Az alap meghatározása. Egy vektorrendszer akkor képez alapot, ha:

1) lineárisan független,

2) a tér bármely vektora lineárisan kifejezhető rajta.

1. példa Tér alapja: .

2. A vektorrendszerben az alap a vektorok: , mert vektorokkal lineárisan kifejezve.

Megjegyzés. Egy adott vektorrendszer alapjának megtalálásához a következőket kell tennie:

1) írja be a vektorok koordinátáit a mátrixba,

2) elemi transzformációkkal hozza a mátrixot háromszög alakúra,

3) a mátrix nullától eltérő sorai lesznek a rendszer alapja,

4) a bázisban lévő vektorok száma megegyezik a mátrix rangjával.

Kronecker-Capelli tétel

A Kronecker–Capelli-tétel átfogó választ ad arra a kérdésre, hogy egy tetszőleges lineáris egyenletrendszer kompatibilis-e ismeretlenekkel.

Kronecker–Capelli tétel. Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszer kiterjesztett mátrixának rangja megegyezik a főmátrix rangjával, .

Az egyidejű lineáris egyenletrendszer összes megoldásának megtalálásának algoritmusa a Kronecker–Capelli-tételből és a következő tételekből következik.

Tétel. Ha egy közös rendszer rangja egyenlő az ismeretlenek számával, akkor a rendszernek egyedi megoldása van.

Tétel. Ha egy közös rendszer rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Algoritmus tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldására:

1. Határozza meg a rendszer fő és kiterjesztett mátrixainak rangsorait! Ha nem egyenlőek (), akkor a rendszer inkonzisztens (nincs megoldása). Ha a rangok egyenlőek ( , akkor a rendszer konzisztens.

2. Egy közös rendszerhez találunk néhány mollot, amelynek sorrendje határozza meg a mátrix rangját (az ilyen mollot alapnak nevezzük). Állítsunk össze egy új egyenletrendszert, amelyben az ismeretlenek együtthatói az alap-mollban szerepelnek (ezeket az ismeretleneket fő ismeretleneknek nevezzük), a többi egyenletet pedig dobjuk el. A főbb ismeretleneket együtthatókkal a bal oldalon hagyjuk, a fennmaradó ismeretleneket (ezeket szabad ismeretleneknek nevezzük) az egyenletek jobb oldalára mozgatjuk.

3. Keressünk kifejezéseket a fő ismeretlenekre a szabadon belül. Megkapjuk a rendszer általános megoldását.

4. Ha tetszőleges értékeket adunk a szabad ismeretleneknek, megkapjuk a fő ismeretlenek megfelelő értékeit. Ily módon részmegoldásokat találunk az eredeti egyenletrendszerre.

Lineáris programozás. Alapfogalmak

Lineáris programozás a matematikai programozás egyik ága, amely olyan szélsőséges problémák megoldásának módszereit tanulmányozza, amelyeket a változók közötti lineáris kapcsolat és egy lineáris kritérium jellemez.

A lineáris programozási probléma felvetésének szükséges feltétele az erőforrások rendelkezésre állásának, a kereslet mennyiségének, a vállalkozás termelési kapacitásának és egyéb termelési tényezőknek a korlátozása.

A lineáris programozás lényege, hogy megkeressük egy függvény legnagyobb vagy legkisebb értékének pontjait az argumentumokra és generátorokra szabott korlátozások mellett. korlátozások rendszere , amelynek rendszerint végtelen számú megoldása van. Minden változó értékkészlet (függvény argumentumok F ) amelyek kielégítik a kényszerrendszert, ún érvényes terv lineáris programozási problémák. Funkció F , melynek maximumát vagy minimumát határozzuk meg, hívjuk cél funkció feladatokat. Egy megvalósítható terv, amelynél a függvény maximumát vagy minimumát elérjük F , hívott optimális terv feladatokat.

A sok tervet meghatározó korlátozási rendszert a termelési feltételek határozzák meg. Lineáris programozási probléma ( ZLP ) a legjövedelmezőbb (optimális) választás a megvalósítható tervek közül.

