Persamaan linier sistem. Sistem persamaan

Seperti yang jelas dari teorema Cramer, ketika menyelesaikan sistem persamaan linear, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linear mempunyai solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

Kasus kedua: sistem persamaan linear memiliki jumlah solusi yang tak terhingga

(sistemnya konsisten dan tidak pasti)

** ,

itu. koefisien yang tidak diketahui dan suku bebasnya sebanding.

Kasus ketiga: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya M persamaan linear dengan N disebut variabel non-bersama, jika dia tidak memiliki solusi tunggal, dan persendian, jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem persamaan simultan yang hanya mempunyai satu solusi disebut yakin, dan lebih dari satu – tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Biarkan sistem diberikan

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

Di mana
-

penentu sistem. Kita memperoleh determinan yang tersisa dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang bersesuaian (tidak diketahui) dengan suku bebas:

Contoh 2.

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk mencari solusinya, kita menghitung determinannya

Dengan menggunakan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi sistem.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online menggunakan metode penyelesaian Cramer.

Jika dalam suatu sistem persamaan linier tidak ada variabel dalam satu atau lebih persamaan, maka pada determinan unsur-unsur yang bersesuaian sama dengan nol! Ini adalah contoh berikutnya.

Contoh 3. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu sistemnya pasti. Untuk mencari solusinya, kita menghitung determinan dari variabel yang belum diketahui

Dengan menggunakan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi penyelesaian sistem tersebut adalah (2; -1; 1).

6. Sistem umum persamaan aljabar linier. metode Gauss.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – alat paling ampuh dan serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun, yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metodenya sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus tersebut. Jika metode Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan tentang operasi aritmatika, sehingga dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

Pertama, mari kita sistematiskan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dapat:

1) Miliki solusi unik.
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Tidak mempunyai solusi (menjadi non-bersama).

Metode Gauss adalah alat yang paling ampuh dan universal untuk menemukan solusi setiap sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. Dan metode penghapusan berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita pada jawabannya! Dalam pelajaran ini, kita akan kembali mempertimbangkan metode Gauss untuk kasus No. 1 (satu-satunya solusi untuk sistem), artikel ini dikhususkan untuk situasi poin No. 2-3. Saya perhatikan bahwa algoritme metode itu sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus.

Mari kita kembali ke sistem paling sederhana dari pelajaran ini Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear?
dan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian.

Langkah pertama adalah menulis matriks sistem yang diperluas:
. Saya rasa semua orang dapat melihat berdasarkan prinsip apa koefisien ditulis. Garis vertikal di dalam matriks tidak memiliki arti matematis apa pun - garis ini hanyalah coretan untuk kemudahan desain.

Referensi:Saya sarankan Anda mengingatnya ketentuan aljabar linier. Matriks Sistem adalah matriks yang hanya terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem yang Diperluas– ini adalah matriks yang sama dari sistem ditambah kolom suku bebas, dalam hal ini: . Agar singkatnya, matriks mana pun dapat dengan mudah disebut matriks.

Setelah matriks sistem yang diperluas ditulis, beberapa tindakan perlu dilakukan dengannya, yang juga disebut transformasi dasar.

Ada transformasi dasar berikut:

1) string matriks dapat diatur ulang di beberapa tempat. Misalnya, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, Anda dapat mengatur ulang baris pertama dan kedua tanpa kesulitan:

2) Jika ada (atau muncul) baris proporsional (dalam kasus khusus - identik) dalam matriks, maka Anda harus menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu. Misalnya saja matriks . Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah proporsional, sehingga cukup menyisakan satu saja: .

3) Jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus. Saya tidak akan menggambar, tentu saja, garis nol adalah garis di dalamnya semua nol.

4) Baris matriksnya dapat berupa kalikan (bagi) ke nomor mana pun bukan nol. Misalnya matriks. Di sini disarankan untuk membagi baris pertama dengan –3, dan mengalikan baris kedua dengan 2: . Tindakan ini sangat berguna karena menyederhanakan transformasi matriks lebih lanjut.

5) Transformasi ini paling banyak menimbulkan kesulitan, namun nyatanya tidak ada yang rumit juga. Ke deretan matriks Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol. Mari kita lihat matriks kita dari contoh praktis: . Pertama saya akan menjelaskan transformasi dengan sangat rinci. Kalikan baris pertama dengan –2: , Dan ke baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan –2: . Sekarang baris pertama dapat dibagi “kembali” dengan –2: . Seperti yang Anda lihat, garis yang DITAMBAHKAN LI – belum berubah. Selalu garis YANG DITAMBAHKAN berubah UT.

