Közben ( A,b), A X- egy véletlenszerűen kiválasztott pont egy adott intervallumban. Mondjuk az érvet X növekedésΔx (pozitív vagy negatív).

Az y =f(x) függvény Δу növekményt kap, amely egyenlő:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

Infinitezimális Δx-nél növekedésΔy is végtelenül kicsi.

Például:

Tekintsük egy függvény deriváltjának megoldását a példa segítségével szabadesés testek.

Mivel t 2 = t l + Δt, akkor

.

A határérték kiszámítása után a következőket kapjuk:

A t 1 jelölést azért vezettük be, hogy hangsúlyozzuk t állandóságát a függvény határértékének kiszámításakor. Mivel t 1 tetszőleges időérték, az 1-es indexet el lehet hagyni; akkor kapjuk:

Látható, hogy a sebesség v, mint az út s, Van funkció idő. Funkció típusa v teljes mértékben a funkció típusától függ s, tehát a függvény s mintha „előállítana” egy függvényt v. Innen a név " derivált függvény».

Gondolj egy másikra példa.

Keresse meg a függvény deriváltjának értékét:

y = x 2 at x = 7.

Megoldás. at x = 7 van y = 7 2 = 49. Mondjuk az érvet X növekedés Δ X. Az érv egyenlővé válik 7 + Δ X, és a függvény megkapja az értéket (7 + Δ x) 2.

Új feladatok jelentek meg. Nézzük a megoldásukat.

A B8 feladat prototípusa (317543)

Az ábrán az y=f(x) függvény grafikonja látható, és a -2, -1, 1, 2 pontok közül melyikben a legnagyobb a derivált értéke? Kérjük, válaszában ezt a pontot jelezze.

Mint tudjuk, úgy hívják

egy függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határa, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik:

A derivált egy pontban azt mutatja funkcióváltozás sebessége ezen a ponton. Minél gyorsabban változik a függvény, vagyis minél nagyobb a függvény növekménye, annál nagyobb az érintő dőlésszöge. Mivel a probléma megköveteli, hogy meg kell határozni azt a pontot, ahol a derivált értéke a legnagyobb, ezért a -1 és 1 abszcisszákkal rendelkező pontokat kizárjuk a számításból - ezeken a pontokon a függvény csökken, a derivált pedig negatív.

A függvény a -2 és 2 pontban növekszik. Ezekben azonban másképp növekszik - a -2 pontban a függvény grafikonja meredekebben emelkedik, mint a 2. pontban, és ezért a függvény növekménye ebben a pontban, és ezért a derivált, nagyobb.

Válasz: -2

És egy hasonló feladat:

A B8 feladat prototípusa (317544)

Az ábrán a függvény grafikonja látható, és a -2, -1, 1, 4 pontok közül melyikben a legkisebb a derivált? Kérjük, válaszában ezt a pontot jelezze.

Ennek a problémának a megoldása hasonló az előző megoldáshoz „pont az ellenkezője”

Minket az a pont érdekel, ahol a derivált jön legkisebb érték, vagyis azt a pontot keressük, ahol a függvény a leggyorsabban csökken - a grafikonon ez az a pont, ahol a legmeredekebb a „süllyedés”. Ez a 4. abszcisszapont.

A B9 feladat egy függvény vagy derivált grafikonját adja meg, amelyből meg kell határoznia a következő mennyiségek egyikét:

1. A derivált értéke egy bizonyos pontban x 0,
2. Maximum vagy minimum pontok (extrém pontok),
3. Növekvő és csökkenő függvények intervallumai (monotonitás intervallumai).

A feladatban bemutatott függvények és deriváltak mindig folytonosak, ami jelentősen megkönnyíti a megoldást. Annak ellenére, hogy a feladat a szakaszhoz tartozik matematikai elemzés, ez még a leggyengébb tanulók lehetőségei közé tartozik, hiszen itt nincs szükség mély elméleti tudásra.

A derivált, a szélsőpontok és a monotonitási intervallumok értékének meghatározásához egyszerű és univerzális algoritmusok állnak rendelkezésre – mindegyiket az alábbiakban tárgyaljuk.

