Subjek: Dalil, kebalikan dari teorema Pythagoras.

Tujuan pelajaran: 1) pertimbangkan teorema kebalikan dari teorema Pythagoras; penerapannya dalam proses pemecahan masalah; mengkonsolidasikan teorema Pythagoras dan meningkatkan keterampilan pemecahan masalah untuk penerapannya;

2) berkembang berpikir logis, pencarian kreatif, minat kognitif;

3) menumbuhkan sikap bertanggung jawab terhadap pembelajaran dan budaya bicara matematis pada siswa.

Jenis pelajaran. Sebuah pelajaran dalam mempelajari pengetahuan baru.

Kemajuan pelajaran

І. Momen organisasi

ІІ. Memperbarui pengetahuan

Pelajaran bagi sayaakansaya inginmulai dengan syair.

Ya, jalan ilmunya tidak mulus

Tapi kami tahu tahun sekolah,

Ada lebih banyak misteri daripada jawaban,

Dan tidak ada batasan untuk pencarian!

Jadi, pada pelajaran terakhir Anda telah mempelajari teorema Pythagoras. Pertanyaan:

Teorema Pythagoras yang benar untuk bilangan manakah?

Segitiga manakah yang disebut segitiga siku-siku?

Nyatakan teorema Pythagoras.

Bagaimana cara menulis teorema Pythagoras untuk setiap segitiga?

Segitiga manakah yang disebut sama besar?

Merumuskan kriteria persamaan segitiga?

Sekarang mari kita lakukan sedikit pekerjaan mandiri:

Memecahkan masalah dengan menggunakan gambar.

№1

(1 b.) Temukan: AB.

№2

(1 b.) Temukan: VS.

№3

( 2 B.)Temukan: AC

№4

(1 poin)Temukan: AC

№5 Diberikan oleh: ABCDbelah ketupat

(2 b.) AB = 13 cm

AC = 10 cm

Temukan: BD

Tes mandiri No.1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Mempelajari baru bahan.

Orang Mesir kuno membangun sudut siku-siku di tanah dengan cara ini: mereka membagi tali menjadi 12 simpul bagian yang sama, diikat ujungnya, setelah itu tali direntangkan di atas tanah sehingga terbentuk segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 bagian. Sudut segitiga yang berhadapan dengan sisi yang mempunyai 5 bagian itu siku-siku.

Bisakah Anda menjelaskan kebenaran penilaian ini?

Sebagai hasil dari pencarian jawaban atas pertanyaan tersebut, siswa harus memahami bahwa dari sudut pandang matematika, pertanyaan yang diajukan: apakah segitiga itu siku-siku?

Kami mengajukan masalah: bagaimana menentukan, tanpa melakukan pengukuran, apakah sebuah segitiga dengan sisi-sisi tertentu akan berbentuk persegi panjang. Memecahkan masalah ini adalah tujuan pelajaran.

Tuliskan topik pelajaran.

Dalil. Jika jumlah kuadrat dua sisi suatu segitiga sama dengan kuadrat sisi ketiganya, maka segitiga tersebut siku-siku.

Buktikan teorema secara mandiri (buat rencana pembuktian menggunakan buku teks).

Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa segitiga dengan sisi 3, 4, 5 adalah siku-siku (Mesir).

Secara umum, angka-angka yang memiliki kesetaraan , disebut kembar tiga Pythagoras. Dan segitiga yang panjang sisinya dinyatakan dengan tripel Pythagoras (6, 8, 10) adalah segitiga Pythagoras.

Konsolidasi.

Karena , maka segitiga dengan sisi 12, 13, 5 tidak siku-siku.

Karena , maka segitiga dengan sisi 1, 5, 6 adalah siku-siku.

№ 430 (a,b,c)

( - tidak)

Tujuan pelajaran:

Pendidikan: merumuskan dan membuktikan teorema Pythagoras dan teorema invers teorema Pythagoras. Tunjukkan signifikansi historis dan praktisnya.

Perkembangan: mengembangkan perhatian, daya ingat, pemikiran logis siswa, kemampuan menalar, membandingkan, dan menarik kesimpulan.

