Persiapan Ujian Negara Bersatu. Persamaan eksponensial

Kunjungi saluran youtube situs web kami untuk terus mengikuti semua video pelajaran baru.

Pertama, mari kita ingat rumus dasar pangkat dan sifat-sifatnya.

Produk dari suatu angka A terjadi pada dirinya sendiri sebanyak n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a a … a=an n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. an am = an + m

4. (sebuah) m = sebuah nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / am = an - m

Persamaan pangkat atau eksponensial– ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

Dalam contoh ini, angka 6 adalah basis; selalu di bawah, dan variabel X derajat atau indikator.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2 x = 2 3

Contoh ini dapat dipecahkan bahkan di kepala Anda. Dapat dilihat bahwa x=3. Lagi pula, agar ruas kiri dan kanan sama, Anda harus memasukkan angka 3, bukan x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana memformalkan keputusan ini:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami menghilangkannya alasan yang identik(yaitu, dua) dan menuliskan sisanya, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita rangkum keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa identik apakah persamaan tersebut mempunyai basis di kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya menjadi sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana.

Basis sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, artinya kita bisa membuang basisnya dan menyamakan pangkatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana diperoleh.
x=4 – 2
x=2
Jawaban: x=2

Pada contoh berikut, Anda dapat melihat bahwa basisnya berbeda: 3 dan 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pertama, pindahkan sembilan ke sisi kanan, kita mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2. Mari kita gunakan rumus pangkat (an) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Kita peroleh 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sekarang jelas bahwa sisi kiri dan kanan alasnya sama dan sama dengan tiga, artinya kita bisa membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 kita mendapatkan persamaan paling sederhana
3x - 2x=16
x=16
Jawaban: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat basisnya, basis dua dan empat. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi sama. Kita transformasikan keempatnya menggunakan rumus (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Tapi angka 10 dan 24 lainnya mengganggu kita. Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita memiliki 2 2x yang diulang, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x = 2 2 basanya sama, kita buang dan samakan derajatnya.
2x = 2 adalah persamaan paling sederhana. Bagilah dengan 2 dan kita dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.

Mari selesaikan persamaannya:

9 x – 12*3 x +27= 0

Mari kita konversi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basis kita sama, sama dengan tiga. Dalam contoh ini, Anda dapat melihat bahwa tiga bilangan pertama mempunyai derajat dua kali (2x) dibandingkan bilangan kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda bisa menyelesaikannya metode penggantian. Kita ganti angka tersebut dengan derajat terkecil:

Maka 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Kami mengganti semua pangkat x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:
D=144-108=36
T 1 = 9
t2 = 3

Kembali ke variabel X.

Ambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Karena itu,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x 2 = 1.

Di situs web Anda dapat mengajukan pertanyaan apa pun yang Anda miliki di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup

Pada tahap persiapan ujian akhir, siswa SMA perlu meningkatkan pengetahuannya pada topik “ Persamaan eksponensial" Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menimbulkan kesulitan tertentu bagi anak sekolah. Oleh karena itu, siswa sekolah menengah, terlepas dari tingkat persiapannya, perlu menguasai teori secara menyeluruh, mengingat rumus, dan memahami prinsip penyelesaian persamaan tersebut. Setelah belajar mengatasi tugas semacam ini, lulusan akan dapat mengandalkannya skor tinggi ketika lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika.

Bersiaplah untuk ujian ujian dengan Shkolkovo!

Saat meninjau materi yang telah dipelajari, banyak siswa dihadapkan pada masalah dalam menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu tersedia, dan memilih informasi yang diperlukan tentang suatu topik di Internet membutuhkan waktu yang lama.

Portal pendidikan Shkolkovo mengundang siswa untuk menggunakan basis pengetahuan kami. Kami menerapkan sepenuhnya metode baru persiapan ujian akhir. Dengan belajar di website kami, Anda akan dapat mengidentifikasi kesenjangan pengetahuan dan memperhatikan tugas-tugas yang paling menimbulkan kesulitan.

Guru Shkolkovo telah mengumpulkan, mensistematisasikan, dan menyajikan segala sesuatu yang diperlukan untuk sukses lulus Ujian Negara Bersatu materi dalam bentuk yang paling sederhana dan mudah diakses.

Definisi dan rumus dasar disajikan pada bagian “Latar Belakang Teoritis”.

