안에 현대 사회제곱 변수가 포함된 방정식으로 연산을 수행하는 기능은 다양한 활동 영역에서 유용할 수 있으며 실제로 과학 및 기술 개발에서 널리 사용됩니다. 이에 대한 증거는 해상 및 강 선박, 비행기 및 로켓의 설계에서 찾을 수 있습니다. 이러한 계산을 사용하여 우주 물체를 포함한 다양한 물체의 이동 궤적이 결정됩니다. 솔루션 예시 이차 방정식경제 예측, 건물 설계 및 건설뿐만 아니라 가장 일반적인 일상 상황에서도 사용됩니다. 하이킹 여행, 스포츠 행사, 매장에서 물건을 구매할 때 및 기타 매우 일반적인 상황에서 필요할 수 있습니다.
표현식을 구성요소 요소로 나누어 보겠습니다.
방정식의 차수는 표현식에 포함된 변수 차수의 최대값에 의해 결정됩니다. 2와 같으면 그러한 방정식을 이차 방정식이라고 합니다.
공식 언어로 말하면 표시된 표현은 모양에 관계없이 표현의 왼쪽이 세 개의 용어로 구성되면 항상 형식으로 표시될 수 있습니다. 그중에는 ax 2(즉, 계수를 제곱한 변수), bx(계수를 제곱하지 않은 미지수) 및 c(자유 구성 요소, 즉 일반 숫자)가 있습니다. 오른쪽에 있는 이 모든 것은 0과 같습니다. 이러한 다항식에 도끼 2를 제외하고 구성 항 중 하나가 부족한 경우 이를 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 이러한 문제를 해결하는 예로서, 쉽게 찾을 수 있는 변수의 값을 먼저 고려해야 합니다.
표현식의 오른쪽에 두 개의 항, 보다 정확하게는 ax 2와 bx가 있는 것처럼 보이면 x를 찾는 가장 쉬운 방법은 변수를 대괄호 안에 넣는 것입니다. 이제 방정식은 다음과 같습니다: x(ax+b). 다음으로 x=0이거나 ax+b=0 표현식에서 변수를 찾는 것이 문제라는 것이 분명해집니다. 이것은 곱셈의 속성 중 하나에 의해 결정됩니다. 이 규칙에 따르면 두 요소의 곱은 그 중 하나가 0인 경우에만 0이 됩니다.
예
x=0 또는 8x - 3 = 0
결과적으로 우리는 방정식의 두 근, 즉 0과 0.375를 얻습니다.
이런 종류의 방정식은 좌표의 원점으로 간주되는 특정 지점에서 움직이기 시작한 중력의 영향을 받는 물체의 움직임을 설명할 수 있습니다. 여기서 수학적 표기법은 다음과 같은 형식을 취합니다: y = v 0 t + gt 2 /2. 필요한 값을 대입하고 우변을 0으로 동일시하고 가능한 미지수를 찾아냄으로써 신체가 상승하는 순간부터 떨어지는 순간까지의 시간과 기타 많은 양을 알아낼 수 있습니다. 하지만 이에 대해서는 나중에 이야기하겠습니다.
표현식 인수분해하기
위에서 설명한 규칙을 사용하면 이러한 문제를 더 많이 해결할 수 있습니다. 어려운 경우. 이 유형의 이차 방정식을 푸는 예를 살펴보겠습니다.
X 2 - 33x + 200 = 0
이것 이차 삼항식완료되었습니다. 먼저 식을 변형하고 인수분해해 보겠습니다. (x-8)과 (x-25) = 0이라는 두 가지가 있습니다. 결과적으로 두 개의 근 8과 25가 있습니다.
9학년의 이차 방정식을 푸는 예를 통해 이 방법을 사용하면 2차뿐만 아니라 3차 및 4차 표현식에서도 변수를 찾을 수 있습니다.
예: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. 변수가 있는 인수분해를 하면 우변은 (x+1), (x-3), (x+) 세 가지가 됩니다. 3).
결과적으로 이 방정식에는 세 가지 근이 있다는 것이 분명해집니다. -3; -1; 3.
제곱근
또 다른 사례 불완전한 방정식두 번째 순서는 오른쪽이 ax 2 및 c 구성 요소로 구성되는 방식으로 문자 언어로 표현되는 표현입니다. 여기서는 변수의 값을 구하기 위해 자유항을 우변으로 옮긴 후, 등식의 양쪽에서 추출한다. 제곱근. 이 경우 방정식에는 일반적으로 두 개의 근이 있다는 점에 유의해야 합니다. 유일한 예외는 변수가 0인 용어를 전혀 포함하지 않는 등식과 오른쪽이 음수로 판명될 때 표현식의 변형일 수 있습니다. 후자의 경우 위의 작업을 루트로 수행할 수 없기 때문에 전혀 해결책이 없습니다. 이러한 유형의 이차 방정식에 대한 해법의 예를 고려해야 합니다.
이 경우 방정식의 근은 숫자 -4와 4가 됩니다.
토지 면적 계산
이런 종류의 계산에 대한 필요성이 나타났습니다. 상대, 그 먼 시대에 여러 가지 방법으로 수학의 발전은 토지의 면적과 둘레를 가장 정확하게 결정해야 할 필요성에 의해 결정되었기 때문입니다.
우리는 또한 이런 종류의 문제를 기반으로 이차방정식을 푸는 예를 고려해야 합니다.
따라서 길이가 너비보다 16미터 더 큰 직사각형 토지가 있다고 가정해 보겠습니다. 면적이 612m2라는 것을 알고 있다면 부지의 길이, 너비 및 둘레를 찾아야 합니다.
시작하려면 먼저 필요한 방정식을 만들어 보겠습니다. 영역의 너비를 x로 표시하면 길이는 (x+16)이 됩니다. 작성된 내용에 따르면 면적은 x(x+16) 표현식에 의해 결정되며 문제의 조건에 따라 612입니다. 이는 x(x+16) = 612를 의미합니다.
완전한 이차 방정식을 푸는 것과 이 표현은 정확히 같은 방식으로 수행될 수 없습니다. 왜? 왼쪽에는 여전히 두 개의 요인이 포함되어 있지만 그 곱은 전혀 0이 아니므로 여기서는 다른 방법이 사용됩니다.
판별식
우선 필요한 변환을 해보자. 모습이 표현식은 다음과 같습니다: x 2 + 16x - 612 = 0. 이는 a=1, b=16, c=-612인 이전에 지정된 표준에 해당하는 형식의 표현식을 수신했음을 의미합니다.
이는 판별식을 사용하여 이차 방정식을 푸는 예일 수 있습니다. 여기에서는 D = b 2 - 4ac 구성표에 따라 필요한 계산이 이루어집니다. 이 보조 수량은 2차 방정식에서 필요한 수량을 찾는 것을 가능하게 할 뿐만 아니라 가능한 옵션의 수를 결정합니다. D>0이면 두 개가 있습니다. D=0이면 루트가 하나 있습니다. D의 경우<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
뿌리와 공식에 대하여
우리의 경우 판별식은 256 - 4(-612) = 2704와 같습니다. 이는 문제에 답이 있다는 것을 의미합니다. k를 알고 있다면 이차 방정식의 해는 아래 공식을 사용하여 계속되어야 합니다. 이를 통해 근을 계산할 수 있습니다.
이는 제시된 사례에서 x 1 =18, x 2 =-34를 의미합니다. 이 딜레마의 두 번째 옵션은 해결책이 될 수 없습니다. 왜냐하면 대지의 크기는 음수로 측정할 수 없기 때문입니다. 이는 x(즉, 대지의 너비)가 18m임을 의미합니다. 여기서 길이는 18m입니다. +16=34, 둘레 2(34+18)=104(m2)입니다.