Dalam praktiknya tentu saja mereka tidak menulisnya secara detail, melainkan menulisnya secara singkat:

Sekali lagi: ke baris kedua menambahkan baris pertama dikalikan –2. Sebuah garis biasanya dikalikan secara lisan atau dalam rancangan, dengan proses perhitungan mental berlangsung seperti ini:

“Saya menulis ulang matriks dan menulis ulang baris pertama: »

“Kolom pertama. Di bagian bawah saya perlu mendapatkan nol. Oleh karena itu, saya mengalikan yang di atas dengan –2: , dan menambahkan yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya tulis hasilnya di baris kedua: »

“Sekarang kolom kedua. Di bagian atas, saya mengalikan -1 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Hasilnya saya tulis di baris kedua: »

“Dan kolom ketiga. Di atas saya kalikan -5 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: –7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya di baris kedua: »

Harap pahami contoh ini dengan cermat dan pahami algoritma perhitungan sekuensial, jika Anda memahaminya, maka metode Gaussian praktis ada di saku Anda. Namun tentunya kami akan tetap mengupayakan transformasi ini.

Transformasi dasar tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

! PERHATIAN: dianggap manipulasi tidak dapat digunakan, jika Anda ditawari tugas yang matriksnya diberikan "sendiri". Misalnya, dengan “klasik” operasi dengan matriks Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh mengatur ulang apa pun di dalam matriks!

Mari kita kembali ke sistem kita. Praktisnya hancur berkeping-keping.

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, kurangi menjadi pandangan melangkah:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Dan lagi: mengapa kita mengalikan baris pertama dengan –2? Agar mendapat angka nol di bagian bawah, artinya menghilangkan salah satu variabel di baris kedua.

(2) Bagilah baris kedua dengan 3.

Tujuan dari transformasi dasar – kurangi matriks menjadi bentuk bertahap: . Dalam perancangan tugas, mereka hanya menandai “tangga” dengan pensil sederhana, dan juga melingkari angka-angka yang terletak pada “anak tangga” tersebut. Istilah “pandangan bertahap” sendiri tidak sepenuhnya teoretis; dalam literatur ilmiah dan pendidikan sering disebut demikian pandangan trapesium atau pandangan segitiga.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, kami memperoleh setara sistem persamaan asli:

Sekarang sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang berlawanan - dari bawah ke atas, proses ini disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah memiliki hasil yang siap pakai: .

Mari kita perhatikan persamaan pertama sistem dan substitusikan nilai “y” yang sudah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling umum, ketika metode Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga persamaan yang tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss:

Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem:

Sekarang saya akan segera menggambar hasil yang akan kita peroleh selama penyelesaian:

Dan saya ulangi, tujuan kita adalah membawa matriks ke bentuk bertahap menggunakan transformasi dasar. Di mana memulainya?

Pertama, lihat nomor kiri atas:

Seharusnya hampir selalu ada di sini satuan. Secara umum, –1 (dan terkadang angka lainnya) bisa digunakan, namun secara tradisi, angka tersebut biasanya ditempatkan di sana. Bagaimana cara mengatur unit? Kami melihat kolom pertama - kami memiliki unit yang sudah jadi! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama tidak akan berubah hingga akhir solusi. Ini sudah lebih mudah.

Unit di pojok kiri atas terorganisir. Sekarang Anda perlu mendapatkan angka nol di tempat-tempat ini:

Kami mendapatkan angka nol menggunakan transformasi "sulit". Pertama kita berurusan dengan baris kedua (2, –1, 3, 13). Apa yang perlu dilakukan untuk mendapatkan angka nol pada posisi pertama? Perlu ke baris kedua tambahkan baris pertama dikalikan –2. Secara mental atau pada draft, kalikan baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melakukan (sekali lagi secara mental atau dalam rancangan), ke baris kedua kita tambahkan baris pertama yang sudah dikalikan –2:

Kami menulis hasilnya di baris kedua:

Kami menangani baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, –5, –1). Untuk mendapatkan angka nol di posisi pertama, Anda perlu ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan –3. Secara mental atau pada draft, kalikan baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan –3:

Kami menulis hasilnya di baris ketiga:

Dalam praktiknya, tindakan berikut biasanya dilakukan secara lisan dan tertulis dalam satu langkah:

Tidak perlu menghitung semuanya sekaligus dan bersamaan. Urutan perhitungan dan “menulis” hasilnya konsisten dan biasanya begini: pertama kita tulis ulang baris pertama, dan kita kembangkan sedikit demi sedikit - KONSISTEN dan DENGAN PERHATIAN:

Dan proses mental dari perhitungan itu sendiri sudah saya bahas di atas.

Dalam contoh ini, hal ini mudah dilakukan; kita membagi baris kedua dengan –5 (karena semua bilangan di sana habis dibagi 5 tanpa sisa). Pada saat yang sama, kita membagi baris ketiga dengan –2, karena semakin kecil angkanya, semakin sederhana penyelesaiannya:

Pada tahap akhir transformasi dasar, Anda perlu mendapatkan nol lagi di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambahkan baris kedua dikalikan –2:

Cobalah untuk mencari tahu sendiri tindakan ini - kalikan secara mental baris kedua dengan –2 dan lakukan penjumlahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan adalah gaya rambut hasilnya, bagi baris ketiga dengan 3.

Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem persamaan linear yang setara diperoleh:

Dingin.

