Rumus dan contoh turunan logaritma. Turunan dari logaritma natural dan logaritma ke basis Turunan dari logaritma ke basis x

Apakah Anda merasa masih banyak waktu sebelum ujian? Apakah ini sebulan? Dua? Tahun? Latihan menunjukkan bahwa seorang siswa dapat menghadapi ujian dengan baik jika dia mulai mempersiapkannya terlebih dahulu. Ada banyak tugas sulit dalam Ujian Negara Bersatu yang menghalangi anak sekolah dan calon pelamar untuk mendapatkan nilai tertinggi. Anda perlu belajar untuk mengatasi kendala-kendala tersebut, dan selain itu, hal tersebut tidak sulit untuk dilakukan. Anda perlu memahami prinsip bekerja dengan berbagai tugas dari tiket. Maka tidak akan ada masalah dengan yang baru.

Logaritma pada pandangan pertama tampak sangat rumit, tetapi dengan analisis mendetail situasinya menjadi lebih sederhana. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan nilai tertinggi, Anda harus memahami konsep yang dimaksud, itulah yang kami usulkan untuk dilakukan dalam artikel ini.

Pertama, mari kita pisahkan definisi-definisi ini. Apa itu logaritma (log)? Ini adalah indikator kekuatan yang harus dinaikkan basisnya untuk mendapatkan angka yang ditentukan. Jika belum jelas, mari kita lihat contoh dasar.

Dalam hal ini alas yang paling bawah harus dipangkatkan dua untuk mendapatkan angka 4.

Sekarang mari kita lihat konsep kedua. Turunan suatu fungsi dalam bentuk apapun adalah suatu konsep yang mencirikan perubahan suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Namun, ini adalah kurikulum sekolah, dan jika Anda memiliki masalah dengan konsep-konsep ini secara individual, ada baiknya Anda mengulangi topik tersebut.

Turunan dari logaritma

Dalam tugas USE pada topik ini, beberapa tugas dapat diberikan sebagai contoh. Pertama, turunan logaritma paling sederhana. Kita perlu mencari turunan dari fungsi berikut.

Kita perlu mencari turunan selanjutnya

Ada rumus khusus.

Dalam hal ini x=u, log3x=v. Kami mengganti nilai dari fungsi kami ke dalam rumus.

Turunan dari x akan sama dengan satu. Logaritmanya sedikit lebih sulit. Namun Anda akan memahami prinsipnya jika Anda hanya mengganti nilainya. Ingatlah bahwa turunan dari lg x adalah turunan dari logaritma desimal, dan turunan dari ln x adalah turunan dari logaritma natural (berdasarkan e).

Sekarang cukup masukkan nilai yang dihasilkan ke dalam rumus. Coba sendiri, nanti kita cek jawabannya.

Apa yang mungkin menjadi masalah bagi sebagian orang di sini? Kami memperkenalkan konsep logaritma natural. Mari kita membicarakannya, dan pada saat yang sama mencari cara untuk menyelesaikan masalah dengannya. Anda tidak akan melihat sesuatu yang rumit, terutama jika Anda memahami prinsip pengoperasiannya. Anda harus membiasakannya, karena sering digunakan dalam matematika (apalagi di perguruan tinggi).

Turunan dari logaritma natural

Pada intinya, ini adalah turunan dari logaritma ke basis e (yang merupakan bilangan irasional kira-kira 2,7). Sebenarnya ln sangat sederhana sehingga sering digunakan dalam matematika pada umumnya. Sebenarnya menyelesaikan masalah dengan itu juga tidak akan menjadi masalah. Perlu diingat bahwa turunan logaritma natural ke basis e akan sama dengan satu dibagi x. Solusi dari contoh berikut akan menjadi yang paling mengungkap.

Mari kita bayangkan ini sebagai fungsi kompleks yang terdiri dari dua fungsi sederhana.

Cukup untuk mengkonversi

Kita mencari turunan u terhadap x

Mari kita lanjutkan dengan yang kedua

Kita menggunakan metode penyelesaian turunan fungsi kompleks dengan mensubstitusi u=nx.

Apa yang terjadi pada akhirnya?

