teorema Bezout, meskipun tampak sederhana dan jelas, adalah salah satu teorema dasar teori polinomial. Dalam teorema ini, karakteristik aljabar polinomial (memungkinkan Anda bekerja dengan polinomial sebagai bilangan bulat) dikaitkan dengan karakteristik fungsionalnya (yang memungkinkan Anda menganggap polinomial sebagai fungsi).

teorema Bezout menyatakan bahwa sisa pembagian polinomial dengan polinomial adalah .

Koefisien polinomial terletak pada ring komutatif tertentu dengan kesatuan (misalnya pada bidang bilangan real atau kompleks).

Teorema Bezout - bukti.

Bagilah polinomial tersebut dengan sisanya P(x) ke polinomial (xa):

Berdasarkan fakta itu derajat R(x)< deg (x-a) = 1 - polinomial yang derajatnya tidak lebih tinggi dari nol. Kami menggantinya, karena kami mendapatkannya .

Namun bukan teoremanya yang paling penting, melainkan akibat wajar dari teorema Bezout:

1. Bilangan adalah akar suatu polinomial P(x) saat itu dan hanya kapan P(x) habis dibagi binomial tanpa sisa xa.

Berdasarkan hal tersebut, himpunan akar polinomial P(x) identik dengan himpunan akar-akar persamaan yang bersesuaian xa.

2. Suku bebas suatu polinomial dibagi dengan akar bilangan bulat mana pun dari suatu polinomial yang memiliki koefisien bilangan bulat (jika koefisien utamanya sama dengan satu, semua akar rasional adalah bilangan bulat).

3. Misalkan itu adalah akar bilangan bulat dari polinomial tereduksi P(x) dengan koefisien bilangan bulat. Artinya, untuk bilangan bulat apa pun, bilangan tersebut habis dibagi .

Teorema Bezout memungkinkan, setelah menemukan satu akar polinomial, untuk mencari lebih jauh akar-akar polinomial yang derajatnya sudah lebih kecil 1: jika , maka polinomial ini P(x) akan terlihat seperti ini:

Contoh teorema Bezout:

Temukan sisanya saat membagi polinomial dengan binomial.

Contoh solusi teorema Bezout:

Berdasarkan teorema Bezout, sisa yang diperlukan sesuai dengan nilai polinomial di titik tersebut. Kemudian kita akan menemukan, untuk ini kita substitusikan nilainya ke dalam ekspresi polinomial, bukan . Kami mendapatkan:

Menjawab: Sisa = 5.

Skema Horner.

Skema Horner adalah algoritma untuk membagi (membagi dengan skema Horner) polinomial, ditulis untuk kasus khusus jika hasil bagi sama dengan binomial.

Mari kita buat algoritma ini:

Anggap saja itu adalah dividennya

Hasil bagi (derajatnya mungkin kurang satu), R- sisa (karena pembagian dilakukan dengan polinomial 1 derajat, maka derajat sisanya akan berkurang satu, yaitu. nol, maka sisanya konstan).

Menurut definisi pembagian dengan sisa P(x) = Q(x) (xa) + r. Setelah mensubstitusi ekspresi polinomial kita mendapatkan:

Kami membuka tanda kurung dan menyamakan koefisien dengan pangkat yang sama, setelah itu kami menyatakan koefisien hasil bagi melalui koefisien pembagi dan pembagi:

Lebih mudah untuk meringkas perhitungan dalam tabel berikut:

Ini menyoroti sel-sel yang isinya terlibat dalam perhitungan pada langkah berikutnya.

Contoh skema horner:

Misalkan kita perlu membagi polinomial dengan binomial x-2.

Kami membuat tabel dengan dua baris. Dalam 1 baris kita menuliskan koefisien polinomial kita. Pada baris kedua kita akan memperoleh koefisien hasil bagi tidak lengkap sesuai dengan skema berikut: pertama-tama kita tulis ulang koefisien utama polinomial ini, kemudian untuk mendapatkan koefisien berikutnya, kita kalikan koefisien terakhir yang ditemukan dengan sebuah = 2 dan tambahkan dengan koefisien polinomial yang sesuai F(x). Koefisien terbaru akan menjadi sisanya, dan semua koefisien sebelumnya akan menjadi koefisien hasil bagi tidak lengkap.

karya ilmiah

Penerapan teorema

Saya akan membahas beberapa contoh penerapan teorema Bezout untuk memecahkan masalah praktis.

Perlu dicatat bahwa ketika menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Bezout, perlu:

· temukan semua pembagi bilangan bulat dari suku bebas;

· dari pembagi ini temukan paling sedikit satu akar persamaan (a);

· bagi ruas kiri persamaan dengan (xa);

· tuliskan hasil kali pembagi dan hasil bagi di ruas kiri persamaan;

· Selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Temukan sisa polinomial x 3 -3x 2 +6x-5

dengan binomial x-2.

Menurut teorema Bezout:

R=f(2)=2 3 -3*2 2 +6*2-5=3.

Jawaban: R=3.

Pada nilai a berapakah polinomial x 4 +ax 3 +3x 2 -4x-4 habis dibagi binomial x-2 tanpa sisa?

Menurut teorema Bezout: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.

Namun sesuai kondisi R=0 yang berarti 8a+16=0 maka a=-2.

Jawaban: a=-2.

