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22.09.2018 22:00

산술수열과 함께 기하수열은 9학년 학교 대수학 과정에서 공부하는 중요한 수열입니다. 이 기사에서는 기하학적 수열의 분모와 그 값이 속성에 어떤 영향을 미치는지 살펴보겠습니다.

기하학적 진행의 정의

먼저, 이 숫자 계열의 정의를 알려드리겠습니다. 기하수열은 첫 번째 요소에 분모라고 하는 상수를 순차적으로 곱하여 형성되는 일련의 유리수입니다.

예를 들어, 3, 6, 12, 24, ... 계열의 숫자는 기하수열입니다. 왜냐하면 3(첫 번째 요소)에 2를 곱하면 6이 되고, 6에 2를 곱하면 다음이 되기 때문입니다. 12 등.

고려 중인 시퀀스의 구성원은 일반적으로 기호 ai로 표시됩니다. 여기서 i는 시리즈의 요소 수를 나타내는 정수입니다.

위의 진행 정의는 다음과 같이 수학적 언어로 작성될 수 있습니다. an = bn-1 * a1, 여기서 b는 분모입니다. 이 공식을 확인하는 것은 쉽습니다. n = 1이면 b1-1 = 1이고 a1 = a1을 얻습니다. n = 2이면 an = b * a1이고 문제의 일련의 숫자에 대한 정의에 다시 도달합니다. n의 큰 값에 대해서도 유사한 추론이 계속될 수 있습니다.

기하학적 진행의 분모

숫자 b는 전체 숫자 시리즈가 어떤 문자를 갖게 될지 완전히 결정합니다. 분모 b는 양수, 음수 또는 1보다 크거나 작을 수 있습니다. 위의 모든 옵션은 서로 다른 순서로 이어집니다.

• b > 1. 일련의 유리수가 증가하고 있습니다. 예를 들어, 1, 2, 4, 8, ... 요소 a1이 음수이면 전체 시퀀스는 절대값에서만 증가하지만 숫자의 부호에 따라 감소합니다.
• b = 1. 동일한 유리수의 일반적인 계열이 있기 때문에 종종 이 경우를 수열이라고 부르지 않습니다. 예를 들어 -4, -4, -4입니다.

금액 공식

고려 중인 진행 유형의 분모를 사용하여 특정 문제를 고려하기 전에 첫 번째 n 요소의 합계에 대한 중요한 공식이 제공되어야 합니다. 공식은 다음과 같습니다: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

진행 조건의 재귀적 순서를 고려하면 이 표현을 직접 얻을 수 있습니다. 또한 위 공식에서는 임의 개수의 항의 합을 구하려면 첫 번째 요소와 분모만 알면 충분합니다.

무한히 감소하는 수열

그것이 무엇인지에 대한 설명이 위에서 주어졌습니다. 이제 Sn의 공식을 알았으니 이를 이 숫자 계열에 적용해 보겠습니다. 모듈러스가 1을 초과하지 않는 숫자는 큰 거듭제곱으로 올리면 0이 되는 경향이 있으므로, 즉 -1이면 b => 0입니다.

차이 (1 - b)는 분모의 값에 관계없이 항상 양수이므로 무한히 감소하는 기하수열 S의 합의 부호는 첫 번째 요소 a1의 부호에 의해 고유하게 결정됩니다.

이제 획득한 지식을 특정 숫자에 적용하는 방법을 보여주는 몇 가지 문제를 살펴보겠습니다.

문제 번호 1. 미지의 수열 및 합 요소 계산

기하학적 수열이 주어지면 수열의 분모는 2이고 첫 번째 요소는 3입니다. 7번째와 10번째 항은 무엇이고, 7개의 초기 요소의 합은 얼마입니까?

문제의 조건은 매우 간단하며 위 공식을 직접 사용하는 것과 관련됩니다. 따라서 요소 번호 n을 계산하려면 an = bn-1 * a1이라는 표현을 사용합니다. 7번째 요소에 대해 a7 = b6 * a1이 있고 알려진 데이터를 대체하면 a7 = 26 * 3 = 192가 됩니다. 10번째 항에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다: a10 = 29 * 3 = 1536.

합계에 대해 잘 알려진 공식을 사용하고 계열의 처음 7개 요소에 대해 이 값을 결정해 보겠습니다. S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381입니다.

문제 2번. 수열의 임의 요소의 합 결정

-2를 기하수열 bn-1 * 4의 분모와 동일하게 설정합니다. 여기서 n은 정수입니다. 이 계열의 5번째 요소부터 10번째 요소까지의 합계를 결정해야 합니다.

제기된 문제는 알려진 공식을 사용하여 직접 해결할 수 없습니다. 2가지 다른 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다. 주제 발표를 완료하기 위해 두 가지를 모두 제시합니다.

방법 1. 아이디어는 간단합니다. 첫 번째 항의 해당 두 합을 계산한 다음 하나에서 다른 항을 빼면 됩니다. 더 작은 금액을 계산합니다: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. 이제 더 큰 합계를 계산합니다: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. 마지막 표현식에서는 문제 조건에 따라 계산해야 하는 양에 5번째 항목이 이미 포함되어 있으므로 4개 항목만 합산되었습니다. 마지막으로 차이를 취합니다: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

방법 2. 숫자를 대입하고 계산하기 전에 해당 계열의 m항과 n항 사이의 합에 대한 공식을 얻을 수 있습니다. 우리는 방법 1과 정확히 같은 방식으로 진행합니다. 단지 먼저 금액의 상징적 표현으로 작업합니다. Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . 알려진 숫자를 결과 표현식에 대체하고 최종 결과를 계산할 수 있습니다: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

문제 3. 분모는 무엇입니까?

a1 = 2라고 가정하고 무한 합이 3인 경우 기하학적 진행의 분모를 찾으며 이것이 감소하는 일련의 숫자인 것으로 알려져 있습니다.

문제의 조건에 따라 어떤 공식을 사용하여 문제를 해결해야 하는지 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 물론, 진행의 합은 무한히 감소합니다. 우리는 다음과 같은 결과를 얻었습니다: S = a1 / (1 - b). 여기에서 분모를 b = 1 - a1 / S로 표현합니다. 알려진 값을 대체하고 필요한 숫자를 얻는 것이 남아 있습니다: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 또는 -0.333(3). 이러한 유형의 시퀀스에 대해 모듈러스 b가 1을 초과해서는 안 된다는 점을 기억한다면 이 결과를 정성적으로 확인할 수 있습니다. 보시다시피, |-1 / 3|

작업 번호 4. 일련의 숫자 복원

숫자 계열의 2개 요소가 주어져 있다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어 5번째는 30이고 10번째는 60입니다. 기하 수열의 속성을 충족한다는 것을 알고 이러한 데이터로부터 전체 계열을 재구성해야 합니다.

문제를 해결하려면 먼저 알려진 각 용어에 해당하는 표현을 적어야 합니다. a5 = b4 * a1 및 a10 = b9 * a1이 있습니다. 이제 두 번째 표현식을 첫 번째 표현식으로 나누면 a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5가 됩니다. 여기서부터 문제 설명에서 알려진 항의 비율 b = 1.148698의 5제곱근을 취하여 분모를 결정합니다. 결과 숫자를 알려진 요소에 대한 표현식 중 하나로 대체하면 a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966이 됩니다.

기하수열은 우리가 곧 알게 될 새로운 유형의 수열입니다. 성공적인 데이트를 위해서는 최소한 알고 이해하는 것이 나쁠 것은 없습니다. 그러면 기하학적 진행에는 문제가 없습니다.)

기하학적 진행이란 무엇입니까? 기하학적 진행의 개념.

평소처럼 기본부터 투어를 시작합니다. 나는 완성되지 않은 일련의 숫자를 씁니다.

1, 10, 100, 1000, 10000, …

패턴을 발견하고 다음에 어떤 숫자가 올지 알 수 있나요? 고추가 투명해지면 100,000, 1,000,000 등의 숫자가 따라옵니다. 별다른 정신적 노력을 하지 않아도 모든 것이 명확해지죠?)

좋아요. 또 다른 예입니다. 나는 다음 순서를 쓴다:

1, 2, 4, 8, 16, …

숫자 16과 이름 다음에 어떤 숫자가 올지 알 수 있나요? 여덟 번째시퀀스 멤버? 그것이 숫자 128이 될 것이라고 생각했다면 아주 좋은 것입니다. 따라서 전투의 절반은 이해에 있습니다. 감각그리고 요점기하학적 진행은 이미 완료되었습니다. 더 성장할 수 있습니다.)

이제 우리는 감각에서 엄격한 수학으로 다시 이동합니다.

기하학적 진행의 핵심 포인트.

