한 점에서 두 변수의 함수의 총 미분입니다. 여러 변수의 함수의 총 미분

보시다시피 미분값을 찾으려면 미분값에 dx를 곱해야 합니다. 이를 통해 파생 상품 공식 표에서 미분 공식 표를 즉시 작성할 수 있습니다.

두 변수의 함수에 대한 총 미분:

세 변수의 함수에 대한 총 미분은 편미분의 합과 같습니다: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

정의 . 함수 y=f(x)는 x 0 지점에서 함수의 증분이 Δy=AΔx + α(Δx)Δx로 표시될 수 있는 경우 x 0 지점에서 미분 가능하다고 합니다. 여기서 A는 상수이고 α(Δ x) – Δx → 0과 같이 극미량입니다.
함수가 한 점에서 미분 가능해야 한다는 요구 사항은 이 점에서 도함수가 존재하는 것과 동일하며 A=f'(x 0)입니다.

f(x)가 x 0 및 f "(x 0)≠0 점에서 미분 가능하다고 하면 Δy=f'(x 0)Δx + αΔx, 여기서 α= α(Δx) →0 에서 Δx →0. Δy의 양과 오른쪽의 각 항은 Δx→0에 대해 극소량입니다. 즉, α(Δx)Δx는 무한히 작습니다. 높은 순서, f'(x 0)Δx보다.
, 즉 Δy~f'(x 0)Δx입니다. 결과적으로 f'(x 0)Δx는 주를 나타내고 동시에 증분 Δy의 Δx 부분에 대해 선형을 나타냅니다(선형 - 1차 거듭제곱에 대한 Δx를 포함함을 의미). 이 항은 x 0 지점에서 함수 y=f(x)의 미분이라고 하며 dy(x 0) 또는 df(x 0)으로 표시됩니다. 따라서 임의의 x 값에 대해
dy=f′(x)Δx. (1)
dx=Δx로 설정한 다음
dy=f′(x)dx. (2)

예. 이 함수의 미분과 미분을 찾아보세요.
a) y=4 tan2 x
해결책:

미분:
비)
해결책:

미분:
c) y=아크신 2(lnx)
해결책:

미분:
G)
해결책:
=
미분:

예. 함수 y=x 3에 대해 x와 Δx의 일부 값에 대해 Δy와 dy에 대한 표현식을 찾으세요.
해결책. Δy = (x+Δx) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 Δx +3xΔx 2 + Δx 3 – x 3 = 3x 2 Δx+3xΔx 2 +Δx 3 ; dy=3x 2 Δx (Δx를 기준으로 주요 선형 부분 Δy를 취함). 이 경우 α(Δx)Δx = 3xΔx 2 + Δx 3입니다.

두 변수의 함수의 편도함수입니다.
솔루션의 개념 및 예시

~에 이번 수업우리는 두 변수의 기능에 대해 계속해서 알아보고 아마도 가장 일반적인 주제별 작업인 찾기를 고려할 것입니다. 1차 및 2차 편도함수와 함수의 총 미분. 파트타임 학생은 원칙적으로 2학기 1학년에 부분도함수를 접하게 됩니다. 더욱이 내 관찰에 따르면 부분 파생 상품을 찾는 작업은 거의 항상 시험에 나타납니다.

을 위한 효과적인 학습당신을 위한 다음 자료 필요한한 변수의 함수에 대한 "일반적인" 파생어를 어느 정도 자신있게 찾을 수 있습니다. 파생상품을 올바르게 처리하는 방법을 수업에서 배울 수 있습니다. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?그리고 복잡한 함수의 파생. 파생 상품 테이블도 필요합니다 기본 기능그리고 차별화 규칙은 인쇄된 형태로 제공되는 것이 가장 편리합니다. 페이지에서 참고 자료를 얻을 수 있습니다 수학 공식 및 표.

두 변수의 함수 개념을 빠르게 반복해 보겠습니다. 최소한으로 제한하려고 노력하겠습니다. 두 변수의 함수는 일반적으로 다음과 같이 작성됩니다. 변수는 호출됩니다. 독립변수또는 인수.

예: – 두 변수의 기능.

때로는 표기법이 사용됩니다. 편지 대신 편지를 사용하는 작업도 있습니다.