Untuk lebih memahami materi, sebaiknya Anda berlatih menyelesaikan tugas. Tinjau dengan cermat contoh persamaan eksponensial beserta solusi yang disajikan di halaman ini untuk memahami algoritma penghitungan. Setelah itu, lanjutkan untuk melakukan tugas di bagian “Direktori”. Anda bisa mulai dengan soal yang paling mudah atau langsung menyelesaikan persamaan eksponensial kompleks dengan beberapa soal yang tidak diketahui atau . Basis data latihan di situs web kami terus ditambah dan diperbarui.

Contoh-contoh dengan indikator yang menyebabkan Anda kesulitan dapat ditambahkan ke “Favorit”. Dengan cara ini Anda dapat dengan cepat menemukannya dan mendiskusikan solusinya dengan guru Anda.

Agar berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, belajarlah di portal Shkolkovo setiap hari!

Pelajaran ini ditujukan bagi mereka yang baru mulai mempelajari persamaan eksponensial. Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi dan contoh sederhana.

Jika Anda membaca pelajaran ini, saya kira Anda setidaknya sudah memiliki pemahaman minimal tentang persamaan paling sederhana - linier dan kuadrat: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, dst. Mampu menyelesaikan konstruksi seperti itu mutlak diperlukan agar tidak “terjebak” pada topik yang sekarang akan dibahas.

Jadi, persamaan eksponensial. Izinkan saya memberi Anda beberapa contoh:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Beberapa di antaranya mungkin tampak lebih rumit bagi Anda, sementara yang lain, sebaliknya, terlalu sederhana. Namun semuanya memiliki satu kesamaan fitur penting: notasinya berisi fungsi eksponensial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Jadi, mari kita perkenalkan definisinya:

Persamaan eksponensial adalah persamaan apa pun yang mengandung fungsi eksponensial, yaitu. ekspresi bentuk $((a)^(x))$. Selain fungsi yang ditentukan, persamaan tersebut dapat berisi konstruksi aljabar lainnya - polinomial, akar, trigonometri, logaritma, dll.

Baiklah kalau begitu. Kami telah memilah definisinya. Sekarang pertanyaannya adalah: bagaimana mengatasi semua omong kosong ini? Jawabannya sederhana dan kompleks.

Mari kita mulai dengan kabar baik: dari pengalaman saya mengajar banyak siswa, saya dapat mengatakan bahwa kebanyakan dari mereka jauh lebih mudah menemukan persamaan eksponensial daripada logaritma yang sama, dan terlebih lagi trigonometri.

Namun ada kabar buruknya: terkadang para penyusun soal untuk semua jenis buku pelajaran dan ujian terkena “inspirasi”, dan otak mereka yang meradang karena obat mulai menghasilkan persamaan yang begitu brutal sehingga penyelesaiannya menjadi masalah tidak hanya bagi siswa - bahkan banyak guru. terjebak pada masalah seperti itu.

Namun, jangan membicarakan hal-hal yang menyedihkan. Dan mari kita kembali ke tiga persamaan yang diberikan di awal cerita. Mari kita coba menyelesaikannya masing-masing.

Persamaan pertama: $((2)^(x))=4$. Nah, sampai pangkat berapakah kamu perlu menaikkan angka 2 untuk mendapatkan angka 4? Mungkin yang kedua? Lagi pula, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - dan kita mendapatkan persamaan numerik yang benar, yaitu. memang $x=2$. Terima kasih, Cap, tapi persamaan ini sangat sederhana sehingga kucing saya pun bisa menyelesaikannya :)

Mari kita lihat persamaan berikut:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Tapi ini sedikit lebih rumit. Banyak siswa yang mengetahui bahwa $((5)^(2))=25$ adalah tabel perkalian. Beberapa juga menduga bahwa $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ pada dasarnya adalah definisi pangkat negatif (mirip dengan rumus $((a)^(-n))= \ frak(1)(((a)^(n)))$).