Pada nilai a dan b berapakah polinomial ax 3 +bx 2 -73x+102 habis dibagi trinomial x 2 -5x+6 tanpa sisa?

Mari kita faktorkan pembaginya: x 2 -5x+6=(x-2)(x-3).

Karena binomial x-2 dan x-3 koprima, polinomial ini habis dibagi x-2 dan x-3, artinya menurut teorema Bezout:

R 1 =f(2)=8a+4b-146+102=8a+4b-44=0

R 2 =f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0

Saya akan menyelesaikan sistem persamaan:

8a+4b-44=0 2a+b=11

27a+9b-117=0 3a+b=13

Dari sini kita mendapatkan: a=2, b=7.

Jawaban: a=2, b=7.

Berapa nilai a dan b polinomial x 4 +ax 3 -9x 2 +11x+b

habis dibagi tanpa sisa oleh trinomial x 2 -2x+1?

Bayangkan pembaginya seperti ini: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2

Polinomial ini habis dibagi x-1 tanpa sisa jika menurut teorema Bezout:

R 1 =f(1)=1+a-9+11+b=a+b+3=0.

Mari kita cari hasil bagi pembagian polinomial ini dengan x-1:

X 4 +kapak 3 -9x 2 +11x-a-3 x-1

x 4 -x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3)

(a+1)x 3 -(a + 1)x 2

(a-8)x 2 -(a-8)x

Hasil bagi x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3) dibagi dengan (x-1) tanpa sisa, sehingga

R 2 =f(1)=1+(a+1)*1+(a-8)*1+a+3=3a-3=0.

Saya akan menyelesaikan sistem persamaan:

a + b + 3 = 0 a + b =-3

3a - 3 = 0 a = 1

Dari sistem: a=1, b=-4

Jawaban: a=1, b=-4.

Faktorkan polinomial f(x)=x 4 +4x 2 -5.

Di antara pembagi suku bebas, angka 1 adalah akar dari polinomial tertentu f(x), yang berarti berdasarkan Akibat Wajar 2 teorema Bezout, f(x) habis dibagi (x-1) tanpa sisa:

f(x)/(x-1)=x 3 +x 2 +5x+5, artinya f(x)=(x-1)(x 3 +x 2 +5x+5).

Di antara pembagi suku bebas polinomial x 3 +x 2 +5x+5 x=-1 adalah akarnya, artinya berdasarkan Akibat Wajar 2 teorema Bezout x 3 +x 2 +5x+5 habis dibagi (x +1) tanpa saldo:

X 4 +4x 2 -5 x-1 _x 3 +x 2 +5x+5 x+1

x 4 -x 3 x 3 +x 2 +5x+5 x 3 +x 2 x 2 +5

X 3 +4x 2 _5x+5

(x 3 +x 2 +5x+5)/(x+1)=x 2 +5, artinya x 3 +x 2 +5x+5=(x+1)(x 2 +5).

Oleh karena itu f(x)=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

Akibat wajarnya 7 (x 2 +5) tidak dapat difaktorkan, karena tidak mempunyai akar real sehingga f(x) tidak dapat difaktorkan lebih lanjut.

Jawaban: x 4 +4x 2 -5=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

Faktorkan polinomial f(x)=x 4 +324.

f(x) tidak mempunyai akar, karena x 4 tidak boleh sama dengan -324, yang berarti akibat wajar 7 f(x) tidak dapat difaktorkan.

Jawaban: suatu polinomial tidak dapat difaktorkan.

Buatlah polinomial kubik dengan akar 4 dari kelipatan 2 dan akar -2.

Akibat wajar 3, jika suatu polinomial f(x) mempunyai akar 4 dari kelipatan 2 dan akar -2, maka polinomial tersebut habis dibagi tanpa sisa oleh (x-4) 2 (x+2), yang berarti:

f(x)/(x-4) 2 (x+2)=q(x), yaitu

f(x)=(x-4) 2 (x+2)q(x),

f(x)=(x 2 -8x+16)(x+2)q(x),

f(x)=(x 3 -8x 2 +16x+2x 2 -16x+32)q(x),

f(x)=(x 3 -6x 2 +32)q(x).

(x 3 -6x 2 +32) adalah polinomial kubik, tetapi dengan syarat f(x) juga merupakan polinomial kubik, oleh karena itu Q(x) adalah suatu bilangan real. Misalkan Q(x)=1, maka f(x)=x 3 -6x 2 +32.

Jawaban: x 3 -6x 2 +32.

Selesaikan persamaan x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.

301; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2)(x 3 +5x 2 -3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x 2 -3)=0

X 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x-2

x 4 -2x 3 x 3 +5x 2 -3x-15

Jawaban: x 1 =2, x 2 =-5, x 3,4 =.

Selesaikan persamaan x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=0.

Melihat persamaan tersebut, kita dapat langsung mengatakan bahwa berdasarkan Akibat wajar 4 persamaan tersebut tidak memiliki lebih dari 6 akar persamaan.

12 1; 2; 3; 4; 6; 12.

X 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12 x-1

x 6 -x 5 x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12

10x 3 +16x 2 _x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12 x+2

10x 3 -10x 2 x 5 +2x 4 x 4 -5x 2 +6

6x 2 +6x _ -5x 3 -10x 2

6x 2 -6x -5x 3 -10x 2

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12)=0

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x+2)(x 4 -5x 2 +6)=0

x 4 -5x 2 +6=0 - dua persamaan kuadrat, x 1,2 =, x 3,4 =.