와 함께 기하학적 점시각 측면에서 두 변수의 함수는 3차원 공간(평면, 원통, 구, 포물면, 쌍곡면 등)의 표면을 나타내는 경우가 가장 많습니다. 하지만 사실 이게 더 분석 기하학, 그리고 우리 일정에 수학적 분석, 결코 부정 행위를 허용하지 않는 대학 선생님은 나의 장점입니다.

1차와 2차의 편도함수를 찾는 문제로 넘어가겠습니다. 커피를 몇 잔 마시고 상상할 수 없을 정도로 어려운 내용을 듣고 있는 분들을 위한 좋은 소식이 있습니다. 부분 도함수는 하나의 변수 함수의 "보통" 도함수와 거의 동일합니다..

부분 도함수의 경우 모든 미분 규칙과 기본 함수의 도함수 표가 유효합니다. 지금 당장 알게 될 몇 가지 작은 차이점이 있습니다.

...예, 그런데 이 주제를 위해 제가 만들었습니다. 작은 PDF 책, 이를 통해 단 몇 시간 만에 "이빨을 박을" 수 있습니다. 하지만 이 사이트를 사용하면 물론 결과도 얻을 수 있습니다. 다만 조금 느려질 수도 있습니다.

실시예 1

함수의 1차 및 2차 편도함수 찾기

먼저 1차 부분도함수를 구해보겠습니다. 두 가지가 있습니다.

명칭:
또는 - "x"에 관한 편도함수
또는 - "y"에 대한 편도함수

부터 시작해 보겠습니다. "x"에 대한 편도함수를 찾으면 변수는 상수(상수)로 간주됩니다..

수행된 작업에 대한 설명:

(1) 편도함수를 찾을 때 가장 먼저 하는 일은 결론을 내리는 것입니다. 모두소수 아래 괄호 안의 함수 아래첨자와 함께.

주의, 중요합니다!우리는 솔루션 프로세스 중에 첨자를 잃지 않습니다. 이 경우 가 없는 곳에 "획"을 그리면 교사는 최소한 과제 옆에 이를 넣을 수 있습니다(부주의를 위해 즉시 요점의 일부를 물어뜯음).

(2) 우리는 미분의 법칙을 사용합니다 , . 을 위한 간단한 예이와 같이 두 규칙을 모두 한 단계로 쉽게 적용할 수 있습니다. 첫 번째 항에 주의하세요: 이후 상수로 간주되며 모든 상수는 도함수 기호에서 제외될 수 있습니다., 그런 다음 대괄호로 묶습니다. 즉, 이 상황에서는 일반 숫자보다 나을 것이 없습니다. 이제 세 번째 용어를 살펴 보겠습니다. 여기서는 반대로 꺼낼 것이 없습니다. 상수이기 때문에 상수이기도 하며 이러한 의미에서 마지막 용어인 "7"보다 나을 것이 없습니다.

(3) 우리는 표 형식의 파생 상품과 을 사용합니다.

(4) 단순화시키거나 제가 말하고 싶은 대로 답을 "조정"해 봅시다.

지금 . "y"에 대한 편도함수를 찾으면 변수는 다음과 같습니다.상수로 간주됨(상수).

(1) 우리는 동일한 차별화 규칙을 사용합니다 , . 첫 번째 항에서는 도함수의 부호에서 상수를 빼내고, 두 번째 항에서는 이미 상수이기 때문에 아무 것도 빼낼 수 없습니다.

(2) 기본 함수의 도함수 표를 사용합니다. 표의 모든 "X"를 정신적으로 "I"로 바꿔 보겠습니다. 즉, 이 표는 (실제로 거의 모든 문자에 대해) 동일하게 유효합니다. 특히 우리가 사용하는 공식은 다음과 같습니다: 및 .

부분 파생 상품의 의미는 무엇입니까?

본질적으로 1차 편도함수는 다음과 같습니다. "보통" 파생물:

- 이것 기능, 이는 특징 변화율각각 및 축 방향으로 기능합니다. 예를 들어 다음 함수는 "상승"과 "경사"의 가파른 특징을 나타냅니다. 표면가로축 방향으로, 이 함수는 세로축 방향으로 동일한 표면의 "릴리프"에 대해 알려줍니다.

! 메모 : 여기서는 방향을 의미합니다. 평행한좌표축.

더 나은 이해를 위해 평면의 특정 지점을 고려하고 해당 지점의 함수("높이") 값을 계산해 보겠습니다.
– 이제 당신이 여기(표면 위에) 있다고 상상해 보세요.

