A „felező” szót franciául úgy fordítják, hogy „kettévágás”. Egy szög felezője egy „egyenosztó” szög, azaz. szöget felező.

Szögfelező - az oldalai közötti szög csúcsából húzott sugár, amely a szöget kettéosztja.

Egy szögfelező megszerkeszthető a szög fokmérőjével szögmérő segítségével. Ehhez egy adott szög fokszámát fel kell osztani, és a félszög fokmértékét a csúcs egyik oldalára fektetjük. Egy ilyen szög második oldala lesz az adott szög felezője.

Ha egy adott szög fokmértéke 60°, akkor a felezővel megszerkesztett két szög egyenként 30°, mivel 60°:2 = 30°.

Egy egyenes szöget egy felező két derékszögre oszt (180°:2=90°), bármely tompaszöget egy felező két hegyesszögre oszt.

Szögfelező szerkesztése iránytű és vonalzó segítségével

Ha egy szögfelezőt szögmérő nélkül, csak egy körzőt és egy vonalzót használunk, akkor a következő lépéseket kell végrehajtania (lásd a fenti ábrát).

• Egy tetszőleges sugarú szög csúcsából meg kell rajzolni egy körívet úgy, hogy az metszi a szög oldalait
• Az ív és a szög oldalának metszéspontjának minden pontjából (kettő van) rajzolja meg ismét a kör lelkét (más sugárral)
• A kiegészítőleg megszerkesztett körívek metszéspontján keresztül rajzoljon egy sugarat a szög csúcsából, amely ennek a szögnek a felezője lesz

Háromszög szögfelezője

Háromszög szögfelezője a szögfelezőnek a szög csúcsától a szemközti oldallal való metszéspontjáig húzott szakasza.

Egy háromszögnek három felezőszöge van, minden csúcsából húzva.

A háromszög szögfelezőjének sok speciális tulajdonsága van, amelyeket egy külön cikkben ismertetünk "

A felező egy olyan egyenes, amely egy szöget felez.

Találkozott-e felezővel a problémában? Próbáljon meg egyet (vagy néha többet) alkalmazni az alábbi csodálatos tulajdonságok közül.

1. Felező egyenlő szárú háromszögben.

Nem félsz a "tétel" szótól? Ha félsz, akkor hiába. A matematikusok megszoktak minden olyan állítást tételnek nevezni, amely más, egyszerűbb állításokból valahogyan levezethető.

Szóval figyelem, tétel!

Bizonyítsuk be ez a tétel, vagyis értsük meg, miért történik ez? Nézd meg az egyenlő szárúakat.

Nézzük meg őket alaposan. És akkor ezt meglátjuk

1. - általános.

Ez pedig azt jelenti (gyorsan emlékezz a háromszögek egyenlőségének első jelére!) azt.

Szóval mi van? Ezt akarod mondani? És a helyzet az, hogy még nem néztük meg ezeknek a háromszögeknek a harmadik oldalát és a fennmaradó szögeket.

Most pedig lássuk. Egyszer, akkor abszolút pontosan és még kiegészítésképpen, .

Szóval ez kiderült

1. kettéosztotta az oldalt, vagyis kiderült, hogy ez a medián
2. , ami azt jelenti, hogy mindkettő hasonló (nézd meg újra a képet).

Így kiderült, hogy felező és magasság is!

Hurrá! Bebizonyítottuk a tételt. De képzeld el, ez még nem minden. Szintén hűséges fordított tétel:

Bizonyíték? Tényleg érdekel? Olvassa el az elmélet következő szintjét!

És ha nem érdekel, akkor emlékezz határozottan:

Miért emlékszik erre határozottan? Hogyan segíthet ez? De képzeld el, hogy van egy feladatod:

Adott: .

Lelet: .

Azonnal rájössz, felező, és lám, kettéosztotta az oldalt! (feltétel szerint...). Ha határozottan emlékszik, hogy ez megtörténik csak egyenlő szárú háromszögben, majd levonod a következtetést, ami azt jelenti, hogy a választ írod: . Remek, igaz? Persze nem minden feladat lesz ilyen egyszerű, de a tudás mindenképpen segít!

És most a következő ingatlan. Kész?

2. Egy szög felezője a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok helye.

Megrémült? Tényleg nem nagy baj. Lusta matematikusok négyet rejtettek két sorban. Tehát mit jelent az, hogy "felező... pontok helye"? Ez azt jelenti, hogy azonnal kivégzik őket kétnyilatkozatok:

1. Ha egy pont egy szögfelezőn fekszik, akkor a távolság a szög oldalaitól egyenlő.
2. Ha egy ponton a szög oldalai közötti távolság egyenlő, akkor ez a pont Szükségszerűen a felezőn fekszik.