Olvassa el figyelmesen a B9 feladat feltételeit, nehogy buta hibákat kövessen el: néha elég terjedelmes szövegekkel találkozhatunk, de kevés olyan fontos körülmény van, amely befolyásolja a megoldás menetét.

A derivált érték kiszámítása. Kétpontos módszer

Ha a feladatnak egy f(x) függvény gráfját adjuk meg, amely egy x 0 pontban érinti ezt a gráfot, és ebben a pontban meg kell találni a derivált értékét, akkor a következő algoritmust alkalmazzuk:

1. Keress két „megfelelő” pontot az érintőgráfon: ezek koordinátáinak egész számoknak kell lenniük. Jelöljük ezeket a pontokat A (x 1 ; y 1) és B (x 2 ; y 2)-ként. Írja le helyesen a koordinátákat - ez a megoldás kulcspontja, és minden itt elkövetett hiba helytelen válaszhoz vezet.
2. A koordináták ismeretében könnyen kiszámítható a Δx = x 2 − x 1 argumentum és a Δy = y 2 − y 1 függvény növekménye.
3. Végül megtaláljuk a D = Δy/Δx derivált értékét. Más szóval, el kell osztani a függvény növekményét az argumentum növekményével - és ez lesz a válasz.

Még egyszer jegyezzük meg: az A és B pontot pontosan az érintőn kell keresni, nem pedig az f(x) függvény grafikonján, ahogy ez gyakran megesik. Az érintővonalnak szükségszerűen legalább két ilyen pontot kell tartalmaznia - különben a probléma nem lesz megfelelően megfogalmazva.

Tekintsük az A (-3; 2) és B (-1; 6) pontokat, és keressük meg a növekményt:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Határozzuk meg a derivált értékét: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Feladat. Az ábrán az y = f(x) függvény grafikonja és egy érintője látható az x 0 abszcissza pontban. Határozzuk meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x 0 pontban.

Tekintsük az A (0; 3) és B (3; 0) pontot, keresse meg a lépésközöket:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Most megtaláljuk a derivált értékét: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Feladat. Az ábrán az y = f(x) függvény grafikonja és egy érintője látható az x 0 abszcissza pontban. Határozzuk meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x 0 pontban.

Tekintsük az A (0; 2) és B (5; 2) pontokat, és keressük meg a növekményt:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Marad a derivált értékének meghatározása: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Az utolsó példából egy szabályt fogalmazhatunk meg: ha az érintő párhuzamos az OX tengellyel, akkor a függvény deriváltja az érintőpontban nulla. Ebben az esetben nem is kell semmit számolnia - csak nézze meg a grafikont.

Maximum és minimum pontok kiszámítása

Néha egy függvény grafikonja helyett a B9 feladat a derivált grafikonját adja meg, és megköveteli a függvény maximum- vagy minimumpontjának megtalálását. Ebben a helyzetben a kétpontos módszer haszontalan, de van egy másik, még egyszerűbb algoritmus. Először is határozzuk meg a terminológiát:

1. Az x 0 pontot az f(x) függvény maximális pontjának nevezzük, ha ennek a pontnak valamelyik szomszédságában teljesül a következő egyenlőtlenség: f(x 0) ≥ f(x).
2. Az x 0 pontot az f(x) függvény minimumpontjának nevezzük, ha ennek a pontnak valamelyik szomszédságában teljesül a következő egyenlőtlenség: f(x 0) ≤ f(x).

A derivált gráf maximális és minimális pontjának megtalálásához kövesse az alábbi lépéseket:

1. Rajzolja újra a derivált gráfot, távolítson el minden felesleges információt. A gyakorlat azt mutatja, hogy a szükségtelen adatok csak megzavarják a döntést. Ezért megjelöljük a derivált nulláit a koordinátatengelyen - és ennyi.
2. Keresse meg a derivált előjeleit a nullák közötti intervallumokon! Ha egy x 0 pontról ismert, hogy f'(x 0) ≠ 0, akkor csak két lehetőség lehetséges: f'(x 0) ≥ 0 vagy f'(x 0) ≤ 0. A derivált előjele: könnyen meghatározható az eredeti rajzból: ha a derivált gráf az OX tengely felett van, akkor f'(x) ≥ 0. És fordítva, ha a derivált gráf az OX tengely alatt van, akkor f'(x) ≤ 0.
3. Ismét ellenőrizzük a derivált nulláit és előjeleit. Ahol az előjel mínuszról pluszra változik, az a minimumpont. Ezzel szemben, ha a derivált előjele pluszról mínuszra változik, ez a maximális pont. A számolás mindig balról jobbra történik.

