정사각 행렬 곱의 행렬식에 관한 정리. 정사각 행렬의 행렬식

행렬식의 행렬식은 정방행렬 A를 특징짓는 숫자로, 연립방정식의 해와 밀접한 관련이 있다 선형 방정식. 행렬 A의 행렬식은 or로 표시됩니다. n차 정사각 행렬 A는 특정 법칙에 따라 이 행렬의 n차 행렬식 또는 행렬식이라고 하는 계산된 숫자와 연관됩니다. 두 번째와 세 번째 순서의 결정 요인을 고려해 보겠습니다.

행렬을 줘보자

2차 행렬식은 다음 공식으로 계산됩니다.

예.행렬 A의 행렬식을 계산합니다.

답변: -10.

3차 행렬식은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

예.행렬 B의 행렬식을 계산합니다.

답변: 83.

n차 행렬식은 행렬식의 속성과 다음 라플라스 정리를 기반으로 계산됩니다. 행렬식은 행렬의 모든 행(열) 요소와 해당 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다.

대수적 보완요소가 같음 , 여기서 는 행렬식의 i번째 행과 j번째 열을 지워서 얻은 요소의 마이너입니다.

미성년자행렬 A의 요소 차수는 행렬 A에서 i번째 행과 j번째 열을 삭제하여 얻은 (n-1)차 행렬의 행렬식입니다.

예. 행렬 A의 모든 요소에 대한 대수적 보수를 찾습니다.

답변: .

예. 삼각 행렬의 행렬식을 계산합니다.

답변: -15.

행렬식의 속성:

1. 행렬의 행(열)이 0으로만 구성된 경우 행렬식은 0입니다.

2. 행렬의 모든 행 (열)의 모든 요소에 숫자를 곱하면 행렬식에 이 숫자가 곱해집니다.

3. 행렬을 전치할 때 행렬식은 변경되지 않습니다.

4. 행렬의 두 행(열)을 재배열하면 행렬식의 부호가 반대 방향으로 변경됩니다.

5. 정사각형 행렬에 두 개의 동일한 행(열)이 포함되어 있으면 행렬식은 0입니다.

6. 행렬의 두 행(열) 요소가 비례하는 경우 행렬식은 0입니다.

7. 이 행렬의 다른 행(열) 요소의 대수적 보수에 의한 행렬의 임의 행(열) 요소의 곱의 합은 0과 같습니다.

8. 이전에 동일한 숫자를 곱한 다른 행(열)의 요소를 행렬의 모든 행(열) 요소에 추가하면 행렬의 행렬식은 변경되지 않습니다.

9. 임의의 행(열) 요소의 대수적 보수에 의한 임의 숫자의 곱의 합은 이 행(열)의 요소를 숫자로 대체하여 얻은 행렬의 행렬식과 같습니다.

10. 두 정사각 행렬의 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같습니다.

역행렬.

정의.이 행렬에 오른쪽과 왼쪽 모두에서 주어진 행렬을 곱하면 단위 행렬이 얻어지면 행렬을 정사각 행렬 A의 역이라고합니다.

정의에 따르면 정사각 행렬에만 역행렬이 있습니다. 이 경우 역행렬도 같은 차수의 제곱입니다. 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 정사각 행렬을 비특이 행렬이라고 합니다.

필요하고 충분조건역행렬의 존재: 역행렬은 다음과 같은 경우에만 존재합니다(그리고 고유합니다). 원래 행렬비퇴화.

역행렬을 계산하기 위한 첫 번째 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 원래 행렬의 행렬식을 구합니다. 행렬식이 0이 아니면 원래 행렬은 비특이 행렬이고 역행렬이 존재합니다.

2. A로 전치된 행렬을 찾습니다.

3. 전치 행렬 요소의 대수적 보수를 찾고 그로부터 수반 행렬을 구성합니다.

4. 다음 공식을 사용하여 역행렬을 계산합니다.

5. 정의에 따라 역행렬 계산의 정확성을 확인합니다. .

예.

답변: .

역행렬을 계산하는 두 번째 알고리즘은 다음과 같습니다.

역행렬은 행렬 행에 대한 다음과 같은 기본 변환을 기반으로 계산할 수 있습니다.

두 줄을 바꿉니다.

행렬 행에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.

행렬의 한 행에 0이 아닌 임의의 숫자를 곱한 다른 행을 추가합니다.

행렬 A의 역행렬을 계산하려면 행렬을 구성한 다음 기본 변환을 통해 행렬 A를 단위 행렬 E의 형태로 줄이고 단위 행렬 대신 행렬을 구해야 합니다.

예.행렬 A의 역행렬을 계산합니다.

우리는 다음 형식의 행렬 B를 구성합니다.

