Membagi akar kuadrat menyederhanakan pecahan. Kehadiran akar kuadrat membuat penyelesaian menjadi sedikit lebih sulit, namun beberapa aturan membuat pengerjaan pecahan menjadi relatif mudah. Hal utama yang harus diingat adalah faktor dibagi menjadi faktor, dan ekspresi radikal menjadi ekspresi radikal. Akar kuadrat juga bisa menjadi penyebutnya.
Tangga
Pembagian ekspresi radikal
-
Tuliskan pecahannya. Jika ekspresi tidak disajikan sebagai pecahan, tulis ulang sebagai pecahan. Hal ini memudahkan untuk mengikuti proses pembagian akar kuadrat, terutama saat memfaktorkan ekspresi radikal. Ingatlah bahwa garis horizontal melambangkan tanda pembagian.
Mengeluarkan faktorkan setiap ekspresi radikal. Bilangan di bawah tanda akar difaktorkan seperti bilangan bulat lainnya. Tuliskan faktor-faktornya di bawah tanda akar.
Menyederhanakan pembilang dan penyebut suatu pecahan. Untuk melakukan ini, keluarkan faktor-faktor dari bawah tanda akar, yang merupakan kuadrat lengkap. Kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat. Pengganda dari ekspresi radikal akan menjadi pengali sebelum tanda akar.
Hilangkan akar penyebutnya (rasionalkan penyebutnya). Dalam matematika, tidak lazim meninggalkan akar pada penyebutnya. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai akar kuadrat, hilangkan saja. Caranya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan akar kuadrat yang ingin Anda hilangkan.
Sederhanakan ekspresi yang dihasilkan (jika perlu). Terkadang pembilang dan penyebut suatu pecahan mengandung bilangan yang dapat disederhanakan (diperkecil). Sederhanakan bilangan bulat pada pembilang dan penyebutnya seperti yang Anda lakukan pada pecahan apa pun.
Tuliskan pecahannya. Jika ekspresi tidak disajikan sebagai pecahan, tulis ulang sebagai pecahan. Hal ini memudahkan untuk mengikuti proses pembagian akar kuadrat. Ingatlah bahwa garis horizontal melambangkan tanda pembagian.
Gunakan satu tanda akar. Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan mempunyai akar kuadrat, tuliskan persamaan akarnya di bawah tanda akar yang sama untuk menyederhanakan proses penyelesaiannya. Ekspresi radikal adalah ekspresi (atau hanya angka) yang berada di bawah tanda akar.
Bagilah ekspresi radikal. Bagilah satu angka dengan angka lainnya (seperti biasa), dan tuliskan hasilnya di bawah tanda akar.
Menyederhanakan ekspresi radikal (jika perlu). Jika ekspresi radikal atau salah satu faktornya adalah kuadrat sempurna, sederhanakan ekspresi tersebut. Kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat. Misalnya, 25 adalah kuadrat sempurna karena 5 × 5 = 25 (\displaystyle 5\times 5=25).
Memfaktorkan ekspresi radikal
Membagi akar kuadrat dengan faktor
Sederhanakan faktor-faktornya. Pengganda adalah angka yang muncul sebelum tanda akar. Untuk menyederhanakan faktor-faktornya, bagilah atau hilangkan faktor-faktor tersebut (biarkan radikalnya saja).
Menyederhanakan akar kuadrat. Jika pembilangnya habis dibagi penyebutnya, lakukanlah; jika tidak, sederhanakan ekspresi radikal seperti yang Anda lakukan pada ekspresi lainnya.
Kalikan faktor yang disederhanakan dengan akar-akar yang disederhanakan. Ingatlah bahwa lebih baik tidak meninggalkan akar pada penyebutnya, jadi kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar ini.
Jika perlu, hilangkan akar penyebutnya (rasionalkan penyebutnya). Dalam matematika, tidak lazim meninggalkan akar pada penyebutnya. Jadi, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan akar kuadrat yang ingin Anda hilangkan.
Dari artikel ini Anda akan belajar:
- apa itu “ekstraksi akar”;
- dalam hal apa itu dihapus;
- prinsip mencari nilai akar;
- metode dasar mengekstraksi akar dari bilangan asli dan pecahan.
Apa itu "ekstraksi akar"
Pertama, mari kita perkenalkan definisi “ekstraksi akar”.
Definisi 1
Ekstraksi akar adalah proses mencari nilai akar.
Ketika kita mengambil akar ke-n suatu bilangan, kita menemukan bilangan b yang pangkat ke-nnya sama dengan a. Jika kita menemukan bilangan b seperti itu, kita dapat mengatakan bahwa akarnya telah terekstraksi.
Catatan 1
Ungkapan “mengekstraksi akar” dan “menemukan nilai akar” adalah setara.
Dalam kasus apa root diekstraksi?
Definisi 2Akar ke-n dapat diekstraksi dari suatu bilangan dengan tepat jika a dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari suatu bilangan b.
Contoh 1
4 = 2×2, maka akar kuadrat dari angka 4 dapat diambil tepat yaitu 2
Definisi 3
Jika akar ke-n suatu bilangan tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari b, maka akar tersebut tidak diekstraksi atau hanya nilai perkiraan yang diambil akar akurat hingga tempat desimal mana pun.
Contoh 2
2 ≈ 1 , 4142 .
Prinsip menemukan nilai akar dan metode mengekstraksinya
- Menggunakan tabel persegi, tabel kubus, dll.
- Penguraian ekspresi radikal (bilangan) menjadi faktor prima
- Mengambil akar dari bilangan negatif
Penting untuk memahami dengan prinsip apa makna akar ditemukan dan bagaimana cara mengekstraknya.
Definisi 4
Prinsip utama mencari nilai akar-akar adalah berdasarkan sifat-sifat akar-akarnya, termasuk persamaan: b n n = b, yang berlaku untuk sembarang bilangan non-negatif b.