Ez a séma csak folyamatos függvényeknél működik – a B9 feladatban nincs más.

Feladat. Az ábra a [−5; intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja. 5]. Keresse meg az f(x) függvény minimális pontját ezen a szakaszon.

Szabaduljunk meg a felesleges információktól, és hagyjuk csak a határokat [−5; 5] és az x = −3 és x = 2,5 derivált nullái. Figyelembe vesszük a jeleket is:

Nyilvánvaló, hogy az x = −3 pontban a derivált előjele mínuszról pluszra változik. Ez a minimum pont.

Feladat. Az ábrán a [−3; intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonja látható. 7]. Keresse meg az f(x) függvény maximális pontját ezen a szakaszon.

Rajzoljuk át a grafikont, csak a határokat hagyjuk meg [−3; 7] és az x = −1,7 és x = 5 derivált nullái. Jegyezzük fel a derivált előjeleit a kapott gráfon. Nálunk:

Nyilvánvaló, hogy az x = 5 pontban a derivált előjele pluszról mínuszra változik - ez a maximum pont.

Feladat. Az ábra az f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja, amely a [−6; 4]. Határozzuk meg az f(x) függvény maximális pontjainak számát a [−4; 3].

A feladat feltételeiből az következik, hogy elég csak a gráfnak azt a részét figyelembe venni, amelyet a [−4; 3]. Ezért építünk egy új gráfot, amelyen csak a határokat jelöljük [−4; 3] és a benne lévő derivált nullái. Mégpedig az x = −3,5 és x = 2 pontok.

Ezen a grafikonon csak egy maximális pont van x = 2. Ezen a ponton változik a derivált előjele pluszról mínuszra.

Egy kis megjegyzés a nem egész koordinátákkal rendelkező pontokhoz. Például az utolsó feladatban az x = −3,5 pontot vettük figyelembe, de ugyanilyen sikerrel vehetjük x = −3,4-et. A probléma helyes összeállítása esetén az ilyen változtatások nem befolyásolhatják a választ, mivel a „fix lakóhely nélküli” pontok közvetlenül nem vesznek részt a probléma megoldásában. Természetesen ez a trükk egész pontokkal nem működik.

Növekvő és csökkenő függvények intervallumainak megtalálása

Egy ilyen probléma esetén, mint például a maximum és minimum pontoknál, javasolt a derivált gráf használata olyan területek megkeresésére, ahol maga a függvény növekszik vagy csökken. Először is határozzuk meg, mi a növekvő és a csökkenő:

1. Egy f(x) függvényt növekvőnek mondjuk egy szakaszon, ha ebből a szakaszból bármely két x 1 és x 2 pontra igaz a következő állítás: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Más szóval, minél nagyobb az argumentum értéke, annál nagyobb a függvény értéke.
2. Egy f(x) függvényt csökkenőnek nevezünk egy szakaszon, ha ebből a szakaszból bármely két x 1 és x 2 pontra igaz a következő állítás: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Azok. A nagyobb argumentumérték kisebb függvényértéknek felel meg.

Fogalmazzuk meg elegendő feltételek növekvő és csökkenő:

1. Ahhoz, hogy egy f(x) folytonos függvény növekedjen a szakaszon, elegendő, ha a szegmensen belüli deriváltja pozitív, azaz. f’(x) ≥ 0.
2. Ahhoz, hogy egy f(x) folytonos függvény a szakaszon csökkenjen, elegendő, ha a szegmensen belüli deriváltja negatív, azaz. f’(x) ≤ 0.

