벡터 곱의 제곱을 찾는 방법. 벡터 제품

벡터 곱의 개념을 제공하기 전에 3차원 공간에서 벡터 a → , b → , c → 의 순서 삼중의 방향에 대한 질문으로 돌아가 보겠습니다.

우선 한 점에서 a → , b → , c → 벡터를 따로 둡니다. 삼중 a → , b → , c → 의 방향은 벡터 c → 의 방향에 따라 오른쪽 또는 왼쪽입니다. 벡터 a → 에서 b → 벡터 c → 끝에서 가장 짧은 방향으로 회전하는 방향에서 트리플 a → , b → , c → 의 형태가 결정됩니다.

가장 짧은 회전이 시계 반대 방향이면 a → , b → , c → 벡터의 3배가 호출됩니다. 오른쪽시계 방향이면 - 왼쪽.

다음으로, 두 개의 비공선 벡터 a → 및 b → 를 취합니다. 그런 다음 점 A에서 벡터 A B → = a → 및 A C → = b →를 연기합시다. A B → 와 A C → 에 동시에 수직인 벡터 A D → = c → 를 구성합시다. 따라서 벡터 A D → = c →를 구성할 때 한 방향 또는 반대 방향으로 두 가지를 수행할 수 있습니다(그림 참조).

벡터 a → , b → , c → 순서가 있는 트리오는 벡터의 방향에 따라 오른쪽 또는 왼쪽이 될 수 있습니다.

위로부터 벡터 곱의 정의를 소개할 수 있습니다. 이 정의는 3차원 공간의 직교좌표계에 정의된 두 벡터에 대해 주어진다.

정의 1

두 벡터의 벡터 곱 → 및 b → 다음과 같이 3차원 공간의 직교 좌표계에서 주어진 벡터를 호출합니다.

벡터 → 및 b →가 동일선상에 있으면 0이 됩니다.
벡터 →와 벡터 b → 모두에 수직이 됩니다. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
길이는 다음 공식에 의해 결정됩니다. c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
벡터 a → , b → , c →의 삼중항은 주어진 좌표계와 같은 방향을 갖습니다.

벡터 a → 및 b →의 외적은 다음과 같은 표기법을 갖습니다. a → × b → .

외적 좌표

모든 벡터는 좌표계에 특정 좌표가 있으므로 외적의 두 번째 정의를 도입할 수 있습니다. 이를 통해 주어진 벡터 좌표에서 좌표를 찾을 수 있습니다.

정의 2

3차원 공간의 직교좌표계에서 두 벡터 a → = (a x ; a y ; a z) 및 b → = (b x ; b y ; b z)의 벡터 곱 벡터 호출 c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → , 여기서 i → , j → , k →는 좌표 벡터입니다.

벡터 곱은 행렬식으로 나타낼 수 있습니다. 정방행렬첫 번째 줄은 벡터 i → , j → , k → 이고 두 번째 줄은 벡터 a → 좌표를 포함하고 세 번째 줄은 주어진 직교 좌표에서 벡터 b → 좌표를 포함합니다. 시스템에서 이 행렬 행렬식은 다음과 같습니다. c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

첫 번째 행의 요소에 대해 이 행렬식을 확장하면 등식을 얻을 수 있습니다. c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

교차 제품 속성

좌표의 벡터 곱은 행렬 c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z 의 행렬식으로 표현되며, 그 다음 기저에 행렬 행렬식 속성다음과 같은 벡터 제품 속성:

반가환성 a → × b → = - b → × a → ;
분포 a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → or a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
결합성 λ a → × b → = λ a → × b → 또는 a → × (λ b →) = λ a → × b → , 여기서 λ는 임의의 실수입니다.

이러한 속성에는 복잡한 증명이 없습니다.

예를 들어 벡터 곱의 반가환성 속성을 증명할 수 있습니다.

반가환성 증명

정의에 따르면 a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z 및 b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . 그리고 행렬의 두 행이 교환되면 행렬의 행렬식 값이 반대로 변경되어야 하므로 a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a → , 이는 벡터 곱의 반가환성을 증명합니다.

벡터 제품 - 예제 및 솔루션

대부분의 경우 세 가지 유형의 작업이 있습니다.