Sekarang mari kita ingat apa yang dimaksud n dalam contoh ini? Ini adalah bilangan apa pun yang dapat muncul di depan x dalam logaritma natural. Penting bagi Anda untuk memahami bahwa jawabannya tidak bergantung padanya. Gantikan sesukamu, jawabannya tetap 1/x.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit di sini; Anda hanya perlu memahami prinsipnya untuk menyelesaikan masalah pada topik ini dengan cepat dan efektif. Sekarang Anda sudah tahu teorinya, yang perlu Anda lakukan hanyalah mempraktikkannya. Berlatihlah memecahkan masalah untuk mengingat prinsip penyelesaiannya dalam waktu yang lama. Anda mungkin tidak memerlukan pengetahuan ini setelah lulus sekolah, tetapi dalam ujian itu akan lebih relevan dari sebelumnya. Semoga beruntung untukmu!

Sangat mudah diingat.

Baiklah, tidak usah jauh-jauh, langsung saja kita bahas fungsi inversnya. Fungsi manakah yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma seperti itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut “alami”, dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulisnya.

Sama dengan apa? Tentu saja.

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

Temukan turunan dari fungsi tersebut.
Berapakah turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Logaritma eksponensial dan natural adalah fungsi unik dan sederhana dari perspektif turunan. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lain akan mempunyai turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita membahas aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi istilah baru, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses mencari turunannya.

Itu saja. Apa lagi yang bisa Anda sebut proses ini dalam satu kata? Bukan turunan... Matematikawan menyebut diferensial sebagai pertambahan fungsi yang sama di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential – perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kita juga memerlukan rumus untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - suatu bilangan konstan (konstanta), maka.

Tentu saja, aturan ini juga berlaku untuk perbedaannya: .

Mari kita buktikan. Biarlah, atau lebih sederhana.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi:

pada suatu titik;
pada suatu titik;
pada suatu titik;
pada intinya.

Solusi:

(turunannya sama di semua titik, karena merupakan fungsi linier, ingat?);

Turunan dari produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baru dan temukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

Temukan turunan dari fungsi dan;
Temukan turunan fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari turunan fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi, di mana nomornya.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba membawa fungsi kita ke basis baru:

Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Ya, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Apakah itu berhasil?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan eksponen: tetap sama, hanya muncul faktor yang hanya berupa bilangan, bukan variabel.

Contoh:
Temukan turunan dari fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah bilangan yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu tidak dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih sederhana. Oleh karena itu, kami membiarkannya dalam bentuk ini dalam jawabannya.

Perhatikan bahwa ini adalah hasil bagi dua fungsi, jadi kami menerapkan aturan diferensiasi yang sesuai:

Dalam contoh ini, hasil kali dua fungsi:

Turunan dari fungsi logaritma

Di sini serupa: Anda sudah mengetahui turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari logaritma sembarang dengan basis berbeda, misalnya:

Kita perlu mengurangi logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang kami akan menulis:

Penyebutnya hanyalah sebuah konstanta (bilangan konstan, tanpa variabel). Turunannya diperoleh dengan sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam Unified State Examination, namun tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa yang dimaksud dengan "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika Anda merasa logaritmanya sulit, bacalah topik “Logaritma” dan Anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandang matematika, kata “kompleks” tidak berarti “sulit”.

Bayangkan sebuah ban berjalan kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa benda. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang coklat dengan bungkusnya, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Hasilnya adalah sebuah benda gabungan: sebatang coklat yang dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.

Mari kita membuat alur matematika serupa: pertama kita akan mencari kosinus suatu bilangan, lalu mengkuadratkan bilangan yang dihasilkan. Jadi, kita diberi nomor (cokelat), saya mencari kosinusnya (pembungkusnya), lalu Anda mengkuadratkan apa yang saya dapat (ikat dengan pita). Apa yang telah terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk mencari nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua dengan hasil yang pertama.

Dengan kata lain, fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya merupakan fungsi lain: .

Sebagai contoh kita, .

Kita dapat dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda mengkuadratkannya, lalu saya mencari kosinus dari bilangan yang dihasilkan: . Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsinya pun berubah.

Contoh kedua: (hal yang sama). .