요소 = 1이고 이 요소를 포함하는 첫 번째 줄을 안내선이라고 합니다. 첫 번째 열이 첫 번째 행에 하나가 있는 단위 열로 변환되는 기본 변환을 수행해 보겠습니다. 이렇게 하려면 첫 번째 줄을 두 번째와 세 번째 줄에 추가하고 각각 1과 -2를 곱합니다. 이러한 변환의 결과로 우리는 다음을 얻습니다.

마침내 우리는 얻는다

어디 .

매트릭스 순위.행렬 A의 랭크는 다음과 같습니다. 최고 순위이 행렬의 0이 아닌 마이너. 행렬 A의 순위는 rang(A) 또는 r(A)로 표시됩니다.

정의에 따르면 다음과 같습니다. a) 행렬의 순위는 해당 차원 중 더 작은 차원을 초과하지 않습니다. r(A)는 m 또는 n의 최소값보다 작거나 같고; b) 행렬 A의 모든 요소가 0인 경우에만 r(A)=0입니다. c) n차 정사각 행렬의 경우 r(A)=n 행렬 A가 비특이인 경우에만 해당됩니다.

예: 행렬의 순위를 계산합니다.

답: r(A)=1. 답: r(A)=2.

다음과 같은 기본 행렬 변환을 호출해 보겠습니다.

1) 0행(열)을 폐기합니다.

2) 행렬 행(열)의 모든 요소에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.

3) 행렬의 행(열) 순서를 변경합니다.

4) 한 행(열)의 각 요소에 다른 행(열)의 해당 요소를 추가하고 임의의 숫자를 곱합니다.

5) 매트릭스 전치.

기본 행렬 변환 중에는 행렬의 순위가 변경되지 않습니다.

예: 행렬을 계산합니다. 여기서

; ;

답변: .

예: 행렬 계산 , 어디

; ; ; E는 단위 행렬입니다.

답변: .

예: 행렬의 행렬식을 계산합니다.

답변: 160.

예: 행렬 A에 역행렬이 있는지 확인하고, 그렇다면 이를 계산합니다.

답변: .

예: 행렬의 순위를 구합니다.

답변: 2.

2.4.2. 선형 방정식 시스템.

n개의 변수를 갖는 m개의 선형 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

여기서 는 각각 변수 계수와 방정식의 자유 항이라고 불리는 임의의 숫자입니다. 방정식 시스템에 대한 해법은 n 숫자()의 모음이며 이를 대체하면 시스템의 각 방정식이 진정한 평등으로 변합니다.

방정식 시스템에 최소한 하나의 해가 있는 경우 일관성이 있다고 하고, 해가 없으면 불일치라고 합니다. 연립 방정식 시스템이 고유한 해를 갖는 경우 유한이라고 하고, 두 개 이상의 해가 있는 경우에는 무한이라고 합니다.

크레이머의 정리:변수 "x"에 대한 계수로 구성된 행렬 A의 행렬식을 이 행렬의 j번째 열을 자유 항의 열로 대체하여 행렬 A에서 얻은 행렬의 행렬식이라고 하겠습니다. 그런 다음, 시스템은 공식(j=1, 2, …, n)에 의해 결정되는 고유한 솔루션을 갖습니다. 이 방정식을 Cramer의 공식이라고 합니다.

예. Cramer의 공식을 사용하여 방정식 시스템을 풉니다.

답변: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

가우스법– 변수를 순차적으로 제거하는 방법은 기본 변환을 사용하여 방정식 시스템을 단계(또는 삼각형) 형식의 등가 시스템으로 축소하여 다른 모든 변수를 마지막 변수부터 순차적으로 찾는 것입니다. 숫자로 변수.

예: 가우스 방법을 사용하여 방정식 시스템을 풉니다.

답변: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

선형 방정식 연립방정식의 경우 다음 설명이 참입니다.

· 관절 시스템의 매트릭스 순위가 숫자와 같다변수, 즉 r = n이면 방정식 시스템은 고유한 해를 갖습니다.

· 관절 시스템의 행렬 순위가 변수 수보다 작은 경우, 즉 아르 자형

2.4.3. EXCEL에서 행렬 연산을 수행하는 기술입니다.

최적화 문제를 해결하는 데 필요한 계산을 단순화할 수 있는 Excel 스프레드시트 프로세서 작업의 몇 가지 측면을 고려해 보겠습니다. 테이블 프로세서는 테이블 형식 데이터 처리를 자동화하도록 설계된 소프트웨어 제품입니다.

수식 작업.스프레드시트 프로그램은 수식을 사용하여 다양한 계산을 수행합니다. Excel을 사용하면 수식을 빠르게 만들 수 있습니다. 공식은 세 가지 주요 부분으로 구성됩니다.

등호;

운영자.

