이제 임의의 힘 시스템을 주어진 중심으로 가져 오는 문제, 즉 주어진 힘 시스템을 그것과 동일하지만 훨씬 더 간단한 다른 힘 시스템으로 대체하는 문제를 해결해 보겠습니다. 하나의 힘과 한 쌍.

임의의 힘 시스템이 고체에 작용한다고 가정합니다(그림 40, a).

환원 중심으로 점 O를 선택하고 § 11에서 입증된 정리를 사용하여 모든 힘을 중심 O로 전달하고 해당 쌍을 추가합니다(그림 37, b 참조). 그러면 힘의 체계가 몸에 작용할 것입니다

중심 O에 적용되며 공식 (18)에 따라 모멘트가 다음과 같은 쌍 시스템입니다.

점 O에 적용된 수렴력은 점 O에 적용된 하나의 힘 R로 대체됩니다. 이 경우 또는 등식(19)에 따르면,

결과 쌍을 모두 추가하려면 이러한 쌍의 모멘트 벡터를 추가해야 합니다. 결과적으로 쌍 시스템은 한 쌍으로 대체되며, 그 순간은 동등성(20)에 따라

알려진 바와 같이 R의 값은 다음과 같습니다. 기하합모든 힘의 모멘트를 시스템의 주요 벡터라고 하며, 중심 O에 대한 모든 힘의 모멘트의 기하학적 합과 동일한 값을 이 중심에 대한 힘 시스템의 주요 모멘트라고 합니다.

따라서 우리는 힘 시스템의 감소에 대한 다음 정리를 증명했습니다. 절대적으로 강체에 작용하는 모든 힘 시스템은 임의로 선택한 중심 O로 축소될 때 주 벡터와 동일한 하나의 힘 R로 대체됩니다. 힘 시스템은 감소 중심 O에 적용되고 중심 O에 대한 힘 시스템의 주요 모멘트와 동일한 모멘트를 갖는 한 쌍입니다 (그림 40, b).

힘 R은 힘 시스템을 단독으로 대체하는 것이 아니라 한 쌍으로 대체하기 때문에 여기서는 이 힘 시스템의 결과가 아닙니다.

입증된 정리에 따르면 동일한 중심에 대해 동일한 주 벡터와 주요 모멘트를 갖는 두 가지 힘 시스템은 동일합니다(힘 시스템의 등가 조건).

또한 R의 값은 분명히 중심 O의 선택에 의존하지 않는다는 점에 유의하십시오. 중심 O의 위치가 변경되면 값은 일반적으로 개별 힘의 모멘트 값 변경으로 인해 변경될 수 있습니다. 따라서 어느 중심점을 기준으로 결정되는지를 항상 표시할 필요가 있습니다. 급소.

하나의 힘을 주어진 지점으로 가져오는 방법은 여러 힘에 적용될 수 있습니다. 신체의 일부 지점(그림 1.24)에 힘이 가해진다고 가정해 보겠습니다. 에프 1 에프 2 , 에프 3그리고 F4.이러한 세력을 정점에 도달시키는 것이 필요합니다. 에 대한비행기. 먼저 해당 지점에 가해지는 힘을 제시해 보겠습니다. 에이.해당 시점에 신청합시다(§ 16 참조). 에 대한주어진 힘과 개별적으로 동일한 값을 가지며, 힘과 평행하고 반대 방향으로 향하는 두 개의 힘. 힘을 가져온 결과, 우리는 힘을 얻습니다. , O 지점에 적용되고 어깨에 몇 가지 힘이 가해집니다. . 똑같이 힘을 주어서 , 시점에 적용 안에,우리는 힘을 얻을 것이다 , 시점에 적용 에 대한,어깨 등을 포함한 몇 가지 힘. 지점에 적용되는 평평한 힘 시스템 에이,비,씨그리고 디,우리는 수렴하는 힘으로 교체했습니다 , 한 지점에 적용됨 에 대한,모멘트가 있는 힘의 쌍, 동등한 순간한 점에 상대적인 힘이 주어졌을 때 에 대한:

그림 1.24

한 점에 수렴하는 힘은 구성 요소의 기하학적 합과 동일한 하나의 힘으로 대체될 수 있습니다.