Tindakan yang terakhir kita lakukan akan dipanggil fungsi "eksternal"., dan tindakan yang dilakukan pertama kali - sesuai fungsi "internal".(ini nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri mana fungsi eksternal dan mana internal:

Jawaban: Memisahkan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan mengubah variabel: misalnya, dalam suatu fungsi

Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama, mari kita hitung sinusnya, lalu pangkatkan. Artinya, ini adalah fungsi internal, tetapi fungsi eksternal.
Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
Dalaman: ; eksternal: .
Penyelidikan: .
Dalaman: ; eksternal: .
Penyelidikan: .
Dalaman: ; eksternal: .
Penyelidikan: .
Dalaman: ; eksternal: .
Penyelidikan: .

Kami mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak coklat batangan kita dan mencari turunannya. Prosedurnya selalu terbalik: pertama kita mencari turunan fungsi luar, lalu kita mengalikan hasilnya dengan turunan fungsi dalam. Sehubungan dengan contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita rumuskan aturan resminya:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Tampaknya sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalaman: ;

Eksternal: ;

2) Dalaman: ;

(Hanya saja, jangan mencoba memotongnya sekarang! Tidak ada yang keluar dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Eksternal: ;

Segera jelas bahwa ini adalah fungsi kompleks tiga tingkat: lagi pula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami juga mengekstrak akarnya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (memasukkan coklat ke dalam bungkusnya dan dengan pita di tas kerja). Namun tidak ada alasan untuk takut: kami akan tetap “membongkar” fungsi ini dengan urutan yang sama seperti biasanya: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita bedakan akarnya, lalu kosinusnya, dan baru kemudian ekspresi dalam tanda kurung. Dan kemudian kita kalikan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor pada tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Semakin lama suatu tindakan dilakukan, semakin “eksternal” fungsi yang bersangkutan. Urutan tindakannya sama seperti sebelumnya:

Di sini sarangnya umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Persegi. .

5. Menyatukan semuanya:

TURUNAN. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Turunan dari suatu fungsi- rasio pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Turunan dari produk:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Kami mendefinisikan fungsi "internal" dan mencari turunannya.
Kami mendefinisikan fungsi "eksternal" dan mencari turunannya.
Kita kalikan hasil poin pertama dan kedua.

Turunan kompleks. Turunan logaritmik.
Turunan dari fungsi eksponensial pangkat

Kami terus meningkatkan teknik diferensiasi kami. Pada pembelajaran kali ini kita akan memantapkan materi yang telah kita bahas, melihat turunan yang lebih kompleks, serta mengenal teknik dan trik baru dalam mencari turunan, khususnya turunan logaritma.

Bagi pembaca yang tingkat persiapannya rendah sebaiknya merujuk pada artikel tersebut Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi, yang memungkinkan Anda meningkatkan keterampilan Anda hampir dari awal. Selanjutnya, Anda perlu mempelajari halaman tersebut dengan cermat Turunan dari fungsi kompleks, memahami dan memecahkan Semua contoh yang saya berikan. Pelajaran ini secara logis merupakan pelajaran ketiga berturut-turut, dan setelah menguasainya Anda akan dengan percaya diri membedakan fungsi yang cukup kompleks. Tidak diinginkan untuk mengambil posisi “Di mana lagi? Cukup!”, karena semua contoh dan solusi diambil dari pengujian nyata dan sering ditemui dalam praktik.

Mari kita mulai dengan pengulangan. Di kelas Turunan dari fungsi kompleks Kami melihat sejumlah contoh dengan komentar terperinci. Dalam mempelajari kalkulus diferensial dan cabang analisis matematika lainnya, Anda harus sering melakukan diferensiasi, dan tidak selalu mudah (dan tidak selalu diperlukan) untuk menjelaskan contoh dengan sangat rinci. Oleh karena itu, kita akan berlatih mencari turunannya secara lisan. “Kandidat” yang paling cocok untuk ini adalah turunan dari fungsi kompleks yang paling sederhana, misalnya:

Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks :

Saat mempelajari topik matan lain di masa mendatang, pencatatan mendetail seperti itu seringkali tidak diperlukan; siswa diasumsikan mengetahui cara menemukan turunan tersebut dengan autopilot; Bayangkan pada jam 3 pagi telepon berdering dan terdengar suara merdu bertanya: “Berapa turunan garis singgung dua huruf X?” Ini harus diikuti dengan tanggapan yang cepat dan sopan: .

