벡터의 곱은 0입니다. 외적

이번 강의에서는 벡터를 사용한 두 가지 연산을 더 살펴보겠습니다. 벡터의 벡터 곱그리고 벡터의 혼합곱 (필요하신 분들을 위해 바로가기 링크). 괜찮아 때로는 완전한 행복을 위해 벡터의 스칼라 곱, 점점 더 많은 것이 필요합니다. 이것은 벡터 중독입니다. 우리는 분석기하학의 정글에 들어서고 있는 것처럼 보일 수도 있습니다. 이것은 잘못된 것입니다. 고등수학의 이 부분에는 피노키오에 충분한 나무를 제외하고는 일반적으로 나무가 거의 없습니다. 사실, 재료는 매우 일반적이고 단순합니다. 동일한 재료보다 더 복잡할 수는 없습니다. 내적, 심지어 일반적인 작업더 적을 것입니다. 많은 사람들이 확신했거나 이미 확신하고 있듯이 분석 기하학에서 가장 중요한 것은 계산에 실수를 하지 않는 것입니다. 주문처럼 반복하면 행복해질 것입니다 =)

지평선의 번개처럼 벡터가 멀리 떨어진 곳에서 반짝이더라도 문제가 되지 않습니다. 수업부터 시작하세요. 인형용 벡터벡터에 대한 기본 지식을 복원하거나 재습득합니다. 더 준비된 독자는 선택적으로 정보를 접할 수 있습니다. 나는 자주 발견되는 가장 완전한 예 모음을 수집하려고 노력했습니다. 실무

당장 당신을 행복하게 만드는 것은 무엇입니까? 나는 어렸을 때 공 두 개, 심지어 세 개까지 저글링을 할 수 있었습니다. 잘 됐어요. 이제 저글링을 할 필요가 전혀 없습니다. 공간 벡터만, 두 개의 좌표가 있는 평면 벡터는 제외됩니다. 왜? 이것이 바로 이러한 액션이 탄생한 방식입니다. 벡터와 벡터의 혼합 제품이 정의되고 작동합니다. 3차원 공간. 이미 더 쉽습니다!

이 연산은 스칼라 곱과 마찬가지로 다음을 포함합니다. 두 개의 벡터. 이것이 불멸의 글자가 되게 하라.

액션 그 자체 로 표시다음과 같습니다: . 다른 옵션도 있지만 저는 벡터의 벡터 곱을 십자 표시가 있는 대괄호로 표시하는 데 익숙합니다.

그리고 바로 질문: 만약에 벡터의 스칼라 곱두 개의 벡터가 관련되어 있으며 여기서 두 벡터도 곱해집니다. 차이점은 무엇입니까? 명백한 차이점은 우선 결과에 있습니다.

벡터의 스칼라 곱 결과는 NUMBER입니다.

벡터의 외적 결과는 VECTOR입니다.: 즉, 벡터를 곱하여 다시 벡터를 얻습니다. 폐쇄된 클럽. 사실 작전명도 여기서 유래됐다. 다른 교육 문헌에서는 명칭도 다를 수 있습니다.

외적의 정의

먼저 그림과 함께 정의가 나온 다음 설명이 나옵니다.

정의: 벡터 제품 비공선적벡터, 이 순서대로 찍은, VECTOR라고 함, 길이수치적으로는 평행사변형의 면적과 같습니다, 이러한 벡터를 기반으로 구축되었습니다. 벡터 벡터에 직교, 기초가 올바른 방향을 갖도록 지시됩니다.

정의를 하나씩 분석해 보겠습니다. 여기에는 흥미로운 내용이 많이 있습니다!

따라서 다음과 같은 중요한 사항을 강조할 수 있습니다.

1) 정의에 따라 빨간색 화살표로 표시된 원본 벡터 동일선상에 있지 않음. 공선형 벡터의 경우는 나중에 고려하는 것이 적절할 것입니다.

2) 벡터가 사용됩니다. 엄격하게 정의된 순서로: – "a"에 "be"를 곱한 것, "a"로 "be"가 아닙니다. 벡터 곱셈의 결과파란색으로 표시된 VECTOR입니다. 벡터를 역순으로 곱하면 길이는 같고 방향은 반대인 벡터(라즈베리 색)를 얻습니다. 즉, 평등이 참이다. .