주어진 힘의 기하학적 합과 같은 이 힘을 다음과 같이 부릅니다. 힘 시스템의 주요 벡터그리고 표시하다.

좌표축에 대한 주 벡터의 투영 크기를 기반으로 주 벡터의 모듈을 찾습니다.

힘 쌍을 추가하는 규칙에 따라 결과 쌍으로 대체될 수 있으며, 그 모멘트는 점을 기준으로 주어진 힘 모멘트의 대수적 합과 같습니다. 에 대한그리고 호출된다 급소기준점을 기준으로

따라서 임의의 평면 힘 시스템은 하나의 힘으로 축소됩니다.(힘 시스템의 주요 벡터) 및 한 순간(군 시스템의 주요 순간).

100개의 주요 벡터는 주어진 힘 시스템의 결과가 아니라는 점을 이해하는 것이 필요합니다. 왜냐하면 이 시스템은 하나의 힘과 동일하지 않기 때문입니다. 주 벡터는 주어진 시스템에서 힘의 기하학적 합과 같기 때문에 그 크기나 방향은 감소 중심의 선택에 따라 달라지지 않습니다. 주요 모멘트의 값과 부호는 축소 중심의 위치에 따라 달라집니다. 왜냐하면 부품 쌍의 암은 힘의 상대적 위치와 모멘트가 취해지는 기준점(중심)에 따라 달라지기 때문입니다.

병력 시스템 감소의 특별한 경우:

1) ; 시스템이 평형 상태에 있습니다. 즉 평면 힘 시스템의 평형을 위해서는 주요 벡터와 주요 모멘트가 동시에 0이 되는 것이 필요하고 충분합니다.

5강

요약: 특정 센터에 힘을 가하는 것입니다. 특정 센터에 힘 시스템을 가져옵니다. 평형 조건 공간 시스템평행 힘. 힘의 평면 시스템에 대한 평형 조건. 3모멘트 정리. 정적으로 정의할 수 있는 문제와 정적으로 불확정한 문제입니다. 신체 시스템의 평형.

군대 시스템을 특정 센터로 가져옵니다. 평형 조건

특정 센터에 힘을 가하는 것입니다.

수렴력 시스템의 결과는 평행사변형 규칙에 따라 힘을 추가하여 직접 구합니다. 분명히 모든 힘을 한 지점으로 전달할 수 있는 방법을 찾으면 임의의 힘 시스템에 대해 유사한 문제를 해결할 수 있습니다.

평행 힘 전달에 관한 정리 . 절대적으로 강체에 가해진 힘은 가하는 효과를 바꾸지 않고 주어진 지점에서 몸체의 다른 지점으로 전달될 수 있으며, 그 지점에 대해 전달된 힘의 모멘트와 동일한 모멘트를 추가합니다. 힘이 전달됩니다.

A 지점에 힘이 가해지면 두 개의 균형 잡힌 힘이 B 지점에 가해지면 이 힘의 효과는 변하지 않습니다. 세 가지 힘의 결과 시스템은 B 지점과 모멘트와 쌍을 이루는 힘과 동일하지만 적용됩니다. 힘을 힘과 힘의 쌍으로 대체하는 과정을 힘을 주어진 중심 B로 가져오는 과정이라고 합니다.

특정 센터에 힘 시스템을 가져옵니다.

주요 정리정적(Poinsot).

강체에 작용하는 임의의 힘 시스템은 일반적으로 하나의 힘과 한 쌍의 힘으로 축소될 수 있습니다. 힘의 체계를 하나의 힘과 한 쌍의 힘으로 대체하는 이러한 과정을 힘의 체계를 주어진 중심으로 가져오는 것.

시스템의 주요 벡터 힘는 다음과 같은 벡터라고 불린다. 벡터 합계이 세력.

시스템의 주요 포인트 힘몸체의 점 O를 기준으로 벡터는 이 점을 기준으로 하는 시스템의 모든 힘 모멘트의 벡터 합과 동일하다고 합니다.

주 벡터와 주 모멘트 계산 공식

모듈러스 및 방향 코사인 계산 공식

주요 벡터 및 주요 순간

힘 체계의 평형 조건.

벡터 모양입니다.