Általános megfogalmazásában a lineáris programozási probléma így néz ki:

Vannak változók? x = (x 1, x 2, ... x n) és ezeknek a változóknak a függvénye f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , ami az úgynevezett cél funkciókat. A feladat kitűzve: a célfüggvény szélsőértékének (maximumának vagy minimumának) megkeresése f(x) feltéve, hogy a változók x valamilyen területhez tartoznak G :

A funkció típusától függően f(x) és régiók G és megkülönböztetni a matematikai programozás szakaszait: másodfokú programozás, konvex programozás, egész szám programozás stb. A lineáris programozásra jellemző, hogy
a) függvény f(x) a változók lineáris függvénye x 1, x 2, … x n
b) régió G a rendszer határozza meg lineáris egyenlőségek vagy egyenlőtlenségek.

Keresse meg a vektorok és a bázisban nem szereplő vektorok rendszerének alapját, bővítse ki őket az alap szerint:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Megoldás. Tekintsünk egy homogén lineáris egyenletrendszert

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

vagy bővített formában.

Ezt a rendszert Gauss-módszerrel oldjuk meg, anélkül, hogy sorokat és oszlopokat cserélnénk fel, és emellett nem a bal felső sarokban, hanem a teljes sor mentén választjuk ki a fő elemet. A kihívás az, hogy válassza ki a transzformált vektorrendszer átlós részét.

~ ~

~ ~ ~ .

Az eredetivel ekvivalens vektorok megengedett rendszerének formája van

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Ahol A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vektorok A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 átlós rendszert alkotnak. Ezért a vektorok A 1 , A 3 , A 4 alkotják a vektorrendszer alapját A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Most bővítsük ki a vektorokat A 2 És A 5 alapján A 1 , A 3 , A 4. Ehhez először kibontjuk a megfelelő vektorokat A 2 1 És A 5 1 átlós rendszer A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, szem előtt tartva, hogy egy vektor tágulási együtthatói az átlórendszer mentén a koordinátái x i.

Az (1)-től a következőkkel rendelkezünk:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 · 2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vektorok A 2 És A 5 alapja bővült A 1 , A 3 , A 4 ugyanazokkal az együtthatókkal, mint a vektorok A 2 1 És A 5 1 átlós rendszer A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (azok az együtthatók x i). Ezért,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Feladatok. 1.Keresse meg a vektorok és a bázisban nem szereplő vektorok rendszerének bázisát, bővítse ki a bázis szerint:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Keresse meg a vektorrendszer összes alapját:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

A vektorok lineáris kombinációja egy vektor
, ahol λ 1, ..., λ m tetszőleges együtthatók.

Vektoros rendszer
lineárisan függőnek nevezzük, ha van egy lineáris kombinációja egyenlő , amelynek legalább egy nullától eltérő együtthatója van.

Vektoros rendszer
lineárisan függetlennek nevezzük, ha bármely lineáris kombinációjában egyenlő , minden együttható nulla.

A vektorrendszer alapja
annak nem üres, lineárisan független alrendszerét hívjuk, amelyen keresztül a rendszer bármely vektora kifejezhető.

2. példa Keresse meg egy vektorrendszer alapját = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3), és fejezzük ki a fennmaradó vektorokat a bázison keresztül.

Megoldás: Építünk egy mátrixot, amelyben ezeknek a vektoroknak a koordinátái oszlopokba vannak rendezve. Lépésenkénti formába hozzuk.

~
~
~
.

Ennek a rendszernek az alapját a vektorok alkotják ,,, amelyek megfelelnek a körökben kiemelt vonalak vezető elemeinek. Vektor kifejezésére oldja meg az x 1 egyenletet +x 2 + x 4 =. Lineáris egyenletrendszerré redukálódik, amelynek mátrixát az oszlop eredeti permutációjából kapjuk, amely megfelel

, a szabad kifejezések oszlopa helyett.

Ezért a rendszer megoldásához a kapott mátrixot lépésenkénti formában használjuk fel, elvégezve benne a szükséges átrendezéseket.

= -+2.

Folyamatosan azt találjuk, hogy:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

2. feladat Keresse meg a vektorrendszer bázisát, és fejezze ki a fennmaradó vektorokat a bázison keresztül:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. A megoldások alapvető rendszere

Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tagja nulla.

