Apakah ada pensil di dekatmu? Lihatlah penampangnya - ini adalah segi enam biasa atau, disebut juga, segi enam. Penampang kacang, bidang catur heksagonal, beberapa molekul karbon kompleks (misalnya grafit), kepingan salju, sarang lebah, dan benda lain juga memiliki bentuk ini. Sebuah segi enam raksasa beraturan baru-baru ini ditemukan pada tahun Bukankah aneh jika alam begitu sering menggunakan struktur dengan bentuk khusus ini untuk pembuatannya? Mari kita lihat lebih dekat.

Segi enam beraturan adalah poligon dengan enam sisi yang sama besar dan sudut yang sama besar. Dari kursus sekolah Kita tahu bahwa ia memiliki sifat-sifat berikut:

• Panjang sisi-sisinya sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi. Dari semuanya, hanya segi enam biasa yang memiliki sifat ini.
• Sudut-sudutnya sama besar, dan masing-masing besarnya 120°.
• Keliling segi enam dapat dicari dengan rumus Р=6*R jika jari-jari lingkaran yang mengelilinginya diketahui, atau Р=4*√(3)*r jika terdapat lingkaran di dalamnya. R dan r adalah jari-jari lingkaran berbatas dan bertulis.
• Luas yang ditempati segi enam beraturan ditentukan sebagai berikut: S=(3*√(3)*R 2)/2. Jika jari-jarinya tidak diketahui, substitusikan panjang salah satu sisinya - seperti diketahui, panjang tersebut sama dengan panjang jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Segi enam biasa memilikinya fitur menarik, karena sifatnya yang begitu luas, ia mampu mengisi permukaan bidang apa pun tanpa tumpang tindih atau celah. Bahkan ada yang disebut Pal lemma, yang menurutnya segi enam beraturan, yang sisinya sama dengan 1/√(3), merupakan penutup universal, yaitu dapat menutupi himpunan apa pun dengan diameter satu satuan. .

Sekarang mari kita lihat membuat segi enam beraturan. Ada beberapa cara, yang paling sederhana adalah menggunakan kompas, pensil, dan penggaris. Pertama, kita menggambar lingkaran sembarang dengan kompas, lalu kita membuat titik di sembarang tempat pada lingkaran tersebut. Tanpa mengubah sudut kompas, kita tempatkan ujungnya pada titik ini, tandai takik berikutnya pada lingkaran, dan lanjutkan hingga kita mendapatkan 6 titik. Sekarang yang tersisa hanyalah menghubungkannya dengan segmen lurus, dan Anda akan mendapatkan bentuk yang diinginkan.

Dalam praktiknya, ada kalanya Anda perlu menggambar segi enam besar. Misalnya, pada langit-langit eternit dua tingkat, di sekitar lokasi pemasangan lampu gantung pusat, Anda perlu memasang enam lampu kecil di tingkat bawah. Kompas sebesar ini akan sangat-sangat sulit ditemukan. Apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Bagaimana cara menggambar lingkaran besar? Sangat sederhana. Anda perlu mengambil benang kuat dengan panjang yang dibutuhkan dan mengikat salah satu ujungnya di seberang pensil. Sekarang yang tersisa hanyalah menemukan asisten yang akan menekannya hingga ke langit-langit titik yang tepat ujung kedua thread. Tentu saja, dalam kasus ini, kesalahan kecil mungkin saja terjadi, tetapi kemungkinan besar kesalahan tersebut tidak akan terlihat oleh orang luar sama sekali.

Yang paling banyak sosok terkenal, yang memiliki lebih dari empat sudut, adalah segi enam beraturan. Dalam geometri sering digunakan dalam soal. Dan dalam kehidupan nyata, seperti inilah bentuk sarang lebah ketika dipotong.

Apa bedanya dengan yang salah?

Pertama, segi enam adalah bangun datar yang memiliki 6 titik sudut. Kedua, bisa cembung atau cekung. Yang pertama berbeda karena empat simpul terletak pada satu sisi garis lurus yang ditarik melalui dua simpul lainnya.

Ketiga, segi enam beraturan dicirikan oleh fakta bahwa semua sisinya sama. Apalagi setiap sudut gambarnya juga memiliki arti yang sama. Untuk menentukan jumlah semua sudutnya, Anda perlu menggunakan rumus: 180º * (n - 2). Di sini n adalah jumlah simpul pada gambar, yaitu 6. Perhitungan sederhana menghasilkan nilai 720º. Artinya, setiap sudut sama dengan 120 derajat.

Dalam aktivitas sehari-hari, segi enam beraturan terdapat pada kepingan salju dan kacang. Ahli kimia melihatnya bahkan dalam molekul benzena.

Properti apa yang perlu Anda ketahui saat memecahkan masalah?

Terhadap apa yang dinyatakan di atas harus ditambahkan:

• diagonal-diagonal gambar yang ditarik melalui tengah membaginya menjadi enam segitiga yang sama sisi;
• sisi segi enam beraturan mempunyai nilai yang sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi disekitarnya;
• Dengan menggunakan gambar seperti itu, bidang dapat diisi, dan tidak akan ada celah atau tumpang tindih di antara keduanya.

Sebutan yang diperkenalkan

Secara tradisional, sisinya benar sosok geometris dilambangkan dengan huruf latin"A". Untuk menyelesaikan soal juga diperlukan luas dan keliling, masing-masing adalah S dan P. Sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam segi enam beraturan atau digambarkan di sekelilingnya. Kemudian nilai jari-jarinya dimasukkan. Mereka masing-masing ditandai dengan huruf r dan R.

Beberapa formula termasuk sudut dalam, semiperimeter dan apotema (yang tegak lurus dengan titik tengah sisi mana pun dari pusat poligon). Huruf yang digunakan adalah: α, р, m.

Rumus yang mendeskripsikan suatu bangun datar

Untuk menghitung jari-jari lingkaran bertulisan, Anda memerlukan hal-hal berikut: r = (a*√3)/2, dengan r = m. Artinya, rumus yang sama untuk apotema.

Karena keliling segi enam adalah jumlah semua sisinya, maka kelilingnya ditentukan sebagai berikut: P = 6 * a. Mengingat sisinya sama dengan jari-jari lingkaran yang tertulis, maka untuk keliling ada rumus segi enam beraturan berikut: P = 6 * R. Dari rumus yang diberikan untuk jari-jari lingkaran yang tertulis, maka hubungan antara a dan r diturunkan. Maka rumusnya berbentuk sebagai berikut: P = 4 r * √3.

Untuk luas segi enam beraturan, berikut ini mungkin berguna: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Tugas

No 1. Kondisi. Ada sebuah prisma segi enam beraturan yang masing-masing rusuknya berukuran 4 cm. Di dalamnya terdapat sebuah silinder yang volumenya harus dicari.

Larutan. Volume silinder didefinisikan sebagai hasil kali luas alas dan tinggi. Yang terakhir ini bertepatan dengan tepi prisma. Dan itu sama dengan sisi segi enam beraturan. Artinya tinggi silinder juga 4 cm.

Untuk mengetahui luas alasnya, Anda perlu menghitung jari-jari lingkaran pada segi enam. Rumusnya diberikan di atas. Artinya r = 2√3 (cm). Maka luas lingkaran: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (cm 2).

Menjawab. V = 150,72 cm3.

No 2. Kondisi. Hitung jari-jari lingkaran pada segi enam beraturan. Diketahui sisinya √3 cm. Berapakah kelilingnya?

Larutan. Soal ini memerlukan penggunaan dua rumus berikut. Selain itu, mereka harus diterapkan bahkan tanpa memodifikasinya, cukup substitusikan nilai sisinya dan hitung.

Jadi, jari-jari lingkaran yang tertulis adalah 1,5 cm. Untuk keliling, nilai berikut ini benar: 6√3 cm.

Menjawab. r = 1,5 cm, P = 6√3 cm.

Nomor 3. Kondisi. Jari-jari lingkaran yang dibatasi adalah 6 cm. Berapakah nilai sisi segi enam beraturan dalam kasus ini?

Larutan. Dari rumus jari-jari lingkaran pada segi enam, dengan mudah kita dapat memperoleh rumus yang perlu digunakan untuk menghitung sisinya. Jelas bahwa jari-jari dikalikan dua dan dibagi dengan akar tiga. Hal ini diperlukan untuk menghilangkan irasionalitas dalam penyebutnya. Oleh karena itu, hasil tindakannya berbentuk sebagai berikut: (12 √3) / (√3 * √3), yaitu 4√3.

Menjawab. a = 4√3 cm.

Segi enam adalah poligon yang memiliki 6 sisi dan 6 sudut. Tergantung pada apakah segi enam beraturan atau tidak, ada beberapa metode untuk mencari luasnya. Kami akan melihat semuanya.

Cara mencari luas segi enam beraturan

Rumus menghitung luas segi enam beraturan - poligon cembung dengan enam sisi yang sama panjang.

