Tartalomjegyzék
Előszó 5
1. fejezet Differenciálegyenletek és megoldásaik 7
1. § A 7. differenciálegyenlet fogalma
2. § A megoldáskeresés legegyszerűbb módszerei 14
3. § Az egyenletek sorrendjének csökkentésére szolgáló módszerek 22
2. fejezet Létezés és általános tulajdonságok megoldások 27
4. §. Normál nézet rendszerek differenciálegyenletekés vektorjelölése 27
5. § Megoldás megléte és egyedisége 34
§ b. A megoldások folytatása 47
7. § A megoldás folyamatos függése a kezdeti feltételektől és az 52. egyenlet jobb oldalától
8. § A derivált tekintetében fel nem oldott egyenletek 57
3. fejezet Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek 67
9. § Lineáris rendszerek tulajdonságai 67
10. §. Lineáris egyenletek bármilyen rendelés 81
§ 11. Lineáris egyenletek -val állandó együtthatók 92
12. § Másodrendű lineáris egyenletek 109
13. § Határérték-problémák 115
14. §. Lineáris rendszerekállandó szorzóval 124
15. §. Exponenciális függvény mátrixok J 137
16. § Lineáris rendszerek periodikus együtthatóval 145
4. fejezet Autonóm rendszerek és reziliencia 151
17. § Autonóm rendszerek 151
18. § A stabilitás fogalma 159
19. § Stabilitás vizsgálata Ljapunov-függvények segítségével 167
20. § Stabilitás az első közelítés szerint 175
21. §. Különleges pontok 181
22. § Határciklusok 190
5. fejezet A megoldás differenciálhatósága egy paraméter és alkalmazásai tekintetében 196
23. § A megoldás differenciálhatósága a 196-os paraméter tekintetében
24. § Aszimptotikus módszerek differenciálegyenletek megoldására 202
25. § Első integrálok 212
26. § Elsőrendű parciális differenciálegyenletek 221
Irodalom 234
Tárgymutató 237

A könyv mindent tartalmaz oktatási anyag a Felsőoktatási Minisztérium programjának megfelelően az egyetemek mechanikai, matematikai és fizika-matematika szakainak differenciálegyenletek tantárgyára. Van egy kis mennyiség is kiegészítő anyag műszaki alkalmazásokkal kapcsolatos. Ez lehetővé teszi az előadások anyagának kiválasztását az egyetem profiljától függően. A könyv terjedelme a meglévő tankönyvekhez képest jelentősen lecsökken a többletanyag csökkenése és az egyszerűbb bizonyítványok kiválasztása az oktatási szakirodalomban találhatók közül. Az elmélet kellő részletességgel kerül bemutatásra, és nem csak az erős, hanem az átlagos tanulók számára is hozzáférhető. A megoldási példákat magyarázatokkal együtt közöljük tipikus feladatok. A bekezdések végén A. F. „A differenciálegyenletek problémáinak gyűjteménye” című gyakorlatok feladatainak száma látható. Filippov és szakirodalmi hivatkozásokkal megjelöl néhány elméleti irányt a bemutatott kérdésekkel kapcsolatban.

Nemlineáris rendszerek megoldásáról.
Csak néhány egyszerű rendszer esetében lehetséges véges számú művelettel megoldást találni. Ha egy adott rendszerből közvetlenül kivesszük az ismeretleneket, akkor olyan egyenletet kapunk, amelynek deriváltjai nagyobbak, mint magasrendű, amit semmivel sem könnyebb megoldani, mint ezt a rendszert.

Gyakrabban megoldható egy rendszer integrálható kombinációk megtalálásával. Az integrálható kombináció vagy csak két változót tartalmazó rendszeregyenletek kombinációja
mennyiségek, és amely egy megoldható differenciálegyenlet, vagy amelynek mindkét oldala kombinációja teljes differenciálmű. Minden integrálható kombinációból megkapjuk az adott rendszer első integrálját. Ha egy adott rendszerből az ismeretleneket első integrálok segítségével elimináljuk, a deriváltak sorrendje nem növekszik.