Anda harus mulai dengan metode paling sederhana dan jelas: tabel kotak, kubus, dll.
Jika Anda tidak memiliki tabel, metode penguraian bilangan radikal menjadi faktor prima akan membantu Anda (metodenya sederhana).
Perlu diperhatikan ekstraksi akar bilangan negatif, yang mungkin dilakukan untuk akar dengan eksponen ganjil.
Mari kita pelajari cara mengambil akar pecahan, termasuk bilangan campuran, pecahan, dan desimal.
Dan kami akan perlahan-lahan mempertimbangkan metode untuk menemukan nilai root sedikit demi sedikit - yang paling rumit dan multi-tahap.
Menggunakan tabel persegi, kubus, dll.
Tabel kotak mencakup semua angka dari 0 hingga 99 dan terdiri dari 2 zona: di zona pertama Anda dapat membuat angka apa pun hingga 99 menggunakan kolom vertikal dengan puluhan dan baris horizontal dengan satuan, zona kedua berisi semua kotak dari angka-angka yang terbentuk.
Tabel kotak
| Tabel kotak | unit | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| puluhan | 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 | |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2041 | |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 | |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 | |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 | |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 | |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 | |
Ada juga tabel kubus, pangkat empat, dll., yang dibuat berdasarkan prinsip yang mirip dengan tabel persegi.
meja kubus
| meja kubus | unit | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| puluhan | 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1 331 | 1 728 | 2 197 | 2 744 | 3 375 | 4 096 | 4 913 | 5 832 | 6 859 | |
| 2 | 8000 | 9 261 | 10 648 | 12 167 | 13 824 | 15 625 | 17 576 | 19 683 | 21 952 | 24 389 | |
| 3 | 27000 | 29 791 | 32 768 | 35 937 | 39 304 | 42 875 | 46 656 | 50 653 | 54 872 | 59 319 | |
| 4 | 64000 | 68 921 | 74 088 | 79 507 | 85 184 | 91 125 | 97 336 | 103 823 | 110 592 | 117 649 | |
| 5 | 125000 | 132 651 | 140 608 | 148 877 | 157 464 | 166 375 | 175 616 | 185 193 | 195 112 | 205 379 | |
| 6 | 216000 | 226 981 | 238 328 | 250 047 | 262 144 | 274 625 | 287 496 | 300 763 | 314 432 | 328 509 | |
| 7 | 343000 | 357 911 | 373 248 | 389 017 | 405 224 | 421 875 | 438 976 | 456 533 | 474 552 | 493 039 | |
| 8 | 512000 | 531 441 | 551 368 | 571 787 | 592 704 | 614 125 | 636 056 | 658 503 | 681 472 | 704 969 | |
| 729000 | 753 571 | 778 688 | 804 357 | 830 584 | 857 375 | 884 736 | 912 673 | 941 192 | 970 299 | ||
Prinsip pengoperasian tabel tersebut sederhana, tetapi seringkali tidak tersedia, sehingga sangat mempersulit proses ekstraksi akar, jadi Anda harus mengetahui setidaknya beberapa metode ekstraksi akar.
Memfaktorkan suatu bilangan radikal menjadi faktor prima
Cara paling mudah untuk mencari nilai akar setelah tabel kuadrat dan kubus.
Definisi 5
Metode penguraian bilangan radikal menjadi faktor prima melibatkan representasi bilangan tersebut sebagai pangkat dengan eksponen yang diperlukan, sehingga kita dapat memperoleh nilai akarnya.
Contoh 3
Mari kita ambil akar kuadrat dari 144.
Mari kita faktorkan 144 menjadi faktor prima:
Jadi: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2) 2 × 3 2 = (2 × 2 × 3) 2 = 12 2. Jadi, 144 = 12 2 = 12.
Selain itu, saat menggunakan properti pangkat dan akar, Anda dapat menulis transformasinya sedikit berbeda:
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12
144 = 12 adalah jawaban akhir.
Mengekstraksi akar dari bilangan pecahan
Mari kita ingat: Bilangan pecahan apa pun harus ditulis sebagai pecahan.
Definisi 6
Mengikuti sifat akar hasil bagi, persamaan berikut ini valid:
p q n = p n q n . Berdasarkan persamaan tersebut maka perlu digunakan aturan untuk mengekstrak akar pecahan: Akar suatu pecahan sama dengan akar pembilangnya dibagi akar penyebutnya.
Contoh 4
Mari kita perhatikan contoh mengekstraksi akar dari pecahan desimal, karena Anda dapat mengekstrak akar dari pecahan biasa menggunakan tabel.
Anda perlu mengekstrak akar pangkat tiga dari 474, 552. Pertama-tama, bayangkan pecahan desimal sebagai pecahan biasa: 474, 552 = 474552/1000. Makanya sebagai berikut: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3. Anda kemudian dapat memulai proses mengekstrak akar pangkat tiga dari pembilang dan penyebutnya:
474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = (2 × 3 × 13) 3 = 78 3 dan 1000 = 10 3, maka
474552 3 = 78 3 3 = 78 dan 1000 3 = 10 3 3 = 10.
Kita selesaikan perhitungannya: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7, 8.
Rooting Angka Negatif
Jika penyebutnya ganjil, maka bilangan di bawah tanda akar bisa negatif. Oleh karena itu: untuk bilangan negatif - a dan eksponen ganjil dari akar 2 n - 1, persamaan berikut berlaku:
SEBUAH 2 × n - 1 = - a 2 × n - 1
Definisi 7
Aturan untuk mengekstraksi pangkat ganjil dari bilangan negatif: Untuk mengekstrak akar bilangan negatif, Anda perlu mengambil akar bilangan positif yang berlawanan dan memberi tanda minus di depannya.