Contoh pertama akan segera ditujukan untuk solusi independen.

Contoh 1

Temukan turunan berikut secara lisan, dalam satu tindakan, misalnya: . Untuk menyelesaikan tugas Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan fungsi dasar(jika Anda belum mengingatnya). Jika Anda mengalami kesulitan, saya sarankan membaca kembali pelajaran ini Turunan dari fungsi kompleks.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Jawaban di akhir pelajaran

Turunan kompleks

Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan fungsi bersarang 3-4-5 tidak akan terlalu menakutkan. Dua contoh berikut mungkin tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika Anda memahaminya (seseorang akan menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.

Contoh 2

Temukan turunan suatu fungsi

Seperti yang telah disebutkan, ketika mencari turunan dari suatu fungsi kompleks, hal pertama yang perlu dilakukan adalah Benar PAHAMI investasi Anda. Jika ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang teknik yang berguna: kita mengambil nilai eksperimen "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi buruk".

1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, yang berarti jumlah tersebut adalah penyematan terdalam.

2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:

4) Kemudian pangkatkan kosinusnya:

5) Pada langkah kelima perbedaannya:

6) Dan terakhir, fungsi terluar adalah akar kuadrat:

Rumus untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke fungsi terdalam. Kami memutuskan:

Sepertinya tidak ada kesalahan...

(1) Ambil turunan dari akar kuadrat.

(2) Kita ambil turunan selisihnya dengan menggunakan aturan

(3) Turunan rangkap tiga adalah nol. Pada suku kedua kita ambil turunan derajat (kubus).

(4) Ambil turunan dari kosinus.

(5) Ambil turunan dari logaritma.

(6) Dan terakhir, kita ambil turunan dari penyematan terdalam.

Ini mungkin tampak terlalu sulit, tapi ini bukanlah contoh yang paling brutal. Ambil contoh, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua keindahan dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa dalam ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami cara mencari turunan fungsi kompleks atau tidak.

Contoh berikut adalah untuk Anda pecahkan sendiri.

Contoh 3

Temukan turunan suatu fungsi

Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kecil dan lebih bagus.
Tidak jarang sebuah contoh menunjukkan hasil perkalian bukan dua, melainkan tiga fungsi. Bagaimana cara mencari turunan hasil kali tiga faktor?

Contoh 4

Temukan turunan suatu fungsi

Pertama, mari kita lihat apakah mungkin mengubah hasil kali tiga fungsi menjadi hasil kali dua fungsi? Misalnya, jika kita mempunyai dua polinomial dalam hasil kali, kita dapat membuka tanda kurung. Namun dalam contoh yang dibahas, semua fungsinya berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.

Dalam kasus seperti itu, hal itu diperlukan secara berurutan menerapkan aturan diferensiasi produk dua kali

Triknya adalah dengan “y” kita menyatakan hasil kali dua fungsi: , dan dengan “ve” kita menyatakan logaritma: . Mengapa hal ini bisa dilakukan? Benarkah? – ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:

Sekarang tinggal menerapkan aturan tersebut untuk kedua kalinya untuk mengurung:

Anda juga dapat terpelintir dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik membiarkan jawabannya persis dalam bentuk ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.

Contoh yang dipertimbangkan dapat diselesaikan dengan cara kedua:

Kedua solusi tersebut benar-benar setara.

Contoh 5

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh solusi independen; dalam sampel diselesaikan menggunakan metode pertama.

Mari kita lihat contoh serupa dengan pecahan.

Contoh 6

Temukan turunan suatu fungsi

Ada beberapa cara yang bisa Anda lakukan di sini:

Atau seperti ini:

Namun penyelesaiannya akan ditulis lebih ringkas jika kita terlebih dahulu menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi , ambil seluruh pembilangnya:

Prinsipnya contoh sudah terselesaikan, dan jika dibiarkan apa adanya tidak akan terjadi error. Namun jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa drafnya untuk melihat apakah jawabannya bisa disederhanakan? Mari kita kurangi ekspresi pembilangnya menjadi penyebut yang sama dan mari kita singkirkan pecahan tiga lantai:

Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah adanya risiko kesalahan bukan saat mencari turunannya, tetapi saat melakukan transformasi sekolah yang dangkal. Di sisi lain, guru seringkali menolak tugas tersebut dan meminta untuk “mengingatnya” turunannya.

