직사각형의 대각선을 찾는 문제는 세 가지 다른 방식으로 공식화될 수 있습니다. 각각에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 방법은 알려진 데이터에 따라 달라지는데, 직사각형의 대각선은 어떻게 찾나요?

양면이 알려진 경우

직사각형 a와 b의 두 변이 알려진 경우 대각선을 찾으려면 피타고라스 정리를 사용해야 합니다. a 2 + b 2 =c 2, 여기서 a와 b는 직각 삼각형의 다리입니다. c 직각삼각형의 빗변이다. 대각선을 직사각형으로 그리면 두 개로 나누어집니다. 직각삼각형. 우리는 이 직각 삼각형의 두 변(a와 b)을 알고 있습니다. 즉, 직사각형의 대각선을 찾으려면 다음 공식이 필요합니다: c=√(a 2 +b 2), 여기서 c는 직사각형의 대각선 길이입니다.

알려진 측면과 각도, 측면과 대각선 사이

직사각형 a의 변과 직사각형의 대각선 α가 이루는 각도를 알 수 있습니다. 먼저 코사인 공식을 기억해 봅시다: cos α = a/c, 여기서 c는 직사각형의 대각선입니다. 이 공식으로 직사각형의 대각선을 계산하는 방법: c = a/cos α.

알려진 변을 따라 직사각형의 인접한 변과 대각선 사이의 각도입니다.

직사각형의 대각선은 직사각형 자체를 두 개의 직각 삼각형으로 나누기 때문에 사인의 정의로 전환하는 것이 논리적입니다. 사인은 빗변에 대한 이 각도 반대편 다리의 비율입니다. α = b/c. 여기서 우리는 직각삼각형의 빗변이기도 한 직사각형의 대각선을 구하는 공식을 유도합니다: c = b/sin α.

이제 당신은 이 문제에 대해 잘 알고 있습니다. 내일 기하학 선생님을 기쁘게 해주세요!

정의.

구형는 마주보는 두 변의 길이가 같고 네 각의 크기가 모두 같은 사각형입니다.

직사각형은 긴 변과 짧은 변의 비율만 서로 다르지만 네 모서리가 모두 직각, 즉 90도입니다.

직사각형의 긴 변을 직사각형이라고 합니다. 직사각형 길이, 그리고 짧은 것은 - 직사각형 너비.

직사각형의 변의 높이도 높이입니다.

직사각형의 기본 속성

직사각형은 평행사변형, 정사각형 또는 마름모일 수 있습니다.

1. 반대편직사각형은 길이가 같습니다. 즉, 동일합니다.

AB = CD, BC = AD

2. 직사각형의 반대쪽은 평행합니다.

3. 직사각형의 인접한 변은 항상 수직입니다.

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. 직사각형의 네 모서리는 모두 직선입니다.

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. 직사각형의 내각의 합은 360도입니다.

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. 직사각형의 대각선 길이는 다음과 같습니다.

7. 직사각형 대각선의 제곱의 합은 변의 제곱의 합과 같습니다.

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. 직사각형의 각 대각선은 직사각형을 두 개의 동일한 도형, 즉 직각삼각형으로 나눕니다.

9. 직사각형의 대각선이 교차하고 교차점에서 반으로 나뉩니다.

		AO=BO=CO=DO=	디
			2

10. 대각선의 교점을 직사각형의 중심이라 하고 외접원의 중심이기도 하다

11. 직사각형의 대각선은 외접원의 지름이다

12. 반대각의 합이 180도이므로 언제든지 직사각형 주위의 원을 묘사할 수 있습니다.

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. 길이가 너비와 같지 않은 직사각형에는 원을 새길 수 없습니다. 왜냐하면 반대쪽 변의 합이 서로 같지 않기 때문입니다. (원은 직사각형에만 새겨질 수 있습니다.) 특별한 경우직사각형-정사각형).

직사각형의 변

정의.

직사각형 길이는 변의 더 긴 쌍의 길이입니다. 직사각형 너비는 변의 더 짧은 쌍의 길이입니다.

직사각형의 변의 길이를 구하는 공식

1. 대각선과 반대쪽 변을 통과하는 직사각형의 변(직사각형의 길이와 너비)에 대한 공식:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - 2

2. 직사각형의 변(직사각형의 길이와 너비)과 면적 및 반대쪽 변에 대한 공식:

b = dcos	β
	2

직사각형의 대각선

정의.

대각선 직사각형직사각형의 반대쪽 모서리의 두 꼭지점을 연결하는 선분을 호출합니다.