첫 번째 유형의 문제에서는 일반적으로 두 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도가 제공되지만 외적의 길이를 찾아야 합니다. 이 경우 다음 공식을 사용하십시오. c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

실시예 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 가 알려진 경우 벡터 a → 및 b →의 외적 길이를 구합니다.

해결책

벡터 → 및 b → 벡터 곱의 길이 정의를 사용하여 해결 이 작업: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

답변: 15 2 2 .

두 번째 유형의 작업은 벡터 좌표와 연결되며 벡터 곱, 길이 등이 포함됩니다. 주어진 벡터의 알려진 좌표를 통해 검색됩니다. a → = (x ; y ; z) 그리고 b → = (b x ; b y ; b z) .

이러한 유형의 작업의 경우 작업에 대한 많은 옵션을 해결할 수 있습니다. 예를 들어, 벡터 a → 및 b → 의 좌표가 아니라 다음 형식의 좌표 벡터에서 확장됩니다. b → = b x i → + b y j → + b z k → 그리고 c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → 또는 벡터 a → 및 b →는 다음과 같을 수 있습니다. 시작점과 끝점의 좌표로 제공됩니다.

다음 예를 고려하십시오.

실시예 2

직교 좌표계 a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) 에 두 개의 벡터가 설정됩니다. 벡터 제품을 찾으십시오.

해결책

두 번째 정의에 의해 주어진 좌표에서 두 벡터의 벡터 곱을 찾습니다. a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2j → - 2k → .

행렬 행렬식을 통해 벡터 곱을 쓰면 이 예제의 해는 다음과 같습니다. a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2i → - 2j → - 2k → .

답변: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

실시예 3

벡터 i → - j → 및 i → + j → + k → 의 외적 길이를 구합니다. 여기서 i → , j → , k → - 직교 좌표계의 orts입니다.

해결책

먼저 주어진 직교좌표계에서 주어진 벡터곱 i → - j → × i → + j → + k →의 좌표를 구해보자.

벡터 i → - j → 및 i → + j → + k → 좌표가 각각 (1 ; - 1 ; 0) 및 (1 ; 1 ; 1)인 것으로 알려져 있습니다. 행렬 행렬식을 사용하여 벡터 곱의 길이를 찾으면 i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

따라서 벡터 곱 i → - j → × i → + j → + k → 좌표(- 1 ; - 1 ; 2) 주어진 시스템좌표.

다음 공식으로 벡터 곱의 길이를 찾습니다(벡터 길이 찾기 섹션 참조): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

답변: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

실시예 4

세 점 A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) 의 좌표는 직교 좌표계로 주어진다. A B → 및 A C → 동시에 수직인 벡터를 찾습니다.

해결책

벡터 A B → 및 A C →는 각각 다음 좌표(- 1 ; 2 ; 2) 및 (0 ; 4 ; 1)을 갖습니다. 벡터 A B → 와 A C → 의 벡터 곱을 구하면 A B → 와 A C → 둘 다에 대한 정의상 수직 벡터임이 분명합니다. 즉, 이것이 우리 문제의 해입니다. A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

답변: - 6 i → + j → - 4 k → . 수직 벡터 중 하나입니다.

세 번째 유형의 문제는 벡터의 벡터 곱의 속성을 사용하는 데 중점을 둡니다. which를 적용한 후 주어진 문제에 대한 솔루션을 얻을 것입니다.

실시예 5

벡터 a → 및 b →는 수직이고 길이는 각각 3과 4입니다. 외적의 길이 구하기 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

해결책

벡터 곱의 분포 속성에 의해 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

결합 속성에 의해 마지막 식에서 벡터 곱의 부호를 넘어 수치 계수를 제거합니다. 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

벡터 곱 a → × a → 및 b → × b →는 0과 같습니다. a → × a → = a → a → sin 0 = 0 및 b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , 다음 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

벡터 곱의 반가환성에서 - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

벡터 곱의 속성을 사용하여 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → 등식을 얻습니다.

조건에 따라 벡터 a → 와 b →는 수직입니다. 즉, 그 사이의 각도는 π 2 입니다. 이제 찾은 값을 해당 공식으로 대체하는 것만 남아 있습니다. 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → 죄 (a →, b →) = 5 3 4 죄 π 2 = 60.