강체에 적용되는 임의의 힘 시스템의 평형을 위해서는 힘 시스템의 주요 벡터가 0과 같고 감소 중심에 대한 힘 시스템의 주요 모멘트도 다음과 같아야 합니다. 영.

대수적 형태.

강체에 적용되는 임의의 힘 시스템의 평형을 위해서는 축에 대한 모든 힘의 투영의 세 합이 필요하고 충분합니다. 데카르트 좌표는 0과 같았고 세 개의 좌표축에 대한 모든 힘의 모멘트의 세 합도 0과 같았습니다.

공간 시스템의 평형 조건

평행 힘.

평행력 시스템이 신체에 작용합니다. Oz 축을 힘과 평행하게 배치해 보겠습니다.

방정식

고체에 작용하는 평행 힘의 공간 시스템의 평형을 위해서는 이러한 힘의 투영의 합이 0과 같고 수직인 두 좌표축에 대한 이러한 힘의 모멘트의 합이 필요하고 충분합니다. 힘도 0과 같습니다.

- 오즈 축에 힘을 투영합니다.

플랫 포스 시스템.

힘의 평면 시스템에 대한 평형 조건.

평면 힘 시스템이 신체에 작용합니다. 힘의 작용 평면에 Ox 및 Oy 축을 배치해 보겠습니다.

방정식

고체에 작용하는 힘의 평면 시스템의 평형을 위해서는 힘의 작용 평면에 위치한 두 개의 직사각형 좌표축 각각에 대한 이러한 힘의 투영의 합이 0과 같아야 하고 충분합니다. 작용 평면에 위치한 모든 지점에 대한 이러한 힘의 모멘트의 합도 0이었습니다.

3모멘트 정리.

강체에 작용하는 힘의 평면 시스템의 평형을 위해서는 힘의 작용 평면에 있고 위에 놓여 있지 않은 세 점에 대한 시스템의 이러한 힘의 모멘트의 합이 필요하고 충분합니다. 같은 직선은 0과 같습니다.

정적으로 정의할 수 있는 문제와 정적으로 불확정한 문제입니다.

강체에 작용하는 힘의 평면 시스템에는 세 가지 독립적인 평형 조건이 있습니다. 결과적으로 모든 평면 힘 시스템의 경우 평형 조건에서 3개 이하의 미지수를 찾을 수 있습니다.

강체에 작용하는 힘의 공간 시스템의 경우 6개의 독립적인 평형 조건이 있습니다. 결과적으로 모든 공간적 힘 시스템에 대해 평형 조건에서 6개 이하의 미지수를 찾을 수 있습니다.

미지수의 수가 강체에 가해진 힘의 주어진 시스템에 대한 독립적인 평형 조건의 수보다 크지 않은 문제를 호출합니다. 정적으로 정의 가능.

그렇지 않으면 문제가 정적으로 불확실해집니다.

신체 시스템의 평형.

상호 작용하는 물체의 시스템에 적용되는 힘의 평형을 고려해 봅시다. 몸체는 경첩이나 다른 방법을 사용하여 서로 연결될 수 있습니다.

고려중인 신체 시스템에 작용하는 힘은 외부와 내부로 나눌 수 있습니다.

외부고려 중인 시스템의 몸체가 이 힘 시스템에 포함되지 않은 몸체에 의해 작용하는 힘이라고 합니다.

내부고려중인 시스템의 몸체 사이의 상호 작용 힘이라고합니다.

신체 시스템에 적용되는 힘의 평형을 고려할 때, 신체 시스템을 개별 고체로 정신적으로 나누고 한 신체에 대해 얻은 평형 조건을 이러한 신체에 작용하는 힘에 적용할 수 있습니다. 이러한 평형 조건에는 신체 시스템의 외부 힘과 내부 힘이 모두 포함됩니다. 내면의 힘두 몸체의 각 관절 지점에서 작용력과 반작용력이 동일하다는 공리를 기반으로 평형 힘 시스템을 형성합니다.

두 물체의 시스템과 힘의 평면 시스템의 예를 사용하여 이를 증명해 보겠습니다.

각각에 대해 평형 조건을 만들면 단단한신체 시스템, 신체 I

.

신체 II의 경우

또한, 상호 작용하는 두 물체에 대한 작용력과 반력의 동등성에 대한 공리로부터 우리는 .

제시된 평등은 평형 조건입니다 외력, 시스템에 작용합니다.

밀봉 반응.

AB의 한쪽 끝이 벽에 박혀 있는 빔을 생각해 봅시다. 이러한 유형의 빔 AB 끝 고정을 호출합니다. 지점에서 밀봉 B. 힘의 평면 시스템이 빔에 작용한다고 가정합니다. 보 AB의 일부가 폐기될 경우 보의 B 지점에 적용되어야 하는 힘을 결정해 보겠습니다. 분산 반력이 빔 섹션(B)에 적용됩니다. 이러한 힘이 기본 집중 힘으로 대체되고 B 지점으로 이동하면 B 지점에서 힘(반력의 주요 벡터)과 모멘트 M(반력의 주요 벡터)을 갖는 한 쌍의 힘을 얻습니다. 포인트 B). 순간M 마감 순간이라고 함또는 지시 순간.반력은 두 가지 구성요소로 대체될 수 있으며, .

씰은 힌지와 달리 크기와 방향을 알 수 없는 반력뿐만 아니라 씰에 알 수 없는 모멘트 M을 갖는 한 쌍의 힘도 생성합니다.

하나의 힘을 주어진 지점으로 가져오는 설명된 방법은 여러 힘에 적용될 수 있습니다. 신체의 어느 지점에서라고 가정해보자. 알파벳그리고 디(그림 19) 힘이 가해짐 1 , 2 , 3 그리고 4 . 이러한 세력을 정점에 도달시키는 것이 필요합니다. 에 대한비행기. 먼저 힘을 내어보자 1 , 시점에 적용 에이.그 시점에서 신청하자 에 대한두 개의 힘 ’ 1 그리고 ’’ 1 , 각각은 주어진 힘에 대한 모듈러스와 같습니다. 1 , 그것과 평행하고 방향을 향한다. 반대편. 힘을 가한 결과 1 우리는 힘을 얻을 것이다 ’ 1 , 해당 시점에 적용됨 에 대한, 그리고 몇 가지 힘 1 ’’ 1 (쌍을 형성하는 힘은 대시로 표시됨) 1. 똑같이 힘을 주어서 2 , 해당 시점에 적용됨 안에, 힘을 얻습니다 2 , 해당 시점에 적용됨 에 대한, 그리고 몇 가지 힘 2 ’’ 2 어깨가 있는 2등.

점에 가해지는 힘의 평면 시스템 에이, 안에, 와 함께그리고 디, 우리는 수렴하는 힘으로 대체되었습니다 ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 그리고 ’ 4 , 해당 시점에 적용됨 에 대한, 그리고 점에 대해 주어진 힘의 모멘트와 동일한 모멘트를 갖는 힘의 쌍 에 대한:

M 1 = P 1 a 1 = M o (1); M 2 = P 2 a 2 = M o (2);

M 3 = – P 3 a 3 = M o ( 3); M 4 = - P 4 a 4 = M o (4).

한 지점에 수렴하는 힘은 단일 힘으로 대체될 수 있습니다. " , 구성 요소의 기하 합과 같습니다.

" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 나 .(16)

주어진 힘의 기하학적 합과 같은 이 힘을 다음과 같이 부릅니다. 힘 시스템의 주요 벡터.

힘 쌍을 추가하는 규칙에 따라 는 결과 쌍으로 대체될 수 있으며, 그 모멘트는 점을 기준으로 주어진 힘의 모멘트의 대수적 합과 같습니다. 에 대한:

Mo = M 1 + M 2 + M 3 + M 4 = i = o (i).(17)

메인 벡터와 유사하게, 순간 남 0감소 중심에 대한 모든 힘의 모멘트의 대수적 합과 동일한 쌍 에 대한, 라고 불리는 주어진 감소 중심 O에 대한 시스템의 주요 모멘트.따라서, 일반적으로 주어진 점 O로 감소한 결과로 평평한 힘 시스템은 하나의 힘(주 벡터)과 한 쌍으로 구성된 등가 시스템으로 대체되며, 그 순간을 주요 모멘트라고 합니다. 감소 중심을 기준으로 주어진 힘 시스템.

주요 벡터가 ’ 이 시스템은 하나의 힘과 동일하지 않기 때문에 주어진 힘 시스템의 결과가 아닙니다. ’. 주 모멘트가 사라지는 특별한 경우에만 주 벡터가 주어진 힘 시스템의 결과가 됩니다. 주 벡터는 주어진 시스템의 힘의 기하학적 합과 같기 때문에 그 크기나 방향은 감소 중심의 선택에 의존하지 않습니다. 주요 순간의 크기와 표시 남 0부품 쌍의 암은 힘의 상대적 위치와 모멘트가 취해지는 기준점(중심)에 따라 달라지기 때문에 감소 중심의 위치에 따라 달라집니다.

군대 시스템을 도입하는 경우는 다음과 같습니다.

1. " ≠ 0; M o ≠ 0 -일반적인 경우; 시스템은 주요 벡터와 주요 순간으로 축소됩니다.

2. " ≠ 0; M o = 0;시스템은 시스템의 주 벡터와 동일한 결과로 축소됩니다.

3. " = 0; Mo ≠ 0;시스템은 모멘트가 주요 모멘트와 동일한 한 쌍의 힘으로 축소됩니다.

4. " = 0; 모 = 0;시스템이 균형을 이루고 있습니다.

일반적인 경우에 다음이 증명될 수 있습니다. " ≠ 0 및 M o ≠ 0,힘 시스템의 주요 모멘트가 0과 같은 지점이 항상 있습니다.

점으로 축소된 힘의 평면 시스템을 고려해 보겠습니다. 에 대한, 즉. 주 벡터로 대체됨 " ≠ 0 , 해당 시점에 적용됨 에 대한, 그리고 요점은 모 ≠ 0(그림 20).

명확성을 위해 주요 모멘트가 시계 방향으로 향한다고 가정합니다. 모< 0. 이 주요 순간을 한 쌍의 힘으로 묘사합시다 "" , 그 모듈은 주 벡터의 모듈과 동일하게 선택됩니다. " , 즉. 아르 자형 =R '' = R '. 쌍을 구성하는 힘 중 하나는 힘입니다. "" – 감량센터에 신청하세요 에 대한, 또 다른 힘 – 어느 시점에서 와 함께, 위치는 다음 조건에 따라 결정됩니다. M o = OS*R.따라서,

운영체제 =. (18)

몇 가지 힘을 가해 봅시다 "" 그래서 힘이 "" 주 벡터의 반대 방향으로 향했습니다. " . 그 시점에서 에 대한(그림 20) 우리는 두 개의 동일하고 서로 반대되는 힘을 가지고 있습니다 " 그리고 "" , 하나의 직선을 따라 향함; (세 번째 공리에 따라) 폐기될 수 있습니다. 그러므로 점에 관하여 와 함께고려중인 힘 시스템의 주요 순간은 0과 같고 시스템은 결과로 감소됩니다 .

§ 18. 결과의 순간에 대한 정리(Varignon의 정리)

일반적인 경우(§ 17 참조), 임의의 평면 힘 시스템은 주 벡터로 축소됩니다. " 그리고 요점 남 0선택된 감소 중심을 기준으로 하며 주요 모멘트는 해당 점을 기준으로 주어진 힘의 모멘트의 대수적 합과 같습니다. 에 대한

M o = o (i).(에이)

감소 중심을 선택하는 것이 가능하다는 것을 보여주었다(그림 20에서 지점 와 함께), 시스템의 주요 모멘트는 0과 같고 힘 시스템은 주 벡터와 크기가 동일한 하나의 결과로 감소됩니다 ( R = R'). 점을 기준으로 결과의 순간을 결정합시다 에 대한. 어깨가 그런 점을 고려하면 OS힘이 같다 , 우리는 얻는다

M o () = R*OC = R = M o.(비)

세 번째와 별도로 동일한 두 수량은 서로 동일하므로 방정식 (a)와 (b)에서 다음을 찾습니다.

남 o () = o ( i).(19)

결과 방정식은 Varinon의 정리를 표현합니다. 임의의 점에 대한 결과적인 평면 힘 시스템의 모멘트는 동일한 점에 대한 구성 힘 모멘트의 대수적 합과 같습니다.

Varignon의 정리에 따르면 결과의 작용선에 있는 임의의 점에 대한 평면 힘 시스템의 주요 모멘트는 0과 같습니다.