Egy homogén lineáris egyenletrendszer alapvető megoldási rendszere a megoldási halmaz alapja.

Adjunk meg egy inhomogén lineáris egyenletrendszert. Egy adotthoz társított homogén rendszer egy adott rendszerből úgy kapott rendszer, hogy minden szabad tagot nullára cserélünk.

Ha az inhomogén rendszer konzisztens és határozatlan, akkor tetszőleges megoldása f n +  1 f o1 + ... +  k f o k alakú, ahol f n az inhomogén rendszer sajátos megoldása, f o1 , ... , f o k pedig a kapcsolódó homogén rendszer alapvető rendszermegoldásai.

3. példa Keressen egy adott megoldást az 1. példában szereplő inhomogén rendszerre és a kapcsolódó homogén rendszer alapvető megoldási rendszerére.

Megoldás Írjuk fel az 1. példában kapott megoldást vektor formában, és bontsuk fel a kapott vektort a benne lévő szabad paraméterek és a rögzített számértékek összegére:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0) ).

Azt kapjuk, hogy f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Megjegyzés. Hasonlóan oldódik meg a homogén rendszer alapvető megoldási rendszerének megtalálása.

3.1. Gyakorlat Keresse meg egy homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét:

A)

b)

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

3.2. gyakorlat. Keressen egy adott megoldást az inhomogén rendszerre és egy alapvető megoldási rendszert a kapcsolódó homogén rendszerre:

A)

b)

A vektorok lineáris függése és lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

A nézőtéren egy kocsi csokoládéval, és ma minden látogató kap egy édes párost - elemző geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk a magasabb matematika két szakaszát érinti egyszerre, és látni fogjuk, hogyan léteznek együtt egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél egy Twixet! ...a fenébe is, micsoda hülyeség. Bár, oké, nem pontozok, végül is pozitívan kell hozzáállni a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, lineáris vektorfüggetlenség, vektorok alapjaés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a „vektor” fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a „hétköznapi” vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem a Gismeteóba: hőmérséklet és légköri nyomás, ill. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az megérteni definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra érvényesek, de geometriai példákat is adunk. Így minden egyszerű, hozzáférhető és világos. Az analitikus geometriai problémákon kívül néhány tipikus algebrai feladatot is figyelembe veszünk. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegyük figyelembe a számítógépasztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak megvan a hossza és a szélessége, így intuitív módon két vektorra lesz szükség az alap létrehozásához. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A kiválasztott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes objektumához.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el bal mutatóujj az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely jobb kisujj az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit mondhatunk a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineáris egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol valami nullától eltérő szám.

Erről a műveletről láthat egy képet az órán. Vektorok bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjaid alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilván nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak kizárólag irány, és egy síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A „lineáris”, „lineárisan” szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben és kifejezésekben nincsenek négyzetek, kockák, egyéb hatványok, logaritmusok, szinuszok stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy 0 vagy 180 foktól eltérő szög legyen közöttük. Két sík vektorlineáris Nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát megvan az alap. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „elferdült” különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármilyen sík vektor az egyetlen mód alapja szerint bővül:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektormint lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapján vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például elmondhatjuk, hogy a vektort a sík ortonormális bázisa mentén bontjuk fel, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

Fogalmazzuk meg alap meghatározása formálisan: A sík alapja lineárisan független (nem kollineáris) vektorpárnak nevezzük, , míg bármilyen a síkvektor bázisvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényeges pontja az a tény, hogy a vektorokat felvesszük egy bizonyos sorrendben. Alapok – ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kezed kisujját nem tudod kicserélni a jobb kezed kisujja helyett.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani egy koordináta rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat az asztal azon kis piszkos pontjaihoz, amelyek egy vad hétvége után maradnak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen tereptárgy mindenki számára ismerős pont - a koordináták eredete. Értsük meg a koordinátarendszert:

Kezdem az „iskolai” rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok bábokhoz Rávilágítottam néhány különbségre a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Íme a standard kép:

Amikor arról beszélnek derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban az origót, a koordinátatengelyeket és a tengelyek menti léptéket jelentik. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt úgy tűnik, hogy egy derékszögű koordinátarendszer teljesen meghatározható ortonormális alapon. És ez majdnem igaz. A megfogalmazás a következő:

származás, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű derékszögű sík koordinátarendszer . Vagyis a derékszögű koordináta-rendszer határozottan egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fentebb megadtam - a geometriai feladatokban gyakran (de nem mindig) mind a vektorokat, mind a koordinátatengelyeket megrajzolják.

