Tekintsünk egy bizonyos π síkot és egy tetszőleges M 0 pontot a térben. Válasszunk a repülőhöz egységnyi normálvektor n -val a kezdet egy pontban M 1 ∈ π, és legyen p(M 0 ,π) az M 0 pont és a π sík távolsága. Ezután (5.5. ábra)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

mivel |n| = 1.

Ha a π síkot megadjuk derékszögű koordinátarendszer általános egyenletével Ax + By + Cz + D = 0, akkor normálvektora az (A; B; C) koordinátákkal rendelkező vektor és választhatunk

Legyen (x 0 ; y 0 ; z 0) és (x 1 ; y 1 ; z 1) az M 0 és M 1 pontok koordinátái. Ekkor fennáll az Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 egyenlőség, mivel az M 1 pont a síkhoz tartozik, és az M 1 M 0 vektor koordinátái megtalálhatók: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0-y 1; Felvétel pont termék nM 1 M 0 koordináta alakban és transzformálva (5.8), kapjuk

mivel Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Tehát egy pont és egy sík távolságának kiszámításához be kell cserélni a pont koordinátáit általános egyenlet sík, majd elosztjuk az eredmény abszolút értékét a normalizáló tényezővel, hosszával egyenlő a megfelelő normálvektor.

Ez a cikk egy pont és egy sík távolságának meghatározásáról szól. Elemezzük a koordináta módszert, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a távolságot adott pont háromdimenziós tér. Ennek megerősítésére nézzünk példát több feladatra.

Egy pont és egy sík távolságát egy pont és egy pont ismert távolságával határozzuk meg, ahol az egyik adott, a másik pedig egy adott síkra vetítés.

Ha egy χ síkú M 1 pontot adunk meg a térben, akkor a ponton keresztül rajzolhatunk merőleges a síkra közvetlen. H 1 az közös pont a kereszteződéseiket. Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 H 1 szakasz az M 1 pontból a χ síkra húzott merőleges, ahol a H 1 pont a merőleges alapja.

1. definíció

Adott pont és egy adott pontból húzott merőleges alapja közötti távolságot hívjuk meg adott repülőgép.

A definíció különböző megfogalmazásokban írható fel.

2. definíció

Távolság ponttól síkig az adott pontból egy adott síkra húzott merőleges hossza.

Az M 1 pont és a χ sík távolságát a következőképpen határozzuk meg: az M 1 pont és a χ sík távolsága lesz a legkisebb egy adott ponttól a sík bármely pontjáig. Ha a H 2 pont a χ síkban található és nem egyenlő a H 2 ponttal, akkor egy M 2 H 1 H 2 alakú derékszögű háromszöget kapunk. , ami téglalap alakú, ahol van egy M 2 H 1, M 2 H 2 láb – hypotenusa. Ez azt jelenti, hogy ebből az következik, hogy M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ferdenek tekintjük, amelyet az M 1 pontból a χ síkra húzunk. Megvan, hogy egy adott pontból a síkra húzott merőleges kisebb, mint a pontból az adott síkra húzott ferde. Nézzük meg ezt az esetet az alábbi ábrán.

Távolság egy ponttól a síkig - elmélet, példák, megoldások

Számos geometriai feladat létezik, amelyek megoldásának tartalmaznia kell egy pont és egy sík távolságát. Ennek azonosítására különböző módok létezhetnek. A feloldáshoz használja a Pitagorasz-tételt vagy a háromszögek hasonlóságát. Amikor a feltétel szerint ki kell számítani egy pont és a sík távolságát, háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében megadva, azt koordináta módszerrel oldjuk meg. Ez a bekezdés ezt a módszert tárgyalja.

A feladat feltételei szerint adott a háromdimenziós térben egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont, amelynek síkja χ, meg kell határozni a távolságot M 1 -től a χ sík. A probléma megoldására többféle megoldási módot alkalmaznak.