Akhirnya, hanya segelintir orang yang menyadari bahwa fakta-fakta ini dapat digabungkan dan menghasilkan hasil sebagai berikut:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Jadi, persamaan awal kita akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Panah Kanan ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Tapi ini sudah sepenuhnya bisa dipecahkan! Di sebelah kiri persamaan ada fungsi eksponensial, di sebelah kanan persamaan ada fungsi eksponensial, tidak ada yang lain selain fungsi tersebut. Oleh karena itu, kita dapat “membuang” basisnya dan dengan bodohnya menyamakan indikatornya:

Kami telah memperoleh persamaan linier paling sederhana yang dapat diselesaikan oleh siswa mana pun hanya dalam beberapa baris. Oke, dalam empat baris:

\[\begin(sejajarkan)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(sejajarkan)\]

Jika Anda tidak memahami apa yang terjadi di empat baris terakhir, pastikan untuk kembali ke topik “ persamaan linier"dan ulangi. Karena tanpa pemahaman yang jelas tentang topik ini, masih terlalu dini bagi Anda untuk mengambil persamaan eksponensial.

\[((9)^(x))=-3\]

Jadi bagaimana kita bisa mengatasi ini? Pikiran pertama: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, sehingga persamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[((\kiri(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]

Kemudian kita ingat bahwa ketika suatu pangkat dipangkatkan, eksponennya dikalikan:

\[((\kiri(((3)^(2)) \kanan))^(x))=((3)^(2x))\Panah Kanan ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dan untuk keputusan seperti itu, sejujurnya kami akan menerima dua. Sebab, dengan keseimbangan batin seekor Pokemon, kami mengirimkan tanda minus di depan ketiganya ke pangkat tiga ini. Tapi Anda tidak bisa melakukan itu. Dan inilah alasannya. Lihatlah kekuatan yang berbeda dari ketiganya:

\[\begin(matriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriks)\]

Saat menyusun tablet ini, saya tidak memutarbalikkan sebanyak yang saya bisa: Saya mempertimbangkan derajat positif, dan derajat negatif, dan bahkan pecahan... yah, di mana setidaknya ada satu angka negatif? Dia pergi! Dan tidak mungkin, karena fungsi eksponensial $y=((a)^(x))$, pertama, selalu hanya bernilai positif (tidak peduli berapa kali satu dikalikan atau dibagi dua, tetap saja a bilangan positif), dan kedua, basis dari fungsi tersebut - bilangan $a$ - menurut definisi adalah bilangan positif!

Lalu bagaimana cara menyelesaikan persamaan $((9)^(x))=-3$? Tapi tidak mungkin: tidak ada akarnya. Dan dalam hal ini, persamaan eksponensial sangat mirip dengan persamaan kuadrat - mungkin juga tidak memiliki akar. Tapi jika di persamaan kuadrat jumlah akar ditentukan oleh diskriminan (diskriminan positif - 2 akar, negatif - tidak ada akar), maka dalam eksponensial semuanya tergantung pada apa yang ada di sebelah kanan tanda sama dengan.

Jadi, kami merumuskan kesimpulan utama: persamaan eksponensial paling sederhana dalam bentuk $((a)^(x))=b$ mempunyai akar jika dan hanya jika $b \gt 0$. Mengetahui fakta sederhana ini, Anda dapat dengan mudah menentukan apakah persamaan yang diajukan kepada Anda mempunyai akar atau tidak. Itu. Apakah layak untuk diselesaikan sama sekali atau segera tuliskan bahwa tidak ada akarnya.

Pengetahuan ini akan membantu kita berkali-kali ketika kita harus mengambil keputusan lebih lanjut tugas yang kompleks. Untuk saat ini, cukup liriknya - saatnya mempelajari algoritma dasar untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Jadi, mari kita rumuskan masalahnya. Persamaan eksponensial perlu diselesaikan:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Menurut algoritma “naif” yang kita gunakan sebelumnya, bilangan $b$ perlu direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan $a$:

Selain itu, jika selain variabel $x$ ada ekspresi apa pun, kita akan mendapatkan persamaan baru yang sudah bisa diselesaikan. Misalnya:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Panah Kanan ((2)^(x))=((2)^(3))\Panah Kanan x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Panah Kanan ((3)^(-x))=((3)^(4))\Panah Kanan -x=4\Panah Kanan x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Panah Kanan ((5)^(2x))=((5)^(3))\Panah Kanan 2x=3\Panah Kanan x=\frac(3)( 2). \\\end(sejajarkan)\]

Dan anehnya, skema ini berhasil pada sekitar 90% kasus. Lalu bagaimana dengan 10% sisanya? 10% sisanya adalah persamaan eksponensial yang sedikit “skizofrenia” dalam bentuk:

\[((2)^(x))=3;\kuad ((5)^(x))=15;\kuad ((4)^(2x))=11\]

Nah, pangkat berapa yang perlu dinaikkan 2 untuk mendapatkan 3? Pertama? Tapi tidak: $((2)^(1))=2$ tidak cukup. Kedua? Tidak juga: $((2)^(2))=4$ terlalu banyak. Lalu yang mana?