Szerintem mindenki érti, hogy pont (eredet) és ortonormális alapot használunk BÁRMILYEN PONT a gépen és BÁRMILYEN VEKTOR a gépen koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: „a repülőn minden megszámlálható”.

A koordinátavektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és két tetszőleges nullától eltérő hosszúságú merőleges vektort:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A vektoros koordináták origóját egy koordináta-rács határozza meg, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak adott alapon megvannak a koordinátái. Például, vagy. A nyilvánvaló kellemetlenség az, hogy a koordinátavektorok általános esetben az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek eggyel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! Jegyzet : az ortogonális alapon, valamint alatta a sík és tér affin alapjaiban a tengelyek mentén lévő egységeket kell figyelembe venni FELTÉTELES. Például egy egység az x tengely mentén 4 cm-t, egy az ordináta tengely mentén 2 cm-t tartalmaz. Ez az információ elegendő ahhoz, hogy szükség esetén a „nem szabványos” koordinátákat „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

A második kérdés, amelyre tulajdonképpen már válaszoltunk, az, hogy az alapvektorok közötti szögnek 90 fokkal kell-e egyenlőnek lennie? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún származás, És nem kollineáris vektorok, , készlet affin sík koordinátarendszer :

Néha egy ilyen koordináta-rendszert hívnak ferde rendszer. Példaként a rajz pontokat és vektorokat mutat be:

Mint érti, az affin koordinátarendszer még kevésbé kényelmes a vektorok és szegmensek hosszára vonatkozó képletek, amelyeket a lecke második részében tárgyaltunk, nem működnek benne; Vektorok bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való elosztására vonatkozó képletek, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

És a következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb speciális esete a derékszögű téglalaprendszer. Ezért kell legtöbbször látnod őt, kedvesem. ...Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor egy ferde szög (vagy valami más pl. poláris) koordinátarendszer. És a humanoidoknak tetszhetnek az ilyen rendszerek =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden probléma érvényes mind a négyszögletes koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag hozzáférhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti részletezése.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézzük meg, hogy létezik-e vektorokra arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Mindenképpen elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal alakítsuk ki az arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

Készítsünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból:

Rövidítsük le:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat fordítva is elkészíthető, ez egy megfelelő lehetőség:

Önellenőrzéshez használhatja azt a tényt, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben az egyenlőségek megtörténnek . Érvényességük egyszerűen ellenőrizhető vektoros elemi műveletekkel:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Megvizsgáljuk a vektorokat a kollinearitás szempontjából . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Következtetés: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Készítsünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Általában ezt a lehetőséget nem utasítják el a véleményezők, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. így: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet itt az arányokat átdolgozni? (valóban, nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa a saját megoldásodhoz:

2. példa

A paraméter melyik értékénél vannak a vektorok kollineárisak lesznek?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitásának ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és adjuk hozzá ötödik pontként:

Két síkvektorra a következő állítások ekvivalensek:

2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok egymáson keresztül lineárisan kifejezhetők;
+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy mostanra már megértette az összes olyan kifejezést és kijelentést, amellyel találkozott.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Döntsünk 1. példa a második módon:

a) Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból álló determinánst! :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst :
, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint egy arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak a vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem a szakaszok és egyenesek párhuzamossága is igazolható. Nézzünk meg néhány problémát konkrét geometriai alakzatokkal.

3. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot készíteni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzünk vissza a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Olyan négyszöget nevezünk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és.

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor („iskola szerint” – egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb, ha a döntést egyértelműen, elrendezéssel formalizáljuk. Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak, és .

Következtetés: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég egyszerűen emlékezni arra, hogyan néz ki.

Ezt a feladatot egyedül kell megoldania. Teljes megoldás a lecke végén.

És most itt az ideje, hogy lassan mozogjunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

A) ;
b)
V)

Megoldás:
a) Ellenőrizzük, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáira:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az „egyszerűsített” az arány ellenőrzésével formalizálódik. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térbeli vektorok kollinearitásának ellenőrzésére egy harmadrendű determináns segítségével Vektor vektor szorzata.

A sík esethez hasonlóan a vizsgált eszközökkel térbeli szakaszok és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Vektorok lineáris függése és függetlensége háromdimenziós térben.
Téralap és affin koordinátarendszer

A síkon vizsgált minták közül sok az űrre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elméleti jegyzeteket, hiszen az információk oroszlánrészét már megrágták. Javasolom azonban, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések, fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett a háromdimenziós teret vizsgáljuk. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem kerülhetjük el a három dimenziót: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért egy bázis felépítéséhez három térbeli vektorra lesz szükség. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjainkon melegedünk. Kérjük, emelje fel a kezét, és ossza szét különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögeik vannak egymás között. Gratulálunk, a háromdimenziós tér alapja készen áll! Egyébként ezt nem kell a tanároknak demonstrálni, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nincs menekvés =)

Ezután tegyünk fel egy fontos kérdést: alkot-e bármely három vektor a háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógépasztal tetejére. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik dimenziót - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Meg kell jegyezni, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek párhuzamos síkokban is (csak ne az ujjaival tegye ezt, csak Salvador Dali tette ezt =)).

Meghatározás: vektorokat hívjuk egysíkú, ha van olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el újra, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, és a tér bármely vektora az egyetlen mód egy adott bázisra van felbontva, hol vannak a vektor koordinátái ebben a bázisban

Hadd emlékeztesselek arra, hogy azt is mondhatjuk, hogy a vektor az alakban van ábrázolva lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordináta-rendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a sík esetében, és elegendő egy pont és bármelyik három lineárisan független vektor:

származás, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács „ferde” és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordinátarendszer lehetővé teszi határozottan meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni a tér affin koordinátarendszerében.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy mindenki sejti, az derékszögű tér koordinátarendszer:

Egy pont a térben ún származás, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű derékszögű tér koordinátarendszer . Ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismételten rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Szerintem az ellenkező állítások érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan determináns segítségével ellenőrzik (5. pont). A fennmaradó gyakorlati feladatok egyértelműen algebrai jellegűek lesznek. Ideje letenni a geometria botot, és hadonászni a lineáris algebra baseballütőjével:

Három térvektor akkor és csak akkor koplanárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra szeretném felhívni a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok kiszámításának módszereit, vagy egyáltalán nem értenek hozzájuk, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e a háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában a teljes megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst (a determináns az első sorban látható):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és a háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok alapot képeznek

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében meg kell oldani egy egyenletet egy determinánssal. Lecsapunk a nullákra, mint a sárkányok a jerboákra – a legjobb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbb lineáris egyenletre redukáljuk:

Válasz: at

Ezt itt könnyű ellenőrizni, ha a kapott értéket be kell cserélni az eredeti determinánsba, és meg kell győződnie arról , nyissa ki újra.

Végezetül nézzünk meg egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra tanfolyam része. Annyira elterjedt, hogy megérdemelné a saját témáját:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja a háromdimenziós tér alapját
és ebben az alapban keressük meg a 4. vektor koordinátáit

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok bázist képeznek a háromdimenziós térben, és keressük meg a vektor koordinátáit ebben a bázisban.

Megoldás: Először is foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és mint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Hogy mi ez az alap, az minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első szakasz teljesen egybeesik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és a háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták Szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncokban. Ellenkező esetben zavar lép fel a további megoldási algoritmusban.

Az n-dimenziós vektorokról szóló cikkben eljutottunk az n-dimenziós vektorok halmaza által generált lineáris tér fogalmához. Most ugyanolyan fontos fogalmakat kell figyelembe vennünk, mint például a vektortér mérete és alapja. Közvetlenül kapcsolódnak a lineárisan független vektorrendszer fogalmához, ezért ajánlott ezen kívül emlékezni a téma alapjaira.

Mutassunk be néhány definíciót.

1. definíció

A vektortér mérete– az ebben a térben található lineárisan független vektorok maximális számának megfelelő szám.

2. definíció

Vektor tér alapja– lineárisan független vektorok halmaza, rendezett és számban egyenlő a tér dimenziójával.

Tekintsünk egy bizonyos n -vektorok terét. Mérete ennek megfelelően egyenlő n-nel. Vegyünk egy n egységnyi vektorrendszert:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . . , 0) e (n) = (0, 0, . . . , 1)

Ezeket a vektorokat az A mátrix komponenseiként használjuk: n x n dimenziójú egység lesz. Ennek a mátrixnak a rangja n. Ezért az e (1) , e (2) , vektorrendszer. . . , e(n) lineárisan független. Ebben az esetben lehetetlen egyetlen vektort hozzáadni a rendszerhez anélkül, hogy megsértené annak lineáris függetlenségét.

Mivel a rendszerben a vektorok száma n, ezért az n-dimenziós vektorok terének dimenziója n, az egységvektorok pedig e (1), e (2), . . . , e (n) a megadott tér alapja.

Az így kapott definícióból arra következtethetünk: minden n-dimenziós vektorrendszer, amelyben a vektorok száma kisebb, mint n, nem térbázis.

Ha felcseréljük az első és a második vektort, akkor e (2) , e (1) , vektorrendszert kapunk. . . , e (n) . Ez lesz az alapja egy n-dimenziós vektortérnek is. Hozzunk létre egy mátrixot úgy, hogy a kapott rendszer vektorait vesszük soraiként. A mátrixot az első két sor felcserélésével kaphatjuk meg az azonosságmátrixból, a rangja n lesz. Rendszer e (2) , e (1) , . . . , e(n) lineárisan független és egy n-dimenziós vektortér alapja.

Más vektorok átrendezésével az eredeti rendszerben egy másik alapot kapunk.

Felvehetünk egy nem egységvektorok lineárisan független rendszerét, és ez egy n-dimenziós vektortér alapját is képviseli.

3. definíció

Egy n dimenziójú vektortérnek annyi bázisa van, ahány n számú n-dimenziós vektor lineárisan független rendszere van.

A sík egy kétdimenziós tér – alapja bármely két nem kollineáris vektor lehet. A háromdimenziós tér alapja bármely három nem egysíkú vektor lehet.

Tekintsük ennek az elméletnek az alkalmazását konkrét példákon keresztül.

1. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Meg kell határozni, hogy a megadott vektorok egy háromdimenziós vektortér alapját képezik-e.

Megoldás

A probléma megoldásához a lineáris függőség adott vektorrendszerét tanulmányozzuk. Készítsünk egy mátrixot, ahol a sorok a vektorok koordinátái. Határozzuk meg a mátrix rangját.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Ebből következően a feladat feltétele által meghatározott vektorok lineárisan függetlenek, és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - ezek képezik a vektortér alapját.

Válasz: a jelzett vektorok a vektortér alapjai.

2. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0, 1, 2)

Meg kell határozni, hogy a megadott vektorrendszer lehet-e a háromdimenziós tér alapja.

Megoldás

A problémafelvetésben megadott vektorrendszer lineárisan függő, mert a lineárisan független vektorok maximális száma 3. Így a jelzett vektorrendszer nem szolgálhat háromdimenziós vektortér alapjául. De érdemes megjegyezni, hogy az eredeti rendszer alrendszere a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) bázis.

Válasz: a jelzett vektorrendszer nem alap.

3. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Lehetnek a négydimenziós tér alapjai?

Megoldás

Készítsünk mátrixot a megadott vektorok koordinátáinak sorok felhasználásával

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

A Gauss-módszerrel meghatározzuk a mátrix rangját:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Ebből következően az adott vektorok rendszere lineárisan független és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - egy négydimenziós vektortér alapját képezik.

Válasz: a megadott vektorok a négydimenziós tér alapjai.

4. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

Ezek képezik a 4-es dimenziójú tér alapját?

Megoldás

Az eredeti vektorrendszer lineárisan független, de a benne lévő vektorok száma nem elegendő ahhoz, hogy egy négydimenziós tér alapjává váljon.

Válasz: nem, nem teszik.

Egy vektor bázisra bontása

Tegyük fel, hogy tetszőleges e (1) , e (2) , vektorok. . . , e (n) egy n-dimenziós vektortér alapja. Adjunk hozzájuk egy bizonyos n-dimenziós x → vektort: ​​a kapott vektorrendszer lineárisan függővé válik. A lineáris függés tulajdonságai kimondják, hogy egy ilyen rendszer vektorai közül legalább egy lineárisan kifejezhető a többien keresztül. Ezt az állítást újrafogalmazva azt mondhatjuk, hogy egy lineárisan függő rendszer vektorai közül legalább egy kiterjeszthető a többi vektorra.

Így elérkeztünk a legfontosabb tétel megfogalmazásához:

4. definíció

Egy n-dimenziós vektortér bármely vektora egyedileg felbontható bázisra.

Bizonyíték 1

Bizonyítsuk be ezt a tételt:

állítsuk be az n-dimenziós vektortér alapját - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Tegyük lineárisan függővé a rendszert úgy, hogy hozzáadunk egy n-dimenziós x → vektort. Ez a vektor lineárisan kifejezhető az eredeti e vektorokkal:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , ahol x 1 , x 2 , . . . , x n - néhány szám.

Most bebizonyítjuk, hogy egy ilyen dekompozíció egyedülálló. Tételezzük fel, hogy ez nem így van, és van egy másik hasonló dekompozíció:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , ahol x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - néhány szám.

Ennek az egyenlőségnek a bal és jobb oldalából vonjuk le az x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + egyenlőség bal és jobb oldalát. . . + x n · e (n) . Kapunk:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

e (1) , e (2) , bázisvektorok rendszere. . . e(n) lineárisan független; egy vektorrendszer lineáris függetlenségének definíciója szerint a fenti egyenlőség csak akkor lehetséges, ha minden együttható (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) egyenlő lesz nullával. Amiből igazságos lesz: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . És ez az egyetlen lehetőség a vektor bázisra bontására.

Ebben az esetben az együtthatók x 1, x 2, . . . , x n az x → vektor koordinátáinak nevezzük az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (n) .

A bizonyított elmélet egyértelművé teszi az „adott egy n-dimenziós x = (x 1, x 2 , . . . , x n)” kifejezést: egy x → n-dimenziós vektorteret veszünk figyelembe, és ennek koordinátáit egy bizonyos alapon. Az is világos, hogy ugyanannak a vektornak az n-dimenziós tér egy másik bázisában különböző koordinátái lesznek.

Tekintsük a következő példát: tegyük fel, hogy az n-dimenziós vektortér valamely bázisában adott egy n lineárisan független vektorból álló rendszer

és az x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) vektor is adott.

Vektorok e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) ebben az esetben is ennek a vektortérnek az alapja.

Tegyük fel, hogy meg kell határozni az x → vektor koordinátáit az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) , jelölése x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Az x → vektort a következőképpen ábrázoljuk:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Írjuk fel ezt a kifejezést koordináta alakban:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1, e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1, e (n) 2, ..., e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , .

A kapott egyenlőség n lineáris algebrai kifejezésből álló rendszerrel ekvivalens n ismeretlen lineáris változóval x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Ennek a rendszernek a mátrixa a következő formában lesz:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Legyen ez egy A mátrix, és oszlopai egy lineárisan független e 1 (1), e 2 (2), vektorrendszer vektorai. . . , e n (n) . A mátrix rangja n, determinánsa pedig nem nulla. Ez azt jelzi, hogy az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, amelyet bármilyen kényelmes módszerrel határozhatunk meg: például a Cramer-módszerrel vagy a mátrixmódszerrel. Így meghatározhatjuk az x ~ 1, x ~ 2, koordinátákat. . . , x ~ n vektor x → az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) .