Jawab: x 1,2 =, x 3,4 =, x 5 =1, x 6 =-2.

Selesaikan persamaan x 3 -5x 2 +8x-6=0.

x 3 -5x 2 +8x-6 x-3

x 3 -3x 2 x 2 -2x+2

x 3 -5x 2 +8x-6=(x 2 -2x+2)(x-3)=0

x 2 -2x+2=0 adalah persamaan kuadrat, tidak mempunyai akar, karena D<0.

Jawaban: x=3.

Selesaikan persamaan 6x 3 +11x 2 -3x-2=0.

6x 3 +11x 2 -3x-2 x+2

6x 3 +12x 2 6x 2 -x-1

6x 3 +11x 2 -3x-2=(6x 2 -x-1)(x+2)=0

6x 2 -x-1=0 - persamaan kuadrat, x 1 =S, x 2 =-?.

Jawaban: x 1 =S, x 2 =-?, x 3 =-2.

Biografi dan karya A.N

Teorema Kolmogorov: 1. Teorema ruang bernorma (1934); 2. Teorema penerapan hukum bilangan besar (1928); 3. Teorema penerapan hukum kuat bilangan besar (1930, 1933). 2.8...

Kelompok biprimer

Mari kita asumsikan bahwa teorema tersebut salah dan grup tersebut merupakan contoh tandingan dari orde minimal. Misalkan --- menjadi subgrup Sylow -siklik di, dan, di mana --- subgrup Sylow 2 di, --- komplemen invariannya di. Berdasarkan lemma, kondisi teorema terpenuhi untuk...

Mempelajari Teorema Bezout untuk Menyelesaikan Persamaan gelar ke-n untuk n>2

Ruang seluler

Akibat wajar 1. Misalkan X adalah ruang seluler dan A adalah subruang selulernya. Jika A dapat dikontraksi pada suatu titik, maka X/A ~ X. Bukti. Mari kita nyatakan dengan proyeksi X X/A. Karena A dapat dikontrak, maka terdapat homotopi ft: AA, seperti...

Faktorisasi maksimal kelompok simplektis

Teorema Untuk bilangan genap dan bidang apa pun, grupnya sederhana kecuali grupnya tidak sederhana. Bukti. 1) Perilaku luar biasa kelompok berasal dari. Oleh karena itu kami akan berasumsi bahwa dalam kasus umum dan...

Prestasi ilmiah Pythagoras

Soal No.1 Penyelesaian : D ABC adalah persegi panjang dengan sisi miring AB, menurut teorema Pythagoras : AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 82 + 62, AB2 = 64 + 36, AB2 = 100, AB = 10. Jawab : AB = 10 Soal No.2 Penyelesaian: D DCE - persegi panjang dengan sisi miring DE, menurut teorema Pythagoras: DE2 = DC2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...

Penerapan turunan dalam menyelesaikan beberapa masalah

Contoh 1. Buktikan teorema: jika persamaan (1) mempunyai akar positif, maka persamaan (2) juga mempunyai akar positif dan terlebih lagi akarnya lebih kecil...

Sistem setara dengan sistem dengan tipe titik istirahat yang diketahui

Kita mendapatkan di mana ada fungsi kontinu ganjil. Seiring dengan sistem diferensial(1) pertimbangkan sistem yang terganggu (2), dimana ada kontinu fungsi ganjil. Dikenal oleh...

Grafik spektrum

Sejumlah sifat dasar spektrum graf (atau, lebih umum, multidigraf) dapat ditetapkan berdasarkan teorema tertentu dalam teori matriks. Bagian ini hanya menyajikan teorema matriks yang paling penting...

teorema Sylow

Misalkan G suatu grup dan P grup lainnya. Misalkan setiap elemen aG diasosiasikan dengan beberapa elemen dari S, yaitu diberi pemetaan G dan S. Pemetaan μ disebut homomorfik atau homomorfisme dari G menjadi S...

Teori integral elips dan fungsi elips

Teorema 1. Turunan fungsi elips juga merupakan fungsi elips. Faktanya, dengan membedakan relasi (1), yang berlaku untuk sembarang z, kita memperoleh Jadi, turunan f(z) memiliki periode 2 dan 2 yang sama dengan fungsi aslinya...

Persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus aktif pengujian terpusat

Mari kita rumuskan teorema yang sesuai untuk menyelesaikan pertidaksamaan mengenai hasil kali atau hasil bagi selisih modulus: Teorema Tanda selisih modulus dua ekspresi berimpit dengan tanda selisih kuadrat ekspresi tersebut...

Representasi fungsional dari kisi distributif terbatas

Lemma1. Kesesuaian membentuk keluarga terbuka. Bukti. Perlu ditunjukkan bahwa untuk setiap elemen himpunan terbuka. Kalau begitu, biarlah bagi sebagian orang. Jika adalah suatu ideal prima sembarang dari, maka, dan oleh karena itu...

Fungsi silinder

Dengan menggunakan teorema Cauchy tentang integral fungsi variabel kompleks, kita dapat memperoleh integral Poisson satu lagi representasi integral, sangat penting untuk teori fungsi Bessel...