직사각형의 대각선 길이를 구하는 공식

1. 직사각형의 두 변을 사용하여 직사각형의 대각선을 구하는 공식(피타고라스 정리를 통해):

d = √ a 2 + b 2

2. 면적과 변을 사용한 직사각형의 대각선 공식:

4. 외접원의 반지름을 기준으로 한 직사각형의 대각선 공식:

d = 2R

5. 외접원의 지름을 기준으로 한 직사각형의 대각선 공식:

d = 도

6. 대각선에 인접한 각도의 사인과 이 각도의 반대쪽 변의 길이를 사용하여 직사각형의 대각선에 대한 공식:

8. 사인을 통한 직사각형의 대각선 공식 예각대각선과 직사각형 영역 사이

d = √2S: 죄 β

직사각형의 둘레

정의.

직사각형의 둘레직사각형의 모든 변의 길이의 합입니다.

직사각형의 둘레 길이를 결정하는 공식

1. 직사각형의 두 변을 사용하여 직사각형의 둘레를 구하는 공식:

피 = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. 면적과 변을 사용하여 직사각형의 둘레를 구하는 공식:

피=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	에이		비

3. 대각선과 변을 이용한 직사각형의 둘레 공식:

P = 2(a + √ d 2 - 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. 외접원과 임의의 변의 반지름을 사용하여 직사각형의 둘레를 구하는 공식:

P = 2(a + √4R 2 - 2) = 2(b + √4R 2 - 비 2)

5. 외접원과 변의 지름을 사용하여 직사각형의 둘레를 구하는 공식:

P = 2(a + √D o 2 - 2) = 2(b + √D o 2 - 비 2)

직사각형의 면적

정의.

직사각형의 면적직사각형의 측면, 즉 직사각형의 둘레 내에서 제한된 공간이라고 합니다.

직사각형의 면적을 결정하는 공식

1. 양면을 사용하는 직사각형의 면적에 대한 공식:

S = ab

2. 둘레와 변을 사용하여 직사각형 면적을 계산하는 공식:

5. 외접원과 변의 반경을 사용하여 직사각형 면적을 구하는 공식:

S = a √4R 2 - 2= b √4R 2 - 비 2

6. 외접원과 변의 지름을 사용하여 직사각형 면적을 구하는 공식:

S = a √D o 2 - 2= b √D o 2 - 비 2

직사각형 주위에 외접하는 원

정의.

직사각형 주위에 외접하는 원직사각형의 네 꼭지점을 지나는 원이며, 중심은 직사각형 대각선의 교차점에 있습니다.

직사각형 주위에 외접하는 원의 반지름을 결정하는 공식

1. 두 변을 통해 직사각형 주위에 외접하는 원의 반지름 공식:

은 모든 각도가 90°이고, 마주보는 변이 평행하고 쌍으로 동일한 평행사변형입니다.

직사각형에는 직사각형 면적과 둘레에 대한 공식에서 많은 문제를 해결하는 데 사용되는 몇 가지 반박할 수 없는 속성이 있습니다. 여기 있습니다:

알 수 없는 변의 길이 또는 직사각형의 대각선 길이는 피타고라스 정리를 사용하여 계산됩니다. 직사각형의 면적은 측면의 곱 또는 대각선을 통한 직사각형 면적의 공식으로 두 가지 방법으로 찾을 수 있습니다. 첫 번째이자 가장 간단한 공식은 다음과 같습니다.

이 공식을 사용하여 직사각형의 면적을 계산하는 예는 매우 간단합니다. 예를 들어 a = 3cm, b = 5cm와 같이 두 변을 알면 직사각형의 면적을 쉽게 계산할 수 있습니다.
우리는 그러한 직사각형에서 면적이 15평방미터와 같다는 것을 알았습니다. cm.

대각선을 통한 직사각형의 면적

때로는 대각선을 통해 직사각형의 면적에 대한 공식을 적용해야 할 때가 있습니다. 대각선의 길이뿐만 아니라 대각선 사이의 각도도 알아야 합니다.

대각선을 이용하여 직사각형의 면적을 계산하는 예를 살펴보겠습니다. 대각선 d = 6 cm이고 각도 = 30°인 직사각형이 주어집니다. 데이터를 이미 알려진 공식으로 대체합니다.

그래서 대각선을 통해 직사각형의 면적을 계산하는 예는 각도가 주어지면 이런 방식으로 면적을 찾는 것이 매우 간단하다는 것을 보여주었습니다.
우리의 두뇌를 조금 더 확장하는 데 도움이 되는 또 다른 흥미로운 문제를 살펴보겠습니다.