핵심 포인트 #1

기하학적 진행은 일련의 숫자.진행도 마찬가지다. 멋진 것은 없습니다. 이 순서만 정리되어 있어요 다르게.그러니 당연히 이름도 달라지겠죠...

핵심 포인트 #2

두 번째 핵심 사항을 사용하면 질문이 더 까다로워집니다. 조금 돌아가서 산술 진행의 주요 속성을 기억해 봅시다. 여기 있습니다: 각 멤버는 이전 멤버와 다릅니다. 같은 금액으로.

기하학적 수열에 대해 유사한 주요 속성을 공식화하는 것이 가능합니까? 조금 생각해 보십시오... 주어진 예를 자세히 살펴보십시오. 짐작하셨나요? 예! 기하학적 진행에서 (아무거나!) 각 멤버는 이전 멤버와 다릅니다. 같은 횟수.언제나!

첫 번째 예에서 이 숫자는 10입니다. 시퀀스의 어느 멤버를 선택하든 이전 멤버보다 큽니다. 열 번.

두 번째 예에서는 2입니다. 각 항은 이전 항보다 큽니다. 두 배.

기하수열이 산술수열과 다른 점이 바로 이 점입니다. 산술 진행에서 각 후속 항이 얻어집니다. 추가하여이전 항과 동일한 값입니다. 그리고 여기 - 곱셈이전 기간과 동일한 금액. 그게 전부의 차이입니다.)

핵심 포인트 #3

이 핵심 포인트는 산술 수열의 핵심 포인트와 완전히 동일합니다. 즉: 기하학적 진행의 각 구성원은 그 자리에 서 있습니다.모든 것이 산술 진행과 동일하며 주석은 불필요하다고 생각합니다. 첫 번째 용어가 있고 백 번째 용어 등이 있습니다. 적어도 두 개의 용어를 바꾸자 - 패턴(및 기하학적 진행)이 사라질 것입니다. 남는 것은 아무런 논리도 없는 일련의 숫자들뿐이다.

그게 다야. 이것이 기하학적 진행의 핵심입니다.

용어 및 명칭.

그러나 이제 기하학적 진행의 의미와 핵심 사항을 이해했으므로 이론으로 넘어갈 수 있습니다. 그렇지 않으면 의미를 이해하지 못한 이론은 무엇입니까?

기하학적 진행을 어떻게 표시하나요?

기하수열은 일반적인 형태로 어떻게 쓰여지나요? 괜찮아요! 진행의 각 용어도 문자로 작성됩니다. 산술 수열에만 일반적으로 문자가 사용됩니다. "에이", 기하학적인 경우 - 문자 "비". 회원번호, 평소와 같이 표시됩니다 오른쪽 하단에 인덱스. 우리는 단순히 진행의 구성원 자체를 쉼표나 세미콜론으로 구분하여 나열합니다.

이와 같이:

b 1,비 2 , 비 3 , 비 4 , 비 5 , 비 6 , …

간단히 말해서, 이 진행 상황은 다음과 같이 작성됩니다. (비엔) .

또는 유한 진행의 경우 다음과 같습니다.

b1, b2, b3, b4, b5, b6.

b1, b2, …, b29, b30.

또는 짧게 말하면:

(비엔), N=30 .

사실 그것이 전부 지정입니다. 모든 것이 동일하고 문자만 다릅니다. 그렇습니다.) 이제 정의로 직접 이동합니다.

기하학적 진행의 정의.

기하수열은 첫 번째 항이 0이 아니고 각 후속 항이 이전 항에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱한 수열입니다.

그것이 전체 정의입니다. 대부분의 단어와 문구는 명확하고 친숙합니다. 물론, "손가락으로" 그리고 일반적으로 기하학적 진행의 의미를 이해한다면. 하지만 특별히 주의를 기울이고 싶은 몇 가지 새로운 문구도 있습니다.

첫째, 다음과 같은 단어입니다. "그 중 첫 번째 멤버는 0이 아닌".

첫 번째 용어에 대한 이러한 제한은 우연히 도입되지 않았습니다. 첫 번째 멤버가 되면 어떻게 될 것 같아요? 비 1 0과 같을까요? 각 항이 이전 항보다 크다면 두 번째 항은 무엇과 같을까요? 같은 횟수?세 번 말해볼까요? 어디 보자... 첫 번째 항(예: 0)에 3을 곱하면... 0이 됩니다! 세 번째 멤버는요? 역시 제로! 그리고 네 번째 항도 0입니다! 등…

우리는 일련의 0인 베이글 봉지를 얻습니다.

0, 0, 0, 0, …

물론 그러한 순서에는 생명권이 있지만 실질적인 관심은 없습니다. 모든 것이 명확합니다. 그것의 모든 구성원은 0입니다. 항의 개수에 관계없이 합도 0입니다... 그것으로 어떤 흥미로운 일을 할 수 있나요? 아무것도 아님…

다음 키워드: "0이 아닌 동일한 숫자를 곱합니다."

이 동일한 번호에는 고유한 이름도 있습니다. 기하학적 진행의 분모. 친해지기 시작합시다.)

기하학적 진행의 분모입니다.

모든 것은 배를 포격하는 것만 큼 간단합니다.

기하수열의 분모는 다음을 나타내는 0이 아닌 숫자(또는 양)입니다.몇 번이나진행의 각 기간 이전 것보다 더.

다시 말하지만, 산술 수열과 유사하게 이 정의에서 찾아야 할 핵심 단어는 다음과 같습니다. "더". 이는 기하수열의 각 항을 구한다는 것을 의미합니다. 곱셈바로 이 분모에 이전 회원.

설명하겠습니다.

계산해보자면 두번째거시기, 가져가야 해 첫 번째회원과 곱하다분모에 맞춰요. 계산을 위해 제십거시기, 가져가야 해 제구회원과 곱하다분모에 맞춰요.

기하학적 수열 자체의 분모는 무엇이든 될 수 있습니다. 물론 누구나! 전체, 분수, 양수, 음수, 비합리적 - 모든 것. 0을 제외하고. 이것이 정의에서 "0이 아닌"이라는 단어가 우리에게 말하는 것입니다. 이 단어가 여기에 필요한 이유는 나중에 자세히 설명합니다.

기하학적 진행의 분모가장 자주 문자로 표시됩니다. 큐.

찾는 방법 큐? 질문 없습니다! 우리는 진행의 어떤 용어든 취해야 하며, 이전 항으로 나누기. 나눗셈은 분수. 따라서 이름은 "진행 분모"입니다. 분모는 일반적으로 분수로 표시됩니다. 예...) 논리적으로는 값이 큐호출되어야 한다 사적인기하학적 진행, 유사한 차이점산술 진행을 위해. 하지만 우리는 전화하기로 동의했습니다 분모. 그리고 우리는 바퀴를 재발명하지도 않을 것입니다.)

예를 들어 수량을 정의해 보겠습니다. 큐이 기하학적 진행의 경우:

2, 6, 18, 54, …

모든 것이 초등입니다. 가져 가자 어느시퀀스 번호. 우리는 원하는 것은 무엇이든 가져갑니다. 첫 번째 것을 제외하고. 예를 들어 18입니다. 그리고 다음으로 나눕니다. 이전 번호. 즉, 6시에요.

우리는 다음을 얻습니다:

큐 = 18/6 = 3

그게 다야. 이것이 정답입니다. 이 기하학적 수열의 경우 분모는 3입니다.

이제 분모를 찾아보자 큐또 다른 기하학적 진행을 위해. 예를 들면 다음과 같습니다.

1, -2, 4, -8, 16, …

모든 것이 동일합니다. 멤버들이 어떤 사인을 갖고 있든 우리는 여전히 그것을 받아들인다. 어느시퀀스 번호(예: 16)를 입력하고 다음으로 나눕니다. 이전 번호(즉, -8).

우리는 다음을 얻습니다:

디 = 16/(-8) = -2

그게 전부입니다.) 이번에는 진행의 분모가 음수로 판명되었습니다. 마이너스 2. 일어난다.)

이제 다음과 같은 진행을 살펴보겠습니다.

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

그리고 다시, 수열의 숫자 유형(정수, 짝수, 심지어 음수, 심지어 무리수)에 관계없이 임의의 숫자(예: 1/9)를 가져와 이전 숫자(1/3)로 나눕니다. 물론 분수 작업 규칙에 따릅니다.

우리는 다음을 얻습니다:

그게 전부입니다.) 여기서 분모는 분수로 밝혀졌습니다. 큐 = 1/3.

이 “진보”에 대해 어떻게 생각하시나요?