Sekarang kebalikan dari metode Gaussian mulai berlaku. Persamaannya “melepas” dari bawah ke atas.

Pada persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil yang siap:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Arti kata "zet" sudah diketahui, sebagai berikut:

Dan terakhir, persamaan pertama: . “Igrek” dan “zet” sudah diketahui, hanya masalah kecil saja:

Menjawab:

Seperti yang telah berulang kali dicatat, untuk sistem persamaan apa pun, dimungkinkan dan perlu untuk memeriksa solusi yang ditemukan, untungnya, ini mudah dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh solusi mandiri, contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa Anda kemajuan keputusan tersebut mungkin tidak sesuai dengan proses pengambilan keputusan saya, dan ini adalah fitur dari metode Gauss. Tapi jawabannya harus sama!

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Saya melakukan ini:
(1) Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan gerakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

(2) Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

(3) Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.

(4) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 2.

(5) Baris ketiga dibagi 3.

Pertanda buruk yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang, salah ketik) adalah hasil yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti , di bawah, dan, karenanya, , maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan selama transformasi dasar.

Kami mengenakan biaya sebaliknya, ketika merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, tetapi persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, pukulan terbalik bekerja dari bawah ke atas. Ya, ini hadiahnya:

Menjawab: .

Contoh 4

Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri, ini agak lebih rumit. Tidak apa-apa jika ada yang bingung. Solusi lengkap dan contoh desain di akhir pelajaran. Solusi Anda mungkin berbeda dari solusi saya.

Pada bagian terakhir kita akan melihat beberapa fitur dari algoritma Gaussian.
Ciri pertama adalah terkadang beberapa variabel hilang dari persamaan sistem, misalnya:

Bagaimana cara menulis matriks sistem yang diperluas dengan benar? Saya sudah membicarakan hal ini di kelas. aturan Cramer. Metode matriks. Dalam matriks yang diperluas dari sistem, kami menempatkan angka nol sebagai pengganti variabel yang hilang:

Omong-omong, ini adalah contoh yang cukup mudah, karena kolom pertama sudah memiliki satu nol, dan transformasi dasar yang harus dilakukan lebih sedikit.

Fitur kedua adalah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami menempatkan –1 atau +1 pada “langkah”. Mungkinkah ada nomor lain di sana? Dalam beberapa kasus, mereka bisa. Pertimbangkan sistemnya: .

Di sini, di "langkah" kiri atas kita memiliki dua. Namun kita memperhatikan fakta bahwa semua bilangan di kolom pertama habis dibagi 2 tanpa sisa - dan bilangan lainnya adalah dua dan enam. Dan dua di kiri atas cocok untuk kita! Pada langkah pertama, Anda perlu melakukan transformasi berikut: tambahkan baris pertama dikalikan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan –3. Dengan cara ini kita akan mendapatkan angka nol yang diperlukan di kolom pertama.

Atau contoh konvensional lainnya: . Di sini tiga pada “langkah” kedua juga cocok untuk kita, karena 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan nol) habis dibagi 3 tanpa sisa. Transformasi berikut perlu dilakukan: tambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan –4, sehingga diperoleh nol yang kita butuhkan.

Metode Gauss bersifat universal, tetapi ada satu kekhasan. Anda dapat dengan percaya diri belajar menyelesaikan sistem menggunakan metode lain (metode Cramer, metode matriks) untuk pertama kalinya - metode tersebut memiliki algoritma yang sangat ketat. Namun untuk merasa yakin dengan metode Gaussian, Anda harus menguasainya dan menyelesaikan setidaknya 5-10 sistem. Oleh karena itu, pada awalnya mungkin ada kebingungan dan kesalahan dalam perhitungan, dan tidak ada yang aneh atau tragis dalam hal ini.

Cuaca musim gugur yang hujan di luar jendela.... Oleh karena itu, bagi semua orang yang menginginkan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri:

Contoh 5

Selesaikan sistem empat persamaan linier dengan empat variabel yang tidak diketahui menggunakan metode Gauss.

Tugas seperti itu tidak jarang terjadi dalam praktiknya. Saya pikir bahkan seorang teko yang telah mempelajari halaman ini secara menyeluruh akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem seperti itu secara intuitif. Pada dasarnya, semuanya sama - hanya ada lebih banyak tindakan.

Kasus-kasus ketika sistem tidak mempunyai solusi (tidak konsisten) atau mempunyai banyak solusi yang tak terhingga dibahas dalam pelajaran Sistem dan sistem yang tidak kompatibel dengan solusi umum. Di sana Anda dapat memperbaiki algoritma metode Gaussian yang dipertimbangkan.

Saya berharap Anda sukses!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan: Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap.

Transformasi dasar yang dilakukan:
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1. Perhatian! Di sini Anda mungkin tergoda untuk mengurangi baris pertama dari baris ketiga; saya sangat menyarankan untuk tidak menguranginya - risiko kesalahan sangat meningkat. Lipat saja!
(2) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. Harap dicatat, bahwa pada “langkah” kita puas tidak hanya dengan satu, tetapi juga dengan –1, yang bahkan lebih nyaman.
(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 5.
(4) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris ketiga dibagi 14.