Látod a különbséget az 1. és 2. állítás között? Ha nem, akkor emlékezzen a Kalaposra az „Alice Csodaországban”-ból: „Mi mást mondana, mintha a „látom, amit eszem” és „azt eszem, amit látok” ugyanaz lenne!

Tehát bizonyítanunk kell az 1. és 2. állítást, majd a következő állítást: „egy szögfelező a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok helye” bebizonyosodik!

Miért igaz az 1?

Vegyük a felező bármely pontját, és nevezzük .

Erősítsünk merőlegeseket ebből a pontból a szög oldalaira.

És most...készüljön fel, hogy emlékezzen a derékszögű háromszögek egyenlőségének jeleire! Ha elfelejtette őket, nézze meg a részt.

Tehát...két derékszögű háromszög: és. Rendelkeznek:

• Általános hipotenusz.
• (mert ez egy felező!)

Ez azt jelenti - szög és hipotenúza szerint. Ezért ezeknek a háromszögeknek a megfelelő lábai egyenlők! Azaz.

Bebizonyítottuk, hogy a pont egyenlő (vagy egyenlő) távolságra van a szög oldalaitól. Az 1. pont foglalkozik. Most térjünk át a 2. pontra.

Miért igaz a 2?

És kössük össze a pontokat és.

Ez azt jelenti, hogy a felezőn fekszik!

Ennyi!

Hogyan lehet mindezt alkalmazni a problémák megoldása során? Például a feladatokban gyakran előfordul a következő mondat: „Egy kör érinti egy szög oldalait...”. Nos, ki kell találnia valamit.

Aztán hamar rájössz erre

És használhatod az egyenlőséget.

3. Egy háromszög három felezőszöge egy pontban metszi egymást

Abból a tulajdonságából, hogy a felező egy szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok helye, a következő állítás következik:

Hogy jön ki pontosan? De nézd: két felezőszög biztosan metszi egymást, igaz?

A harmadik felező pedig a következőképpen alakulhat:

De a valóságban minden sokkal jobb!

Nézzük meg két felező metszéspontját. Nevezzük el.

Mit használtunk itt mindkét alkalommal? Igen 1. pont, persze! Ha egy pont egy szögfelezőn fekszik, akkor egyenlő távolságra van a szög oldalaitól.

És így történt.

De alaposan nézd meg ezt a két egyenlőséget! Hiszen belőlük az következik, hogy és ezért .

És most szóba kerül 2. pont: ha egy szög oldalainak távolsága egyenlő, akkor a pont a felezőn van...mekkora szög? Nézd meg újra a képet:

és a távolságok a szög oldalaitól, és egyenlők, ami azt jelenti, hogy a pont a szög felezőjén fekszik. A harmadik felező ugyanazon a ponton ment át! Mindhárom felező egy pontban metszi egymást! És további ajándékként -

Radii felírva körökben.

(A biztosra nézz egy másik témát.)

Nos, most soha nem fogod elfelejteni:

A háromszög felezőinek metszéspontja a beleírt kör középpontja.

Térjünk át a következő tulajdonságra... Hű, a felezőnek sok tulajdonsága van, igaz? És ez nagyszerű, mert minél több tulajdonság, annál több eszköz a felező feladatok megoldására.

4. Felező és párhuzamosság, szomszédos szögfelezők

Az a tény, hogy a felező a szöget felére osztja, bizonyos esetekben teljesen váratlan eredményekhez vezet. Itt pl.

1. eset

Remek, igaz? Értsük meg, miért van ez így.

Egyrészt felezőt rajzolunk!

De másrészt vannak szögek, amelyek keresztben fekszenek (emlékezz a témára).

És most kiderült, hogy; dobd ki a közepét: ! - egyenlő szárú!

2. eset

Képzelj el egy háromszöget (vagy nézd meg a képet)

Folytassuk a ponton túli oldalt. Most két szögünk van:

• - belső sarok
• - a külső sarok kívül van, igaz?

Tehát most valaki nem egy, hanem egyszerre két felezőt akart rajzolni: for- és for-t egyaránt. Mi fog történni?

Sikerülni fog? négyszögletes!

Meglepő módon pontosan ez a helyzet.

Találjuk ki.

Szerinted mekkora az összeg?

Természetesen - elvégre ezek együtt olyan szöget zárnak be, hogy egyenes vonalnak bizonyul.