일:정사각형이 주어졌습니다. 그 면적은 36 평방 미터입니다. cm 한 변의 길이가 9 cm이고 넓이가 위에서 주어진 정사각형의 넓이와 같은 직사각형의 둘레를 구하십시오.
그래서 몇 가지 조건이 있습니다. 명확성을 위해 알려진 매개변수와 알려지지 않은 매개변수를 모두 확인하기 위해 이를 적어 보겠습니다.
그림의 측면은 평행하고 쌍으로 동일합니다. 따라서 그림의 둘레는 변의 길이의 합의 두 배와 같습니다.
그림의 두 변의 곱과 같은 직사각형의 면적 공식에서 변 b의 길이를 구합니다.
여기에서:
알려진 데이터를 대체하고 변 b의 길이를 찾습니다.
그림의 둘레를 계산합니다.
이것이 몇 가지 간단한 공식을 알면 직사각형의 둘레를 계산하고 그 면적을 알 수 있는 방법입니다.

콘텐츠:

대각선은 직사각형의 반대쪽 두 꼭지점을 연결하는 선분입니다. 직사각형에는 두 개의 동일한 대각선이 있습니다. 직사각형의 변을 알고 있으면 대각선이 직사각형을 두 개의 직각 삼각형으로 나누기 때문에 피타고라스 정리를 사용하여 대각선을 찾을 수 있습니다. 변이 주어지지 않았지만 면적, 둘레 또는 종횡비와 같은 다른 양이 알려진 경우 직사각형의 변을 찾은 다음 피타고라스 정리를 사용하여 대각선을 계산할 수 있습니다.

단계

1 측면

1. 1 피타고라스의 정리를 적어보세요.공식: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 변의 값을 공식에 ​​대입합니다.문제에 제시되어 있거나 측정이 필요합니다. 측면 값은 3으로 대체됩니다.
   • 우리의 예에서는:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 면적 및 둘레별

     1. 1 공식: S = l w (그림에서는 S 대신 A라는 명칭이 사용됩니다.)
     2. 2 이 값은 S 3으로 대체됩니다. w4를 분리하기 위해 공식을 다시 작성하세요. 직사각형의 둘레를 계산하는 공식을 적어보세요.공식: P = 2 (w + l)
     3. 5 직사각형의 둘레를 공식에 대입합니다.이 값은 P 6으로 대체됩니다. 방정식의 양변을 2로 나눕니다.직사각형의 변의 합, 즉 w + l 7을 얻게 됩니다. w 8을 계산하는 식을 공식에 ​​대입합니다. 분수를 제거하십시오.이렇게 하려면 방정식의 양쪽에 l 9를 곱합니다. 방정식을 0으로 설정합니다.이렇게 하려면 방정식의 양쪽에서 1차 변수 항을 뺍니다.
        • 우리의 예에서는:
          12 내가 = 35 + 내가 2 10 방정식의 항을 정렬합니다.첫 번째 항은 2차 변수 항, 그 다음에는 1차 변수 항, 그 다음은 자유 항입니다. 동시에 멤버들 앞에 나타나는 기호('플러스'와 '마이너스')도 잊지 마세요. 방정식은 이차 방정식으로 작성됩니다.
          • 이 예에서는 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • 이 예에서 방정식은 0 = l 2 − 12 l + 35 12입니다. l 13 찾기 피타고라스의 정리를 적어보세요.공식: a 2 + b 2 = c 2
              • 직사각형의 각 대각선이 직사각형을 두 개의 동일한 직각 삼각형으로 나누기 때문에 피타고라스 정리를 사용하십시오. 또한 직사각형의 변은 삼각형의 다리이고 직사각형의 대각선은 삼각형의 빗변입니다.
            • 14 이 값은 15로 대체됩니다. 길이와 너비를 제곱한 다음 결과를 더합니다.숫자를 제곱하면 숫자 자체가 곱해진다는 것을 기억하세요.
              • 우리의 예에서는:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 제거하다 제곱근방정식의 양쪽에서.계산기를 사용하면 제곱근을 빠르게 찾을 수 있습니다. 온라인 계산기를 사용할 수도 있습니다. 당신은 c를 찾을 것입니다