Masalah ekstrim pada kelas pengindeksan

Dalam hal ini, pernyataan teorema sudah jelas. Biarkan saja. Lemma 3. Untuk DF mana pun dan titik mana pun, terdapat DF sedemikian rupa sehingga v(t)(t) (v(t)(t)) di lingkungan sekitar titik tersebut. Bukti. Jika tidak ada i, 0in+2 sehingga n-1 genap dan Yi(0)...

Mari kita cari sisa pembagian polinomial tersebut P(X) ke binomial linier dalam bentuk ( X ‑ A), Di mana A– nomor tertentu. Karena polinomial pembagi mempunyai derajat pertama, maka sisanya harus mempunyai derajat nol, yaitu harus berupa bilangan tertentu R. Lalu jika Q(X) adalah hasil bagi polinomial, maka persamaannya berlaku: P(X) = Q(X)·( X ‑ A) + R. Menggantikan ke persamaan yang dihasilkan X nomor A, kita mendapatkan: P(A) = Q(A)·( A ‑ A) + R = Q(A)·0 + R = R. Jadi, ternyata sisa pembagian polinomial tersebut P(X) dengan binomial ( X ‑ A) dapat dicari tanpa melakukan pembagian dengan mensubstitusikannya ke dalam polinomial dividen A alih-alih X. Pernyataan terbukti yang telah berhasil digunakan untuk menyelesaikan banyak hal tugas non-standar, adalah inti dari teorema Bezout (Etienne Bezout, 1730 - 1783, matematikawan Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris).

Teorema Bezout: Sisa R dari membagi polinomial P(X) dengan binomial ( X ‑ A) sama dengan nilai polinomial ini pada titik tersebut A, yaitu. R = P(A).

Catatan 1: Polinomial ditelepon diberikan, jika koefisien terdepannya (yaitu koefisien suku derajat tertinggi) sama dengan 1. Misalnya, polinomial , tereduksi, tetapi , tidak.

Catatan 2: Saat membagi polinomial dengan koefisien bilangan bulat dengan polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat, semua koefisien hasil bagi polinomial dan sisa polinomial juga menjadi bilangan bulat (ini mudah dipahami dengan mengingat bagaimana polinomial dibagi dengan polinomial “sudut” ). Khususnya, ketika membagi polinomial dengan koefisien bilangan bulat dengan binomial ( X ‑ A), Di mana A– bilangan bulat, semua koefisien hasil bagi polinomial menjadi bilangan bulat.

Nomor A ditelepon akar polinomial P(X), Jika P(A) = 0 (dengan kata lain jika bilangan tersebut A– akar persamaan P(X) = 0). Misalnya, bilangan 1 dan -1 adalah akar-akar polinomial, bilangan -2 dan 5 adalah akar-akar polinomial, dan polinomial tersebut tidak mempunyai akar-akar, karena persamaan tidak mungkin dilakukan. Dari teorema Bezout dapat disimpulkan bahwa jika suatu bilangan A adalah akar polinomial P(X), lalu sisa pembagian polinomial tersebut P(X) dengan binomial ( X ‑ A) adalah sama P(A) = 0, yaitu polinomial P(X) dibagi dengan ( X ‑ A) tanpa sisa. Dengan kata lain, jika A– akar polinomial P(X), Itu P(X) akan disajikan dalam bentuk: P(X) = (X ‑ A)· Q(X). Pernyataan ini merupakan inti dari akibat wajar dari teorema Bezout.

Akibat wajar dari teorema Bezout: Nomor A adalah akar polinomial P(X) jika dan hanya jika P(X) dibagi dengan ( X ‑ A) tanpa sisa.

Tugas:

1. Temukan sisanya saat membagi polinomial dengan .

2. Temukan polinomial derajat ketiga yang jika dibagi X memberikan sisa 1, pada X- 2 – sisa 3, dan habis dibagi tanpa sisa.

3. Buktikan bahwa polinomial tersebut habis dibagi .

4. Pada nilai apa A Dan B polinomial habis dibagi tanpa sisa ke dalam polinomial berikut:

5. Saat membagi polinomial dengan X- 1 menyisakan sisa 2, dan bila dibagi X- 2 - 1. Berapa sisa pembagian polinomial ini dengan ?

6. Temukan sisanya saat membagi polinomial dengan .

7. Diketahui sisa pembagian suatu polinomial dengan sama dengan 2 X+ 1. Temukan sisanya saat membagi polinomial ini dengan:

A) X – 1;

b) 3 X + 2;

8. Tentukan polinomial derajat empat tereduksi jika diketahui habis dibagi , dan bila dibagi menyisakan sisa .

9. Berapakah sisa pembagian suatu polinomial? P(X) pada X– 1, dan polinomial Q(X) - pada X+ 1 jika dibagi dengan X 2 – 1 polinomial menyisakan -6?

10. Buktikan bilangan tersebut habis dibagi 7.

11. Buktikan sisa pembagian 11 dari bilangan 100.000 dan 1.000.000.000 adalah sama.

12. Temukan sisa pembagian bilangan tersebut dengan 26.

13. Salah satu akar persamaan sama dengan 3. Temukan nilai parameternya A dan selesaikan persamaannya.

Gal.: halaman 111, Nomor 9.10 (b).