답변: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

정의에 의한 벡터의 외적 길이는 a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → 입니다. 이미 알려져 있기 때문에 (에서 학교 과정) 삼각형의 면적은 두 변의 길이의 곱의 절반에 주어진 변 사이의 각도의 사인을 곱한 것입니다. 따라서 벡터 곱의 길이는 평행 사변형의 면적과 같습니다. 이중 삼각형, 즉 벡터 a → 및 b → 형태의 변의 곱은 한 점에서 사인으로 떨어져 있습니다. 그들 사이의 각의 sin ∠ a → , b → .

그게 다야 기하학적 감각벡터 제품입니다.

벡터 곱의 물리적 의미

물리학의 한 분야인 역학에서는 벡터 곱 덕분에 공간의 한 점에 대한 힘의 모멘트를 결정할 수 있습니다.

정의 3

힘 F → , 점 B , 점 A 에 대한 모멘트 아래에서 우리는 다음 벡터 곱 A B → × F → 를 이해할 것입니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

그만큼 온라인 계산기벡터의 외적을 계산합니다. 자세한 솔루션이 제공됩니다. 벡터의 외적을 계산하려면 셀에 벡터의 좌표를 입력하고 "계산"을 클릭하십시오.

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데이터 입력 지시.숫자는 정수(예: 487, 5, -7623 등), 소수(예: 67., 102.54 등) 또는 분수로 입력됩니다. 분수는 a/b 형식으로 입력해야 합니다. 여기서 a 및 b(b>0)는 정수 또는 십진수입니다. 예 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 등

벡터의 외적

벡터의 벡터 곱의 정의를 진행하기 전에 개념을 고려하십시오. 벡터의 순서 삼중, 벡터의 왼쪽 삼중, 벡터의 오른쪽 삼중.

정의 1. 세 개의 벡터가 호출됩니다. 트리플 주문(또는 트리플) 이러한 벡터 중 어느 것이 첫 번째이고 어느 것이 두 번째이고 어느 것이 세 번째인지 표시되는 경우.

녹음 cba- 의미 - 첫 번째는 벡터 씨, 두 번째는 벡터 비세 번째는 벡터입니다. ㅏ.

정의 2. 동일 평면이 아닌 벡터의 트리플 알파벳로 줄이면 오른쪽(왼쪽)이라고 합니다. 공통 시작, 이 벡터는 오른손(왼손)의 구부러지지 않은 큰 검지와 중지가 각각 위치할 때 위치합니다.

정의 2는 다른 방식으로 공식화될 수 있습니다.

정의 2. 동일 평면이 아닌 벡터의 트리플 알파벳벡터를 공통 원점으로 축소하면 오른쪽(왼쪽)이라고 합니다. 씨벡터에 의해 정의된 평면의 반대쪽에 위치 ㅏ그리고 비, 에서 가장 짧은 회전 ㅏ에게 비시계 반대 방향(시계 방향)으로 수행됩니다.

벡터 트리오 알파벳그림에 나와 있습니다. 1은 오른쪽과 트리플 알파벳그림에 나와 있습니다. 2개 남았습니다.

벡터의 두 트리플이 오른쪽 또는 왼쪽이면 방향이 같다고 합니다. 그렇지 않으면 반대 방향이라고 합니다.

정의 3. 세 개의 기본 벡터가 오른쪽(왼쪽) 삼중을 형성하는 경우 데카르트 또는 아테네 좌표계를 오른쪽(왼쪽)이라고 합니다.

명확성을 위해 다음에서는 오른손 좌표계만 고려할 것입니다.

정의 4. 벡터 아트벡터 ㅏ벡터당 비벡터라고 불리는 ~에서, 기호로 표시 c=[ab] (또는 c=[에이, ㄴ], 또는 c=a×b) 다음 세 가지 요구 사항을 충족합니다.

벡터 길이 ~에서벡터 길이의 곱과 같습니다. ㅏ그리고 비각도의 사인 φ 그들 사이에:

|씨|=|[ab]|=|ㅏ||비|죄φ;

(1)

벡터 ~에서각 벡터에 직교 ㅏ그리고 비;
벡터 씨세 가지가 되도록 지시했다. 알파벳맞다.

벡터의 외적에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

[ab]=−[바] (불변성요인);
[(λa)비]=λ [ab] (호환성수치적 요인에 상대적);
[(a+b)씨]=[ㅏ씨]+[비씨] (분포벡터의 합에 상대적);
[아아모든 벡터에 대해 ]=0 ㅏ.