예시 및 작업
우리는 이차 방정식에 대한 연구를 계속합니다. 그 중 몇 가지 예와 자세한 솔루션이 아래에 제공됩니다.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
모든 것을 평등의 왼쪽으로 이동하고 변환을 수행합니다. 즉, 일반적으로 표준이라고 불리는 방정식 유형을 가져와 0과 동일시합니다.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
유사한 것을 추가하여 판별식을 결정합니다: D = 49 - 48 = 1. 이는 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다. 위의 공식에 따라 계산해 보겠습니다. 즉, 첫 번째는 4/3이고 두 번째는 1입니다.
2) 이제 다른 종류의 미스터리를 풀어봅시다.
여기에 근이 있는지 알아봅시다 x 2 - 4x + 5 = 1? 포괄적인 답을 얻기 위해 다항식을 해당하는 일반적인 형태로 줄이고 판별식을 계산해 보겠습니다. 위의 예에서는 이차 방정식을 풀 필요가 없습니다. 왜냐하면 이것이 문제의 본질이 아니기 때문입니다. 이 경우 D = 16 - 20 = -4입니다. 이는 실제로 근이 없음을 의미합니다.
비에타의 정리
후자의 값에서 제곱근을 구할 때 위의 공식과 판별식을 사용하여 이차방정식을 푸는 것이 편리합니다. 그러나 이것이 항상 일어나는 것은 아닙니다. 그러나 이 경우 변수의 값을 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 예: Vieta의 정리를 사용하여 2차 방정식 풀기. 그녀의 이름은 16세기 프랑스에 살며 수학적 재능과 궁정 인맥 덕분에 눈부신 경력을 쌓은 사람의 이름을 따서 지어졌습니다. 그의 초상화는 기사에서 볼 수 있습니다.
그 유명한 프랑스인이 주목한 패턴은 다음과 같았다. 그는 방정식의 근이 수치적으로 더해지면 -p=b/a에 해당하고 그 곱은 q=c/a에 해당한다는 것을 증명했습니다.
이제 구체적인 작업을 살펴보겠습니다.
3x 2 + 21x - 54 = 0
단순화를 위해 표현식을 변형해 보겠습니다.
x 2 + 7x - 18 = 0
Vieta의 정리를 사용하면 다음과 같은 결과가 나옵니다. 근의 합은 -7이고 그 곱은 -18입니다. 여기에서 방정식의 근본은 숫자 -9와 2라는 것을 알 수 있습니다. 확인한 후 이러한 변수 값이 실제로 표현식에 맞는지 확인합니다.
포물선 그래프와 방정식
이차 함수와 이차 방정식의 개념은 밀접하게 관련되어 있습니다. 이에 대한 예는 이미 이전에 제시되었습니다. 이제 몇 가지 수학적 수수께끼를 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 설명된 유형의 모든 방정식은 시각적으로 표현될 수 있습니다. 그래프로 그려진 이러한 관계를 포물선이라고 합니다. 다양한 유형이 아래 그림에 나와 있습니다.
모든 포물선에는 정점, 즉 가지가 나오는 지점이 있습니다. a>0이면 무한대로 높아지고, a이면<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
함수의 시각적 표현은 2차 방정식을 포함한 모든 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다. 이 방법을 그래픽이라고 합니다. 그리고 변수 x의 값은 그래프 선이 0x와 교차하는 지점의 가로 좌표입니다. 정점의 좌표는 주어진 x 0 = -b/2a 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. 그리고 그 결과 값을 함수의 원래 방정식에 대입하면 y 0, 즉 세로축에 속하는 포물선 꼭지점의 두 번째 좌표를 알 수 있습니다.
가로좌표 축과 포물선 가지의 교차점
이차방정식을 푸는 예는 많지만 일반적인 패턴도 있습니다. 그들을 살펴보자. a>0에 대한 그래프와 0x 축의 교차는 y 0이 다음을 취하는 경우에만 가능하다는 것이 분명합니다. 음수 값. 그리고<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. 그렇지 않으면 D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
포물선 그래프를 통해 근을 결정할 수도 있습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 즉, 이차 함수의 시각적 표현을 얻는 것이 쉽지 않은 경우, 수식의 우변을 0으로 대입하고 결과 방정식을 풀 수 있습니다. 그리고 0x축과의 교차점을 알면 그래프를 구성하는 것이 더 쉽습니다.