Balik:

Menjawab: .

Contoh 4: Larutan: Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan:
(1) Baris kedua ditambahkan ke baris pertama. Dengan demikian, unit yang diinginkan disusun di “langkah” kiri atas.
(2) Baris pertama dikalikan 7 ditambahkan pada baris kedua. Baris pertama dikalikan 6 ditambahkan pada baris ketiga.

Dengan “langkah” kedua, segalanya menjadi lebih buruk, “kandidatnya” adalah nomor 17 dan 23, dan kita membutuhkan salah satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) ditujukan untuk memperoleh satuan yang diinginkan

(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1.
(4) Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –3.
Item yang dibutuhkan pada langkah kedua telah diterima. .
(5) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 6.

Sebagai bagian dari pelajaran metode Gaussian Dan Sistem/sistem yang tidak kompatibel dengan solusi umum kami mempertimbangkan sistem persamaan linear yang tidak homogen, Di mana anggota bebas(yang biasanya di sebelah kanan) setidaknya satu dari persamaan berbeda dari nol.
Dan sekarang, setelah pemanasan yang baik peringkat matriks, kami akan terus memoles tekniknya transformasi dasar pada sistem persamaan linear yang homogen.
Berdasarkan paragraf pertama, materi mungkin terkesan membosankan dan biasa-biasa saja, namun kesan ini menipu. Selain pengembangan teknik lebih lanjut, akan banyak informasi baru, jadi mohon jangan mengabaikan contoh di artikel ini.

Metode matriks solusi SLU diterapkan untuk menyelesaikan sistem persamaan di mana jumlah persamaan sesuai dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui. Metode ini paling baik digunakan untuk menyelesaikan sistem tingkat rendah. Metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear didasarkan pada penerapan sifat-sifat perkalian matriks.

Dengan kata lain, metode ini metode matriks terbalik, Disebut demikian karena solusinya direduksi menjadi persamaan matriks biasa, yang untuk menyelesaikannya Anda perlu mencari matriks inversnya.

Metode solusi matriks SLAE dengan determinan lebih besar atau kurang dari nol adalah sebagai berikut:

Misalkan ada SLE (sistem persamaan linear) dengan N tidak diketahui (pada bidang arbitrer):

Artinya dapat dengan mudah diubah ke dalam bentuk matriks:

KAPAK=B, Di mana A— matriks utama sistem, B Dan X— kolom istilah bebas dan solusi sistem, masing-masing:

Kalikan persamaan matriks ini dari kiri dengan SEBUAH−1— invers matriks ke matriks A: A −1 (AX)=A −1 B.

Karena SEBUAH −1 SEBUAH=E, Cara, X=SEBUAH −1B. Sisi kanan persamaan memberikan kolom solusi dari sistem awal. Syarat dapat diterapkannya metode matriks adalah matriks tidak mengalami degenerasi A. Syarat perlu dan cukup untuk ini adalah determinan matriks tidak sama dengan nol A:

detA≠0.

Untuk sistem persamaan linear yang homogen, yaitu jika vektor B=0, aturan sebaliknya berlaku: sistem KAPAK=0 ada solusi non-trivial (yaitu tidak sama dengan nol) hanya jika detA=0. Hubungan antara penyelesaian sistem persamaan linear homogen dan tidak homogen disebut Alternatif Fredholm.

Dengan demikian, penyelesaian SLAE dengan metode matriks dilakukan sesuai rumus . Atau, solusi untuk SLAE ditemukan dengan menggunakan matriks terbalik SEBUAH−1.

Diketahui bahwa untuk matriks persegi A memesan N pada N ada matriks terbalik SEBUAH−1 hanya jika determinannya bukan nol. Jadi, sistem N persamaan aljabar linier dengan N Kami memecahkan masalah yang tidak diketahui menggunakan metode matriks hanya jika determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol.

Terlepas dari kenyataan bahwa terdapat keterbatasan dalam penerapan metode ini dan kesulitan dalam menghitung nilai koefisien yang besar dan sistem orde tinggi, metode ini dapat dengan mudah diimplementasikan di komputer.

Contoh penyelesaian SLAE yang tidak homogen.

Pertama, mari kita periksa apakah determinan matriks koefisien SLAE yang tidak diketahui tidak sama dengan nol.

Sekarang kita temukan matriks kesatuan, transpos dan substitusikan ke dalam rumus untuk menentukan matriks invers.

Substitusikan variabel-variabel tersebut ke dalam rumus:

Sekarang kita mencari yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks invers dan kolom suku bebas.

Jadi, x=2; kamu=1; z=4.

