7.1. Az önjáró fegyver stabilitásának fogalma

A stabilitás fogalma az automatikus vezérlőrendszer dinamikus tulajdonságainak legfontosabb minőségi értékelése. Az ACS stabilitása összefügg a külső hatás megszűnése utáni viselkedésének természetével, amely döntéssel értékelhető differenciálegyenlet, amely leírja a rendszer működését. Általános elmélet A fenntarthatóság fejlesztését az A.M. Ljapunov. Lineáris rendszer Stabilnak nevezzük, ha a kimeneti koordinátája korlátozott marad bármilyen abszolút értékben korlátozott bemeneti hatás mellett. Egy lineáris rendszer stabilitását a jellemzői határozzák meg, és nem függ a meglévő hatásoktól.
Általános esetben az egyenlet megoldása a következő formájú: y(t) = y B (t) + y n (t)
ahol y B (t) a megoldás homogén egyenlet(tranziens vagy szabad komponens); y n (t) - a szabályozott változó állandó értéke (kényszerített komponens) - a jobb oldali egyenlet megoldása. A rendszer stabilitását a tranziens komponens határozza meg. Ha a szabályozási folyamat átmeneti komponense a külső hatás megszűnése után nullára hajlik, akkor egy ilyen rendszer stabil. Más szóval, egy rendszer stabilitása a tranziens folyamatainak csillapítása.
Ha a szabad komponens véges értékre hajlik, vagy állandó amplitúdójú harmonikus rezgéseket mutat, akkor a rendszert semlegesnek tekintjük. Ha a szabad komponens korlátlanul növekszik, vagy növekvő amplitúdójú harmonikus rezgéseket mutat, akkor a rendszer instabilnak tekinthető.
A stabilitásértékelést a szabad komponens tanulmányozásának eredményei alapján végezzük, amely egy homogén differenciálegyenlet (karakterisztikus egyenlet) megoldása: D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 + ... + a n = 0 (4.1)
A megoldás átmenet komponense az egyenletbe általános nézet y ni (t) = A i e α i t * sin(β i t + φ i), ahol α i ± jβ i a karakterisztikus egyenlet gyökei; A i ,Φ i állandók.
Ebben az esetben az átmeneti komponens az idő növekedésével nullára hajlik, ha az α i gyökök valós részei negatívak, ellenkező esetben az átmeneti komponens oszcillációinak amplitúdója nő (4.1. ábra).

4.1. Átmeneti komponensek grafikonjai

A karakterisztikus egyenlet képzeletbeli gyökpárja (α i =0) lehetővé teszi, hogy állandó amplitúdójú önrezgések formájában egy átmeneti komponenst kapjunk:

A karakterisztikus egyenlet eredő gyökei a komplex síkon pontokként ábrázolhatók (4.2. ábra).

4.2. Az ACS-gyökök elhelyezkedése a komplex gyökérsíkon

Stabil rendszerek esetén szükséges és elegendő, hogy a karakterisztikus egyenlet összes gyöke a gyökök komplex síkjának képzeletbeli tengelyétől balra legyen. Ha legalább egy valós gyök vagy egy pár összetett konjugált gyök található a képzeletbeli tengelytől jobbra, akkor a rendszer instabil. Ha van egy nulla gyökér vagy egy pár tisztán képzeletbeli gyök, akkor a rendszer semlegesnek minősül (a stabilitás és az instabilitás határán helyezkedik el). Így a komplex sík képzeletbeli tengelye a stabilitási határ.

A rendszerstabilitás elemzésének egyszerűsítése érdekében számos speciális módszerek, amelyeket stabilitási kritériumoknak nevezünk. A stabilitási kritériumok két típusra oszthatók: algebrai (kritérium Gurvitsa) és gyakorisága (kritériumok MihajlovaÉs Nyquist). Az algebrai kritériumok analitikusak, a gyakorisági kritériumok pedig grafikus-analitikusak. A stabilitási kritériumok lehetővé teszik a rendszerparaméterek stabilitásra gyakorolt ​​hatásának felmérését is.

Az algebrai Hurwitz-kritériumot széles körben használják az ATS elemzésében. Kezdetben a fődetermináns mátrixát állítjuk össze a (4.1) egyenlet együtthatóiból:

A mátrix bal felső sarkától induló átlója mentén a (4.1.) egyenlet összes együtthatója a1-től kezdve sorrendben van felírva. Ezután a mátrix minden oszlopát úgy egészítik ki, hogy az együttható indexei az átlótól felfelé nőnek, és lefelé csökkennek.
A rendszer stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a0>0-ra minden szögdetermináns (minor) is pozitív legyen, pl.

stb.

Az utolsó Hurwitz-determináns, amint az a fenti mátrixból látható, egyenlő Δ n =a n *Δ n-1. Ezért pozitivitása Δ n-1 >0 esetén az a n >0 feltételre redukálódik. Az első és másodrendű rendszerek esetében a Hurwitz-kritérium egyszerűen az ai együtthatók pozitivitására redukálódik. Ha a determináns Δ n =0, akkor a rendszer a stabilitási határon van. A Δ n-1 =0 feltételből meg lehet határozni azokat a paramétereket, amelyeknél a rendszer a stabilitási határon van, például egy nyílt hurkú automata vezérlőrendszer kritikus erősítése K cr.

A Mihajlov-kritérium magában foglalja a hodográf megépítését egy összetett síkon. Ha egy zárt rendszer (4.1) karakterisztikus egyenletéből hodográfot szerkesztünk, p=jω helyettesítésével kapjuk elemző kifejezés vektor M(jω):
M(jω)=a 0 (jω) n +a 1 (jω) n-1 +...+a n (4.2)
A (4.2) egyenlet összetett, és a következőképpen ábrázolható:

A hodográf az M(jω) vektoregyenlet felhasználásával készült, mivel a frekvencia 0-ról +-ra változik. A rendszer stabilitását a hodográf elfordulási szöge határozza meg, amikor a frekvencia 0-val változik<ω< , т.е. по приращению Δ аргумента M(jω)

, (4.3)

ahol m a karakterisztikus polinom jobboldali gyökeinek száma; n a rendszer karakterisztikus egyenletének sorrendje.
Ekkor egy n-edrendű lineáris rendszer stabilitásához szükséges és elégséges, hogy az M(jω) hodográf-argumentum változása 0-ról +-ra változva egyenlő n-nel, mivel m=0, hogy biztosítsa a rendszer stabilitását. rendszer.
A Mihajlov-kritérium a következőképpen fogalmazódik meg: a rendszer akkor stabil, ha az M(jω) Mihajlov-hodográf 0-ról +-ra váltva, a valós tengely pozitív részéről indulva szekvenciálisan pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) n kvadránsot halad, ill. az n-edik negyedben a .
Ha a hodográf a komplex sík nullapontjától kezdődik, vagy ezen a ponton halad át egy bizonyos gyakorisággal, akkor a rendszer semlegesnek tekintendő. Ebben az esetben P(ω) = 0 és Q(ω) = 0.
Ezekből az egyenletekből meg lehet határozni azokat a paraméterértékeket, amelyeknél a rendszer a stabilitási határon van (kritikus értékek). A 4.3. ábra Mihajlov hodográfjait mutatja stabil és instabil önjáró fegyverekhez.

4.3. Mihajlov hodográfjai

A Mihajlov-kritériumnak van egy második megfogalmazása is: a rendszer stabilitásához szükséges és elégséges, hogy a P(ω) = 0 és Q(ω) = 0 egyenletek gyökei váltakoznak (alternate), azaz. A hodográf következetesen metszette a komplex sík tengelyeit. Ez a készítmény kényelmesen használható a rendszerek stabilitásának tanulmányozására az ötödik rendig bezárólag. A (4.3) egyenlet segítségével meghatározható a jobb gyökök száma instabil rendszerekben.