역사에서
예전에는 제곱변수가 포함된 방정식을 사용하여 수학적 계산을 수행하고 기하학적 도형의 면적을 결정했습니다. 고대인들은 물리학과 천문학 분야의 거대한 발견과 점성술 예측을 위해 그러한 계산이 필요했습니다.
현대 과학자들이 시사하는 바와 같이, 바빌론 주민들은 이차 방정식을 최초로 푼 사람들 중 하나였습니다. 이것은 우리 시대보다 4세기 전에 일어났습니다. 물론 그들의 계산은 현재 허용되는 계산과 근본적으로 달랐으며 훨씬 더 원시적인 것으로 판명되었습니다. 예를 들어, 메소포타미아 수학자들은 존재에 대해 전혀 몰랐습니다. 음수. 그들은 또한 현대의 학생들이 알고 있는 다른 미묘함에도 익숙하지 않았습니다.
아마도 바빌론의 과학자들보다 훨씬 일찍 인도의 현자 Baudhayama가 이차 방정식을 풀기 시작했습니다. 이 일은 그리스도 시대보다 약 8세기 전에 일어났습니다. 사실, 그가 제시한 해결 방법인 2차 방정식이 가장 간단했습니다. 그 외에도 옛날 중국 수학자들도 비슷한 질문에 관심을 가졌습니다. 유럽에서는 2차 방정식이 13세기 초에 풀기 시작했지만 나중에는 뉴턴, 데카르트 등 많은 위대한 과학자들이 작업에 사용했습니다.
비디오 튜토리얼 2: 이차 방정식 풀기
강의: 이차방정식
방정식
방정식-이것은 변수가 있는 표현의 일종의 평등입니다.
방정식을 풀어보세요- 변수 대신 올바른 동등성을 가져오는 숫자를 찾는 것을 의미합니다.
방정식에는 하나의 해가 있을 수도 있고 여러 개가 있을 수도 있고 전혀 없을 수도 있습니다.
방정식을 풀려면 다음 형식으로 최대한 단순화해야 합니다.
선의: a*x = b;
정사각형: a*x 2 + b*x + c = 0.
즉, 모든 방정식은 풀기 전에 표준 형식으로 변환되어야 합니다.
모든 방정식은 분석적 방법과 그래픽적 방법의 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다.
그래프에서 방정식의 해는 그래프가 OX 축과 교차하는 지점으로 간주됩니다.
이차방정식
방정식을 단순화할 때 다음과 같은 형식을 취하면 이차 방정식이라고 부를 수 있습니다.
a*x 2 + b*x + c = 0.
동시에 에이, 비, 씨 0과 다른 방정식의 계수입니다. 에이 "엑스"- 방정식의 근본. 이차 방정식에는 두 개의 근이 있거나 전혀 해가 없을 수도 있다고 믿어집니다. 결과 뿌리는 동일할 수 있습니다.
"에이"- 제곱근 앞에 있는 계수입니다.
"비"- 1급 미지의 것 앞에 서 있습니다.
"와 함께"방정식의 자유 항입니다.
예를 들어 다음과 같은 형식의 방정식이 있다고 가정합니다.
2x2 -5x+3=0
여기서 "2"는 방정식의 최고차항의 계수이고, "-5"는 두 번째 계수, "3"은 자유항입니다.
이차 방정식 풀기
이차방정식을 푸는 방법은 매우 다양합니다. 그러나 학교 수학 과정에서는 비에타의 정리와 판별식을 사용하여 해를 연구합니다.
판별 솔루션:
이 방법을 사용하여 풀 때 다음 공식을 사용하여 판별식을 계산해야 합니다.
계산 중에 판별식이 0보다 작은 경우 이는 이 방정식에 해가 없음을 의미합니다.