Első út

Ez a módszer egy pont és egy sík távolságának meghatározásán alapul a H 1 pont koordinátái segítségével, amelyek az M 1 pont és a χ sík közötti merőleges alapja. Ezután ki kell számítania az M 1 és H 1 közötti távolságot.

A probléma második módon történő megoldásához használja normál egyenlet adott repülőgép.

Második út

Feltétel szerint H 1 az M 1 pontból a χ síkra süllyesztett merőleges alapja. Ezután meghatározzuk a H 1 pont koordinátáit (x 2, y 2, z 2). Az M 1 és a χ sík szükséges távolságát az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 képlet határozza meg, ahol M 1 (x 1, y 1, z 1) és H 1 (x 2, y 2, z 2). A megoldáshoz ismerni kell a H 1 pont koordinátáit.

Azt kaptuk, hogy H 1 a χ sík metszéspontja az a egyenessel, amely átmegy a χ síkra merőleges M 1 ponton. Ebből következik, hogy egy adott ponton átmenő egyenesre egyenletet kell összeállítani egy adott síkra merőlegesen. Ekkor tudjuk majd meghatározni a H 1 pont koordinátáit. Ki kell számítani az egyenes és a sík metszéspontjának koordinátáit.

Algoritmus egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont és a χ sík távolságának meghatározására:

3. definíció

• készítsünk egyenletet az M 1 ponton áthaladó a egyenes egyenletéből és egyidejűleg
• merőleges a χ síkra;
• keresse meg és számítsa ki a H 1 pont koordinátáit (x 2 , y 2 , z 2), amelyek pontok
• az a egyenes metszéspontja a χ síkkal;
• számítsa ki az M 1 és χ közötti távolságot az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 képlet segítségével.

Harmadik út

Adott O x y z derékszögű koordinátarendszerben van egy χ sík, ekkor kapjuk a cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 alakú sík normálegyenletét. Innen kapjuk, hogy az M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ponttal a χ síkra húzott M 1 H 1 távolság az M 1 H 1 képlettel számítva = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ez a képlet érvényes, mivel a tételnek köszönhetően jött létre.

Tétel

Ha az M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pont adott háromdimenziós tér, ha a χ sík cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 alakú normálegyenlete, akkor a pont távolságát az M 1 H 1 síktól az M képletből számítjuk ki. 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, mivel x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Bizonyíték

A tétel bizonyítása a pont és az egyenes távolságának megállapításában rejlik. Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 távolság a χ síktól az M 1 sugárvektor numerikus vetülete és a χ sík közötti távolság különbségének modulusa. Ekkor az M 1 H 1 = n p n → O M → - p kifejezést kapjuk. A χ sík normálvektorának alakja n → = cos α, cos β, cos γ, hossza pedig egy, n p n → O M → az O M → = (x 1, y 1) vektor numerikus vetülete. , z 1) az n → vektor által meghatározott irányban.

Alkalmazzuk a számítási képletet skaláris vektorok. Ekkor egy kifejezést kapunk egy n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → alakú vektor keresésére, mivel n → = cos α , cos β , cos γ · z és O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . A rekord koordináta alakja n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, akkor M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . A tétel bizonyítást nyert.

Innen azt kapjuk, hogy az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont és a χ sík távolságát a cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 behelyettesítésével számítjuk ki a sík normálegyenletének bal oldala az x, y, z koordináták helyett x 1, y 1 és z 1, az M 1 pontra vonatkozóan, a kapott érték abszolút értékét véve.

Nézzünk példákat egy koordinátákkal rendelkező pont és egy adott sík távolságának meghatározására.

1. példa

Számítsa ki az M 1 (5, - 3, 10) koordinátájú pont távolságát a 2 x - y + 5 z - 3 = 0 síktól.

Megoldás

Oldjuk meg a problémát kétféleképpen.