Contoh 5
12 209 243 5. Pertama, Anda perlu mengubah ekspresi sehingga ada bilangan positif di bawah tanda akar:
12 209 243 5 = 12 209 243 - 5
Maka Anda harus mengganti bilangan campuran dengan pecahan biasa:
12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5
Dengan menggunakan aturan untuk mengekstrak akar dari pecahan biasa, kami mengekstrak:
3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5
Kami menghitung akar-akar pembilang dan penyebut:
3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3
Ringkasan singkat solusinya:
12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3 .
Jawaban: - 12 209 243 5 = - 1 2 3.
Penentuan nilai akar secara bitwise
Ada kasus ketika di bawah akar ada bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari bilangan tertentu. Namun perlu diketahui nilai akar yang akurat sampai tanda tertentu.
Dalam hal ini, perlu menggunakan algoritma untuk menemukan nilai bitwise root, yang dengannya Anda bisa mendapatkan jumlah nilai yang cukup dari angka yang diinginkan.
Contoh 6
Mari kita lihat bagaimana hal ini terjadi dengan menggunakan contoh mengekstraksi akar kuadrat dari 5.
Pertama, Anda perlu mencari nilai digit satuan. Untuk melakukan ini, mari kita mulai menelusuri nilai 0, 1, 2, . . . , 9 , sambil menghitung 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 dengan nilai yang diperlukan, yang lebih besar dari bilangan radikal 5. Lebih mudah untuk menyajikan semua ini dalam bentuk tabel:
Nilai rangkaian satuan adalah 2 (karena 2 2< 5 , а 2 3 >5) . Mari beralih ke kategori persepuluhan - kita akan mengkuadratkan angka 2, 0, 2, 1, 2, 2, . . . , 2, 9, membandingkan nilai yang diperoleh dengan angka 5.
Sejak 2, 2 2< 5 , а 2 , 3 2 >5, maka nilai persepuluhannya adalah 2. Mari kita lanjutkan mencari nilai seperseratus:
Jadi, nilai akar lima ditemukan - 2, 23. Anda dapat menemukan nilai root lebih lanjut:
2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .
Jadi, kami telah mempelajari beberapa cara paling umum untuk mencari nilai akar, yang dapat digunakan dalam situasi apa pun.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, sorot teks tersebut dan tekan Ctrl+Enter
Salam, kucing! Terakhir kali kita membahas secara detail apa itu root (jika Anda tidak ingat, saya sarankan membacanya). Kesimpulan utama dari pelajaran tersebut: hanya ada satu definisi universal tentang akar, yaitu definisi yang perlu Anda ketahui. Selebihnya hanya omong kosong dan buang-buang waktu.
Hari ini kita melangkah lebih jauh. Kita akan belajar mengalikan akar, kita akan mempelajari beberapa soal yang berhubungan dengan perkalian (jika soal ini tidak diselesaikan, bisa berakibat fatal dalam ujian) dan kita akan berlatih dengan benar. Jadi siapkan popcorn, bersantailah, dan mari kita mulai :)
Anda juga belum merokok, bukan?
Pelajarannya ternyata cukup panjang, jadi saya membaginya menjadi dua bagian:
- Pertama kita akan melihat aturan perkalian. Cap sepertinya mengisyaratkan: ini adalah saat ada dua akar, di antara keduanya ada tanda "kalikan" - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
- Lalu mari kita lihat situasi sebaliknya: ada satu akar besar, namun kita ingin merepresentasikannya sebagai hasil kali dua akar yang lebih sederhana. Mengapa ini perlu, adalah pertanyaan tersendiri. Kami hanya akan menganalisis algoritmanya.
Bagi yang sudah tidak sabar untuk segera lanjut ke bagian kedua, dipersilahkan. Mari kita mulai dengan sisanya secara berurutan.
Aturan Dasar Perkalian
Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana - akar kuadrat klasik. Yang sama dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Semuanya jelas bagi mereka:
Aturan perkalian. Untuk mengalikan satu akar kuadrat dengan akar kuadrat lainnya, Anda cukup mengalikan ekspresi akarnya, dan menuliskan hasilnya di bawah akar kuadrat yang sama:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Tidak ada batasan tambahan yang dikenakan pada bilangan di kanan atau kiri: jika faktor akarnya ada, maka hasil kali juga ada.
Contoh. Mari kita lihat empat contoh dengan angka sekaligus:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, arti utama aturan ini adalah menyederhanakan ekspresi irasional. Dan jika pada contoh pertama kita sendiri yang mengekstrak akar dari 25 dan 4 tanpa aturan baru, maka segalanya menjadi sulit: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dianggap sendiri, tetapi hasil kali mereka ternyata kuadrat sempurna, sehingga akarnya sama dengan bilangan rasional.
Saya secara khusus ingin menyoroti baris terakhir. Di sana, kedua ekspresi radikal tersebut adalah pecahan. Berkat produknya, banyak faktor yang dibatalkan, dan seluruh ekspresi menjadi angka yang memadai.
Tentu saja, segala sesuatunya tidak selalu indah. Kadang-kadang akan ada omong kosong total di akarnya - tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya dan bagaimana mengubahnya setelah perkalian. Nanti, ketika Anda mulai mempelajari persamaan dan pertidaksamaan irasional, akan ada berbagai macam variabel dan fungsi. Dan seringkali, penulis masalah mengandalkan fakta bahwa Anda akan menemukan beberapa syarat atau faktor yang membatalkan, setelah itu masalahnya akan disederhanakan berkali-kali lipat.
Selain itu, sama sekali tidak perlu mengalikan tepat dua akar. Anda bisa mengalikan tiga, empat, atau bahkan sepuluh sekaligus! Hal ini tidak akan mengubah aturan. Lihatlah:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(sejajarkan)\]
Dan sekali lagi catatan kecil tentang contoh kedua. Seperti yang Anda lihat, di faktor ketiga ada pecahan desimal di bawah akar - dalam proses perhitungan kami menggantinya dengan pecahan biasa, setelah itu semuanya mudah dikurangi. Jadi: Saya sangat menyarankan untuk menghilangkan pecahan desimal dalam ekspresi irasional apa pun (yaitu mengandung setidaknya satu simbol radikal). Ini akan menghemat banyak waktu dan kegelisahan Anda di masa depan.
