokális vagy relatív derivált fogalmát.

Sebességösszeadás tétel

Tétel . Egy pont összetett (összetett) mozgásával, abszolút sebességével υ a egyenlő a relatív vektorösszegével υ rés hordozható υ e sebességek

Végezzen egyidejű mozgást az M pont a rögzített és mozgó koordinátarendszerhez képest (56. ábra). Jelöljük szögsebesség a koordinátarendszer Оξηζ elforgatása keresztül ω . Az M pont helyzetét a sugárvektor határozza meg r.

Határozzuk meg az M pont sebességei közötti összefüggést két koordinátarendszer - álló és mozgó - viszonylatában. Az előző bekezdésben bizonyított tétel alapján

Egy pont kinematikájából ismert, hogy egy mozgó pont sugárvektorának időbeli első deriváltja ennek a pontnak a sebességét fejezi ki. Ezért = r = υ a- abszolút sebesség, = υ r- relatív sebesség,

A ω x r = υ e- az M pont hordozható sebessége.

υ a= υ r+υ e

A (11.79) képlet kifejezi a sebességek paralelogramma szabályát. A koszinusztétel segítségével megtaláljuk az abszolút sebesség modulust:

Egyes kinematikai feladatokban meg kell határozni a relatív sebességet υ r. A (11,79)-ből az következik

υ r= υ a +(- υ e).

Így a relatív sebesség vektorának megalkotásához geometriailag össze kell adni az abszolút sebességet egy abszolút értékben egyenlő, de az átviteli sebességgel ellentétes irányú vektorral.

Eddig egy pont vagy test mozgását vizsgáltuk egyhez képest adott rendszer visszaszámlálás. A mechanikai problémák megoldása során azonban számos esetben tanácsos (és néha szükséges is) egy pont (vagy test) mozgását egyidejűleg figyelembe venni két vonatkoztatási rendszerhez képest, amelyek közül az egyiket tekintjük fő vagy feltételesen álló helyzetben, a másik pedig bizonyos módon mozog az elsőhöz képest.

A pont (vagy test) által végzett mozgást összetettnek vagy összetettnek nevezzük. Például egy mozgó gőzhajó fedélzetén gördülő golyó a parthoz képest összetett mozgást végrehajtó golyónak tekinthető, amely a fedélzethez viszonyított gördülésből (mozgó vonatkoztatási keret) és a gőzhajó fedélzetével együtt mozog. a parthoz képest (rögzített vonatkoztatási rendszer). Ily módon a labda összetett mozgása két egyszerűbb és könnyebben tanulmányozható részre bomlik. A kinematikai számításokban széles körben alkalmazzák azt a képességet, hogy egy további (mozgó) vonatkoztatási rendszer bevezetésével egy pont vagy test bonyolultabb mozgását egyszerűbbekre bontsuk, és meghatározza az ebben és a következőben tárgyalt összetett mozgás elmélet gyakorlati értékét. fejezeteket. Ezen túlmenően ennek az elméletnek az eredményeit a dinamikában használják fel a testek relatív egyensúlyának és relatív mozgásának tanulmányozására az erők hatására.

Tekintsünk egy mozgó vonatkoztatási rendszerhez képest mozgó M pontot, amely viszont valamilyen módon elmozdul egy másik referenciarendszerhez képest, amelyet főnek vagy hagyományosan stacionáriusnak nevezünk (182. ábra). Természetesen ezek a referenciarendszerek mindegyikéhez kapcsolódik egy bizonyos test, a rajzon nem látható. Vezessük be a következő definíciókat.

1. Az M pont által a mozgó vonatkoztatási rendszerhez (a tengelyekhez) képest végrehajtott mozgást relatív mozgásnak nevezzük (ezt a mozgást a tengelyekhez társított és velük együtt mozgó megfigyelő fogja látni).

A relatív mozgásban lévő pont által leírt AB pályát relatív pályának nevezzük. Az M pont Oxyz tengelyekhez viszonyított sebességét relatív sebességnek (jelöljük), a gyorsulást relatív gyorsulásnak (jelöljük) nevezzük. A definícióból az következik, hogy a számításnál a tengelyek mozgása figyelmen kívül hagyható (stacionáriusnak tekinthető).

2. Az Oxyz mozgó vonatkoztatási rendszer (és a tér minden, vele változatlanul társított pontja) által az álló rendszerhez viszonyított mozgása az M pont számára hordozható mozgás.

Annak a pontnak a sebességét, amely változatlanul az Oxyz mozgó tengelyekhez kapcsolódik, és amellyel az M mozgó pont egy adott időpillanatban egybeesik, az M pont ebben a pillanatban hordozható sebességének (iper-vel jelölve), és ennek a pontnak a gyorsulásának nevezzük. az M pont hordozható gyorsulása (aper-rel jelölve). Így,

Ha elképzeljük, hogy egy pont relatív mozgása egy olyan szilárd test felületén (vagy belsejében) történik, amelyhez az Oxy mozgó tengelyek mereven kapcsolódnak, akkor az M pont hordozható sebessége (vagy gyorsulása) egy adott időpillanatban a test azon pontjának sebessége (vagy gyorsulása), amellyel M pont ebben a pillanatban egybeesik.

3. Egy pont által egy rögzített vonatkoztatási rendszerhez képest végrehajtott mozgást abszolútnak vagy komplexnek nevezzük. Ennek a mozgásnak a CD pályáját nevezzük abszolút pályának, a sebességet az abszolút sebességnek (jellel jelöljük), a gyorsulást pedig abszolút gyorsulásnak (jellel jelöljük).

A fenti példában a labda mozgása a gőzhajó fedélzetéhez képest relatív, a sebesség pedig a labda relatív sebessége lesz; a gőzös parthoz viszonyított mozgása a labda számára hordozható mozgás, és a fedélzet azon pontjának sebessége, amelyet a labda egy adott pillanatban érint, az adott pillanatban a hordozható sebessége lesz; végül a labda parthoz viszonyított mozgása lesz az abszolút mozgása, a sebesség pedig a labda abszolút sebessége.

A megfelelő kinematikai problémák megoldásához szükséges egy pont relatív, hordozható és abszolút sebességei és gyorsulásai közötti összefüggések megállapítása, amelyekre továbbtérünk.