Pendidikan: menumbuhkan minat dan kecintaan terhadap mata pelajaran, ketelitian, kemampuan mendengarkan kawan dan guru.

Peralatan: Potret Pythagoras, poster dengan tugas konsolidasi, buku teks “Geometri” untuk kelas 7-9 (I.F. Sharygin).

Rencana pelajaran:

I. Momen organisasi – 1 menit.

II. Memeriksa pekerjaan rumah – 7 menit.

AKU AKU AKU. Pidato pengantar oleh guru, latar belakang sejarah – 4-5 menit.

IV. Perumusan dan pembuktian teorema Pythagoras – 7 menit.

V. Rumusan dan pembuktian teorema kebalikan teorema Pythagoras – 5 menit.

Mengkonsolidasikan materi baru:

a) lisan – 5-6 menit.
b) tertulis – 7-10 menit.

VII. Pekerjaan rumah– 1 menit.

VIII. Menyimpulkan pelajaran – 3 menit.

Kemajuan pelajaran

I. Momen organisasi.

II. Memeriksa pekerjaan rumah.

ayat 7.1, No. 3 (di papan sesuai gambar yang sudah jadi).

Kondisi: Ketinggian segitiga siku-siku membagi sisi miring menjadi segmen-segmen dengan panjang 1 dan 2. Temukan kaki-kaki segitiga ini.

SM = sebuah; CA = b; BA = c; BD = sebuah 1 ; DA = b 1 ; CD = jam C

Pertanyaan tambahan: tuliskan perbandingan pada segitiga siku-siku.

Bagian 7.1, No. 5. Potong segitiga siku-siku menjadi tiga segitiga sebangun.

Menjelaskan.

ASN ~ ABC ~ SVN

(menarik perhatian siswa pada kebenaran penulisan titik-titik sudut pada segitiga sebangun)

AKU AKU AKU. Pidato pengantar oleh guru, latar belakang sejarah.

Kebenaran akan tetap abadi begitu orang yang lemah menyadarinya!

Dan sekarang teorema Pythagoras benar, seperti pada zamannya yang jauh.

Bukan suatu kebetulan jika saya memulai pelajaran saya dengan kata-kata novelis Jerman Chamisso. Pelajaran kita hari ini adalah tentang teorema Pythagoras. Mari kita tuliskan topik pelajarannya.

Di depan Anda ada potret Pythagoras yang agung. Lahir pada tahun 576 SM. Setelah hidup selama 80 tahun, dia meninggal pada tahun 496 SM. Dikenal sebagai filsuf dan guru Yunani kuno. Dia adalah putra pedagang Mnesarchus, yang sering mengajaknya bepergian, sehingga bocah itu mengembangkan rasa ingin tahu dan keinginan untuk mempelajari hal-hal baru. Pythagoras adalah julukan yang diberikan kepadanya karena kefasihannya (“Pythagoras” berarti “persuasif dengan ucapan”). Dia sendiri tidak menulis apa pun. Semua pemikirannya dicatat oleh murid-muridnya. Sebagai hasil dari ceramah pertama yang diberikannya, Pythagoras memperoleh 2.000 siswa, yang bersama istri dan anak-anak mereka, membentuk sekolah besar dan menciptakan negara yang disebut “Yunani Raya”, yang didasarkan pada hukum dan aturan Pythagoras, dihormati. sebagai perintah ilahi. Ialah orang pertama yang menyebut penalarannya tentang makna hidup sebagai filsafat (filsafat). Dia rentan terhadap mistifikasi dan perilaku demonstratif. Suatu hari Pythagoras bersembunyi di bawah tanah, dan mengetahui segala sesuatu yang terjadi dari ibunya. Kemudian, dalam keadaan layu seperti tengkorak, dia menyatakan dalam pertemuan publik bahwa dia pernah ke Hades, dan menunjukkan pengetahuan yang menakjubkan tentang peristiwa-peristiwa duniawi. Karena itu, warga yang tersentuh mengenalinya sebagai Tuhan. Pythagoras tidak pernah menangis dan umumnya tidak dapat didekati oleh nafsu dan kegembiraan. Ia percaya bahwa dirinya berasal dari benih yang lebih baik dari benih manusia. Seluruh kehidupan Pythagoras adalah legenda yang bertahan hingga zaman kita dan memberi tahu kita tentang manusia paling berbakat di dunia kuno.