Az első módszer az a egyenes irányvektorának kiszámításával kezdődik. Feltétellel megvan, hogy az adott 2 x - y + 5 z - 3 = 0 egyenlet a sík egyenlete általános nézet, és n → = (2, - 1, 5) az adott sík normálvektora. Egy adott síkra merőleges a egyenes irányvektoraként használják. Le kellene írni kanonikus egyenlet M 1 (5, - 3, 10) ponton átmenő térbeli egyenes, 2, - 1, 5 koordinátájú irányvektorral.

Az egyenlet a következő lesz: x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Meg kell határozni a metszéspontokat. Ehhez óvatosan egyesítse az egyenleteket egy rendszerré, hogy a kanonikustól a két egymást metsző egyenes egyenletéhez jusson. Ezt a pontot vegyük H1-et. Ezt értjük

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Ezt követően engedélyeznie kell a rendszert

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Térjünk rá a Gauss-rendszer megoldási szabályára:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Azt kapjuk, hogy H 1 (1, - 1, 0).

Kiszámoljuk egy adott pont és a sík távolságát. Vegyük az M 1 (5, - 3, 10) és H 1 (1, - 1, 0) pontokat, és megkapjuk

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - ( - 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

A második megoldás az, hogy először az adott 2 x - y + 5 z - 3 = 0 egyenletet normál alakba hozzuk. Meghatározzuk a normalizáló tényezőt, és 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30-at kapunk. Innen származtatjuk a 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 sík egyenletét. Az egyenlet bal oldalát az x = 5, y = - 3, z = 10 helyettesítésével számítjuk ki, és meg kell venni a távolságot M 1 (5, - 3, 10) és 2 x - y + 5 z - között. 3 = 0 modulo. Megkapjuk a kifejezést:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Válasz: 230.

Ha a χ síkot a sík megadásának módszereiről szóló részben leírt módszerek egyikével adjuk meg, akkor először meg kell szerezni a χ sík egyenletét, és bármilyen módszerrel ki kell számítani a szükséges távolságot.

2. példa

A háromdimenziós térben az M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) koordinátájú pontok vannak megadva. Számítsa ki az M 1 és az A B C sík távolságát!

Megoldás

Először fel kell írni az adott három ponton áthaladó sík egyenletét M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () koordinátákkal. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ebből következik, hogy a problémának az előzőhöz hasonló megoldása van. Ez azt jelenti, hogy az M 1 pont és az A B C sík távolsága 2 30.

Válasz: 230.

Egy síkon egy adott ponttól vagy egy olyan síktól való távolságot, amellyel párhuzamosak, kényelmesebb az M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p képlet alkalmazásával. . Ebből azt kapjuk, hogy a síkok normálegyenleteit több lépésben kapjuk meg.

3. példa

Határozza meg a távolságot egy adott ponttól az M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinátákkal koordinátasík Az x y z-ről és a 2 y - 5 egyenlettel meghatározott síkról = 0.

Megoldás

Az O y z koordinátasík egy x = 0 alakú egyenletnek felel meg. Az O y z síkra ez normális. Ezért be kell cserélni az x = - 3 értékeket a kifejezés bal oldalára, és fel kell venni az M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátákkal rendelkező pont távolságának abszolút értékét a síkra. A - 3 = 3 értékkel egyenlő értéket kapunk.

A transzformáció után a 2 y - 5 = 0 sík normálegyenlete y - 5 2 = 0 alakot ölt. Ekkor megtalálhatja a kívánt távolságot az M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátájú ponttól a 2 y - 5 = 0 síkhoz. Behelyettesítve és kiszámolva 2 - 5 2 = 5 2 - 2 eredményt kapunk.

