Mi az a paralelogramma definíció. Parallelogramma tételek

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ez a definíció már elegendő, hiszen a paralelogramma többi tulajdonságai is ebből következnek, és tételek formájában bizonyítottak.

A paralelogramma fő tulajdonságai a következők:
a paralelogramma konvex négyszög;
A paralelogrammának vannak ellentétes oldalai, amelyek páronként egyenlőek;
A paralelogrammában a szemközti szögek páronként egyenlőek;

A paralelogramma átlóit kettéosztjuk a metszésponttal.

Parallelogramma - konvex négyszög Először bizonyítsuk be azt a tételt, hogy a paralelogramma egy konvex négyszög

. Egy sokszög konvex, ha bármelyik oldalát meghosszabbítják egyenessé, a sokszög összes többi oldala ennek az egyenesnek az ugyanazon az oldalán lesz.

Adjunk meg egy ABCD paralelogrammát, amelyben az AB a CD, a BC pedig az AD szemközti oldala. Ekkor a paralelogramma definíciójából következik, hogy AB || CD, BC || HIRDETÉS. Nincsenek párhuzamos vonalak közös pontok

, nem metszik egymást. Ez azt jelenti, hogy a CD az AB egyik oldalán fekszik. Mivel a BC szakasz az AB szakasz B pontját a CD szakasz C pontjával, az AD szakasz pedig az AB és CD többi pontját köti össze, a BC és AD szakaszok szintén az AB egyenes ugyanazon az oldalán helyezkednek el, ahol a CD. Így mindhárom oldal - CD, BC, AD - az AB ugyanazon az oldalán fekszik.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy a paralelogramma másik oldalához képest a másik három oldal ugyanazon az oldalon fekszik.

A szemközti oldalak és a szögek egyenlőek A paralelogramma egyik tulajdonsága az A paralelogrammában a szemközti oldalak és a szemközti szögek páronként egyenlőek

. Például, ha adott egy ABCD paralelogramma, akkor AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ezt a tételt a következőképpen bizonyítjuk.

A paralelogramma négyszög. Ez azt jelenti, hogy két átlója van. Mivel a paralelogramma konvex négyszög, bármelyikük két háromszögre osztja. Tekintsük az ABCD paralelogrammán az AC átló megrajzolásával kapott ABC és ADC háromszögeket.

Ezekben a háromszögekben az AB oldal a CD oldalnak, a BC oldal pedig az AD oldalnak felel meg. Ezért AB = CD és BC = AD.

A B szög a D szögnek felel meg, azaz ∠B = ∠D. A paralelogramma A szöge két szög – ∠BAC és ∠CAD – összege. A C szög egyenlő ∠BCA-val és ∠ACD-vel. Mivel a szögpárok egyenlőek egymással, akkor ∠A = ∠C.

Így bebizonyosodott, hogy egy paralelogrammában a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek.

Az átlók ketté vannak osztva

Mivel a paralelogramma konvex négyszög, két átlója van, és ezek metszik egymást. Legyen adott az ABCD paralelogramma, melynek AC és BD átlói az E pontban metszik egymást. Tekintsük az általuk alkotott ABE és CDE háromszögeket.

Ezeknek a háromszögeknek AB és CD oldalai megegyeznek a paralelogramma szemközti oldalaival. Az ABE szög egyenlő a CDE szöggel, amely keresztben fekszik az AB és CD párhuzamos egyenesekkel. Ugyanezen okból ∠BAE = ∠DCE. Ez azt jelenti, hogy két szögben ∆ABE = ∆CDE és a közöttük lévő oldal.

Azt is észreveheti, hogy az AEB és a CED szögek függőlegesek, ezért egymással is egyenlők.

Mivel az ABE és CDE háromszögek egyenlőek egymással, ezért minden hozzájuk tartozó elem egyenlő. Az első háromszög AE oldala a második CE oldalának felel meg, ami azt jelenti, hogy AE = CE. Hasonlóan BE = DE. Minden pár egyenlő szakasz egy paralelogramma átlóját alkotja. Így bebizonyosodott, hogy A paralelogramma átlóit metszéspontjuk felezi.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. A paralelogramma területe egyenlő az alapja (a) és magassága (h) szorzatával. A területét két oldalon és egy szögben és átlókban is megtalálhatja.