수식에서 함수 사용. 수식을 더 쉽게 입력하려면 Excel 기능을 사용할 수 있습니다. 함수는 Excel에 내장된 수식입니다. 특정 수식을 활성화하려면 버튼을 클릭하세요. 끼워 넣다, 기능.나타나는 창에서 기능 마법사왼쪽에는 함수 유형 목록이 포함되어 있습니다. 유형을 선택하면 오른쪽에 기능 목록이 표시됩니다. 기능 선택은 해당 이름을 마우스 버튼으로 클릭하여 수행됩니다.

행렬에 대한 연산을 수행하고, 선형 방정식 시스템을 풀고, 최적화 문제를 풀 때 다음 Excel 함수를 사용할 수 있습니다.

MUMULT - 행렬 곱셈;

TRANSPOSE - 행렬 전치;

MOPRED - 행렬식 계산;

MOBR - 역행렬 계산.

버튼은 도구 모음에 있습니다. 행렬 연산을 수행하는 함수는 범주에 속합니다. 매우 정확한.

함수를 이용한 행렬 곱셈 엄마 . MULTIPLE 함수는 행렬의 곱을 반환합니다(행렬은 배열 1과 2에 저장됨). 결과는 배열 1과 행 수가 동일하고 배열 2와 열 수가 동일한 배열입니다.

예. Excel에서 두 행렬 A와 B의 곱을 찾습니다(그림 2.9 참조).

; .

셀 A2:C3에 행렬 A를 입력하고 셀 E2:F4에 행렬 B를 입력합니다.

곱셈 결과의 셀 범위(H2:I2)를 선택합니다.

행렬 곱셈 공식 =MULTIPLE(A2:C3, E2:F4)을 입력합니다.

Ctrl+Shift+Enter를 누릅니다.

MOBR 함수를 사용한 행렬 역 계산.

MOBR 함수는 배열에 저장된 행렬의 역행렬을 반환합니다. 구문: MOBR(배열). 그림에서. 2.10은 Excel의 예제에 대한 솔루션을 보여줍니다.

예.주어진 것과 반대인 행렬을 찾습니다:

그림 2.9. 행렬 곱셈을 위한 입력 데이터입니다.

행렬의 행렬식이 표시됩니다. 즉, 행렬의 행렬식은 집합의 곱의 합에 해당 치환의 부호를 곱한 값입니다.

2차 행렬식은 주대각선 요소의 곱에서 측면 대각선 요소의 곱을 뺀 것과 같습니다.

우리는 삼각형 규칙을 얻었습니다:

행렬식의 가장 간단한 속성

행(열)이 0인 행렬의 행렬식은 0과 같습니다.

삼각행렬의 행렬식은 주대각선에 위치한 요소들의 곱과 같습니다

주대각선 아래의 요소가 0이면 삼각 행렬입니다.

대각 행렬의 행렬식은 주대각선에 있는 요소들의 곱과 같습니다. 주대각선 외부에 있는 모든 요소가 0이면 행렬은 대각선입니다.

행렬식의 기본 속성

스칼라 필드,

증거:

나타내자 전체 세트를 "통과"하면 모든 세트도 "통과"합니다.

행렬의 두 열(행)을 재배열하면 행렬식의 부호가 변경됩니다.

증거:

I) 열 재배열:

두 개의 열을 숫자로 재배열하여 얻은 행렬이라고 하자. 전치를 고려해 봅시다:

조옮김은 이상한 대체입니다.

증명에서 우리는 평등을 사용할 것입니다:

전체 값 세트를 실행하는 경우 모든 값 및

II) 문자열 재배열

두 행의 순열에서 얻은 다음 두 열의 순열에서 얻은 다음

III) 0과 동일한 두 개의 동일한 행(열)을 갖는 행렬의 행렬식

증거:

그런 분야를 위해 실행하자

논평

Kulikova의 교과서 대수학과 정수론에서 사례에 대한 증거를 찾아보세요.

숫자가 있는 두 개의 동일한 선이 있다고 가정하고 여기서 선을 교환하면 행렬이 생성됩니다.

두 개의 동일한 열이 있는 경우 전치 행렬에는 두 개의 동일한 행이 있습니다.

IV) 행렬의 모든 행(열)에 있는 모든 요소를 곱하면 행렬식에 다음이 곱해집니다.

증거:

행을 곱하여 구하자

그 이후로

열에 대한 유사한 증명

V) 두 행(열)이 0에 비례하는 행렬의 행렬식

증거:

행렬의 행이 비례하도록 합니다. 즉, -string은 -string의 곱과 같습니다. 허락하다

열의 경우:

에서 얻으십시오. 열은 비례적이고

VI) 정사각 행렬의 행(열)의 각 요소가 두 요소의 합인 경우 행렬식은 두 행렬식의 합과 같습니다. 첫 번째 행렬식의 행렬에는 -행(열)에 첫 번째 항이 쓰여지고, 두 번째 행렬식에는 두 번째 항이 쓰여집니다. 이러한 행렬식의 행렬의 나머지 요소는 행렬의 요소와 동일합니다.