Saat berpindah dari bentuk SLAE biasa ke bentuk matriks, berhati-hatilah dengan urutan variabel yang tidak diketahui dalam persamaan sistem. Misalnya:

TIDAK BISA ditulis sebagai:

Pertama-tama, perlu mengurutkan variabel-variabel yang tidak diketahui dalam setiap persamaan sistem dan baru setelah itu melanjutkan ke notasi matriks:

Selain itu, Anda harus berhati-hati dengan penetapan variabel yang tidak diketahui x 1, x 2 , …, xn mungkin ada surat lain. Misalnya:

dalam bentuk matriks kita menulisnya seperti ini:

Metode matriks lebih baik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol. Jika terdapat lebih dari 3 persamaan dalam suatu sistem, mencari matriks invers akan memerlukan upaya komputasi yang lebih besar, oleh karena itu, dalam hal ini, disarankan untuk menggunakan metode Gaussian untuk menyelesaikannya.

Sistem persamaan linear. Kuliah 6.

Sistem persamaan linear.

Konsep dasar.

Lihat sistem

ditelepon sistem - persamaan linear dengan yang tidak diketahui.

Bilangan , , disebut koefisien sistem.

Nomor-nomor itu dipanggil anggota bebas dari sistem, – variabel sistem. Matriks

ditelepon matriks utama sistem, dan matriks

– sistem matriks yang diperluas. Matriks - kolom

Dan - karenanya matriks suku bebas dan ketidakpastian sistem. Kemudian dalam bentuk matriks sistem persamaannya dapat dituliskan sebagai . Solusi sistem disebut nilai variabel, yang jika disubstitusi, semua persamaan sistem berubah menjadi persamaan numerik yang benar. Solusi apa pun terhadap sistem dapat direpresentasikan sebagai kolom matriks. Maka persamaan matriksnya benar.

Sistem persamaan disebut persendian jika memiliki setidaknya satu solusi dan non-bersama jika tidak ada solusi.

Memecahkan sistem persamaan linier berarti mencari tahu apakah sistem tersebut konsisten dan, jika demikian, menemukan solusi umumnya.

Sistem itu disebut homogen jika semua suku bebasnya sama dengan nol. Sistem homogen selalu konsisten karena mempunyai solusi

Teorema Kronecker – Copelli.

Jawaban atas pertanyaan tentang keberadaan solusi sistem linier dan keunikannya memungkinkan kita memperoleh hasil sebagai berikut, yang dapat dirumuskan dalam bentuk pernyataan berikut mengenai sistem persamaan linier yang tidak diketahui.

(1)

Teorema 2. Sistem persamaan linear (1) konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks diperluas (.

Teorema 3. Jika pangkat matriks utama suatu sistem persamaan linear simultan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik.

Teorema 4. Jika pangkat matriks utama suatu sistem gabungan lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.

Aturan untuk memecahkan sistem.

3. Temukan ekspresi variabel-variabel utama dalam bentuk variabel bebas dan dapatkan solusi umum sistemnya.

4. Dengan menetapkan nilai arbitrer pada variabel bebas, semua nilai variabel utama diperoleh.

Metode penyelesaian sistem persamaan linear.

Metode matriks terbalik.

dan , yaitu sistem memiliki solusi unik. Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks

Di mana , , .

Mari kalikan kedua ruas persamaan matriks di sebelah kiri dengan matriks

Karena , kita memperoleh , yang darinya kita memperoleh persamaan untuk mencari yang tidak diketahui

Contoh 27. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode matriks terbalik

Larutan. Mari kita nyatakan dengan matriks utama sistem

Mari kita cari solusinya menggunakan rumus.

Mari kita hitung.

Sejak , maka sistem mempunyai solusi unik. Mari kita temukan semua komplemen aljabar

, ,

Dengan demikian

Mari kita periksa

Matriks invers ditemukan dengan benar. Dari sini, dengan menggunakan rumus, kita mencari matriks variabel.

Membandingkan nilai-nilai matriks, kita memperoleh jawabannya: .

metode Cramer.

Biarkan sistem persamaan linear dengan yang tidak diketahui diberikan

dan , yaitu sistem memiliki solusi unik. Mari kita tuliskan solusi sistem dalam bentuk matriks atau

Mari kita tunjukkan

. . . . . . . . . . . . . . ,

Dengan demikian, kita memperoleh rumus untuk mencari nilai yang tidak diketahui, yang disebut Rumus yang lebih keren.

Contoh 28. Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metode Cramer .

Larutan. Mari kita cari determinan matriks utama sistem

Sejak , maka sistem mempunyai solusi unik.

Mari kita cari sisa determinan rumus Cramer

Dengan menggunakan rumus Cramer kita mencari nilai variabel

metode Gauss.

Metode ini terdiri dari eliminasi variabel secara berurutan.

Biarkan sistem persamaan linear dengan yang tidak diketahui diberikan.

Proses solusi Gaussian terdiri dari dua tahap:

Pada tahap pertama, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menggunakan transformasi dasar menjadi bentuk bertahap

dimana , yang sesuai dengan sistem

Setelah ini variabelnya dianggap bebas dan dipindahkan ke ruas kanan di setiap persamaan.