Tapi ini adalah penyimpangan liris. Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum - ketika eksponen akar berisi bilangan sembarang $n$, dan bukan hanya dua bilangan “klasik”.
Kasus indikator sewenang-wenang
Jadi, kami telah memilah akar kuadratnya. Apa yang harus dilakukan dengan yang kubik? Atau bahkan dengan akar derajat sembarang $n$? Ya, semuanya sama. Aturannya tetap sama:
Untuk mengalikan dua akar derajat $n$, cukup dengan mengalikan ekspresi akarnya, lalu tuliskan hasilnya di bawah satu akar.
Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali jumlah perhitungannya mungkin lebih besar. Mari kita lihat beberapa contoh:
Contoh. Hitung produk:
\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(sejajarkan)\]
Dan sekali lagi, perhatian pada ekspresi kedua. Kita mengalikan akar pangkat tiga, menghilangkan pecahan desimal, dan berakhir dengan penyebut yang merupakan produk dari angka 625 dan 25. Ini adalah angka yang cukup besar - secara pribadi, saya pribadi tidak tahu apa yang sama dengan angka di atas kepalaku.
Oleh karena itu, kita cukup mengisolasi kubus eksak pada pembilang dan penyebutnya, lalu menggunakan salah satu properti utama (atau, jika Anda lebih suka, definisi) dari akar $n$th:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\kiri| a\benar|. \\ \end(sejajarkan)\]
“Intrik” seperti itu dapat menghemat banyak waktu Anda dalam ujian atau ulangan, jadi ingatlah:
Jangan terburu-buru mengalikan angka menggunakan ekspresi radikal. Pertama, periksa: bagaimana jika tingkat ekspresi apa pun “terenkripsi” di sana?
Terlepas dari pernyataan ini yang jelas, saya harus mengakui bahwa sebagian besar siswa yang tidak siap tidak melihat derajat yang tepat dari jarak dekat. Sebaliknya, mereka mengalikan semuanya sekaligus, dan kemudian bertanya-tanya: mengapa mereka mendapatkan angka yang begitu brutal :)
Namun, semua ini hanyalah pembicaraan kecil dibandingkan dengan apa yang akan kita pelajari sekarang.
Mengalikan akar dengan eksponen berbeda
Oke, sekarang kita bisa mengalikan akar-akarnya dengan indikator yang sama. Bagaimana jika indikatornya berbeda? Katakanlah, bagaimana cara mengalikan $\sqrt(2)$ biasa dengan omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Apakah mungkin untuk melakukan ini?
Ya tentu saja bisa. Semuanya dilakukan menurut rumus ini:
Aturan untuk mengalikan akar. Untuk mengalikan $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, cukup melakukan transformasi berikut:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Namun rumus ini hanya berfungsi jika ekspresi radikal tidak negatif. Ini adalah catatan yang sangat penting yang akan kita bahas lagi nanti.
Untuk saat ini, mari kita lihat beberapa contoh:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sekarang mari kita cari tahu dari mana persyaratan non-negatif itu berasal, dan apa yang akan terjadi jika kita melanggarnya :)
Memperbanyak akar itu mudah Mengapa ekspresi radikal harus non-negatif?
Tentu saja, Anda bisa menjadi seperti guru sekolah dan mengutip buku teks dengan tampilan yang cerdas:
Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan definisi yang berbeda dari akar-akar derajat genap dan ganjil (oleh karena itu, domain definisinya juga berbeda).
Nah, apakah sudah lebih jelas? Secara pribadi, ketika saya membaca omong kosong ini di kelas 8, saya memahami sesuatu seperti berikut: "Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan *#&^@(*#@^#)~%" - singkatnya, saya tidak Aku tidak mengerti apa-apa saat itu. :)
Jadi sekarang saya akan menjelaskan semuanya dengan cara biasa.
Pertama, mari kita cari tahu dari mana rumus perkalian di atas berasal. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan Anda tentang satu properti penting dari root:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Dengan kata lain, kita dapat dengan mudah menaikkan ekspresi radikal ke pangkat alami $k$ - dalam hal ini, eksponen akar harus dikalikan dengan pangkat yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah mereduksi akar apa pun menjadi eksponen persekutuan, lalu mengalikannya. Dari sinilah rumus perkalian berasal:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Namun ada satu masalah yang sangat membatasi penggunaan semua rumus ini. Pertimbangkan nomor ini:
Berdasarkan rumus yang baru saja diberikan, kita dapat menambahkan derajat apa pun. Mari kita coba menambahkan $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\kiri(-5 \kanan))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Kami menghilangkan minus justru karena kuadrat membakar minus (seperti derajat genap lainnya). Sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: “kurangi” keduanya dalam eksponen dan pangkat. Bagaimanapun, persamaan apa pun dapat dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Panah Kanan \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Panah Kanan \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\akar(5). \\ \end(sejajarkan)\]
Tapi kemudian ternyata ada semacam omong kosong:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Hal ini tidak dapat terjadi, karena $\sqrt(-5) \lt 0$, dan $\sqrt(5) \gt 0$. Artinya, untuk pangkat genap dan bilangan negatif, rumus kami tidak lagi berfungsi. Setelah itu kita memiliki dua pilihan:
- Untuk membentur tembok dan menyatakan bahwa matematika adalah ilmu pengetahuan yang bodoh, di mana “ada beberapa aturan, tetapi aturan-aturan ini tidak tepat”;
- Terapkan batasan tambahan sehingga formula akan 100% berfungsi.