증거:

VII) 행렬식 행렬의 임의의 행(열)에 다른 행(열)을 곱한 값을 추가하면 행렬식은 변경되지 않습니다.

증거:

열에도 동일합니다.

VIII) 행렬의 임의의 행(열)이 다른 행(열)의 선형 조합인 경우 행렬식은

증거:

일부 문자열이 다른 문자열의 선형 조합인 경우 다른 문자열을 여기에 추가하고 스칼라를 곱하여 0 문자열을 얻을 수 있습니다. 이러한 행렬의 행렬식은 0과 같습니다.

(먼저 첫 번째 줄에 -2를 곱하고 두 번째 줄을 더한 다음 -3을 곱하고 세 번째 줄을 더합니다.) 이 삼각형 형태로의 축소 규칙은 순서 결정 요인에 사용됩니다.

삼각행렬의 행렬식은 주대각선에 있는 요소들의 곱과 같기 때문입니다.

정사각 행렬이 일부 행렬(직사각형일 수 있음)의 곱인 경우 요인의 속성 측면에서 곱의 행렬식을 표현할 수 있는 것이 종종 중요합니다. 다음 정리는 이에 대한 강력한 지표입니다.

미성년자 및 대수적 보완.

결정적 정리.

스칼라 필드,

데프. 순서 결정 요소 중 마이너 요소는 -행과 -열을 삭제하여 얻은 순서 결정 요소입니다.

행렬식의 주요 미성년자

주요 미성년자에 대한 예선이 있습니다

행렬을 고려하고 그 마이너를 계산하십시오.

정의. 요소의 대수적 보수를 숫자라고 합니다.

예: 계산해 봅시다.

증거:

(합계에서 해당 항만 0이 아닙니다. 여기서)

그런 다음 대체 형식은 다음과 같습니다. 대체를 일치시켜 보겠습니다.

이러한 대응을 순열 집합에서 순열 집합으로의 일대일 매핑이라고 합니다. 분명히, 그들은 동일한 반전을 가지고 있습니다. 이는 동일한 패리티와 부호를 가짐을 의미합니다.

한 요소를 제외하고 행렬의 모든 행(열) 요소가 0과 같으면 행렬의 행렬식은 이 요소와 대수적 보수의 곱과 같습니다.

증거:

요소를 제외한 모든 요소를 행렬의 행으로 둡니다.

행과 열을 재배열하여 요소를 오른쪽 하단, 즉 행과 열로 이동했습니다. 부호는 한 번 변경되며 그 후 결과는 마지막 행의 모든 요소가 0일 수 있는 행렬이 됩니다. Lemma 1에 따르면, 왜냐하면

라그랑주의 정리

행렬의 모든 열(행) 요소와 해당 대수적 보수의 곱의 합과 같습니다. 즉, 행렬의 -column을 따른 분해는 다음과 같은 형식을 가지며, 행렬의 -row를 따른 분해는 다음과 같습니다.

증거:

행렬의 -column을 고려하여 행렬식의 6번째 속성에 따라 다음 형식으로 작성합니다.

행렬식 행렬 라그랑지안 수학적

행렬의 -행에서의 분해 공식도 비슷한 방식으로 증명됩니다.

정리 2

다음 평등이 유효합니다.

다음과 같이 행렬에서 얻은 행렬을 생각해 보십시오. 행렬의 모든 열은 행렬의 열과 동일합니다(번째 열 제외). 행렬의 번째 열은 -번째 열과 일치하고 두 개의 동일한 열이 있으므로 행렬의 행렬식은 0과 같습니다. 행렬의 행렬식을 -번째 열에서 확장해 보겠습니다.

그 다음에. 식 (2)도 유사하게 표시됩니다.

결과:

매트릭스 곱의 결정자

스칼라 필드,

기본 행렬의 순서를 정하면 등식은 참이 됩니다.

1) ., 즉 -row에 스칼라를 곱하여 행렬에서 얻습니다. 행렬식.

행렬은 -row에 스칼라를 곱하여 얻어지므로 행렬식은

-row에 추가하여 얻은 행렬

-기본 행렬
1) 증명은 Lemma 1에서 따릅니다.

2), 진술 (1)의 증거 제공

정리 1

두 행렬의 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같습니다. 즉

증거:

행렬의 행을 선형 독립으로 두면 일련의 기본 변환이 있습니다.

그런 다음 Lemma 2에 따르면 다음과 같습니다. ()에서 우리는 다음을 가지고 있습니다: , 그런 다음

2) 행은 선형 종속적이며 행이 0인 사다리꼴 행렬로 변환되는 기본 변환 체인이 있습니다. , . 그 다음에

제품에도 제로라인이 있다는 점에서,

행렬식이 0이 되기 위한 필요충분조건

스칼라 필드, - 필드 위의 행렬

정리 1

행렬의 행(열)은 선형 종속적입니다.