Pekerjaan rumah:

14. Tanpa membagi, carilah sisa pembagian polinomial dengan X + 2.

Konferensi ilmiah dan praktis terbuka kota

anak sekolah dan pelajar

Topik: “PELAJARI TEOREMA BEZOUT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAANNGELAR, ATN>2"

Selesai:

Pembimbing Ilmiah:

Perkenalan

Etienne Bezout

teorema Bezout

Bukti Teorema 6

Akibat wajar dari teorema:

Akibat wajar 1

Akibat wajar 2

Akibat wajar 3

Akibat wajar 4

Akibat wajar 5

Akibat wajar 6

Akibat wajar 7

Penerapan teorema

Kesimpulan

Sumber

Perkenalan

Sulit untuk menyelesaikan persamaan derajat ketiga dan lebih tinggi. Memfaktorkan ruas kiri suatu persamaan ketika ruas kanannya sama dengan nol adalah metode paling umum untuk menyelesaikan berbagai macam persamaan. Tidak ada resep umum di sini. Banyak hal bergantung pada keterampilan, kecerdasan, observasi, dan pengalaman.

Namun persamaan seperti itu tidak selalu dapat difaktorkan. Salah satu metode yang membantu saya menyelesaikan persamaan derajat tinggi adalah teorema Bezout.

Tujuan pekerjaan saya: mempelajari teorema Bezout.

Untuk mencapai tujuan ini, direncanakan untuk melakukan tugas-tugas berikut:

· membaca biografi Etienne Bezout;

· menganalisis definisi dan pembuktian teorema;

· mengidentifikasi dan membuktikan akibat wajar dari teorema Bezout;

· menunjukkan contoh spesifik penerapan teorema.

Etienne Bezout

Etienne Bezout - Matematikawan Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris (sejak 1758).

Sejak tahun 1763, Bezu mengajar matematika di sekolah taruna, dan sejak tahun 1768 di Korps Artileri Kerajaan.

Karya utama Etienne Bezout berkaitan dengan aljabar yang lebih tinggi, dan dikhususkan untuk penciptaan teori solusi persamaan aljabar. Dalam teori sistem pemecahan persamaan linier ia berkontribusi pada munculnya teori determinan, mengembangkan teori menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui dari sistem persamaan derajat yang lebih tinggi, membuktikan teorema (pertama kali dirumuskan oleh K. Maclaurin) bahwa dua kurva berorde m dan n berpotongan di titik terbanyak mn.

Di Prancis dan luar negeri, hingga tahun 1848, enam jilid “Kursus Matematika”, yang ditulis Bezou selama lima tahun dari tahun 1764 hingga 1769, sangat populer. Dia juga mengembangkan metode pengali tak tentu: dalam aljabar dasar, metode penyelesaian sistem persamaan berdasarkan metode ini dinamai menurut namanya. Bagian dari karya Bezout dikhususkan untuk balistik eksternal.

Salah satu teorema dasar aljabar, yang akan dibahas di bawah, dinamai menurut nama ilmuwannya.

teorema Bezout

Saat membagi polinomial derajat ke-n terhadap x dengan binomial x-sisanya sama dengan nilai dividen pada x=a. (Huruf a dapat melambangkan real atau nomor imajiner, yaitu. setiap bilangan kompleks.)

Sebelum membuktikan teorema tersebut, saya akan membuat dua klarifikasi.

1. Kita mengetahui bahwa ada ekspresi aljabar yang kehilangan maknanya untuk makna individu tertentu dari huruf-huruf yang ada di dalamnya. Misalnya, 1/x kehilangan maknanya jika x=0; ekspresi 1/(x 2 -25) kehilangan maknanya pada x=5 dan pada x=-5.

Perhatikan bahwa polinomial dengan derajat bilangan bulat positif apa pun tidak pernah kehilangan maknanya. Untuk nilai apa pun dari suatu variabel, dibutuhkan nilai tertentu.

2. Hasil kali dua faktor, yang satu menjadi nol dan yang lain bernilai tertentu, selalu sama dengan nol. Jika salah satu faktor menjadi nol dan faktor lainnya kehilangan maknanya, maka hasil kali tersebut tidak dapat dikatakan sama dengan nol. Tidak ada yang pasti dapat dikatakan mengenai karya semacam itu. Dalam setiap kasus, diperlukan studi khusus.

Saya akan mempertimbangkan produknya (1-x) *

. Pada x=1, faktor pertama menjadi nol, dan faktor kedua menjadi tidak ada artinya. Tidak dapat dikatakan bahwa hasil kali ini sama dengan nol pada x=1. ] = Lim =1/2.

Jadi, untuk x=1 hasil kali itu sendiri (1-x) *

tidak masuk akal. Namun limitnya masuk akal, yaitu sama dengan ½, dan bukan nol, seperti asumsi yang salah.

Bukti teorema Bezout

Misalkan f(x) menyatakan sembarang polinomial ke-n derajat terhadap variabel x dan misalkan jika variabel tersebut dibagi dengan binomial (xa) hasilnya adalah q(x) pada hasil bagi dan R pada sisanya. 1)derajat dalam x, dan sisanya R akan menjadi nilai konstan, yaitu. independen dari x.

Jika sisa R adalah polinomial yang paling sedikit berderajat pertama terhadap x, berarti pembagiannya gagal. Jadi R tidak bergantung pada x.