Pada opsi pertama, kita harus terus-menerus menangani kasus-kasus yang “tidak berfungsi” - ini sulit, memakan waktu, dan umumnya jelek. Oleh karena itu, ahli matematika lebih memilih opsi kedua :)
Tapi jangan khawatir! Dalam praktiknya, batasan ini tidak mempengaruhi perhitungan dengan cara apa pun, karena semua masalah yang dijelaskan hanya menyangkut akar-akar yang berderajat ganjil, dan minus dapat diambil darinya.
Oleh karena itu, mari kita rumuskan satu aturan lagi, yang secara umum berlaku untuk semua tindakan yang memiliki akar:
Sebelum mengalikan akar, pastikan ekspresi radikalnya non-negatif.
Contoh. Di angka $\sqrt(-5)$ Anda dapat menghilangkan tanda minus dari bawah tanda root - maka semuanya akan normal:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Panah Kanan \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Apakah Anda merasakan perbedaannya? Jika Anda meninggalkan minus di bawah root, maka ketika ekspresi radikal dikuadratkan, itu akan hilang, dan omong kosong akan dimulai. Dan jika Anda menghilangkan minusnya terlebih dahulu, maka Anda dapat mengkuadratkan/menghapusnya sampai wajahnya membiru - angkanya akan tetap negatif :).
Jadi, cara memperbanyak akar yang paling benar dan dapat diandalkan adalah sebagai berikut:
- Hapus semua hal negatif dari kaum radikal. Minus hanya ada pada akar dengan multiplisitas ganjil - minus dapat ditempatkan di depan akar dan, jika perlu, dikurangi (misalnya, jika ada dua minus ini).
- Lakukan perkalian sesuai aturan yang dibahas di atas dalam pelajaran hari ini. Jika indikator akar-akarnya sama, kita cukup mengalikan ekspresi akarnya. Dan jika berbeda, kita menggunakan rumus jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Nikmati hasil dan nilai bagus. :)
Dengan baik? Bagaimana kalau kita berlatih?
Contoh 1: Sederhanakan ekspresi:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ persegi(64)=-4; \end(sejajarkan)\]
Ini adalah pilihan paling sederhana: akar-akarnya sama dan ganjil, satu-satunya masalah adalah faktor kedua negatif. Kami menghilangkan minus ini dari gambar, setelah itu semuanya dihitung dengan mudah.
Contoh 2: Sederhanakan ekspresi:
\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\kiri(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\kiri(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( meluruskan)\]
Di sini, banyak orang akan bingung dengan kenyataan bahwa keluarannya ternyata berupa bilangan irasional. Ya, itu terjadi: kami tidak dapat sepenuhnya menghilangkan akarnya, tetapi setidaknya kami menyederhanakan ekspresinya secara signifikan.
Contoh 3: Sederhanakan ekspresi:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(sejajarkan)\]
Saya ingin menarik perhatian Anda pada tugas ini. Ada dua poin di sini:
- Akarnya bukanlah angka atau pangkat tertentu, melainkan variabel $a$. Pada pandangan pertama, ini agak tidak biasa, tetapi kenyataannya, ketika menyelesaikan masalah matematika, Anda paling sering harus berurusan dengan variabel.
- Pada akhirnya, kita berhasil “menurunkan” indikator radikal dan derajat ekspresi radikal. Hal ini cukup sering terjadi. Artinya, penghitungan dapat disederhanakan secara signifikan jika Anda tidak menggunakan rumus dasar.
Misalnya, Anda dapat melakukan ini:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\akhir(sejajarkan)\]
Faktanya, semua transformasi hanya dilakukan dengan radikal kedua. Dan jika Anda tidak menjelaskan secara rinci semua langkah peralihan, maka pada akhirnya jumlah perhitungan akan berkurang secara signifikan.
Faktanya, kita telah menemui tugas serupa di atas ketika kita menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sekarang dapat ditulis lebih sederhana:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\kiri(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\kiri(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(sejajarkan)\]
Nah, kita sudah memilah perkalian akar. Sekarang mari kita pertimbangkan operasi sebaliknya: apa yang harus dilakukan ketika ada produk di bawah root?
Apakah Anda perlu melakukan perhitungan yang rumit, tetapi Anda tidak memiliki perangkat komputasi elektronik? Gunakan program online - kalkulator root. Dia akan membantu:
- temukan akar kuadrat atau pangkat tiga dari bilangan tertentu;
- melakukan operasi matematika dengan pangkat pecahan.
| Jumlah tempat desimal: |
| √ |
Cara menghitung akar kuadrat secara manual - menggunakan metode seleksi untuk mencari nilai yang sesuai. Mari kita lihat bagaimana melakukan ini.
Apa itu akar kuadrat
Akar N pangkat bilangan asli A- nomor, N yang derajatnya setara A(bilangan radikal). Akar dilambangkan dengan simbol √. Dia disebut radikal.
Setiap aksi matematika mempunyai reaksi: penjumlahan→pengurangan, perkalian→pembagian, eksponen→akar.
Akar kuadrat suatu bilangan A akan ada bilangan yang kuadratnya sama A. Ini menyiratkan jawaban atas pertanyaan, bagaimana cara menghitung akar suatu bilangan? Anda harus memilih angka yang pangkat kedua akan sama dengan nilai di bawah akar.
Biasanya angka 2 tidak ditulis di atas tanda akar. Karena ini adalah pangkat terkecil, dan karenanya, jika tidak ada bilangan, maka eksponennya adalah 2. Kita selesaikan: untuk menghitung akar kuadrat dari 16, Anda perlu mencari bilangan yang, jika dipangkatkan kedua, menghasilkan 16.
Kami melakukan perhitungan secara manual
Perhitungan dengan metode faktorisasi dilakukan dengan dua cara, bergantung pada bilangan radikal:
1.Bilangan bulat yang dapat difaktorkan menjadi kuadrat dan mendapatkan jawaban pastinya.