적절:

행렬의 행(열)이 선형 종속인 경우 일부 행은 다른 행의 선형 조합입니다(각각 행렬식의 8가지 속성).

필요성:

그렇게 놔두세요. 행이 선형 종속임을 증명해 보겠습니다. 문자열이 선형 독립이라고 가정하면 변환하는 기본 변환 체인이 있습니다. II번 항목에서 증명된 내용을 보면 다음과 같습니다. 우리는 모순을 받았습니다. 행렬의 -row가 선형 종속이지만 (열 벡터의 개수)가 선형 종속임을 증명해 보겠습니다.

정리 2

다음 조건은 동일합니다.

2) - 선형 종속
3) -가역적
4) 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다.

증거:

정리 1에서 증명됨

매트릭스 파티셔닝

행렬, 행렬, 행렬, 행렬을 다음과 같은 형태로 쓰면

그런 다음 그들은 어떤 행렬을 형성합니다. 이 경우 매트릭스 블록이라고 부를 수 있습니다. 그리고 그에 따라 표시했습니다. 표현 (1)을 행렬 분할이라고 합니다.

행렬 곱이 존재하고 블록으로 나누어지고 행렬의 열을 따른 분할이 행렬의 행을 따른 분할에 해당하는 경우 다음 공식에 의해 주어진 블록이 있다고 기대할 수 있습니다.

따라서 우리는 요인의 적절한 분할에 의해 얻은 블록 측면의 행렬 곱이 공식적으로 스칼라 요소 측면의 이러한 행렬의 곱과 일치한다고 가정합니다. 예를 들어 이를 보여드리겠습니다.

운동 1. 허락하다

이는 직접 계산으로 확인할 수 있습니다.

정리(1)

행렬이 블록인 행렬을 갖고, 행렬이 크기의 블록을 갖도록 하십시오. 그런 다음 블록이 있습니다.

증거. 각 제품이 존재하며 매트릭스라는 점에 유의하세요. 그러므로 행렬이 있고 앞으로도 그럴 것입니다. 고정의 경우 각각 열이 있고 고정의 경우 행이 있습니다. 이는 일부 행렬의 블록을 의미합니다.

블록 셀에 위치한 일부 행렬 요소를 가정해 보겠습니다. 셀과 행렬에는 요소의 합이 있으므로 . 그러나 셀의 행렬 요소는 행렬 행의 요소와 행렬 열의 요소를 곱한 값의 합입니다. 또한 행렬 행의 요소는 행의 일부 요소와 일치합니다. 즉, 인덱스는 불평등에 의해 결정됩니다.

행렬 열의 요소는 의 요소가 됩니다. 따라서,

우리는 행렬식에 대한 차수 마이너를 정의했습니다. 일반적으로 행렬에서 행을 제외한 모든 행과 열을 제외한 모든 열을 제거하면 결과 행렬의 행렬식을 순서 행렬의 마이너 행렬이라고 합니다.

행렬의 주체라고 불리는 미성년자입니다. 가 행렬이면 대수적 보수는 예를 들어 다음과 같습니다.

정사각 행렬이 일부 행렬(직사각형일 수 있음)의 곱인 경우 요인의 속성 측면에서 곱의 행렬식을 표현하는 것이 때로는 중요합니다. 다음 정리는 이런 종류의 강력한 결과입니다.

정의.두 행렬의 곱 에이그리고 안에매트릭스라고 불리는 와 함께, 교차점에 위치한 요소 나번째 줄과 j번째 열, 요소 곱의 합과 같습니다. 나행렬의 번째 행 에이해당 (순서대로) 요소에 j번째 행렬 열 안에.

이 정의에서 행렬 요소 공식을 따릅니다. 기음:

매트릭스 제품 에이매트릭스로 안에로 표시 AB.

예시 1.두 행렬의 곱 찾기 에이그리고 비, 만약에

해결책. 두 행렬의 곱을 구하는 것이 편리하다 에이그리고 안에그림 2와 같이 작성하십시오.

다이어그램에서 회색 화살표는 행렬의 어느 행이 요소인지 나타냅니다. 에이행렬의 어느 열의 요소에 안에행렬 요소를 얻으려면 곱해야 합니다. 와 함께, 선은 행렬 요소의 색상입니다. 기음해당 행렬 요소가 연결되어 있습니다 에이그리고 비, 그 제품이 추가되어 행렬 요소를 얻습니다. 기음.

결과적으로 우리는 매트릭스 제품의 요소를 얻습니다.

이제 우리는 두 행렬의 곱을 기록할 모든 것을 갖췄습니다.

두 행렬의 곱 AB행렬 열의 수가 다음과 같은 경우에만 의미가 있습니다. 에이행렬 행의 수와 일치합니다. 안에.