벡터 외적의 기하학적 속성

정리 1. 두 벡터가 동일선상에 있으려면 벡터 곱이 0이어야 하는 것이 필요하고 충분합니다.

증거. 필요. 벡터를 보자 ㅏ그리고 비동일선상에 있는 그런 다음 그들 사이의 각도는 0 또는 180°이고 죄φ=죄180=죄 0=0. 따라서 식 (1)을 고려하면 벡터의 길이는 씨 0과 같습니다. 그 다음에 씨널 벡터.

적절. 벡터의 외적을 보자 ㅏ그리고 비 0으로 탐색: [ ab]=0. 벡터임을 증명하자. ㅏ그리고 비동일선상에 있는 벡터 중 하나 이상이면 ㅏ그리고 비 0이면 이러한 벡터는 동일선상에 있습니다(제로 벡터는 방향이 불확정이고 모든 벡터에 대해 동일선상으로 간주될 수 있기 때문입니다).

두 벡터가 모두 ㅏ그리고 비 0이 아닌 경우 | ㅏ|>0, |비|>0. 그런 다음 [ ab]=0이고 (1)에서 다음을 따릅니다. 죄φ=0. 따라서 벡터 ㅏ그리고 비동일선상에 있는

정리가 증명되었습니다.

정리 2. 벡터 곱의 길이(모듈러스) [ ab]는 면적과 같습니다. 에스공통 원점으로 축소된 벡터를 기반으로 하는 평행사변형 ㅏ그리고 비.

증거. 아시다시피, 평행 사변형의 면적은이 평행 사변형의 인접한 변과 그 사이의 각도 사인의 곱과 같습니다. 따라서:

그런 다음 이러한 벡터의 외적은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

첫 번째 행의 요소에 대해 행렬식을 확장하면 벡터의 분해를 얻습니다. a×b기초 나, 제, 케이, 이는 공식 (3)과 동일합니다.

정리 증명 3. 가능한 모든 기본 벡터 쌍 구성 나, 제, 케이벡터 곱을 계산합니다. 기저 벡터가 서로 직교하고, 오른쪽 삼중을 형성하고, 단위 길이를 갖는다는 것을 고려해야 합니다(즉, 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 나={1, 0, 0}, 제이={0, 1, 0}, 케이=(0, 0, 1)). 그런 다음 우리는 다음을 가지고 있습니다.

마지막 평등과 관계 (4)에서 우리는 다음을 얻습니다.

첫 번째 행이 기저 벡터인 3×3 행렬을 구성합니다. 나, 제, 케이,나머지 행은 벡터 요소로 채워집니다. ㅏ그리고 비:

따라서 벡터의 외적 결과 ㅏ그리고 비벡터가 될 것입니다:

예제 2. 벡터의 외적 찾기 [ ab], 여기서 벡터 ㅏ두 개의 점으로 표시됩니다. 벡터 a의 시작점: , 벡터의 끝점 ㅏ: , 벡터 비형태가 있다 .

솔루션: 첫 번째 벡터를 원점으로 이동합니다. 이렇게 하려면 끝점의 해당 좌표에서 시작점의 좌표를 뺍니다.

이 행렬의 행렬식을 첫 번째 행에서 확장하여 계산합니다. 이러한 계산의 결과로 우리는 벡터의 벡터 곱을 얻습니다. ㅏ그리고 비.

7.1. 외적의 정의

세 개의 동일 평면이 아닌 벡터 a , b 및 c 는 표시된 순서대로 취해지며, 세 번째 벡터 c의 끝에서 첫 번째 벡터 a에서 두 번째 벡터 b까지의 최단 회전이 시계 반대 방향으로 보이는 경우 오른쪽 삼중을 형성하고, 시계 방향이면 왼쪽입니다(그림 16 참조).

벡터 a와 벡터 b의 벡터 곱을 벡터 c라고 합니다.

1. 벡터 a 및 b에 수직, 즉 c ^ a 및 c ^ 비;

2. 그것은 벡터에 구축 된 평행 사변형의 면적과 수치 적으로 동일한 길이를 가지며비측면에서와 같이 (그림 17 참조), 즉.

3. 벡터 a , b 및 c는 오른쪽 삼중을 형성합니다.

벡터 곱은 x b 또는 [a,b]로 표시됩니다. 벡터 곱의 정의에서 내가 직접 따르는 ort 사이의 다음 관계는, 제이그리고 케이(그림 18 참조):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
예를 들어 다음을 증명합시다.나는 xj \u003d k.

1) k ^ 나는 , k ^ 제이;

2) |k |=1이지만 | 나는 x j| = |나 | |제| 죄(90°)=1;

3) 벡터 i , j 및 케이오른쪽 트리플을 형성합니다(그림 16 참조).

7.2. 교차 제품 속성

1. 요인이 재배열되면 벡터 곱은 부호를 변경합니다. 즉, 및 xb \u003d (b xa) (그림 19 참조).

벡터 a xb 및 b xa는 동일선상에 있고 동일한 모듈을 갖지만(평행사변형의 면적은 변경되지 않고 유지됨) 반대 방향(a, b 및 xb의 삼중 및 반대 방향의 a, b, b x a)입니다. 그건 도끼 = -(bxa).

2. 벡터 곱은 스칼라 인자, 즉 l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b)에 대한 조합 속성을 갖습니다.

l >0이라고 하자. 벡터 l(a xb)은 벡터 a와 b에 수직입니다. 벡터( 엘도끼 비또한 벡터에 수직이고 비(벡터 a, 엘그러나 같은 평면에 있습니다). 따라서 벡터 엘(a xb) 및 ( 엘도끼 비동일선상에 있는 그들의 방향이 일치하는 것은 분명합니다. 길이가 같습니다.

그렇기 때문에 엘(xb)= 엘 xb. 에 대해서도 유사하게 증명된다. 엘<0.

3. 0이 아닌 두 벡터 a 및 비벡터 곱이 0 벡터와 같을 때만 공선적입니다. 즉, ||b<=>그리고 xb \u003d 0.

특히, i *i =j *j =k *k =0 입니다.

4. 벡터 곱에는 분포 속성이 있습니다.

(a+b) xs = xs + 비엑스 .

증거없이 수락하십시오.

7.3. 좌표의 외적 표현

우리는 벡터 외적 테이블 i를 사용할 것입니다. 제이및 k :

첫 번째 벡터에서 두 번째 벡터까지의 최단 경로의 방향이 화살표의 방향과 일치하면 곱은 세 번째 벡터와 같고 일치하지 않으면 세 번째 벡터는 빼기 기호로 사용됩니다.

두 벡터 a =a x i +a y 제이+az 케이그리고 b=bx 나+by 제이+bz 케이. (벡터 곱의 속성에 따라) 다항식으로 곱하여 이러한 벡터의 벡터 곱을 찾아보겠습니다.

결과 공식은 더 짧게 작성할 수 있습니다.

등식(7.1)의 우변은 첫 번째 행의 요소 측면에서 3차 행렬식의 확장에 해당하므로 등식(7.2)은 기억하기 쉽습니다.

7.4. 외적의 일부 응용

벡터의 공선성 설정

평행 사변형과 삼각형의 면적 찾기

벡터의 외적 정의에 따르면 하지만그리고 b |xb | =| * |b |sing g , 즉 S par = |a x b | 따라서 D S \u003d 1/2 | a x b |.

한 점에 대한 힘의 모멘트 결정

점 A에 힘을 가하자 에프 = AB놔줘 에 대한- 공간의 어떤 지점(그림 20 참조).

물리학에서 알려져 있습니다. 토크 에프 점을 기준으로 에 대한벡터라고 불리는 중 ,점을 통과하는 것 에 대한그리고:

1) 점을 통과하는 평면에 수직 오, A, B;

2) 힘과 어깨의 곱과 수치적으로 동일

3) 벡터 OA 및 A B 로 오른쪽 삼중을 형성합니다.

따라서 M \u003d OA x F.

회전의 선형 속도 찾기

속도 V각속도로 회전하는 강체의 점 M 승고정 축 주위는 오일러 공식 v \u003d w x r에 의해 결정됩니다. 여기서 r \u003d OM, 여기서 O는 축의 일부 고정점입니다(그림 21 참조).

세 가지 벡터와 그 속성의 혼합 제품

혼합 제품 3개의 벡터를 와 같은 숫자라고 합니다. 표시 . 여기서 처음 두 벡터는 벡터 방식으로 곱한 다음 결과 벡터에 세 번째 벡터를 스칼라 방식으로 곱합니다. 분명히 그러한 제품은 몇 가지입니다.