3, 3, 3, 3, 3, …

분명히 여기 큐 = 1 . 공식적으로 이것은 또한 기하학적 수열입니다. 동일한 멤버.) 그러나 그러한 진행은 연구와 실제 적용에 흥미롭지 않습니다. 솔리드 0을 사용한 진행과 동일합니다. 그러므로 우리는 그것들을 고려하지 않을 것입니다.

보시다시피, 진행의 분모는 정수, 분수, 양수, 음수 등 무엇이든 될 수 있습니다! 단지 0일 수는 없습니다. 이유를 짐작할 수 없나요?

자, 몇 가지 구체적인 예를 사용하여 우리가 분모로 취하면 어떤 일이 일어나는지 살펴보겠습니다. 큐 0.) 예를 들어 비 1 = 2 , 에이 큐 = 0 . 그러면 두 번째 항은 무엇과 같을까요?

우리는 다음을 계산합니다:

비 2 = 비 1 · 큐= 2 0 = 0

세 번째 멤버는요?

비 3 = 비 2 · 큐= 0 0 = 0

기하학적 진행의 유형과 동작.

모든 것이 다소 명확했습니다. 진행 상황에 차이가 있는 경우 디긍정적이면 진행이 증가합니다. 차이가 음수이면 진행이 감소합니다. 옵션은 두 가지뿐입니다. 세 번째 옵션은 없습니다.)

그러나 기하학적 진행의 동작을 사용하면 모든 것이 훨씬 더 흥미롭고 다양해질 것입니다!)

여기에서 용어가 어떻게 작동하든 관계없이 증가하고 감소하며 무한정 0에 접근하고 심지어 부호를 변경하여 교대로 "플러스"와 "마이너스"로 전환합니다! 그리고 이 모든 다양성 속에서 당신은 잘 이해할 수 있어야 합니다. 그렇습니다...

알아 볼까요?) 가장 간단한 경우부터 시작해 보겠습니다.

분모는 양수( 큐 >0)

양의 분모를 사용하면 먼저 기하학적 진행의 항이 다음과 같이 들어갈 수 있습니다. 플러스 무한대(즉, 무제한으로 증가) 마이너스 무한대(즉, 무제한으로 감소) 우리는 이미 이러한 진행 동작에 익숙합니다.

예를 들어:

(비엔): 1, 2, 4, 8, 16, …

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 진행의 각 항이 얻어집니다. 이전보다 더. 게다가 각 용어는 다음과 같습니다. 곱셈이전 회원 긍정적인숫자 +2(예: 큐 = 2 ). 이러한 진행의 행동은 명백합니다. 진행의 모든 ​​구성원은 제한 없이 성장하여 우주로 이동합니다. 게다가 무한대...

이제 진행 상황은 다음과 같습니다.

(비엔): -1, -2, -4, -8, -16, …

여기서도 진행의 각 항이 얻어집니다. 곱셈이전 회원 긍정적인숫자 +2. 그러나 그러한 진행의 행동은 정반대입니다. 진행의 각 항은 다음과 같습니다. 이전보다 적다, 모든 항은 무한히 감소하여 마이너스 무한대로 이동합니다.

이제 생각해 봅시다. 이 두 가지 진행의 공통점은 무엇입니까? 그렇죠, 분모님! 그리고 거기 저기 큐 = +2 . 정수.둘. 하지만 행동이 두 가지 진행은 근본적으로 다릅니다! 이유를 짐작할 수 없나요? 예! 모든 것에 관한 것입니다 첫 번째 멤버!그들이 말했듯이 곡을 부르는 사람은 바로 그 사람입니다.) 직접 확인하십시오.

첫 번째 경우, 진행의 첫 번째 항 긍정적인(+1) 따라서 다음을 곱하여 얻은 모든 후속 항은 긍정적인분모 큐 = +2 , 또한 그럴 것이다 긍정적인.

그러나 두 번째 경우에는 첫 번째 항 부정적인(-1). 따라서 다음의 모든 진행항은 다음을 곱하여 얻습니다. 긍정적인 큐 = +2 , 또한 획득될 것이다 부정적인.왜냐하면 "마이너스"는 "플러스"로 항상 "마이너스"를 제공하기 때문입니다.)

보시다시피, 산술 수열과 달리 기하 수열은 다음과 같이 완전히 다르게 동작할 수 있습니다. 분모에서큐, 하지만 이에 따라 첫 번째 멤버부터, 예.)

기억하세요: 기하학적 수열의 동작은 첫 번째 항에 의해 고유하게 결정됩니다. 비 1 분모큐 .

이제 우리는 덜 익숙하지만 훨씬 더 흥미로운 사례를 분석하기 시작합니다!

예를 들어 다음 순서를 살펴보겠습니다.

(비엔): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

이 수열도 기하학적 수열입니다! 이 진행의 각 항은 다음과 같습니다. 곱셈이전 멤버, 같은 번호로. 그냥 숫자일 뿐이에요 - 분수: 큐 = +1/2 . 또는 +0,5 . 게다가 (중요!) 숫자, 1개 미만:큐 = 1/2<1.

이 기하학적 진행이 흥미로운 이유는 무엇입니까? 회원들은 어디로 향하고 있나요? 보자:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

여기서 어떤 흥미로운 점을 발견할 수 있나요? 첫째, 진행 측면에서 감소가 즉시 눈에 띕니다. 각 구성원 더 적은정확히는 이전 것 2번.또는 기하수열의 정의에 따라 각 항은 더이전의 1/2배, 왜냐하면 진행 분모 큐 = 1/2 . 그리고 1보다 작은 양수를 곱하면 결과는 대개 감소합니다. 예...

무엇 더이 진행의 행동에서 볼 수 있습니까? 회원이 줄어들고 있나요? 제한 없는, 마이너스 무한대로 가나요? 아니요! 그들은 특별한 방법으로 사라집니다. 처음에는 매우 빠르게 감소하다가 점점 더 느려집니다. 그리고 내내 남아있는 동안 긍정적인. 아주 아주 작지만. 그리고 그들은 무엇을 위해 노력합니까? 추측하지 못하셨나요? 예! 그들은 0을 향해 노력합니다!) 그리고 주목하세요, 우리 진행 멤버들은 0에서 왔습니다. 절대 도달하지 마세요!그냥 그에게 한없이 가까워진다. 이것은 매우 중요합니다.)

다음 진행에서도 비슷한 상황이 발생합니다.

(비엔): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

여기 비 1 = -1 , 에이 큐 = 1/2 . 모든 것이 동일합니다. 이제 용어는 반대쪽, 아래에서 0에 접근합니다. 항상 머물다 부정적인.)

이러한 기하학적 진행은 다음과 같습니다. 제한 없이 0에 접근(긍정적 측면이든 부정적 측면이든 관계없이) 수학에서는 특별한 이름이 있습니다. 무한히 감소하는 기하학적 진행.이 진행은 너무 흥미롭고 특이해서 논의될 정도입니다. 별도의 수업 .)

그래서 우리는 가능한 모든 것을 고려했습니다. 긍정적인분모는 큰 것과 작은 것 모두입니다. 위에서 언급한 이유로 단위 자체를 분모로 간주하지 않습니다(삼중항이 연속된 예를 기억하십시오...).

요약해보자:

긍정적인그리고 하나 이상 (큐>1), 진행 조건은 다음과 같습니다.

에이) 제한 없이 증가합니다.비 1 >0);

b) 제한 없이 감소(만약비 1 <0).

기하학적 수열의 분모라면 긍정적인 그리고 1개 미만 (0< 큐<1), то члены прогрессии:

a) 무한히 0에 가깝다 ~ 위에(만약에비 1 >0);

b) 0에 무한히 가까움 아래에서(만약에비 1 <0).

이제 사건을 고려하는 것이 남아 있습니다 음수 분모.

분모가 음수( 큐 <0)

예를 들어 멀리 가지 않겠습니다. 왜, 정확히 덥수룩한 할머니입니까?!) 예를 들어 진행의 첫 번째 항은 다음과 같습니다. 비 1 = 1 , 그리고 분모를 취하자 q = -2.

우리는 다음 순서를 얻습니다.

(비엔): 1, -2, 4, -8, 16, …

등등.) 진행의 각 용어가 얻어집니다. 곱셈이전 회원 음수-2. 이 경우, 홀수 자리(1위, 3위, 5위 등)에 있는 모든 멤버는 긍정적인, 그리고 짝수 위치(두 번째, 네 번째 등) – 부정적인.표지판은 엄격하게 번갈아 나타납니다. 플러스 마이너스 플러스 마이너스... 이 기하학적 수열을 - 증가하는 기호가 번갈아 표시됩니다.