3) 이제 벡터 곱의 기하학적 의미에 대해 알아 보겠습니다. 이것은 매우 중요한 포인트입니다! 파란색 벡터(따라서 진홍색 벡터)의 LENGTH는 수치적으로 벡터 위에 구축된 평행사변형의 AREA와 동일합니다. 그림에서 이 평행사변형은 검은색으로 음영처리되어 있습니다.

메모 : 도면은 개략적이며 당연히 벡터 제품의 공칭 길이는 평행 사변형의 면적과 동일하지 않습니다.

중 하나를 기억하자 기하학적 공식: 평행사변형의 면적은 곱과 같습니다 인접면그들 사이의 각도의 사인에 의해. 따라서 위의 내용을 기반으로 벡터 제품의 LENGTH를 계산하는 공식이 유효합니다.

나는 공식이 벡터 자체에 관한 것이 아니라 벡터의 길이에 관한 것임을 강조합니다. 실제적인 의미는 무엇입니까? 그리고 그 의미는 분석 기하학 문제에서 평행사변형의 영역이 종종 벡터 곱의 개념을 통해 발견된다는 것입니다.

두 번째로 중요한 공식을 구해보자. 평행사변형(빨간 점선)의 대각선은 평행사변형을 두 개로 나눕니다. 등삼각형. 따라서 벡터(빨간색 음영)를 기반으로 하는 삼각형의 면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

4) 그 이하도 아니다 중요한 사실즉, 벡터가 벡터와 직교한다는 것입니다. . 물론, 반대 방향의 벡터(라즈베리 화살표)도 원래 벡터와 직교합니다.

5) 벡터의 방향은 다음과 같습니다. 기초가지다 오른쪽정위. 에 관한 수업에서 새로운 기반으로의 전환나는 그것에 대해 충분히 자세히 이야기했습니다. 평면 방향, 이제 공간 방향이 무엇인지 알아 보겠습니다. 네 손가락으로 설명해줄게 오른손 . 정신적으로 결합하다 집게손가락벡터와 가운데 손가락벡터로. 약지와 새끼손가락손바닥으로 눌러보세요. 결과적으로 무지– 벡터 제품이 조회됩니다. 이것이 바로 우향적 기초이다(그림의 이것이다). 이제 벡터를 변경합니다( 검지와 중지) 어떤 곳에서는 엄지손가락이 돌아서고 벡터 제품이 이미 아래를 내려다볼 것입니다. 이것도 우익지향적 기반이다. 질문이 있을 수 있습니다. 어떤 근거가 방향을 떠났습니까? 같은 손가락에 "할당" 왼손벡터, 그리고 공간의 왼쪽 기준과 왼쪽 방향을 얻습니다. (이 경우 엄지손가락은 아래쪽 벡터 방향으로 위치하게 됩니다.). 비유적으로 말하자면, 이러한 베이스는 공간을 "비틀거나" 방향을 정합니다. 다른 측면. 그리고 이 개념은 터무니없거나 추상적인 것으로 간주되어서는 안 됩니다. 예를 들어, 공간의 방향은 가장 일반적인 거울에 의해 변경되고, "반사된 물체를 거울 밖으로 잡아당기면" 일반적인 경우에는 "원본"과 결합할 수 없습니다. 그런데 세 손가락을 거울에 대고 반사를 분석해보세요 ;-)

...이제 알게 되어 얼마나 좋은지 오른쪽 및 왼쪽 지향기지, 오리엔테이션 변경에 대한 일부 강사의 진술이 무섭기 때문입니다 =)

동일선상 벡터의 외적

정의는 자세히 논의되었으며 벡터가 동일선상에 있을 때 어떤 일이 발생하는지 알아내는 것이 남아 있습니다. 벡터가 동일선상에 있으면 하나의 직선에 배치할 수 있으며 평행사변형도 하나의 직선에 "추가"됩니다. 수학자들이 말하는 것과 같은 영역은, 퇴화하다평행사변형은 0과 같습니다. 공식에서도 마찬가지입니다. 0 또는 180도의 사인은 0과 같습니다. 이는 면적이 0임을 의미합니다.