Diketahui panjang sisinya:

• Rumus luas: S = (3√3*a²)/2
• Jika panjang sisi a diketahui, kemudian dengan memasukkan rumus tersebut ke dalam rumus, kita dapat dengan mudah mencari luas bangun tersebut.
• Jika tidak, panjang sisi dapat dicari melalui keliling dan apotema.
• Jika kelilingnya diberikan, maka kita cukup membaginya dengan 6 dan mendapatkan panjang salah satu sisinya. Misal kelilingnya 24, maka panjang sisinya adalah 24/6 = 4.
• Apotema adalah garis tegak lurus yang ditarik dari pusat ke salah satu sisinya. Untuk mencari panjang salah satu sisinya, kita substitusikan panjang apotema ke dalam rumus a = 2*m/√3. Artinya, jika apotema m = 2√3, maka panjang sisi a = 2*2√3/√3 = 4.

Apotema diberikan:

• Rumus luas: S = 1/2*p*m, dengan p adalah keliling, m adalah apotema.
• Mari kita cari keliling segi enam menggunakan apotema. Pada paragraf sebelumnya, kita telah mempelajari cara mencari panjang salah satu sisi melalui apotema: a = 2*m/√3. Yang tersisa hanyalah mengalikan hasil ini dengan 6. Kita mendapatkan rumus keliling: p = 12*m/√3.

Diketahui jari-jari lingkaran yang dibatasi:

• Jari-jari lingkaran yang dibatasi pada segi enam beraturan sama dengan sisi segi enam tersebut.
  Rumus luas: S = (3√3*a²)/2

Diketahui jari-jari lingkaran yang tertulis:

• Rumus luas: S = 3√3*r², dengan r = √3*a/2 (a adalah salah satu sisi poligon).

Cara mencari luas segi enam tak beraturan

Rumus menghitung luas segi enam tidak beraturan - poligon yang sisi-sisinya tidak sama besar.

Metode trapesium:

• Bagilah segi enam menjadi trapesium bebas, hitung luas masing-masingnya dan jumlahkan.
• Rumus dasar luas trapesium: S = 1/2*(a + b)*h, dengan a dan b adalah alas trapesium, h adalah tingginya.
  S = h*m, dimana h adalah tinggi, m adalah garis tengah.

Koordinat titik segi enam diketahui:

• Pertama, mari kita tuliskan koordinat titik-titiknya, letakkan tidak secara semrawut, tetapi berurutan satu demi satu. Misalnya:
  J: (-3, -2)
  B: (-1, 4)
  C: (6, 1)
  D: (3, 10)
  E: (-4, 9)
  F: (-5, 6)
• Selanjutnya, dengan hati-hati, kalikan koordinat x setiap titik dengan koordinat y titik berikutnya:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Kami menjumlahkan hasilnya:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Selanjutnya, kalikan koordinat y setiap titik dengan koordinat x titik berikutnya.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Kami menjumlahkan hasilnya:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  Dari hasil pertama kita kurangi hasil kedua:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Bagilah angka yang dihasilkan dengan dua:
  134/2 = 67
  Jawaban: 67 satuan persegi.

• Selain itu, untuk mencari luas segi enam, Anda bisa membaginya menjadi segitiga, persegi, persegi panjang, jajar genjang, dan lain sebagainya. Temukan luas bangun-bangun penyusunnya dan jumlahkan.

Jadi, metode mencari luas segi enam untuk semua kesempatan telah dipelajari. Sekarang lanjutkan dan terapkan apa yang telah Anda pelajari! Semoga beruntung!

Dengan sebuah pertanyaan: “Bagaimana cara mencari luas segi enam?”, tidak hanya dapat anda jumpai pada ujian geometri dll, ilmu ini juga berguna dalam kehidupan sehari-hari, misalnya untuk menghitung luas suatu ruangan dengan benar dan akurat pada saat proses renovasi. Dengan memasukkan nilai yang diperlukan ke dalam rumus, Anda akan dapat menentukan jumlah gulungan wallpaper, ubin untuk kamar mandi atau dapur, dll.

Beberapa fakta dari sejarah

Geometri telah digunakan sejak saat itu Babel kuno dan negara bagian lain yang ada pada waktu yang sama dengannya. Perhitungan membantu dalam pembangunan struktur penting, karena berkat itu para arsitek mengetahui cara mempertahankan vertikal, menyusun denah dengan benar, dan menentukan ketinggian.

Estetika juga punya nilai yang besar, dan di sini geometri kembali berperan. Saat ini ilmu ini dibutuhkan oleh para pembangun, pemotong, arsitek, dan juga non-spesialis.

Oleh karena itu, sebaiknya bisa menghitung angka S, agar memahami bahwa rumus tersebut dapat berguna dalam praktik.

Luas 6-gon biasa

Jadi kita punya bangun segi enam yang sisi dan sudutnya sama besar. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering kali menjumpai benda-benda yang berbentuk heksagonal beraturan.

Misalnya:

• baut;
• sarang madu;
• kepingan salju.