Pada tahap kedua, variabel dinyatakan dari persamaan terakhir, dan nilai yang dihasilkan disubstitusikan ke dalam persamaan. Dari persamaan ini

variabel tersebut dinyatakan. Proses ini berlanjut hingga persamaan pertama. Hasilnya adalah ekspresi variabel utama melalui variabel bebas .

Contoh 29. Selesaikan sistem berikut dengan menggunakan metode Gauss

Larutan. Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan bawa ke bentuk bertahap

Karena lebih besar dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut konsisten dan mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga. Mari kita tulis sistem untuk matriks langkah

Penentu matriks perluasan sistem ini, yang terdiri dari tiga kolom pertama, tidak sama dengan nol, jadi kami menganggapnya sebagai matriks dasar. Variabel

Mereka akan menjadi dasar dan variabelnya akan bebas. Mari kita pindahkan dalam semua persamaan ke ruas kiri

Dari persamaan terakhir kami nyatakan

Mengganti nilai ini ke persamaan kedua dari belakang, kita mendapatkan

Di mana . Mengganti nilai-nilai variabel dan ke dalam persamaan pertama, kita temukan . Mari kita tulis jawabannya dalam bentuk berikut

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier merupakan salah satu masalah utama aljabar linier. Masalah ini memiliki arti penting terapan dalam memecahkan masalah ilmiah dan teknis; selain itu, masalah ini juga membantu dalam penerapan banyak algoritma dalam matematika komputasi, fisika matematika, dan pemrosesan hasil penelitian eksperimental.

Sistem persamaan aljabar linier disebut sistem persamaan yang bentuknya: (1)

Di mana – tidak dikenal; - anggota gratis.

Memecahkan sistem persamaan(1) menyebut kumpulan bilangan apa pun yang, bila ditempatkan di sistem (1), menggantikan yang tidak diketahui mengubah semua persamaan sistem menjadi persamaan numerik yang benar.

Sistem persamaan disebut persendian, jika memiliki setidaknya satu solusi, dan non-bersama, jika tidak memiliki solusi.

Sistem persamaan simultan disebut yakin, jika memiliki satu solusi unik, dan tidak pasti, jika memiliki setidaknya dua solusi berbeda.

Kedua sistem persamaan tersebut disebut setara atau setara, jika mereka memiliki kumpulan solusi yang sama.

Sistem (1) disebut homogen, jika suku bebasnya nol:

Sistem yang homogen selalu konsisten - ia mempunyai solusi (mungkin bukan satu-satunya).

Jika pada sistem (1), maka kita mempunyai sistem tersebut N persamaan linear dengan N tidak diketahui: di mana – tidak dikenal; – koefisien untuk hal yang tidak diketahui, - anggota gratis.

Suatu sistem linier mungkin mempunyai solusi tunggal, banyak solusi tak terhingga, atau tidak ada solusi sama sekali.

Pertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui

Jika maka sistem mempunyai solusi unik;

jika kemudian sistem tidak memiliki solusi;

jika maka sistem tersebut mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga.

Contoh. Sistem mempunyai solusi unik untuk sepasang bilangan

Sistem mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga. Misalnya, solusi suatu sistem adalah pasangan bilangan, dll.

Sistem tidak mempunyai penyelesaian, karena selisih dua bilangan tidak dapat mengambil dua nilai yang berbeda.

Definisi. Penentu orde kedua disebut ekspresi bentuk:

Penentunya dilambangkan dengan simbol D.

Angka A 11, …, A 22 disebut unsur determinan.

Diagonal dibentuk oleh unsur-unsur A 11 ; A 22 dipanggil utama diagonal yang dibentuk oleh unsur-unsur A 12 ; A 21 − samping

Jadi, determinan orde kedua sama dengan selisih hasil kali elemen diagonal utama dan diagonal sekunder.

Perhatikan bahwa jawabannya adalah angka.

Contoh. Mari kita hitung determinannya:

Pertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui: di mana X 1, X 2 – tidak dikenal; A 11 , …, A 22 – koefisien untuk hal yang tidak diketahui, B 1 ,B 2 – anggota gratis.

Jika suatu sistem yang terdiri dari dua persamaan dengan dua persamaan yang tidak diketahui mempunyai penyelesaian unik, maka persamaan tersebut dapat dicari dengan menggunakan determinan orde kedua.

Definisi. Penentu yang terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui disebut penentu sistem: D= .

Kolom determinan D berisi koefisien masing-masing untuk X 1 dan pada , X 2. Mari kita perkenalkan dua kualifikasi tambahan, yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti salah satu kolom dengan kolom suku bebas: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Kramer, untuk kasus n=2). Jika determinan D sistem berbeda dari nol (D¹0), maka sistem tersebut mempunyai solusi unik, yang dicari dengan menggunakan rumus:

Rumus ini disebut rumus Cramer.

Contoh. Mari selesaikan sistem menggunakan aturan Cramer:

Larutan. Mari kita temukan angkanya

Menjawab.