다음 알림을 더 자주 사용하면 이 중요한 기능을 더 쉽게 기억할 수 있습니다.

행과 열의 수와 관련하여 행렬 곱의 또 다른 중요한 특징이 있습니다.

행렬의 곱에서 AB행 수는 행렬의 행 수와 같습니다. 에이, 열 개수는 행렬 열 개수와 같습니다. 안에 .

예시 2.행렬의 행과 열 수 찾기 기음, 이는 두 행렬의 곱입니다. 에이그리고 비다음 측정기준:

a) 2 X 10 및 10 X 5;

b) 10×2 및 2×5;

예시 3.행렬의 곱 찾기 에이그리고 비, 만약에:

에이 비- 2. 따라서 행렬의 차원은 기음 = AB- 2×2.

행렬 요소 계산 기음 = AB.

발견된 행렬의 곱: .

이 문제 및 기타 유사한 문제에 대한 해결책을 확인할 수 있습니다. 온라인 매트릭스 제품 계산기 .

실시예 5.행렬의 곱 찾기 에이그리고 비, 만약에:

해결책. 행렬의 행 수 에이- 2, 행렬의 열 수 비 기음 = AB- 2×1.

행렬 요소 계산 기음 = AB.

행렬의 곱은 열 행렬로 작성됩니다.

이 문제 및 기타 유사한 문제에 대한 해결책을 확인할 수 있습니다. 온라인 매트릭스 제품 계산기 .

실시예 6.행렬의 곱 찾기 에이그리고 비, 만약에:

해결책. 행렬의 행 수 에이- 3, 행렬의 열 수 비- 3. 따라서 행렬의 차원은 기음 = AB- 3×3.

행렬 요소 계산 기음 = AB.

발견된 행렬의 곱: .

이 문제 및 기타 유사한 문제에 대한 해결책을 확인할 수 있습니다. 온라인 매트릭스 제품 계산기 .

실시예 7.행렬의 곱 찾기 에이그리고 비, 만약에:

해결책. 행렬의 행 수 에이- 1, 행렬의 열 수 비- 1. 따라서 행렬의 차원은 기음 = AB- 1×1.

행렬 요소 계산 기음 = AB.

행렬의 곱은 하나의 요소로 구성된 행렬입니다: .

이 문제 및 기타 유사한 문제에 대한 해결책을 확인할 수 있습니다. 온라인 매트릭스 제품 계산기 .

C++에서 두 행렬의 곱을 소프트웨어로 구현하는 방법은 "컴퓨터 및 프로그래밍" 블록의 해당 기사에서 논의됩니다.

행렬 지수화

행렬 지수화는 행렬에 동일한 행렬을 곱하는 것으로 정의됩니다. 첫 번째 행렬의 열 개수와 두 번째 행렬의 행 개수가 일치하는 경우에만 행렬의 곱이 존재하므로 정사각 행렬만 거듭제곱할 수 있습니다. N행렬 자체를 곱하여 행렬의 거듭제곱 N한 번:

실시예 8.행렬이 주어졌습니다. 찾다 에이² 및 에이³ .

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실시예 9.행렬이 주어지면

주어진 행렬과 전치된 행렬의 곱, 전치된 행렬과 주어진 행렬의 곱을 구합니다.

두 행렬의 곱의 속성

속성 1. 오른쪽과 왼쪽에 있는 임의의 행렬 A와 해당 차수의 단위 행렬 E의 곱은 행렬 A와 일치합니다. AE = EA = A.

즉, 행렬 곱셈에서 단위 행렬의 역할은 숫자 곱셈에서 단위 행렬의 역할과 동일합니다.

실시예 10.행렬 곱을 찾아 속성 1이 참인지 확인하세요.

오른쪽과 왼쪽의 단위 행렬에.

해결책. 매트릭스 이후로 에이세 개의 열이 포함되어 있으면 제품을 찾아야 합니다. AE, 어디

-
3차 단위 행렬. 작품의 요소를 찾아보자 와 함께 = AE :

그것은 밝혀졌다 AE = 에이 .

이제 제품을 찾아보자 EA, 어디 이자형행렬 A에는 두 개의 행이 포함되어 있으므로 는 2차 단위 행렬입니다. 작품의 요소를 찾아보자 와 함께 = EA :

5. 행렬식 행렬의 특정 행에 동일한 숫자를 곱하는 정리. 두 개의 비례 행이 있는 행렬식입니다.

6. 행렬식을 행렬식의 합과 그 결과로 분해하는 정리.

7. 행렬식을 행(열)의 요소로 확장하는 정리와 그 결과.

8. 행렬 및 해당 속성에 대한 작업. 그 중 하나를 증명하십시오.

9. 행렬 전치 연산 및 그 속성.

10. 역행렬의 정의. 모든 가역 행렬에는 단 하나의 역전산이 있음을 증명하십시오.