                3 면적 및 종횡비별

                1. 1 변의 비율을 나타내는 방정식을 작성하십시오. l 2 분리 직사각형의 면적을 계산하는 공식을 적어보세요.공식: S = l w (그림에서는 S 대신 A라는 명칭이 사용됩니다.)
                   • 이 방법은 직사각형의 둘레를 알고 있는 경우에도 적용할 수 있지만 면적이 아닌 둘레를 계산하려면 공식을 사용해야 합니다. 직사각형의 둘레 계산 공식: P = 2 (w + l)
                2. 3 직사각형의 면적을 공식에 ​​대입합니다.이 값은 S 4로 대체됩니다. 공식에서 당사자의 관계를 특징 짓는 표현으로 대체하십시오.직사각형의 경우 표현식을 대체하여 l 5를 계산할 수 있습니다. 적어보세요 이차 방정식. 이렇게 하려면 괄호를 열고 방정식을 0으로 설정하십시오.
                   • 우리의 예에서는:
                     35 = w(w+2)6 이차 방정식을 인수분해합니다.얻으려면 자세한 지침, 읽다.
                     • 이 예에서 방정식은 0 = w 2 − 12 w + 35 7입니다. w 8 찾기 발견된 너비(또는 길이)를 종횡비를 특성화하는 방정식으로 대체합니다.이렇게 하면 직사각형의 반대쪽을 찾을 수 있습니다.
                       • 예를 들어, 직사각형의 너비가 5cm이고 종횡비가 다음 방정식으로 주어진다고 계산하면 l = w + 2 9 피타고라스의 정리를 적어보세요.공식: a 2 + b 2 = c 2
                         • 직사각형의 각 대각선이 직사각형을 두 개의 동일한 직각 삼각형으로 나누기 때문에 피타고라스 정리를 사용하십시오. 또한 직사각형의 변은 삼각형의 다리이고 직사각형의 대각선은 삼각형의 빗변입니다.
                       • 10 길이와 너비 값을 공식에 ​​대체하십시오.이 값은 11로 대체됩니다. 길이와 너비를 제곱한 다음 결과를 더합니다.숫자를 제곱하면 숫자 자체가 곱해진다는 것을 기억하세요.
                         • 우리의 예에서는:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 방정식의 양변에 제곱근을 취합니다.계산기를 사용하면 제곱근을 빠르게 찾을 수 있습니다. 온라인 계산기를 사용할 수도 있습니다. c(표시 스타일 c), 즉 삼각형의 빗변과 직사각형의 대각선을 찾을 수 있습니다.
                           • 우리의 예에서는:
                             74 = c 2 (표시 스타일 74=c^(2))
                             74 = c 2 (표시 스타일 (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = c (표시 스타일 8,6024=c)
                             따라서 길이가 너비보다 2cm 더 크고 면적이 35cm2인 직사각형의 대각선은 약 8.6cm입니다.

구형각 각이 맞는 사각형입니다.

증거

이 속성은 평행사변형의 특징 3(즉, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )의 작용으로 설명됩니다.

2. 반대편은 동일합니다.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. 반대쪽 변은 평행합니다.

AB \병렬 CD,\enspace BC \병렬 AD

4. 인접한 변은 서로 수직입니다.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. 직사각형의 대각선은 동일합니다.

AC = BD

증거

에 따르면 속성 1직사각형은 평행사변형이므로 AB = CD를 의미합니다.

따라서 두 다리(AB = CD 및 AD - 관절)에서 \triangle ABD = \triangle DCA입니다.

두 도형 ABC와 DCA가 동일하면 빗변 BD와 AC도 동일합니다.

따라서 AC = BD입니다.

모든 도형 중에서(평행사변형만!) 직사각형만이 대각선의 길이가 동일합니다.

이것도 증명해보자.

ABCD는 조건에 따라 평행사변형 \Rightarrow AB = CD, AC = BD입니다. \오른쪽 화살표 \삼각형 ABD = \삼각형 DCA이미 3면에 있어요.

\angle A = \angle D(평행사변형의 각도와 유사)임이 밝혀졌습니다. 그리고 \angle A = \angle C , \angle B = \angle D 입니다.

우리는 다음과 같이 결론을 내립니다. \각 A = \각 B = \각 C = \각 D. 그것들은 모두 90^(\circ) 입니다. 총 - 360^(\circ) .

입증됨!

6. 대각선의 제곱은 인접한 두 변의 제곱의 합과 같습니다.

이 속성은 피타고라스의 정리로 인해 참입니다.

AC^2=AD^2+CD^2

7. 대각선은 직사각형을 두 개의 동일한 직각삼각형으로 나눕니다.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. 대각선의 교차점은 대각선을 반으로 나눕니다.

AO = BO = CO = DO

9. 대각선의 교차점은 직사각형과 외접원의 중심입니다.

10. 모든 각의 합은 360도이다.

\각 ABC + \각 BCD + \각 CDA + \각 DAB = 360^(\circ)

11. 직사각형의 모든 각이 맞습니다.

\각 ABC = \각 BCD = \각 CDA = \각 DAB = 90^(\circ)

12. 직사각형 주위에 외접하는 원의 지름은 직사각형의 대각선과 같습니다.

13. 직사각형 주위에 원을 묘사할 수 있습니다.

이 성질은 직사각형의 반대각의 합이 180^(\circ)라는 사실 때문에 참입니다.

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. 직사각형은 내접원을 포함할 수 있으며 변의 길이가 같은 경우(정사각형) 하나만 포함할 수 있습니다.