회원들은 어디로 향하고 있나요? 하지만 어디에도 없습니다.) 예, 절대값(예: 모듈로)우리의 진행 구성원은 제한 없이 증가합니다(따라서 "증가"라는 이름이 붙었습니다). 그러나 동시에 진행의 각 구성원은 번갈아 가며 당신을 더위 속으로 던진 다음 추위 속으로 던집니다. "플러스" 또는 "마이너스"입니다. 우리의 진행이 흔들리고 있습니다... 게다가, 각 단계마다 변동의 범위가 급격히 커지고 있습니다.) 따라서 진행 멤버들의 열망은 어딘가로 향하고 있습니다. 구체적으로여기 아니요.플러스 무한대, 마이너스 무한대, 0도 아니고 아무데도 없습니다.

이제 0과 -1 사이의 분수 분모를 고려해 보겠습니다.

예를 들어 비 1 = 1 , 에이 q = -1/2.

그런 다음 진행 상황을 얻습니다.

(비엔): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

그리고 다시 우리는 표지판이 번갈아 나타납니다! 그러나 이전 예와 달리 여기에는 항이 0에 접근하는 분명한 경향이 있습니다.) 이번에만 우리 항은 엄격하게 위나 아래에서가 아니라 다시 0에 접근합니다. 주저하는. 교대로 양수 값과 음수 값을 취합니다. 그러나 동시에 그들은 모듈소중한 제로에 점점 가까워지고 있습니다.)

이 기하학적 수열을 다음과 같이 부릅니다. 무한히 감소하는 부호, 교대로 나타납니다.

이 두 가지 예가 흥미로운 이유는 무엇입니까? 그리고 두 경우 모두 발생한다는 사실 기호교체!이 트릭은 음수 분모를 갖는 수열에만 일반적입니다. 그렇습니다.) 따라서 어떤 작업에서 항이 번갈아 나타나는 기하학적 수열을 본다면 분모가 100% 음수라는 것을 이미 알고 있을 것이며 실수하지 않을 것입니다. 표지판에 있습니다.)

그런데 음수 분모의 경우 첫 번째 항의 부호는 진행 자체의 동작에 전혀 영향을 미치지 않습니다. 진행의 첫 번째 항의 부호에 관계없이 어떤 경우에도 항의 부호가 관찰됩니다. 유일한 질문은, 어떤 장소에서(짝수 또는 홀수) 특정 기호를 가진 멤버가 있을 것입니다.

기억하다:

기하학적 수열의 분모라면 부정적인 , 그러면 진행 조건의 표시는 항상 다음과 같습니다. 번갈아 하는.

동시에 회원 자신도:

a) 무제한 증가모듈로, 만약에큐<-1;

b) -1이면 무한히 0에 접근< 큐<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

그게 다야. 일반적인 사례는 모두 분석했습니다.)

기하학적 수열의 다양한 예를 분석하는 과정에서 나는 주기적으로 다음과 같은 단어를 사용했습니다. "0이 되는 경향이 있다", "무한대 경향이 있다", "마이너스 무한대로 가는 경향이 있다"... 괜찮아요.) 이러한 비유적 표현(및 구체적인 예)은 단지 초기 소개에 불과합니다. 행동다양한 숫자 배열. 기하학적 진행의 예를 사용합니다.

왜 우리는 진보의 행동을 알아야 합니까? 그녀가 어디로 가는지에 따라 어떤 차이가 있습니까? 0을 향해, 플러스 무한대로, 마이너스 무한대로... 그게 우리에게 무슨 영향을 미치나요?

요점은 이미 대학의 고등 수학 과정에서 다양한 숫자 시퀀스(진행뿐만 아니라 모든 숫자 시퀀스)를 사용하여 작업할 수 있는 능력과 이 시퀀스 또는 해당 시퀀스가 ​​어떻게 작동하는지 정확하게 상상하는 능력이 필요하다는 것입니다. 행동 - 무제한으로 감소하는지, 특정 숫자로 향하는지(반드시 0이 될 필요는 없음) 또는 전혀 아무 것도 경향이 없는지 여부... 전체 섹션은 수학적 분석 과정에서 이 주제에 전념합니다. - 한계 이론.그리고 좀 더 구체적으로 - 개념 숫자 순서의 한계.매우 흥미로운 주제입니다! 대학에 가서 알아내는 것이 합리적입니다.)

이 섹션의 일부 예(제한이 있는 시퀀스), 특히 다음과 같습니다. 무한히 감소하는 기하학적 진행그들은 학교에서 익숙해지기 시작합니다. 우리는 그것에 익숙해지고 있습니다.)

더욱이, 시퀀스의 동작을 잘 연구하는 능력은 장래에 여러분에게 큰 도움이 될 것이며, 다음과 같은 분야에서 매우 유용할 것입니다. 기능 연구.가장 다양합니다. 그러나 함수를 능숙하게 사용하는 능력(도함수 계산, 전체 연구, 그래프 작성)은 이미 수학 수준을 극적으로 향상시킵니다! 의심스러운 점이 있으신가요? 필요하지 않습니다. 또한 내 말을 기억하십시오.)

인생의 기하학적 진행을 살펴 볼까요?

우리 주변의 삶에서 우리는 기하학적 진보를 아주 자주 접합니다. 그것도 모르고도 말이죠.)

예를 들어, 우리 주변 곳곳에 엄청난 양이 존재하고 현미경 없이는 볼 수도 없는 다양한 미생물이 정확하게 기하학적인 수열로 증식합니다.

한 박테리아가 반으로 나누어 번식하여 2개의 박테리아로 자손을 낳는다고 가정해 보겠습니다. 차례로, 그들 각각은 번식할 때 반으로 나누어 총 4개의 박테리아를 낳습니다. 다음 세대에서는 8개의 박테리아가 생산되고, 그 다음에는 16개의 박테리아, 32개, 64개 등이 생산됩니다. 다음 세대가 나올 때마다 박테리아의 수는 두 배로 늘어납니다. 기하학적 수열의 전형적인 예입니다.)

진딧물이나 파리와 같은 일부 곤충도 기하급수적으로 번식합니다. 그런데 때로는 토끼도 있습니다.)

일상 생활에 더 가까운 기하학적 진행의 또 다른 예는 소위입니다. 복리.이 흥미로운 현상은 은행 예금에서 흔히 발견되며, 이자의 대문자화.그것은 무엇입니까?

물론 당신 자신은 아직 젊습니다. 학교에서 공부하고 은행에 가지 않습니다. 하지만 당신의 부모님은 이미 성인이고 독립된 사람입니다. 그들은 일하러 가서 일용할 양식으로 돈을 벌고, 그 돈의 일부를 은행에 넣어 저축합니다.)

당신의 아버지가 터키로의 가족 휴가를 위해 일정 금액을 저축하기를 원하고 3년 동안 연 10% 이율로 50,000루블을 은행에 넣어두었다고 가정해 보겠습니다. 연간이자 자본화.더욱이, 이 전체 기간 동안에는 보증금으로 아무 것도 할 수 없습니다. 보증금을 보충하거나 계좌에서 돈을 인출할 수 없습니다. 이 3년 후에 그는 얼마나 많은 이익을 얻을 것인가?

우선, 연 10%가 무엇인지부터 알아내야 합니다. 이는 다음을 의미합니다. 1년 안에은행은 최초 입금액에 10%를 추가합니다. 무엇에서? 물론, 초기 입금액.

우리는 1년 후에 계좌 규모를 계산합니다. 초기 입금액이 50,000 루블(즉, 100%)인 경우 1년 후에 계정에 얼마의 이자가 붙게 됩니까? 맞습니다, 110%입니다! 50,000 루블부터.

따라서 우리는 50,000 루블의 110%를 계산합니다.

50000·1.1 = 55000 루블.

값의 110%를 찾는다는 것은 그 값에 숫자 1.1을 곱한다는 것을 의미한다는 것을 이해하시기 바랍니다. 왜 그런지 이해가 안 된다면 5학년과 6학년을 기억해 보세요. 즉 – 백분율과 분수 및 부분 사이의 연결.)

따라서 첫해의 증가액은 5,000 루블이 될 것입니다.

2년 후에 통장에 얼마나 많은 돈이 들어갈 것인가? 60,000 루블? 불행히도 (또는 다행히도) 모든 것이 그렇게 간단하지는 않습니다. 이자 자본화의 전체 비결은 각각의 새로운 이자가 발생할 때마다 동일한 이자가 이미 고려된다는 것입니다. 새로운 금액에서!그 사람에게서 이미계정에 있습니다 지금은.그리고 이전 기간에 발생한 이자가 원래 입금액에 추가되어 새로운 이자의 계산에 직접 참여하게 됩니다! 즉, 전체 계정의 전체 부분이 됩니다. 아니면 일반 수도.그러므로 이름은 - 이자의 대문자화.

경제학에 있어요. 그리고 수학에서는 이러한 백분율을 호출합니다. 복리.또는 이자율.) 그들의 비결은 순차적으로 계산할 때 매번 백분율이 계산된다는 것입니다. 새로운 가치에서.그리고 원작도 아니고...

그러므로 금액을 계산해 보면 2년, 계정에 들어갈 금액의 110%를 계산해야 합니다. 1년 안에.즉, 이미 55,000 루블입니다.

우리는 55,000 루블의 110%를 계산합니다.

55000·1.1 = 60500 루블.

즉, 두 번째 해에는 증가율이 5,500루블이고, 2년 동안은 10,500루블이 됩니다.

이제 3년 후에 계정 금액이 60,500루블의 110%가 될 것이라고 추측할 수 있습니다. 또 110%네요 이전 것(작년)보다금액.

여기서 우리는 다음과 같이 생각합니다.

60500·1.1 = 66550 루블.

이제 연도별로 금액을 순서대로 정렬합니다.

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000·1.1 = (50000·1.1)·1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

그럼 어떻게요? 왜 기하학적 진행이 아닌가? 첫 번째 멤버 비 1 = 50000 , 그리고 분모 큐 = 1,1 . 각 항은 이전 항보다 정확히 1.1배 더 큽니다. 모든 것이 정의를 엄격하게 준수합니다.)

그리고 아버지의 50,000 루블이 3년 동안 은행 계좌에 남아 있는 동안 아버지는 얼마나 많은 추가이자 보너스를 "축적"하시겠습니까?

우리는 다음을 계산합니다:

66550 – 50000 = 16550 루블

물론 많지는 않습니다. 단, 초기 입금액이 적은 경우에 해당됩니다. 더 있으면 어떻게 되나요? 50이 아니라 200,000루블이라고 가정해 볼까요? 그러면 3년 동안 증가한 금액은 66,200루블이 됩니다(계산하면). 이미 매우 좋은 것입니다.) 기여도가 더 크다면 어떨까요? 그게 다야 ...

결론: 초기 예금이 높을수록 이자 자본화의 수익성이 높아집니다. 그렇기 때문에 은행은 이자 자본화 예금을 장기간 제공합니다. 5년 동안이라고 가정해보자.

또한 인플루엔자, 홍역, 심지어 더 끔찍한 질병(2000년대 초반의 SARS나 중세의 페스트)과 같은 온갖 나쁜 질병이 기하급수적으로 퍼지는 것을 좋아합니다. 따라서 전염병의 규모는 그렇습니다...) 그리고 모든 것은 전체 양의 분모 (큐>1) – 매우 빠르게 성장하는 것! 박테리아의 번식을 기억하십시오. 하나의 박테리아에서 2개, 2~4개, 4~8개 등... 감염이 확산되는 경우에도 마찬가지입니다.)

기하학적 진행에 관한 가장 간단한 문제입니다.

언제나처럼 간단한 문제부터 시작하겠습니다. 순전히 의미를 이해하는 것입니다.

1. 기하수열의 두 번째 항은 6이고 분모는 -0.5인 것으로 알려져 있다. 첫 번째, 세 번째, 네 번째 항을 찾아보세요.

그래서 우리는 주어진 끝없는기하학적 진행은 알려져 있지만 2학기이 진행:

b 2 = 6

게다가 우리도 알고 있어요. 진행 분모:

q = -0.5

그리고 당신은 찾아야합니다 첫째, 셋째그리고 네번째이 진행의 구성원.

그래서 우리는 행동합니다. 문제의 조건에 따라 순서를 적어보겠습니다. 두 번째 항이 6인 일반적인 형태로 직접:

ㄴ 1, 6,비 3 , 비 4 , …

이제 검색을 시작해 보겠습니다. 언제나 그렇듯이 가장 간단한 것부터 시작합니다. 예를 들어 세 번째 항을 계산할 수 있습니다. 비 3? 할 수 있다! 당신과 나는 이미 (직접적으로 기하학적 수열의 의미에서) 세 번째 항이 (ㄴ3)두 번째보다 더 (비 2 ) 다섯 "큐"한 번!

그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:

비 3 =비 2 · 큐

우리는 대신에 이 표현에 6을 대체합니다. 비 2대신 -0.5 큐그리고 우리는 계산합니다. 물론 마이너스도 무시하지 않습니다...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

이와 같이. 세 번째 항은 부정적인 것으로 판명되었습니다. 당연하지: 우리의 분모 큐- 부정적인. 그리고 플러스에 마이너스를 곱하면 당연히 마이너스가 됩니다.)

이제 우리는 진행의 다음 네 번째 용어를 계산합니다.

비 4 ​​=비 3 · 큐

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

네 번째 용어에는 다시 플러스가 포함됩니다. 다섯 번째 항은 다시 마이너스가 되고, 여섯 번째 항은 플러스가 되는 식입니다. 표지판이 번갈아 나타납니다!

그래서 세 번째와 네 번째 항이 발견되었습니다. 결과는 다음과 같은 순서입니다.

b1; 6; -3; 1.5; ...

이제 첫 번째 항을 찾는 일만 남았습니다. 비 1잘 알려진 두 번째에 따르면. 이를 위해 우리는 다른 방향, 즉 왼쪽으로 나아갑니다. 이는 이 경우 수열의 두 번째 항에 분모를 곱할 필요가 없다는 것을 의미합니다. 나누다.

우리는 나누어서 다음을 얻습니다:

그게 다입니다.) 문제의 답은 다음과 같습니다.

-12; 6; -3; 1,5; …

보시다시피 해결 원리는 에서와 동일합니다. 우리는 알고 있다 어느회원과 분모기하학적 진행 - 우리는 그것의 다른 구성원을 찾을 수 있습니다. 원하는 것을 찾아드리겠습니다.) 유일한 차이점은 덧셈/뺄셈이 곱셈/나눗셈으로 대체된다는 것입니다.

기억하세요: 기하수열의 구성원과 분모를 하나 이상 알고 있으면 언제든지 이 수열의 다른 구성원을 찾을 수 있습니다.

전통에 따르면 다음 문제는 OGE의 실제 버전에서 발생합니다.

2.

...; 150; 엑스; 6; 1.2; ...

그럼 어떻게요? 이번에는 초항도 분모도 없습니다. 큐, 일련의 숫자가 제공됩니다... 이미 익숙한 것 맞죠? 예! 비슷한 문제는 산술수열에서 이미 해결되었습니다!

그래서 우리는 두려워하지 않습니다. 모든 것이 동일합니다. 고개를 돌려 기하학적 수열의 기본 의미를 기억해 봅시다. 우리는 시퀀스를 주의 깊게 살펴보고 세 가지 주요 항목(첫 번째 항, 분모, 항 번호)의 기하학적 수열의 어떤 매개변수가 숨겨져 있는지 알아냅니다.

회원번호? 회원번호는 없습니다. 네.. 그런데 4개가 있어요 연이은숫자. 이 단계에서 이 단어가 무엇을 의미하는지 설명하는 데 아무런 의미가 없습니다.) 이 순서에 두 개가 있습니까? 이웃에 알려진 숫자?먹다! 이는 6과 1.2입니다. 그래서 우리는 찾을 수 있습니다 진행 분모.그래서 우리는 숫자 1.2를 취하고 나눕니다. 이전 번호로. 6개까지.

우리는 다음을 얻습니다:

우리는 다음을 얻습니다:

엑스= 150·0.2 = 30

답변: 엑스 = 30 .

보시다시피 모든 것이 아주 간단합니다. 가장 큰 어려움은 계산에만 있습니다. 음수 및 분수 분모의 경우 특히 어렵습니다. 그러니 문제가 있는 분들은 연산을 다시 해보세요! 분수 작업 방법, 음수 작업 방법 등... 그렇지 않으면 여기서 무자비하게 속도가 느려질 것입니다.

이제 문제를 조금 수정해 보겠습니다. 이제 흥미로워질 것입니다! 마지막 숫자 1.2를 제거해 보겠습니다. 이제 이 문제를 해결해 보겠습니다.

3. 기하학적 수열의 여러 연속 용어가 작성됩니다.

...; 150; 엑스; 6; ...

문자 x로 표시된 수열의 항을 찾으세요.

모든 것이 동일합니다. 두 개만 인접해 있습니다. 유명한더 이상 진행 멤버가 없습니다. 이것이 주요 문제입니다. 규모가 크기 때문에 큐두 개의 이웃 용어를 통해 우리는 쉽게 결정할 수 있습니다. 우리는 할 수 없습니다.우리는 그 일에 대처할 기회가 있습니까? 틀림없이!

알려지지 않은 용어를 적어 보자 " 엑스"기하학적 진행의 의미 내에서 직접! 일반적인 용어로.

예, 그렇습니다! 분모를 알 수없는 바로 그!

한편, X에 대해 다음 비율을 쓸 수 있습니다.

엑스= 150·큐

반면에, 우리는 이 동일한 X를 다음과 같이 설명할 모든 권리를 가지고 있습니다. 다음회원님, 6명을 통해! 6을 분모로 나눕니다.

이와 같이:

엑스 = 6/ 큐

분명히 이제 우리는 이 두 비율을 동일시할 수 있습니다. 표현하고 있으니 같은 것크기(x), 그러나 2개 다른 방식으로.

우리는 방정식을 얻습니다.

모든 것에 곱하기 큐, 단순화하고 단축하면 다음 방정식을 얻습니다.

q2 = 1/25

우리는 다음을 해결하고 얻습니다.

q = ±1/5 = ±0.2

이런! 분모는 두 배로 밝혀졌습니다! +0.2 및 -0.2. 그리고 어느 것을 선택해야 할까요? 막 다른 골목?

침착한! 네, 정말 문제가 있어요 두 가지 솔루션!그건 아무 문제가 없습니다. 그런 일이 발생합니다.) 예를 들어 일반적인 문제를 해결할 때 두 개의 근이 나온다면 놀랍지 않습니까? 여기서도 같은 이야기입니다.)

을 위한 q = +0.2우리는 다음을 얻을 것이다:

엑스 = 150 0.2 = 30

그리고 큐 = -0,2 할 것이다:

엑스 = 150·(-0.2) = -30

우리는 이중 답변을 얻습니다. 엑스 = 30; 엑스 = -30.

이 흥미로운 사실은 무엇을 의미하는가? 그리고 무엇이 존재하는가 두 가지 진행, 문제의 조건을 만족합니다!

여기 있습니다:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

둘 다 적합합니다.) 왜 답변이 엇갈렸다고 생각하시나요? 6 이후에 진행되는 특정 멤버(1,2)가 제거되었기 때문입니다. 그리고 기하수열의 이전 (n-1)번째 항과 후속 (n+1)번째 항만 알면, 우리는 그들 사이에 있는 n번째 항에 대해 더 이상 명확하게 말할 수 없습니다. 플러스와 마이너스의 두 가지 옵션이 있습니다.

하지만 문제 없습니다. 일반적으로 기하학적 진행에 대한 작업에는 명확한 답변을 제공하는 추가 정보가 있습니다. 다음 단어를 말해보자: "교대 진행"또는 "양의 분모로 진행"등등... 최종 답을 준비할 때 플러스 또는 마이너스 기호를 선택해야 하는지에 대한 단서 역할을 하는 것이 바로 이 단어입니다. 그러한 정보가 없다면 그렇습니다. 작업은 다음과 같습니다. 두 가지 솔루션.)

이제 우리는 스스로 결정합니다.

4. 숫자 20이 기하수열의 구성원인지 확인합니다.

4 ; 6; 9; …

5. 교대 기하학적 진행의 부호는 다음과 같습니다.

…; 5; 엑스 ; 45; …

문자로 표시된 진행의 용어를 찾으십시오. 엑스 .

6. 기하수열의 네 번째 양수항을 찾으세요.

625; -250; 100; …

7. 기하수열의 두 번째 항은 -360이고 다섯 번째 항은 23.04입니다. 이 수열의 첫 번째 항을 찾으세요.

답변(무질서): -15; 900; 아니요; 2.56.

모든 일이 잘 되었다면 축하드립니다!

뭔가 안 맞는데? 어딘가에 이중 답변이 있었나요? 과제 조건을 주의 깊게 읽어보세요!

마지막 문제가 해결되지 않나요? 거기에는 복잡한 것이 없습니다.) 우리는 기하학적 수열의 의미에 따라 직접 작업합니다. 글쎄, 그림을 그릴 수 있습니다. 도움이 됩니다.)

보시다시피 모든 것이 기본입니다. 진행이 짧은 경우. 길면 어쩌지? 아니면 필요한 구성원의 수가 너무 많은가요? 나는 산술급수와 유사하게 어떻게든 쉽게 찾을 수 있는 편리한 공식을 얻고 싶습니다. 어느임의의 기하학적 진행의 용어 그의 번호로.여러 번 곱하지 않고 큐. 그리고 그런 공식이 있어요!) 자세한 내용은 다음 강의에서 다루겠습니다.

수학이란 무엇인가인간은 자연과 자신을 통제합니다.

소련 수학자, 학자 A.N. 콜모고로프

기하학적 진행.

산술 수열 문제와 함께 기하 수열 개념과 관련된 문제도 수학 입시 시험에서 흔히 볼 수 있습니다. 이러한 문제를 성공적으로 해결하려면 기하학적 수열의 속성을 알아야 하고 이를 사용하는 데 능숙해야 합니다.

이 기사는 기하학적 진행의 기본 속성을 제시하는 데 전념합니다. 일반적인 문제를 해결하는 예도 여기에 제공됩니다., 수학 입학 시험 과제에서 빌린 것입니다.

먼저 기하학적 수열의 기본 속성을 살펴보고 가장 중요한 공식과 설명을 기억해 보겠습니다., 이 개념과 관련이 있습니다.

정의.두 번째부터 시작하는 각 숫자가 이전 숫자와 같고 동일한 숫자를 곱한 경우 숫자 시퀀스를 기하학적 수열이라고 합니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다.

기하학적 진행을 위해수식이 유효하다

, (1)

어디 . 식 (1)은 기하수열의 일반항의 공식이라고 하며, 식 (2)는 기하수열의 주요 속성을 나타냅니다. 수열의 각 항은 이웃 항의 기하 평균과 일치합니다.

메모, 문제의 진행을 "기하학적"이라고 부르는 것은 바로 이러한 속성 때문입니다.

위의 식 (1)과 (2)는 다음과 같이 일반화됩니다.

, (3)

금액을 계산하려면첫 번째 기하학적 진행의 구성원공식이 적용됩니다

로 표시하면

어디 . 이기 때문에 식(6)은 식(5)를 일반화한 것이다.

언제와 같은 경우에 기하학적 진행무한히 감소하고 있습니다. 금액을 계산하려면무한히 감소하는 기하학적 수열의 모든 항에 대해 다음 공식이 사용됩니다.

. (7)

예를 들어 , 공식 (7)을 사용하여 우리는 보여줄 수 있습니다, 무엇

어디 . 이러한 동등성은 ,(첫 번째 동등성) 및 ,(두 번째 동등성)이라는 조건 하에서 식(7)에서 얻습니다.

정리.그렇다면

증거. 그렇다면

정리가 입증되었습니다.

"기하학적 진행"이라는 주제에 대한 문제 해결의 예를 고려해 보겠습니다.

예시 1.주어진 값: , 및 . 찾다 .

해결책.식 (5)를 적용하면

답변: .

예시 2.그렇게 놔두세요. 찾다 .

해결책.이후 및 , 우리는 공식 (5), (6)을 사용하고 방정식 시스템을 얻습니다.

시스템 (9)의 두 번째 방정식을 첫 번째로 나누면, 그런 다음 또는 . 이것으로부터 다음과 같은 결과가 나온다 . 두 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

1. 만일, 그런 다음 시스템의 첫 번째 방정식 (9)에서 우리는.

2. 그렇다면 .

예시 3., 그리고 . 찾다 .

해결책.공식 (2)로부터 다음과 같습니다. 또는 . 이후 , 그때 또는 .

조건에 따라. 그러나 그러므로. 이후와 그러면 여기에 방정식 시스템이 있습니다

시스템의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면 또는 입니다.

이후 방정식에는 고유한 적합한 근이 있습니다. 이 경우 시스템의 첫 번째 방정식을 따릅니다.

공식 (7)을 고려하면, 우리는 얻습니다.

답변: .

예시 4.주어진 값: 그리고 . 찾다 .

해결책.그때부터.

이후 , 그때 또는

공식 (2)에 따르면 . 이와 관련하여 평등 (10)으로부터 우리는 또는 를 얻습니다.

그러나 조건에 따라.

실시예 5.그것은 알려져 있습니다. 찾다 .

해결책. 정리에 따르면 우리에게는 두 가지 평등이 있습니다

이후 , 그때 또는 . 왜냐면 .

답변: .

실시예 6.주어진 값: 그리고 . 찾다 .

해결책.공식 (5)를 고려하면,

그때부터. , 그리고 , 이후 .

실시예 7.그렇게 놔두세요. 찾다 .

해결책.공식 (1)에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

그러므로 우리는 또는 . 과 , 그러므로 과 .

답변: .

실시예 8.다음과 같은 경우 무한 감소 기하수열의 분모를 구합니다.