Menurut definisi pembagian (pembagi sama dengan hasil kali pembagi dan hasil bagi ditambah sisanya), saya memperoleh identitas

f(x) =(xa)q(x)+R.

Persamaan ini berlaku untuk semua nilai x, yang berarti juga berlaku untuk x=a.

Menggantikan bilangan a ke ruas kiri dan kanan persamaan dengan variabel x, saya mendapatkan:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Di sini simbol f(a) tidak lagi melambangkan f(x), yaitu bukan polinomial untuk x, tetapi nilai polinomial ini di x=a. q(a) menunjukkan nilai q(x) pada x=a.

Sisa dari R tetap sama seperti sebelumnya, karena R tidak bergantung pada x.

Hasil kali (a-a)q(a) sama dengan nol, karena faktor (a-a) sama dengan nol, dan faktor q(a) adalah bilangan tertentu. (Polinomial q(x) tidak kehilangan maknanya untuk nilai x tertentu.)

Oleh karena itu, dari persamaan (1) kita peroleh:

Q.E.D.

Akibat wajar dari teorema

Akibat wajar 1.

Sisa pembagian polinomial f(x) dengan binomial (ax+b) sama dengan nilai

polinomial ini di x=-b/a, mis. R=f(-b/a).

Bukti:

Menurut aturan pembagian polinomial:

f(x)= (kapak+b)*q(x)+R.

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Jadi, R=f(-b/a),

Q.E.D.

Akibat wajar 2:

Jika bilangan a adalah akar suatu polinomial f(x), maka polinomial tersebut habis dibagi (xa) tanpa sisa.

Bukti:

Berdasarkan teorema Bezout, sisa pembagian polinomial f(x) dengan (xa) sama dengan f(a), dan dengan syarat a adalah akar dari f(x), yang berarti f(a) = 0, yang mana itulah yang perlu dibuktikan.

Dari akibat teorema Bezout ini jelas bahwa permasalahan penyelesaian persamaan f(x) = 0 ekuivalen dengan permasalahan identifikasi pembagi polinomial f yang mempunyai derajat pertama (pembagi linier).

Akibat wajar 3:

Jika polinomial f(x) mempunyai akar-akar berbeda berpasangan a 1 , a 2 ,… ,an , maka polinomial tersebut habis dibagi ke dalam hasil kali (x-a 1)…(x-an) tanpa sisa.

Bukti:

Mari kita lakukan pembuktian menggunakan induksi matematika pada jumlah akar. Untuk n=1, pernyataan tersebut dibuktikan pada Akibat wajar 2. Misalkan sudah dibuktikan untuk kasus banyaknya akar sama dengan k, artinya f(x) habis dibagi tanpa sisa oleh

(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), dimana a 1, a 2,…, ak adalah akar-akarnya.

Misalkan f(x) mempunyai (k+1) akar-akar berbeda berpasangan. Berdasarkan hipotesis induksi, a 1, a 2, a k,…, (ak +1) adalah akar-akar polinomial, artinya polinomial tersebut habis dibagi hasil kali (x-a 1)…(x-ak), yang berarti

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).

Dalam hal ini (ak +1) adalah akar dari polinomial f(x), yaitu

Artinya dengan mensubstitusi (ak +1) dengan x, kita memperoleh persamaan yang benar:

f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.

Tetapi (ak +1) berbeda dengan bilangan a 1,..., ak, maka dari itu tidak ada satupun bilangan (ak +1 -a 1),..., (ak +1 -ak) yang sama dengan 0 . Oleh karena itu, q( ak +1), yaitu. (ak +1) adalah akar polinomial q(x). Dan akibat wajar 2 ternyata q(x) habis dibagi (x-ak + 1) tanpa sisa.

q(x)=(x-a k +1)q 1 (x), dan oleh karena itu

f(x)=(x-a 1)...(x-a k)q(x)=(x-a 1)...(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).

Artinya f(x) habis dibagi (x-a 1)…(x-ak +1) tanpa sisa.

Jadi teorema tersebut terbukti benar untuk k=1, dan dari validitasnya untuk n=k maka berlaku juga untuk n=k+1. Jadi, teorema ini benar untuk sejumlah akar berapa pun, dan hal ini perlu dibuktikan.

Akibat wajar 4:

Suatu polinomial berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda.

Bukti:

Mari kita gunakan metode kontradiksi: jika suatu polinomial f(x) berderajat n memiliki lebih dari n akar - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k adalah akar-akarnya), maka menurut persamaan akibat wajar yang telah dibuktikan sebelumnya 3 maka akan dibagi menjadi hasil kali (x-a 1)...(x-a n+k), yang mempunyai derajat (n+k), yang tidak mungkin.

Kita telah sampai pada suatu kontradiksi, yang berarti asumsi kita salah, dan polinomial berderajat n tidak boleh memiliki lebih dari n akar, dan hal ini perlu kita buktikan.

Akibat wajar 5:

Untuk sembarang polinomial f(x) dan bilangan a, selisih (f(x)-f(a)) dibagi tanpa sisa dengan binomial (xa).

Bukti:

Misalkan f(x) adalah polinomial berderajat n, a adalah bilangan berapa pun.

Polinomial f(x) dapat direpresentasikan sebagai: f(x)=(x-a)q(x)+R, dengan q(x) adalah hasil bagi polinomial ketika f(x) dibagi dengan (x-a), R adalah sisanya dari pembagian f(x) sampai (xa).