혼합 제품의 특성을 고려하십시오.

기하학적 감각혼합 제품. 부호까지 3개 벡터의 혼합 곱은 모서리에서와 같이 이러한 벡터에 구축된 평행육면체의 부피와 같습니다. .
따라서, 그리고 .

증거. 공통 원점에서 벡터를 연기하고 그 위에 평행 육면체를 구축합시다. 라고 표시하고 주목합시다. 스칼라 곱의 정의에 의해

라고 가정하고 다음과 같이 표시합니다. 시간평행 육면체의 높이, 우리는 .

따라서

그렇다면, 그리고 . 결과적으로 .

이 두 경우를 결합하면 또는 가 됩니다.

특히 이 속성의 증명에서 벡터의 3중이 맞으면 혼합곱이고 왼쪽이면 입니다.
모든 벡터 , , 평등
이 속성에 대한 증명은 속성 1에서 나옵니다. 실제로, 그리고 . 또한 "+"와 "-"기호는 동시에 사용됩니다. 벡터와 및 및 사이의 각도는 모두 예각이거나 둔각입니다.
두 요소가 상호 교환되면 혼합 제품의 부호가 바뀝니다.
실제로, 혼합 제품을 고려한다면, 예를 들어, 또는
요인 중 하나가 0과 같거나 벡터가 동일 평면에 있는 경우에만 혼합 곱입니다.
증거.

따라서 3 벡터의 평면성에 대한 필요 충분 조건은 혼합 곱이 0이 되는 것입니다. 또한, 이로부터 3개의 벡터가 이면 공간에서 기저를 형성한다는 것을 알 수 있습니다.

벡터가 좌표 형식으로 주어지면 혼합 곱이 다음 공식에 의해 발견됨을 나타낼 수 있습니다.

.

따라서 혼합 곱은 첫 번째 줄에 첫 번째 벡터의 좌표가 포함되고 두 번째 줄에 두 번째 벡터의 좌표가 포함되며 세 번째 줄에 세 번째 벡터의 좌표가 포함되는 3차 행렬식이 있습니다.

예.

우주에서의 분석 기하학

방정식 F(x, y, z)= 0은 공간에서 정의 옥시즈어떤 표면, 즉 좌표가 있는 점의 자취 x, y, z이 방정식을 만족하십시오. 이 방정식을 표면 방정식이라고 하며, x, y, z– 현재 좌표.

그러나 종종 표면은 방정식으로 정의되지 않고 한 속성 또는 다른 속성을 갖는 공간의 점 집합으로 정의됩니다. 이 경우 기하학적 특성을 기반으로 표면의 방정식을 찾아야 합니다.

비행기.

일반 평면 벡터입니다.

주어진 점을 지나는 평면의 방정식

공간에서 임의의 평면 σ를 고려하십시오. 위치는 이 평면에 수직인 벡터를 설정하여 결정되며 일부 고정점 M0(x0, 0 0, z0) 평면 σ에 누워.

평면 σ에 수직인 벡터는 정상이 평면의 벡터입니다. 벡터가 좌표를 갖도록 하십시오.

주어진 점을 통과하는 평면 σ에 대한 방정식을 유도합니다. M0그리고 법선 벡터를 가집니다. 이렇게하려면 평면 σ에서 임의의 점을 취하십시오. M(x, y, z)벡터를 고려하십시오.

어떤 점을 위해 중α σ 벡터 따라서 그들의 스칼라 곱은 0과 같습니다. 이 평등은 포인트가 중ㅇ σ. 이 평면의 모든 점에 대해 유효하며 점을 위반하는 즉시 위반됩니다. 중평면 σ 밖에 있을 것입니다.

반경 벡터로 포인트를 표시하면 중는 점의 반지름 벡터입니다. M0, 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 방정식은 벡터평면 방정식. 좌표 형태로 작성해 봅시다. 그때부터

따라서 우리는 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식을 얻었습니다. 따라서 평면의 방정식을 작성하려면 법선 벡터의 좌표와 평면에 있는 어떤 점의 좌표를 알아야 합니다.

평면의 방정식은 현재 좌표에 대한 1차 방정식입니다. x, y그리고 지.