13. 블록 행렬. 블록 행렬의 덧셈과 곱셈. 준삼각 행렬의 행렬식에 관한 정리.

14. 행렬의 곱셈에 관한 정리.

15. 역행렬의 존재에 관한 정리.

16. 매트릭스 순위 결정. 기초에 기초한 정리와 그 결과.

17. 행렬의 행과 열의 선형 의존성 개념. 행렬 순위 정리.

18. 행렬의 순위를 계산하는 방법: 미성년자 경계 방법, 기본 변환 방법.

19. 역행렬을 찾기 위해 행(열만)의 기본 변환을 적용합니다.

20. 선형 방정식 시스템. 호환성의 기준과 확실성의 기준.

21. 선형 방정식의 결합 시스템의 해.

22. 선형 방정식의 균질 시스템. 근본적인 솔루션 시스템의 존재에 관한 정리.

23. 벡터와 그 속성에 대한 선형 연산. 그 중 하나를 증명하십시오.

24. 두 벡터 간의 차이 결정. 모든 벡터에 대해 차이가 존재하고 고유함을 증명하십시오.

25. 기초의 정의, 기초의 벡터 좌표. 기저에 관한 벡터 분해에 관한 정리.

26. 벡터의 선형 의존성. 선형 의존성 개념의 속성은 그 중 하나를 증명합니다.

28. 공간, 평면 및 선의 직교 좌표계. 벡터의 선형 결합에 대한 정리와 그 결과.

29. 한 DCS의 한 점 좌표를 다른 DCS의 동일한 점 좌표를 통해 표현하는 공식을 도출합니다.

30. 벡터의 내적. 정의 및 기본 속성.

31. 벡터의 외적. 정의 및 기본 속성.

32. 벡터의 혼합 제품. 정의 및 기본 속성.

33. 벡터의 이중 벡터 곱. 계산을 위한 정의 및 공식(증거 없음)

34. 대수적 선과 표면. 질서의 불변성(불변성)에 관한 정리.

35. 평면과 선의 일반 방정식.

36. 선과 평면의 매개변수 방정식.

37. 평면과 평면 위의 선의 일반 방정식에서 매개변수 방정식으로 전환합니다. 평면(평면 위의 직선)의 일반 방정식에서 계수 a, b, c(a, b)의 기하학적 의미입니다.

38. 평면(공간 내)의 매개변수 방정식, 직선의 표준 방정식에서 매개변수를 제거합니다.

39. 선과 평면의 벡터 방정식.

40. 공간 내 직선의 일반 방정식, 표준 형식으로의 축소.

41. 점에서 평면까지의 거리. 점에서 선까지의 거리. 선과 평면에 관한 다른 문제.

42. 타원의 정의. 타원의 정식 방정식. 타원의 매개변수 방정식. 타원 이심률.

44. 포물선의 정의. 표준 포물선 방정식의 유도.

45. 2차 곡선과 그 분류. kvp에 관한 주요 정리.

45. 2차 표면과 그 분류. PVP에 관한 주요 정리. 회전 표면.

47. 선형 공간의 정의. 예.

49. 유클리드 공간의 정의. 벡터 길이. 벡터 사이의 각도. 코시-부냐콥스키 부등식. 예.

50. 유클리드 공간의 정의. 피타고라스 정리. 삼각형 부등식 예.

14. 행렬의 곱셈에 관한 정리.

정리:

증거: n차 정사각 행렬이 주어집니다.
그리고
. 준삼각행렬의 행렬식에 관한 정리를 바탕으로 (
) 우리는:
이 행렬의 차수는 2n이다. 행렬식을 변경하지 않고 2n차 행렬에 대해 다음 변환을 순차적으로 수행합니다. 첫 번째 행에 추가합니다. 이러한 변환의 결과로 첫 번째 행의 처음 n 위치는 모두 0이 되고 두 번째(두 번째 블록의) 위치는 행렬 A의 첫 번째 행과 행렬의 첫 번째 열의 곱의 합이 됩니다. B. 2 ... n 행에 대해 동일한 변환을 수행하면 다음과 같은 등식을 얻습니다.

올바른 행렬식을 준삼각형 형태로 만들기 위해 1과 1+ n 열, 2와 2+ n … n 및 2 n 열을 바꿉니다. 결과적으로 우리는 평등을 얻습니다.

논평:이 정리는 유한한 수의 행렬에 대해 유효하다는 것이 분명합니다. 특히
.

15. 역행렬의 존재에 관한 정리.

정의:만약에
행렬은 비퇴화(non-singular)라고 합니다. 만약에
그런 다음 행렬을 특이 행렬이라고 합니다.

임의의 정사각형 행렬 A를 고려하십시오. 이 행렬 요소의 대수적 보수로부터 행렬을 구성하고 이를 전치합니다. 우리는 행렬 C를 얻습니다.
행렬 C는 행렬 A에 인접한다고 합니다. A*C와 B*C의 곱을 계산하면 다음을 얻습니다.
따라서
, 따라서
만약에
.

따라서 행렬 A의 비특이성으로부터 A -1의 존재가 뒤따릅니다. 반면에 A의 A -1이 있으면 행렬 방정식 AX = E를 풀 수 있습니다. 따라서
그리고. 얻은 결과를 결합하여 다음과 같은 진술을 얻습니다.

정리:필드 P 위의 정사각 행렬은 특별하지 않은 경우에만 역행렬을 갖습니다. 역행렬이 존재하는 경우 다음 공식으로 구합니다.
, 여기서 C는 수반 행렬입니다.

논평:

16. 매트릭스 순위 결정. 기초에 기초한 정리와 그 결과.

정의:행렬 A의 k차 마이너는 k행과 k열의 교차점에 요소가 있는 k차의 행렬식입니다.

정의:행렬 A의 순위는 이 행렬의 보조 요소 중 0개를 제외한 가장 높은 차수입니다. r(A)로 표시됩니다. 0 지우기<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.

정의:순서가 행렬의 순위와 동일한 행렬의 0이 아닌 마이너를 이 행렬의 기본 마이너라고 합니다. 행렬이 여러 개의 기본 마이너를 가질 수 있다는 것은 분명합니다. 기본 마이너를 구성하는 열과 행을 기본이라고 합니다.

정리:도출된 행렬 A = (ai) m, n에서 각 열은 기저 마이너가 위치한 기저 열의 선형 조합입니다(행에 대해서도 동일).

증거: r(A)=r이라고 하자. 행렬에서 하나의 기초 마이너를 선택해 봅시다. 단순화를 위해 기본 마이너가 행렬의 왼쪽 상단에 있다고 가정합니다. 첫 번째 r 행과 첫 번째 r 열에. 그러면 기본 마이너 Mr은 다음과 같습니다.
. 우리는 행렬 A의 모든 열이 기저 마이너가 위치한 이 행렬의 첫 번째 열의 선형 조합임을 증명해야 합니다. 행렬 A의 k번째 열에 대해 다음과 같은 등식이 유지되는 숫자 λj가 있음을 증명해야 합니다. 여기서
…
.

기본 마이너에 k번째 열과 s번째 행을 할당해 보겠습니다.
왜냐하면 추가된 라인 또는

열은 기저에 포함된 다음 행렬식에 포함됩니다.
, 두 개의 동일한 행(열)을 갖는 행렬식입니다. 행(열)이 추가되면
행렬 순위의 정의에 따르면. 행렬식을 확장해보자
최종 요소를 기반으로 우리는 다음을 얻습니다. 여기에서 우리는 다음을 얻습니다.
여기서 λ 1 … λ r은 숫자 S에 의존하지 않습니다. 왜냐하면 그리고 Sj는 추가된 S번째 행의 요소에 의존하지 않습니다. 평등 (1)은 우리에게 필요한 평등입니다.

결과: A가 정사각 행렬이고 행렬식 A = 0인 경우 행렬의 열 중 하나는 나머지 열의 선형 조합이고 행 중 하나는 나머지 행의 선형 조합입니다.

증거:행렬식A=0이면 이 행렬의 순위는<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).

[A] =0이 되려면 적어도 하나의 행(열)이 나머지 행(열)의 선형 조합이어야 합니다.

논평. 행렬 곱셈의 연산은 비가환적입니다. 즉, 실제로 제품 AB가 존재하는 경우 치수 불일치로 인해 BA가 전혀 존재하지 않을 수 있습니다(이전 예 참조). AB와 BA가 모두 존재하는 경우 서로 다른 차원을 가질 수 있습니다(if).

동일한 차수의 정사각 행렬의 경우 제품 AB와 BA가 존재하고 동일한 차원을 갖지만 해당 요소는 일반적으로 동일하지 않습니다.

그러나 AB와 BA 제품이 일치하는 경우도 있습니다.

동일한 차수의 정사각 행렬 A와 단위 행렬 E의 곱을 생각해 보세요.

EA 제품에 대해서도 동일한 결과를 얻습니다. 따라서 임의의 정사각 행렬 A에 대해 AE = EA = A입니다.

역행렬.

정의 3.7. 정사각 행렬 A를 특이 조건(singular if), 비특이 조건(nonsingular if)이라고 합니다.

정의 3.8. 정사각 행렬 B는 AB = BA = E인 경우 동일한 차수의 정사각 행렬 A의 역행렬이라고 합니다. 이 경우 B를 표시합니다.

주어진 행렬에 반대인 행렬의 존재 조건과 이를 계산하는 방법을 고려해 보겠습니다.

정리 3.2. 역행렬이 존재하려면 원래 행렬이 비특이 행렬이면 충분합니다.

증거.