따라서 만약 , 그렇다면 그리고 . 외적 자체는 0 벡터와 동일하지만 실제로는 종종 무시되고 0과 같다고 기록됩니다.

특별한 경우– 벡터 자체의 벡터 곱:

외적을 이용하면 3차원 벡터의 공선성을 확인할 수 있으며, 이 작업그중에서도 우리는 또한 분석할 것입니다.

실제 사례를 해결하려면 다음이 필요할 수 있습니다. 삼각법 테이블그것으로부터 사인 값을 찾는 것입니다.

자, 불을 켜자:

실시예 1

a) 다음의 경우 벡터의 벡터 곱의 길이를 구합니다.

b) 다음과 같은 경우 벡터로 구성된 평행사변형의 면적을 구합니다.

해결책: 아니요, 오타가 아닙니다. 일부러 조항의 초기 데이터를 동일하게 만들었습니다. 솔루션의 디자인이 다르기 때문입니다!

a) 조건에 따라 다음을 찾아야 합니다. 길이벡터(외적). 해당 공식에 따르면:

답변:

질문은 길이에 관한 것이므로 답변에 단위를 표시합니다.

b) 조건에 따라 다음을 찾아야 합니다. 정사각형벡터를 기반으로 만들어진 평행사변형. 이 평행사변형의 면적은 수치적으로 벡터 곱의 길이와 같습니다.

답변:

답변은 우리가 질문한 벡터 제품에 대해 전혀 언급하지 않습니다. 그림의 영역, 따라서 치수는 제곱 단위입니다.

우리는 항상 조건에 따라 찾아야 할 것이 무엇인지 살펴보고, 이를 바탕으로 공식화합니다. 분명한답변. 문자 그대로 보일 수도 있지만 그들 중에는 문자 그대로의 교사가 많이 있으며 과제는 수정을 위해 반환될 가능성이 높습니다. 이것은 특별히 터무니없는 퀴즈는 아니지만 대답이 틀리면 그 사람이 간단한 것을 이해하지 못하거나 작업의 본질을 이해하지 못했다는 인상을 받게 됩니다. 고등수학과 다른 과목의 문제를 풀 때 이 점을 항상 통제해야 합니다.

큰 글자 "en"은 어디로 갔나요? 원칙적으로는 솔루션에 추가로 붙일 수도 있었는데, 항목 단축을 위해 이렇게는 하지 않았습니다. 모두가 그것을 이해하고 같은 것을 지칭하기를 바랍니다.

인기 있는 예을 위한 독립적인 결정:

실시예 2

다음과 같은 경우 벡터 위에 만들어진 삼각형의 면적을 구합니다.

벡터 곱을 통해 삼각형의 면적을 구하는 공식은 정의에 대한 주석에 나와 있습니다. 정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다.

실제로 이 작업은 매우 일반적입니다. 삼각형은 일반적으로 당신을 괴롭힐 수 있습니다.

다른 문제를 해결하려면 다음이 필요합니다.

벡터의 벡터 곱의 속성

우리는 이미 벡터 제품의 일부 속성을 고려했지만 이 목록에는 해당 속성을 포함하겠습니다.

임의의 벡터와 임의의 숫자의 경우 다음 속성이 true입니다.

1) 다른 정보 소스에서는 이 항목이 일반적으로 속성에서 강조 표시되지 않지만 다음에서는 매우 중요합니다. 실용적인 측면에서. 그러니 그대로 두십시오.

2) – 속성은 위에서도 논의되었으며 때로는 호출됩니다. 반정환성. 즉, 벡터의 순서가 중요합니다.

3) - 연관 또는 연관벡터 제품법칙. 상수는 벡터 곱 외부로 쉽게 이동할 수 있습니다. 정말, 거기서 무엇을 해야 할까요?

4) - 배포 또는 분배적인벡터 제품법칙. 괄호를 여는 데에도 문제가 없습니다.

설명하기 위해 간단한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 3

찾기

해결책:이 조건에서는 다시 벡터 곱의 길이를 찾아야 합니다. 미니어처를 칠해 봅시다 :

(1) 결합 법칙에 따라 벡터 곱의 범위를 벗어나는 상수를 사용합니다.