Alkalmazzuk a tárgyalt elméletet egy konkrét példára.

6. példa

Kiinduló adatok: vektorok a háromdimenziós tér alapján vannak megadva

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, - 5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, -7)

Meg kell erősíteni azt a tényt, hogy az e (1), e (2), e (3) vektorok rendszere egy adott tér alapjául is szolgál, valamint meg kell határozni az x vektor koordinátáit egy adott bázisban.

Megoldás

Az e (1), e (2), e (3) vektorrendszer akkor lesz a háromdimenziós tér alapja, ha lineárisan független. Keressük meg ezt a lehetőséget az A mátrix rangjának meghatározásával, amelynek sorai az adott e (1), e (2), e (3) vektorok.

A Gauss-módszert használjuk:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3. Így az e (1), e (2), e (3) vektorok rendszere lineárisan független és bázis.

Legyen az x → vektornak x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinátája a bázisban. A koordináták közötti kapcsolatot a következő egyenlet határozza meg:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Alkalmazzuk az értékeket a probléma feltételeinek megfelelően:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Oldjuk meg az egyenletrendszert Cramer módszerével:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Így az x → vektornak az e (1), e (2), e (3) bázisban x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 koordinátái vannak.

Válasz: x = (1, 1, 1)

Az alapok közötti kapcsolat

Tegyük fel, hogy az n-dimenziós vektortér valamely bázisában két lineárisan független vektorrendszer adott:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2), ... (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), . . ., e n (1) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , ... (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Ezek a rendszerek egyben egy adott tér bázisai is.

Legyen c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - a c (1) vektor koordinátái az e (1) bázisban, e (2) , . . . , e (3) , akkor a koordinátakapcsolatot egy lineáris egyenletrendszer adja meg:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) +. . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) +. . . + c ~ n (1) e n (n)

A rendszer a következőképpen ábrázolható mátrixként:

(c 1 (1), c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Tegyük meg ugyanezt a bejegyzést a c (2) vektorra analógia útján:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . ., c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2) (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , ... , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Összevonjuk a mátrixegyenlőségeket egyetlen kifejezésben:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Ez határozza meg a kapcsolatot két különböző bázis vektorai között.

Ugyanezen elv alapján az összes e(1), e(2), bázisvektor kifejezhető. . . , e (3) a c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Adjuk meg a következő definíciókat:

5. definíció

Mátrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) az e (1) , e (2) , bázisból származó átmeneti mátrix. . . , e (3)

c (1) , c (2) , alapra. . . , c(n) .

6. definíció

Mátrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) az átmeneti mátrix a c (1) , c (2) , bázisból. . . , c(n)

e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Ezekből az egyenlőségekből nyilvánvaló, hogy

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

azok. az átmeneti mátrixok reciprok.

Nézzük meg az elméletet egy konkrét példa segítségével.

7. példa

Kiinduló adatok: meg kell találni a bázisból az átmeneti mátrixot

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) · c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, -6)

Egy tetszőleges x → vektor koordinátái közötti kapcsolatot is meg kell adni az adott bázisokban.

Megoldás

1. Legyen T az átmeneti mátrix, akkor igaz lesz az egyenlőség:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kapjuk:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Határozza meg az átmeneti mátrixot:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Határozzuk meg az x → vektor koordinátái közötti kapcsolatot:

Tegyük fel, hogy a c (1) , c (2) , . . . , c (n) x → vektor koordinátái x 1 , x 2 , x 3 , akkor:

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

és az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (3) koordinátái x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, akkor:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Mert Ha ezeknek az egyenlőségeknek a bal oldala egyenlő, akkor a jobb oldalakat is egyenlíthetjük:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Szorozzuk meg mindkét oldalt a jobb oldalon

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kapjuk:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

A másik oldalon

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az utolsó egyenlőségek az x → vektor koordinátái közötti kapcsolatot mutatják mindkét bázisban.

Válasz:átmeneti mátrix

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az x → vektor koordinátáit az adott bázisokban a következő összefüggés kapcsolja össze:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt