Mari kita perhatikan trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu Ox, kurva y=f(x) dan dua garis lurus: x=a dan x=b (Gbr. 85). Mari kita ambil nilai x yang berubah-ubah (bukan a dan bukan b). Mari kita tambahkan h = dx dan perhatikan sebuah jalur yang dibatasi oleh garis lurus AB dan CD, sumbu Ox dan busur BD milik kurva yang ditinjau. Kami akan menyebut strip ini sebagai strip dasar. Luas garis dasar berbeda dengan luas persegi panjang ACQB dengan segitiga lengkung BQD, dan luas segitiga lengkung lebih kecil dari luas persegi panjang BQDM dengan sisi BQ = =h= dx) QD=Ay dan luasnya sama dengan hAy = Ay dx. Ketika sisi h berkurang, sisi Du juga berkurang dan bersamaan dengan h cenderung nol. Oleh karena itu, luas BQDM adalah orde kedua yang sangat kecil. Luas garis dasar adalah pertambahan luas, dan luas persegi panjang ACQB sama dengan AB-AC ==/(x) dx> adalah selisih luasnya. Akibatnya, kita mencari luas itu sendiri dengan mengintegrasikan diferensialnya. Dalam gambar yang dipertimbangkan, variabel bebas l: berubah dari a ke b, sehingga luas yang dibutuhkan 5 akan sama dengan 5= \f(x) dx. (I) Contoh 1. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh parabola y - 1 -x*, garis lurus X =--Fj-, x = 1 dan sumbu O* (Gbr. 86). di Gambar. 87. Gambar. 86. 1 Di sini f(x) = 1 - l?, limit integrasinya adalah a = - dan £ = 1, maka J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Contoh 2. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh sinusoidal y = sinXy, sumbu Ox dan garis lurus (Gbr. 87). Dengan menggunakan rumus (I), kita peroleh A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Contoh 3. Hitung luas yang dibatasi oleh busur sinusoidal ^у = sin jc, tertutup antara dua titik potong yang berdekatan dengan sumbu Ox (misalnya antara titik asal dan titik dengan absis i). Perhatikan bahwa dari pertimbangan geometris jelas bahwa luasnya akan menjadi dua kali lipat lebih banyak wilayah contoh sebelumnya. Namun, mari kita lakukan perhitungan: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Ternyata asumsi kami benar. Contoh 4. Hitung luas yang dibatasi oleh sinusoidal dan sumbu Ox pada satu periode (Gbr. 88). Perhitungan awal menunjukkan bahwa luasnya akan empat kali lebih besar dari pada Contoh 2. Namun, setelah melakukan perhitungan, kita memperoleh “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Hasil ini memerlukan klarifikasi. Untuk memperjelas inti permasalahan, kita juga menghitung luas yang dibatasi oleh sinusoida yang sama y = sin l: dan sumbu Ox dalam rentang l sampai 2i. Menerapkan rumus (I), kita memperoleh 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Jadi, kita melihat bahwa area ini ternyata negatif. Membandingkannya dengan luas yang dihitung pada latihan 3, kita menemukan bahwa nilai absolutnya sama, tetapi tandanya berbeda. Jika kita menerapkan properti V (lihat Bab XI, § 4), kita mendapatkan 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Apa yang terjadi dalam contoh ini bukanlah suatu kebetulan. Luas yang terletak di bawah sumbu Ox selalu, asalkan variabel bebasnya berubah dari kiri ke kanan, diperoleh bila dihitung dengan menggunakan integral. Dalam kursus ini kami akan selalu mempertimbangkan area tanpa rambu. Oleh karena itu, jawaban pada contoh yang baru saja dibahas adalah: luas yang dibutuhkan adalah 2 + |-2| = 4. Contoh 5. Mari kita hitung luas BAB yang ditunjukkan pada Gambar. 89. Daerah ini dibatasi oleh sumbu Ox, parabola y = - xr dan garis lurus y - = -x+\. Luas trapesium lengkung Luas OAB yang dibutuhkan terdiri dari dua bagian yaitu OAM dan MAV. Karena titik A adalah titik potong parabola dan garis lurus, maka kita mencari koordinatnya dengan menyelesaikan sistem persamaan 3 2 Y = mx. (kita hanya perlu mencari absis titik A). Memecahkan sistem, kami menemukan l; = ~. Oleh karena itu luasnya harus dihitung sebagian, persegi dulu. OAM dan kemudian jamak. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x. Artinya, garis-garis seperti potongan jamur tidak diperhitungkan, yang batangnya pas dengan segmen ini, dan tutupnya jauh lebih lebar.