Bilangan kuadrat adalah bilangan yang akarnya dapat diambil tanpa meninggalkan sisa. Dan faktor adalah bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya.
Misalnya:
25, 36, 49 adalah bilangan kuadrat karena:
Ternyata faktor kuadrat adalah faktor yang merupakan bilangan kuadrat.
Mari kita ambil 784 dan ekstrak root darinya.
| Kita memfaktorkan bilangan tersebut menjadi faktor kuadrat. Angka 784 adalah kelipatan 4, artinya faktor kuadrat pertama adalah 4 x 4 = 16. Bagilah 784 dengan 16 dan kita mendapatkan 49 - ini juga merupakan bilangan kuadrat 7 x 7 = 16. |  |
| Mari kita terapkan aturannya
Kami mengambil akar dari setiap faktor kuadrat, mengalikan hasilnya dan mendapatkan jawabannya. |
 Menjawab. |
2. Tak terpisahkan. Itu tidak dapat difaktorkan menjadi faktor kuadrat.
Contoh seperti ini lebih sering terjadi dibandingkan dengan bilangan bulat. Solusi mereka tidak akan tepat, dengan kata lain, menyeluruh. Ini akan menjadi pecahan dan perkiraan. Untuk menyederhanakan masalah, menguraikan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat dan bilangan yang akar kuadratnya tidak dapat diekstraksi akan membantu.
| Kami menguraikan angka 252 menjadi kuadrat dan faktor biasa. |  |
| Kami memperkirakan nilai akarnya. Untuk melakukan ini, kita memilih dua bilangan kuadrat yang berada di depan dan di belakang bilangan radikal pada penggaris digital. | Bilangan radikalnya adalah 7. Artinya bilangan kuadrat terdekat yang lebih besar adalah 8, dan bilangan yang lebih kecil adalah 4.
|
| Menilai nilainya | Kemungkinan besar, √7 lebih dekat ke 2. Kita memilihnya sedemikian rupa sehingga ketika angka ini dikalikan dengan angka itu sendiri, hasilnya adalah 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Kurang cocok, karena 7,2>7, ambil yang lebih kecil 2,6 x 2,6 = 6,76. Kita biarkan saja, karena 6.76~7. |
| Hitung akarnya |  |
antara 2 dan 4.Bagaimana cara menghitung akar bilangan kompleks? Juga menggunakan metode memperkirakan nilai akar.
Saat membagi ke dalam kolom, jawaban paling akurat diperoleh saat mengekstraksi akarnya.
| Ambil selembar kertas dan gambarlah sehingga garis vertikal berada di tengah, dan garis horizontal berada di sisi kanan dan bawah awal. |  |
| Pecahkan bilangan radikal menjadi pasangan-pasangan bilangan. Pecahan desimal dibagi sebagai berikut: - seluruh bagian dari kanan ke kiri; — angka setelah koma desimal dari kiri ke kanan. |
Contoh: 3459842.825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Diperbolehkan nomor yang tidak berpasangan tetap berada di awal. |
| Untuk bilangan pertama (atau pasangan), kita pilih bilangan terbesar n. Kuadratnya harus lebih kecil atau sama dengan nilai bilangan pertama (pasangan bilangan). Ambil akar √n dari bilangan ini. Tulis hasilnya di kanan atas, dan kuadrat angka ini di kanan bawah. Bilangan pertama kita adalah 7. Bilangan kuadrat terdekat adalah 4. Bilangan tersebut kurang dari 7, dan 4 = |
 |
| Kurangi kuadrat bilangan n yang ditemukan dari bilangan pertama (pasangan). Tulis hasilnya di bawah 7. Dan gandakan angka teratas di sebelah kanan dan tulis ekspresi 4_x_=_ di sebelah kanan. Catatan: angkanya harus sama. |
 |
| Kami memilih nomor untuk ekspresi dengan tanda hubung. Untuk melakukannya, carilah suatu bilangan sedemikian rupa sehingga hasil perkaliannya tidak lebih besar atau sama dengan bilangan saat ini di sebelah kiri. Dalam kasus kami, ini adalah 8. |  |
| Tuliskan nomor yang Anda temukan di sudut kanan atas. Ini adalah angka kedua dari akar yang diinginkan. Ambil pasangan angka berikutnya dan tuliskan di sebelah selisih yang dihasilkan di sebelah kiri. |
 |
| Kurangi hasil kali di sebelah kanan dari angka di sebelah kiri. Gandakan angka yang terletak di kanan atas dan tulis ekspresi dengan tanda hubung. |
 |
| Kami menambahkan beberapa angka lagi ke perbedaan yang dihasilkan. Jika ini adalah bilangan bagian pecahan, yaitu terletak di belakang koma, maka kita beri tanda koma di pojok kanan atas dekat angka terakhir dari akar kuadrat yang diinginkan. Kami mengisi tanda hubung pada ekspresi di sebelah kanan, memilih angka sehingga hasil perkalian lebih kecil atau sama dengan selisih ekspresi di sebelah kiri. |
 |
| Jika Anda membutuhkan lebih banyak tempat desimal, tambahkan di sebelah angka saat ini di sebelah kiri dan ulangi langkah-langkahnya: kurangi dari kiri, gandakan angka di sudut kanan atas, tulis ekspresi dengan tanda hubung, pilih faktornya, dan seterusnya . |  |
Menurut Anda, berapa banyak waktu yang akan Anda habiskan untuk perhitungan seperti itu? Sulit, panjang, membingungkan. Lalu mengapa tidak mempermudahnya sendiri? Gunakan program kami, yang akan membantu Anda membuat perhitungan cepat dan akurat.