7.4. Frekvencia Nyquist stabilitási kritérium

A Nyquist-kritérium egy olyan frekvenciakritérium, amely lehetővé teszi egy zárt hurkú rendszer stabilitásának értékelését egy nyílt hurkú rendszer amplitúdó-fázisú frekvenciaválaszának típusa alapján. Az AFC kísérleti vagy analitikai úton nyerhető. Az AFC analitikai felépítése hagyományos módszerekkel történik. A Nyquist-kritérium eltérően fogalmazódik meg attól függően, hogy a nyílt hurkú rendszer stabil-e vagy sem.
Ha a nyílt hurkú rendszer stabil, akkor a zárt hurkú rendszer stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a nyílt hurkú rendszer AFC válasza, amikor a frekvencia 0-ról változik, ne fedje le a koordinátákkal ellátott pontot -Én, j0. Ha egy nyílt hurkú rendszer AFC válasza átmegy az -I, j0 koordinátájú ponton, akkor a rendszer semleges lesz. A 4.4. ábra a nyílt hurkú statikus rendszerek AFC jellemzőit mutatja be. A Nyquist-kritérium segítségével egyértelműen nyomon követhető az átviteli függvény paramétereinek változtatásának a rendszer stabilitására gyakorolt ​​hatása.

4.4. Nyílt hurkú önjáró fegyverek AFC

Egy asztatikus rendszer AFC-je a valós pozitív féltengelytől indulva ω->0-nál végtelenül nagy sugarú ívvel mozog -ν-vel egyenlő szögbe, ahol ν az asztatizmus rendje. A 4.5. ábra egy zárt állapotban stabil elsőrendű asztatikus rendszer fázisfrekvencia-válaszát mutatja.

4.5. Elsőrendű asztatikus önjáró lövegek AFFC

Ha egy nyílt hurkú rendszer instabil, akkor a zárt hurkú rendszer stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a nyílt hurkú rendszer AFC válasza egy (-1, j0) koordinátájú pontot fedjen le, és amikor a frekvencia 0-ról változik, m-szer megkerüli az óramutató járásával ellentétes irányba, ahol m a jobb oldali pólusok száma nyílt hurkú rendszer.
Az önjáró fegyvereknek két osztálya van: abszolút stabil és feltételesen stabil. Az első osztályú rendszerekben csak a nyílt hurkú rendszer erősítésének növekedése vezethet stabilitásvesztéshez, és egy feltételesen stabil rendszer instabillá válhat mind az erősítés növelésével, mind a csökkenésével.
Az abszolút stabil rendszerek esetében bevezetik az amplitúdó (modulus) és a fázisbeli stabilitási határ fogalmát. A stabilitási határokat az ω cf vágási frekvencián határozzuk meg, amelynél A(ω cf)=1.
Az amplitúdó-stabilitási határt egy bizonyos 1/a érték állítja be (4.6. ábra), amely megmutatja, hogy egy nyílt hurkú rendszer erősítése hányszorosára növelhető úgy, hogy az ACS a stabilitási határon legyen.

4.6. Egy abszolút stabil rendszer AFC-je

A fázisstabilitási határt egy bizonyos φ szög állítja be (4.6. ábra). Jól csillapított rendszerekben az amplitúdóhatár hozzávetőlegesen 6-20 dB, ami lineáris skálán 2÷10, a fázishatár pedig 30-60°.
A legkényelmesebb a stabilitás tanulmányozása a megépített L.A.H. és l.f.h., egymás alá helyezve őket úgy, hogy az ordináta tengelyei egy vonalba kerüljenek, és az abszcissza tengelyének azonos léptékét választva (4.7. ábra).

4.7. LFC egy abszolút stabil rendszer

Nyílt hurkú rendszer LFC-jéből meg lehet határozni a stabilitási határokat: a φ zap fázishatárt az l.f.h. szerint számoljuk. az ω avg vágási frekvencián és egyenlő φ zap =π - φ(ω avg), és az L zap amplitúdótartalék megfelel az l.a.h értékének. azon a frekvencián, amelyen a l.f.h. egyenlő -π (4.7. ábra). Ha φ(ω av)=-&pi, akkor a rendszer a stabilitási határon van. A nyílt hurkú rendszer K cr kritikus erősítését a 20*lg(K cr)=20*lg(K times) + L app kifejezésből határozzuk meg.
A Nyquist-kritérium kényelmesen használható késleltetett rendszerek stabilitásának vizsgálatára. Ebben az esetben a W τ (jω) = W(jω) * e -jωτ késleltetésű nyílt hurkú ACS LFC-je létrejön. A logaritmikus frekvenciamenet nem változik, de az l.f.h. lefelé tolódik -ω i τ értékkel, ahol ω i a frekvencia értéke egy adott pontban. A τ cr tiszta késleltetési idő kritikus értékét, amelynél az ACS a stabilitási határon lesz, a következő képlettel kapjuk meg: .
Adott minőségi mutatókkal rendelkező rendszer megtervezéséhez egy tiltott területet építünk egy olyan (-1, j0) koordinátájú pont köré, amelybe a nyílt hurkú rendszer AFC-jének nem szabad belépnie, ahogy az a 4.8. ábrán látható.

7.5. Logaritmikus frekvencia teszt.

A logaritmikus kritérium egy olyan frekvenciakritérium, amely lehetővé teszi egy zárt hurkú ACS stabilitásának megítélését egy nyílt hurkú rendszer logaritmikus jellemzőinek típusa alapján. Ez a kritérium az LPFC és az AFC rendszerek közötti egyértelmű kapcsolaton alapul automatikus vezérlés. Ugyanakkor számításba veszik a stabil nyílt hurkú rendszerek használatán alapuló automatikus vezérlőrendszereket. Ezenkívül figyelembe kell venni azokat a rendszereket, amelyek asztatizmusa nem magasabb, mint másodrendű.

Amint a Nyquist stabilitási kritériumból a stabil automata vezérlőrendszereknél következik, a fáziseltolás csak akkor érhet el értéket, ha a komplex átviteli függvény moduljai egységnél kisebbek. Ez megkönnyíti a stabilitás meghatározását az LFC és az LFFC típusa alapján.

A kritérium megfogalmazása: a rendszer zárt állapotú stabilitásához szükséges és elegendő, hogy abban a frekvenciatartományban, ahol a nyílt hurkú rendszer LFC értéke nagyobb nullánál, az alulról induló egyenesre jellemző fázisátmenetek száma to top meghaladja a felülről lefelé történő átmenetek számát, ahol a a jobb félsíkban fekvő nyílt hurkú rendszer karakterisztikus egyenletének gyökeinek száma .

Egy stabil nyílt hurkú rendszer (a=0) konkrét esetben a zárt hurkú rendszer szükséges és elégséges feltétele az alábbi feltétel teljesítése. Abban a frekvencia tartományban, ahol , a fázisfrekvencia-válasznak nem szabad kereszteznie az egyenes vonalat, vagy ugyanannyiszor kell átmennie alulról felfelé és felülről lefelé.

Rizs. 6. Stabil és instabil önjáró fegyverek LFCH-ja

A konverziós együttható kritikus értéke az az érték, amelynél az AFC áthalad a ponton (-1, j0), és a rendszer a stabilitási határon van.

A modulus margin az az érték decibelben, amellyel az ACS konverziós együtthatóját meg kell változtatni ahhoz, hogy a stabilitási határra kerüljön.

,

ahol az a frekvencia, amelyen a fáziskarakterisztika egyenlő .

A fázisstabilitási határ az a szög, amellyel a nyitott hurkú rendszer amplitúdó-fáziskarakterisztikáját el kell forgatni ahhoz, hogy a zárt hurkú vezérlőrendszer a stabilitási határon legyen.

,

ahol a fázisválasz értéke annak a rendszernek a vágási frekvenciáján, amelyre a feltétel teljesül.

Ez a rész a felügyelt rendszerek legfontosabb minőségi jellemzőit tárgyalja. Ezek a jellemzők a rendszerstabilitás, a pontosság és a zajvédelem.

A stabilitás fogalma arra a helyzetre vonatkozik, amikor a rendszer bemeneti jelei nullák, pl. nincsenek külső hatások. Ebben az esetben egy megfelelően felépített rendszernek egyensúlyi (nyugalmi) állapotban kell lennie, vagy fokozatosan közelítenie kell ehhez az állapothoz. Instabil rendszerekben még nulla bemeneti jel esetén is természetes rezgések lépnek fel, és ennek eredményeként elfogadhatatlanul nagy hibák lépnek fel.