IV. Rumusan dan pembuktian teorema Pythagoras.

Anda mengetahui rumusan teorema Pythagoras dari mata kuliah aljabar Anda. Mari kita ingat dia.

Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.

Namun teorema ini telah dikenal bertahun-tahun sebelum Pythagoras. 1500 tahun sebelum Pythagoras, orang Mesir kuno mengetahui bahwa segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 adalah persegi panjang dan menggunakan sifat ini untuk membuat sudut siku-siku saat merencanakan bidang tanah dan membangun bangunan. Dalam karya matematika dan astronomi Tiongkok tertua yang sampai kepada kita, "Zhiu-bi", yang ditulis 600 tahun sebelum Pythagoras, di antara usulan lain yang berkaitan dengan segitiga siku-siku, terdapat teorema Pythagoras. Bahkan sebelumnya teorema ini telah diketahui umat Hindu. Jadi, Pythagoras tidak menemukan sifat segitiga siku-siku ini; dia mungkin orang pertama yang menggeneralisasi dan membuktikannya, mentransfernya dari bidang praktik ke bidang sains.

DENGAN zaman kuno matematikawan menemukan lebih banyak bukti teorema Pythagoras. Lebih dari satu setengah ratus di antaranya diketahui. Mari kita ingat bukti aljabar teorema Pythagoras, yang kita ketahui dari kursus aljabar. (“Matematika. Aljabar. Fungsi. Analisis data” G.V. Dorofeev, M., “Drofa”, 2000).

Ajaklah siswa untuk mengingat bukti gambar tersebut dan menuliskannya di papan tulis.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 ba

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Umat ​​​​Hindu kuno, yang memiliki alasan ini, biasanya tidak menuliskannya, tetapi menyertai gambar tersebut hanya dengan satu kata: “Lihat.”

Mari kita perhatikan dalam presentasi modern salah satu bukti milik Pythagoras. Di awal pelajaran, kita teringat teorema tentang relasi pada segitiga siku-siku:

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Mari kita jumlahkan dua persamaan terakhir suku demi suku:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

Meskipun bukti ini tampak sederhana, namun ini jauh dari yang paling sederhana. Lagi pula, untuk ini perlu menggambar tinggi segitiga siku-siku dan mempertimbangkan segitiga sebangun. Silakan tulis bukti ini di buku catatan Anda.

V. Rumusan dan pembuktian teorema kebalikan dari teorema Pythagoras.

Teorema apa yang disebut kebalikan dari teorema ini? (...jika kondisi dan kesimpulannya dibalik.)

Sekarang mari kita coba merumuskan teorema kebalikan dari teorema Pythagoras.

Jika pada suatu segitiga dengan sisi a, b dan c terpenuhi persamaan c 2 = a 2 + b 2, maka segitiga tersebut siku-siku, dan sudut siku-siku berhadapan dengan sisi c.

(Bukti teorema kebalikan di poster)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Membuktikan:

ABC - persegi panjang,

Bukti:

Perhatikan segitiga siku-siku A 1 B 1 C 1,

dimana C 1 = 90°, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Maka berdasarkan teorema Pythagoras, B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2.

Artinya, B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC pada ketiga sisi ABC adalah persegi panjang

C = 90°, yang perlu dibuktikan.

VI. Konsolidasi materi yang dipelajari (secara lisan).

1. Berdasarkan poster dengan gambar yang sudah jadi.

Gambar 1: cari AD jika ВD = 8, ВDA = 30°.

Gambar 2: carilah CD jika BE = 5, BAE = 45°.

Gambar 3: tentukan BD jika BC = 17, AD = 16.

2. Apakah suatu segitiga berbentuk persegi panjang jika sisi-sisinya dinyatakan dengan angka:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (tidak)	9 2 + 12 2 = 15 2 (ya)	15 2 + 20 2 = 25 2 (ya)

Apa nama bilangan kembar tiga pada dua kasus terakhir? (Pythagoras).

VI. Memecahkan masalah (secara tertulis).

Nomor 9. Sisi segitiga sama sisi sama dengan a. Tentukan tinggi segitiga tersebut, jari-jari lingkaran yang dibatasi, dan jari-jari lingkaran yang dibatasi.

14. Buktikan bahwa dalam segitiga siku-siku jari-jari lingkaran yang dibatasi sama dengan median sisi miring dan sama dengan setengah sisi miring.

VII. Pekerjaan rumah.

Paragraf 7.1, hal. 175-177, pelajari Teorema 7.4 (teorema Pythagoras umum), No.1 (lisan), No.2, No.4.

VIII. Ringkasan pelajaran.

Hal baru apa yang Anda pelajari di kelas hari ini? ............

Pythagoras adalah seorang filsuf pertama dan terutama. Sekarang saya ingin membacakan beberapa perkataannya, yang masih relevan bagi Anda dan saya di zaman kita.

• Jangan menimbulkan debu di jalan kehidupan.
• Lakukan hanya apa yang tidak akan membuat Anda kesal di kemudian hari dan tidak akan memaksa Anda untuk bertobat.
• Jangan pernah melakukan apa yang tidak Anda ketahui, tetapi pelajari semua yang perlu Anda ketahui, dan kemudian Anda akan menjalani kehidupan yang tenang.
• Jangan menutup mata saat ingin tidur, tanpa memikirkan segala tindakanmu di hari yang lalu.
• Belajar hidup sederhana dan tanpa kemewahan.

Teorema Pythagoras menyatakan:

Pada segitiga siku-siku, jumlah kuadrat kaki-kakinya sama dengan kuadrat sisi miring:

a 2 + b 2 = c 2,

• A Dan B– kaki membentuk sudut siku-siku.
• Dengan– sisi miring segitiga.

Rumus teorema Pythagoras

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Bukti Teorema Pythagoras

Luas segitiga siku-siku dihitung dengan rumus:

S = \frac(1)(2)ab

Untuk menghitung luas segitiga sembarang, rumus luasnya adalah:

• P– setengah keliling. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• R– jari-jari lingkaran yang tertulis. Untuk persegi panjang r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Kemudian kita samakan ruas kanan kedua rumus luas segitiga:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \kiri((a+b)^(2) -c^(2) \kanan)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Kebalikan teorema Pythagoras:

Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, maka segitiga tersebut siku-siku. Artinya, untuk ketiganya angka positif a, b Dan C, seperti yang

a 2 + b 2 = c 2,

ada segitiga siku-siku dengan kaki A Dan B dan sisi miring C.

teorema Pythagoras- salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Hal ini dibuktikan oleh ahli matematika dan filsuf terpelajar Pythagoras.

Arti dari teorema Intinya bisa digunakan untuk membuktikan teorema lain dan menyelesaikan masalah.

Bahan tambahan:

Menurut Van der Waerden, kemungkinan besar demikian pandangan umum sudah dikenal di Babilonia sekitar abad ke-18 SM. e.

Sekitar 400 SM. SM, menurut Proclus, Plato memberikan metode untuk menemukan kembar tiga Pythagoras, dengan menggabungkan aljabar dan geometri. Sekitar 300 SM. e. Bukti aksiomatik tertua dari teorema Pythagoras muncul dalam Elemen Euclid.

Formulasi

Rumusan dasarnya berisi operasi aljabar - pada segitiga siku-siku yang panjangnya sama a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b), dan panjang sisi miringnya adalah c (\gaya tampilan c), relasi berikut terpenuhi:

.

Rumusan geometri yang setara juga dimungkinkan, dengan menggunakan konsep luas bangun: dalam segitiga siku-siku, luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun di sisi miring. kaki. Teorema ini dirumuskan dalam bentuk ini dalam Elemen Euclid.

Membalikkan teorema Pythagoras- pernyataan tentang persegi panjang suatu segitiga, yang panjang sisi-sisinya dihubungkan oleh relasi a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Akibatnya, untuk setiap tiga kali lipat bilangan positif a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b) Dan c (\gaya tampilan c), seperti yang a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), ada segitiga siku-siku yang kakinya a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c).

Bukti

Setidaknya ada 400 bukti teorema Pythagoras yang tercatat dalam literatur ilmiah, yang dijelaskan oleh signifikansi fundamentalnya bagi geometri dan sifat dasar hasilnya. Arahan utama pembuktian adalah: penggunaan aljabar hubungan antar unsur-unsur segitiga (misalnya metode keserupaan yang populer), metode luas, ada juga berbagai pembuktian eksotik (misalnya menggunakan persamaan diferensial).

Melalui segitiga sebangun

Pembuktian klasik Euclid bertujuan untuk menetapkan persamaan luas antar persegi panjang yang dibentuk dengan membedah persegi di atas sisi miring dengan tinggi sudut kanan dengan kotak di atas kaki.

Konstruksi yang digunakan untuk pembuktian adalah sebagai berikut: untuk segitiga siku-siku yang sudutnya siku-siku C (\gaya tampilan C), bujur sangkar di atas kaki dan dan bujur sangkar di atas sisi miring A B I K (\displaystyle ABIK) ketinggian sedang dibangun CH dan sinar yang melanjutkannya s (\gaya tampilan s), membagi persegi di atas sisi miring menjadi dua persegi panjang dan . Pembuktian tersebut bertujuan untuk menetapkan persamaan luas persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) dengan kotak di atas kaki AC (\gaya tampilan AC); persamaan luas persegi panjang kedua, yang merupakan persegi di atas sisi miring, dan persegi panjang di atas kaki lainnya, dibuat dengan cara yang sama.

Persamaan luas persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) Dan A C E D (\displaystyle ACED) ditentukan melalui kongruensi segitiga △ A C K ​​​​(\displaystyle \segitiga ACK) Dan △ A B D (\displaystyle \segitiga ABD), yang luasnya masing-masing sama dengan setengah luas persegi A H J K (\displaystyle AHJK) Dan A C E D (\displaystyle ACED) oleh karena itu, sehubungan dengan sifat-sifat berikut: luas segitiga sama dengan setengah luas persegi panjang jika bangun-bangun tersebut mempunyai sisi yang sama, dan tinggi segitiga terhadap sisi yang sama adalah sisi yang lain dari persegi panjang. Kekongruenan segitiga mengikuti persamaan dua sisi (sisi persegi) dan sudut di antara keduanya (terdiri dari sudut siku-siku dan sudut di A (\gaya tampilan A).

Dengan demikian, pembuktian menetapkan bahwa luas persegi di atas sisi miring terdiri dari persegi panjang A H J K (\displaystyle AHJK) Dan B H J I (\displaystyle BHJI), sama dengan jumlah luas persegi di atas kaki-kakinya.

Bukti Leonardo da Vinci

Metode luas juga mencakup pembuktian yang ditemukan oleh Leonardo da Vinci. Biarkan segitiga siku-siku diberikan △ A B C (\displaystyle \segitiga ABC) dengan sudut siku-siku C (\gaya tampilan C) dan kotak A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Dan A B H J (\displaystyle ABHJ)(lihat gambar). Dalam bukti ini di samping HJ (\gaya tampilan HJ) yang terakhir, sebuah segitiga dibangun di sisi luarnya, kongruen △ A B C (\displaystyle \segitiga ABC), terlebih lagi, tercermin baik relatif terhadap sisi miring maupun relatif terhadap ketinggiannya (yaitu, J I = B C (\displaystyle JI=BC) Dan HI = AC (\displaystyle HI=AC)). Lurus CI (\displaystyle CI) membagi persegi yang dibangun di sisi miring menjadi dua bagian yang sama, karena segitiga △ A B C (\displaystyle \segitiga ABC) Dan △ JHI (\displaystyle \segitiga JHI) setara dalam konstruksi. Buktinya membuktikan kekongruenan segi empat C A J I (\displaystyle CAJI) Dan D A B G (\displaystyle DABG), luas masing-masingnya ternyata, di satu sisi, sama dengan jumlah setengah luas persegi di kaki-kakinya dan luas segitiga aslinya, di sisi lain, setengah luasnya. luas persegi pada sisi miring ditambah luas segitiga asal. Secara total, setengah jumlah luas persegi di atas kaki sama dengan setengah luas persegi di atas sisi miring, yang setara dengan rumusan geometri teorema Pythagoras.

Buktikan dengan metode yang sangat kecil

Ada beberapa pembuktian dengan menggunakan teknik persamaan diferensial. Secara khusus, Hardy dikreditkan dengan bukti menggunakan penambahan kaki yang sangat kecil a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c), dan menjaga kemiripan dengan persegi panjang aslinya, yaitu memastikan terpenuhinya hubungan diferensial berikut:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Dengan menggunakan metode pemisahan variabel, seseorang dapat memperolehnya persamaan diferensial c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), yang integrasinya menghasilkan relasi c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Penerapan kondisi awal a = b = c = 0 (\gaya tampilan a=b=c=0) mendefinisikan konstanta sebagai 0, yang menghasilkan pernyataan teorema.

Ketergantungan kuadrat pada rumus akhir muncul karena proporsionalitas linier antara sisi-sisi segitiga dan pertambahan, sedangkan penjumlahannya dikaitkan dengan kontribusi bebas dari pertambahan kaki-kaki yang berbeda.

Variasi dan generalisasi

Bentuk geometris serupa di tiga sisi

Generalisasi geometris yang penting dari teorema Pythagoras diberikan oleh Euclid dalam Elemen, berpindah dari luas persegi di sisinya ke luas yang serupa secara sembarang. bentuk geometris: jumlah luas bangun-bangun yang dibangun di atas kaki-kakinya akan sama dengan luas bangun-bangun serupa yang dibangun di sisi miring.

Gagasan utama dari generalisasi ini adalah bahwa luas bangun geometris tersebut sebanding dengan kuadrat dari setiap dimensi liniernya dan, khususnya, dengan kuadrat panjang salah satu sisinya. Oleh karena itu, untuk angka serupa dengan luas A (\gaya tampilan A), B (\gaya tampilan B) Dan C (\gaya tampilan C), dibangun di atas kaki yang panjang a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) dan sisi miring c (\gaya tampilan c) Oleh karena itu, hubungan berikut ini berlaku:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Panah Kanan \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Karena menurut teorema Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), lalu selesai.

Selain itu, jika dimungkinkan untuk membuktikan tanpa menggunakan teorema Pythagoras bahwa untuk tiga kotak bangun datar yang sebangun pada sisi-sisi segitiga siku-siku mempunyai hubungan sebagai berikut: A + B = C (\gaya tampilan A+B=C), kemudian dengan menggunakan kebalikan dari bukti generalisasi Euclid, seseorang dapat memperoleh bukti teorema Pythagoras. Misalnya, jika pada sisi miring kita membuat segitiga siku-siku yang kongruen dengan segitiga awal yang mempunyai luas C (\gaya tampilan C), dan di sisinya - dua segitiga siku-siku sebangun dengan luas A (\gaya tampilan A) Dan B (\gaya tampilan B), maka ternyata segitiga-segitiga pada sisi-sisinya terbentuk sebagai hasil pembagian segitiga awal dengan tingginya, yaitu jumlah dua luas segitiga yang lebih kecil sama dengan luas segitiga ketiga, jadi A + B = C (\gaya tampilan A+B=C) dan, dengan menerapkan relasi untuk angka-angka serupa, teorema Pythagoras diturunkan.

Teorema kosinus

Teorema Pythagoras adalah kasus khusus lagi teorema umum cosinus, yang menghubungkan panjang sisi-sisi dalam segitiga sembarang:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

di mana sudut antara sisi-sisinya a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b). Jika sudutnya 90°, maka cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), dan rumusnya disederhanakan menjadi teorema Pythagoras biasa.

Segitiga Bebas

Ada generalisasi teorema Pythagoras pada segitiga sembarang, yang beroperasi hanya pada rasio panjang sisinya, diyakini pertama kali ditetapkan oleh astronom Sabian Thabit ibn Qurra. Di dalamnya, untuk segitiga sembarang yang memiliki sisi, segitiga sama kaki dengan alas di sisinya cocok ke dalamnya c (\gaya tampilan c), titik sudut yang berimpit dengan titik sudut segitiga asal, berhadapan dengan sisinya c (\gaya tampilan c) dan sudut pada alasnya sama dengan sudutnya θ (\displaystyle \theta ), sisi berlawanan c (\gaya tampilan c). Hasilnya, dua segitiga terbentuk, mirip dengan aslinya: yang pertama - dengan sisi a (\gaya tampilan a), sisi terjauh dari tulisan itu segitiga sama kaki, Dan r (\gaya tampilan r)- bagian samping c (\gaya tampilan c); yang kedua - secara simetris dari samping b (\gaya tampilan b) dengan sisinya s (\gaya tampilan s)- bagian samping yang sesuai c (\gaya tampilan c). Hasilnya, hubungan berikut terpenuhi:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

merosot ke dalam teorema Pythagoras di θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Hubungan tersebut merupakan akibat dari kemiripan segitiga yang terbentuk:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Panah Kanan \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Teorema Pappus tentang luas

Geometri non-Euclidean

Teorema Pythagoras diturunkan dari aksioma geometri Euclidean dan tidak berlaku untuk geometri non-Euclidean - pemenuhan teorema Pythagoras setara dengan postulat paralelisme Euclidian.

Dalam geometri non-Euclidean, hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku tentu bentuknya berbeda dengan teorema Pythagoras. Misalnya, dalam geometri bola, ketiga sisi segitiga siku-siku, yang membatasi oktan satuan bola, mempunyai panjang π / 2 (\displaystyle \pi /2), yang bertentangan dengan teorema Pythagoras.

Selain itu, teorema Pythagoras berlaku dalam geometri hiperbolik dan elips jika syarat segitiga berbentuk persegi panjang diganti dengan syarat jumlah dua sudut segitiga harus sama dengan sepertiga.

Geometri bola

Untuk setiap segitiga siku-siku pada bola yang berjari-jari R (\gaya tampilan R)(misalnya, jika sudut suatu segitiga siku-siku) dengan sisi-sisinya a , b , c (\gaya tampilan a,b,c) hubungan kedua belah pihak adalah:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\kanan)\cdot \cos \kiri((\frac (b)(R))\kanan)).

Persamaan ini dapat diturunkan sebagai kasus khusus dari teorema kosinus bola, yang berlaku untuk semua segitiga bola:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\kanan)=\cos \kiri((\frac (a)(R))\kanan)\cdot \cos \kiri((\frac (b)(R))\kanan)+\ sin \kiri((\frac (a)(R))\kanan)\cdot \sin \kiri((\frac (b)(R))\kanan)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \nama operator (ch) c=\nama operator (ch) a\cdot \nama operator (ch) b),

Di mana ch (\displaystyle \nama operator (ch) )- kosinus hiperbolik. Rumus ini merupakan kasus khusus dari teorema kosinus hiperbolik, yang berlaku untuk semua segitiga:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \nama operator (ch) c=\nama operator (ch) a\cdot \nama operator (ch) b-\nama operator (sh) a\cdot \nama operator (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Di mana γ (\displaystyle \gamma )- sudut yang titik sudutnya berhadapan dengan sisinya c (\gaya tampilan c).

Menggunakan deret Taylor untuk kosinus hiperbolik ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \nama operator (ch) x\kira-kira 1+x^(2)/2)) dapat ditunjukkan bahwa jika suatu segitiga hiperbolik mengecil (yaitu kapan a (\gaya tampilan a), b (\gaya tampilan b) Dan c (\gaya tampilan c) cenderung nol), maka relasi hiperbolik pada segitiga siku-siku mendekati relasi teorema klasik Pythagoras.

Aplikasi

Jarak dalam sistem persegi panjang dua dimensi

Penerapan teorema Pythagoras yang paling penting adalah menentukan jarak antara dua titik dalam sistem koordinat persegi panjang: jarak s (\gaya tampilan s) antar titik dengan koordinat (a , b) (\gaya tampilan (a,b)) Dan (c , d) (\gaya tampilan (c,d)) sama dengan:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Untuk bilangan kompleks Teorema Pythagoras memberikan rumus alami untuk mencari modulus bilangan kompleks - untuk z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) itu sama dengan panjangnya

Pertimbangan topik kurikulum sekolah Menggunakan video pelajaran adalah cara mudah untuk mempelajari dan menguasai materi. Video ini membantu memusatkan perhatian siswa pada prinsip-prinsip teori utama dan tidak ketinggalan detail penting. Jika perlu, siswa selalu dapat mendengarkan kembali video pelajaran atau kembali ke beberapa topik.

Video pelajaran untuk kelas 8 ini akan membantu siswa belajar topik baru dalam geometri.

Pada topik sebelumnya, kita telah mempelajari teorema Pythagoras dan menganalisis pembuktiannya.

Ada juga teorema yang dikenal dengan teorema invers Pythagoras. Mari kita lihat lebih dekat.

Dalil. Suatu segitiga dikatakan siku-siku jika memenuhi persamaan berikut: nilai salah satu sisi segitiga dikuadratkan sama dengan jumlah dua sisi lainnya dikuadratkan.

Bukti. Misalkan kita diberikan segitiga ABC, yang persamaan AB 2 = CA 2 + CB 2 berlaku. Perlu dibuktikan bahwa sudut C sama dengan 90 derajat. Perhatikan sebuah segitiga A 1 B 1 C 1 yang sudut C 1 sama dengan 90 derajat, sisi C 1 A 1 sama dengan CA dan sisi B 1 C 1 sama dengan BC.

Dengan menerapkan teorema Pythagoras, kita menuliskan perbandingan sisi-sisi pada segitiga A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Dengan mengganti ekspresi dengan sisi yang sama, kita peroleh A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.

Dari kondisi teorema kita mengetahui bahwa AB 2 = CA 2 + CB 2. Maka kita dapat menulis A 1 B 1 2 = AB 2, sehingga A 1 B 1 = AB.

Diketahui bahwa pada segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 ketiga sisinya sama besar: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Jadi segitiga-segitiga ini sama besar. Dari persamaan segitiga dapat disimpulkan bahwa sudut C sama dengan sudut C 1 dan karenanya sama dengan 90 derajat. Diketahui segitiga ABC siku-siku dan sudut C 90 derajat. Kami telah membuktikan teorema ini.

Selanjutnya penulis memberikan contoh. Misalkan kita diberi segitiga sembarang. Diketahui ukuran sisi-sisinya: 5, 4 dan 3 satuan. Mari kita periksa pernyataan kebalikan teorema Pythagoras: 5 2 = 3 2 + 4 2. Pernyataan tersebut benar, artinya segitiga tersebut siku-siku.

Pada contoh berikut, segitiga juga merupakan segitiga siku-siku jika sisi-sisinya sama besar:

5, 12, 13 unit; persamaan 13 2 = 5 2 + 12 2 benar;

8, 15, 17 unit; persamaan 17 2 = 8 2 + 15 2 benar;

7, 24, 25 unit; persamaan 25 2 = 7 2 + 24 2 benar.

Konsep segitiga Pythagoras telah diketahui. Ini adalah segitiga siku-siku yang sisi-sisinya sama dengan bilangan bulat. Jika kaki-kaki segitiga Pythagoras dilambangkan dengan a dan c, dan sisi miringnya dilambangkan dengan b, maka nilai sisi-sisi segitiga tersebut dapat ditulis dengan menggunakan rumus berikut:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

dimana m, n, k adalah sembarang bilangan asli, dan nilainya m nilai yang lebih besar N.

Fakta menarik: segitiga dengan sisi 5, 4 dan 3 disebut juga segitiga Mesir; segitiga seperti itu dikenal di Mesir Kuno.

Pada video pembelajaran kali ini kita mempelajari teorema kebalikan dari teorema Pythagoras. Kami memeriksa buktinya secara detail. Siswa juga mempelajari segitiga apa saja yang disebut segitiga Pythagoras.

Siswa dapat dengan mudah membiasakan diri dengan topik “Teorema Invers Pythagoras” dengan bantuan video pelajaran ini.