Algoritma tindakan
1. Masukkan jumlah tempat desimal yang diinginkan.
2. Tunjukkan derajat akarnya (jika lebih besar dari 2).
3. Masukkan nomor yang ingin Anda ekstrak rootnya.
4. Klik tombol "Selesaikan".
Menghitung operasi matematika paling rumit dengan kalkulator online akan menjadi sederhana!
Fakta 1.
\(\bullet\) Mari kita ambil bilangan non-negatif \(a\) (yaitu, \(a\geqslant 0\) ). Lalu (aritmatika) akar kuadrat dari bilangan \(a\) disebut bilangan non-negatif \(b\) , jika dikuadratkan kita memperoleh bilangan \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama dengan )\quad a=b^2\] Dari definisi tersebut berikut ini \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Pembatasan ini merupakan syarat penting bagi keberadaan akar kuadrat dan harus diingat!
Ingatlah bahwa bilangan apa pun jika dikuadratkan memberikan hasil non-negatif. Yaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) sama dengan apa? Kita tahu bahwa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Karena menurut definisi kita harus mencari bilangan non-negatif, maka \(-5\) tidak cocok, oleh karena itu, \(\sqrt(25)=5\) (karena \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) disebut mengambil akar kuadrat dari bilangan \(a\) , dan bilangan \(a\) disebut ekspresi radikal.
\(\bullet\) Berdasarkan definisi, ekspresi \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), dll. tidak masuk akal.
Fakta 2.
Untuk perhitungan cepat, akan berguna untuk mempelajari tabel kuadrat bilangan asli dari \(1\) hingga \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \kuad17^2=289\\ 8^2=64 & \kuad18^2=324\\ 9^2=81 & \kuad19^2=361\\ 10^2=100& \kuad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
Fakta 3.
Operasi apa yang dapat Anda lakukan dengan akar kuadrat?
\(\peluru\) Artinya, jumlah atau selisih akar kuadrat TIDAK SAMA dengan akar kuadrat dari jumlah atau selisih tersebut \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jadi, jika Anda perlu menghitung, misalnya \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka awalnya Anda harus mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\ sqrt(49)\ ) lalu lipat. Karena itu, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak dapat ditemukan saat menambahkan \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ekspresi seperti itu tidak diubah lebih lanjut dan tetap apa adanya. Misalnya, dalam penjumlahan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita dapat menemukan \(\sqrt(49)\) adalah \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak dapat diubah menjadi bagaimanapun juga, Itu sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Sayangnya ungkapan ini tidak dapat disederhanakan lagi\(\bullet\) Hasil kali/hasil bagi akar kuadrat sama dengan akar kuadrat hasil kali/hasil bagi, yaitu \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \teks(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (asalkan kedua sisi persamaan tersebut masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Dengan menggunakan properti ini, akan lebih mudah untuk mencari akar kuadrat dari bilangan besar dengan memfaktorkannya.
Mari kita lihat sebuah contoh. Mari kita temukan \(\sqrt(44100)\) . Karena \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Berdasarkan kriteria habis dibagi, bilangan \(441\) habis dibagi \(9\) (karena jumlah angka-angkanya adalah 9 dan habis dibagi 9), maka \(441:9=49\), yaitu, \(441=9\ cdot 49\) . Jadi kami mendapatkan:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari kita lihat contoh lainnya:
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \
\(\bullet\) Mari kita tunjukkan cara memasukkan angka di bawah tanda akar kuadrat menggunakan contoh ekspresi \(5\sqrt2\) (notasi singkat untuk ekspresi \(5\cdot \sqrt2\)). Karena \(5=\sqrt(25)\) , maka
Perhatikan juga bahwa, misalnya,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Mengapa demikian? Mari kita jelaskan menggunakan contoh 1). Seperti yang sudah Anda pahami, kita tidak bisa mengubah bilangan \(\sqrt2\). Bayangkan \(\sqrt2\) adalah suatu bilangan \(a\) . Oleh karena itu, ekspresi \(\sqrt2+3\sqrt2\) tidak lebih dari \(a+3a\) (satu angka \(a\) ditambah tiga angka lagi yang sama \(a\)). Dan kita tahu bahwa ini sama dengan empat bilangan \(a\) , yaitu \(4\sqrt2\) .
\(\bullet\) Mereka sering mengatakan “Anda tidak dapat mengekstrak akarnya” ketika Anda tidak dapat menghilangkan tanda \(\sqrt () \ \) dari akar (radikal) saat mencari nilai suatu bilangan . Misalnya, Anda dapat mengambil akar bilangan \(16\) karena \(16=4^2\) , maka \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi tidak mungkin mengekstrak akar bilangan \(3\), yaitu menemukan \(\sqrt3\), karena tidak ada bilangan yang akan dikuadratkan \(3\) .
Angka-angka seperti itu (atau ekspresi dengan angka-angka seperti itu) tidak rasional. Misalnya saja angka \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dll. tidak rasional.
Yang juga tidak rasional adalah bilangan \(\pi\) (bilangan “pi”, kira-kira sama dengan \(3.14\)), \(e\) (bilangan ini disebut bilangan Euler, kira-kira sama dengan \(2.7 \)) dll.
\(\bullet\) Perlu diketahui bahwa bilangan apa pun bisa bersifat rasional atau irasional. Dan bersama-sama semua bilangan rasional dan irasional membentuk suatu himpunan yang disebut sekumpulan bilangan real. Himpunan ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Artinya semua bilangan yang kita ketahui saat ini disebut bilangan real.
Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus bilangan real \(a\) adalah bilangan non-negatif \(|a|\) yang sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) di garis nyata. Misalnya, \(|3|\) dan \(|-3|\) sama dengan 3, karena jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) adalah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan non-negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka \(|a|=-a\) . Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Mereka mengatakan bahwa untuk bilangan negatif modulusnya “memakan” minus, sedangkan bilangan positif, serta bilangan \(0\), dibiarkan tidak berubah oleh modulusnya. TETAPI Aturan ini hanya berlaku untuk angka. Jika di bawah tanda modulus Anda ada \(x\) (atau beberapa hal lain yang tidak diketahui), misalnya \(|x|\) , yang kita tidak tahu apakah itu positif, nol atau negatif, maka singkirkan modulus kita tidak bisa. Dalam hal ini, ungkapan ini tetap sama: \(|x|\) . Sangat sering terjadi kesalahan berikut: mereka mengatakan bahwa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah satu dan sama. Hal ini hanya berlaku jika \(a\) adalah bilangan positif atau nol. Namun jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka bilangan tersebut salah. Cukuplah untuk mempertimbangkan contoh ini. Mari kita ambil bilangan \(-1\) sebagai ganti \(a\). Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ekspresi \((\sqrt (-1))^2\) tidak ada sama sekali (lagipula, tidak mungkin menggunakan tanda akar untuk memasukkan angka negatif!).
Oleh karena itu, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh: 1) \(\sqrt(\kiri(-\sqrt2\kanan)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Karena \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Karena \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(pernyataan \(2n\) menunjukkan bilangan genap)
Artinya, ketika mengambil akar suatu bilangan yang derajatnya sampai taraf tertentu, derajatnya dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan jika modul tidak diberikan, ternyata akar bilangan tersebut sama dengan \(-25\ ) ; tapi kita ingat , bahwa menurut definisi akar hal ini tidak dapat terjadi: saat mengekstraksi akar, kita harus selalu mendapatkan bilangan positif atau nol)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (karena bilangan apa pun pangkat genap adalah non-negatif)
Fakta 6.
Bagaimana cara membandingkan dua akar kuadrat?<\sqrt b\)
, то \(a
\(\bullet\) Untuk akar kuadrat benar: jika \(\sqrt a 1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, mari kita ubah ekspresi kedua menjadi\(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\)<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
. Jadi, sejak \(50
2) Di antara bilangan bulat manakah \(\sqrt(50)\) berada?<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
Karena \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49 3) Mari kita bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0.5\) . Mari kita asumsikan bahwa \(\sqrt2-1>0.5\) :\[\begin(selaras) &\sqrt 2-1>0,5 \ \besar| +1\quad \text((tambahkan satu ke kedua sisi))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mengkuadratkan kedua sisi))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(sejajar)\]<0,5\)
.
Kami melihat bahwa kami telah memperoleh pertidaksamaan yang salah. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan \(\sqrt 2-1
Anda dapat mengkuadratkan kedua ruas persamaan/pertidaksamaan HANYA JIKA kedua ruas tersebut non-negatif. Misalnya, pada pertidaksamaan pada contoh sebelumnya, Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi, pada pertidaksamaan \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Perlu diingat hal itu \[\begin(selaras) &\sqrt 2\kira-kira 1,4\\ &\sqrt 3\kira-kira 1,7 \end(selaras)\] Mengetahui perkiraan arti angka-angka ini akan membantu Anda saat membandingkan angka!
\(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika dapat diekstraksi) dari suatu bilangan besar yang tidak ada dalam tabel kuadrat, pertama-tama Anda harus menentukan di antara “ratusan” yang mana, lalu – di antara “yang mana” puluhan”, lalu tentukan angka terakhir bilangan tersebut. Mari kita tunjukkan cara kerjanya dengan sebuah contoh.
Mari kita ambil \(\sqrt(28224)\) . Kita tahu bahwa \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), dst. Perhatikan bahwa \(28224\) berada di antara \(10\,000\) dan \(40\,000\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan di antara “puluhan” mana bilangan kita berada (yaitu, misalnya, antara \(120\) dan \(130\)). Juga dari tabel kuadrat kita mengetahui bahwa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dst., lalu \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Jadi kita melihat bahwa \(28224\) berada di antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh karena itu, bilangan \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(160\) dan \(170\) .
Mari kita coba menentukan digit terakhir. Mari kita ingat bilangan satu digit apa, jika dikuadratkan, menghasilkan \(4\) di akhir? Ini adalah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) akan berakhiran 2 atau 8. Mari kita periksa. Mari kita cari \(162^2\) dan \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Untuk menyelesaikan Ujian Negara Bersatu dalam matematika secara memadai, Anda harus terlebih dahulu mempelajari materi teoretis, yang memperkenalkan Anda pada berbagai teorema, rumus, algoritma, dll. Pada pandangan pertama, tampaknya ini cukup sederhana. Namun, menemukan sumber yang menyajikan teori Ujian Negara Terpadu matematika dengan cara yang mudah dan dapat dipahami oleh siswa dengan tingkat pelatihan apa pun, pada kenyataannya, merupakan tugas yang agak sulit. Buku pelajaran sekolah tidak selalu bisa disimpan. Dan menemukan rumus dasar UN Unified State dalam matematika bisa jadi sulit bahkan di Internet.
- Mengapa mempelajari teori matematika begitu penting tidak hanya bagi mereka yang mengikuti Ujian Negara Bersatu?. Mempelajari materi teori matematika bermanfaat bagi siapa saja yang ingin mendapatkan jawaban atas berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan pengetahuan tentang dunia sekitarnya. Segala sesuatu di alam ini teratur dan memiliki logika yang jelas. Inilah tepatnya yang tercermin dalam sains, yang melaluinya kita dapat memahami dunia.
- Karena itu mengembangkan kecerdasan. Dengan mempelajari bahan referensi Ujian Negara Terpadu matematika, serta memecahkan berbagai masalah, seseorang belajar berpikir dan bernalar secara logis, merumuskan pikiran secara kompeten dan jelas. Ia mengembangkan kemampuan menganalisis, menggeneralisasi, dan menarik kesimpulan.
Kami mengundang Anda untuk mengevaluasi secara pribadi semua keuntungan dari pendekatan kami terhadap sistematisasi dan penyajian materi pendidikan.