Selain itu, menurut teorema Bezout:

f(x)=(xa)q(x)+f(a).

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

dan ini berarti dapat dibagi tanpa sisa (f(x)-f(a))

pada (xa), yang perlu dibuktikan.

Akibat wajar 6:

Suatu bilangan a merupakan akar suatu polinomial f(x) berderajat paling sedikit satu hanya jika f(x) habis dibagi (x-a) tanpa sisa.

Bukti:

Untuk membuktikan teorema ini, perlu mempertimbangkan perlunya dan kecukupan kondisi yang dirumuskan.

1. Kebutuhan.

Misalkan a adalah akar polinomial f(x), maka akibat wajar 2 f(x) habis dibagi (xa) tanpa sisa.

Jadi pembagian f(x) dengan (xa) adalah suatu kondisi yang diperlukan agar a menjadi akar dari f(x), karena adalah konsekuensi dari hal ini.

2. Kecukupan.

Misalkan polinomial f(x) habis dibagi (x-a) tanpa sisa,

maka R=0, dimana R adalah sisa pembagian f(x) dengan (x-a), tetapi berdasarkan teorema Bezout R=f(a), yang berarti f(a)=0, yang berarti a adalah akar f (X).

Etienne Bezout–

Matematikawan Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris (sejak 1758), lahir di Nemours pada tanggal 31 Maret 1730 dan meninggal pada tanggal 27 September 1783.

Sejak tahun 1763, Bezu mengajar matematika di sekolah taruna, dan sejak tahun 1768 di Korps Artileri Kerajaan.

Karya utama Etienne Bezout berkaitan dengan aljabar yang lebih tinggi; karya-karya tersebut dikhususkan untuk penciptaan teori untuk menyelesaikan persamaan aljabar. Dalam teori penyelesaian sistem persamaan linier, ia berkontribusi pada munculnya teori determinan, mengembangkan teori menghilangkan yang tidak diketahui dari sistem persamaan derajat yang lebih tinggi, dan membuktikan teorema (pertama kali dirumuskan oleh K. Maclaurin) bahwa dua kurva berorde m dan n berpotongan paling banyak mn titik. Di Prancis dan luar negeri, hingga tahun 1848, enam jilid “Kursus Matematika”, yang ditulisnya pada tahun 1764-69, sangat populer. Bezou mengembangkan metode pengali tak tentu; dalam aljabar dasar, metode penyelesaian sistem persamaan berdasarkan metode ini dinamai menurut namanya. Bagian dari karya Bezout dikhususkan untuk balistik eksternal. Salah satu teorema dasar aljabar dinamai menurut nama ilmuwannya.

teorema Bezout.

Sisa pembagian polinomial P N ( X )

dengan binomial ( X - A ) sama dengan nilainya

polinomial ini di X = A .

PN(X) – diberikan derajat polinomial N ,

binomium (X- A) - pembaginya,

QN-1 (X) – hasil bagi pembagian PN(X) pada X- A(polinomial derajat n-1) ,

R– sisa pembagian ( R tidak mengandung variabel X sebagai pembagi derajat pertama terhadap X).

Bukti:

Berdasarkan aturan pembagian polinomial dengan sisa, kita dapat menulis:

PN(x) = (xa)Qn-1(x)+R .

Oleh karena itu, di X = A :

PN(a) = (aa)Qn-1(a) + R =0*Qn-1(a)+R=

=0+ R= R .

Cara, R = PN(A) , yaitu sisa saat membagi polinomial dengan (X- A) sama dengan nilai ini

polinomial di X= A, itulah yang perlu dibuktikan.

Akibat wajar dari teorema .

DENGAN konsekuensi 1 :

Sisa pembagian polinomial P N ( X )

dengan binomial kapak + B sama dengan nilainya

polinomial ini di X = - B / A ,

T . e . R=P N (-b/a) .

Bukti:

Menurut aturan pembagian polinomial:

PN(x)= (kapak + b)* Qn-1(x)+R.

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Artinya R = Pn (-b/a) , itulah yang dibutuhkan untuk dibuktikan.

Akibat wajar 2 :

Jika nomornya A adalah akarnya

polinomial P ( X ) , Itu ini

polinomialnya habis dibagi ( X - A ) tanpa

sisa.

Bukti:

Menurut teorema Bezout, sisa polinomial adalah P (X) pada X- A sama P (A) , dan berdasarkan kondisi A adalah akarnya P (X) , yang berarti itu P (A) = 0 , itulah yang perlu dibuktikan .

Dari akibat teorema Bezout ini jelas bahwa masalah penyelesaian persamaan tersebut P (X) = 0 setara dengan masalah mengidentifikasi pembagi polinomial P memiliki derajat pertama (pembagi linier).

Akibat wajar 3 :

Jika polinomial P ( X ) memiliki

akar berpasangan yang berbeda

A 1 , A 2 , … , A N , lalu dibagi

bekerja ( X - A 1 ) … ( X - A N )

tanpa jejak .

Bukti:

Mari kita lakukan pembuktian menggunakan induksi matematika pada jumlah akar. Pada N=1 pernyataan tersebut dibuktikan pada Akibat wajar 2. Misalkan telah dibuktikan untuk kasus jumlah akar sama dengan k, ini berarti itu P(x) habis dibagi tanpa sisa oleh (X- A1 )(X- A2 ) … (X- Ak) , Di mana

A1 , A2 , … , Ak- akarnya.

Membiarkan P(X) memiliki k+1 akar berbeda berpasangan A1 , A2 , Ak , … , Ak+1 adalah akar-akar polinomial, artinya polinomial tersebut habis dibagi hasil kali (X- A1 ) … (X- Ak) , dari mana asalnya

P(x) = (xa1 ) … (xak)Q(x).

Pada saat yang sama Ak+1 – akar polinomial P(X) , yaitu . P(Ak+1 ) = 0 .

Jadi, ganti saja XAk+1 , kita mendapatkan persamaan yang benar:

P(sebuahk+1) = (sebuahk+1-A1 ) ... (Ak+1-Ak)Q(ak+1) =

Tetapi Ak+1 berbeda dengan angka A1 , … , Ak, dan karena itu tidak ada satu pun angkanya Ak+1 - A1 , … , Ak+1 - Ak tidak sama dengan 0. Oleh karena itu, nol adalah sama Q(Ak+1 ) , yaitu Ak+1 – akar polinomial Q(X) . Dan dari Akibat wajar 2 berikut ini Q(X) dibagi dengan X- Ak+ 1 tanpa sisa.

Q(X) = (X- Ak+1 ) Q1 (X) , dan oleh karena itu

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(X- A1 ) … (X- Ak)(X- Ak+1 ) Q1 (X) .

Artinya P(X) dibagi dengan (X- A1 ) … (X- Ak+1 ) tanpa jejak.

Jadi teorema tersebut terbukti benar k =1 , dan dari validitasnya di N = k maka itu juga benar kapan N = k+1 . Jadi, teorema ini benar untuk sejumlah akar berapa pun, apa danperlu dibuktikan .

Akibat wajar 4 :

Polinomial derajat N tidak punya lagi

N akar yang berbeda.

Bukti:

Mari kita gunakan metode kontradiksi: jika polinomial PN(X) derajat N akan memiliki lebih banyak N akar - N+ k (A1 , A2 , … , AN+ k- akarnya), maka menurut Akibat wajar 3 yang telah dibuktikan sebelumnya, itu

akan dibagi berdasarkan produknya (X- A1 ) … (X- AN+ k) memiliki gelar N+ k, itu tidak mungkin.

Kita menemui kontradiksi, yang berarti asumsi kita salah dan polinomial berderajat n tidak boleh lebih dari N akar, Q.E.D.

Akibat wajar 5 :

Untuk polinomial apa pun P ( X )

dan angka A perbedaan

( P ( X )- P ( A )) dibagi tanpa

sisanya dengan binomial ( X - A ) .

Bukti:

Membiarkan P(X) – diberikan derajat polinomial N , A- nomor berapa pun.

Polinomial PN(X) dapat direpresentasikan sebagai: PN(X)=(X- A) QN-1 (X)+ R ,

Di mana QN-1 (X) – polinomial, hasil bagi saat membagi PN(X) pada (X- A) ,

R– sisa pembagian PN(X) pada (X- A) .

Selain itu, menurut teorema Bezout:

R = PN(A), yaitu

PN(x)=(xa)Qn-1(x)+PN(A) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

dan ini berarti dapat dibagi tanpa sisa (PN(X) – PN(A))

pada (X- A) , itulah yang perlu dibuktikan .

Akibat wajar 6 :

Nomor A adalah akarnya

polinomial P ( X ) derajat

tidak lebih rendah dari yang pertama lalu dan

hanya kapan

P ( X ) dibagi dengan ( X - A )

tanpa jejak .

Bukti:

Untuk membuktikan teorema ini, perlu mempertimbangkan perlunya dan kecukupan kondisi yang dirumuskan.

1. Kebutuhan .

Membiarkan A– akar polinomial P(X) , lalu akibat wajar 2 P(X) dibagi dengan (X- A) tanpa jejak.

Jadi dapat dibagi P(X) pada (X- A) merupakan syarat yang diperlukan untuk A adalah akarnya P(X) , Karena adalah konsekuensi dari hal ini.

2. Kecukupan .

Biarkan polinomial P(X) habis dibagi tanpa sisa oleh (X- A) ,

Kemudian R = 0 , Di mana R– sisa pembagian P(X) pada (X- A) , tetapi menurut teorema Bezout R = P(A) , dari mana asalnya P(A) = 0 , yang berarti itu A adalah akarnya P(X) .

Jadi dapat dibagi P(X) pada (X- A) juga merupakan kondisi yang cukup untuk A adalah akarnya P(X) .

Dapat dibagi P(X) pada (X- A) adalah perlu dan cukup kondisi untuk A adalah akarnya P(X) , Q.E.D.

Polinomial yang tidak mempunyai real

akar padat, dalam pembusukan

ke faktor faktor linier

tidak mengandung.

Bukti:

Mari kita gunakan metode kontradiksi: misalkan polinomial tidak memiliki akar P(X) ketika difaktorkan, mengandung faktor linier (X – A) :

P(x) = (x – a)Q(x),

maka itu akan dibagi (X – A) , tetapi akibat wajar 6 A akan menjadi akarnya P(X) , tetapi dengan syarat tidak mengandung akar. Kita menemui kontradiksi yang berarti asumsi kita salah dan polinomial