Fogadjuk el ezeket a kijelentéseket bizonyíték nélkül. Így kapunk egy sémát a növekedési és csökkenési intervallumok megtalálására, amely sok tekintetben hasonlít az extrémumpontok kiszámításának algoritmusához:

1. Távolítson el minden felesleges információt. A derivált eredeti gráfjában elsősorban a függvény nulláira vagyunk kíváncsiak, ezért csak azokat hagyjuk meg.
2. Jelölje be a derivált előjeleit a nullák közötti intervallumokban! Ahol f’(x) ≥ 0, a függvény növekszik, ahol f’(x) ≤ 0, ott csökken. Ha a probléma korlátozásokat állít be az x változóra, akkor ezeket egy új gráfon is megjelöljük.
3. Most, hogy ismerjük a függvény viselkedését és a megszorításokat, hátra van a feladatban szükséges mennyiség kiszámítása.

Feladat. Az ábrán a [−3; intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonja látható. 7.5]. Határozzuk meg az f(x) függvény csökkenési intervallumait! Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész számok összegét!

Szokás szerint rajzoljuk át a grafikont és jelöljük ki a határokat [−3; 7,5], valamint az x = -1,5 és x = 5,3 derivált nullái. Ezután megjegyezzük a derivált jeleit. Nálunk:

Mivel a derivált negatív a (−1,5) intervallumon, ez a csökkenő függvény intervalluma. Marad az összes olyan egész szám összegzése, amelyek ezen az intervallumon belül vannak:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Feladat. Az ábrán a [−10; intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonja látható. 4]. Határozzuk meg az f(x) függvény növekedési intervallumait! Válaszában adja meg a legnagyobb hosszát!

Szabaduljunk meg a felesleges információktól. Hagyjuk csak a határokat [−10; 4] és a derivált nullái, amelyekből ezúttal négy volt: x = −8, x = −6, x = −3 és x = 2. Jelöljük a derivált előjeleit, és a következő képet kapjuk:

A növekvő függvény intervallumaira vagyunk kíváncsiak, pl. ilyen, ahol f’(x) ≥ 0. Két ilyen intervallum van a grafikonon: (−8; −6) és (−3; 2). Számítsuk ki a hosszukat:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Mivel meg kell találnunk az intervallumok közül a legnagyobb hosszát, válaszként az l 2 = 5 értéket írjuk fel.

Kedves barátaim! A deriválttal kapcsolatos feladatok csoportjába feladatok tartoznak - a feltétel egy függvény grafikonját adja meg, ezen a grafikonon több pont és a kérdés:

Melyik ponton a legnagyobb (legkisebb) a derivált?

Ismételjük meg röviden:

A derivált egy pontban egyenlő az átmenő érintő meredekségévelez a pont a grafikonon.

UAz érintő globális együtthatója viszont egyenlő ennek az érintőnek a dőlésszögének érintőjével.

*Ez az érintő és az x tengely közötti szögre vonatkozik.

1. Növekvő függvény intervallumokban a derivált pozitív értékű.

2. Csökkenésének intervallumán a deriváltnak van negatív érték.

Tekintsük a következő vázlatot:

Az 1, 2, 4 pontokban a függvény deriváltja negatív értékű, mivel ezek a pontok csökkenő intervallumokhoz tartoznak.

A 3, 5, 6 pontokban a függvény deriváltja pozitív értékű, mivel ezek a pontok növekvő intervallumokhoz tartoznak.

Amint látja, a derivált jelentésével minden világos, vagyis egyáltalán nem nehéz meghatározni, hogy a gráf egy bizonyos pontján milyen előjele van (pozitív vagy negatív).

Sőt, ha ezeken a pontokon mentálisan érintőket alkotunk, látni fogjuk, hogy a 3, 5 és 6 pontokon átmenő egyenesek 0 és 90 o közötti szöget zárnak be az ox tengellyel, és az 1, 2 és 4 pontokon átmenő egyenesek. az oX tengellyel a szögek 90 o-tól 180 o-ig terjednek.

*Az összefüggés egyértelmű: a növekvő függvények intervallumaihoz tartozó pontokon átmenő érintők hegyesszöget alkotnak az oX tengellyel, a csökkenő függvények intervallumaihoz tartozó pontokon átmenő érintők tompaszöget alkotnak az oX tengellyel.