A paralelogramma tulajdonságai

1. A szemközti oldalak azonosak

Először is rajzoljuk meg az $AC$ átlót. Két háromszöget kapunk: $ABC$ és $ADC$.

Mivel az $ABCD$ egy paralelogramma, a következő igaz:

$HIRDETÉS || BC \Jobbra \angle 1 = \angle 2$ mint keresztben fekve.

$AB || CD \Jobbra \angle3 = \angle 4$ mint keresztben fekve.

Ezért (a második kritérium szerint: és $AC$ gyakori).

És ez azt jelenti $\háromszög ABC = \háromszög ADC$, majd $AB = CD$ és $AD = BC$ .

2. Az ellentétes szögek azonosak

A bizonyítás szerint tulajdonságok 1 ezt tudjuk $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4$. Így az ellentétes szögek összege: $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4$. Ezt figyelembe véve $\háromszög ABC = \háromszög ADC$ kapjuk a $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ .

3. Az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal

Által tulajdonság 1 tudjuk, hogy a szemközti oldalak azonosak: $AB = CD$ . Még egyszer vegye figyelembe a keresztben fekvő egyenlő szögeket.

Így egyértelmű, hogy $\háromszög AOB = \háromszög COD$ a háromszögek (két szög és a közöttük lévő oldal) egyenlőségének második jele szerint. Azaz $BO = OD$ (a $\angle 2$ és $\angle 1$ szögekkel szemben) és $AO = OC$ (a $\angle 3\ szögekkel) és \( \angle 4$ rendre).

A paralelogramma jelei

Ha csak egy jellemző szerepel a feladatban, akkor az ábra paralelogramma, és ennek az ábra összes tulajdonságát használhatja.

A jobb memorizálás érdekében vegye figyelembe, hogy a paralelogramma jel a következő kérdésre válaszol: – hogyan lehet megtudni?. Vagyis hogyan lehet kideríteni, hogy egy adott ábra paralelogramma.

1. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két oldala egyenlő és párhuzamos

$AB = CD$ ; $AB || CD \Jobbra ABCD$- paralelogramma.

Nézzük meg közelebbről. Miért $AD || BC $?

$\háromszög ABC = \háromszög ADC$Által tulajdonság 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ keresztben fekszik, ha $AB $ és $CD $ és a szekáns $AC $ párhuzamos.

De ha $\háromszög ABC = \háromszög ADC$, majd $\angle 3 = \angle 4 $ (szemben $AD || BC $ ($\angle 3 $ és $\angle 4 $ - a keresztben fekvők is egyenlők).

Az első jel helyes.

2. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai egyenlőek

$AB = CD $ , $AD = BC \Jobbra ABCD $ egy paralelogramma.

Tekintsük ezt a jelet. Rajzoljuk meg újra az $AC$ átlót.

Által tulajdonság 1$\háromszög ABC = \háromszög ACD$.

Ebből az következik, hogy: $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC $És $\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD $, azaz $ABCD$ egy paralelogramma.

A második jel helyes.

3. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti szögei egyenlőek

$\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D \Jobbra ABCD$- paralelogramma.

$2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) $(mivel $\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D$ feltétel szerint).

Kiderült, . De a $\alpha $ és a $\beta $ belső egyoldali az $AB $ szekánsnál.

És mit $\alpha + \beta = 180^(\circ) $ azt is mondja, hogy $Kr. || Kr.e. $ .

1. A paralelogramma definíciója.

Ha egy pár párhuzamos egyenest metszünk egy másik pár párhuzamos egyenessel, akkor olyan négyszöget kapunk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

ABDC és EFNM négyszögekben (224. ábra) ВD || AC és AB || CD;

EF || MN és EM || FN.

Azt a négyszöget, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, paralelogrammának nevezzük.

2. A paralelogramma tulajdonságai.

Tétel. A paralelogramma átlója két egyenlő háromszögre osztja.

Legyen egy ABDC paralelogramma (225. ábra), amelyben AB || CD és AC || ВD.

Be kell bizonyítani, hogy az átló két egyenlő háromszögre osztja.