Siswa yang berpengetahuan luas mungkin sudah menebak: dalam kasus seperti itu, ketika tidak mungkin untuk menyelesaikannya dengan "indah", "artileri berat" - logaritma - ikut berperan. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa dengan menggunakan logaritma, bilangan positif apa pun dapat direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan lain angka positif(kecuali satu):

Ingat rumus ini? Ketika saya memberi tahu siswa saya tentang logaritma, saya selalu memperingatkan: rumus ini (ini juga merupakan identitas logaritma utama atau, jika Anda suka, definisi logaritma) akan menghantui Anda untuk waktu yang sangat lama dan “muncul” di sebagian besar waktu. tempat-tempat yang tidak terduga. Yah, dia muncul ke permukaan. Mari kita lihat persamaan dan rumus kita ini:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Jika kita berasumsi bahwa $a=3$ adalah bilangan asli kita di sebelah kanan, dan $b=2$ adalah bilangan paling dasar fungsi eksponensial, yang ingin kita kurangi ruas kanannya, kita mendapatkan yang berikut:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Panah Kanan 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Panah Kanan ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Panah Kanan x=( (\log )_(2))3. \\\end(sejajarkan)\]

Kami menerima jawaban yang agak aneh: $x=((\log )_(2))3$. Dalam beberapa tugas lain, banyak yang akan ragu dengan jawaban seperti itu dan akan mulai memeriksa ulang solusi mereka: bagaimana jika kesalahan terjadi di suatu tempat? Saya segera menyenangkan Anda: tidak ada kesalahan di sini, dan logaritma pada akar persamaan eksponensial adalah situasi yang sangat umum. Jadi biasakanlah :)

Sekarang mari kita selesaikan dua persamaan sisanya dengan analogi:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Panah Kanan ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Panah Kanan x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Panah Kanan ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Panah Kanan 2x=( (\log )_(4))11\Panah Kanan x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Omong-omong, jawaban terakhir bisa ditulis berbeda:

Kami memperkenalkan faktor ke dalam argumen logaritma. Namun tidak ada yang menghentikan kami untuk menambahkan faktor ini ke basis:

Selain itu, ketiga opsi tersebut benar - hanya saja bentuk penulisan angka yang sama berbeda. Yang mana yang harus dipilih dan ditulis dalam solusi ini terserah Anda.

Jadi, kita telah belajar menyelesaikan persamaan eksponensial apa pun yang berbentuk $((a)^(x))=b$, yang bilangan $a$ dan $b$ benar-benar positif. Namun, kenyataan pahit di dunia kita adalah bahwa tugas-tugas sederhana seperti itu sangat jarang kita temui. Lebih sering daripada tidak, Anda akan menemukan sesuatu seperti ini:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0,09. \\\end(sejajarkan)\]

Jadi bagaimana kita bisa mengatasi ini? Bisakah ini diselesaikan? Dan jika ya, bagaimana caranya?

Jangan panik. Semua persamaan ini dengan cepat dan mudah direduksi menjadi rumus sederhana yang telah kita bahas. Anda hanya perlu mengingat beberapa trik dari kursus aljabar. Dan tentu saja, tidak ada aturan untuk bekerja dengan gelar. Aku akan memberitahumu tentang semua ini sekarang :)

Mengonversi Persamaan Eksponensial

Hal pertama yang harus diingat: persamaan eksponensial apa pun, betapapun rumitnya, dengan satu atau lain cara harus direduksi menjadi persamaan paling sederhana - persamaan yang telah kita pertimbangkan dan yang kita tahu cara menyelesaikannya. Dengan kata lain, skema penyelesaian persamaan eksponensial terlihat seperti ini:

Tuliskan persamaan aslinya. Misalnya: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Lakukan hal-hal aneh. Atau bahkan omong kosong yang disebut "mengubah persamaan";
Pada output, dapatkan ekspresi paling sederhana dari bentuk $((4)^(x))=4$ atau sesuatu yang lain seperti itu. Selain itu, satu persamaan awal dapat menghasilkan beberapa ekspresi serupa sekaligus.