Most a fontos kérdés!

Hogyan változik a derivált értéke? Végül is az érintő a grafikon különböző pontjain található folyamatos funkció különböző szögeket képez attól függően, hogy a gráf melyik pontján halad át.

*Vagy beszélve egyszerű nyelven, az érintő úgy helyezkedik el, mintha „vízszintesen” vagy „függőlegesen” lenne. Nézze:

Az egyenes vonalak szögeket alkotnak az oX tengellyel 0 és 90 o között

Az egyenes vonalak szögeket alkotnak az oX tengellyel 90° és 180° között

Ezért, ha bármilyen kérdése van:

— a grafikon adott pontjai közül melyikben a legkisebb a derivált?

- a grafikon adott pontjai közül melyikben van a derivált értéke legmagasabb érték?

akkor a válaszhoz meg kell érteni, hogyan változik az érintőszög érintőjének értéke a 0 és 180 o közötti tartományban.

*Mint már említettük, a függvény deriváltjának értéke egy pontban egyenlő az oX tengely érintőjének dőlésszögének érintőjével.

Az érintő értéke a következőképpen változik:

Ha az egyenes dőlésszöge 0°-ról 90°-ra változik, az érintő értéke, és így a derivált is ennek megfelelően 0-ról +∞-ra változik;

Amikor az egyenes dőlésszöge 90°-ról 180°-ra változik, az érintő értéke, és így a derivált is ennek megfelelően –∞ 0-ra változik.

Ez jól látható az érintőfüggvény grafikonjából:

Egyszerűen fogalmazva:

0° és 90° közötti érintő dőlésszögben

Minél közelebb van a 0 o-hoz, annál nagyobb lesz a derivált értéke nullához közel (a pozitív oldalon).

Minél közelebb van a szög a 90°-hoz, annál jobban nő a derivált értéke +∞ felé.

90° és 180° közötti érintő dőlésszöggel

Minél közelebb van a 90 o-hoz, annál inkább csökken a derivált értéke –∞ felé.

Minél közelebb van a szög 180°-hoz, annál nagyobb lesz a derivált értéke a nullához közel (a negatív oldalon).

317543. Az ábra az y = függvény grafikonját mutatja f(x) és a pontok meg vannak jelölve–2, –1, 1, 2. Melyik pontban a legnagyobb a derivált? Kérjük, válaszában jelezze ezt a pontot.

Négy pontunk van: ebből kettő azokhoz az intervallumokhoz tartozik, amelyeken a függvény csökken (ezek a –1 és 1 pontok), kettő pedig azokhoz az intervallumokhoz, amelyeken a függvény növekszik (ezek a –2 és 2 pontok).

Rögtön megállapíthatjuk, hogy a –1 és 1 pontban a derivált negatív, a –2 és 2 pontokban pedig pozitív értékű. Ezért ebben az esetben elemezni kell a –2 és 2 pontot, és meg kell határozni, hogy közülük melyik lesz a legnagyobb értékű. Szerkesszünk érintőket, amelyek átmennek a jelzett pontokon:

Az a egyenes és az abszcissza tengely közötti szög érintőjének értéke nagyobb lesz, mint a b egyenes és ez a tengely közötti szög érintőjének értéke. Ez azt jelenti, hogy a derivált értéke a –2 pontban lesz a legnagyobb.

Válaszoljunk a következő kérdésre: melyik –2, –1, 1 vagy 2 ponton a legnegatívabb a derivált értéke? Kérjük, válaszában jelezze ezt a pontot.

A derivált a csökkenő intervallumokhoz tartozó pontokban negatív értékű lesz, ezért tekintsük a –2 és 1 pontokat. Szerkesszünk rajtuk áthaladó érintőket:

Látjuk, hogy a b egyenes és az oX tengely közötti tompaszög „közelebb” a 180-hoz O , ezért érintője nagyobb lesz, mint az a egyenes és az oX tengely által alkotott szög érintője.

Így az x = 1 pontban a derivált értéke a legnagyobb negatív lesz.