Rajzoljuk meg a CB átlót az ABDC paralelogrammán. Bizonyítsuk be, hogy $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

Az ÉK-i oldal közös ezekben a háromszögekben; ∠ABC = ∠BCD, mint belső keresztirányú szögek párhuzamos AB-vel és CD-vel, valamint a szekáns CB-vel; ∠ACB = ∠СВD, mint a belső keresztirányú szögek párhuzamos AC és BD és szekáns CB mellett.

Ezért $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

Ugyanígy bebizonyítható, hogy az AD átló a paralelogrammát két egyenlő ACD és ABD háromszögre osztja.

Következmények:

1 . A paralelogramma ellentétes szögei egyenlőek egymással.

∠A = ∠D, ez a CAB és CDB háromszögek egyenlőségéből következik.

Hasonlóképpen ∠C = ∠B.

2. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek egymással.

AB = CD és AC = BD, mivel ezek egyenlő háromszögek oldalai és egyenlő szögekkel ellentétesek.

2. tétel. A paralelogramma átlóit a metszéspontjukban kettéosztjuk.

Legyen BC és AD az ABC paralelogramma átlói (226. ábra). Bizonyítsuk be, hogy AO = OD és CO = OB.

Ehhez hasonlítson össze néhány ellentétes háromszögpárt, például $\Delta$AOB és $\Delta$СOD.

Ezekben a háromszögekben AB = CD, mint egy paralelogramma szemközti oldalai;

∠1 = ∠2, mint belső szögek, amelyek keresztbe fekszenek az AB-vel és a CD-vel párhuzamosan, valamint az AD szekánssal;

∠3 = ∠4 ugyanezen okból, mivel AB || A CD és az SV a szekánsaik.

Ebből következik, hogy $\Delta$AOB = $\Delta$СOD. És be egyenlő háromszögek egymással szemben egyenlő szöggel fekszenek egyenlő oldalak. Ezért AO = OD és CO = OB.

3. tétel. A paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögek összege egyenlő 180°.

Az ABCD paralelogrammában megrajzoljuk az AC átlót, és két ABC és ADC háromszöget kapunk.

A háromszögek egyenlőek, mivel ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (párhuzamos egyenesek keresztirányú szögei), és az AC oldal közös.
Az $\Delta$ABC = $\Delta$ADC egyenlőségből az következik, hogy AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Az egyik oldallal szomszédos szögek, például az A és D szögek összege egyenlő 180°-kal, mint párhuzamos egyenesek egyoldalú szögei.

Meghatározás

Paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

A paralelogramma átlóinak metszéspontját ún központ.

A paralelogramma tulajdonságai:

A paralelogramma bármely két szomszédos szögének összege $180^(\circ)$, és a szemközti szögek egyenlőek.
A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek.
A paralelogramma átlói a metszéspontban metszik egymást és felezik.

Bizonyíték

Legyen adott egy $ABCD$ paralelogramma.

1. Figyeljük meg, hogy egy paralelogramma $A$ és $B$ szomszédos szögei egyoldalú belső szögek, amelyekben párhuzamosak az $AD$ és $BC$ vonalak és egy szekáns $AB$, azaz összegük $180^ \circ$. Ugyanígy más szögpároknál is.

Ha $\angle A + \angle B=180^\circ$ és $\angle C + \angle B=180^\circ$, akkor $\angle A = \angle C$. Hasonlóképpen, $\angle B = \angle D$.

2. Tekintsük az $ABC$ és a $CDA$ háromszögeket. A paralelogramma szemközti oldalainak párhuzamosságából következik, hogy $\angle BAC=\angle DCA$ és $\angle BCA=\angle DAC$. Mivel a $AC$ gyakori, ezért az $ABC$ és a $CDA$ háromszögek egyenlőek a második kritérium szerint. A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy $AB=CD$ és $BC=AD$.

3. Mivel a paralelogramma konvex négyszög, átlói metszik egymást. Legyen $O$ a metszéspont. A paralelogramma $BC$ és $AD$ oldalainak párhuzamosságából következik, hogy $\angle OAD=\angle OCB$ és $\angle ODA=\angle OBC$. Figyelembe véve a $BC=AD$ egyenlőséget, azt kapjuk, hogy a $AOD$ és $COB$ háromszögek a második kritérium szerint egyenlőek. Ezért $AO=CO$ és $DO=BO$, szükség szerint.

A paralelogramma jelei:

Ha egy négyszögben bármely két szomszédos szög összege $180^(\circ)$, akkor ez a négyszög paralelogramma.
Ha egy négyszögben a szemközti szögek páronként egyenlőek, akkor ez a négyszög paralelogramma.
Ha egy négyszögben a szemközti oldalak páronként egyenlőek, akkor ez a négyszög paralelogramma.
Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor a négyszög paralelogramma.
Ha egy négyszög átlóit metszéspontjuk felezi, akkor a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték

Legyen $ABCD$ négyszög.

1. Vegye figyelembe, hogy a szomszédos $A$ és $B$ szögek egyoldalú belső szögek $AD$ és $BC$ egyenesekkel és keresztirányú $AB$ vonalakkal. Mivel összegük $180^\circ$, ezért az $AD$ és a $BC$ egyenesek párhuzamosak. Hasonlóan egy másik egyenespárhoz, vagyis az $ABCD$ definíció szerint paralelogramma.

2. Vegye figyelembe, hogy $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$. Ha $\angle A = \angle C$, és $\angle B = \angle D$, akkor $\angle A + \angle B=180^\circ$ és hasonlóképpen más szomszédos szögpárok esetében. Ezután az előző jelet használjuk.

3. Tekintsük az $ABC$ és a $CDA$ háromszögeket. Mivel a $AC$ gyakori, ezért a paralelogramma szemközti oldalainak egyenlőségéből következik, hogy az $ABC$ és $CDA$ háromszögek a harmadik kritérium szerint egyenlőek. Ezért $\angle BAC=\angle DCA$ és $\angle BCA=\angle DAC$, ami az ellentétes oldalak párhuzamosságára utal.

4. Legyen $BC$ és $AD$ egyenlő és párhuzamos. Tekintsük az $ABC$ és a $CDA$ háromszögeket. Az egyenesek párhuzamosságából következik, hogy $\angle BCA=\angle DAC$. Mivel $AC$ általános és $BC=AD$, ezért az $ABC$ és $CDA$ háromszögek egyenlőek az első kritérium szerint. Ezért $AB=CD$. Ezután az előző jelet használjuk.

5. Legyen $O$ az átlók metszéspontja és $AO=CO$, és $DO=BO$ A függőleges szögek egyenlőségét figyelembe véve azt kapjuk, hogy a $AOD$ és $COB$ háromszögek: egyenlő az első kritérium szerint. Ezért $\angle OAD=\angle OCB$, ami $BC$ és $AD$ párhuzamosságára utal. Ugyanígy a másik oldalpárnál is.

Meghatározás

Olyan négyszöget nevezünk, amelynek három derékszöge van téglalap.

A téglalap tulajdonságai:

Egy téglalap átlói egyenlőek.

Bizonyíték

Legyen adott egy $ABCD$ téglalap. Mivel a téglalap paralelogramma, szemközti oldalai egyenlőek. Majd derékszögű háromszögek$ABD$ és $DCA$ egyenlő két lábon, ami azt jelenti, hogy $BD=AC$.

A téglalap jellemzői:

Ha egy paralelogrammának van derékszöge, akkor ez a paralelogramma téglalap.
Ha egy paralelogramma átlói egyenlőek, akkor ez a paralelogramma téglalap.

Bizonyíték

1. Ha egy paralelogramma egyik szöge egyenes, akkor figyelembe véve, hogy a szomszédos szögek összege $180^(\circ)$, azt kapjuk, hogy a többi szög is egyenes.

2. Legyenek egyenlőek az $AC$ és $BD$ átlói az $ABCD$ paralelogrammában. Figyelembe véve az $AB$ és $DC$ szemközti oldalak egyenlőségét, azt kapjuk, hogy az $ABD$ és $DCA$ háromszögek a harmadik kritérium szerint egyenlőek. Ezért $\angle BAD=\angle CDA$, azaz egyenesek. Marad az előző jel használata.

Meghatározás

Olyan négyszöget nevezünk, amelynek minden oldala egyenlő gyémánt

A rombusz tulajdonságai:

A rombusz átlói egymásra merőlegesek, és a szögeinek felezői.

Bizonyíték

Az $ABCD$ rombusz $AC$ és $BD$ átlói a $O$ pontban metszik egymást. Mivel a rombusz paralelogramma, $AO=OC$. Mérlegeljük egyenlő szárú háromszög$ABC$. Mivel $AO$ az alaphoz húzott medián, ez a felező és a magasság, amire szükség volt.

A gyémánt jelei:

Ha egy paralelogramma átlói egymásra merőlegesek, akkor ez a paralelogramma rombusz.
Ha egy paralelogramma átlója szögfelezője, akkor ez a paralelogramma rombusz.

Bizonyíték

Legyen az $ABCD$ paralelogramma $AC$ és $BD$ átlója a $O$ pontban metszi egymást. Tekintsük az $ABC$ háromszöget.

1. Ha az átlók merőlegesek, akkor $BO$ a háromszög mediánja és magassága.

2. Ha az $BD$ átló tartalmazza az $ABC$ szög felezőjét, akkor $BO$ a háromszög mediánja és felezője.

Mindkét esetben azt találjuk, hogy az $ABC$ háromszög egyenlő szárú, és egy paralelogrammában a szomszédos oldalak egyenlőek. Ezért ez egy rombusz, amire szükség volt.

Meghatározás

Olyan téglalapot nevezünk, amelynek két szomszédos oldala egyenlő négyzet.

A négyzet jelei:

Ha egy rombusznak van derékszöge, akkor ez a rombusz négyzet.
Ha egy rombusznak egyenlő átlói vannak, akkor a rombusz négyzet.

Bizonyíték

Ha egy paralelogrammának derékszöge vagy egyenlő átlói vannak, akkor téglalapról van szó. Ha egy négyszög téglalap és rombusz, akkor négyzet.

Meghatározás

Paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Az 1. ábrán látható a $A B C D, A B\|C D, B C\| paralelogramma Egy D$.

A paralelogramma tulajdonságai

Egy paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek: $A B=C D, B C=A D$ (1. ábra).
Egy paralelogrammában a szemközti szögek egyenlőek: $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ (1. ábra).
A metszéspontban lévő paralelogramma átlóit kettéosztjuk $A O=O C, B O=O D$ (1. ábra).
A paralelogramma átlója két egyenlő háromszögre osztja.

Az egyik oldallal szomszédos paralelogramma szögeinek összege $180^(\circ)$:

$$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle B+\angle C=180^(\circ)$$

$$\angle C+\angle D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$

A paralelogramma átlói és oldalai a következő összefüggéssel kapcsolódnak egymáshoz:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

A paralelogrammában a magasságok közötti szög egyenlő annak éles sarok: $\angle K B H=\angle A$.
A paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögfelezők egymásra merőlegesek.
Egy paralelogramma két szemközti szögének felezőpontja párhuzamos.

A paralelogramma jelei

Az $ABCD$ négyszög paralelogramma, ha

$A B=C D$ és $A B \| C D$
$A B=C D$ és $B C=A D$
$A O=O C$ és $B O=O D$
$\angle A=\angle C$ és $\angle B=\angle D$

A paralelogramma területe a következő képletek egyikével számítható ki:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Példák problémamegoldásra

Példa

Gyakorlat. Egy paralelogramma két szögének összege $140^(\circ)$. Keresse meg a paralelogramma legnagyobb szögét!

Megoldás. A paralelogrammában a szemközti szögek egyenlőek. Jelöljük a paralelogramma nagyobb szögét $\alpha$-ként, a kisebb szöget pedig $\beta$-ként. A $\alpha$ és a $\beta$ szögek összege $180^(\circ)$, tehát egy adott $140^(\circ)$ összeg két szemközti szög összege, majd $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Így a kisebb szög $\beta=70^(\circ)$. A nagyobb $\alpha$ szöget a relációból találjuk meg:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Válasz.$\alpha=110^(\circ)$

Példa

Gyakorlat. A paralelogramma oldalai 18 cm és 15 cm, a rövidebb oldalra húzott magasság pedig 6 cm. Keresse meg a paralelogramma másik magasságát!

Megoldás. Készítsünk rajzot (2. ábra)