(2) 상수를 모듈 밖으로 옮기면 모듈이 빼기 기호를 "먹습니다". 길이는 음수일 수 없습니다.

(3) 나머지는 명확합니다.

답변:

이제 불에 장작을 더 추가할 시간입니다.

실시예 4

다음과 같은 경우 벡터 위에 만들어진 삼각형의 면적을 계산합니다.

해결책: 공식을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하세요 . 문제는 벡터 "tse"와 "de" 자체가 벡터의 합으로 표시된다는 것입니다. 여기의 알고리즘은 표준이며 수업의 예 3과 4를 다소 연상시킵니다. 벡터의 내적. 명확성을 위해 솔루션을 세 단계로 나누겠습니다.

1) 첫 번째 단계에서는 벡터곱을 통해 벡터곱을 표현하는데, 실제로는 벡터를 벡터로 표현해보자. 길이에 대해서는 아직 아무 말도 없습니다!

(1) 벡터를 표현으로 대체합니다.

(2) 분배 법칙을 사용하여 다항식의 곱셈 규칙에 따라 괄호를 엽니다.

(3) 결합 법칙을 사용하여 모든 상수를 벡터 곱 이상으로 이동합니다. 약간의 경험만 있으면 2단계와 3단계를 동시에 수행할 수 있습니다.

(4) nice 속성으로 인해 첫 번째 항과 마지막 항은 0(제로 벡터)과 같습니다. 두 번째 용어에서는 벡터 곱의 반교환성 속성을 사용합니다.

(5) 비슷한 용어를 제시합니다.

결과적으로 벡터는 벡터를 통해 표현되는 것으로 나타났으며 이는 달성하기 위해 필요한 것입니다.

2) 두 번째 단계에서는 필요한 벡터곱의 길이를 구합니다. 이 작업은 예제 3과 유사합니다.

3) 필요한 삼각형의 면적을 찾으십시오.

솔루션의 2~3단계는 한 줄로 작성될 수 있습니다.

답변:

고려 된 문제는 다음에서 매우 일반적입니다. 테스트, 다음은 독립적인 솔루션의 예입니다.

실시예 5

찾기

빠른 솔루션그리고 수업이 끝나면 답변이 나옵니다. 이전 예제를 연구할 때 얼마나 주의를 기울였는지 살펴보겠습니다 ;-)

좌표 벡터의 외적

, 정규 직교 기준으로 지정됨, 공식으로 표현:

공식은 정말 간단합니다. 행렬식의 맨 윗줄에 좌표 벡터를 쓰고, 두 번째와 세 번째 줄에 벡터의 좌표를 "넣고" 엄격한 순서로– 먼저 "ve" 벡터의 좌표, 그 다음 "double-ve" 벡터의 좌표입니다. 벡터를 다른 순서로 곱해야 하는 경우 행을 바꿔야 합니다.

실시예 10

다음 공간 벡터가 동일선상에 있는지 확인하세요.
에이)
비)

해결책: 검증은 진술 중 하나를 기반으로 합니다. 이번 수업: 벡터가 동일선상에 있으면 벡터 곱은 0(영 벡터)과 같습니다. .

a) 벡터 곱을 찾으세요:

따라서 벡터는 동일선상에 있지 않습니다.

b) 벡터 곱을 찾으세요:

답변: a) 동일선상에 있지 않음, b)

아마도 벡터의 벡터 곱에 대한 모든 기본 정보가 여기에 있을 것입니다.

이 구간은 벡터의 혼합곱을 사용하는 경우 문제가 거의 없기 때문에 그리 크지는 않을 것이다. 실제로 모든 것은 정의에 따라 달라집니다. 기하학적 의미그리고 몇 가지 작업 공식.

벡터의 혼합곱은 다음과 같습니다. 세 가지의 산물벡터:

그래서 그들은 기차처럼 줄을 서서 신원이 확인되기를 간절히 바랐습니다.

먼저 정의와 그림을 다시 설명합니다.

정의: 혼합 작품 동일 평면이 아닌벡터, 이 순서대로 찍은, 라고 불리는 평행육면체의 부피, 이러한 벡터를 기반으로 구축되었으며 기저가 올바른 경우 "+" 기호가 있고 기저가 왼쪽인 경우 "-" 기호가 표시됩니다.