그리고 .

해결책. 식 (7)로부터 다음과 같다그리고 . 여기와 문제의 조건으로부터 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.

시스템의 첫 번째 방정식을 제곱하면, 그런 다음 결과 방정식을 두 번째 방정식으로 나눕니다., 그러면 우리는 얻는다

또는 .

답변: .

실시예 9.수열 , 가 기하수열인 모든 값을 찾습니다.

해결책., 그리고 . 기하학적 수열의 주요 속성을 정의하는 공식 (2)에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 또는 .

여기에서 우리는 이차방정식을 얻습니다., 누구의 뿌리인가그리고 .

확인해 보자: 만약, 다음 , 및 ;

만약 , 그렇다면 , 그리고 .첫 번째 경우에는

그리고 , 그리고 두 번째 – 그리고 .

답변: , .실시예 10.

, (11)

방정식을 풀어보세요

어디서 그리고 .

식 (7)로부터 다음과 같다, 무엇 해결책. 방정식 (11)의 왼쪽은 무한하게 감소하는 기하 수열의 합이며, 와 는 다음과 같습니다.. 이와 관련하여 방정식 (11)은 다음과 같은 형식을 취합니다. 또는 . 적합한 루트

답변: .

이차 방정식은실시예 11. 피양수의 시퀀스산술급수를 형성한다 , 에이– 기하학적 진행

해결책., 그리고 여기. 찾다 . 왜냐하면산술 수열 , 저것(산술 진행의 주요 속성). 부터 , 그런 다음 또는 . 이는 다음과 같습니다.기하학적 진행은 다음과 같은 형태를 갖는다는 것. 공식 (2)에 따르면

, 그런 다음 그것을 적어둡니다. 이후 및 , 다음. 이 경우 표현식은 또는 형식을 취합니다. 조건에 따르면,그래서 Eq.우리는 고려 중인 문제에 대한 고유한 해결책을 얻습니다.

답변: .

, 즉. .실시예 12.

. (12)

해결책. 합계 계산

등식(12)의 양변에 5를 곱하고 다음을 얻습니다.산술 수열

결과 표현식에서 (12)를 빼면

또는 .

답변: .

계산을 위해 값을 공식 (7)에 대입하고 . 그때부터., 여기에 제시된 문제 해결 사례는 지원자가 입학 시험을 준비할 때 유용할 것입니다. 문제 해결 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해, 기하학적 진행과 관련된

1. 대학 지원자를 위한 수학 문제 모음 / Ed. 미. 스카나비. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.

2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 학교 커리큘럼의 추가 섹션. – M.: 레넌드 / URSS, 2014. – 216p.

3. Medynsky M.M. 문제와 연습 문제를 다루는 초등 수학의 전체 과정입니다. 책 2: 번호 순서 및 진행. – M.: 에디투스, 2015. – 208p.

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특정 시리즈를 고려해 봅시다.

7 28 112 448 1792...

해당 요소의 가치가 이전 요소보다 정확히 4배 더 크다는 것은 분명합니다. 이는 이 시리즈가 진보적이라는 것을 의미합니다.

기하학적 수열은 무한한 숫자 시퀀스로, 주요 특징은 특정 숫자를 곱하여 이전 숫자에서 다음 숫자를 얻는다는 것입니다. 이는 다음 수식으로 표현됩니다.

a z +1 =a z ·q, 여기서 z는 선택한 요소의 번호입니다.

따라서 z ∈ N입니다.

학교에서 기하학적 진행을 공부하는 기간은 9학년입니다. 예제는 개념을 이해하는 데 도움이 됩니다.

0.25 0.125 0.0625...

이 공식을 바탕으로 진행의 분모는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

q와 bz 모두 0이 될 수 없습니다. 또한 진행의 각 요소는 0이 되어서는 안 됩니다.

따라서 일련의 다음 숫자를 찾으려면 마지막 숫자에 q를 곱해야 합니다.

이 진행을 설정하려면 첫 번째 요소와 분모를 지정해야 합니다. 그 후에는 후속 용어와 그 합계를 찾을 수 있습니다.

품종

q와 a1에 따라 이 진행은 여러 유형으로 나뉩니다.

• a 1과 q가 모두 1보다 큰 경우 이러한 수열은 각 후속 요소와 함께 증가하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.

예: a 1 =3, q=2 - 두 매개변수 모두 1보다 큽니다.

그러면 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

3 6 12 24 48 ...

• 만약 |q| 는 1보다 작습니다. 즉, 곱셈은 나눗셈과 같습니다. 그런 다음 비슷한 조건의 수열은 감소하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.

예: a 1 =6, q=1/3 - a 1은 1보다 크고 q는 작습니다.

그러면 숫자 순서는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

6 2 2/3 ... - 모든 요소는 그 뒤에 오는 요소보다 3배 더 큽니다.

• 교대 표시. 만약 q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

예: a 1 = -3, q = -2 - 두 매개변수 모두 0보다 작습니다.

그러면 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

3, 6, -12, 24,...

방식

기하수열을 편리하게 사용하기 위한 많은 공식이 있습니다:

• Z-항 공식. 이전 숫자를 계산하지 않고 특정 숫자 아래의 요소를 계산할 수 있습니다.

예:큐 = 3, 에이 1 = 4. 진행의 네 번째 요소를 계산해야 합니다.

해결책:에이 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• 숫자가 다음과 같은 첫 번째 요소의 합 지. 시퀀스의 모든 요소의 합을 계산할 수 있습니다.az포함한.

이후 (1-큐)가 분모에 있으면 (1 - q)≠ 0이므로 q는 1과 같지 않습니다.

참고: q=1이면 진행은 무한히 반복되는 일련의 숫자가 됩니다.

기하수열의 합, 예:에이 1 = 2, 큐= -2. S5를 계산합니다.

해결책:에스 5 = 22 - 공식을 사용한 계산.

• 경우 금액 |큐| < 1 и если z стремится к бесконечности.

예:에이 1 = 2 , 큐= 0.5. 금액을 찾아보세요.

해결책:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

일부 속성:

• 특징적인 속성. 다음과 같은 경우 누구에게나 작동지, 주어진 숫자 계열은 기하학적 수열입니다.

az 2 = az -1 · 에이z+1

• 또한, 기하 수열에서 숫자의 제곱은 해당 요소에서 등거리에 있는 경우 주어진 계열의 다른 두 숫자의 제곱을 더하여 구합니다.

az 2 = az - 티 2 + az + 티 2 , 어디티- 이 숫자들 사이의 거리.

• 강요q가 다르다한 번.
• 수열 요소의 로그도 수열을 형성하지만 산술적인 것, 즉 각각은 이전 것보다 특정 숫자만큼 큽니다.

몇 가지 고전적인 문제의 예

기하학적 진행이 무엇인지 더 잘 이해하려면 클래스 9에 대한 솔루션이 포함된 예제가 도움이 될 수 있습니다.

• 정황:에이 1 = 3, 에이 3 = 48. 찾기큐.

해결 방법: 각 후속 요소는 이전 요소보다 큽니다.큐 한 번.일부 요소를 다른 요소의 관점에서 분모를 사용하여 표현하는 것이 필요합니다.

따라서,에이 3 = 큐 2 · 에이 1

대체할 때큐= 4

• 정황:에이 2 = 6, 에이 3 = 12. S 6을 계산합니다.

해결책:이렇게 하려면 첫 번째 요소인 q를 찾아 공식에 대입하면 됩니다.

에이 3 = 큐· 에이 2 , 따라서,큐= 2

2 = q · 1 ,그렇기 때문에 1 = 3

에스 6 = 189

• · 에이 1 = 10, 큐= -2. 진행의 네 번째 요소를 찾으세요.

해결책: 이렇게 하려면 첫 번째 요소와 분모를 통해 네 번째 요소를 표현하는 것으로 충분합니다.

4 = q 3· 1 = -80

적용 예:

• 은행 고객은 10,000 루블의 금액을 예금했으며, 이 조건에 따라 고객은 매년 그 중 6%를 원금에 추가하게 됩니다. 4년 후에 계좌에 얼마의 돈이 남게 될까요?

해결책: 초기 금액은 10,000루블입니다. 이는 투자 후 1년이 지나면 계좌의 금액이 10,000 + 10,000이 된다는 것을 의미합니다. · 0.06 = 10000 1.06

따라서 다음 해 이후 계정의 금액은 다음과 같이 표시됩니다.

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

즉, 매년 금액이 1.06배씩 증가하는 셈이다. 이는 4년 후 계좌의 자금 금액을 찾으려면 첫 번째 요소가 10,000이고 분모가 1.06인 진행의 네 번째 요소를 찾는 것으로 충분하다는 것을 의미합니다.