Segmen samping dapat berubah menjadi titik-titik . Jika Anda melihat gambar seperti itu pada gambar, ini tidak akan membingungkan Anda, karena titik ini selalu memiliki nilai pada sumbu “x”. Artinya semuanya beres dengan batas integrasi.

Sekarang Anda dapat beralih ke rumus dan perhitungan. Jadi daerahnya S trapesium lengkung dapat dihitung dengan menggunakan rumus

Jika F(X) ≤ 0 (grafik fungsi terletak di bawah sumbu Sapi), Itu luas trapesium melengkung dapat dihitung dengan menggunakan rumus

Ada juga kasus ketika bagian atas dan batas bawah angka masing-masing adalah fungsi kamu = F(X) Dan kamu = φ (X) , maka luas bangun tersebut dihitung dengan rumus

. (3)

Memecahkan masalah bersama-sama

Mari kita mulai dengan kasus di mana luas suatu bangun dapat dihitung menggunakan rumus (1).

Contoh 1.Sapi) dan lurus X = 1 , X = 3 .

Larutan. Karena kamu = 1/X> 0 pada ruas , maka luas trapesium lengkung dicari dengan menggunakan rumus (1):

.

Contoh 2. Temukan luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi, garis X= 1 dan sumbu x ( Sapi ).

Larutan. Hasil penerapan rumus (1):

Jika kemudian S= 1/2 ; jika kemudian S= 1/3, dst.

Contoh 3. Tentukan luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi, sumbu absis ( Sapi) dan lurus X = 4 .

Larutan. Gambar yang sesuai dengan kondisi soal adalah trapesium lengkung yang ruas kirinya merosot menjadi sebuah titik. Batas integrasinya adalah 0 dan 4. Sejak , dengan menggunakan rumus (1) kita mencari luas trapesium lengkung:

.

Contoh 4. Temukan luas gambar tersebut, dibatasi oleh garis, , dan terletak di kuarter pertama.

Larutan. Untuk menggunakan rumus (1), bayangkan luas bangun yang diberikan oleh kondisi contoh sebagai jumlah luas segitiga OAB dan trapesium melengkung ABC. Saat menghitung luas segitiga OAB batas integrasi adalah absis titik-titik tersebut HAI Dan A, dan untuk gambar tersebut ABC- absis poin A Dan C (A adalah titik potong garis tersebut O.A. dan parabola, dan C- titik potong parabola dengan sumbunya Sapi). Menyelesaikan secara bersama-sama (sebagai suatu sistem) persamaan garis lurus dan parabola, kita memperoleh (absis titik A) dan (absis titik potong garis dan parabola lainnya, yang tidak diperlukan untuk penyelesaiannya). Demikian pula kita memperoleh , (absis titik C Dan D). Sekarang kita memiliki semua yang kita butuhkan untuk mencari luas suatu bangun. Kami menemukan:

Contoh 5. Temukan luas trapesium yang melengkung ACDB, jika persamaan kurva CD dan absis A Dan B 1 dan 2 masing-masing.

Larutan. Mari kita nyatakan persamaan kurva ini melalui permainan: Luas trapesium lengkung dicari dengan menggunakan rumus (1):

.

Mari kita beralih ke kasus di mana luas suatu bangun dapat dihitung menggunakan rumus (2).

Contoh 6. Tentukan luas bangun yang dibatasi parabola dan sumbu x ( Sapi ).

Larutan. Angka ini terletak di bawah sumbu x. Oleh karena itu, untuk menghitung luasnya kita menggunakan rumus (2). Batas integrasinya adalah absis dan titik potong parabola dengan sumbunya Sapi. Karena itu,

Contoh 7. Tentukan luas daerah yang terletak di antara sumbu absis ( Sapi) dan dua gelombang sinus yang berdekatan.