주어진 지점에서 "x"에 대한 편도함수를 계산해 보겠습니다.

"X" 파생 상품의 음수 부호는 다음을 알려줍니다. 감소하는가로축 방향의 한 지점에서 기능합니다. 즉, 작은 것을 만들면 (무한)축의 끝을 향해 나아가다 (이 축과 평행), 그런 다음 표면의 경사를 따라 내려갑니다.

이제 우리는 세로축 방향으로 "지형"의 특성을 알아냅니다.

"y"에 대한 도함수는 양수이므로 축 방향의 한 지점에서 함수는 다음과 같습니다. 증가하다. 간단히 말해서 여기서 우리는 오르막길을 기다리고 있습니다.

또한, 한 점에서의 부분 도함수는 다음을 특징으로 합니다. 변화율해당 방향으로 기능합니다. 결과값이 클수록 모듈로– 표면이 가파르고 그 반대일수록 0에 가까울수록 표면은 더 평평해집니다. 따라서 이 예에서는 가로축 방향의 "기울기"가 세로축 방향의 "산"보다 가파릅니다.

그러나 그것은 두 개의 개인 경로였습니다. 우리가 있는 시점에서 보면, (그리고 일반적으로 주어진 표면의 어느 지점에서나)우리는 다른 방향으로 움직일 수 있습니다. 따라서 표면의 "풍경"에 대해 알려주는 일반적인 "내비게이션 지도"를 만드는 데 관심이 있습니다. 가능하다면모든 지점에서 이 함수의 정의 영역사용 가능한 모든 경로를 따라. 이것과 다른 것에 대하여 흥미로운 것들다음 강의에서 말씀드리겠지만 지금은 문제의 기술적인 측면으로 돌아가겠습니다.

기본 적용 규칙을 체계화하겠습니다.

1) 에 대해 미분하면 변수는 상수로 간주됩니다.

2) 다음과 같이 차별화를 할 때, 상수로 간주됩니다.

3) 기본 함수의 도함수 규칙과 표는 미분을 수행하는 모든 변수(또는 기타 변수)에 대해 유효하고 적용 가능합니다.

2단계. 우리는 2차 부분도함수를 찾습니다. 그 중 4개가 있습니다.

명칭:
또는 - "x"에 관한 2차 미분
또는 - "y"에 관한 2차 미분
또는 - 혼합된"x by igr"의 파생물
또는 - 혼합된"Y"의 파생물

2차 미분에는 문제가 없습니다. 말하기 간단한 언어로, 2차 도함수는 1차 도함수의 도함수입니다..

편의상 이미 찾은 1차 부분도함수를 다시 작성하겠습니다.

먼저 혼합 파생 상품을 찾아 보겠습니다.

보시다시피 모든 것이 간단합니다. 편도함수를 취하여 다시 미분하지만 이 경우에는 이번에는 "Y"를 따릅니다.

비슷하게:

실제 예에서는 다음 평등에 집중할 수 있습니다.:

따라서 2차 혼합도함수를 통해 1차 부분도함수를 올바르게 찾았는지 확인하는 것이 매우 편리합니다.

"x"에 대한 2차 도함수를 구합니다.
발명품은 없어, 가져가자 다시 "x"로 차별화합니다.

비슷하게:

찾을 때 표시해야한다는 점에 유의해야합니다. 주의력 증가, 이를 확인할 수 있는 기적적인 평등이 없기 때문입니다.

2차 도함수는 또한 폭넓은 실제 적용을 발견하며, 특히 다음을 찾는 문제에 사용됩니다. 두 변수의 함수의 극값. 그러나 모든 것에는 시간이 있습니다.

실시예 2

해당 점에서 함수의 1차 편도함수를 계산합니다. 2차 도함수를 찾아보세요.

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정(수업 마지막에 답변). 뿌리를 구별하는 데 어려움이 있으면 수업으로 돌아가세요. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?일반적으로 머지않아 이러한 파생 상품을 "즉시" 찾는 방법을 배우게 될 것입니다.

더 많은 것을 손에 넣자 복잡한 예:

실시예 3

확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

풀이: 1차 부분도함수를 구합니다:

아래 첨자에 주의하세요: , "X" 옆에 상수라는 것을 괄호 안에 쓰는 것은 금지되지 않습니다. 이 노트는 초보자가 솔루션을 더 쉽게 탐색할 수 있도록 매우 유용할 수 있습니다.