Contoh sederhana untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 7

Temukan turunan suatu fungsi

Kami terus menguasai metode mencari turunannya, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi

Contoh 8

Temukan turunan suatu fungsi

Di sini Anda dapat melakukan lebih banyak hal, menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks:

Namun langkah pertama segera membuat Anda putus asa - Anda harus mengambil turunan yang tidak menyenangkan dari pangkat pecahan, dan kemudian juga dari pecahan.

Itu sebabnya sebelum cara mengambil turunan dari logaritma “canggih”, disederhanakan terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat sekolah yang sudah terkenal:

! Jika Anda memiliki buku latihan, salin rumus ini langsung ke sana. Jika Anda tidak memiliki buku catatan, salinlah ke selembar kertas, karena contoh pelajaran selanjutnya akan berkisar pada rumus-rumus ini.

Solusinya sendiri dapat ditulis seperti ini:

Mari kita ubah fungsinya:

Menemukan turunannya:

Pra-konversi fungsi itu sendiri sangat menyederhanakan solusinya. Jadi, ketika logaritma serupa diusulkan untuk diferensiasi, selalu disarankan untuk “memecahnya”.

Dan sekarang beberapa contoh sederhana untuk Anda pecahkan sendiri:

Contoh 9

Temukan turunan suatu fungsi

Contoh 10

Temukan turunan suatu fungsi

Semua transformasi dan jawaban ada di akhir pelajaran.

Turunan logaritmik

Jika turunan logaritma adalah musik yang begitu manis, maka timbul pertanyaan: apakah mungkin dalam beberapa kasus mengatur logaritma secara artifisial? Bisa! Dan bahkan perlu.

Contoh 11

Temukan turunan suatu fungsi

Kami baru-baru ini melihat contoh serupa. Apa yang harus dilakukan? Anda dapat menerapkan aturan diferensiasi hasil bagi secara berurutan, dan kemudian aturan diferensiasi produk. Kerugian dari metode ini adalah Anda akan mendapatkan pecahan tiga lantai yang sangat besar, yang tidak ingin Anda tangani sama sekali.

Namun dalam teori dan praktik, ada hal yang luar biasa seperti turunan logaritma. Logaritma dapat diatur secara artifisial dengan “menggantungnya” di kedua sisi:

Catatan : Karena suatu fungsi dapat mengambil nilai negatif, maka, secara umum, Anda perlu menggunakan modul: , yang akan hilang akibat diferensiasi. Namun, desain saat ini juga dapat diterima, karena secara default sudah diperhitungkan kompleks makna. Tetapi jika dengan segala ketelitian, maka dalam kedua kasus tersebut harus dibuat reservasi.

Sekarang Anda perlu "menghancurkan" logaritma sisi kanan sebanyak mungkin (rumus di depan mata Anda?). Saya akan menjelaskan proses ini dengan sangat rinci:

Mari kita mulai dengan diferensiasi.
Mari selesaikan kedua bagian:

Turunan dari ruas kanan cukup sederhana; Saya tidak akan mengomentarinya, karena jika Anda membaca teks ini, Anda seharusnya bisa menanganinya dengan percaya diri.

Bagaimana dengan sisi kiri?

Di sisi kiri kita punya fungsi yang kompleks. Saya meramalkan pertanyaan: “Mengapa, ada satu huruf “Y” di bawah logaritma?”

Faktanya adalah "permainan satu huruf" ini - ADALAH FUNGSI SENDIRI(jika kurang jelas, lihat artikel Turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit). Oleh karena itu, logaritma adalah fungsi eksternal, dan “y” adalah fungsi internal. Dan kami menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks :

Di sisi kiri, seolah-olah secara ajaib, kita memiliki turunan. Selanjutnya, sesuai aturan proporsi, kita pindahkan “y” dari penyebut sisi kiri ke atas sisi kanan:

Dan sekarang mari kita ingat fungsi “pemain” seperti apa yang kita bicarakan selama diferensiasi? Mari kita lihat kondisinya:

Jawaban akhir:

Contoh 12

Temukan turunan suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Contoh desain contoh jenis ini ada di akhir pelajaran.