Válasz: Az M 1 (- 3, 2, - 7) és O y z közötti szükséges távolság 3, 2 y - 5 = 0 pedig 5 2 - 2.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

AZ EGY PONT-SÍK TÁVOLSÁGMEGÁLLÍTÁSÁNAK EGYSÉGES MATEMATIKAI ÁLLAMVIZSGA C2 FELADATAI

Kulikova Anastasia Jurjevna

5. éves hallgató, matematika szak. elemzés, algebra és geometria EI KFU, Orosz Föderáció, Tatár Köztársaság, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

tudományos témavezető, Ph.D. ped. Tudományok, EI KFU egyetemi docens, Orosz Föderáció, Tatár Köztársaság, Elabuga

IN Egységes államvizsga-feladatok matematikában in utóbbi években problémák jelennek meg egy pont és egy sík távolságának kiszámításakor. Ebben a cikkben, egy probléma példáján, megvizsgáljuk különféle módszerek pont és sík távolságának meghatározása. A legmegfelelőbb módszer használható különféle problémák megoldására. Miután megoldott egy problémát egy módszerrel, egy másik módszerrel ellenőrizheti az eredmény helyességét.

Meghatározás. Egy ponttól az ezt a pontot nem tartalmazó síkhoz mért távolság az ebből a pontból az adott síkra húzott merőleges szakasz hossza.

Feladat. Dan kocka alakú ABVELD.A. 1 B 1 C 1 D 1 oldalakkal AB=2, i.e.=4, A.A. 1 = 6. Keresse meg a távolságot a ponttól D repülni ACD 1 .

1 út. Használata meghatározás. Keresse meg az r( D, ACD 1) pontból D repülni ACD 1 (1. ábra).

1. ábra Első módszer

Hajtsuk végre D.H.⊥AC, ezért három merőleges tétele alapján D 1 H⊥ACÉs (DD 1 H)⊥AC. Hajtsuk végre közvetlen D.T. függőleges D 1 H. Egyenes D.T. síkban fekszik DD 1 H, tehát D.T.⊥A.C.. Ezért, D.T.⊥ACD 1.

ADC keressük meg a hypotenusát ACés magasság D.H.

Derékszögű háromszögből D 1 D.H. keressük meg a hypotenusát D 1 Hés magasság D.T.

Válasz: .

2. módszer.Térfogat módszer (segédpiramis használata). Egy ilyen típusú probléma a gúla magasságának kiszámítására redukálható, ahol a gúla magassága egy ponttól egy síkhoz szükséges távolság. Bizonyítsuk be, hogy ez a magasság a szükséges távolság; keresse meg ennek a piramisnak a térfogatát kétféleképpen, és fejezze ki ezt a magasságot.

Vegyük észre, hogy ezzel a módszerrel nem kell egy adott pontból egy adott síkra merőlegest építeni.

A téglatest olyan paralelepipedon, amelynek minden lapja téglalap.

AB=CD=2, i.e.=HIRDETÉS=4, A.A. 1 =6.

A szükséges távolság a magasság lesz h piramisok ACD 1 D, felülről leeresztve D az alapon ACD 1 (2. ábra).

Számítsuk ki a piramis térfogatát ACD 1 D kétféleképpen.

Számításkor az első módon ∆-t vesszük alapul ACD 1 akkor

A második módon történő számításnál ∆-t vesszük alapul ACD, Akkor

Tegyük egyenlővé az utolsó két egyenlőség jobb oldalát, és kapjuk meg

2. ábra Második módszer

Tól derékszögű háromszögek ACD, HOZZÁAD 1 , CDD 1 keresse meg a hipotenuszt a Pitagorasz-tétel segítségével

ACD

Számítsa ki a háromszög területét ACD 1 Heron képletével

Válasz: .

3 út. Koordináta módszer.

Adjunk pontot M(x 0 ,y 0 ,z 0) és sík α , egyenlet adja meg fejsze+által+cz+d=0 téglalapban Descartes-rendszer koordináták Távolság a ponttól M az α síkra a következő képlettel számítható:

Vezessünk be egy koordinátarendszert (3. ábra). A koordináták eredete egy pontban IN;

Egyenes AB- tengely X, egyenes Nap- tengely y, egyenes BB 1 - tengely z.