Semuanya jelas dengan poin pertama - bahkan kucing saya dapat menulis persamaannya di selembar kertas. Poin ketiga juga tampaknya kurang lebih jelas - kita telah menyelesaikan sejumlah persamaan di atas.

Namun bagaimana dengan poin kedua? Transformasi seperti apa? Ubah apa menjadi apa? Dan bagaimana caranya?

Baiklah, mari kita cari tahu. Pertama-tama, saya ingin mencatat hal berikut. Semua persamaan eksponensial dibagi menjadi dua jenis:

Persamaan tersebut terdiri dari fungsi eksponensial dengan basis yang sama. Contoh: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Rumusnya berisi fungsi eksponensial dengan basis berbeda. Contoh: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dan $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Mari kita mulai dengan persamaan tipe pertama - persamaan ini paling mudah diselesaikan. Dan dalam menyelesaikannya, kita akan dibantu dengan teknik seperti menyorot ekspresi stabil.

Mengisolasi ekspresi stabil

Mari kita lihat persamaan ini lagi:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Apa yang kita lihat? Keempatnya diangkat ke derajat yang berbeda. Namun semua pangkat ini merupakan penjumlahan sederhana dari variabel $x$ dengan bilangan lainnya. Oleh karena itu, perlu diingat aturan untuk bekerja dengan derajat:

\[\begin(sejajarkan)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(kamu))). \\\end(sejajarkan)\]

Sederhananya, penjumlahan dapat diubah menjadi hasil kali pangkat, dan pengurangan dapat dengan mudah diubah menjadi pembagian. Mari kita coba menerapkan rumus berikut pada derajat persamaan kita:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4.\ \\akhir(sejajarkan)\]

Mari kita tulis ulang persamaan aslinya dengan mempertimbangkan fakta ini, lalu kumpulkan semua suku di sebelah kiri:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(sejajarkan)\]

Empat suku pertama mengandung elemen $((4)^(x))$ - mari kita keluarkan dari kurung:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x))\cdot \kiri(1+\frac(1)(4)-4 \kanan)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \kiri(-\frac(11)(4) \kanan)=-11. \\\end(sejajarkan)\]

Tetap membagi kedua ruas persamaan dengan pecahan $-\frac(11)(4)$, yaitu pada dasarnya kalikan dengan pecahan terbalik - $-\frac(4)(11)$. Kami mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan)& ((4)^(x))\cdot \kiri(-\frac(11)(4) \kanan)\cdot \kiri(-\frac(4)(11) \kanan )=-11\cdot \kiri(-\frac(4)(11) \kanan); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Kami telah mereduksi persamaan awal menjadi bentuk paling sederhana dan memperoleh jawaban akhir.

Pada saat yang sama, dalam proses penyelesaian kami menemukan (dan bahkan mengeluarkannya dari kurung) faktor persekutuan $((4)^(x))$ - ini adalah ekspresi stabil. Itu bisa ditetapkan sebagai variabel baru, atau Anda bisa mengekspresikannya dengan hati-hati dan mendapatkan jawabannya. Bagaimanapun, prinsip utama solusinya adalah sebagai berikut:

Temukan dalam persamaan asli ekspresi stabil yang mengandung variabel yang mudah dibedakan dari semua fungsi eksponensial.

Kabar baiknya adalah hampir setiap persamaan eksponensial memungkinkan Anda mengisolasi ekspresi stabil tersebut.

Namun kabar buruknya adalah ungkapan-ungkapan ini bisa sangat rumit dan sulit dikenali. Jadi mari kita lihat satu masalah lagi:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Mungkin sekarang ada yang bertanya: “Pasha, apakah kamu dilempari batu? Ada basis yang berbeda di sini - 5 dan 0,2.” Tapi mari kita coba mengubah pangkatnya menjadi basis 0,2. Misalnya, mari kita hilangkan pecahan desimal dengan mereduksinya menjadi pecahan biasa:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(2)(10 ) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)) )\]

Seperti yang Anda lihat, angka 5 tetap muncul, meskipun dalam penyebutnya. Pada saat yang sama, indikatornya ditulis ulang menjadi negatif. Sekarang mari kita ingat salah satu aturan terpenting dalam bekerja dengan gelar:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Panah Kanan ((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^( -\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(5)(1) \kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Di sini, tentu saja, saya sedikit berbohong. Karena untuk pemahaman yang utuh, rumus menghilangkan indikator negatif harus ditulis seperti ini:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\kiri(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Panah Kanan ((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Di sisi lain, tidak ada yang menghalangi kami untuk mengerjakan pecahan saja:

\[((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((5)^(\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-\kiri(x+1 \kanan) \kanan) ))=((5)^(x+1))\]