Most emlékezzünk rá, hogy a felezők és nézzük meg, hogy a szög belsejében pontosan van fél mind a négy szög összegéből: és - - vagyis pontosan. Felírhatod egyenletként is:

Szóval hihetetlen, de igaz:

A háromszög belső és külső szögének felezőszöge egyenlő.

3. eset

Látod, hogy itt minden ugyanaz, mint a belső és a külső sarkoknál?

Vagy gondoljuk át újra, miért történik ez?

Ami a szomszédos sarkokat illeti,

(a párhuzamos bázisoknak megfelelően).

És megint kibékülnek pontosan fele az összegből

Következtetés: Ha a feladat felezőket tartalmaz szomszédos szögek vagy felezők lényeges paralelogramma vagy trapéz szögei, akkor ebben a feladatban biztosan derékszögű háromszögről van szó, vagy akár egy egész téglalapról is.

5. Felező és ellentétes oldal

Kiderült, hogy egy háromszög szögfelezője nem csak valamilyen módon osztja el az ellenkező oldalt, hanem különleges és nagyon érdekes módon:

Azaz:

Elképesztő tény, nem?

Most bebizonyítjuk ezt a tényt, de készüljetek fel: kicsit nehezebb lesz, mint korábban.

Ismét - kilépés az „űrbe” - további formáció!

Menjünk egyenesen.

Minek? Most meglátjuk.

Folytassuk a felezőt, amíg nem metszi az egyenest.

Ez ismerős kép? Igen, igen, igen, pontosan ugyanaz, mint a 4. pontban, 1. eset - kiderül, hogy (- felező)

Keresztbe fekve

Szóval az is.

Most nézzük a háromszögeket és.

Mit mondhatsz róluk?

Ők...hasonlóak. Nos, igen, a szögeik megegyeznek a függőlegesekkel. Tehát két sarokban.

Most jogunk van megírni az érintett felek kapcsolatait.

És most röviden:

Ó! Emlékeztet valamire, igaz? Nem ezt akartuk bizonyítani? Igen, igen, pontosan ez!

Látod, milyen nagyszerűnek bizonyult az „űrséta” – egy további egyenes építése – enélkül semmi sem történt volna! És hát ezt be is bizonyítottuk

Most már biztonságosan használhatod! Nézzük meg még egy tulajdonságát a háromszög szögfelezőinek - ne ijedj meg, most a legnehezebb résznek vége - könnyebb lesz.

Ezt értjük

Ezt a tudást azokban a feladatokban lehet alkalmazni, ahol két felezőről van szó, és csak egy szög van megadva, és a szükséges mennyiségek át vannak tartva, vagy fordítva, adottak, de meg kell találni valamit, amely magában foglalja a szöget.

Az alapismeretek a felezőről lejártak. Ezeket a tényeket kombinálva megtalálja a kulcsot bármely felező probléma megoldásához!

FELEZŐVONAL. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

1. tétel:

2. tétel:

3. tétel:

4. tétel:

5. tétel:

6. tétel:

Egy szög belsejében, egyenlő távolságra a szög oldalaitól.

Mnemonikus szabály

A felező egy patkány, amely a sarkokon fut és kettévágja a sarkot.

Könnyebb megjegyezni a megfogalmazást. Leggyakrabban gyerekek használják.

Wikimédia Alapítvány.

2010.:

Szinonimák

Nézze meg, mi a „felező” más szótárakban: felezővonal - y, w. bissecrice f. matematika. Egy szög csúcsán áthaladó és azt kettéosztó egyenes. BAS 2. Rajzolj felezőt. Vasyukova 1999. A felező egy patkány, amely körbefut a sarkokon, és kettéosztja a sarkot. 1994. Beljanin. Lex. Brokg......

Az orosz nyelv gallicizmusainak történeti szótára Matematika, vonal, egyenes orosz szinonimák szótára. felező főnév, szinonimák száma: 3. sor (182) ...

Szinonimák szótára - (a latin bis kétszer és seco I cut) szóból a szög egy félegyenes vonal (sugár), amely a szög csúcsából ered és kettéosztja...

Nagy enciklopédikus szótár - [ise], felezők, nő. (lat. bissectrix-ből átmetszve) (mat.). 1. Egy sarokban van egy egyenes, amely kettéosztja a szöget. 2. Egy háromszögben a szemközti oldalra valamilyen szögből húzott és ezt az oldalt részekre bontó egyenes egyenes... ...

Ushakov magyarázó szótára BISEXECTRISE, s, nőstény. Matematikában: egy szög csúcsából kiinduló és azt kettéosztó (3 számjegyű) sugár. Ozhegov magyarázó szótára. S.I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. 1949 1992…

Nézze meg, mi a „felező” más szótárakban: Ozsegov magyarázó szótára - BISEXTER, s, f. Matematika tanár az iskolában. Az iskolából...

Nézze meg, mi a „felező” más szótárakban: Orosz argot szótár - [A.S. Goldberg. Angol-orosz energiaszótár. 2006] Az energia témakörök általánosságban EN középvonal ...

Műszaki fordítói útmutató FELEZŐVONAL - a szög tetejéből kiinduló és azt kettéosztó sugár; bármely B. pont egyenlő távolságra van a szög oldalaitól. A háromszög három B. szöge egy pontban metszi egymást a háromszögbe írt kör középpontjában...

Nagy Politechnikai Enciklopédia - (francia bissectrice lat. bis sectrix (bissectricis) kettévágás) geom. egy szög csúcsán áthaladó és azt kettéosztó sugár. Új idegen szavak szótára. EdwART, 2009. felező [ise], felezők, w. [latinból. bissectrix –……

Orosz nyelv idegen szavak szótára Y; és. [Francia bissecrice lat. bis kétszer és secare dissect] Mat. A sarok tetejéből kilépő sugár, amely kettéosztja azt. * * * egy szög felezője (a latin bis kétszeres és seco vágásból), egy félegyenes (sugár), amely a szög csúcsából indul ki és osztja el...

Enciklopédiai szótár

• A felező egy ilyen patkány..., Natalya Citronova. A szerző első könyve történetek és esszék a pörgős kilencvenes évekről... Könnyen, humorral, véres vagy szexjelenetek nélkül írva...

A háromszög felezője egy olyan szakasz, amely egy háromszög szögét két egyenlő szögre osztja. Például, ha egy háromszög szöge 120 0, akkor felezőszöget rajzolva két, egyenként 60 0 szöget fogunk megszerkeszteni.

És mivel egy háromszögben három szög van, három felezőszög rajzolható. Mindegyiknek van egy határpontja. Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja. Más módon ezt a metszéspontot a háromszög középpontjának nevezzük.

Ha egy belső és egy külső szög két felezője metszi egymást, akkor 90 0 -os szöget kapunk. A háromszög külső szöge a háromszög belső szögével szomszédos szög.

Rizs. 1. 3 felezőt tartalmazó háromszög

A felező az ellenkező oldalt két szegmensre osztja, amelyek az oldalakhoz kapcsolódnak:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

A felezőpontok egyenlő távolságra vannak a szög oldalaitól, ami azt jelenti, hogy azonos távolságra vannak a szög oldalaitól. Vagyis ha a felező bármely pontjából merőlegeseket ejtünk a háromszög szögének minden oldalára, akkor ezek a merőlegesek egyenlőek lesznek.

Ha egy csúcsból rajzolunk egy mediánt, felezőt és magasságot, akkor a medián lesz a leghosszabb szakasz, a magasság pedig a legrövidebb.

A felező néhány tulajdonsága

Bizonyos típusú háromszögekben a felezőnek speciális tulajdonságai vannak. Ez elsősorban egyenlő szárú háromszögre vonatkozik. Ennek az ábrának két azonos oldala van, a harmadikat alapnak nevezik.

Ha egy egyenlő szárú háromszög szögének csúcsából az alaphoz húzunk egy felezőmetszetet, akkor annak mind a magasság, mind a medián tulajdonsága lesz. Ennek megfelelően a felező hossza egybeesik a medián és a magasság hosszával.

Meghatározások:

• Magasság- a háromszög csúcsából a szemközti oldalra húzott merőleges.
• Középső– a háromszög csúcsát és a szemközti oldal közepét összekötő szakasz.

Rizs. 2. Felező egyenlő szárú háromszögben

Ez vonatkozik egy egyenlő oldalú háromszögre is, vagyis olyan háromszögre, amelynek mindhárom oldala egyenlő.

Példafeladat

Az ABC háromszögben: BR a felező, ahol AB = 6 cm, BC = 4 cm, és RC = 2 cm, vonjuk ki a harmadik oldal hosszát.

Rizs. 3. Felező háromszögben

Megoldás:

A felező egy bizonyos arányban osztja a háromszög oldalát. Használjuk ezt az arányt, és fejezzük ki az AR-t. Ekkor megtaláljuk a harmadik oldal hosszát azon szakaszok összegeként, amelyekre a felező ezt az oldalt felosztotta.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Ekkor a teljes szegmens AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz húzott felező a háromszöget két egyenlő derékszögű háromszögre osztja.