A pontosság fogalma a változó bemeneti jelekkel vezérelt rendszerek működési minőségével függ össze. Megfelelően megtervezett vezérlőrendszerekben a megadott g(t) szabályozási törvény és az x(t) kimeneti jel közötti eltérés nagyságának kicsinek kell lennie.

Végül az interferencia vezérlőrendszerekre gyakorolt ​​hatásának jellemzésére a hiba komponensének az interferencia hatása miatti szórását vagy szórását használjuk.

A fenntarthatóság fogalma

A lineáris vezérlőrendszerek kutatása és tervezése során az egyik első kérdés a stabilitásuk kérdése. A lineáris rendszert ún fenntartható, ha a külső hatások kivonásakor az egyensúlyi (nyugalmi) állapotból, a külső hatások megszűnése után visszatér abba. Ha a külső hatás megszűnése után a rendszer nem tér vissza egyensúlyi állapotába, akkor instabil. A vezérlőrendszer normál működéséhez szükséges, hogy az stabil legyen, mert különben nagy hibák lépnek fel benne.

A stabilitás meghatározását általában a kezdeti szakaszban irányítási rendszer létrehozása. Ennek két oka van. Először is, a stabilitáselemzés meglehetősen egyszerű. Másodszor, az instabil rendszerek korrigálhatók, pl. speciális korrekciós hivatkozások hozzáadásával stabilakká alakítják át.

Stabilitáselemzés algebrai kritériumok segítségével

Egy rendszer stabilitása összefügg saját rezgéseinek természetével. Ennek szemléltetésére tegyük fel, hogy a rendszert a differenciálegyenlet írja le

vagy a Laplace-transzformáció után

ahol g(p) a bemeneti művelet.

Egy stabil rendszer nyugalmi állapotba tér vissza, ha a bemeneti művelet g(p) 0. Így egy stabil rendszer esetén a homogén differenciálegyenlet megoldásának nullára kell irányulnia, miközben t-nek a végtelenbe kell irányulnia.

Ha a karakterisztikus egyenlet p1, p2, ... , pn gyökeit megtaláljuk, akkor a homogén egyenlet megoldását a formában írjuk fel.

Milyen esetekben stabil a rendszer?

Tegyük fel, hogy pk = ak valódi gyök.

A ck kifejezés felel meg neki. Amikor ak< 0 это слагаемое будет стремиться к нулю, если t стремится к бесконечности. Если же ak >0, akkor x(t), amikor t a végtelenbe hajlik; . Végül abban az esetben, ha ak = 0, a szóban forgó tag akkor sem változik, ha t a végtelenbe hajlik,

Tegyük fel, hogy ez a karakterisztikus egyenlet összetett gyöke. Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben ez lesz a karakterisztikus egyenlet gyöke is. Két összetett konjugált gyök felel meg a , alakú kifejezéseknek.

Sőt, ha ak< 0, то в системе имеются затухающие колебания. При ak >0 – növekvő amplitúdójú oszcillációk, és ak = 0-nál – állandó amplitúdójú сk rezgések.

Így a rendszer akkor stabil, ha a karakterisztikus egyenlet összes gyökének valós része negatív. Ha legalább egy gyökérnek van valós része ak ³ 0, akkor a rendszer instabil. Egy rendszerről azt mondjuk, hogy a stabilitási határon van, ha a karakterisztikus egyenlet legalább egy gyökének nulla valós része van, és az összes többi gyök valós része negatív.

Ezt a meghatározást geometriailag jól szemlélteti. A karakterisztikus egyenlet gyökereit ábrázoljuk pontokként a komplex síkon (15. ábra).

Ha az összes gyök a komplex változó bal félsíkjában található, akkor a rendszer stabil. Ha legalább egy gyökér egy komplex változó jobb oldali félsíkjában található, a rendszer instabil. Ha a gyökök a képzeletbeli tengelyen és a bal félsíkon vannak, akkor a rendszer a stabilitási határon van.

Példaként tekintsünk egy zárt hurkú vezérlőrendszert egyetlen integráló linkkel. Ebben az esetben H(p) = , , és a zárt hurkú rendszer átviteli függvénye

.

Rendszerkimenet x(p) = W(p)g(p) vagy . Figyeljük meg, hogy a p+k=0 karakterisztikus egyenletet úgy írjuk fel, hogy a zárt hurkú vezérlőrendszer átviteli függvényének nevezőjét nullára állítjuk. Ebben az esetben egy gyök van p1= -k< 0 и поэтому система управления всегда устойчива. Предположим теперь, что . Тогда . A karakterisztikus egyenlet p2 + + k = 0. Ezért p1,2=. A rendszer a stabilitás határán van. Csillapítatlan oszcillációk vannak benne.

Stabilitáselemzés gyakorisági kritériumok segítségével

A stabilitáselemzés figyelembe vett algebrai megközelítésének fő hátránya, hogy in összetett rendszerek vezérlésnél nehéz kapcsolatot teremteni a pk, k=1, 2, ..., n nevező gyökei és a vezérlőrendszert alkotó elemi kapcsolatok paraméterei között. Ez nehézségekhez vezet az instabil rendszerek kijavításában. A stabilitáselemzés egyszerűsítése érdekében célszerű ezt a vizsgálatot a nyílt hurkú vezérlőrendszer H(p) átviteli függvényével elvégezni.

1932-ben Nyquist amerikai tudós kifejlesztette hatékony módszer erősítők stabilitásának elemzése visszacsatolással. 1938-ban szovjet tudós A.V. Mihajlov a Nyquist-módszert általánosította a zárt hurkú automatikus vezérlőrendszerekre.

A Nyquist-kritérium egy nyílt hurkú vezérlőrendszer H(jw) átviteli függvényének hodográfjának megalkotásán alapul. A H(j) átviteli függvény hodográfjaw) a H(jw) =|H(jw)|ejj(w) vektor vége által megrajzolt görbe a komplex síkon, amikor a w frekvenciát 0-tól végtelenig mérjük.

A Nyquist stabilitási kritérium a legegyszerűbben megfogalmazható: egy zárt hurkú vezérlőrendszer akkor stabil, ha a nyílt hurkú rendszer H(jw) átviteli függvényének hodográfja nem fed le a komplexen (-1, j0) koordinátákkal rendelkező pontot. repülőgép. Az ábrák példákat mutatnak be stabil (16. ábra, a) és instabil (16. ábra, b) vezérlőrendszerek hodográfjaira.

Ha a hodográf áthalad a -1 ponton, akkor azt mondjuk, hogy a rendszer a stabilitás határán van. Ebben az esetben egy bizonyos H(jw0)= -1 frekvencián w0 frekvenciájú csillapítatlan rezgések létezhetnek a rendszerben. Instabil rendszerekben az x(t) jelszint idővel növekszik. Stabilokban - csökken.

Stabilitási határ

A vizsgált kritérium másik előnye, hogy képes meghatározni a vezérlőrendszer stabilitási rátáját. A stabilitási rátát két mutató jellemzi: stabilitási ráhagyás a megerősítéshezÉs fázisstabilitási határ.

Megerősítés stabilitási ráhagyása a g =1/|H(jw0)| érték határozza meg, ahol w0 az a frekvencia, amelyen (17. ábra, a). A g stabilitási ráhagyás azt mutatja meg, hogy egy nyílt hurkú vezérlőrendszer átviteli funkciójának moduljának hányszor kell megváltoznia (növekednie), hogy a zárt hurkú rendszer a stabilitási határon legyen. A szükséges stabilitási ráhagyás attól függ, hogy a rendszer átviteli együtthatója mennyivel nőhet működés közben a számítotthoz képest.

Fázisstabilitási ráhagyás szöggel becsüljük meg, ahol a wсp frekvencia ún vágási frekvencia, a |H(jwcp)|=1 feltétel határozza meg (17. ábra, b).

A Dj értéke azt mutatja meg, hogy mennyit kell változnia a nyitott hurkú vezérlőrendszer fáziskarakterisztikájának ahhoz, hogy a zárt hurkú rendszer a stabilitási határon legyen. A fázisstabilitási határt általában elegendőnek tekintik, ha
|Dj| ³ 30o.