Sosok heksagonal paling hemat mengisi ruang di pesawat. Perhatikan paving slabnya, yang satu pas dengan yang lain sehingga tidak ada celah yang tersisa.

Masing-masing sudutnya 120˚. Sisi bangun sama dengan jari-jari lingkaran luar.

Perhitungan

Nilai yang diperlukan dapat dihitung dengan membagi gambar menjadi enam segitiga dengan sisi yang sama.

Setelah menghitung S salah satu segitiga, tidak sulit menentukan segitiga umum. Rumusnya sederhana, karena segi enam beraturan pada dasarnya adalah enam segitiga sama kaki. Jadi, untuk menghitungnya, luas satu segitiga dikalikan 6.

Jika Anda menggambar garis tegak lurus dari pusat segi enam ke salah satu sisinya, Anda mendapatkan sebuah segmen - apotema.

Mari kita lihat cara mencari S segi enam jika apotemanya diketahui:

1. S =1/2×keliling×apotema.
2. Mari kita ambil apotema yang sama dengan 5√3 cm.

1. Mencari keliling menggunakan apotema: karena apotema tegak lurus sisi segi enam, maka sudut segitiga yang dibentuk menggunakan apotema adalah 30˚-60˚-90˚. Setiap sisi segitiga mempunyai persamaan: x-x√3-2x, dengan sisi pendek yang berhadapan dengan sudut 30˚ adalah x; sisi panjang yang berhadapan dengan sudut 60˚ adalah x√3, dan sisi miringnya adalah 2x.
2. Apotema x√3 dapat disubstitusikan ke dalam rumus a=x√3. Jika apotemanya sama dengan 5√3, dengan mengganti nilai ini, kita mendapatkan: 5√3cm=x√3, atau x=5cm.
3. Sisi pendek segitiga adalah 5 cm, karena nilainya adalah setengah panjang sisi segi enam. Mengalikan 5 dengan 2, kita mendapatkan 10cm, yang merupakan panjang sisinya.
4. Mari kita kalikan nilai yang dihasilkan dengan 6 dan dapatkan nilai keliling - 60 cm.

Hasil yang diperoleh kita substitusikan ke dalam rumus: S=1/2×keliling×apotema

S=½×60 cm×5√3

Kami menghitung:

Kami menyederhanakan jawaban yang diterima untuk menghilangkan akarnya. Hasilnya akan dinyatakan dalam sentimeter persegi: ½×60cm×5√3cm=30×5√3cm=150√3cm=259,8s m².

Cara mencari luas segi enam tak beraturan

Ada beberapa pilihan:

• Memecah 6-gon menjadi bentuk lain.
• Metode trapesium.
• Perhitungan S poligon tak beraturan menggunakan sumbu koordinat.

Pilihan metode ditentukan oleh data awal.

Metode trapesium

Segi enam dibagi menjadi trapesium individu, setelah itu luas setiap gambar yang dihasilkan dihitung.

Menggunakan Sumbu Koordinat

Kami menggunakan koordinat simpul poligon:

• Kami mencatat koordinat titik x dan y dalam tabel. Kami memilih simpul secara berurutan, "bergerak" berlawanan arah jarum jam, melengkapi daftar dengan mencatat ulang koordinat simpul pertama.
• Nilai koordinat x dari simpul ke-1 kita kalikan dengan nilai y dari simpul ke-2, dan terus mengalikannya dengan cara ini. Mari kita jumlahkan hasilnya.
• Nilai koordinat titik ke-1 kita kalikan dengan nilai koordinat x dari titik ke-2. Mari kita jumlahkan hasilnya.
• Kurangi jumlah yang diterima pada tahap ke-4 dari jumlah yang diterima pada tahap ketiga.
• Kami membagi hasil yang diperoleh pada tahap sebelumnya dan menemukan apa yang kami cari.

Memecah segi enam menjadi bentuk lain

Poligon dibagi menjadi bentuk lain: trapesium, segitiga, persegi panjang. Dengan menggunakan rumus untuk menghitung luas gambar yang terdaftar, nilai yang diperlukan dihitung dan ditambahkan.

Segi enam tidak beraturan dapat terdiri dari dua jajaran genjang. Untuk menghitung luas jajar genjang, panjangnya dikalikan dengan lebarnya, lalu dijumlahkan dua luas yang sudah diketahui.

Luas segi enam sama sisi

Segi enam biasa memiliki enam sisi yang sama. Luas bangun datar sama sisi sama dengan 6S segitiga yang membagi segi enam beraturan. Setiap segitiga dalam segi enam beraturan adalah sama besar, jadi untuk menghitung luas bangun tersebut cukup mengetahui luas minimal satu segitiga.

Untuk mencari nilai yang diinginkan, gunakan rumus luas sosok yang tepat dijelaskan di atas.