예.

평면의 일반 방정식

데카르트 좌표에 대한 1차 방정식이 다음과 같이 표시될 수 있습니다. x, y, z어떤 평면의 방정식이다. 이 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

Ax+By+Cz+D=0

그리고 불렀다 일반 방정식평면과 좌표 A, B, C다음은 평면의 법선 벡터의 좌표입니다.

일반 방정식의 특정 경우를 살펴보겠습니다. 방정식의 하나 이상의 계수가 사라진 경우 좌표계를 기준으로 평면이 어떻게 위치하는지 알아보겠습니다.

A는 축의 평면에 의해 잘린 세그먼트의 길이입니다. 황소. 마찬가지로 다음을 보여줄 수 있습니다. 비그리고 씨축에서 고려된 평면에 의해 잘린 세그먼트의 길이입니다. 오이그리고 온스.

평면을 구성하기 위해 선분에서 평면의 방정식을 사용하는 것이 편리합니다.

벡터 i, j 및 k의 외적 테이블을 사용합니다.

두 벡터 a=axi +ayj +azk 및 b =bxi +byj +bzk가 주어집니다. (벡터 곱의 속성에 따라) 다항식으로 곱하여 이러한 벡터의 벡터 곱을 찾아보겠습니다.
결과 공식은 더 짧게 작성할 수 있습니다. 등식(7.1)의 우변은 첫 번째 행의 요소 측면에서 3차 행렬식의 확장에 해당하므로 등식(7.2)은 기억하기 쉽습니다.

7.4. 외적의 일부 응용

벡터의 공선성 설정.
평행 사변형과 삼각형의 면적 찾기

벡터와 b의 외적 정의에 따르면 | xb | = |아| * |b |sing , 즉 S 쌍 = |a x b | 따라서 DS \u003d 1/2 | a x b |.

한 점에 대한 힘의 모멘트 결정

힘 F = AB를 점 A에 가하고 O를 공간의 어떤 점이라고 하자. 물리학에서 점 O에 대한 힘 F의 모멘트는 점 O를 통과하는 벡터 M이며 다음과 같이 알려져 있습니다.

1) 점 O, A, B를 통과하는 평면에 수직;

2) 수치적으로 힘의 곱과 같으며 팔 3) 벡터 OA 및 A B와 함께 오른쪽 트리플을 형성합니다.

따라서 M=OA x F입니다. 회전의 선형 속도 찾기

고정 축을 중심으로 각속도 w로 회전하는 강체의 점 M의 속도 v는 오일러 공식 v \u003d wxr에 의해 결정됩니다. 여기서 r \u003d OM, 여기서 O는 축의 일부 고정점입니다(그림 3 참조). 21).

벡터 사이의 각도

두 벡터의 스칼라 곱의 정의에서 다음이 성립합니다. , 공식 (1.6.3.1)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

벡터를 기반으로 하는 평행사변형의 면적

선분의 길이, 점 사이의 거리, 표면적 및 몸체의 부피를 측정하는 작업은 일반적으로 미터법이라고 하는 중요한 문제 부류에 속합니다. 이전 섹션에서 벡터 대수학을 사용하여 선 길이와 점 사이의 거리를 계산하는 방법을 배웠습니다. 이제 우리는 면적과 부피를 계산하는 방법을 찾을 것입니다. 벡터 대수학을 사용하면 상당히 간단한 경우에만 유사한 문제를 설정하고 해결할 수 있습니다. 임의의 표면의 면적과 임의의 물체의 부피를 계산하려면 분석 방법이 필요합니다. 그러나 분석 방법은 본질적으로 벡터 대수학이 제공하는 결과를 기반으로 합니다.

이 문제를 해결하기 위해 우리는 Gilbert Strang이 제안한 수많은 기하학적 변환 및 힘든 대수 계산과 관련된 다소 길고 어려운 경로를 선택했습니다. 목표에 더 빨리 도달할 수 있는 다른 접근 방식이 있음에도 불구하고 우리는 이 경로를 선택했습니다. 과학의 직접적인 경로가 항상 쉬운 것은 아닙니다. 교양 있는 사람들은 이것을 알고 회전교차로를 선호하지만, 똑바로 가려고 하지 않으면 이론의 일부 미묘함을 무시할 수 있습니다.