Namun dalam hal ini, Anda harus bisa menaikkan suatu pangkat ke pangkat lain (izinkan saya mengingatkan Anda: dalam hal ini, indikatornya dijumlahkan). Tapi saya tidak perlu "membalikkan" pecahannya - mungkin ini akan lebih mudah bagi sebagian orang :)

Bagaimanapun, persamaan eksponensial awal akan ditulis ulang menjadi:

\[\begin(sejajarkan)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(sejajarkan)\]

Jadi ternyata persamaan awal dapat diselesaikan dengan lebih sederhana daripada persamaan yang dipertimbangkan sebelumnya: di sini Anda bahkan tidak perlu memilih ekspresi stabil - semuanya telah direduksi dengan sendirinya. Yang perlu diingat hanyalah $1=((5)^(0))$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(sejajarkan)\]

Itulah solusinya! Kami mendapat jawaban akhir: $x=-2$. Pada saat yang sama, saya ingin mencatat satu teknik yang sangat menyederhanakan semua perhitungan bagi kita:

Dalam persamaan eksponensial, pastikan untuk menghilangkannya desimal, ubah menjadi yang biasa. Ini akan memungkinkan Anda melihat basis derajat yang sama dan sangat menyederhanakan penyelesaiannya.

Mari beralih ke lebih banyak lagi persamaan kompleks, yang di dalamnya terdapat basis-basis berbeda yang sama sekali tidak dapat direduksi satu sama lain menggunakan derajat.

Menggunakan Properti Derajat

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita memiliki dua persamaan yang sangat sulit:

\[\begin(sejajarkan)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0,09. \\\end(sejajarkan)\]

Kesulitan utama di sini adalah tidak jelasnya apa yang harus diberikan dan atas dasar apa. Di mana mengatur ekspresi? Dimana alasan yang sama? Tidak ada semua ini.

Tapi mari kita coba mengambil jalan yang berbeda. Jika tidak ada basis identik yang siap pakai, Anda dapat mencoba menemukannya dengan memfaktorkan basis yang ada.

Mari kita mulai dengan persamaan pertama:

\[\begin(sejajarkan)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Panah Kanan ((21)^(3x))=((\kiri(7\cdot 3 \kanan))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(sejajarkan)\]

Namun Anda dapat melakukan yang sebaliknya - buatlah angka 21 dari angka 7 dan 3. Hal ini sangat mudah dilakukan di sebelah kiri, karena indikator kedua derajatnya sama:

\[\begin(sejajarkan)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \kanan))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(sejajarkan)\]

Itu saja! Anda mengambil eksponen di luar perkalian dan segera mendapatkan persamaan indah yang dapat diselesaikan dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat persamaan kedua. Semuanya jauh lebih rumit di sini:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\kiri(\frac(27)(10) \kanan))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Dalam hal ini, pecahannya ternyata tidak dapat direduksi, tetapi jika ada yang bisa direduksi, pastikan untuk mereduksinya. Seringkali, alasan menarik akan muncul yang sudah dapat Anda kerjakan.

Sayangnya, tidak ada hal istimewa yang tampak bagi kami. Namun kita melihat bahwa eksponen di sebelah kiri hasil perkalian adalah kebalikannya:

Izinkan saya mengingatkan Anda: untuk menghilangkan tanda minus pada indikator, Anda hanya perlu “membalik” pecahannya. Baiklah, mari kita tulis ulang persamaan aslinya:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\kiri(100\cdot \frac(10)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\kiri(\frac(1000)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(sejajarkan)\]

Pada baris kedua, kita cukup mengambil eksponen total hasil perkalian dari tanda kurung sesuai dengan aturan $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \kanan))^ (x))$, dan yang terakhir mereka cukup mengalikan angka 100 dengan pecahan.

Sekarang perhatikan bahwa angka di kiri (di dasar) dan di kanan agak mirip. Bagaimana? Ya, sudah jelas: mereka adalah kekuatan dengan jumlah yang sama! Kami memiliki:

\[\begin(sejajarkan)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\kiri(\frac( 10)(3) \kanan))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\kiri(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\]

Jadi, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[((\kiri(((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan))^(x-1))=((\kiri(\frac(3 )(10)\kanan))^(2))\]

\[((\kiri(((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3)) \kanan))^(x-1))=((\kiri(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kiri(x-1 \kanan)))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]

Dalam hal ini, di sebelah kanan Anda juga bisa mendapatkan gelar dengan basis yang sama, yang cukup dengan “membalikkan” pecahannya:

\[((\kiri(\frac(3)(10) \kanan))^(2))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(-2))\]

Persamaan kita akhirnya akan berbentuk:

\[\begin(sejajarkan)& ((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(sejajarkan)\]

Itulah solusinya. Gagasan utamanya bermuara pada fakta bahwa meskipun dengan landasan yang berbeda, kita mencoba, dengan cara apa pun, untuk mereduksi landasan ini menjadi hal yang sama. Transformasi dasar persamaan dan aturan untuk bekerja dengan pangkat membantu kita dalam hal ini.

Tapi apa aturannya dan kapan menggunakannya? Bagaimana Anda memahami bahwa dalam satu persamaan Anda perlu membagi kedua ruas dengan sesuatu, dan di persamaan lain Anda perlu memfaktorkan basis fungsi eksponensial?

Jawaban atas pertanyaan ini akan datang melalui pengalaman. Cobalah persamaan sederhana terlebih dahulu, lalu rumitkan soal secara bertahap - dan keterampilan Anda akan segera cukup untuk menyelesaikan persamaan eksponensial apa pun dari Ujian Negara Terpadu yang sama atau pekerjaan independen/ujian apa pun.

Dan untuk membantu Anda dalam masalah sulit ini, saya sarankan mengunduh kumpulan persamaan untuk keputusan independen. Semua persamaan mempunyai jawabannya, jadi Anda selalu bisa menguji diri sendiri.

Secara umum, saya berharap Anda mendapatkan pelatihan yang sukses. Dan sampai jumpa di pelajaran berikutnya - di sana kita akan menganalisis persamaan eksponensial yang sangat kompleks, di mana metode yang dijelaskan di atas tidak lagi cukup. Dan pelatihan sederhana juga tidak akan cukup :)

Mundur ke Depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Jenis pelajaran

: pelajaran tentang generalisasi dan penerapan kompleks pengetahuan, keterampilan dan kemampuan pada topik “Persamaan eksponensial dan metode penyelesaiannya.”

Tujuan pelajaran.

Pendidikan:
mengulang dan mensistematisasikan materi utama topik “Persamaan eksponensial, penyelesaiannya”; mengkonsolidasikan kemampuan untuk menggunakan algoritma yang tepat ketika menyelesaikan berbagai jenis persamaan eksponensial; persiapan untuk Ujian Negara Bersatu.
Pendidikan:
mengembangkan pemikiran logis dan asosiatif siswa; mempromosikan pengembangan keterampilan penerapan pengetahuan secara mandiri.
Pendidikan:
menumbuhkan dedikasi, perhatian dan akurasi saat memecahkan persamaan.

Peralatan:

proyektor komputer dan multimedia.

Digunakan di kelas teknologi Informasi : dukungan metodologis untuk pelajaran - presentasi di Microsoft Power Point.

Kemajuan pelajaran

Setiap keterampilan datang dengan kerja keras

SAYA. Menetapkan tujuan pelajaran(Geser nomor 2 )

Dalam pelajaran ini, kita akan merangkum dan menggeneralisasi topik “Persamaan eksponensial, penyelesaiannya”. Mari berkenalan dengan tipikalnya Tugas Ujian Negara Bersatu tahun yang berbeda tentang topik ini.

Soal penyelesaian persamaan eksponensial dapat ditemukan di bagian mana pun dari tugas Unified State Examination. Di bagian “ DI DALAM " Biasanya mereka menawarkan untuk menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana. Di bagian “ DENGAN " Anda dapat menemukan persamaan eksponensial yang lebih kompleks, yang penyelesaiannya biasanya merupakan salah satu tahapan penyelesaian tugas.

Misalnya ( Geser nomor 3 ).