에스 = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

합계 계산과 관련된 문제의 예:

기하학적 수열은 다양한 문제에 사용됩니다. 합계를 구하는 예는 다음과 같습니다.

에이 1 = 4, 큐= 2, 계산하다에스 5.

해결책: 계산에 필요한 모든 데이터가 알려져 있으므로 이를 공식에 대체하기만 하면 됩니다.

에스 5 = 124

• 에이 2 = 6, 에이 3 = 18. 처음 6개 요소의 합을 계산합니다.

해결책:

기하학에서. 진행, 각 다음 요소는 이전 요소보다 q배 더 큽니다. 즉, 요소를 알아야 하는 합계를 계산하려면에이 1 분모큐.

에이 2 · 큐 = 에이 3

큐 = 3

마찬가지로, 당신은 찾아야합니다에이 1 , 알고에이 2 그리고큐.

에이 1 · 큐 = 에이 2

1 =2

에스 6 = 728.

예를 들어, 시퀀스 \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)...은 다음의 각 요소가 이전 요소와 2배씩 다르기 때문에 기하학적 수열입니다. 즉, 이전 요소에 2를 곱하여 얻을 수 있습니다.

다른 수열과 마찬가지로 기하학적 수열은 작은 라틴 문자로 표시됩니다. 진행을 형성하는 숫자를 호출합니다. 회원(또는 요소). 기하학적 진행과 동일한 문자로 표시되지만 숫자 인덱스는 순서대로 요소 수와 동일합니다.

예를 들어, 기하수열 \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\)은 \(b_1=3\) 요소로 구성됩니다. \(b_2=6\); \(b_3=12\) 등등. 다시 말해서:

위의 정보를 이해했다면 이미 이 주제에 관한 대부분의 문제를 해결할 수 있을 것입니다.

예(OGE):
해결책:

답변 : \(-686\).

예(OGE): 수열의 처음 세 항 \(324\)이 제공됩니다. \(-108\); \(36\)… \(b_5\)를 찾으세요.
해결책:

	수열을 계속하려면 분모를 알아야 합니다. 인접한 두 요소에서 이를 찾아보겠습니다. \(-108\)을 얻으려면 \(324\)에 무엇을 곱해야 할까요?
\(324·q=-108\)	여기에서 분모를 쉽게 계산할 수 있습니다.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	이제 필요한 요소를 쉽게 찾을 수 있습니다.
	답변이 준비되었습니다.

답변 : \(4\).

예: 진행은 \(b_n=0.8·5^n\) 조건에 의해 지정됩니다. 이 진행의 구성원은 다음 중 어느 것입니까?

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0.8\) ?

해결책: 작업의 표현을 보면 이 숫자 중 하나가 확실히 진행 중이라는 것이 분명합니다. 따라서 필요한 값을 찾을 때까지 해당 항을 하나씩 계산하면 됩니다. 우리의 진행은 공식에 의해 제공되므로 다른 \(n\)을 대체하여 요소의 값을 계산합니다.
\(n=1\); \(b_1=0.8·5^1=0.8·5=4\) – 목록에 해당 숫자가 없습니다. 계속합시다.
\(n=2\); \(b_2=0.8·5^2=0.8·25=20\) - 그리고 이것도 거기에 없습니다.
\(n=3\); \(b_3=0.8·5^3=0.8·125=100\) – 그리고 여기 우리의 챔피언이 있습니다!

답변: \(100\).

예(OGE): 주어진 기하학적 수열의 여러 연속 항은 다음과 같습니다...\(8\); \(엑스\); \(50\); \(-125\)…. \(x\)라고 표시된 요소의 값을 찾습니다.

해결책:

답변: \(-20\).

예(OGE): 진행은 \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) 조건에 의해 지정됩니다. 이 수열의 처음 \(4\)항의 합을 구하세요.

해결책:

답변: \(105\).

예(OGE): 기하수열에서는 \(b_6=-11\), \(b_9=704\)로 알려져 있습니다. \(q\)의 분모를 찾으세요.

해결책:

	왼쪽 다이어그램에서 \(b_6\)에서 \(b_9\)까지 "가져오기" 위해 세 가지 "단계"를 수행한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, \(b_6\)에 분모를 세 번 곱합니다. 진행의. 즉, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\)입니다.
\(b_9=b_6·q^3\)	우리가 알고 있는 값을 대입해보자.
\(704=(-11)q^3\)	방정식을 뒤집어 \((-11)\)로 나누어 보겠습니다.
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	세제곱하면 \(-64\)가 되는 숫자는 무엇입니까? 물론 \(-4\)입니다!
	답을 찾았습니다. \(-11\)에서 \(704\)까지 일련의 숫자를 복원하여 확인할 수 있습니다.
	모든 것이 하나로 합쳐졌습니다. 대답은 정확합니다.

답변: \(-4\).

가장 중요한 공식

보시다시피, 대부분의 기하학적 수열 문제는 본질을 이해함으로써 순수한 논리를 사용하여 해결할 수 있습니다(이것은 일반적으로 수학에서 일반적입니다). 그러나 때로는 특정 공식과 패턴에 대한 지식이 솔루션 속도를 높이고 크게 촉진하는 경우도 있습니다. 우리는 그러한 두 가지 공식을 연구할 것입니다.

\(n\)번째 항의 공식: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), 여기서 \(b_1\)은 수열의 첫 번째 항입니다. \(n\) – 필수 요소의 수; \(q\) – 진행 분모; \(b_n\) – 숫자 \(n\)의 진행 기간입니다.

예를 들어 이 공식을 사용하면 문자 그대로 한 번의 작업으로 첫 번째 예의 문제를 해결할 수 있습니다.

예(OGE): 기하학적 진행은 \(b_1=-2\) 조건에 의해 지정됩니다. \(q=7\). \(b_4\)를 찾으세요.
해결책:

답변: \(-686\).

이 예는 간단했기 때문에 수식을 사용하면 계산이 너무 쉬워지지 않았습니다. 좀 더 복잡한 문제를 살펴보겠습니다.

예: 기하학적 진행은 \(b_1=20480\) 조건에 의해 지정됩니다. \(q=\frac(1)(2)\). \(b_(12)\)를 찾으세요.
해결책:

답변: \(10\).

물론, \(\frac(1)(2)\)를 \(11\)제곱하는 것은 별로 즐겁지 않지만 \(11\)이 \(20480\)을 2로 나누는 것보다는 쉽습니다.

첫 번째 항의 합 \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\), 여기서 \(b_1\)은 첫 번째 항입니다. 진행의; \(n\) – 합산된 요소의 수; \(q\) – 진행 분모; \(S_n\) – 수열의 첫 번째 항 \(n\)의 합입니다.

예(OGE): 기하수열 \(b_n\)이 주어지면 분모는 \(5\)이고 첫 번째 항은 \(b_1=\frac(2)(5)\)입니다. 이 수열의 처음 6개 항의 합을 구하세요.
해결책:

답변: \(1562,4\).

그리고 다시 문제를 정면으로 해결할 수 있습니다. 즉, 6개 요소를 모두 차례로 찾은 다음 결과를 추가할 수 있습니다. 그러나 계산 횟수가 늘어나서 무작위 오류가 발생할 가능성이 급격히 증가합니다.

기하학적 수열의 경우 실용성이 낮기 때문에 여기서 고려하지 않은 몇 가지 공식이 더 있습니다. 이러한 공식을 찾을 수 있습니다.

기하학적 진행의 증가 및 감소

기사의 시작 부분에서 고려된 수열 \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\)의 경우 분모 \(q\)는 1보다 크므로 각 다음 항은 다음과 같습니다. 이전 것보다 큽니다. 그러한 진행을 소위 증가.

\(q\)가 1보다 작지만 양수인 경우(즉, 0에서 1 사이의 범위에 있는 경우) 다음 각 요소는 이전 요소보다 작습니다. 예를 들어, \(4\) 진행에서는; \(2\); \(1\); \(0.5\); \(0.25\)... \(q\)의 분모는 \(\frac(1)(2)\)와 같습니다.

이러한 진행을 호출합니다. 감소하는. 그러한 진행의 어떤 요소도 부정적이지 않으며, 각 단계마다 점점 더 작아질 뿐입니다. 즉, 우리는 점진적으로 0에 접근하게 되지만, 결코 도달하지도, 넘어서지도 않을 것입니다. 이런 경우 수학자들은 “0이 되는 경향이 있다”고 말합니다.

음수 분모를 사용하면 기하학적 진행 요소의 부호가 반드시 변경됩니다. 예를 들어, y 진행 \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\)의 분모는 \(-3\)이고, 이로 인해 요소의 기호가 "깜박"입니다.