317544. Az ábrán az y = függvény grafikonja látható f(x) és a pontok meg vannak jelölve–2, –1, 1, 4. Melyik pontban a legkisebb a derivált? Kérjük, válaszában jelezze ezt a pontot.

Négy pontunk van: ebből kettő azokhoz az intervallumokhoz tartozik, amelyeknél a függvény csökken (ezek a –1 és 4 pontok), kettő pedig a függvény növekedési intervallumokhoz (ezek a –2 és 1 pontok).

Azonnal megállapíthatjuk, hogy a –1 és 4 pontban a derivált negatív, a –2 és 1 pontokban pedig pozitív értékű. Ezért ebben az esetben elemezni kell a –1 és 4 pontokat, és meg kell határozni, hogy közülük melyik lesz a legkisebb. Szerkesszünk érintőket, amelyek átmennek a jelzett pontokon:

Az a egyenes és az abszcissza tengely közötti szög érintőjének értéke nagyobb lesz, mint a b egyenes és ez a tengely közötti szög érintőjének értéke. Ez azt jelenti, hogy a derivált értéke az x = 4 pontban lesz a legkisebb.

Válasz: 4

Remélem, nem "terheltelek túl" az írás mennyiségével. Valójában minden nagyon egyszerű, csak meg kell érteni a származék tulajdonságait, annak tulajdonságait geometriai jelentéseés hogyan változik a szög érintője 0-ról 180 o-ra.

1. Először határozza meg a derivált előjeleit ezeken a pontokon (+ vagy -), és válassza ki a szükséges pontokat (a feltett kérdéstől függően).

2. Szerkesszünk érintőket ezeken a pontokon.

3. A tangesoid grafikon segítségével sematikusan jelölje be a szögeket és jelenítse megSándor.

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

A függvény deriváltja az egyik legnehezebb téma iskolai tananyag. Nem minden diplomás fog válaszolni arra a kérdésre, hogy mi a származék.

Ez a cikk egyszerűen és világosan elmagyarázza, mi az a származékos termék, és miért van rá szükség.. Az előadásban most nem törekszünk matematikai szigorra. A legfontosabb, hogy megértsük a jelentését.

Emlékezzünk a definícióra:

A derivált egy függvény változási sebessége.

Az ábrán három függvény grafikonja látható. Szerinted melyik nő gyorsabban?

A válasz nyilvánvaló - a harmadik. Ennek a legnagyobb a változási rátája, vagyis a legnagyobb származéka.

Íme egy másik példa.

Kostya, Grisha és Matvey egyszerre kapott munkát. Nézzük meg, hogyan változott a bevételük az év során:

A grafikon mindent egyszerre mutat, nem? Kostya bevétele hat hónap alatt több mint kétszeresére nőtt. És Grisha bevétele is nőtt, de csak egy kicsit. És Matvey jövedelme nullára csökkent. A kiindulási feltételek ugyanazok, de a függvény változási sebessége, azaz származéka, - különböző. Ami Matveyt illeti, a származtatott jövedelme általában negatív.

Intuitív módon könnyen megbecsülhetjük egy függvény változási sebességét. De hogyan tegyük ezt?

Valójában azt nézzük, hogy egy függvény grafikonja milyen meredeken megy felfelé (vagy lefelé). Más szóval, milyen gyorsan változik y, amikor x változik? Nyilvánvaló, hogy ugyanaz a funkció különböző pontokon rendelkezhet eltérő jelentése származéka – vagyis gyorsabban vagy lassabban változhat.

Egy függvény deriváltját jelöljük.

Megmutatjuk, hogyan találhatja meg grafikon segítségével.

Valamelyik függvény grafikonja készült. Vegyünk egy pontot, amelyen abszcissza van. Rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára ezen a ponton. Meg akarjuk becsülni, milyen meredeken emelkedik egy függvény grafikonja. Ennek kényelmes értéke az az érintőszög érintője.

Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára ebben a pontban húzott érintőszög érintőjével.

Felhívjuk figyelmét - az érintő dőlésszögeként az érintő és az érintő közötti szöget vesszük pozitív irány tengelyek

Néha a tanulók megkérdezik, hogy mi az érintője egy függvény grafikonjának. Ez egy egyenes vonal, amelyben csak egy van közös pont grafikonnal, és az ábránkon látható módon. Úgy néz ki, mint egy kör érintője.