Ujian Negara Bersatu - 2007

Q 4 – Temukan nilai terbesar dari ekspresi tersebut x kamu, Di mana ( X; pada) – solusi sistem:

Ujian Negara Bersatu - 2008

Q 1 – Selesaikan persamaan:

A) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

Ujian Negara Bersatu - 2009

Q 4 – Temukan arti ungkapan tersebut x + kamu, Di mana ( X; pada) – solusi sistem:

Ujian Negara Bersatu - 2010

– Selesaikan persamaan: 7 X– 2 = 49. – Temukan akar persamaan: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Selesaikan sistem persamaan:

II. Memperbarui pengetahuan dasar. Pengulangan

(Slide No.4 – 6 presentasi untuk pelajaran)

Ditampilkan di layar ringkasan latar belakang materi teori pada topik tersebut.

Masalah-masalah berikut dibahas:

Persamaan apa yang disebut indikatif?
Sebutkan cara utama untuk menyelesaikannya. Berikan contoh tipenya ( Geser nomor 4 )

(Selesaikan secara mandiri persamaan yang diusulkan untuk setiap metode dan lakukan uji mandiri menggunakan slide)

Teorema apa yang digunakan ketika menyelesaikan persamaan eksponensial sederhana berbentuk: dan f(x) = a g(x) ?
Apa metode lain untuk menyelesaikan persamaan eksponensial yang ada? ( Geser nomor 5 )

Metode faktorisasi

Metode pembagian (perkalian) dengan ekspresi eksponensial selain nol ketika menyelesaikan persamaan eksponensial homogen

Nasihat:

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, ada gunanya melakukan transformasi terlebih dahulu, memperoleh pangkat dengan basis yang sama di kedua ruas persamaan.

Menyelesaikan persamaan menggunakan dua metode terakhir dengan komentar selanjutnya

(Geser nomor 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2х – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2х – 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5)x, T > 0, 2T 2 - 3T- 5 = 0,T= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5)x, X= ?...

AKU AKU AKU. Menyelesaikan tugas Ujian Negara Bersatu 2010

Siswa secara mandiri menyelesaikan tugas-tugas yang diajukan di awal pembelajaran pada slide No. 3, menggunakan petunjuk penyelesaiannya, memeriksa kemajuannya dalam penyelesaian dan jawabannya menggunakan presentasi ( Geser nomor 7). Selama pekerjaan, opsi dan solusi didiskusikan, dan perhatian diberikan pada kemungkinan kesalahan dalam solusi.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 – 7x = 36. Menjawab: A) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Dapat diganti dengan 0,5 = 4 – 0,5)

Larutan. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Menjawab: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg kamu+ 4 = 5 -tg kamu, di cos kamu< 0.

Petunjuk menuju solusinya

. 5 5 hal kamu+ 4 = 5 -tg kamu¦ 5 tg kamu 0,

5 5 2g kamu+ 4 5 tg kamu – 1 = 0. Misalkan X= 5tg kamu , …

5tg kamu = -1 (?...), 5tg kamu = 1/5.

Sejak tg kamu= -1 dan cos kamu< 0, lalu pada Kuartal koordinat II

Menjawab: pada= 3/4 + 2k, k N.

IV. Kerja tim di dewan

Tugas pelatihan tingkat tinggi sedang dipertimbangkan - Geser nomor 8. Dengan bantuan slide ini, terjadi dialog antara guru dan siswa, memfasilitasi pengembangan solusi.

– Pada parameter apa A persamaan 2 2 X – 3 2 X + A 2 – 4A= 0 mempunyai dua akar?

Membiarkan T= 2 X, Di mana T > 0 . Kami mengerti T 2 – 3T + (A 2 – 4A) = 0 .

1). Karena persamaan mempunyai dua akar, maka D > 0;

2). Karena T 1,2 > 0, lalu T 1 T 2 > 0, yaitu A 2 – 4A> 0 (?...).

Menjawab: A(– 0,5; 0) atau (4; 4.5).

V.Uji kerja

(Geser nomor 9 )

Siswa tampil pekerjaan tes di selembar kertas, melakukan pemantauan diri dan evaluasi diri terhadap pekerjaan yang dilakukan dengan menggunakan presentasi, menjadi mapan dalam topik. Mereka secara mandiri menentukan sendiri program pengaturan dan koreksi pengetahuan berdasarkan kesalahan yang dilakukan dalam buku kerja. Lembar hasil pekerjaan mandiri diserahkan kepada guru untuk diperiksa.

Angka-angka yang digarisbawahi adalah tingkat dasar, sedangkan angka-angka yang diberi tanda bintang memiliki kompleksitas yang meningkat.