3. ábra Harmadik módszer

B(0,0,0), A(2,0,0), VEL(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Hadd ax+által+ cz+ d=0 – sík egyenlet ACD 1. Behelyettesítve a pontok koordinátáit A, C, D 1 kapjuk:

Sík egyenlet ACD 1 fogja felvenni a formát

Válasz: .

4 irányú. Vektoros módszer.

Mutassuk be a bázist (4. ábra) , .

4. ábra Negyedik módszer

, „Prezentáció a leckéhez” verseny

Osztály: 11

Előadás a leckéhez

Vissza Előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• a tanulók tudásának és készségeinek általánosítása és rendszerezése;
• elemzési, összehasonlítási, következtetési képességek fejlesztése.

Felszerelés:

• multimédiás projektor;
• számítógép;
• lapok problémaszövegekkel

AZ OSZTÁLY HALADÁSA

I. Szervezési mozzanat

II. Tudásfrissítési szakasz(2. dia)

Ismételjük meg, hogyan határozzuk meg a pont és a sík távolságát

III. Előadás(3-15. dia)

Az órán megnézzük különféle módokon pont és sík távolságának meghatározása.

Első módszer: lépésről lépésre számítási

Távolság M ponttól az α síkhoz:
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal egy tetszőleges P ponttól, amely az M ponton áthaladó és az α síkkal párhuzamos a egyenesen fekszik;
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal a β síkon fekvő tetszőleges P ponttól, amely átmegy az M ponton és párhuzamos az α síkkal.

A következő problémákat oldjuk meg:

№1. Az A...D 1 kockában keresse meg a C 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Ki kell számítani az O 1 N szakasz hosszának értékét.

№2. Határozzuk meg az A pont és a DEA 1 sík távolságát egy A...F 1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel.

Következő módszer: kötet módszer.

Ha az ABCM piramis térfogata egyenlő V-vel, akkor az M pont és az ∆ABC-t tartalmazó α sík távolságát a következő képlettel számítjuk ki: ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
A feladatok megoldásánál egy alak kétféleképpen kifejezett térfogategyenlőségét használjuk.

Oldjuk meg a következő problémát:

№3. A DABC piramis AD éle merőleges az ABC alapsíkra. Határozza meg az AB, AC és AD élek felezőpontjain átmenő sík távolságát A-tól, ha.

A problémák megoldása során koordináta módszer az M pont és az α sík távolsága a ρ(M; α) = képlettel számítható , ahol M(x 0; y 0; z 0), és a síkot az ax + egyenlet adja meg + cz + d = 0

Oldjuk meg a következő problémát:

№4. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Vezessünk be egy koordinátarendszert, amelynek origója az A pontban van, az y tengely az AB élen, az x tengely az AD élen, a z tengely pedig az AA 1 élen fog futni. Ekkor a B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) pontok koordinátái
Készítsünk egyenletet a B, D, C 1 pontokon áthaladó síkra.

Ekkor – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Ezért ρ =

A következő módszer használható az ilyen típusú problémák megoldására támogatási problémák módszere.

Alkalmazás ezt a módszert ismert referenciaproblémák alkalmazásából áll, amelyeket tételként fogalmazunk meg.

Oldjuk meg a következő problémát:

№5. Egy A...D 1 egységkockában keresse meg a D 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Tekintsük az alkalmazást vektoros módszer.

№6. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Tehát megvizsgáltunk különféle módszereket, amelyek segítségével megoldható az ilyen típusú probléma. Az egyik vagy másik módszer kiválasztása az adott feladattól és az Ön preferenciáitól függ.

IV. Csoportmunka

Próbálja meg különböző módon megoldani a problémát.

№1. Az A...D 1 kocka éle egyenlő. Határozzuk meg a C csúcs és a BDC 1 sík távolságát.

№2. Egy éles ABCD szabályos tetraéderben keresse meg az A pont és a BDC sík távolságát

№3. Egy ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmában, amelynek minden éle 1, keresse meg az A távolságot a BCA 1 síktól.

№4. Határozzuk meg egy SABCD szabályos négyszög piramisban, amelynek minden éle 1, az A távolságot az SCD síktól.

V. lecke összefoglalása, házi feladat, reflexió

, „Prezentáció a leckéhez” verseny

Osztály: 11

Előadás a leckéhez

Vissza Előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• a tanulók tudásának és készségeinek általánosítása és rendszerezése;
• elemzési, összehasonlítási, következtetési képességek fejlesztése.

Felszerelés:

• multimédiás projektor;
• számítógép;
• lapok problémaszövegekkel

AZ OSZTÁLY HALADÁSA

I. Szervezési mozzanat

II. Tudásfrissítési szakasz(2. dia)

Ismételjük meg, hogyan határozzuk meg a pont és a sík távolságát

III. Előadás(3-15. dia)

Ebben a leckében különböző módokat vizsgálunk meg egy pont és egy sík távolságának meghatározására.

Első módszer: lépésről lépésre számítási

Távolság M ponttól az α síkhoz:
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal egy tetszőleges P ponttól, amely az M ponton áthaladó és az α síkkal párhuzamos a egyenesen fekszik;
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal a β síkon fekvő tetszőleges P ponttól, amely átmegy az M ponton és párhuzamos az α síkkal.

A következő problémákat oldjuk meg:

№1. Az A...D 1 kockában keresse meg a C 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Ki kell számítani az O 1 N szakasz hosszának értékét.

№2. Határozzuk meg az A pont és a DEA 1 sík távolságát egy A...F 1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel.

Következő módszer: kötet módszer.

Ha az ABCM piramis térfogata egyenlő V-vel, akkor az M pont és az ∆ABC-t tartalmazó α sík távolságát a következő képlettel számítjuk ki: ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
A feladatok megoldásánál egy alak kétféleképpen kifejezett térfogategyenlőségét használjuk.

Oldjuk meg a következő problémát:

№3. A DABC piramis AD éle merőleges az ABC alapsíkra. Határozza meg az AB, AC és AD élek felezőpontjain átmenő sík távolságát A-tól, ha.

A problémák megoldása során koordináta módszer az M pont és az α sík távolsága a ρ(M; α) = képlettel számítható , ahol M(x 0; y 0; z 0), és a síkot az ax + egyenlet adja meg + cz + d = 0

Oldjuk meg a következő problémát:

№4. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Vezessünk be egy koordinátarendszert, amelynek origója az A pontban van, az y tengely az AB élen, az x tengely az AD élen, a z tengely pedig az AA 1 élen fog futni. Ekkor a B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) pontok koordinátái
Készítsünk egyenletet a B, D, C 1 pontokon áthaladó síkra.

Ekkor – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Ezért ρ =

A következő módszer használható az ilyen típusú problémák megoldására támogatási problémák módszere.

Ennek a módszernek az alkalmazása ismert referenciaproblémák alkalmazásából áll, amelyeket tételként fogalmazunk meg.

Oldjuk meg a következő problémát:

№5. Egy A...D 1 egységkockában keresse meg a D 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Tekintsük az alkalmazást vektoros módszer.

№6. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Tehát megvizsgáltunk különféle módszereket, amelyek segítségével megoldható az ilyen típusú probléma. Az egyik vagy másik módszer kiválasztása az adott feladattól és az Ön preferenciáitól függ.

IV. Csoportmunka

Próbálja meg különböző módon megoldani a problémát.

№1. Az A...D 1 kocka éle egyenlő. Határozzuk meg a C csúcs és a BDC 1 sík távolságát.

№2. Egy éles ABCD szabályos tetraéderben keresse meg az A pont és a BDC sík távolságát

№3. Egy ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmában, amelynek minden éle 1, keresse meg az A távolságot a BCA 1 síktól.

№4. Határozzuk meg egy SABCD szabályos négyszög piramisban, amelynek minden éle 1, az A távolságot az SCD síktól.

V. Óraösszefoglaló, házi feladat, reflexió