Találjuk meg. Emlékezzünk arra, hogy egy hegyesszög érintője in derékszögű háromszög egyenlő az ellenkező oldal és a szomszédos oldal arányával. A háromszögből:

A deriváltot egy gráf segítségével találtuk meg anélkül, hogy a függvény képletét is ismertük volna. Ilyen problémák gyakran találhatók a matematika egységes államvizsgáján a szám alatt.

Van még egy fontos kapcsolat. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenest az egyenlet adja meg

Az ebben az egyenletben szereplő mennyiséget ún egy egyenes lejtése. Ez egyenlő az egyenes tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintőjével.

.

Ezt értjük

Emlékezzünk erre a képletre. A származék geometriai jelentését fejezi ki.

Egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő a függvény grafikonjára az adott pontban húzott érintő meredekségével.

Más szóval, a derivált egyenlő az érintőszög érintőjével.

Már említettük, hogy ugyanannak a függvénynek különböző pontokon különböző deriváltjai lehetnek. Nézzük meg, hogyan kapcsolódik a derivált a függvény viselkedéséhez.

Rajzoljuk meg valamelyik függvény grafikonját. Hagyja, hogy ez a függvény egyes területeken növekedjen, másokon csökkenjen, és ezzel együtt különböző sebességgel. És legyen ennek a függvénynek maximum és minimum pontja.

Egy ponton a függvény növekszik. Kialakul a pontban megrajzolt gráf érintője hegyesszög pozitív tengelyiránnyal. Ez azt jelenti, hogy a pont deriváltja pozitív.

Ezen a ponton a funkciónk csökken. Az érintő ezen a ponton tompaszöget zár be a tengely pozitív irányával. Mivel a tompaszög érintője negatív, a pont deriváltja negatív.

Íme, mi történik:

Ha egy függvény növekszik, a deriváltja pozitív.

Ha csökken, a deriváltja negatív.

Mi fog történni a maximális és minimális pontoknál? Látjuk, hogy a pontokban (maximum pont) és (minimális pont) az érintő vízszintes. Ezért ezekben a pontokban az érintő érintője nulla, és a deriváltja is nulla.

Pont - maximális pont. Ezen a ponton a függvény növekedését csökkenés váltja fel. Következésképpen a derivált előjele a ponton „pluszról” mínuszra változik.

A ponton - a minimum ponton - a derivált is nulla, de előjele „mínuszról” „pluszra” változik.

Következtetés: a derivált segítségével mindent megtudhatunk, ami egy függvény viselkedésével kapcsolatban érdekel.

Ha a derivált pozitív, akkor a függvény növekszik.

Ha a derivált negatív, akkor a függvény csökken.

A maximális ponton a derivált nulla, és az előjelet „plusz”-ról „mínuszra” változtatja.

A minimumponton a derivált is nulla, és az előjelet mínuszról pluszra változtatja.

Írjuk le ezeket a következtetéseket táblázat formájában:

	növeli	maximális pont	csökken	minimum pont	növeli
+	0	-	0	+

Tegyünk két apró pontosítást. Megoldáskor valamelyikre szüksége lesz Egységes államvizsga problémák. Egy másik - az első évben, a függvények és származékok komolyabb vizsgálatával.

Lehetséges, hogy egy függvény deriváltja egy ponton nulla, de a függvénynek ezen a ponton nincs sem maximuma, sem minimuma. Ez az ún :

Egy ponton a gráf érintője vízszintes, a derivált pedig nulla. A pont előtt azonban a függvény nőtt - a pont után pedig tovább növekszik. A származék előjele nem változik - pozitív marad, ahogy volt.

Az is előfordul, hogy a maximum vagy minimum pontján a derivált nem létezik. A grafikonon ez egy éles törésnek felel meg, amikor egy adott pontban nem lehet érintőt rajzolni.

Hogyan találjuk meg a deriváltot, ha a függvényt nem gráf, hanem képlet adja meg? Ebben az esetben érvényes