Stabilitáselemzés logaritmikus amplitúdó-frekvencia karakterisztikával

Sok esetben egy nyílt hurkú vezérlőrendszer ábrázolható n tipikus kapcsolat soros kapcsolataként átviteli függvényekkel . Ebben az esetben a nyílt hurkú rendszer átviteli függvényét a termék határozza meg . Logaritmikus amplitúdó-frekvencia válasz egyenlő lesz az egyes linkek LAX összegével:

.

Mivel sok elemi kapcsolat LAC-értéke egyenes vonalszakaszokkal közelíthető, egy nyílt hurkú vezérlőrendszer LAC-ja szintén egyenes vonalú szegmensek formájában jelenik meg, amelyek a frekvencia tengelyéhez képest évtizedenként 20 decibel többszörösei.

Példa. Legyen a nyílt hurkú rendszer átviteli függvénye a következő

.

Egy ilyen rendszer két integrátort tartalmaz, egy kényszerítő kapcsolatot átviteli funkcióval és egy periódusos kapcsolat átviteli függvénnyel . Mutassuk be egy ilyen rendszer egyes linkjeinek LAC-ját grafikonok formájában az ábrán. 18, a. A bemutatott grafikonokat összegezve megkapjuk a nyílt hurkú rendszer LAC értékét (18. ábra, b).

Amint a fenti ábrákból következik, a teljes LAC felépítése meglehetősen egyszerű. Csak a LAC meredekségének változását kell figyelembe venni a kényszerítő és aperiodikus kapcsolatok konjugált frekvenciáinak megfelelő pontokban.

A zárt hurkú automatikus vezérlőrendszer stabilitási feltételeinek ellenőrzéséhez ugyanazon a logaritmikus skálán egy fázis-frekvencia karakterisztikát kell felépíteni a frekvencia tengelye mentén . A mérnöki számítások tapasztalatai azonban azt mutatják, hogy a zárt hurkú automatikus vezérlőrendszer általában akkor stabil és stabilitási ráhagyással rendelkezik, ha a nyílt hurkú rendszer LAC-ja a frekvencia közelében van.

A határérték meredeksége –20 dB/dec. Ebben az esetben minél hosszabb a LAR ezen szakasza, annál nagyobb a stabilitási határ. Általában úgy tartják, hogy egy 20 dB/dec lejtésű szakasz hosszának legalább 1 dekádnak kell lennie. Vannak stabil önjáró fegyverek, amelyek LAC meredeksége nagyobb, mint -20 dB/dec, de az ilyen rendszerek esetében a stabilitási ráhagyás általában nagyon kicsi.

Tegyük fel, hogy a vizsgált ACS-nek a vágási frekvencia körüli meredeksége nagyobb, mint -20 dB/dec (19. ábra).

Tekintettel arra, hogy amikor egy ACS linkjei sorba vannak kötve, akkor a LAC-jaik összegződnek, szükséges az ACS-be egy olyan linket beépíteni, amely biztosítja a rendszer stabilitását. A vizsgált esetben egy ilyen kapcsolat lehet az 1. ábrán látható kapcsolat a LAC-val. 20.

Valójában a vezérlőrendszer (19. ábra) és a kiegészítő kapcsolat LAC-jának összegzése után olyan LAC-t kapunk, amelynek állandó meredeksége 20 dB/dec minden frekvencián, beleértve a következőt is:

vágási frekvencia. A vizsgált példában a további korrekciós kapcsolat átviteli függvénye Hф(jw) =1+jwTф, és w1 = 1/Tф. Az irányítási rendszerek stabilitását biztosító további kapcsolatok bevezetését hívják javításÖnjáró fegyverek és maguk az egységek - javító.

Ez a rész az egyik kutatási módszerét tárgyalta a legfontosabb mutatók vezérlőrendszerek minősége - lineáris rendszerek stabilitása. Ezeknek a módszereknek az alkalmazása konkrét rendszerek elemzésére általában a következőképpen történik. Először a nyílt hurkú vezérlőrendszer LAC-ja épül fel. Ha a rendszer instabil, akkor a korrekciós elemeket úgy kell kiválasztani és bevezetni, hogy a LAC lejtése a vágási frekvencián 20 dB/dec legyen, és biztosítva legyen a szükséges stabilitási ráhagyás. Ezt követően meg kell vizsgálni a beállított rendszer stabilitását a Nyquist-Mikhailov kritérium segítségével, és meg kell határozni a stabilitási határok pontos értékeit az erősítés és a fázis tekintetében. Szükség esetén a vezérlőrendszer paramétereit módosítják, hogy biztosítsák a megadott stabilitási ráhagyást.

10.1. A szerkezeti stabilitás fogalma. Asztatikus önjáró fegyverek AFFC

Az ACS két okból lehet instabil: a dinamikus hivatkozások nem megfelelő összetétele és a hivatkozási paraméterek nem megfelelő értékei.

Az első okból instabil önjáró fegyvereket hívják szerkezetileg instabil.

Például, ha egy ACS tetszőleges számú inerciális és oszcilláló láncszemből áll, akkor a 72. ábrán látható formát kapja. Ahogy az ACS K erősítése növekszik, az AFC minden pontja távolodik a koordináták origójától egy bizonyos értékig. K krit Az AFC nem lépi át a pontot ( -1, j0). További emeléssel K, az önjáró fegyver instabil lesz. KÉs fordítva, ha csökken Egy ilyen ACS-t elvileg stabillá lehet tenni, ezért is hívják.

szerkezetileg stabil Ha az ACS asztatikus, akkor kinyitásakor a karakterisztikus egyenlet a következőképpen ábrázolható: pD 1 p(p) = 0 , Hol - n asztatizmus rendje 0 , egyenlő a sorba kapcsolt integrátorok számával. Ennek az egyenletnek nulla gyöke van, tehát mikor , az AFC hajlamos (71c. és 71d. ábra). Például hadd W p (p) = = 1 , Itt

, majd a nyílt hurkú ACS AFC-je: W(j) =

= P() + jQ(). 0 Mivel a nevező sorrendje nagyobb, mint a számlálóé, akkor mikor van, P() - Q()-j

. Hasonló AFC látható a 73. ábrán. Mivel az AFC nem folyamatos, nehéz megmondani, hogy lefedi-e a lényeget(-1,j0) 0 .

Ebben az esetben használja a következő technikát: ha az AFC megszakad, a végtelenbe megy = 2 , ez mentálisan kiegészül egy végtelen sugarú félkörrel, amely a pozitív valós féltengelyen kezdődik és a negatív irányban folytatódik az AFC-ig. Ezt követően a Nyquist-kritérium alkalmazható. Amint az az ábrán látható, az egy integráló linkkel rendelkező automata vezérlőrendszer szerkezetileg stabil. Ha az önjáró fegyvernek két integráló láncszeme van (asztatizmusrend), AFC-je a végtelenbe megy a második kvadránsban (74. ábra). Például hadd

W p (p) =

, majd AFCH önjáró fegyverek: 0 W(j) = = P() + jQ(). at van

P() -, Q() + j.

Egy ilyen automatikus vezérlőrendszer nem lesz stabil egyetlen paraméterértékre sem, azaz szerkezetileg instabil.

Szerkezetileg instabil automatikus vezérlőrendszert korrekciós linkek beépítésével (például megkülönböztető vagy kényszerítő) vagy az automatikus vezérlőrendszer szerkezetének megváltoztatásával lehet stabilizálni, például helyi visszacsatoló kapcsolatok segítségével. 10.2. A stabilitási ráhagyás fogalma.

Üzemi körülmények között a rendszer paraméterei ilyen vagy olyan okból bizonyos határok között változhatnak (öregedés, hőmérséklet-ingadozás stb.). Ezek a paraméter-ingadozások a rendszer stabilitásának elvesztéséhez vezethetnek, ha a stabilitási határ közelében működik. Ezért arra törekednek, hogy az automata vezérlőrendszert úgy alakítsák ki, hogy az a stabilitási határtól távol működjön. Ennek az eltávolításnak a mértékét ún egy nyitott ACS AFC hodográfjának a kritikus ponttól való távolságát jellemzi a valós tengely irányában, és a távolság határozza meg h a kritikus ponttól addig a pontig, ahol a hodográf metszi az abszcissza tengelyt (75. ábra).

Fázisstabilitási ráhagyás jellemzi a hodográf távolságát a kritikus ponttól egy egységsugarú körív mentén, és a valós féltengely negatív iránya és a koordináták kezdőpontjától a hodográf metszéspontjáig húzott sugár által bezárt szög határozza meg. az egységkörrel.

Mint már említettük, a nyílt hurkú automatikus vezérlőrendszer átviteli együtthatójának növekedésével a fázis-frekvencia-válasz minden pontjának modulusa növekszik, és egy bizonyos értéken K = K kr Az AFC áthalad a kritikus ponton (76. ábra) és eléri a stabilitási határt, és amikor K > K kr a zárt önjáró fegyver instabillá válik. A „csőr alakú” AFC-k esetében azonban (a belső visszacsatolások megléte miatt) nemcsak növekedés, hanem csökkenés is K zárt önjáró fegyverek stabilitásának elvesztéséhez vezethet (77. ábra). Ebben az esetben a stabilitási határt két szegmens határozza meg h 1És h 2, amely a kritikus pont és az AFC között kötött.

Általában az önjáró fegyverek létrehozásakor megadják a szükséges stabilitási határokat hés amelyen túl nem szabadna mennie. Ezek a határértékek a kritikus pont köré rajzolt szektor formájában vannak beállítva, amelybe egy nyitott ACS AFC-jének nem szabad belépnie (78. ábra).

10.3. Stabilitáselemzés az LFC által

Kényelmesebb a stabilitást a Nyquist-kritérium segítségével értékelni egy nyílt hurkú automatikus vezérlőrendszer LFC-jével. Nyilvánvaló, hogy az AFC minden pontja megfelel az LFC és LPFC bizonyos pontjainak.

Legyen ismert két nyílt hurkú automata vezérlőrendszer (1 és 2) frekvenciakarakterisztikája, amelyek csak az átviteli együtthatóban különböznek egymástól K 1 2. Legyen az első ACS zárt állapotban stabil, a második nem (79. ábra).

Ha W 1 (p) az első ACS átviteli függvénye, majd a második ACS átviteli függvénye W 2 (p) = KW 1 (p), Hol K = K 2 / K 1. W 1 (p) A második ACS ábrázolható két linkből álló szekvenciális láncként K átviteli függvényekkel (tehetetlenségi láncszem) és

ezért az eredményül kapott LFC-ket az egyes linkek LFC-inek összegeként állítjuk elő. Ezért a második önjáró fegyver LAC-ja:,

L 2 () = 20 lgK + L 1 () 2 () = 1 () .

és LFCHH: = - A valós tengely fázisválasz karakterisztikájának metszéspontjai megfelelnek a fázisértéknek = - . Ez megfelel az LFCH metszéspontjának rácsvonalak. Ebben az esetben, mint az AFC-n látható, az amplitúdók A 1 () 2 () > 1 , amely megfelel a SAFC értékeknek.

Az AFC és az LFFC összehasonlítása alapján megállapíthatjuk, hogy a zárt állapotban lévő rendszer akkor lesz stabil, ha az LFFC értéke = - megfelelni fog negatív értékeket LACHH és fordítva. Stabilitási határok modulo h 1És h 2, amelyet az AFC határoz meg, az abszcissza tengely és az AFC közötti távolságnak felel meg azokon a pontokon, ahol = - , hanem logaritmikus skálán.

A szinguláris pontok az AFC és az egységkör metszéspontjai. Frekvenciák c1És c2, amelynél ez bekövetkezik, az úgynevezett vágási frekvenciák.

A metszéspontokon A() = 1 = > L() = 0- A LAC keresztezi a vízszintes tengelyt. Ha a vágási frekvencián a fázisválasz fázisa c1> - (79a. ábra 1. görbe), akkor a zárt ACS stabil. A 79b. ábrán úgy néz ki, hogy a vízszintes tengely LFC metszéspontja megfelel az egyenes feletti LFC pontnak. = - . És fordítva egy instabil zárt hurkú automatikus vezérlőrendszer esetében (79a. ábra, 2. görbe) c2-, tehát mikor = c2 Az LFCH áthalad a vonal alatt = - . Sarok 1 = c1 -(-) a fázisstabilitási határ. Ez a szög a vonaltól való távolságnak felel meg = - az LFCHH-nak.

Melyik kvadránsban megy egy nyílt hurkú automatikus vezérlőrendszer AFC válasza a végtelenbe, ha az asztatizmus sorrendje három? Egy ilyen automatikus vezérlőrendszer szerkezetileg stabil zárt állapotban:

Hogyan lehet egy szerkezetileg instabil önjáró fegyvert stabillá tenni?

Mit nevezünk modulo stabilitási határnak?

Hogy hívják a fázisstabilitási határt?

Mi a különleges a csőr alakú önjáró fegyverek stabilitási határainak meghatározásában?

Hogyan befolyásolja az önjáró lövegek erősítése a stabilitási határokat?

Minek felel meg a w tengely LFC metszéspontja az AFC-ben?

Minek felelnek meg a j = -p LFCH értékek metszéspontjai az AFC-n?

Mi a vágási frekvencia?

Fogalmazzuk meg a Nyquist-kritériumot a logaritmikus jellemzőkre!

Mi a logaritmikus jellemzők sajátossága, ha az AFC csőr alakú?

OLDAL \* MERGEFORMAT 14

4. sz. előadás

Önjáró fegyver stabilitása

A rendszernek azt a tulajdonságát, hogy a zavar megszüntetése után visszatér eredeti állapotába, stabilitásnak nevezzük.

Meghatározás.

Az 1. és 2. görbe egy stabil rendszert, a 3. és 4. görbe az instabil rendszereket jellemzi.ε

5. és 6. rendszer a stabilitás határán 5 - semleges rendszer, 6 - oszcillációs stabilitási határ.

Legyen az ACS differenciálegyenlete operátor alakban a következő

Ekkor a differenciálegyenlet megoldása (rendszermozgás) két részből áll A bemeneti művelettel azonos típusú kényszermozgás.

Több gyökér hiányában, ahol Cén - a kezdeti feltételekből meghatározott integrációs állandók,

 1 ,  2 …,  n a karakterisztikus egyenlet gyökerei

A jellemző gyökereinek elhelyezkedése

a rendszer egyenletei a komplex síkon

A karakterisztikus egyenlet gyökerei nem függnek sem a zavar típusától, sem attól

kezdeti feltételeket, a csak az a együtthatók határozzák meg 0, a 1, a 2,…, a n , vagyis a rendszer paraméterei és felépítése.

1-gyök valós, nagyobb, mint nulla;

2 gyökér valós, nullánál kisebb;

3-gyök nulla;

4-két nulla gyökér;

5-két összetett konjugált gyök, amelyek valós része

Pozitív;

6-két összetett konjugált gyök, amelyeknek valós része negatív;

7-két képzeletbeli konjugált gyök.

Stabilitáselemzési módszerek:

1. Közvetlen (differenciálegyenletek megoldásán alapul);
2. Közvetett (stabilitási kritériumok).

A.M. tételei Ljapunova.

1. tétel.

2. tétel.

Megjegyzések:

1. Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei között kettő vagy több nulla gyök található, akkor a rendszer instabil.
2. Ha az egyik gyökér nulla, és az összes többi a bal félsíkban van, akkor a rendszer semleges.
3. Ha 2 gyök képzeletbeli konjugált, és az összes többi a bal félsíkban van, akkor a rendszer a stabilitás oszcillációs határán van.

ACS stabilitási kritériumok.

A stabilitási kritérium egy olyan szabály, amely lehetővé teszi egy rendszer stabilitásának meghatározását anélkül, hogy a karakterisztikus egyenlet gyökereit ki kellene számítani.

1877-ben Routh telepítve:

1. Hurwitz stabilitási kritérium

A kritériumot 1895-ben dolgozták ki.

Legyen definiálva egy zárt rendszer karakterisztikus egyenlete: redukáljuk az egyenletet alakra úgy, hogy a 0 >0.

Állítsuk össze a fő Hurwitz-determinánst a következő szabály szerint:

A főátló mentén az egyenlet együtthatói a másodiktól az utolsóig vannak felírva, az átlótól felfelé eső oszlopok növekvő indexű, az átlótól lefelé lévő oszlopok pedig csökkenő indexű együtthatókkal. Ha az egyenletben nincs együttható, és olyan együtthatók helyett, amelyek indexe 0-nál kisebb vagy annál nagyobb n írjon nullát.

Kiemeljük az átlós minorokat vagy a fő Hurwitz-determináns legegyszerűbb determinánsait:

A kritérium megfogalmazása.

Másodrendűnél magasabb rendszerek esetén a karakterisztikus egyenlet összes együtthatójának pozitivitása mellett a következő egyenlőtlenségeknek is teljesülniük kell:

1. Harmadik rendű rendszerek esetén:
2. Negyedrendű rendszerek esetén:
3. Ötödik rendű rendszerek esetén:

1. Hatrendű rendszerek esetén:

Példa. Egy karakterisztikus egyenletet adunk a rendszer stabilitásának vizsgálatára Hurwitz szerint.

A stabil rendszerekhez szükséges és

2. Routh-kritérium

A Routh-kritérium a magasrendű rendszerek stabilitásának vizsgálatára szolgál.

Kritérium megfogalmazása:

Routh asztal.

A táblázat kitöltésének algoritmusa: az első és a második sor az egyenlet együtthatóit tartalmazza páros és páratlan indexekkel; a fennmaradó sorok elemeit a következő szabály szerint számítjuk ki:

A kritérium előnye: bármilyen rendű rendszerek stabilitása vizsgálható.

2. Nyquist stabilitási kritérium

Az érvelés elve

A frekventista módszerek az érvelés elvén alapulnak.

Elemezzük egy polinom tulajdonságait a következő alakban:

Hol i - az egyenlet gyökerei

A komplex síkon minden gyök egy jól meghatározott pontnak felel meg. Geometriailag minden gyökér i az origótól a pontig húzott vektorként ábrázolható i : |  i | - vektor hossza, arg i - szög vektor és pozitív irány abszcissza tengely. Leképezzük D(p)-t a Fourier-térbe, ahol j -  i - elemi vektor.

Az elemi vektorok végei a képzeletbeli tengelyen vannak.

A vektor nagysága és az argumentum (fázis)

A vektor óramutató járásával ellentétes forgásirányát POZITÍVNAK vesszük. Majd váltáskor tól minden elemi vektorba ( j  -  i ) + szöget fog elfordulni ha  i a bal félsíkban fekszik.

Legyen D ( )=0 m gyökerei a jobb félsíkban és n - m gyökerei a bal oldalon, majd növekvő -tól a D(j) vektor argumentumának megváltoztatásához ) (elfordulási szög D(j ), egyenlő az elemi vektorok argumentumaiban bekövetkezett változások összegével) lesz

Az érvelés elve:

A Nyquist-kritérium az ACS nyitott áramkörének frekvenciakarakterisztikáján alapul, mivel a nyitott áramkör frekvenciakarakterisztikája alapján lehet megítélni a zárt rendszer stabilitását.

A Nyquist-kritériumot széles körben használják a mérnöki gyakorlatban a következő okok miatt:

1. Egy rendszer zárt állapotú stabilitását a nyitott áramkörének frekvenciaátviteli függvénye vizsgálja, és ez a függvény legtöbbször egyszerű tényezőkből áll. Az együtthatók valós paraméterek rendszerek, ami lehetővé teszi, hogy a stabilitási feltételek közül kiválasszák őket.
2. A stabilitás tanulmányozásához felhasználhatja a rendszer legösszetettebb elemeinek (vezérlő objektum, végrehajtó szerv) kísérletileg kapott frekvenciakarakterisztikáját, ami növeli a kapott eredmények pontosságát.
3. A stabilitást LFC-k segítségével lehet vizsgálni, amelyek felépítése egyszerű.
4. Kényelmes a stabilitási határok meghatározása.

1. Nyitott állapotban a rendszer stabil

Vezessünk be egy segédfunkciót és cseréljük ki p  j  , akkor

Az argumentum elv szerint a D(j) argumentum megváltoztatása ) és D з (j  ) 0-nál<  <  egyenlő Akkor ez a hodográf W 1 (j  ) nem terjedhet ki az eredetre.

Az elemzés és a számítások egyszerűsítése érdekében toljuk el a sugárvektor origóját a koordináták origójáról a (-1, j 0), és a segédfunkció helyett W 1 (j  ) egy nyílt hurkú rendszer AFC-jét használjuk W (j  ).

1. számú kritérium megfogalmazása

Példák.

Vegye figyelembe, hogy az AFC pozitív és negatív átmeneteinek számának különbsége a ponttól balra (-1, j 0) egyenlő nullával.

2. Olyan rendszer, amelynek pólusai a képzeletbeli tengelyen nyitott állapotban vannak

Az AFC rendszer stabilitásának elemzéséhez ezeket egy végtelenül nagy sugarú körrel egészítik ki 0 az óramutató járásával ellentétes irányban a pozitív valós féltengellyel a nulla pólusokon, és tisztán képzeletbeli gyökök esetén - az óramutató járásával megegyező irányban félkörrel az AFC szakadási pontjában.

2. számú kritérium megfogalmazása

1. Szakaszos nyitott áramkörű rendszer

Egy általánosabb eset - egy nyílt hurkú rendszer átviteli függvényének nevezője a jobb félsíkban fekvő gyökereket tartalmazza. Az instabilitás megjelenését egy nyílt hurkú rendszerben két ok okozza:

1. Az instabil linkek jelenlétének következménye;
2. A pozitív vagy negatív visszajelzéssel érintett kapcsolatok stabilitásának elvesztésének következménye.

X Bár elméletileg a teljes rendszer zárt állapotban stabil lehet a helyi visszacsatoló áramkör instabilitása esetén, a gyakorlatban egy ilyen eset nem kívánatos, és el kell kerülni, ha csak stabil helyi visszacsatolást próbálunk alkalmazni. Ezt a nemkívánatos tulajdonságok jelenléte magyarázza, különösen a feltételes stabilitás megjelenése, amely a rendszerben általában jelenlévő nemlinearitások miatt bizonyos üzemmódokban a stabilitás elvesztéséhez és önrezgések megjelenéséhez vezethet. Ezért a rendszer kiszámításakor általában olyan helyi visszacsatolásokat választanak ki, amelyek stabilak lennének, amikor a fő visszacsatolás nyitva van..

Legyen a karakterisztikus polinom D(o ) a nyílt hurkú rendszer rendelkezik m gyökerei pozitív valós résszel.

Majd

Csere segítő funkció p  j  a stabil zárt rendszerek argumentuma elve szerint a következő argumentumváltozással kell rendelkeznie: at

3. számú kritérium megfogalmazása

A Ya.Z. Tsypkina

Nyquist-kritérium az LFC-hez

Megjegyzés: az asztatikus rendszerek LFC fáziskarakterisztikáját egy monoton szakasz egészíti ki + /2  0-nál.

1. példa Itt m =0  a rendszer stabil, de csökkenő k a rendszer instabil lehet, ezért az ilyen rendszereket feltételesen stabilnak nevezzük.

2. példa 20 lgk 1/ T 0 Itt Bármely k a rendszer instabil. Az ilyen rendszereket szerkezetileg instabilnak nevezzük.

3. példa Az AFH egy pontot fed le koordinátákkal (-1, j 0) 1/2-szeres, ezért a zárt rendszer stabil.

4. példa -kor 0 Az AFC-nek megszakadása van, ezért ki kell egészíteni egy végtelenül nagy sugarú ívvel a negatív valós féltengelytől. -1 és - közötti területen van egy pozitív átmenet és másfél negatív. A pozitív és negatív átmenetek közötti különbség -1/2, a zárt hurkú rendszer stabilitásához pedig +1/2 szükséges, mivel a nyílt hurkú rendszer karakterisztikus polinomjának egy pozitív gyöke van - a rendszer instabil.