Larutan. Luas gambar ini dapat dicari dengan menggunakan rumus (2):

.

Mari kita temukan setiap istilah secara terpisah:

.

.

Akhirnya kami menemukan luasnya:

.

Contoh 8. Temukan luas gambar yang terletak di antara parabola dan kurva.

Larutan. Mari kita nyatakan persamaan garis melalui permainan:

Luas menurut rumus (2) diperoleh sebagai

,

Di mana A Dan B- absis poin A Dan B. Mari kita cari dengan menyelesaikan persamaannya bersama-sama:

Akhirnya kami menemukan luasnya:

Dan terakhir, kasus luas suatu bangun dapat dihitung dengan menggunakan rumus (3).

Contoh 9. Temukan luas gambar yang diapit di antara parabola Dan .

Pada bagian sebelumnya tentang parsing makna geometris integral tertentu, kami menerima sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:

S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-negatif y = f (x) pada interval [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada interval [ a ; B ] .

Rumus ini dapat diterapkan untuk memecahkan masalah yang relatif sederhana. Pada kenyataannya, kita sering kali harus bekerja dengan figur yang lebih kompleks. Dalam hal ini, bagian ini akan kami persembahkan untuk analisis algoritma untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, yaitu. seperti y = f(x) atau x = g(y).

Dalil

Misalkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) terdefinisi dan kontinu pada interval [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk nilai apa pun x dari [ a ; B ] . Maka rumus menghitung luas bangun G yang dibatasi oleh garis x = a, x = b, y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) akan menjadi S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Rumus serupa juga berlaku untuk luas bangun yang dibatasi oleh garis y = c, y = d, x = g 1 (y) dan x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (kamu) - g 1 (kamu) d kamu .

Bukti

Mari kita lihat tiga kasus yang rumusnya valid.

Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat penjumlahan luas, jumlah luas gambar asli G dan trapesium lengkung G1 sama dengan luas gambar G2. Artinya

Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Kita dapat melakukan transisi terakhir dengan menggunakan sifat ketiga dari integral tertentu.

Dalam kasus kedua, persamaannya benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:

Jika kedua fungsi tersebut non-positif, diperoleh: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:

Mari kita beralih ke kasus umum ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) berpotongan dengan sumbu O x.

Titik potongnya kita nyatakan sebagai x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Titik-titik ini membagi segmen [a; b ] menjadi n bagian x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n, dimana α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Karena itu,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat kelima dari integral tertentu.

Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.

Rumus S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dianggap terbukti.

Sekarang mari kita lanjutkan ke analisa contoh penghitungan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y = f (x) dan x = g (y).

Kami akan memulai pertimbangan kami terhadap salah satu contoh dengan membuat grafik. Gambar tersebut akan memungkinkan kita untuk merepresentasikan figur-figur kompleks sebagai kesatuan dari lebih banyak hal angka sederhana. Jika membuat grafik dan gambar menyebabkan kesulitan bagi Anda, Anda dapat mempelajari bagian dasar fungsi dasar, transformasi geometri grafik fungsi, serta konstruksi grafik dalam mempelajari suatu fungsi.

Contoh 1

Perlu ditentukan luas bangun yang dibatasi oleh parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Larutan

Mari kita menggambar garis pada grafik di sistem kartesius koordinat

Di segmen [ 1 ; 4 ] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2. Sehubungan dengan itu, untuk memperoleh jawabannya kita menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Jawaban: S(G) = 13

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 2

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x + 2, y = x, x = 7.

Larutan

Dalam hal ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang terletak sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7. Hal ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.

Mari kita membuat grafik dan memplot garis-garis yang diberikan dalam rumusan masalah di atasnya.

Dengan adanya grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi adalah absis titik potong grafik garis lurus y = x dan setengah parabola y = x + 2. Untuk mencari absis kita menggunakan persamaan:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ternyata absis titik potongnya adalah x = 2.

Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa di contoh umum pada gambar, garis y = x + 2, y = x berpotongan di titik (2; 2), sehingga perhitungan mendetail seperti itu mungkin tampak tidak diperlukan. Kami telah memberikan solusi terperinci di sini hanya karena lebih banyak lagi kasus-kasus sulit solusinya mungkin tidak begitu jelas. Artinya, selalu lebih baik menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.

Pada interval [ 2 ; 7] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2. Mari kita terapkan rumus untuk menghitung luas:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Jawaban: S (G) = 59 6

Contoh 3

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi y = 1 x dan y = - x 2 + 4 x - 2.

Larutan

Mari kita gambarkan garis pada grafik.

Mari kita tentukan batasan integrasi. Caranya, kita menentukan koordinat titik potong garis dengan menyamakan persamaan 1 x dan - x 2 + 4 x - 2. Asalkan x bukan nol, maka persamaan 1 x = - x 2 + 4 x - 2 menjadi ekuivalen dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 dengan koefisien bilangan bulat. Untuk menyegarkan ingatan Anda tentang algoritme penyelesaian persamaan tersebut, kita dapat merujuk ke bagian “Menyelesaikan persamaan kubik”.

Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kita dapat mencari akar-akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Kami menemukan intervalnya x ∈ 1; 3 + 13 2, dimana gambar G terdapat di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kita menentukan luas gambar:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Jawaban: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Contoh 4

Perlu dilakukan perhitungan luas bangun yang dibatasi oleh kurva y = x 3, y = - log 2 x + 1 dan sumbu absis.

Larutan

Mari kita gambarkan semua garis pada grafik. Grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dapat kita peroleh dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya ke atas satu satuan. Persamaan sumbu x adalah y = 0.

Mari kita tandai titik potong garis tersebut.

Terlihat dari gambar, grafik fungsi y = x 3 dan y = 0 berpotongan di titik (0; 0). Hal ini terjadi karena x = 0 merupakan satu-satunya akar real dari persamaan x 3 = 0.

x = 2 merupakan akar tunggal persamaan - log 2 x + 1 = 0, jadi grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2; 0).

x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Sehubungan dengan itu, grafik fungsi y = x 3 dan y = - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1). Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 = - log 2 x + 1 tidak boleh memiliki lebih dari satu akar, karena fungsi y = x 3 meningkat tajam, dan fungsi y = - log 2 x + 1 adalah sangat menurun.

Solusi selanjutnya melibatkan beberapa pilihan.

Opsi #1

Kita dapat membayangkan gambar G sebagai jumlah dari dua trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu x, yang pertama terletak di bawah garis tengah pada ruas x ∈ 0; 1, dan garis kedua di bawah garis merah pada ruas x ∈ 1; 2. Artinya luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opsi No.2

Gambar G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x ∈ 0; 2, dan garis kedua antara garis merah dan biru pada ruas x ∈ 1; 2. Hal ini memungkinkan kita untuk mencari luas sebagai berikut:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 dx - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang membatasi gambar tersebut dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.

Mari kita selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Contoh 5

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Larutan

Kita akan menggambar garis pada grafik dengan garis merah, diberikan oleh fungsinya kamu = x. Kita akan menggambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.

Mari kita tandai titik persimpangannya.

Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Periksa: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 tidak Apakah penyelesaian persamaan x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (4; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4

Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (9 ; 3) titik a s y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian

Cari titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3

Metode No.1

Mari kita bayangkan luas bangun yang diinginkan sebagai jumlah luas masing-masing bangun.

Maka luas gambar tersebut adalah:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metode nomor 2

Luas bangun asli dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dari dua bangun lainnya.

Kemudian kita selesaikan persamaan garis relatif terhadap x, dan baru setelah itu kita terapkan rumus menghitung luas bangun tersebut.

y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Jadi luasnya adalah:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Seperti yang Anda lihat, nilainya sama.

Jawaban: S (G) = 11 3

Hasil

Untuk mencari luas suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tertentu, kita perlu membuat garis-garis pada suatu bidang, mencari titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luasnya. Di bagian ini, kami memeriksa varian tugas yang paling umum.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter