Memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi. Menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi Menyelesaikan persamaan derajat 5 dengan solusi

Pada abad ke-16, para ahli matematika menemukan bilangan kompleks secara tidak sengaja (lihat Bab 11). KE abad ke-18 bilangan kompleks dianggap sebagai perpanjangan dari bidang bilangan real, namun bekerja dengannya masih menyebabkan kesalahan paritas, seperti dalam karya besar Leonard E. tentang teori bilangan, Arithmetical Investigations (1801), menghindari penggunaan apa yang disebut " angka imajiner" Bagi saya, bagian terpenting dari karya ini adalah bukti pertama dari teorema dasar aljabar. Gauss menyadari betapa pentingnya teorema ini, menghasilkan beberapa bukti tambahan pada tahun-tahun berikutnya. Pada tahun 1849, ia mengerjakan ulang versi pertama, kali ini menggunakan bilangan kompleks. Dalam istilah modern, kita dapat mengatakan bahwa untuk setiap persamaan polinomial berhingga dengan koefisien real atau kompleks, semua akarnya akan real atau bilangan kompleks. Jadi, kita mendapatkan jawaban negatif atas pertanyaan lama apakah persamaan polinomial perlu diselesaikan pesanan tinggi menciptakan bilangan dengan tingkat yang lebih tinggi daripada bilangan kompleks.

Salah satu masalah paling pelik dalam aljabar pada masa itu adalah pertanyaan apakah polinomial orde kelima, kuintik, dapat diselesaikan dengan metode aljabar, yaitu menggunakan sejumlah langkah aljabar yang terbatas. Saat ini di sekolah mereka mengajarkan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dan sejak abad ke-16 telah dikenal metode serupa untuk menyelesaikan persamaan derajat ketiga dan keempat (Bab 11). Namun tidak ada satu pun metode yang ditemukan untuk quintics. Teorema dasar aljabar mungkin tampak memiliki prospek jawaban positif, namun pada kenyataannya teorema tersebut hanya menjamin bahwa solusi ada, tidak menjelaskan apa pun tentang keberadaan rumus yang memberikan solusi eksak (perkiraan metode numerik dan grafis sudah ada pada saat itu). ). Dan kemudian dua orang jenius matematika dengan nasib tragis muncul.

Nils Henrik Abel (1802–1829) dilahirkan dalam keluarga besar miskin yang tinggal di sebuah desa kecil di Norwegia, sebuah negara yang hancur akibat perang bertahun-tahun dengan Inggris dan Swedia. Guru, yang baik hati terhadap anak laki-laki itu, memberinya pelajaran privat, tetapi setelah kematian ayahnya, pada usia delapan belas tahun, meskipun demikian usia muda dan kesehatan yang rapuh, Abel terpaksa menghidupi keluarganya. Pada tahun 1824, ia menerbitkan sebuah artikel ilmiah yang menyatakan bahwa kuintik tidak dapat diselesaikan dengan cara aljabar, seperti halnya polinomial tingkat tinggi lainnya. Abel percaya bahwa artikel ini akan menjadi tiketnya ke dunia ilmiah, dan mengirimkannya ke Gauss di Universitas Göttingen. Sayangnya, Gauss tidak pernah sempat memotong halaman dengan pisau (setiap pembaca harus melakukannya pada masa itu) dan tidak membaca artikel tersebut. Pada tahun 1826, pemerintah Norwegia akhirnya menyediakan dana bagi Abel untuk berkeliling Eropa. Khawatir komunikasi pribadi dengan Gauss tidak akan memberinya banyak kegembiraan, ahli matematika tersebut memutuskan untuk tidak mengunjungi Göttingen dan malah pergi ke Berlin. Di sana ia berteman dengan August Leopold Krelle (1780–1855), seorang matematikawan, arsitek, dan insinyur yang menjadi penasihat Kementerian Pendidikan Prusia dalam bidang matematika. Krell bermaksud mendirikan Jurnal Matematika Murni dan Terapan. Maka Abel mendapat kesempatan untuk mendiseminasikan karyanya dan banyak menerbitkannya, terutama di edisi-edisi awal Jurnal yang langsung dianggap sangat bergengsi dan berwibawa. publikasi ilmiah. Orang Norwegia itu menerbitkan versi panjang buktinya bahwa kuintik tidak dapat ditentukan dengan metode aljabar. Dan kemudian dia berangkat ke Paris. Perjalanan ini sangat mengecewakan Abel, karena dia praktis tidak menerima dukungan yang dia butuhkan dari ahli matematika Perancis. Ia menjadi dekat dengan Augustin Louis Cauchy (1789–1857), yang merupakan tokoh terkemuka pada saat itu. analisis matematis, tetapi memiliki karakter yang sangat kompleks. Seperti yang dikatakan Abel sendiri, "Cauchy gila dan tidak ada yang bisa dilakukan untuk mengatasinya, meskipun saat ini dialah satu-satunya yang mampu melakukan apa pun dalam matematika." Jika kita mencoba membenarkan manifestasi rasa tidak hormat dan pengabaian yang berasal dari Gauss dan Cauchy, kita dapat mengatakan bahwa quintic mencapai ketenaran tertentu dan menarik perhatian baik ahli matematika maupun orisinalis yang dihormati. Abel kembali ke Norwegia, di mana ia semakin menderita TBC. Dia terus mengirimkan karyanya ke Crelle, tetapi meninggal pada tahun 1829, tidak menyadari seberapa besar reputasinya telah dibangun di dunia ilmiah. Dua hari setelah kematiannya, Abel menerima tawaran untuk mengambil posisi ilmiah di Berlin.

Abel menunjukkan bahwa polinomial apa pun di atas orde keempat tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar pangkat lebih tinggi. Namun, kondisi eksplisit di mana, dalam kasus khusus, polinomial ini dapat diselesaikan, dan metode penyelesaiannya, dirumuskan oleh Galois. Évariste Galois (1811–1832) menjalani kehidupan yang singkat dan penuh peristiwa. Dia adalah seorang ahli matematika yang sangat berbakat. Galois tidak kenal ampun terhadap orang-orang yang dianggapnya kurang berbakat dibandingkan dirinya, dan pada saat yang sama ia membenci ketidakadilan sosial. Dia tidak menunjukkan bakat matematika sampai dia membaca Elements of Geometry karya Legendre (diterbitkan pada tahun 1794, buku ini menjadi buku teks utama selama seratus tahun berikutnya). Kemudian dia benar-benar melahap sisa karya Legendre dan, kemudian, Abel. Antusiasme, kepercayaan diri, dan intoleransinya menimbulkan konsekuensi yang sangat buruk dalam hubungannya dengan guru dan penguji. Galois mengikuti kompetisi untuk masuk ke Ecole Polytechnique, tempat lahirnya matematika Perancis, namun gagal dalam ujian karena kurangnya persiapan. Untuk beberapa waktu setelah bertemu dengan guru baru yang mengenali bakatnya, dia berhasil mengendalikan emosinya. Pada bulan Maret 1829, Galois menerbitkan makalah pertamanya tentang pecahan lanjutan, yang dianggapnya sebagai karyanya yang paling signifikan. Dia mengirim pesan tentang penemuannya ke Akademi Ilmu Pengetahuan, dan Cauchy berjanji untuk mempresentasikannya, tapi lupa. Apalagi dia kehilangan naskahnya begitu saja.

Kegagalan kedua Galois untuk masuk ke École Polytechnique telah menjadi bagian dari cerita rakyat matematika. Dia begitu terbiasa terus-menerus menyimpan ide-ide matematika yang rumit di kepalanya sehingga dia marah karena omelan kecil dari para penguji. Karena penguji kesulitan memahami penjelasannya, ia melemparkan kain penghapus kering dari papan ke wajah salah satu penguji. Segera setelah itu, ayahnya meninggal karena bunuh diri akibat intrik gereja. Kerusuhan praktis terjadi di pemakamannya. Pada bulan Februari 1830, Galois menulis tiga makalah berikut, mengirimkannya ke Akademi Ilmu Pengetahuan untuk Grand Prix Matematika. Joseph Fourier, yang saat itu menjadi sekretaris akademi, meninggal tanpa membacanya, dan setelah kematiannya, artikel-artikel tersebut tidak ditemukan di antara makalahnya. Gelombang kekecewaan seperti itu akan membuat siapa pun kewalahan. Galois memberontak melawan penguasa karena dia merasa mereka tidak mengakui jasanya dan menghancurkan ayahnya. Dia terjun langsung ke dunia politik, menjadi seorang republikan yang bersemangat - bukan keputusan paling bijaksana di Prancis pada tahun 1830. Dalam upaya terakhirnya, dia mengirimkan makalah ilmiah kepada fisikawan dan matematikawan Prancis terkenal Simeon Denis Poisson (1781–1840), yang menanggapinya dengan meminta bukti lebih lanjut.

Ini adalah pukulan terakhir. Pada tahun 1831, Galois ditangkap dua kali - pertama karena diduga menyerukan pembunuhan Raja Louis Philippe, dan kemudian untuk melindunginya - pihak berwenang takut akan pemberontakan republik! Kali ini dia dijatuhi hukuman enam bulan penjara atas tuduhan palsu yaitu mengenakan seragam batalion artileri yang dibubarkan secara ilegal, tempat dia bergabung. Dibebaskan dengan pembebasan bersyarat, dia mengambil tugas yang membuatnya jijik seperti semua hal lain dalam hidup. Dalam suratnya kepada sahabat setianya Chevalier, kekecewaannya sangat terasa. Pada tanggal 29 Mei 1832, ia menerima tantangan duel, yang alasannya tidak sepenuhnya dipahami. “Saya menjadi korban genit yang tidak jujur. Hidup saya sedang sekarat dalam pertengkaran yang menyedihkan,” tulisnya dalam “Surat untuk Semua Partai Republik.” Yang paling banyak karya terkenal Galois dibuat sketsa pada malam sebelum duel fatal itu. Di pinggirannya tersebar keluhan-keluhan: “Saya tidak punya waktu lagi, saya tidak punya waktu lagi.” Dia terpaksa menyerahkan kepada orang lain presentasi rinci tentang langkah-langkah peralihan yang tidak penting untuk memahami gagasan utama. Dia perlu menuliskan di atas kertas dasar penemuannya - asal mula dari apa yang sekarang disebut teorema Galois. Dia mengakhiri wasiatnya dengan meminta Chevalier untuk "meminta Jacobi dan Gauss untuk memberikan opini publik mereka, bukan mengenai kebenarannya, tetapi mengenai pentingnya teorema ini." Pagi-pagi sekali, Galois pergi menemui saingannya. Mereka harus menembak dari jarak 25 langkah. Galois terluka dan meninggal di rumah sakit keesokan paginya. Dia baru berusia dua puluh tahun.

Galois membangun karya Lagrange dan Cauchy, tetapi ia mengembangkan lebih banyak lagi metode umum. Sungguh luar biasa pencapaian penting di bidang penyelesaian quintics. Ilmuwan kurang memperhatikan persamaan asli atau interpretasi grafis, dan lebih memikirkan sifat akar itu sendiri. Untuk menyederhanakannya, Galois hanya mempertimbangkan apa yang disebut kuintik tak tersederhanakan, yaitu kuintik yang tidak dapat difaktorkan dalam bentuk polinomial berorde lebih rendah (seperti yang telah kami katakan, untuk setiap persamaan polinomial hingga orde keempat, terdapat rumus untuk mencarinya akar). Sama sekali polinomial yang tidak dapat direduksi dengan koefisien rasional adalah polinomial yang tidak dapat diperluas menjadi polinomial sederhana yang mempunyai koefisien rasional. Misalnya, (x 5 - 1) dapat difaktorkan (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), ketika (x 5 - 2) Tidak dapat direduksi. Tujuan Galois adalah untuk menentukan kondisi di mana semua solusi persamaan polinomial umum yang tidak dapat direduksi dapat ditemukan dalam bentuk radikal.

Kunci dari solusinya adalah bahwa akar dari segala hal tidak dapat direduksi persamaan aljabar tidak independen, mereka dapat diekspresikan satu sama lain. Hubungan-hubungan ini diformalkan ke dalam kelompok semua kemungkinan permutasi, yang disebut kelompok simetri akar - untuk kuintik, kelompok ini berisi 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemen. Algoritme matematika teori Galois sangat kompleks, dan kemungkinan besar, sebagian karena hal ini, pada awalnya sulit untuk dipahami. Namun begitu tingkat abstraksi memungkinkannya beralih dari solusi persamaan aljabar ke struktur aljabar kelompok terkait, Galois mampu memprediksi solvabilitas suatu persamaan berdasarkan sifat-sifat kelompok tersebut. Selain itu, teorinya juga memberikan metode yang dapat digunakan untuk menemukan akar-akar ini. Sedangkan mengenai kuintik, ahli matematika Joseph Liouville (1809–1882), yang pada tahun 1846 menerbitkan sebagian besar karya Galois dalam Journal of Pure and Applied Mathematics, mencatat bahwa ilmuwan muda tersebut telah membuktikan “teorema yang indah”, dan dalam rangka “untuk Jika suatu persamaan tak tereduksi yang derajat awalnya dapat diselesaikan dalam bentuk radikal, semua akarnya harus dan cukup fungsi rasional salah satu dari mereka berdua." Karena hal ini tidak mungkin dilakukan oleh quintic, maka hal ini tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal.

Dalam tiga tahun dunia matematika kehilangan dua nova paling terangnya. Saling tuduh dan pencarian jiwa pun terjadi, dan Abel serta Galois mendapatkan pengakuan yang memang layak mereka dapatkan, namun hanya secara anumerta. Pada tahun 1829, Carl Jacobi, melalui Legendre, mengetahui manuskrip Abel yang "hilang", dan pada tahun 1830 skandal diplomatik meletus ketika konsul Norwegia di Paris menuntut agar artikel rekan senegaranya ditemukan. Cauchy akhirnya menemukan artikel itu, namun artikel itu hilang lagi oleh editor akademi! Pada tahun yang sama, Abel dianugerahi Grand Prix Matematika (bersama dengan Jacobi) - tapi dia sudah meninggal. Pada tahun 1841, biografinya diterbitkan. Pada tahun 1846, Liouville mengedit beberapa manuskrip Galois untuk diterbitkan dan dalam pendahuluan menyatakan penyesalannya bahwa akademi awalnya menolak karya Galois karena kerumitannya - "kejelasan presentasi memang diperlukan ketika penulis membawa pembaca keluar jalur ke alam liar yang belum dipetakan wilayah." Dia melanjutkan: “Galois sudah tidak ada lagi! Janganlah kita terjerumus ke dalam kritik yang tidak berguna. Mari kita kesampingkan kekurangannya dan lihat kelebihannya!” Buah hidup yang singkat Galois hanya muat dalam enam puluh halaman. Editor jurnal matematika untuk calon École Normale dan École Polytechnique mengomentari kasus Galois sebagai berikut: “Seorang pelamar dengan kecerdasan tinggi dieliminasi oleh penguji dengan kecerdasan lebih tinggi. tingkat rendah pemikiran. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis."

Pertama-tama, halaman kedua karya ini tidak dibebani dengan nama, nama keluarga, deskripsi status sosial, gelar dan keanggunan untuk menghormati beberapa pangeran pelit, yang dompetnya akan dibuka dengan bantuan dupa ini - dengan ancaman penutupan itu ketika pujian berakhir. Anda tidak akan melihat di sini pujian penuh hormat, yang ditulis dalam huruf tiga kali lebih besar dari teks itu sendiri, ditujukan kepada mereka yang memilikinya posisi tinggi dalam sains, bagi beberapa pelindung yang bijaksana - sesuatu yang wajib (menurut saya tidak dapat dihindari) bagi seseorang pada usia dua puluh yang ingin menulis sesuatu. Saya tidak mengatakan kepada siapa pun di sini bahwa saya berhutang nasihat dan dukungan mereka atas semua kebaikan yang dihasilkan dari pekerjaan saya. Saya tidak mengatakan ini karena itu bohong. Jika saya menyebut salah satu tokoh besar dalam masyarakat atau ilmu pengetahuan (perbedaan antara kedua kelompok masyarakat ini hampir tidak terlihat pada saat ini), saya bersumpah itu bukanlah tanda terima kasih. Saya berhutang budi kepada mereka karena saya terlambat menerbitkan artikel pertama dari dua artikel ini, dan saya menulis semua ini di penjara - tempat yang sulit dianggap cocok untuk refleksi ilmiah, dan saya sering kagum dengan pengekangan dan kemampuan saya untuk menjaga diri saya sendiri. mulutku tertutup. kastil sehubungan dengan zoile yang bodoh dan jahat. Saya rasa saya bisa menggunakan kata "zoiles" tanpa takut dituduh tidak pantas, karena itulah yang saya sebut sebagai lawan saya. Saya tidak akan menulis di sini tentang bagaimana dan mengapa saya dikirim ke penjara, tetapi saya harus mengatakan bahwa naskah saya lebih sering hilang begitu saja di arsip tuan-tuan anggota akademi, meskipun, sebenarnya, saya tidak dapat membayangkan hal seperti itu. kecerobohan pihak orang yang bertanggung jawab atas kematian Habel. Menurut saya, siapa pun ingin dibandingkan dengan ahli matematika brilian ini. Cukuplah untuk mengatakan bahwa artikel saya tentang teori persamaan dikirim ke Akademi Ilmu Pengetahuan pada bulan Februari 1830, bahwa kutipan dari artikel tersebut dikirim pada bulan Februari 1829, tetapi tidak ada satupun yang dicetak, dan bahkan manuskripnya ternyata mustahil untuk dicetak. kembali.

Galois, kata pengantar yang tidak diterbitkan, 1832

Kelas: 9

Tujuan utama:

Memperkuat konsep persamaan rasional derajat ke-seluruhan.
Merumuskan metode dasar penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3).
Ajarkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan tingkat tinggi.
Untuk mengajarkan cara menentukan yang paling banyak cara yang efektif keputusannya.

Bentuk, metode dan teknik pedagogi yang digunakan guru dalam pembelajaran:

Sistem pengajaran ceramah-seminar (perkuliahan - penjelasan materi baru, seminar - pemecahan masalah).
Teknologi informasi dan komunikasi (survei frontal, kerja lisan dengan kelas).
Pembelajaran dibedakan, bentuk kelompok dan individu.
Menggunakan metode penelitian dalam pengajaran berorientasi pengembangan peralatan matematika dan kemampuan berpikir setiap individu siswa.
Bahan cetakan– individu ringkasan singkat pelajaran (konsep dasar, rumus, pernyataan, materi perkuliahan yang diringkas dalam bentuk diagram atau tabel).

Rencana pelajaran:

Momen organisasi.
Tujuan panggung: untuk mengikutsertakan siswa dalam kegiatan pendidikan, menentukan kerangka isi pelajaran.
Memperbarui pengetahuan siswa.
Tujuan tahapan: untuk memperbarui pengetahuan siswa tentang topik terkait yang telah dipelajari sebelumnya
Mempelajari topik baru(kuliah). Tujuan tahapan: merumuskan metode dasar penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi (n > 3)
Kesimpulannya.
Tujuan tahapan: untuk sekali lagi menonjolkan poin-poin penting dari materi yang dipelajari dalam pembelajaran.
Pekerjaan rumah.
Tujuan tahapan: merumuskan pekerjaan rumah untuk siswa.

Ringkasan pelajaran

1. Momen organisasi.

Rumusan topik pelajaran: “Persamaan kekuatan yang lebih tinggi. Metode untuk menyelesaikannya.”

2. Memperbarui pengetahuan siswa.

Survei teoretis - percakapan. Pengulangan beberapa informasi yang dipelajari sebelumnya dari teori. Siswa merumuskan definisi dasar dan merumuskan teorema yang diperlukan. Berikan contoh untuk menunjukkan tingkat pengetahuan yang diperoleh sebelumnya.

Konsep persamaan dengan satu variabel.
Konsep akar persamaan, penyelesaian persamaan.
Konsep persamaan linier dengan satu variabel, konsep persamaan kuadrat dengan satu variabel.
Konsep persamaan persamaan, persamaan-konsekuensi (konsep akar asing), transisi bukan akibat (kasus hilangnya akar).
Konsep keseluruhan ekspresi rasional dengan satu variabel.
Konsep persamaan rasional utuh N gelar ke-th. Bentuk standar persamaan rasional utuh. Mengurangi seluruh persamaan rasional.
Transisi ke himpunan persamaan derajat yang lebih rendah dengan memfaktorkan persamaan aslinya.
Konsep polinomial N gelar dari X. teorema Bezout. Akibat wajar dari teorema Bezout. Teorema akar ( Z -akar dan-akar) dari seluruh persamaan rasional dengan koefisien bilangan bulat (masing-masing tereduksi dan tidak tereduksi).
Skema Horner.

3. Mempelajari topik baru.

Kami akan mempertimbangkan seluruh persamaan rasional N-pangkatan bentuk standar dengan satu variabel yang tidak diketahui x:Pn(x)= 0, dimana P n (x) = an x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinomial N gelar dari X, A n ≠ 0. Jika A n = 1 maka persamaan tersebut disebut persamaan rasional bilangan bulat tereduksi N gelar ke-th. Mari kita pertimbangkan persamaan tersebut untuk berbagai nilai N dan buat daftar metode utama untuk menyelesaikannya.

N= 1 – persamaan linier.

N= 2 – persamaan kuadrat. Rumus diskriminan. Rumus untuk menghitung akar. teorema Vieta. Memilih persegi lengkap.

N = 3 – persamaan kubik.

Metode pengelompokan.

Contoh: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x 2 = 1,X 3 = -1.

Bentuk persamaan kubik timbal balik kapak 3 + bx 2 + bx + A= 0. Kita menyelesaikannya dengan menggabungkan suku-suku yang mempunyai koefisien yang sama.

Contoh: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Pemilihan akar Z berdasarkan teorema. Skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencarian dalam hal ini terbatas, dan kami memilih akar menggunakan algoritma tertentu sesuai dengan teorema tentang Akibat wajar dari teorema Bezout. Teorema akar (-akar dari seluruh persamaan rasional yang diberikan dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. Persamaannya diberikan. Mari kita tuliskan pembagi suku bebas ( + 1; + 3; + 5; + 15). Mari kita terapkan skema Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	kesimpulan
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 – akar
	X 2	X 1	X 0

Kami mendapatkan ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar Q berdasarkan teorema. Skema Horner. Saat menerapkan metode ini, perlu ditekankan bahwa pencarian dalam hal ini terbatas dan kita memilih akar-akarnya menggunakan algoritma tertentu sesuai dengan teorema tentang -akar dan-akar persamaan rasional bilangan bulat tak tereduksi dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. Persamaannya tidak tereduksi. Mari kita tuliskan pembagi suku bebas ( + 1; + 3). Mari kita tuliskan pembagi koefisien pada pangkat tertinggi dari bilangan yang tidak diketahui. ( + 1; + 3; + 9) Oleh karena itu, kita akan mencari akar di antara nilai-nilai tersebut ( + 1; + ; + ; + 3). Mari kita terapkan skema Horner:

	X 3	X 2	X 1	X 0	kesimpulan
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – bukan akar
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – bukan akar
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	akar
	X 2	X 1	X 0

Kami mendapatkan ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Untuk kemudahan perhitungan saat memilih Q -akar Akan lebih mudah untuk membuat perubahan variabel, buka persamaan yang diberikan dan pilih Z -akar.

Jika suku tiruannya adalah 1

.

Kalau bisa gunakan pengganti formulir kamu = kx

.

Rumus Cardano. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan kubik - ini adalah rumus Cardano. Rumus ini dikaitkan dengan nama matematikawan Italia Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557), dan Scipione del Ferro (1465–1526). Rumus ini berada di luar cakupan kursus kami.

N= 4 – persamaan derajat keempat.

Metode pengelompokan.

Contoh: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X - 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Metode penggantian variabel.

Bentuk persamaan biquadratik kapak 4 + bx 2+ detik = 0 .

Contoh: X 4 + 5X 2 – 36 = 0. Penggantian kamu = X 2. Dari sini kamu 1 = 4, kamu 2 = -9. Itu sebabnya X 1,2 = + 2 .

Persamaan timbal balik bentuk derajat keempat kapak 4 + bx 3+c X 2 + bx + A = 0.

Kita menyelesaikannya dengan menggabungkan suku-suku dengan koefisien yang sama dengan mengganti bentuknya

kapak 4 + bx 3 + cx 2 – bx + A = 0.

Persamaan berulang yang digeneralisasikan dari bentuk derajat keempat kapak 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 sebuah = 0.

Penggantian umum. Beberapa pengganti standar.

Contoh 3 . Penggantian tampilan umum(mengikuti dari jenis persamaan tertentu).

N = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Q N = 3.

Rumus umum. Ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat. Rumus ini dikaitkan dengan nama Ludovico Ferrari (1522–1565). Rumus ini berada di luar cakupan kursus kami.

N > 5 – persamaan derajat kelima dan lebih tinggi.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar Z berdasarkan teorema. Skema Horner. Algoritmanya mirip dengan yang dibahas di atas N = 3.

Persamaan dengan koefisien bilangan bulat. Pemilihan akar-Q berdasarkan teorema. Skema Horner. Algoritmanya mirip dengan yang dibahas di atas N = 3.

Persamaan simetris. Setiap persamaan timbal balik yang berderajat ganjil mempunyai akar X= -1 dan setelah memfaktorkannya menjadi faktor kita menemukan bahwa salah satu faktornya berbentuk ( X+ 1), dan faktor kedua adalah persamaan timbal balik yang derajatnya genap (derajatnya lebih kecil satu dari derajat persamaan aslinya). Persamaan timbal balik apa pun yang berderajat genap beserta akar bentuknya x = φ juga mengandung akar spesies. Dengan menggunakan pernyataan-pernyataan ini, kita memecahkan masalah dengan menurunkan derajat persamaan yang diteliti.

Metode penggantian variabel. Penggunaan homogenitas.

Tidak ada rumus umum untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat kelima (hal ini ditunjukkan oleh matematikawan Italia Paolo Ruffini (1765–1822) dan matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel (1802–1829)) dan derajat yang lebih tinggi (hal ini ditunjukkan oleh Matematikawan Perancis Evariste Galois (1811–1832) )).

Mari kita ingat sekali lagi bahwa dalam praktiknya hal itu mungkin untuk digunakan kombinasi metode yang tercantum di atas. Lebih mudah untuk meneruskan ke himpunan persamaan derajat yang lebih rendah dengan memfaktorkan persamaan aslinya.
Di luar cakupan diskusi kita saat ini adalah hal-hal yang banyak digunakan dalam praktik. metode grafis menyelesaikan persamaan dan metode solusi perkiraan persamaan derajat yang lebih tinggi.

Ada situasi ketika persamaan tidak memiliki akar-R.

Menggunakan sifat monotonisitas fungsi

4. Menyimpulkan.

Ringkasan: Sekarang kita telah menguasai metode dasar untuk menyelesaikan berbagai persamaan derajat yang lebih tinggi (untuk n > 3). Tugas kita adalah mempelajari cara menggunakan algoritma yang tercantum di atas secara efektif. Bergantung pada jenis persamaannya, kita harus belajar menentukan metode penyelesaian mana yang paling efektif dalam kasus tertentu, serta menerapkan metode yang dipilih dengan benar.

5. Pekerjaan rumah.

: paragraf 7, hlm. 164–174, no.33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Kemungkinan topik untuk laporan atau abstrak tentang topik ini:

Rumus Cardano
Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan. Contoh solusi.
Metode untuk perkiraan solusi persamaan.

Analisis pembelajaran siswa dan minat terhadap topik:

Pengalaman menunjukkan bahwa minat siswa terutama timbul oleh kemungkinan memilih Akibat wajar dari teorema Bezout. Teorema akar (-akar dan -akar dan-akar persamaan menggunakan algoritma yang cukup sederhana menggunakan skema Horner. Siswa juga tertarik pada berbagai tipe standar substitusi variabel, yang secara signifikan dapat menyederhanakan jenis soal. Metode solusi grafis biasanya menjadi perhatian khusus. Dalam hal ini, Anda juga dapat menganalisis masalah menggunakan metode grafis untuk menyelesaikan persamaan; membahas pandangan umum grafik untuk polinomial 3, 4, 5 derajat; menganalisis bagaimana hubungan jumlah akar persamaan derajat 3, 4, 5 dengan kemunculan grafik yang bersangkutan. Di bawah ini adalah daftar buku di mana Anda dapat menemukan informasi tambahan mengenai topik ini.

Referensi:

Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. “Aljabar. Buku teks untuk siswa kelas 9 studi mendalam Matematika” – M., Pendidikan, 2007 – 367 hal.
Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Di balik halaman buku teks matematika. Hitung. Aljabar. kelas 10-11” – M., Pendidikan, 2008 – 192 hal.
Vygodsky M.Ya.“Buku Pegangan Matematika” – M., AST, 2010 – 1055 hal.
Galitsky M.L.“Kumpulan soal aljabar. tutorial untuk kelas 8-9 dengan pembelajaran matematika yang mendalam” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 hal.
Zvavich L.I. dan lain-lain “Aljabar dan permulaan analisis. kelas 8–11 Sebuah manual untuk sekolah dan kelas dengan studi matematika tingkat lanjut” - M., Bustard, 1999 - 352 hal.
Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“Tugas matematika untuk persiapan ujian tertulis di kelas 9” - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 hal.
Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Tes mata pelajaran untuk sistematisasi pengetahuan dalam matematika” bagian 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 hal.
Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tes tematik untuk mensistematisasikan pengetahuan dalam matematika” bagian 2 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 hal.
Ivanov A.P.“Tes dan tes dalam matematika. Panduan pelatihan." – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 hal.
Leibson K.L.“Kumpulan tugas praktek matematika. Bagian 2–9 kelas” – M., MTSNM, 2009 – 184 hal.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Aljabar. Bab tambahan untuk buku pelajaran sekolah kelas 9. Buku teks untuk siswa di sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam.” – M., Pendidikan, 2006 – 224 hal.
Mordkovich A.G."Aljabar. Studi mendalam. kelas 8. Buku Teks” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 hal.
Savin A.P. “Kamus Ensiklopedis matematikawan muda” - M., Pedagogi, 1985 - 352 hal.
Survillo G.S., Simonov A.S. “Materi didaktik dalam aljabar untuk kelas 9 dengan studi matematika yang mendalam” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 hal.
Chulkov P.V.“Persamaan dan ketidaksetaraan di kursus sekolah ahli matematika. Kuliah 1–4” – M., 1 September 2006 – 88 hal.
Chulkov P.V.“Persamaan dan pertidaksamaan dalam mata pelajaran matematika sekolah.

Kuliah 5–8” – M., 1 September 2009 – 84 hal. Mari kita pertimbangkan

menyelesaikan persamaan dengan satu variabel yang derajatnya lebih tinggi dari variabel kedua.

Derajat persamaan P(x) = 0 adalah derajat polinomial P(x), yaitu pangkat terbesar dari suku-sukunya dengan koefisien tidak sama dengan nol.

Jadi misalnya persamaan (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 mempunyai derajat kelima, karena setelah operasi pembukaan tanda kurung dan pengurangan tanda kurung, diperoleh persamaan ekuivalen x 5 – 2x 3 + 3 = 0 derajat kelima.

Mari kita mengingat kembali aturan-aturan yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dari dua.

1. Pernyataan tentang akar-akar polinomial dan pembaginya: Polinomial gelar ke-n

2. memiliki jumlah akar tidak melebihi n, dan akar multiplisitas m muncul tepat m kali.

3. Polinomial berderajat ganjil mempunyai paling sedikit satu akar real.

5. Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak boleh memiliki akar rasional pecahan.

6. Untuk polinomial derajat ketiga

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d salah satu dari dua hal yang mungkin: dapat didekomposisi menjadi produk tiga binomial

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), atau didekomposisi menjadi produk binomial dan trinomial kuadrat P 3 (x) = a(x – α)(x 2 + βx + γ).

7. Polinomial derajat keempat apa pun dapat diekspansi menjadi hasil kali dua trinomial persegi.

8. Suatu polinomial f(x) habis dibagi oleh suatu polinomial g(x) tanpa sisa jika terdapat polinomial q(x) sehingga f(x) = g(x) · q(x). Untuk membagi polinomial, digunakan aturan “pembagian sudut”.

9. Agar polinomial P(x) habis dibagi binomial (x – c), bilangan c harus menjadi akar dari P(x) (akibat dari teorema Bezout).

10. Teorema Vieta: Jika x 1, x 2, ..., x n adalah akar real dari polinomial

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, maka persamaan berikut berlaku:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Contoh Penyelesaian

Contoh 1.

Hitunglah sisa pembagian P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 dengan (x – 1/3).

Larutan.

Akibat wajar dari teorema Bezout: “Sisa polinomial dibagi binomial (x – c) sama dengan nilai polinomial c.” Mari kita cari P(1/3) = 0. Jadi, sisanya adalah 0 dan bilangan 1/3 adalah akar polinomialnya.

Jawaban: R = 0.

Contoh 2.

Bagilah dengan “sudut” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 dengan (x + 2). Temukan sisa dan hasil bagi tidak lengkap.

Larutan:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

x 2 – 2 x

Jawaban: R = 3; hasil bagi: 2x 2 – x.

Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi

1. Pengenalan variabel baru

Cara memasukkan variabel baru sudah familiar dari contoh persamaan bikuadrat. Terdiri dari kenyataan bahwa untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0, variabel baru (substitusi) t = x n atau t = g(x) dimasukkan dan f(x) dinyatakan melalui t, memperoleh persamaan baru r (T). Kemudian menyelesaikan persamaan r(t), akar-akarnya ditemukan:

(t 1, t 2, …, t n). Setelah ini, diperoleh himpunan n persamaan q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, yang darinya diperoleh akar-akar persamaan aslinya.

Contoh 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Larutan:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Substitusi (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Substitusi terbalik:

x 2 + x + 1 = 2 atau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 atau x 2 + x = 0;

Jawaban: Dari persamaan pertama: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, dari persamaan kedua: 0 dan -1.

2. Faktorisasi dengan mengelompokkan dan menyingkat rumus perkalian

Melengkung metode ini juga bukan hal baru dan terdiri dari pengelompokan suku sedemikian rupa sehingga setiap kelompok mengandung faktor yang sama. Untuk melakukan ini, terkadang perlu menggunakan beberapa teknik buatan.

Contoh 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Larutan.

Bayangkan - 3x 2 = -2x 2 – x 2 dan kelompokkan:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 atau x 2 + x – 3 = 0.

Jawab: Persamaan pertama tidak mempunyai akar, dari persamaan kedua: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Metode faktorisasi koefisien yang tidak pasti

Inti dari metode ini adalah polinomial asli difaktorkan dengan koefisien yang tidak diketahui. Dengan menggunakan sifat bahwa polinomial sama jika koefisiennya sama pada pangkat yang sama, koefisien muai yang tidak diketahui ditemukan.

Contoh 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Larutan.

Polinomial berderajat 3 dapat diekspansi menjadi hasil kali faktor linier dan kuadrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – kapak 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Setelah memecahkan sistem:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(sebuah = -1,
(b = 3,
(c = 2, yaitu

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Akar-akar persamaan (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 mudah ditemukan.

Jawaban: -1; -2.

4. Cara pemilihan akar menggunakan koefisien tertinggi dan bebas

Metode ini didasarkan pada penerapan teorema:

1) Setiap akar bilangan bulat dari suatu polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi suku bebasnya.

2) Agar pecahan tak tersederhanakan p/q (p adalah bilangan bulat, q adalah bilangan asli) menjadi akar persamaan dengan koefisien bilangan bulat, bilangan p harus merupakan pembagi bilangan bulat dari suku bebas a 0, dan q adalah pembagi natural dari koefisien terdepan.

Contoh 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Larutan:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Oleh karena itu, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Setelah menemukan satu akar, misalnya – 2, kita akan mencari akar lainnya menggunakan pembagian sudut, metode koefisien tak tentu, atau skema Horner.

Jawaban: -2; 1/2; 1/3.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.