Definisi. Penentu orde ketiga disebut ekspresi bentuk:

Elemen A 11; A 22 ; A 33 – membentuk diagonal utama.

Angka A 13; A 22 ; A 31 – membentuk sisi diagonal.

Entri dengan tanda tambah meliputi: hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dua suku sisanya adalah hasil kali elemen-elemen yang terletak pada titik-titik sudut segitiga yang alasnya sejajar dengan diagonal utama. Suku minus dibentuk menurut skema yang sama terhadap diagonal sekunder.

Contoh. Mari kita hitung determinannya:

Pertimbangkan sistem tiga persamaan linier dengan tiga hal yang tidak diketahui: di mana – tidak dikenal; – koefisien untuk hal yang tidak diketahui, - anggota gratis.

Dalam kasus penyelesaian unik, sistem 3 persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahui dapat diselesaikan dengan menggunakan determinan orde ke-3.

Penentu sistem D berbentuk:

Mari kita perkenalkan tiga determinan tambahan:

Teorema 15(Kramer, untuk kasus n=3). Jika determinan D sistem berbeda dari nol, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik, yang dicari dengan menggunakan rumus Cramer:

Contoh. Mari selesaikan sistem menggunakan aturan Cramer.

Larutan. Mari kita temukan angkanya

Mari kita gunakan rumus Cramer dan temukan solusi dari sistem aslinya:

Menjawab.

Perhatikan bahwa teorema Cramer berlaku jika jumlah persamaan sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui dan jika determinan sistem D bukan nol.

Jika determinan suatu sistem sama dengan nol, maka dalam hal ini sistem tersebut tidak mempunyai solusi atau mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga. Kasus-kasus ini dipelajari secara terpisah.

Mari kita perhatikan satu kasus saja. Jika determinan sistem sama dengan nol (D=0), dan paling sedikit salah satu determinan tambahannya berbeda dari nol, maka sistem tersebut tidak mempunyai solusi, yaitu tidak konsisten.

Teorema Cramer dapat digeneralisasikan ke sistem N persamaan linear dengan N tidak diketahui: di mana – tidak dikenal; – koefisien untuk hal yang tidak diketahui, - anggota gratis.

Jika determinan suatu sistem persamaan linear tidak diketahui, maka satu-satunya solusi sistem tersebut dicari dengan menggunakan rumus Cramer:

Penentu tambahan diperoleh dari determinan D jika memuat kolom koefisien untuk yang tidak diketahui x saya ganti dengan kolom member gratis.

Perhatikan bahwa determinan D, D 1 , … , D N mendapat pesanan N.

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Salah satu metode paling umum untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier adalah metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui −Metode Gauss. Metode ini merupakan generalisasi dari metode substitusi dan terdiri dari menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan hingga tersisa satu persamaan dengan satu persamaan yang tidak diketahui.

Metode tersebut didasarkan pada beberapa transformasi suatu sistem persamaan linier, yang menghasilkan sistem yang ekuivalen dengan sistem aslinya. Algoritma metode terdiri dari dua tahap.

Tahap pertama disebut lurus ke depan metode Gauss. Ini terdiri dari menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui dari persamaan secara berurutan. Untuk melakukannya, pada langkah pertama, bagi persamaan pertama sistem dengan (jika tidak, susun ulang persamaan sistem). Mereka menunjukkan koefisien dari persamaan tereduksi yang dihasilkan, mengalikannya dengan koefisien dan menguranginya dari persamaan kedua sistem, sehingga menghilangkannya dari persamaan kedua (memusatkan koefisien).

Lakukan hal yang sama dengan persamaan lainnya dan dapatkan sistem baru, yang semua persamaannya, mulai dari persamaan kedua, koefisien untuk , hanya berisi nol. Tentunya sistem baru yang dihasilkan akan ekuivalen dengan sistem aslinya.

Jika koefisien-koefisien baru, misalnya , tidak semuanya sama dengan nol, maka koefisien-koefisien tersebut dapat dikeluarkan dengan cara yang sama dari persamaan ketiga dan selanjutnya. Melanjutkan operasi ini untuk hal-hal yang tidak diketahui berikut ini, sistem dibawa ke bentuk segitiga:

Di sini simbol menunjukkan koefisien numerik dan suku bebas yang berubah akibat transformasi.

Dari persamaan terakhir sistem, sisa yang tidak diketahui ditentukan dengan cara unik, dan kemudian dengan substitusi berurutan.

Komentar. Kadang-kadang, sebagai hasil transformasi, dalam persamaan mana pun, semua koefisien dan ruas kanan menjadi nol, yaitu persamaan berubah menjadi identitas 0=0. Dengan menghilangkan persamaan seperti itu dari sistem, jumlah persamaan berkurang dibandingkan dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui. Sistem seperti ini tidak bisa mempunyai solusi tunggal.