추가 의견:

(1) 모든 상수를 도함수의 부호 이상으로 이동합니다. 이 경우, 및 , 따라서 해당 곱은 상수로 간주됩니다.

(2) 뿌리를 정확하게 구별하는 방법을 잊지 마십시오.

(1) 도함수의 부호에서 모든 상수를 제거합니다. 이 경우 상수는 입니다.

(2) 소수 아래에는 두 함수의 곱이 남아 있으므로 곱을 미분하는 규칙을 사용해야 합니다. .

(3) 이것이 복잡한 기능이라는 점을 잊지 마십시오(복잡한 기능 중 가장 단순한 기능일지라도). 우리는 해당 규칙을 사용합니다. .

이제 우리는 2차 혼합 파생 상품을 찾습니다.

이는 모든 계산이 올바르게 수행되었음을 의미합니다.

총 차등을 적어 보겠습니다. 고려 중인 작업의 맥락에서 두 변수 함수의 전체 미분이 무엇인지 말하는 것은 의미가 없습니다. 이러한 차이가 실제 문제에 자주 기록되어야 하는 것이 중요합니다.

1차 총 차동두 변수의 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이 경우:

즉, 이미 찾은 1차 편도함수를 공식에 어리석게 대체하면 됩니다. 이와 유사한 상황에서는 분자에 미분 기호를 쓰는 것이 가장 좋습니다.

그리고 독자들의 거듭된 요청에 따라, 2차 완전 미분.

다음과 같습니다:

2차의 "한 글자" 파생어를 주의 깊게 찾아보겠습니다.

그리고 "괴물"을 적고 사각형과 제품을 조심스럽게 "부착"하고 혼합 파생 상품을 두 배로 늘리는 것을 잊지 마십시오.

뭔가 어려워 보이더라도 괜찮습니다. 미분 기법을 익힌 후에는 언제든지 파생 상품으로 돌아올 수 있습니다.

실시예 4

함수의 1차 편도함수 찾기 . 확인해 보세요. 1차 총 미분을 적어보세요.

일련의 예제를 살펴보겠습니다. 복잡한 기능:

실시예 5

함수의 1차 편도함수를 구합니다.

해결책:

실시예 6

함수의 1차 편도함수 찾기 .
총 차액을 적어보세요.

이것은 스스로 해결해야 할 예입니다(답은 강의 마지막에 나옵니다). 완벽한 솔루션너무 간단해서 안 주는데

위의 모든 규칙이 조합되어 적용되는 경우가 많습니다.

실시예 7

함수의 1차 편도함수 찾기 .

(1) 합을 미분하는 규칙을 사용합니다.

(2) 이 경우 첫 번째 항은 상수로 간주됩니다. 표현에는 "x"에 의존하는 것이 없고 오직 "y"에만 의존하기 때문입니다. 아시다시피, 분수가 0으로 바뀔 수 있다는 것은 언제나 좋은 일입니다.) 두 번째 항에는 제품 차별화 규칙을 적용합니다. 그건 그렇고, 이런 의미에서 함수가 대신 주어졌다면 아무것도 바뀌지 않았을 것입니다. 중요한 것은 여기서 두 가지 기능의 곱, 각각은 다음에 달려 있습니다. "엑스"이므로 제품차별화 법칙을 사용해야 합니다. 세 번째 항에는 복소 함수의 미분 규칙을 적용합니다.

(1) 분자와 분모의 첫 번째 항에 "y"가 포함되어 있으므로 몫을 미분하는 규칙을 사용해야 합니다. . 두 번째 항은 "x"에만 의존합니다. 즉, 상수로 간주되어 0으로 변합니다. 세 번째 항에서는 복소 함수를 미분하는 규칙을 사용합니다.

용기 있게 수업을 거의 끝까지 마친 독자들을 위해 휴식을 위한 메크마토프의 오래된 일화를 말씀드리겠습니다.

어느 날 기능의 공간에 사악한 파생물이 나타나 모든 사람을 차별화하기 시작했습니다. 모든 기능이 사방으로 흩어져 있어 아무도 변신하고 싶어하지 않습니다! 그리고 단 하나의 기능만 도망가지 않습니다. 파생 상품이 그녀에게 다가가서 묻습니다.

- 나한테서 도망치지 그래?