Abszolút fenntarthatóOlyan rendszert hívnak, amely stabil marad a nyitott áramköri erősítés bármilyen csökkenésekor, ellenkező esetben a rendszer feltételesen stabil.

A paramétereik megváltoztatásával stabillá tehető rendszereket hívjukszerkezetileg stabil, egyébként szerkezetileg instabil.

Stabilitási határok

A normál működéshez minden ACS-t el kell távolítani a stabilitási határtól, és elegendő stabilitási ráhagyással kell rendelkeznie. Ennek szükségességét a következő okok indokolják:

1. Az ACS-elemek egyenletei általában idealizáltak a másodlagos tényezők összeállításánál;
2. Az egyenletek linearizálása során a közelítési hibák tovább nőnek;
3. Az elemek paraméterei némi hibával vannak meghatározva;
4. Az azonos típusú elemek paraméterei technológiai eltérésekkel rendelkeznek;
5. Működés közben az elemek paraméterei az öregedés következtében megváltoznak.

A mérnöki számítások gyakorlatában a stabilitási ráhagyás legszélesebb körben alkalmazott meghatározása az NYQVIST kritériumon alapul, amely egy nyílt hurkú rendszer AFC-jének a kritikus ponttól való távolságán alapul, koordinátákkal (-1, j 0), amelyet két mutató alapján értékelnek: fázisstabilitási ráhagyás és stabilitási határ modulusban (amplitúdóban) H.

Annak érdekében, hogy az ATS stabilitási ráhagyása legalább legyen és H , a megszakadt áramkör AFC-je, ha a stabilitási kritérium teljesül, nem léphet be a gyűrűnek az ábrán árnyékolt részébe. 1, hol H összefüggés határozza meg

Ha a stabilitást a feltételesen stabil rendszerek LFC-je határozza meg, akkor legalább a stabilitási határok biztosításához és h szükséges ahhoz, hogy:

a) h  L  - h esetén a fázis-frekvencia karakterisztika kielégítette az egyenlőtlenségeketθ > -180  +  vagy θ< -180  -  , azaz ábra árnyékolt 1. területére nem jutott be. 2;

b) -180  +   θ  -180  -  az amplitúdó-frekvencia karakterisztika kielégítette az egyenlőtlenségeket L< - h или L >h , azaz nem jutott be a 2" és 2" árnyékolt területekre a 2. ábrán.

Egy abszolút stabil rendszerhez stabilitási határok és h értéket az ábra szerint határozzuk meg. 3:

1. Fázis margó

1. Modulomargó h =- L (ω -π), ahol ω -π frekvencia, amelyen θ=-180˚ .

A stabilitási határértékek az ATS osztályától és a szabályozás minőségére vonatkozó követelményektől függenek. Körülbelül annak kellene lennie =30  60  és h =6  20dB.

A minimálisan megengedett stabilitási határ amplitúdójában nem lehet kevesebb 6 dB-nél (azaz a nyílt hurkú rendszer átviteli együtthatója a kritikus érték fele), fázisban pedig legalább 25 30  .

A rendszer stabilitása tiszta késleltetési kapcsolattal

Ha egy nyílt hurkú rendszer AFC-je áthalad a ponton (-1, j 0), akkor a rendszer a stabilitás határán van.

Egy tiszta késleltetésű rendszer akkor tehető stabillá, ha az áramkörbe 1-nél kisebb átviteli együtthatójú tehetetlenségi láncot is beépítenek.

Szerkezetileg stabil és szerkezetileg instabil rendszerek

A rendszer minőségének (stabilitás szempontjából) megváltoztatásának egyik módja a nyílt hurkú rendszer átviteli együtthatójának megváltoztatása.

Amikor k L ( ) emelkedik vagy csökken. Ha k növekedés, L ( ) emelkedik és  átl növekedni fog, de a rendszer instabil marad. Ha k csökken, akkor a rendszer stabillá tehető. Ez a rendszer javításának egyik módja.

A rendszerparaméterek megváltoztatásával stabillá tehető rendszereket STRUKTURÁLISAN FENNTARTHATÓNAK nevezzük.

Ezeknél a rendszereknél kritikus nyílt hurkú átviteli arány van. K krit. ez az átviteli együttható, amikor a rendszer a stabilitás határán van.

Léteznek STRUKTURÁLISAN INSTABIL rendszerek - ezek olyan rendszerek, amelyeket a rendszer paramétereinek megváltoztatásával nem lehet stabilizálni, de a stabilitás érdekében a rendszer szerkezetét kell megváltoztatni.

Példa.

Nézzünk három esetet:

1. Hadd

Majd

Ellenőrizzük a rendszer stabilitását.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

K rs.cr meghatározásához. egyenlővé tegyük a nullát 2 .

Majd

Mikor mikor

A vizsgált rendszer STRUKTURÁLISAN STABIL, mivel a linkek paramétereinek változtatásával stabilizálható.

1. Legyenek ugyanazok, mint az első esetben.

Most már nincs statikus hiba a vezérlőcsatornán.

Hurwitz stabilitási feltételek:

Legyen  2 =0, akkor ha a rendszer instabil.

Ez a rendszer I. rendű asztatizmussal SZERKEZETILEG STABIL.

1. Hadd

A rendszer mindig instabil. Ez a rendszer STRUKTURÁLISAN INSTABIL.

Az önjáró fegyver stabilitása, általános fogalmak fenntarthatóság

Paraméter neve	Jelentése
Cikk témája:	Önjáró fegyverek stabilitása, általános stabilitási fogalmak
Rubrika (tematikus kategória)	Matematika

Az automatikus vezérlőrendszer stabilitása az egyik a legfontosabb jellemzőket rendszerek, mert a rendszer teljesítménye attól függ. Egy rendszer, amelyből hiányzik a stabilitás, nem tudja hatékonyan megoldani a szabályozási problémát. A stabilitás hiánya magának a rendszernek a tönkremeneteléhez is vezethet a vezérlési folyamat során, vagy a vezérlőobjektum megsemmisüléséhez, ezért instabil rendszerek használata nem megfelelő.

Automatikus vezérlőrendszer stabilitása - ez a levegőrendszer tulajdonsága

a rendszert a kezdeti egyensúlyi állapotba hozó hatás megszűnése után forogjon a kezdeti egyensúlyi állapotba.

A stabil és instabil rendszerek példája a homorú és instabil labda rendszerei domború felület, amelyet a 60. ábra mutat be.

60. ábra. Példák a rendszerekre: a) stabil; b) instabil

A 60a. ábrán egy homorú felületen elhelyezett és bizonyos erő hatására oldalra eltolt golyó a külső hatás befejeződése után visszatér eredeti egyensúlyi helyzetébe. A felületen kialakuló súrlódás vagy annak minimális értéke hiányában a labda az egyensúlyi helyzet körül rövid oszcillációkat hajt végre, amíg vissza nem tér az eredeti egyensúlyi helyzetbe (1. görbe - csillapítva oszcillációs folyamat). Nagy súrlódás esetén a golyó rezgések nélkül visszatér a kezdeti egyensúlyi helyzetbe (2. görbe - időszakos folyamat). Nagyon nagy jelentősége súrlódás esetén a labda nem térhet vissza a kezdeti egyensúlyi helyzetbe (3. görbe), hanem az egyensúlyi helyzethez közeli tartományba kerül vissza. Ebben az esetben van egy stabil rendszer. A stabil automata vezérlőrendszerekben hasonló tranziens folyamatok fordulnak elő (csillapított oszcillációs és időszakos).

A 60b. ábrán egy domború felületen elhelyezkedő és bizonyos erő hatására oldalra eltolt golyó nem tér vissza a kezdeti egyensúlyi helyzetbe (4. görbe), ezért a rendszer instabil. Instabil rendszerekben a tranziens folyamatok divergens oszcillációk (5. görbe) vagy aperiodikus (4. görbe) formájában fordulnak elő.

Az ACS instabilitása általában egy nagyon erős visszacsatolási hatás miatt következik be. A dinamikus instabilitás okai általában egy zárt hurkú rendszer linkjeinek jelentős tehetetlenségi jellemzői, amelyek miatt a visszacsatoló jel oszcillációs üzemmódban annyira elmarad a bemeneti jeltől, hogy azzal fázisban van. Kiderül, hogy a negatív visszacsatolás természete felveszi a karaktert

pozitív.

Készítsük el a stabilitás és instabilitás matematikai leírását. Mivel egy rendszer stabilitása csak a szabad mozgás természetétől függ, a rendszernek ez a szabad mozgása homogén differenciálegyenlettel írható le:

karakterisztikus egyenlet, amely a következő kifejezéssel lesz ábrázolva:

Általános megoldásÁbrázoljuk a (2.19.) homogén differenciálegyenletet a következő formában:

Ahol C k – állandók a kezdeti feltételektől függően, p k a karakterisztikus egyenlet gyökerei.

A karakterisztikus egyenlet gyökerei összetettek lehetnek ( p k = α k ± jβ k ), érvényes ( p k = α k ) vagy képzeletbeli ( p k = jβ k ). Az összetett gyökök mindig páronként konjugálódnak egymással, ᴛ.ᴇ. ha van egy egyenletnek egy gyöke pozitív képzeletbeli résszel, akkor biztosan létezik gyök, amelynek abszolút értéke azonos, de negatív képzeletbeli rész. y(t) at t → ∞ -tól (2.21.) csak akkor fog nullázni, ha minden tag S k e p k t → 0. Ennek a függvénynek a jellege a gyökér típusától függ. A gyökér elhelyezkedésének lehetséges esetei p k a komplex síkon és a hozzájuk tartozó függvények y(t) = C k e p k t A függvények megjelenését a 61. ábra mutatja be az ellipsziseken belül.

61. ábra. A karakterisztikus egyenlet gyökeinek elhelyezkedésének hatása a

a rendszer szabad mozgásának összetevői

A 61. ábra azt mutatja, hogy ha minden valódi gyökér p k= α k a (2.21.) kifejezésnél a kifejezés megfelel:

y k (t) = C k eα k t(2.22.)

majd at α to< 0 (gyökér p 1) funkció at t→ ∞ nullára hajlamos lesz, amikor α k > 0 (gyökér 3. o ) a függvény korlátozás nélkül fog növekedni, és mikor α k = 0 (gyökér p 2) a függvény állandó marad.

Ha a karakterisztikus egyenlet rendelkezik összetett gyökerek, majd minden egyes konjugált komplex gyökérpár p k, k+1 = α k ± jβ k , két kifejezés fog megfelelni nekik, amelyek kombinálhatók és a következő kifejezéssel ábrázolhatók:

Ez a függvény exponenciálisan változó amplitúdójú és frekvenciájú szinuszos β k . Két összetett gyök negatív valós részére α k, k+1< 0 , (gyökerek 4. o És p5 ) a függvény oszcillációs komponense csökkenni fog, és pozitív valós résszel α k, k+1 > 0 , (gyökerek 8. o És 9. o ) az oszcillációk amplitúdója korlátlanul nő. Komplex gyökerek valós részének hiányában α k, k+1 = 0 (gyökerek 6. o És p7 ), ᴛ.ᴇ. csak képzeletbeli gyökök jelenlétében a függvény egy folytonos szinusz lesz egy frekvenciával β k .

A stabilitás definíciója alapján, ha a kezdeti egyensúlyi helyzetet nullának vesszük, akkor stabil rendszerek esetén a kimeneti paraméter értékének idővel nullára kell irányulnia, ᴛ.ᴇ. a rendszer magától visszatér egyensúlyi helyzetébe. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a (2.21.) differenciálegyenlet megoldásának minden tagja idővel nullára hajlamos legyen, amit az egyenlet negatív valós gyökeivel kell elérni, az összetett gyököknek pedig negatív valós része legyen. Legalább egy pozitív valós gyök vagy egy pozitív valós résszel rendelkező komplex gyökpár megléte azt eredményezi, hogy a rendszer kimeneti paraméterének értéke nem tér vissza az eredeti értékre, ᴛ.ᴇ. a rendszer instabil lesz.

A 62. ábrán bemutatott karakterisztikus egyenlet gyökeinek komplex síkon való elhelyezkedését elemezve észrevehető, hogy az ACS akkor stabil, ha a karakterisztikus egyenlet összes gyöke a bal félsíkban van és mindegyik negatív valós ill. komplex negatív valós résszel. Legalább egy gyökér jelenléte a jobb félsíkban jellemzi a rendszer instabilitását.

A rendszer stabilitása a rendszer belső tulajdonsága, amely csak a rendszer tulajdonságait leíró karakterisztikus egyenlet gyökeinek típusától függ, és nem függ külső hatásoktól. A rendszer stabilitásának szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenlet összes gyökere a bal (negatív) félsíkban legyen.

A pozitív és negatív félsíkot, amelyben a karakterisztikus egyenlet pozitív vagy negatív gyökerei találhatók, biztosítva a rendszer stabilitását vagy instabilitását, a képzeletbeli tengely választja el egymástól ± jβ . Ez a tengely tehát a stabilitási határ, ha a karakterisztikus egyenletnek egy pár tisztán képzeletbeli gyöke van p k, k+1 =± jβ k , és a többi gyök a negatív félsíkban van, akkor a rendszerre jellemző a csillapítatlan rezgések jelenléte frekvenciával ω = β k. Általánosan elfogadott, hogy ebben az esetben a rendszer a oszcillációs stabilitási határ .

Pont β = 0 a képzeletbeli tengelyen a nulla gyökérnek felel meg. Azt az egyenletet, amelynek egy nulla gyöke van, at-nek tekintjük időszakos stabilitási határ , és két nulla gyökér jelenlétében a rendszer instabil.

62. ábra. Egy stabil rendszer karakterisztikus egyenletének gyökeinek elhelyezkedése on

összetett sík

Ne felejtsük el, hogy szinte az összes valós automata vezérlőrendszer egyenlete nem lineáris, hanem linearizálással lineáris egyenletekre redukálódik, ezért a linearizálás során tett feltételezések befolyásolhatják a definíciós rendszer stabilitásának helyességét.

A. M. Ljapunov 1892-ben. művében ʼʼ Általános feladat a mozgás stabilitására vonatkozóan igazolta azt a tételt, amelyben linearizált egyenletekre a következő következtetéseket vonták le:

1. Ha a rendszer karakterisztikus egyenletének minden valós gyöke negatív, akkor a rendszer stabilnak tekinthető.

2. Ha a rendszer karakterisztikus egyenletének legalább egy valós gyöke pozitív, akkor a rendszer instabilnak tekinthető.

3. Ha egy linearizált rendszer karakterisztikus egyenletében legalább egy nulla gyök vagy egy pár képzeletbeli gyök van, akkor a linearizált egyenlet segítségével lehetetlen megítélni a valós rendszer stabilitását.

Következésképpen rendkívül fontos, hogy az eredeti nemlineáris egyenlet elemzése alapján következtetést vonjunk le a valós rendszerek stabilitására vonatkozóan, és a rendszer instabilitásának vagy stabilitásának meghatározásához elegendő a rendszer pozitivitásának (negativitásának) azonosítása. a karakterisztikus egyenlet valódi gyökerei.

Fenntarthatósági kritériumok nevezzen meg bizonyos szabályokat, amelyek alapján az automatikus vezérlés elméletében a karakterisztikus egyenlet gyökeinek előjeleit meghatározzák annak megoldása nélkül! A stabilitásnak algebrai és gyakorisági kritériumai vannak.

Algebrai kritériumok a rendszer stabilitását rendkívül fontosnak és elégséges állapot a gyökök negativitása a karakterisztikus egyenlet együtthatóinak bizonyos értékeire.

Gyakorisági kritériumok a rendszer stabilitását, megállapították a rendszer stabilitásának a rendszer frekvenciakarakterisztikájának alakjától való függését.

Az önjáró fegyverek stabilitása, a stabilitás általános fogalmai - fogalma és típusai. Az „Önjáró fegyverek stabilitása, általános stabilitási fogalmak” kategória besorolása és jellemzői 2017, 2018.