Jika, dalam proses penerapan metode Gauss, persamaan apa pun berubah menjadi persamaan bentuk 0=1 (koefisien untuk yang tidak diketahui berubah menjadi 0, dan ruas kanan bernilai bukan nol), maka persamaan tersebut sistem asli tidak memiliki solusi, karena persamaan tersebut salah untuk nilai apa pun yang tidak diketahui.

Pertimbangkan sistem tiga persamaan linier dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Di mana – tidak dikenal; – koefisien untuk hal yang tidak diketahui, - anggota gratis. , menggantikan apa yang ditemukan

Larutan. Menerapkan metode Gaussian pada sistem ini, kita memperoleh

Jika persamaan terakhir gagal untuk nilai apa pun yang tidak diketahui, maka sistem tidak memiliki solusi.

Menjawab. Sistem tidak memiliki solusi.

Perhatikan bahwa metode Cramer yang telah dibahas sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, dan determinan sistemnya harus bukan nol. Metode Gauss lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan.

Sistem persamaan linear m dengan n yang tidak diketahui disebut sistem bentuk

Di mana sebuah ij Dan b saya (Saya=1,…,M; B=1,…,N) adalah beberapa nomor yang diketahui, dan x 1 ,…,xn- tidak dikenal. Dalam penunjukan koefisien sebuah ij indeks pertama Saya menunjukkan nomor persamaan, dan yang kedua J– bilangan yang tidak diketahui dimana koefisien ini berada.

Kita akan menuliskan koefisien-koefisien yang tidak diketahui dalam bentuk matriks , yang akan kami panggil matriks sistem.

Angka-angka di sisi kanan persamaan adalah b 1 ,…,bm dipanggil anggota gratis.

Keseluruhan N angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan suatu sistem tertentu, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah mensubstitusikan bilangan ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih hal-hal yang tidak diketahui terkait x 1 ,…,xn.

Tugas kita adalah menemukan solusi terhadap sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin timbul:

Sistem persamaan linear yang paling sedikit mempunyai satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, mis. jika sistem tidak memiliki solusi, maka disebut non-bersama.

Mari kita pertimbangkan cara untuk menemukan solusi terhadap sistem.

METODE MATRIKS UNTUK SISTEM PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR

Matriks memungkinkan untuk menuliskan secara singkat sistem persamaan linier. Misalkan diberikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Pertimbangkan matriks sistem dan kolom matriks yang sukunya tidak diketahui dan bebas

Ayo cari pekerjaannya

itu. sebagai hasil perkalian, kita memperoleh ruas kiri persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis dalam bentuk

atau lebih pendek A∙X=B.

Berikut adalah matriksnya A Dan B diketahui, dan matriksnya X tidak dikenal. Hal ini perlu untuk menemukannya, karena... elemen-elemennya adalah solusi untuk sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Misalkan determinan matriks tersebut berbeda dari nol | A| ≠ 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, kebalikan dari matriks A: . Karena SEBUAH -1 SEBUAH = E Dan E∙X = X, maka kita memperoleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = SEBUAH -1B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem yang memiliki matriks persegi jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, pencatatan matriks sistem juga dimungkinkan jika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, maka matriksnya A tidak akan berbentuk persegi dan oleh karena itu tidak mungkin menemukan solusi sistem dalam bentuk X = SEBUAH -1B.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan.

ATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linear dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Penentu orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien untuk hal yang tidak diketahui,

ditelepon penentu sistem.

Mari kita buat tiga determinan lagi sebagai berikut: ganti kolom 1, 2 dan 3 secara berurutan pada determinan D dengan kolom suku bebas

Maka kita dapat membuktikan hasil berikut.

Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem Δ ≠ 0, maka sistem yang ditinjau mempunyai satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti. Jadi, mari kita perhatikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui. Mari kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar SEBUAH 11 elemen sebuah 11, persamaan ke-2 – aktif Sebuah 21 dan ke-3 – aktif Sebuah 31:

Mari tambahkan persamaan ini:

Mari kita lihat masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema perluasan determinan pada elemen kolom 1

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk menyadarinya

Jadi, kita memperoleh persamaan: .

Karena itu, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, yang darinya pernyataan teorema berikut.

Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem Δ ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga atau tidak memiliki solusi, yaitu. tidak kompatibel.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan

METODE GAUSS

Metode yang telah dibahas sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, dan determinan sistemnya harus berbeda dari nol. Metode Gauss lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan secara konsisten hal-hal yang tidak diketahui dari persamaan sistem.

Pertimbangkan kembali sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Kami akan membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami akan mengecualikan suku-suku yang mengandungnya x 1. Untuk melakukannya, bagi persamaan kedua dengan A 21 dan kalikan dengan – A 11, lalu tambahkan ke persamaan pertama. Demikian pula, kita membagi persamaan ketiga dengan A 31 dan kalikan dengan – A 11, lalu tambahkan dengan yang pertama. Hasilnya, sistem aslinya akan berbentuk:

Sekarang dari persamaan terakhir kita menghilangkan istilah yang mengandung x 2. Caranya, bagi persamaan ketiga dengan, kalikan dengan, dan tambahkan dengan persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan: