제품을 얻기 위해 다항식을 확장하는 것은 때때로 혼란스러워 보일 수 있습니다. 하지만 그 과정을 단계별로 이해한다면 그리 어렵지는 않습니다. 이 기사에서는 이차 삼항식을 인수분해하는 방법을 자세히 설명합니다.

많은 사람들이 제곱 삼항식을 인수분해하는 방법과 이것이 수행되는 이유를 이해하지 못합니다. 처음에는 쓸데없는 운동처럼 보일 수도 있습니다. 그러나 수학에서는 아무 것도 이루어지지 않습니다. 표현을 단순화하고 계산을 쉽게 하기 위해서는 변환이 필요합니다.

형식의 다항식 – ax²+bx+c, 이차삼항식이라고 부른다."a"라는 용어는 음수 또는 양수여야 합니다. 실제로 이 표현을 이차방정식이라고 합니다. 따라서 때로는 다르게 말합니다. 분해 방법 이차 방정식.

흥미로운!다항식은 가장 큰 차수인 정사각형 때문에 정사각형이라고 불립니다. 그리고 삼항식은 3가지 구성 요소로 인해 발생합니다.

다른 유형의 다항식:

• 선형 이항식(6x+8);
• 3차 4항식(x³+4x²-2x+9).

이차 삼항식 인수분해하기

먼저 표현식이 0과 같으면 근 x1과 x2의 값을 찾아야 합니다. 뿌리가 없을 수도 있고, 하나 또는 두 개의 뿌리가 있을 수도 있습니다. 근의 존재는 판별식에 의해 결정됩니다. D=b²-4ac라는 공식을 암기해야 합니다.

결과 D가 음수이면 근이 없습니다. 양성이면 뿌리가 2개 있는 것입니다. 결과가 0이면 루트는 1입니다. 근은 공식을 사용하여 계산됩니다.

판별식을 계산할 때 결과가 0이면 모든 공식을 사용할 수 있습니다. 실제로 공식은 -b / 2a로 축약됩니다.

에 대한 공식 다른 의미판별자가 다릅니다.

D가 양수인 경우:

D가 0인 경우:

온라인 계산기

인터넷에는 온라인 계산기. 인수분해를 수행하는 데 사용할 수 있습니다. 일부 리소스에서는 솔루션을 단계별로 볼 수 있는 기회를 제공합니다. 이러한 서비스는 주제를 더 잘 이해하는 데 도움이 되지만, 주제를 잘 이해하려고 노력해야 합니다.

유용한 비디오: 이차 삼항식 인수분해하기

예

우리는 당신을 초대합니다 간단한 예, 이차 방정식을 인수분해하는 방법.

실시예 1

이는 D가 양수이기 때문에 결과가 두 개의 x라는 것을 분명히 보여줍니다. 이를 공식으로 대체해야 합니다. 근이 음수로 판명되면 공식의 부호가 반대로 변경됩니다.

우리는 이차 삼항식을 인수분해하는 공식인 a(x-x1)(x-x2)를 알고 있습니다. 값을 괄호 안에 넣습니다: (x+3)(x+2/3). 거듭제곱의 용어 앞에는 숫자가 없습니다. 이것은 거기에 하나가 있다는 것을 의미합니다.

실시예 2

이 예는 근이 하나인 방정식을 푸는 방법을 명확하게 보여줍니다.

결과 값을 다음과 같이 대체합니다.

실시예 3

주어진 값: 5x²+3x+7

먼저 이전 사례와 마찬가지로 판별식을 계산해 보겠습니다.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

판별식은 음수이므로 뿌리가 없음을 의미합니다.

결과를 받은 후 괄호를 열어 결과를 확인해야 합니다. 원래의 삼항식이 나타나야 합니다.

대체 솔루션

어떤 사람들은 차별자와 결코 친구가 될 수 없었습니다. 이차 삼항식을 인수분해하는 또 다른 방법이 있습니다. 편의상 방법을 예로 들어 설명합니다.

주어진 값: x²+3x-10

우리는 괄호 2개((_)(_)를 얻어야 한다는 것을 알고 있습니다. 표현식이 다음과 같을 때: x²+bx+c, 각 괄호의 시작 부분에 x: (x_)(x_)를 넣습니다. 나머지 두 숫자는 "c"를 제공하는 곱입니다. 즉, 이 경우 -10입니다. 이것이 어떤 숫자인지 알아내는 유일한 방법은 선택을 통해서입니다. 대체된 숫자는 나머지 용어와 일치해야 합니다.

예를 들어, 다음 숫자를 곱하면 -10이 됩니다.

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. 아니요.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. 아니요.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. 아니요.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. 적합합니다.

이는 x2+3x-10 표현식의 변환이 (x-2)(x+5)와 같다는 것을 의미합니다.

중요한!표시를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.

복잡한 삼항식의 확장

"a"가 1보다 크면 어려움이 시작됩니다. 그러나 모든 것이 보이는 것만 큼 어렵지는 않습니다.

인수분해하려면 먼저 인수분해할 수 있는 것이 있는지 확인해야 합니다.

예를 들어, 3x²+9x-30이라는 표현식이 있습니다. 여기서 숫자 3은 괄호에서 제외됩니다.

3(x²+3x-10). 결과는 이미 잘 알려진 삼항식입니다. 답은 다음과 같습니다: 3(x-2)(x+5)

정사각형 안의 항이 음수인 경우 어떻게 분해하나요? 이 경우 괄호에서 숫자 -1이 제거됩니다. 예: -x²-10x-8. 그러면 표현식은 다음과 같습니다.

이 계획은 이전 계획과 거의 다릅니다. 몇 가지 새로운 것이 있습니다. 2x²+7x+3이라는 표현이 주어진다고 가정해 보겠습니다. 답은 (_)(_) 안에 채워야 하는 괄호 2개 안에도 적혀 있습니다. 두 번째 괄호에는 x가 기록되고 첫 번째 괄호에는 남은 내용이 기록됩니다. (2x_)(x_)와 같습니다. 그렇지 않으면 이전 구성표가 반복됩니다.

숫자 3은 숫자로 지정됩니다.

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

우리는 이 숫자를 대입하여 방정식을 푼다. 마지막 옵션이 적합합니다. 이는 2x²+7x+3 표현식의 변환이 다음과 같다는 것을 의미합니다: (2x+1)(x+3).

기타 사례

표현식을 변환하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 두 번째 방법을 사용하면 방정식을 풀 필요가 없습니다. 그러나 용어를 제품으로 변환할 가능성은 판별식을 통해서만 확인됩니다.

공식을 사용할 때 어려움이 없도록 이차 방정식을 푸는 연습을 하는 것이 좋습니다.

유용한 비디오: 삼항식 인수분해하기

결론

어떤 방식으로든 사용할 수 있습니다. 하지만 자동으로 될 때까지 두 가지를 모두 연습하는 것이 좋습니다. 또한, 자신의 삶을 수학과 연결시키려는 이들에게는 이차 방정식을 잘 풀고 다항식을 인수분해하는 방법을 배우는 것이 필요합니다. 다음의 모든 수학적 주제는 이에 기초하여 만들어졌습니다.

다항식 인수분해의 8가지 예가 제공됩니다. 여기에는 이차 방정식을 푸는 예제가 포함되어 있습니다. 이차방정식, 반복 다항식의 예 및 3차 및 4차 다항식의 정수근을 찾는 예.

콘텐츠

참조: 다항식을 인수분해하는 방법
이차 방정식의 근
삼차방정식 풀기

1. 2차 방정식을 푸는 예

예제 1.1

엑스 4 + x 3 - 6 x 2.

우리는 x를 꺼낸다 2 대괄호 외부:
.
2 + x - 6 = 0:
.
방정식의 근본:
, .

.

예제 1.2

3차 다항식을 인수분해합니다.
엑스 3 + 6 x 2 + 9 x.

괄호에서 x를 빼자:
.
이차방정식 x 풀기 2 + 6 x + 9 = 0:
판별식: .
판별식이 0이므로 방정식의 근은 배수입니다: ;
.

여기에서 우리는 다항식의 인수분해를 얻습니다:
.

예제 1.3

5차 다항식을 인수분해합니다.
엑스 5 - 2x4 + 10x3.

우리는 x를 꺼낸다 3 대괄호 외부:
.
이차방정식 x 풀기 2 - 2 x + 10 = 0.
판별식: .
판별식이 0보다 작기 때문에 방정식의 근은 복소수입니다.
, .

다항식의 인수분해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

실수 계수를 사용한 인수분해에 관심이 있다면 다음과 같습니다.
.

공식을 사용한 다항식 인수분해의 예

2차 다항식의 예

예 2.1

2차 다항식을 인수분해합니다.
엑스 4 + x 2 - 20.

수식을 적용해 보겠습니다.
에이 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
에이 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

예 2.2

이차식으로 줄어드는 다항식을 인수분해합니다.
엑스 8 + x 4 + 1.

수식을 적용해 보겠습니다.
에이 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
에이 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

순환 다항식을 사용한 예제 2.3

역다항식을 인수분해합니다.
.

역다항식은 홀수 차수를 가집니다. 따라서 루트 x = -가 있습니다. 1 . 다항식을 x -로 나눕니다.(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

예제 3.1

다항식을 인수분해합니다.
.

방정식을 가정해보자

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

그래서 우리는 세 가지 뿌리를 찾았습니다.
엑스 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
원래 다항식은 3차이므로 근은 3개 이하입니다. 세 개의 근을 찾았으므로 간단합니다. 그 다음에
.

예제 3.2

다항식을 인수분해합니다.
.

방정식을 가정해보자

적어도 하나의 전체 루트가 있습니다. 그런 다음 숫자의 제수입니다. 2 (x가 없는 멤버). 즉, 전체 근은 다음 숫자 중 하나일 수 있습니다.
-2, -1, 1, 2 .
이 값을 하나씩 대체합니다.
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

그래서 우리는 하나의 루트를 찾았습니다.
엑스 1 = -1 .
다항식을 x - x로 나눕니다. 1 = x - (-1) = x + 1:


그 다음에,
.

이제 3차 방정식을 풀어야 합니다.
.
이 방정식에 정수 근이 있다고 가정하면 이는 숫자의 제수입니다. 2 (x가 없는 멤버). 즉, 전체 근은 다음 숫자 중 하나일 수 있습니다.
1, 2, -1, -2 .
x =로 대체하자 -1 :
.

그래서 우리는 또 다른 루트 x를 찾았습니다. 2 = -1 .
.

이전 경우와 마찬가지로 다항식을 로 나누는 것이 가능하지만 용어를 그룹화하겠습니다.

인수분해를 위해서는 표현식을 단순화해야 합니다. 이는 더 줄일 수 있도록 필요합니다. 다항식의 전개는 차수가 2보다 낮지 않을 때 의미가 있습니다. 1차 다항식을 선형이라고 합니다. 이 기사에서는 분해의 모든 개념을 다룰 것입니다.이론적 기초

다항식을 인수분해하는 방법.

이론

정리 1

n차의 다항식이 P n x = a n x n + an n - 1 x n - 1 + 형식인 경우. . . + a 1 x + a 0은 최고 차수 a n 및 n 선형 인수 (x - x i), i = 1, 2, ..., n, P n (x)를 갖는 상수 인수의 곱으로 표시됩니다. = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , 여기서 x i, i = 1, 2, …, n은 다항식의 근입니다.

이 정리는 복소수 유형 x i, i = 1, 2, …, n의 근과 복소수 계수 a k, k = 0, 1, 2, …, n에 적용됩니다. 이것이 모든 분해의 기초입니다. a k, k = 0, 1, 2, …, n 형식의 계수가 다음과 같을 때실수 , 그 다음에, 이는 공액 쌍으로 발생합니다. 예를 들어, 근 x 1 및 x 2는 P n x = a n x n + an n - 1 x n - 1 + 형식의 다항식과 관련됩니다. . . + a 1 x + a 0은 켤레 복소수로 간주되며, 다른 근은 실수이며, 이로부터 다항식은 P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, 여기서 x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

논평

다항식의 근은 반복될 수 있습니다. 베주의 정리의 결과인 대수 정리의 증명을 고려해 보겠습니다.

대수학의 기본정리

정리 2

차수가 n인 다항식은 적어도 하나의 근을 갖습니다.

베주의 정리

P n x = a n x n + an - 1 x n - 1 + 형식의 다항식을 나눈 후. . . + a 1 x + a 0 on (x - s), 그러면 우리는 점 s의 다항식과 같은 나머지를 얻습니다. 그러면 우리는 얻습니다.

P n x = an x ​​n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , 여기서 Q n - 1 (x)는 차수가 n - 1인 다항식입니다.

베주의 정리(Bezout's theorem)의 추론

다항식 P n (x)의 근이 s로 간주되면 P n x = a n x n + an n - 1 x n - 1 + 입니다. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . 이 결과는 해를 설명하는 데 사용될 때 충분합니다.

이차 삼항식 인수분해하기

a x 2 + b x + c 형태의 제곱 삼항식은 선형 인수로 인수분해될 수 있습니다. 그런 다음 a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) 를 얻습니다. 여기서 x 1과 x 2는 근(복소수 또는 실수)입니다.

이는 전개 자체가 이후에 이차 방정식을 푸는 것으로 축소된다는 것을 보여줍니다.

실시예 1

이차 삼항식을 인수분해합니다.

해결책

방정식 4 x 2 - 5 x + 1 = 0의 근을 찾아야 합니다. 이렇게 하려면 공식을 사용하여 판별식의 값을 찾아야 하며, 그러면 D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9가 됩니다. 여기에서 우리는 그것을 가지고 있습니다

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

이것으로부터 우리는 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1을 얻습니다.

확인을 수행하려면 괄호를 열어야 합니다. 그런 다음 다음과 같은 형식의 표현을 얻습니다.

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

확인한 후 원래의 표현에 도달했습니다. 즉, 분해가 올바르게 수행되었다고 결론을 내릴 수 있습니다.

실시예 2

3 x 2 - 7 x - 11 형태의 2차 삼항식을 인수분해합니다.

해결책

우리는 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 형식의 결과 이차 방정식을 계산할 필요가 있음을 발견했습니다.

근을 찾으려면 판별식의 값을 결정해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

이것으로부터 우리는 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6을 얻습니다.

실시예 3

다항식 2 x 2 + 1을 인수분해합니다.

해결책

이제 우리는 2차 방정식 2 x 2 + 1 = 0을 풀고 그 근을 찾아야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

이러한 근을 켤레 복소수라고 하며, 이는 전개 자체가 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i로 표시될 수 있음을 의미합니다.

실시예 4

2차 삼항식 x 2 + 1 3 x + 1 을 분해합니다.

해결책

먼저 x 2 + 1 3 x + 1 = 0 형태의 2차 방정식을 풀고 그 근을 찾아야 합니다.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · 나는 x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · 나는 2 = - 1 - 35 · 나는 6 = - 1 6 - 35 6 · 나는

뿌리를 얻은 후 우리는 씁니다.

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

논평

판별 값이 음수이면 다항식은 2차 다항식으로 유지됩니다. 따라서 우리는 그것들을 선형 요소로 확장하지 않을 것입니다.

2차보다 높은 차수의 다항식을 인수분해하는 방법

분해시에는 보편적인 방법이 가정됩니다. 대부분의 경우는 베주의 정리(Bezout's theorem)의 추론에 기초합니다. 이렇게 하려면 루트 x 1의 값을 선택하고 (x - x 1)로 나누어 다항식을 1로 나누어 차수를 줄여야 합니다. 결과 다항식은 근 x 2를 찾아야 하며 검색 프로세스는 완전한 확장을 얻을 때까지 순환됩니다.

근을 찾을 수 없으면 그룹화, 추가 용어 등 다른 인수분해 방법이 사용됩니다. 이 주제방정식에 대한 해를 다음과 같이 가정합니다. 더 높은 학위정수 계수.

괄호에서 공통인수 빼기

자유 항이 0인 경우를 고려하면 다항식의 형태는 P n (x) = a n x n + an - 1 x n - 1 + 가 됩니다. . . + 1x.

이러한 다항식의 근은 x 1 = 0과 같을 것이며 다항식은 P n (x) = a n x n + an n - 1 x n - 1 +라는 표현으로 표현될 수 있습니다. . . + a 1 x = = x (an x n - 1 + an - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

이 방법은 괄호에서 공통인수를 빼는 것으로 간주됩니다.

실시예 5

3차 다항식 4 x 3 + 8 x 2 - x를 인수분해합니다.

해결책

x 1 = 0이 주어진 다항식의 근임을 확인하고 전체 표현식의 괄호에서 x를 제거할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

이제 제곱 삼항식 4 x 2 + 8 x - 1의 근을 찾는 것으로 넘어가겠습니다. 판별식과 근을 찾아봅시다:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

그러면 그 다음은

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

우선, P n (x) = x n + an n - 1 x n - 1 + 형식의 정수 계수를 포함하는 분해 방법을 고려해 보겠습니다. . . + a 1 x + a 0, 여기서 최고 차수의 계수는 1입니다.

다항식에 정수근이 있으면 자유 항의 약수로 간주됩니다.

실시예 6

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 표현식을 확장합니다.

해결책

완전한 뿌리가 있는지 생각해 봅시다. 숫자 - 18의 제수를 적어야합니다. ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18을 얻습니다. 이 다항식은 정수 근을 가집니다. Horner의 구성표를 사용하여 확인할 수 있습니다. 매우 편리하며 다항식의 팽창 계수를 빠르게 얻을 수 있습니다.

x = 2 및 x = - 3은 원래 다항식의 근이며, 이는 다음 형식의 곱으로 표현될 수 있습니다.

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

우리는 x 2 + 2 x + 3 형태의 이차 삼항식의 전개를 진행합니다.

판별식이 음수이므로 실제 뿌리가 없음을 의미합니다.

답변: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

논평

Horner의 방식 대신 다항식에 의한 다항식의 근 선택 및 나눗셈을 사용할 수 있습니다. P n (x) = x n + an n - 1 x n - 1 + 형식의 정수 계수를 포함하는 다항식의 확장을 고려해 보겠습니다. . . + a 1 x + a 0 , 가장 높은 값은 1과 같습니다.

이 경우는 유리 분수에 대해 발생합니다.

실시예 7

f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 를 인수분해합니다.

해결책

변수 y = 2 x를 대체해야 하며, 가장 높은 차수에서 계수가 1인 다항식으로 이동해야 합니다. 표현식에 4를 곱하는 것부터 시작해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 형태의 결과 함수가 정수근을 가질 때, 그 위치는 자유 항의 제수 중 하나입니다. 항목은 다음과 같습니다.

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

결과적으로 0을 얻기 위해 이 지점에서 함수 g(y)를 계산해 보겠습니다. 우리는 그것을 얻습니다

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504g(-3) =(-3) 3 + 19(-3) 2 + 82(-3) + 60 = - 42g(4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756g (-4) = (-4) 3 + 19 · (-4) 2 + 82 · (-4) + 60 = - 28g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070g(-5) = (-5) 3 + 19(-5) 2 + 82(-5) + 60

y = - 5는 y 3 ​​+ 19 y 2 + 82 y + 60 형식의 방정식의 근입니다. 이는 x = y 2 = - 5 2가 원래 함수의 근임을 의미합니다.

실시예 8

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2 열로 나누어야 합니다.

해결책

그것을 적어서 얻으십시오 :

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

제수를 확인하는 데는 많은 시간이 걸리므로 x 2 + 7 x + 3 형식의 결과 2차 삼항식을 인수분해하는 것이 더 유리합니다. 0과 동일시함으로써 판별식을 찾습니다.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2×+72+372

그것은 다음과 같습니다

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

다항식을 인수분해하기 위한 인공적인 기술

유리근은 모든 다항식에 고유한 것은 아닙니다. 이렇게 하려면 특별한 방법을 사용하여 요인을 찾아야 합니다. 그러나 모든 다항식이 곱으로 확장되거나 표현될 수 있는 것은 아닙니다.

그룹화 방법

다항식의 항을 그룹화하여 공통인수를 찾아 괄호 안에 넣을 수 있는 경우가 있습니다.

실시예 9

다항식 x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2를 인수분해합니다.

해결책

계수가 정수이기 때문에 근도 정수일 수 있습니다. 확인하려면 이 지점에서 다항식 값을 계산하기 위해 1, - 1, 2 및 - 2 값을 사용하십시오. 우리는 그것을 얻습니다

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

이는 뿌리가 없음을 보여줍니다. 다른 확장 및 해결 방법을 사용할 필요가 있습니다.

다음을 그룹화해야 합니다.

x4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

원래 다항식을 그룹화한 후 두 개의 정사각형 삼항식의 곱으로 표현해야 합니다. 이를 위해서는 인수분해가 필요합니다. 우리는 그것을 얻습니다

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

논평

그룹화의 단순성이 용어 선택이 충분히 쉽다는 것을 의미하지는 않습니다. 특별한 해결 방법이 없으므로 특별한 정리와 규칙을 사용해야 합니다.

실시예 10

다항식 x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 를 인수분해합니다.

해결책

주어진 다항식에는 정수근이 없습니다. 용어는 그룹화되어야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

인수분해 후에 우리는 다음을 얻습니다.

x4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

축약된 곱셈 공식과 뉴턴의 이항식을 사용하여 다항식 인수분해

외관상 분해 중에 어떤 방법을 사용해야 하는지 항상 명확하게 알 수 있는 것은 아닙니다. 변환이 이루어진 후에는 파스칼의 삼각형으로 구성된 선을 만들 수 있습니다. 그렇지 않으면 이를 뉴턴의 이항식이라고 합니다.

실시예 11

다항식 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2를 인수분해합니다.

해결책

표현식을 형식으로 변환해야 합니다.

x4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

괄호 안의 합계 계수 순서는 x + 1 4 표현식으로 표시됩니다.

즉, x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3이 됩니다.

제곱의 차이를 적용하면,

x4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

두 번째 괄호 안에 있는 표현을 살펴보세요. 거기에는 기사가 없다는 것이 분명하므로 제곱의 차이 공식을 다시 적용해야 합니다. 우리는 형식의 표현을 얻습니다

x4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

실시예 12

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 을 인수분해합니다.

해결책

표현의 변형을 시작해 보겠습니다. 우리는 그것을 얻습니다

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

세제곱 차이의 약식 곱셈 공식을 적용할 필요가 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

다항식을 인수분해할 때 변수를 바꾸는 방법

변수를 대체할 때 차수는 줄어들고 다항식은 인수분해됩니다.

실시예 13

x 6 + 5 x 3 + 6 형식의 다항식을 인수분해합니다.

해결책

조건에 따르면 y = x 3으로 대체해야 한다는 것이 분명합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

결과 이차 방정식의 근은 y = - 2 및 y = - 3입니다.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

세제곱합의 약식 곱셈 공식을 적용해야 합니다. 우리는 다음과 같은 형식의 표현을 얻습니다.

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

즉, 원하는 분해를 얻었습니다.

위에서 논의된 사례는 다항식을 다양한 방식으로 고려하고 인수분해하는 데 도움이 될 것입니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

계획 - 수업 노트(MBOU "Chernomorskaya 고등학교 2번"

선생님 이름

포노마렌코 블라디슬라프 바디모비치

목

대수학

수업 날짜

19.09.2018

№ 수업

수업

9B

수업 주제

(KTP에 따름)

"분해 이차 삼항식승수로"

목표 설정

- 교육적: 학생들에게 제곱 삼항식을 인수분해하는 방법을 가르칩니다. 예를 풀 때 제곱 삼항식을 인수분해하는 알고리즘을 사용하는 방법을 가르치고, 제곱 삼항식을 인수분해하는 알고리즘을 사용하는 GIA 데이터베이스의 작업을 고려합니다.

-개발 중: 학생의 문제를 공식화하고, 문제를 해결하는 방법을 제안하고, 인지 대상에서 중요한 것을 강조하는 능력의 발달을 촉진하는 능력을 개발합니다.

- 교육적: 학생들이 공동 활동의 가치를 깨닫도록 돕고, 어린이의 자제력, 자존감 및 교육 활동의 자기 교정 능력을 개발하도록 촉진합니다.

수업 유형

새로운 지식을 연구하고 일차적으로 통합합니다.

장비:

멀티미디어 프로젝터, 스크린, 컴퓨터, 교훈적인 자료, 교과서, 노트, 프레젠테이션수업을 위해

수업 진행

1. 조직 포인트: 교사는 학생들에게 인사하고 수업 준비 상태를 확인합니다.

학생들에게 동기를 부여합니다:

오늘 수업의 공동 활동에서 우리는 Polya(슬라이드 1)의 말을 확인하겠습니다. (“당신이 해결하는 문제는 매우 사소한 것일 수 있지만, 그것이 당신의 호기심을 자극하고 스스로 해결한다면, 마음의 긴장이 풀리고 승리의 기쁨을 누릴 수 있는 인도를 경험할 수 있습니다."

포야에 대한 메시지 (슬라이드 2)

여러분의 호기심에 도전하고 싶습니다. 주 검사관의 임무를 고려해 봅시다. 함수 그래프 .

우리는 승리의 기쁨을 누리며 이 임무를 완수할 수 있을까요? (문제가 있는 상황)

이 문제를 해결하는 방법?

- 이 문제를 해결하기 위한 실행 계획을 간략히 설명하십시오.

수업 계획을 수정하고 독립 작업 원칙에 대해 설명합니다.

독립적인 작업(독립 작업 텍스트가 담긴 전단지를 학급에 배포) (부록 1)

독립적인 작업

그것을 고려해보세요:

엑스 2 – 3배;

엑스 2 – 9;

엑스 2 – 8배 + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2배 2 – 7배 – 4.

분수를 줄이세요:

슬라이드자가 테스트에 대한 답변이 포함되어 있습니다.

수업에 대한 질문:

다항식을 인수분해하는 데 어떤 방법을 사용해 보셨나요?

모든 다항식을 인수분해할 수 있었나요?

분수를 모두 줄일 수 있었나요?

문제 2:슬라이드

다항식을 인수분해하는 방법

2 엑스 2 – 7 엑스 – 4?

분수를 줄이는 방법은 무엇입니까?

정면 조사:

다항식이란 무엇입니까?

2 엑스 2 – 7 엑스– 4 및엑스 2 – 5 엑스 +6?

이차 삼항식의 정의를 알려주세요.

우리는 이차 삼항식에 대해 무엇을 알고 있나요?

뿌리를 찾는 방법?

뿌리의 수는 어떻게 결정됩니까?

이 지식을 우리가 배우고 공과 주제를 공식화하는 데 필요한 것과 비교하십시오. (그 후, 수업 주제가 화면에 나타납니다)슬라이드

수업의 목표를 설정하자슬라이드

최종 결과를 개략적으로 설명하겠습니다.슬라이드

학급에 질문:이 문제를 해결하는 방법?

수업은 그룹으로 진행됩니다.

그룹 과제:

목차를 사용하여 필요한 페이지를 찾고, 손에 연필을 들고 단락 4를 읽고, 주요 아이디어를 강조 표시하고, 모든 제곱 삼항식을 인수분해할 수 있는 알고리즘을 만듭니다.

수업 별 과제 완료 확인 (전면 작업) :

무엇인가요 주요 아이디어포인트 4?슬라이드(화면에는 이차 삼항식을 인수분해하는 공식이 나와 있습니다.)

화면의 알고리즘.슬라이드

1. 이차 삼항식을 0과 동일시합니다.

2. 판별식을 찾으세요.

3. 이차 삼항식의 근을 찾으세요.

4.찾은 어근을 공식에 ​​대입하세요.

5.필요한 경우 괄호 안에 선행 계수를 입력합니다.

하나 더작은 문제 : D=0이면 이차 삼항식을 인수분해하는 것이 가능합니까? 그렇다면 어떻게 해야 합니까?

(연구작업그룹으로).

슬라이드(화면에서:

D = 0이면
.

이차 삼항식에 근이 없으면,

그러면 인수분해할 수 없습니다.)

독립적인 작업으로 돌아가 보겠습니다. 이제 이차 삼항식을 인수분해할 수 있나요?2 엑스 2 – 7 엑스– 4 및엑스 2 – 5 엑스 +6?

수업은 독립적으로 진행되고, 인수분해되며, 저는 약한 학생들과 개별적으로 작업합니다.

슬라이드(솔루션 포함)동료 검토

분수를 줄여볼까요?

분수를 줄이기 위해 나는 강한 학생을 이사회에 부릅니다.

다시 임무로 돌아가자GIA에서. 이제 함수를 그래프로 그릴 수 있나요??

이 함수의 그래프는 무엇입니까?

노트북에 함수 그래프를 그려보세요.

시험 (와 함께독립적인 작업)부록 2

자가 테스트 및 자가 평가학생들에게는 답을 적을 수 있는 종이(부록 3)가 주어졌습니다. 평가 기준을 제공합니다.

평가 기준:

3개 작업 - 평가"4"

4개 작업 – 점수 "5"

반사:(슬라이드)

1. 오늘 수업에서 배운 것은...

2.오늘 수업시간에 제가 반복한 말은...

3.내가 확보한 건...

4.좋아했는데...

5. 나는 수업시간에 내 활동에 대해 나 자신에게 점수를 매겼다.

6.어떤 유형의 작업이 어려움을 야기하고 반복이 필요한지...

7. 의도한 결과를 달성했나요?

슬라이드: 강의해주셔서 감사합니다!

부록 1

독립적인 작업

그것을 고려해보세요:

엑스 2 – 3배;

엑스 2 – 9;

엑스 2 – 8배 + 16;

엑스 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 엑스 2 – 7 엑스 – 4.

분수를 줄이세요:

부록 2

시험

옵션 1개

곱하다?

엑스 2 – 8배+ 7;

엑스 2 – 8배+ 16 ;

엑스 2 – 8배+ 9;

엑스 2 – 8배+ 1 7.

2 엑스 2 – 9 엑스 – 5 = 2( 엑스 – 5)(…)?

답변:_________ .

분수를 줄이세요:

엑스 – 3;

엑스 + 3;

엑스 – 4;

또 다른 대답.

시험

옵션 2

p가 될 수 없는 이차 삼항식은 무엇인가요?곱하다?

5 엑스 2 + 엑스+ 1;

⅓ 엑스 2 -8배+ 2;

0,1 엑스 2 + 3 엑스 - 5;

엑스 2 + 4 엑스+ 5.

동일성을 만들기 위해 줄임표를 대체해야 하는 다항식은 무엇입니까?2 엑스 2 + 5 엑스 – 3 = 2( 엑스 + 3)(…)?

답변:_________ .

분수를 줄이세요:

3 엑스 2 – 6 엑스 – 15;

0,25(3 엑스 - 1);

0,25( 엑스 - 1);

또 다른 대답.

부록 3

답을 적어보세요.

평가 기준:

올바르게 완료됨: 작업 2 – 점수 "3"

3개 작업 - 평가"4"

4개 작업 – 점수 "5"

과제 1번

작업 번호 2

작업 번호 3

옵션 1개

옵션 2

이차 삼항식을 인수분해하는 것은 다음을 의미합니다. 학교 과제조만간 모두가 직면하게 될 일입니다. 어떻게 하나요? 이차 삼항식을 인수분해하는 공식은 무엇입니까? 예제를 사용하여 단계별로 알아 보겠습니다.

일반식

이차 삼항식은 이차 방정식을 풀어 인수분해됩니다. 이는 여러 가지 방법으로 해결할 수 있는 간단한 문제입니다. Vieta의 정리를 사용하여 판별식을 찾는 방법과 그래픽 솔루션도 있습니다. 처음 두 가지 방법은 고등학교에서 연구됩니다.

일반 공식은 다음과 같습니다.1x 2 +kx+n=1(x-x 1)(x-x 2) (1)

작업 완료를 위한 알고리즘

2차 삼항식을 인수분해하려면 비타의 정리를 알아야 하고, 해 프로그램을 준비해야 하며, 그래픽으로 해를 찾을 수 있거나 판별식을 사용하여 2차 방정식의 근을 찾을 수 있어야 합니다. 2차 삼항식이 주어지고 이를 인수분해해야 하는 경우 알고리즘은 다음과 같습니다.

1) 원래 식을 0으로 동일시하여 방정식을 얻습니다.

2) 유사한 용어를 제공합니다(필요한 경우).

3) 알려진 방법을 사용하여 뿌리를 찾으십시오. 근이 정수이고 작은 숫자라는 것을 미리 알고 있는 경우 그래픽 방법을 사용하는 것이 가장 좋습니다. 근의 수는 방정식의 최대 차수와 동일하다는 점, 즉 이차 방정식에는 두 개의 근이 있다는 점을 기억해야 합니다.

4) 값을 대체 엑스식 (1)로.

5) 이차 삼항식의 인수분해를 적어보세요.

예

연습을 통해 이 작업이 어떻게 수행되는지 최종적으로 이해할 수 있습니다. 다음 예에서는 2차 삼항식의 인수분해를 보여줍니다.

표현식을 확장해야 합니다.

우리의 알고리즘을 사용해 봅시다:

1) x 2 -17x+32=0

2) 유사한 용어가 감소됨

3) Vieta의 공식을 사용하면 이 예의 근을 찾기가 어려우므로 판별식으로 표현을 사용하는 것이 좋습니다.

D=289-128=161=(12.69) 2

4) 우리가 찾은 근을 분해의 기본 공식으로 대체해 보겠습니다.

(x-2.155) * (x-14.845)

5) 그러면 대답은 다음과 같습니다.

x 2 -17x+32=(x-2.155)(x-14.845)

판별식으로 찾은 해가 Vieta 공식과 일치하는지 확인해 보겠습니다.

14,845 . 2,155=32

이 근에 대해 Vieta의 정리가 적용되어 정확하게 발견되었습니다. 이는 우리가 얻은 인수분해도 정확하다는 것을 의미합니다.

마찬가지로 12x 2 + 7x-6을 확장해 보겠습니다.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

이전의 경우 해는 정수가 아닌 실수였고, 계산기가 있으면 쉽게 찾을 수 있었습니다. 이제 좀 더 살펴보자 복잡한 예, 근은 x 2 + 4x + 9로 복잡해집니다. Vieta의 공식을 사용하면 근을 찾을 수 없으며 판별식이 음수입니다. 뿌리는 복소 평면에 있습니다.

D=-20

이를 바탕으로 우리는 우리가 관심을 갖는 근 -4+2i*5 1/2을 얻고 -4-2i * 5 1/2 이후 (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

우리는 근을 일반 공식에 대입하여 원하는 분해를 얻습니다.

또 다른 예: 23x 2 -14x+7 표현식을 인수분해해야 합니다.

우리는 방정식을 가지고 있습니다 23x2 -14x+7 =0

D=-448

이는 루트가 14+21.166i이고 14-21.166i. 대답은 다음과 같습니다:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(엑스- 14+21,166i ).

판별식의 도움 없이 풀 수 있는 예를 들어보겠습니다.

2차 방정식 x 2 -32x+255를 확장해야 한다고 가정해 보겠습니다. 물론 판별식을 사용하여 풀 수도 있지만 이 경우에는 근을 찾는 것이 더 빠릅니다.

x 1 =15

x 2 =17

수단 x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).