Dengan menggunakan turunan logaritma, salah satu contoh No. 4-7 dapat diselesaikan, hal lainnya adalah fungsinya lebih sederhana, dan, mungkin, penggunaan turunan logaritma tidak terlalu dibenarkan.

Turunan dari fungsi eksponensial pangkat

Kami belum mempertimbangkan fungsi ini. Fungsi eksponensial pangkat adalah fungsi yang baik derajat maupun alasnya bergantung pada “x”. Contoh klasik yang akan diberikan kepada Anda dalam buku teks atau kuliah apa pun:

Bagaimana cara mencari turunan fungsi eksponensial pangkat?

Penting untuk menggunakan teknik yang baru saja dibahas - turunan logaritma. Kami menggantung logaritma di kedua sisi:

Sebagai aturan, di sisi kanan derajat diambil dari bawah logaritma:

Hasilnya, di sisi kanan kita memiliki hasil kali dua fungsi, yang akan dibedakan menurut rumus standar .

Kami menemukan turunannya; untuk melakukan ini, kami menyertakan kedua bagian di bawah garis:

Tindakan selanjutnya sederhana:

Akhirnya:

Jika ada konversi yang kurang jelas, harap membaca kembali penjelasan Contoh No. 11 dengan cermat.

Dalam tugas praktek, fungsi eksponensial pangkat akan selalu lebih rumit daripada contoh kuliah yang dibahas.

Contoh 13

Temukan turunan suatu fungsi

Kami menggunakan turunan logaritma.

Di sisi kanan kita memiliki konstanta dan produk dari dua faktor - "x" dan "logaritma dari logaritma x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Saat melakukan diferensiasi, seingat kita, sebaiknya segera keluarkan konstanta dari tanda turunannya agar tidak mengganggu; dan, tentu saja, kami menerapkan aturan yang sudah lazim :

Pembuktian dan penurunan rumus turunan logaritma natural dan logaritma basis a. Contoh perhitungan turunan ln 2x, ln 3x dan ln nx. Pembuktian rumus turunan logaritma orde ke-n menggunakan metode induksi matematika.

Isi

Lihat juga: Logaritma - properti, rumus, grafik
Logaritma natural - properti, rumus, grafik

Penurunan rumus turunan logaritma natural dan logaritma ke basis a

Turunan logaritma natural dari x sama dengan satu dibagi x:
(1) (lnx)′ =.

Turunan logaritma ke basis a sama dengan satu dibagi variabel x dikalikan logaritma natural dari a:
(2) (log ax)′ =.

Bukti

Misalkan ada bilangan positif yang tidak sama dengan satu. Pertimbangkan suatu fungsi yang bergantung pada variabel x, yang merupakan logaritma ke basis:
.
Fungsi ini didefinisikan pada .
(3) .

Mari kita cari turunannya terhadap variabel x.
Menurut definisinya, turunannya adalah limit berikut: Mari kita ubah ekspresi ini untuk mereduksinya menjadi sifat dan aturan matematika yang diketahui. Untuk melakukan ini kita perlu mengetahui fakta-fakta berikut:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
A) Sifat-sifat logaritma. Kita membutuhkan rumus berikut:
(7) .
B)
Kontinuitas logaritma dan sifat limit fungsi kontinu: Berikut adalah fungsi yang mempunyai limit dan limit tersebut positif.
(8) .

DI DALAM)
.
Arti dari batas luar biasa kedua:

.

Mari kita terapkan fakta-fakta ini pada batas kemampuan kita. Pertama kita mengubah ekspresi aljabar
.

Untuk melakukan ini, kami menerapkan properti (4) dan (5).
.
Mari kita gunakan properti (7) dan limit luar biasa kedua (8): Dan terakhir, kami menerapkan properti (6): Logaritma ke basis e ditelepon
.
logaritma natural
.

. Ini ditetapkan sebagai berikut:

Kemudian ;

Jadi, kami memperoleh rumus (2) untuk turunan logaritma.
.
Turunan dari logaritma natural
(1) .

Karena kesederhanaannya ini, logaritma natural sangat banyak digunakan dalam analisis matematika dan cabang matematika lain yang berkaitan dengan kalkulus diferensial. Fungsi logaritma dengan basis lain dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan properti (6):
.