그림을 그려보자. 우리에게 보이지 않는 선은 점선으로 그려집니다.

정의를 자세히 살펴보겠습니다.

2) 벡터가 사용됩니다. 특정 순서로즉, 추측할 수 있듯이 제품의 벡터 재배열은 결과 없이 발생하지 않습니다.

3) 기하학적 의미에 대해 논평하기 전에, 명백한 사실: 벡터의 혼합 곱은 NUMBER입니다.: . 교육 문헌에서는 디자인이 약간 다를 수 있습니다. 저는 혼합 제품을 로 표시하고 계산 결과를 문자 "pe"로 표시하는 데 익숙합니다.

정의에 따르면 혼합된 생성물은 평행육면체의 부피이다, 벡터를 기반으로 구축되었습니다(그림은 빨간색 벡터와 검은색 선으로 그려져 있습니다). 즉, 그 숫자는 주어진 평행육면체의 부피와 같습니다.

메모 : 도면은 개략적입니다.

4) 기반과 공간의 방향성에 대한 개념은 다시 고민하지 말자. 마지막 부분의 의미는 볼륨에 빼기 기호를 추가할 수 있다는 것입니다. 간단한 말로, 혼합된 제품은 음수가 될 수 있습니다: .

정의에서 직접 벡터 기반 평행 육면체의 부피를 계산하는 공식을 따릅니다.

분명히 벡터 제품의 경우 벡터를 가져오는 순서가 중요합니다.

또한 정의에서 직접적으로 모든 스칼라 인자 k(숫자)에 대해 다음이 참입니다.

벡터 아트워크동일선상 벡터는 0 벡터와 같습니다. 더욱이 두 벡터의 외적은 동일선상에 있는 경우에만 0입니다. (그 중 하나가 영 벡터인 경우 영 벡터는 정의에 따라 모든 벡터와 동일선상에 있다는 점을 기억할 필요가 있습니다.)

벡터 제품에는 분배 재산, 즉

벡터의 좌표를 통해 벡터 곱을 표현합니다.

두 벡터를 주어보자

(시작과 끝의 좌표에서 벡터의 좌표를 찾는 방법 - 벡터의 내적, 내적의 대체 정의 항목 또는 좌표로 지정된 두 벡터의 내적 계산 문서를 참조하세요.)

왜 벡터 제품이 필요한가요?

외적을 사용하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 예를 들어 위에서 설명한 것처럼 두 벡터의 외적을 계산하면 두 벡터가 동일 선상에 있는지 확인할 수 있습니다.

또는 이러한 벡터로 구성된 평행사변형의 면적을 계산하는 방법으로 사용할 수도 있습니다. 정의에 따라 결과 벡터의 길이는 주어진 평행사변형의 면적입니다.

전기와 자기에도 수많은 응용이 있습니다.

온라인 벡터 제품 계산기.

찾으려면 내적이 계산기를 사용하여 두 개의 벡터를 계산하려면 첫 번째 벡터의 좌표를 순서대로 첫 번째 줄에 입력해야 합니다. 두 번째 - 두 번째. 벡터의 좌표는 시작과 끝의 좌표로부터 계산할 수 있습니다(문서 참조). 벡터의 내적, 항목 내적의 대체 정의 또는 좌표로 주어진 두 벡터의 내적을 계산하는 것입니다.)

벡터 아트워크는 의사벡터이고, 평면에 수직는 3차원 유클리드 공간의 벡터에 대한 이진 연산 "벡터 곱셈"의 결과인 두 가지 요소로 구성됩니다. 벡터 곱은 교환성과 결합성의 속성을 갖지 않으며(반교환성) 벡터의 스칼라 곱과 달리 벡터입니다. 많은 엔지니어링 및 물리학 응용 분야에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 각운동량과 로렌츠 힘은 수학적으로 벡터 곱으로 작성됩니다. 외적은 벡터의 수직성을 "측정"하는 데 유용합니다. 두 벡터의 외적 계수는 두 벡터가 수직인 경우 계수의 곱과 동일하고 벡터가 평행하거나 역평행인 경우 0으로 감소합니다.

벡터 곱은 다양한 방식으로 정의할 수 있으며, 이론적으로는 임의의 차원 n의 공간에서 n-1개 벡터의 곱을 계산하여 모든 벡터에 수직인 단일 벡터를 얻을 수 있습니다. 그러나 곱이 벡터 결과가 포함된 중요하지 않은 이진 곱으로 제한되는 경우 기존 벡터 곱은 3차원 및 7차원 공간에서만 정의됩니다. 스칼라 곱과 마찬가지로 벡터 곱의 결과는 유클리드 공간의 미터법에 따라 달라집니다.

3차원 직교 좌표계의 좌표에서 스칼라 곱 벡터를 계산하는 공식과 달리 외적 공식은 직교 좌표계의 방향, 즉 "키랄성"에 따라 달라집니다.

정의:
공간 R3에서 벡터 a와 벡터 b의 벡터 곱은 다음 요구 사항을 충족하는 벡터 c입니다.
벡터 c의 길이는 벡터 a와 b의 길이와 두 벡터 사이의 각도 ψ의 사인의 곱과 같습니다.
|c|=|a||b|sin ψ;
벡터 c는 벡터 a와 b 각각에 직교합니다.
벡터 c는 벡터 abc의 세 개가 오른쪽 방향이 되도록 방향이 지정됩니다.
공간 R7의 경우 벡터 a, b, c의 3중 결합성이 필요합니다.
지정:
c===a × b

쌀. 1. 평행사변형의 면적은 벡터 곱의 계수와 같습니다.

외적의 기하학적 특성:
필요하고 충분조건 0이 아닌 두 벡터의 공선성은 벡터 곱이 0과 동일하다는 것입니다.

교차곱 모듈 면적과 같음 에스축소된 평행사변형 일반적인 시작벡터 에이그리고 비(그림 1 참조).

만약에 이자형- 단위 벡터, 벡터에 직교 에이그리고 비그리고 3개가 되도록 선택했어요 a,b,e- 그렇죠, 그리고 에스는 그 위에 구성된 평행사변형의 영역입니다(공통 원점으로 축소). 그러면 벡터 곱의 공식이 유효합니다.
=S e

그림 2. 벡터와 벡터의 스칼라 곱을 사용한 평행육면체의 부피; 점선은 벡터 c를 a × b에 투영하고 벡터 a를 b × c에 투영하는 것을 보여줍니다. 첫 번째 단계는 스칼라 곱을 찾는 것입니다.

만약에 기음- 일부 벡터, π - 이 벡터를 포함하는 평면 이자형- 평면에 놓인 단위 벡터 π 그리고 직교 c,g- 평면에 직교하는 단위 벡터 π 그리고 세 개의 벡터가 되도록 지시됩니다. 심전도그렇군요, 그럼 비행기에 누운 사람한테는 π 벡터 에이공식은 정확합니다:
=Pre a |c|g
여기서 Pr e a는 벡터 e를 a에 투영한 것입니다.
|c|-벡터 c의 계수

벡터와 스칼라 곱을 사용하면 공통 원점으로 축소된 벡터를 기반으로 한 평행육면체의 부피를 계산할 수 있습니다. 에, 비그리고 기음. 이러한 세 벡터의 곱을 혼합이라고 합니다.
V=|a(b×c)|
그림은 이 볼륨을 두 가지 방법으로 찾을 수 있음을 보여줍니다. "스칼라"와 "벡터" 곱이 교체되더라도 기하학적 결과는 유지됩니다.
V=a×b c=a b×c

외적의 크기는 원래 벡터 사이 각도의 사인에 따라 달라지므로, 스칼라 곱이 "평행도"의 정도로 볼 수 있는 것처럼 외적은 벡터의 "직각성"의 정도로 인식될 수 있습니다. ". 두 단위 벡터의 벡터 곱은 원래 벡터가 수직인 경우 1(단위 벡터)과 같고 벡터가 평행 또는 역평행인 경우 0(0 벡터)과 같습니다.

데카르트 좌표의 외적 표현
두 개의 벡터가 있는 경우 에이그리고 비직사각형으로 정의됨 데카르트 좌표, 또는 더 정확하게는 정규직교 기반으로 표현됩니다.
a=(a x , a y , a z)
b=(bx,by,bz)
좌표계가 오른 손잡이이면 벡터 곱의 형식은 다음과 같습니다.
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
이 공식을 기억하려면:
나는 =∑ε ijk a j b k
어디 ε ijk- Levi-Civita의 상징.

7.1. 외적의 정의

표시된 순서대로 취해진 세 개의 비공동선 벡터 a, b 및 c는 세 번째 벡터 c의 끝에서 첫 번째 벡터 a에서 두 번째 벡터 b까지의 최단 회전이 다음과 같이 보이면 오른쪽 삼중선을 형성합니다. 반시계방향이고, 시계방향이면 왼손 삼중선이다(그림 .16 참조).

벡터 a와 벡터 b의 벡터 곱을 벡터 c라고 하며, 이는 다음과 같습니다.

1. 벡터 a와 b에 수직입니다. 즉, c ^ a와 c입니다. ^ 비;

2. 벡터 a에 구성된 평행사변형의 면적과 수치적으로 동일한 길이를 가집니다.비측면과 마찬가지로 (그림 17 참조), 즉

3. 벡터 a, b, c는 오른쪽 트리플을 형성합니다.

외적은 a x b 또는 [a,b]로 표시됩니다. 단위 벡터 i 사이의 다음 관계는 벡터 곱의 정의에서 직접적으로 따릅니다. j 그리고케이

(그림 18 참조):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.예를 들어 다음을 증명해보자.

나는 xj=k. ^ 1) k^i,k

j ; 2) |k |=1이지만 |나는 x j

| = |나는 | 그리고|J | 죄(90°)=1;

3) 벡터 i, j 및

오른쪽 트리플을 형성합니다(그림 16 참조).

벡터 a xb와 b xa는 동일선상에 있고 동일한 모듈을 갖지만(평행사변형의 영역은 변경되지 않음) 방향이 반대입니다(3중 a, b, a xb 및 a, b, b x a 반대 방향). 그러므로 도끼 = -(bxa).

2. 벡터 곱은 스칼라 인수와 관련하여 결합 속성을 갖습니다. 즉, l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

l >0이라고 하자. 벡터 l(a xb)은 벡터 a 및 b에 수직입니다. 벡터( 엘도끼 비는 또한 벡터 a에 수직이고 비(벡터 a, 엘그러나 같은 비행기에 누워 있습니다). 이는 벡터가 엘(xb) 및 ( 엘도끼 비동일선상. 그들의 방향이 일치한다는 것은 분명합니다. 길이는 동일합니다.

그렇기 때문에 엘(xb)= 엘 xb. 에 대해서도 비슷한 방식으로 증명된다. 엘<0.

3. 0이 아닌 두 벡터 a와 비벡터 곱이 0 벡터와 동일한 경우에만 동일 선상에 있습니다. 즉, a ||b<=>그리고 xb=0입니다.

특히, i *i =j *j =k *k =0 입니다.

4. 벡터 곱은 다음과 같은 분포 속성을 갖습니다.

(a+b) xc = xc + 비 xs.

증거 없이 받아들이겠습니다.

7.3. 외적을 좌표로 표현하기

우리는 벡터 i의 외적 테이블을 사용할 것입니다. 단위 벡터 i 사이의 다음 관계는 벡터 곱의 정의에서 직접적으로 따릅니다.그리고 k:

첫 번째 벡터에서 두 번째 벡터까지의 최단 경로 방향이 화살표 방향과 일치하면 곱은 세 번째 벡터와 같습니다. 일치하지 않으면 세 번째 벡터에 빼기 기호가 사용됩니다.

두 벡터 a =a x i +a y가 주어졌다고 가정합니다. 단위 벡터 i 사이의 다음 관계는 벡터 곱의 정의에서 직접적으로 따릅니다.+az 그리고그리고 b =bx 나+by 단위 벡터 i 사이의 다음 관계는 벡터 곱의 정의에서 직접적으로 따릅니다.+b z 그리고. (벡터 곱의 속성에 따라) 다항식으로 곱하여 이러한 벡터의 벡터 곱을 찾아보겠습니다.