우리가 선택한 경로에는 공간의 방향, 행렬식, 벡터 및 혼합 곱과 같은 개념이 자연스럽게 나타납니다. 특히 현미경으로 볼 때 행렬식의 기하학적 의미와 속성이 분명히 드러난다. 전통적으로 행렬식의 개념은 선형 방정식 시스템 이론에 도입되었지만 이러한 시스템을 풀기 위해 행렬식이 거의 쓸모가 없습니다. 행렬식의 기하학적 의미는 벡터 및 텐서 대수학에 필수적입니다.

이제 인내심을 갖고 가장 간단하고 이해하기 쉬운 사례부터 시작하겠습니다.

1. 벡터의 방향은 데카르트 좌표계의 좌표축을 따라 지정됩니다.

벡터 a는 x축을 따라, 벡터 b는 y축을 따라 지정됩니다. 무화과에. 도 21은 좌표축에 대한 벡터의 배열을 위한 4가지 다른 옵션을 보여준다.

좌표 형식의 벡터 a 및 b: 여기서 및 b는 해당 벡터의 계수를 나타내고 는 벡터 좌표의 부호입니다.

벡터가 직교하기 때문에 그 위에 구축된 평행사변형은 직사각형입니다. 그들의 영역은 단순히 측면의 산물입니다. 네 가지 경우 모두에 대한 벡터 좌표로 이 곱을 표현해 보겠습니다.

면적을 계산하는 네 가지 공식은 부호를 제외하고 모두 동일합니다. 눈을 감고 글을 써도 좋다. 모든 경우에 그렇습니다. 그러나 또 다른 가능성은 더 생산적인 것으로 판명되었습니다. 기호에 의미를 부여하는 것입니다. 그림을 자세히 살펴보자. 21. 벡터에 대한 벡터의 회전이 시계 방향으로 수행되는 경우. 공식에서 빼기 기호를 사용해야 하는 경우 벡터에 대한 벡터 회전은 시계 반대 방향으로 수행됩니다. 이 관찰을 통해 해당 영역에 대한 표현식의 기호를 평면의 방향과 연관시킬 수 있습니다.

더하기 또는 빼기 기호가 있는 벡터 a와 b에 만들어진 직사각형 영역은 방향이 지정된 영역으로 간주되는 반면 기호는 벡터가 지정하는 방향과 연결됩니다. 지향 영역의 경우 고려한 네 가지 경우 모두에 대해 단일 공식을 작성할 수 있습니다. . 항상 양수인 일반적인 영역과 지향된 영역을 구별하기 위해 문자 S 위에 "벡터" 줄의 기호가 도입되었습니다.

이 경우 다른 순서로 취해진 동일한 벡터가 반대 방향을 결정하므로 . 영역이 계속 문자 S로 표시되므로 .

이제 영역 개념을 확장하는 대가로 일반적인 표현을 얻었으므로 주의 깊은 독자는 우리가 모든 가능성을 고려하지 않았다고 말할 것입니다. 실제로, 그림 4에 표시된 벡터의 위치에 대한 네 가지 옵션 외에도 21, 4개가 더 있습니다(그림 22). 벡터를 좌표 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 벡터의 좌표로 면적을 표현해 보겠습니다. 4. . 새로운 표현의 기호는 바뀌지 않았지만 안타깝게도 앞의 4가지 경우와 관련하여 방향이 바뀌었습니다. 따라서 지향 영역에 대해 다음과 같이 작성해야 합니다. . 독창적인 단순성에 대한 희망이 정당화되지는 않았지만 그럼에도 불구하고 우리는 여전히 네 가지 경우 모두에 대한 일반적인 표현을 쓸 수 있습니다.

즉, 측면에서와 같이 벡터를 기반으로 하는 직사각형의 방향이 지정된 영역은 열에서와 같이 벡터의 좌표로 구성된 행렬식과 같습니다.

우리는 독자가 행렬식 이론에 익숙하다고 생각하므로 이 개념에 대해 자세히 설명하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 강조점을 변경하고 이 개념이 순전히 기하학적 고려에서 도달할 수 있음을 보여주기 위해 적절한 정의를 제공합니다. , , - 동일한 개념에 대한 다른 형식의 지정 - 열에서와 같이 벡터의 좌표로 구성된 행렬식. 평등 2차원 경우에 대한 정의로 간주할 수 있습니다.