Turunan logaritma terhadap basis dapat dicari dari rumus (1), jika kita mengeluarkan konstanta dari tanda diferensiasi:
.

Cara lain untuk membuktikan turunan logaritma

Di sini kita berasumsi bahwa kita mengetahui rumus turunan eksponensial:
(9) .
Kemudian kita dapat menurunkan rumus turunan logaritma natural, mengingat logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial.

Mari kita buktikan rumus turunan logaritma natural, menerapkan rumus turunan fungsi invers:
.
Dalam kasus kami.
.
Fungsi kebalikan dari logaritma natural adalah eksponensial:
.
Turunannya ditentukan dengan rumus (9). Variabel dapat dilambangkan dengan huruf apa saja. Pada rumus (9), ganti variabel x dengan y:
.
Sejak itu
.
Kemudian

Rumusnya terbukti. Sekarang kita buktikan rumus turunan logaritma natural menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks
.
. Karena fungsinya dan saling berbanding terbalik, maka
(10) .
Mari kita bedakan persamaan ini terhadap variabel x:
.
Turunan dari x sama dengan satu:
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.
Di Sini . Mari kita substitusikan ke (10):
.

Dari sini

Contoh Temukan turunan dari dalam 2x, dalam 3x Dan.

lnnx Fungsi aslinya memiliki bentuk serupa. Oleh karena itu kita akan mencari turunan dari fungsi tersebut y = log nx . Kemudian kita substitusikan n = 2 dan n = 3. Dan dengan demikian, kita memperoleh rumus turunan dari dalam 2x dalam 2x, .

Dan
Fungsi aslinya memiliki bentuk serupa. Oleh karena itu kita akan mencari turunan dari fungsi tersebut .
Jadi, kita mencari turunan dari fungsi tersebut
1) Bayangkan fungsi ini sebagai fungsi kompleks yang terdiri dari dua fungsi:
2) Fungsi bergantung pada variabel: ;
Fungsi bergantung pada variabel: .
.

Maka fungsi aslinya terdiri dari fungsi dan :
.
Mari kita cari turunan fungsi terhadap variabel x:
.
Mari kita cari turunan fungsi terhadap variabel:
.
Kami menerapkan rumus turunan fungsi kompleks.

Di sini kami mengaturnya.
(11) .
Jadi kami menemukan:
.
Kita melihat bahwa turunannya tidak bergantung pada n.
.

; ; .

Hasil ini cukup wajar jika kita mengubah fungsi aslinya menggunakan rumus logaritma hasil kali:

- ini adalah sebuah konstanta. Turunannya adalah nol. Kemudian, menurut aturan diferensiasi jumlah, kita mendapatkan:
(12) .

Turunan dari logaritma modulus x
.
Mari kita cari turunan dari fungsi lain yang sangat penting - logaritma natural dari modulus x:
.

Mari kita pertimbangkan kasusnya.
,
Di mana .
Namun kami juga menemukan turunan dari fungsi ini pada contoh di atas. Itu tidak bergantung pada n dan sama dengan
.
Sejak itu
.

Kami menggabungkan kedua kasus ini menjadi satu rumus:
.

Oleh karena itu, agar logaritma berbasis a, kita mempunyai:
.

Turunan dari orde yang lebih tinggi dari logaritma natural

Pertimbangkan fungsinya
.
Kami menemukan turunan orde pertama:
(13) .

Mari kita cari turunan orde kedua:
.
Mari kita cari turunan orde ketiga:
.
Mari kita cari turunan orde keempat:
.

Anda dapat melihat bahwa turunan orde ke-n berbentuk:
(14) .
Mari kita buktikan dengan induksi matematika.

Bukti

Mari kita substitusikan nilai n = 1 ke dalam rumus (14):
.
Sejak , maka ketika n = 1 , rumus (14) valid.

Mari kita asumsikan rumus (14) terpenuhi untuk n = k. + 1 .

Mari kita buktikan bahwa ini berarti rumus tersebut valid untuk n = k
.
Memang, untuk n = k kita punya:

.
Diferensialkan terhadap variabel x:
.
Jadi kami mendapat: 1 Rumus ini sama dengan rumus (14) untuk n = k + 1 .