Mit tanultunk?

A felező témának tanulmányozása után megtudtuk, hogy egy szöget két egyenlő szögre oszt. És ha egyenlő szárú vagy egyenlő oldalú háromszögben rajzolja az alaphoz, akkor egyszerre lesz a medián és a magasság tulajdonságai.

Teszt a témában

Cikk értékelése

Átlagos értékelés: 4.2. Összes értékelés: 157.

Mi egy szög felezője?

1. A beszekor egy patkány, amely a sarkokat megkerülve felosztja a sarkot

2. 
   

   
   

   A felezők tulajdonságai

   
   
   

   
   

   a2a1=cb
   la=c+bcb(b+c+a)(b+ca)
   la=c+b2bc cos2
   la=hacos2
   la=bca1a2

   Ahol:
   
   
   

3. valahogy így))
4. Egy egyenes szög metszője 2 derékszögre osztja
5. ez egy patkány, amely darabokra oszlik
6. A szögfelező (latin bi-double és sectio vágás) egy olyan sugár, amelynek kezdete a szög csúcsánál van, és a szöget két egyenlő részre osztja.
7. A szögfelező (latin bi-double és sectio vágás) egy olyan sugár, amelynek kezdete a szög csúcsánál van, és a szöget két egyenlő részre osztja.
8. A felező egy patkány, amely a sarkokon fut, és nemekre osztja a sarkot
9. egy szöget 2 egyenlő szögre osztó sugár
10. A felező egy patkány, amely körbefutja a sarkokat és kettéosztja a sarkot!
    😉
11. A szögfelező (latin bi-double és sectio vágás) egy olyan sugár, amelynek kezdete a szög csúcsánál van, és a szöget két egyenlő részre osztja.

    A szög felezője (kiterjesztésével együtt) a szög oldalaitól (vagy azok kiterjesztéseitől) egyenlő távolságra lévő pontok helye.
    Meghatározás. Egy háromszög szögfelezője annak a szögnek a felező szakasza, amely a csúcsot a szemközti oldalon lévő ponttal köti össze.

    A háromszög belső szögeinek három felezőpontja közül bármelyiket háromszögfelezőnek nevezzük.
    Egy háromszög szögfelezője két dolog egyikét jelentheti: ennek a szögnek a sugárfelezőjét vagy a szög felezőjének szakaszát a háromszög oldalával való metszéspontja előtt.

    A felezők tulajdonságai

    Egy háromszög szögfelezője osztja a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányával egyenlő arányban.
    A háromszög belső szögeinek felezőpontjai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a beírt kör középpontjának nevezzük.
    A belső és külső szögek felezőszögei merőlegesek.
    Ha egy háromszög külső szögének felezője metszi a szemközti oldal kiterjesztését, akkor ADBD=ACBC.

    A háromszög egy belső és két külső szögének felezőszögei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög három körének egyikének középpontja.
    Egy háromszög két belső és egy külső szögének felezőpontja ugyanazon az egyenesen fekszik, ha a külső szög felezője nem párhuzamos a háromszög szemközti oldalával.
    Ha egy háromszög külső szögeinek felezőpontjai nem párhuzamosak a szemközti oldalakkal, akkor alapjaik ugyanazon az egyenesen fekszenek.

    a2a1=cb
    la=c+bcb(b+c+a)(b+c#8722;a)
    la=c+b2bc cos2
    la=hacos2#8722;
    la=bc#8722;a1a2

    Ahol:
    la felező az a oldalra húzva,
    a háromszög a, b, c oldalai az A, B, C csúcsokhoz képest,
    al,a 2 szegmens, amelyre az lc felező osztja a c oldalt,
    a háromszög belső szögei az a, b, c csúcsokban,
    ha az a oldalra ejtett háromszög magassága.

12. A felező egy egyenes, amely egy szöget oszt fel
13. A szögfelező (latin bi-double és sectio vágás) egy olyan sugár, amelynek kezdete a szög csúcsánál van, és a szöget két egyenlő részre osztja.

    A szög felezője (kiterjesztésével együtt) a szög oldalaitól (vagy azok kiterjesztéseitől) egyenlő távolságra lévő pontok helye.

14. A felező egy patkány, amely körbejárja a sarkokat, és kettéosztja a sarkot
15. felező, egy ilyen patkány fut a sarkokon, és ütésekkel osztja fel a sarkot)
16. Szöget feloszt
17. azt az egyenest, amely kettéosztja (a szöget).
18. A felező egy patkány, amely körbefutja a sarkokat és kettéosztja azokat