- 하. 하지만 저는 상관하지 않습니다. 왜냐하면 나는 "e의 X승"이고 당신은 나에게 아무 짓도 하지 않을 것이기 때문입니다!

교활한 미소를 지닌 사악한 파생물이 대답합니다.

- 여기서 착각하신게 Y로 구분해드릴테니 0이 되셔야 합니다.

이 농담을 이해한 사람은 적어도 "C" 수준까지 파생 상품을 마스터한 사람입니다.

실시예 8

함수의 1차 편도함수 찾기 .

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제의 완전한 해결책과 예시는 수업의 마지막 부분에 있습니다.

글쎄, 그게 거의 전부입니다. 마지막으로 수학 애호가들을 위해 한 가지 예를 더 들어드리지 않을 수 없습니다. 아마추어에 관한 것이 아니라 모든 사람이 서로 다른 수준의 수학적 준비를 가지고 있습니다. 더 어려운 작업과 경쟁하기를 좋아하는 사람들이 있습니다(그리 드물지는 않습니다). 하지만 이 강의의 마지막 예는 계산적 관점에서 볼 때 복잡하기 때문에 복잡하지 않습니다.

정의:전체 차동 기능여러 변수는 모든 편미분의 합입니다.

예시 1: .

해결책:

이 함수의 편도함수는 다음과 같습니다.

그런 다음 이러한 함수의 편미분을 즉시 작성할 수 있습니다.

, ,

그러면 함수의 완전한 미분은 다음과 같습니다.

실시예 2함수의 완전미분 구하기

해결책:

이 함수는 복잡합니다. 다음과 같이 표현될 수 있다

편도함수 찾기:

전체 차동:

전체 미분의 분석적 의미는 여러 변수의 함수에 대한 전체 미분이 다음과 같다는 것입니다. 주요 부분 전체 증가이 기능즉, 대략적인 동일성이 있습니다: Δz≒dz.

그러나 이러한 대략적인 등식은 함수 z=f(x,y) 인수의 작은 미분 dx 및 dy에 대해서만 유효하다는 점을 기억할 필요가 있습니다.

대략적인 계산에서 총 미분의 사용은 공식 Δz≒dz의 사용을 기반으로 합니다.

실제로, 이 공식에서 함수의 증분 Δz가 다음 형식으로 표시되고 총 미분은 다음 형식으로 표시됩니다. , 그러면 우리는 다음을 얻습니다:

≈ ,

결과 공식은 두 변수 함수의 "새" 값을 대략적으로 찾는 데 사용할 수 있으며, 두 인수 모두의 충분히 작은 증분에 대해 사용됩니다.

예.함수의 대략적인 값 찾기 , 해당 인수 값은 1.01, .

해결책.

이전에 찾은 함수의 부분 도함수를 공식에 대체하면 다음을 얻습니다.

x=1, Δх=0.01, y=2, Δу=0.02 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

스칼라 필드.

공간 D의 특정 영역의 각 지점에 함수 U(p)=U(x,y,z)가 지정되면 스칼라 필드가 영역 D에 지정된다고 말합니다.

예를 들어 U(x,y,z)가 M(x,y,z) 지점의 온도를 나타내는 경우 스칼라 온도 필드가 지정되었다고 말합니다. 영역 D가 액체나 기체로 채워지고 U(x,y,z)가 압력을 나타내는 경우 스칼라 압력장이 있습니다. 우주에 있는 전하나 거대한 물체의 위치가 주어지면 우리는 잠재적인 장에 대해 이야기합니다.

스칼라 필드는 다음과 같이 호출됩니다. 변화 없는,함수 U(x,y,z)가 시간이 지나도 변하지 않는 경우: U(x,y,z) ≠ 에프(티).

모든 고정 필드의 특징은 다음과 같습니다.

1) 스칼라 필드의 평평한 표면

2) 주어진 방향에서 필드의 변화율.

평평한 표면스칼라 필드가 호출됩니다. 현장함수 U(x,y,z)가 상수 값, 즉 U(x,y,z) = const를 취하는 지점입니다. 이러한 점들의 집합은 특정 표면을 형성합니다. 다른 상수를 취하면 다른 표면을 얻게 됩니다.

예:스칼라 필드가 주어집니다. 그러한 필드의 예는 다음과 같습니다. 전위점 전하(+q). 여기서 평평한 표면은 등전위 표면이 됩니다. , 즉 중앙에 장을 생성하는 전하가 있는 구체입니다.