Tartalomjegyzék
Előszó 5
1. fejezet Differenciálegyenletek és megoldásaik 7
1. § A 7. differenciálegyenlet fogalma
2. § A megoldáskeresés legegyszerűbb módszerei 14
3. § Az egyenletek sorrendjének csökkentésére szolgáló módszerek 22
2. fejezet A megoldások létezése és általános tulajdonságai 27
4. § Differenciálegyenlet-rendszer normálalakja és vektoros ábrázolása 27
5. § Megoldás megléte és egyedisége 34
§ b. A megoldások folytatása 47
7. § A megoldás folyamatos függése a kezdeti feltételektől és az 52. egyenlet jobb oldalától
8. § A derivált tekintetében fel nem oldott egyenletek 57
3. fejezet Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek 67
9. § Lineáris rendszerek tulajdonságai 67
10. § Tetszőleges sorrendű lineáris egyenletek 81
11. § Konstans együtthatós lineáris egyenletek 92
12. § Másodrendű lineáris egyenletek 109
13. § Határérték-problémák 115
14. § Állandó együtthatós lineáris rendszerek 124
15. § A J 137 mátrix exponenciális függvénye
16. § Lineáris rendszerek periodikus együtthatóval 145
4. fejezet Autonóm rendszerek és reziliencia 151
17. § Autonóm rendszerek 151
18. § A stabilitás fogalma 159
19. § Stabilitás vizsgálata Ljapunov-függvények segítségével 167
20. § Stabilitás az első közelítés szerint 175
21. § Egyedi pontok 181
22. § Határciklusok 190
5. fejezet A megoldás differenciálhatósága egy paraméter és alkalmazásai tekintetében 196
23. § A megoldás differenciálhatósága a 196-os paraméter tekintetében
24. § Aszimptotikus módszerek differenciálegyenletek megoldására 202
25. § Első integrálok 212
26. § Elsőrendű parciális differenciálegyenletek 221
Irodalom 234
Tárgymutató 237.

Ingyenes letöltés e-könyv kényelmes formátumban, nézze meg és olvassa el:
Töltse le gyorsan és ingyenesen a Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe, Filippov A.F., 2007 - fileskachat.com című könyvet.

• Az elemi matematika válogatott kérdései, A matematikai elemzés elemei, Lebedeva S.V., Rychagova I.A., 2019
• A matematikai tudományágak pedagógiai potenciálja a bölcsész hallgatók felkészítésében, Monográfia, Kislyakova M.A., Policka A.E., 2019

Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe. Filippov A.F.

2. kiadás, rev. - M.: 2007.- 240 p.

A könyv tartalmazza az egyetemek mechanikai, matematikai és fizika-matematika szakainak differenciálegyenletek tantárgyának Felsőoktatási Minisztérium programja szerinti összes oktatási anyagot. A műszaki alkalmazásokhoz kapcsolódóan kis mennyiségű kiegészítő anyag is található. Ez lehetővé teszi az előadások anyagának kiválasztását az egyetem profiljától függően. A könyv terjedelme a meglévő tankönyvekhez képest jelentősen lecsökken a többletanyag csökkenése és az egyszerűbb bizonyítványok kiválasztása az oktatási szakirodalomban találhatók közül. Az elmélet kellő részletességgel kerül bemutatásra, és nem csak az erős, hanem az átlagos tanulók számára is hozzáférhető. A tipikus problémák megoldására magyarázatokkal együtt adunk példákat. A bekezdések végén az A. F. Filippov „A differenciálegyenletek problémáinak gyűjteménye” című művéből származó feladatokhoz tartozó feladatok száma látható, valamint a bemutatott kérdésekkel kapcsolatos néhány elméleti irány, a szakirodalomra való hivatkozással.

Formátum: pdf

Méret: 6,5 MB

Megtekintés, letöltés:drive.google

Tartalomjegyzék
Előszó 5
1. fejezet Differenciálegyenletek és megoldásaik 7
1. § A 7. differenciálegyenlet fogalma
2. § A megoldáskeresés legegyszerűbb módszerei 14
3. § Az egyenletek sorrendjének csökkentésére szolgáló módszerek 22
2. fejezet A megoldások létezése és általános tulajdonságai 27
4. § Differenciálegyenlet-rendszer normálalakja és vektoros ábrázolása 27
5. § Megoldás megléte és egyedisége 34
§ b. A megoldások folytatása 47
7. § A megoldás folyamatos függése a kezdeti feltételektől és az 52. egyenlet jobb oldalától
8. § A derivált tekintetében fel nem oldott egyenletek 57
3. fejezet Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek 67
9. § Lineáris rendszerek tulajdonságai 67
10. § Tetszőleges sorrendű lineáris egyenletek 81
11. § Konstans együtthatós lineáris egyenletek 92
12. § Másodrendű lineáris egyenletek 109
13. § Határérték-problémák 115
14. § Állandó együtthatójú lineáris rendszerek 124
15. § A J 137 mátrix exponenciális függvénye
16. § Lineáris rendszerek periodikus együtthatóval 145
4. fejezet Autonóm rendszerek és reziliencia 151
17. § Autonóm rendszerek 151
18. § A stabilitás fogalma 159
19. § Stabilitás vizsgálata Ljapunov-függvények segítségével 167
20. § Stabilitás az első közelítés szerint 175
21. § Egyedi pontok 181
22. § Határciklusok 190
5. fejezet A megoldás differenciálhatósága egy paraméter és alkalmazásai tekintetében 196
23. § A megoldás differenciálhatósága a 196-os paraméter tekintetében
24. § Aszimptotikus módszerek differenciálegyenletek megoldására 202
25. § Első integrálok 212
26. § Elsőrendű parciális differenciálegyenletek 221
Irodalom 234
Tárgymutató 237

Előszó
A könyv részletesen bemutatja az egyetemek mechanikai-matematikai és fizika-matematikai szakterületein a közönséges differenciálegyenletekről szóló kurzus összes kérdését, valamint néhány más, a modern differenciálegyenletek elmélete és alkalmazása szempontjából releváns kérdést: határérték-problémák. , lineáris egyenletek periodikus együtthatókkal, aszimptotikus módszerek differenciálegyenletek megoldására; a stabilitáselméletről szóló anyag kibővült.
Új anyagot és néhány hagyományosan a kurzusban szereplő kérdést (pl. tételek az oszcillációs megoldásokról), amelyek nem szükségesek a differenciálegyenletek elméletével való első megismeréshez. apró betűs, melynek elejét és végét vízszintes nyilak választják el. Az egyetem profiljától és a tanszéki hallgatói képzési területektől függően továbbra is választható, hogy ezek közül a kérdések közül melyik kerüljön be az előadások és a vizsgaprogramba.
A könyv mennyisége lényegesen kisebb, mint a jól ismert tankönyvek kötete ezt a tanfolyamot a kiegészítő (kötelező programban nem szereplő) anyagok csökkentésével és az oktatási irodalomban elérhetők közül az egyszerűbb bizonyítékok kiválasztásával.
Az anyag részletesen bemutatásra kerül, és az átlagos képzettségű hallgatók számára hozzáférhető. Csak klasszikusokat használnak
fogalmak matematikai elemzésés a lineáris algebrából származó alapvető információk, beleértve a mátrix Jordan alakját. Minimális számú új meghatározást vezetnek be. Az elméleti anyag bemutatása után példákat adunk annak alkalmazására részletes magyarázattal. Az A. F. Filippov „Differenciálegyenletek problémáinak gyűjteménye” című gyakorlatok feladatainak száma feltüntetve.
Szinte minden bekezdés végén felsorolunk több irányt, amelyekben a témával kapcsolatos kutatások fejlődtek - olyan irányok, amelyek már ismert fogalmakat használva megnevezhetők, és amelyekről van orosz nyelvű irodalom.
A könyv minden fejezetének megvan a maga tételeinek, példáinak és képleteinek számozása. Más fejezetek anyagára való hivatkozás ritkán fordul elő, és a fejezet- vagy bekezdésszám feltüntetésével történik.

Bevezetés

Differenciálegyenletek.

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely összekapcsolja egy vagy több változó kívánt függvényét, ezeket a változókat és a függvény különböző rendű származékait.

Elsőrendű differenciálegyenlet.

Vizsgáljuk meg a differenciálegyenletek elméletének kérdéseit a deriváltra tekintettel megoldott elsőrendű egyenletek példáján, azaz. a formában ábrázolhatóak

Ahol f- több változó valamilyen függvénye.

Differenciálegyenlet megoldásának létezési tétele és egyedisége. Legyen az (1.1) differenciálegyenletben a függvény és parciális deriváltja folytonos a nyílt halmazon G koordinátasík Óóó. Majd:

1. A készlet bármely pontjára G lesz megoldás y=y(x) feltételt kielégítő (1.1) egyenlet y();

2. Ha két megoldás y=(x)És y=(x) az (1.1) egyenletek legalább egy értékre egybeesnek x=, azaz ha akkor ezek a megoldások a változó összes értékére egybeesnek X, amelyekre meghatározva vannak. Az elsőrendű differenciálegyenletet szeparálható egyenletnek nevezzük, ha így ábrázolható

vagy formában

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0,(1.3)

Ahol, M(x), P(x)- néhány változó függvény X, g(y), N(y), Q(y)- változó függvények u.

Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Egy ilyen egyenlet megoldásához olyan alakra kell transzformálni, amelyben a változó differenciálja és függvényei X az egyenlőség és a változó egyik oldalán fog végezni at- másiknak. Ezután integrálja a kapott egyenlőség mindkét oldalát. Például az (1.2)-ből az következik, hogy = és =. Az integrációt végrehajtva eljutunk az (1.2) egyenlet megoldásához.

1. példa Oldja meg az egyenletet dx=xydy.

Megoldás. Az egyenlet bal és jobb oldalának felosztása a kifejezésre X

(at X?0), egyenlőséghez jutunk. Integrációt kapunk

(mivel a bal oldali integrál (a) táblázatos, a jobb oldali integrált pedig például az = helyettesítésével találhatjuk meg t, 2ydy=2tdtÉs .

A (b) megoldást átírjuk a formába x=± vagy x=C, Ahol C=±.

Hiányos differenciálegyenletek

Egy elsőrendű differenciálegyenletet (1.1) hiányosnak nevezünk, ha a függvény f egyértelműen csak egy változótól függ: bármelyiktől X, vagy attól u.

Az ilyen függőségnek két esete van.

1. Legyen az f függvény csak x-től függő. Ezt az egyenletet átírva így

könnyen ellenőrizhető, hogy megoldása a függvény

2. Legyen az f függvény csak y-tól függő, azaz. az (1.1) egyenlet alakja

Az ilyen típusú differenciálegyenletet ún autonóm. Az ilyen egyenleteket gyakran használják a gyakorlatban matematikai modellezésés kutatás a természetes és fizikai folyamatok, amikor például a független változó X az idő szerepét tölti be, amely nem szerepel a természet törvényeit leíró relációkban. Ebben az esetben az ún egyensúlyi pontok, vagy állópontok - a függvény nullái f(at), ahol a származék y" = 0.

Filippov Aleksey Fedorovich Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe: Tankönyv. Szerk. 2., rev. M., 2007. - 240 p.
A könyv tartalmazza az egyetemek mechanikai, matematikai és fizika-matematika szakainak differenciálegyenletek tantárgyának Felsőoktatási Minisztérium programja szerinti összes oktatási anyagot. A műszaki alkalmazásokhoz kapcsolódóan kis mennyiségű kiegészítő anyag is található. Ez lehetővé teszi az előadások anyagának kiválasztását az egyetem profiljától függően. A könyv terjedelme a meglévő tankönyvekhez képest jelentősen lecsökken a többletanyag csökkenése és az egyszerűbb bizonyítványok kiválasztása az oktatási szakirodalomban találhatók közül.
Az elmélet kellő részletességgel kerül bemutatásra, és nem csak az erős, hanem az átlagos tanulók számára is hozzáférhető. A tipikus problémák megoldására magyarázatokkal együtt adunk példákat. A bekezdések végén az A. F. Filippov „A differenciálegyenletek problémáinak gyűjteménye” című művéből származó feladatokhoz tartozó feladatok száma látható, és a bemutatott kérdésekkel kapcsolatos néhány elméleti irány, a szakirodalomra (orosz nyelvű könyvekre) való hivatkozással.
Tartalomjegyzék
Előszó................................................. ..............................5
1. fejezet
Differenciálegyenletek és megoldásaik...................................7
1. § A differenciálegyenlet fogalma................................7
2. § A megoldáskeresés legegyszerűbb módszerei...................................14
3. § Az egyenletsor redukálásának módszerei...................................22
2. fejezet
A megoldások léte és általános tulajdonságai........................27
4. §. Egy differenciálegyenlet-rendszer normál képe
és annak vektorjelölése................................................ ........... ..27
5. § Megoldás megléte és egyedisége................................34
§ b. Megoldások folytatása........................................47
7. § A megoldás folyamatos függése a kezdeti feltételektől
és az egyenlet jobb oldala................................................52
8. § A derivált tekintetében fel nem oldott egyenletek... 57
3. fejezet
Lineáris differenciálegyenletek és rendszerek................67
§ 9. Lineáris rendszerek tulajdonságai................................... ......67
10. § Tetszőleges sorrendű lineáris egyenletek......81

11. § Konstans együtthatós lineáris egyenletek. .........1
12. § Másodrendű lineáris egyenletek.....................109
13. § Határérték-problémák...................................115
14. § Állandó együtthatós lineáris rendszerek.....124
15. § Mátrix exponenciális függvénye................137
16. § Periodikus együtthatós lineáris rendszerek... 145
4. fejezet
Autonóm rendszerek és reziliencia................................151
17. § Autonóm rendszerek........................151
18. § A stabilitás fogalma..................................159
19. § Stabilitás vizsgálata felhasználással
Ljapunov-függvények........................167
20. § Stabilitás az első közelítés szerint......175
21. §. Egyedi pontok..........................181
22. § Határciklusok..........................190
5. fejezet
A megoldás differenciálhatósága egy paraméter és alkalmazásai tekintetében.........196
23. § A megoldás differenciálhatósága a paraméter tekintetében.........196
24. § Aszimptotikus módszerek a differenciál megoldására
egyenletek..................................202
25. § Első integrálok........................212
26. § Elsőrendű parciális differenciálegyenletek... 221
Irodalom................................ 234
Tárgymutató..........................237