판별식이 0이면 방정식에는 두 개의 동일한 해가 있습니다. 이 경우 축약된 곱셈 공식을 사용하여 다항식을 합 또는 차이의 제곱으로 축소할 수 있습니다. 그런 다음 이를 선형 방정식으로 풀어보세요. 또는 다음 공식을 사용하세요.
판별식이 0보다 큰 경우 다음 방법을 사용해야 합니다.
비에타의 정리
방정식이 주어지면, 즉 최고항의 계수가 1과 같으면 다음을 사용할 수 있습니다. 비에타의 정리.
방정식이 다음과 같다고 가정해 보겠습니다.
방정식의 근은 다음과 같이 구됩니다.
불완전한 이차 방정식
불완전한 2차 방정식을 얻는 데는 여러 가지 옵션이 있으며 그 형태는 계수의 존재 여부에 따라 달라집니다.
1. 두 번째와 세 번째 계수가 0인 경우 (b = 0, c = 0), 그러면 이차 방정식은 다음과 같습니다.
이 방정식은 고유한 해를 갖습니다. 등식은 방정식의 해가 0인 경우에만 참이 됩니다.
이 기사를 공부한 후에 완전한 이차 방정식의 근을 찾는 방법을 배우게 되기를 바랍니다.
판별식을 사용하면 완전한 2차 방정식만 풀 수 있습니다. 불완전한 2차 방정식을 풀려면 다른 방법이 사용됩니다. 이 방법은 "불완전한 2차 방정식 풀기" 문서에서 확인할 수 있습니다.
완전하다고 불리는 이차 방정식은 무엇입니까? 이것 ax 2 + b x + c = 0 형식의 방정식여기서 계수 a, b 및 c는 0이 아닙니다. 따라서 완전한 이차 방정식을 풀려면 판별식 D를 계산해야 합니다.
D = b 2 – 4ac.
판별식의 값에 따라 답을 적어보겠습니다.
판별식이 음수인 경우(D< 0),то корней нет.
판별식이 0이면 x = (-b)/2a입니다. 판별식이 양수(D > 0)인 경우,
그러면 x 1 = (-b - √D)/2a이고 x 2 = (-b + √D)/2a입니다.
예를 들어. 방정식을 풀어보세요 x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
답: 2.
방정식 2 풀기 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 - 4 2 3 = - 23
답: 뿌리가 없다.
방정식 2 풀기 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 - 4 2 (-7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
답변: – 3.5; 1.
그러면 그림 1의 다이어그램을 사용하여 완전한 이차 방정식의 해를 상상해 봅시다.
이 공식을 사용하면 완전한 이차 방정식을 풀 수 있습니다. 그냥 조심하면 돼요 방정식은 표준 형식의 다항식으로 작성되었습니다.
에이 x 2 +bx+c,그렇지 않으면 실수를 할 수 있습니다. 예를 들어, 방정식 x + 3 + 2x 2 = 0을 작성할 때 실수로 다음과 같이 결정할 수 있습니다.
a = 1, b = 3, c = 2. 그러면
D = 3 2 – 4 1 2 = 1이고 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 그리고 이것은 사실이 아닙니다. (위의 예 2에 대한 해결 방법 참조)
따라서 방정식이 표준형의 다항식으로 작성되지 않으면 먼저 완전한 이차방정식을 표준형의 다항식(다음을 갖는 단항식)으로 작성해야 합니다. 가장 높은 지표정도, 즉 에이 x 2 , 그런 다음 더 적은 – bx그리고 무료 회원 와 함께.
축소된 이차 방정식과 두 번째 항의 계수가 짝수인 이차 방정식을 풀 때 다른 공식을 사용할 수 있습니다. 이 공식에 대해 알아 봅시다. 완전한 2차 방정식에서 두 번째 항의 계수가 짝수(b = 2k)인 경우 그림 2의 다이어그램에 제공된 공식을 사용하여 방정식을 풀 수 있습니다.
계수가 다음인 경우 완전한 이차 방정식을 축소라고 합니다. x 2 는 1과 같고 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. x 2 + px + q = 0. 이러한 방정식은 해법으로 주어질 수도 있고 방정식의 모든 계수를 계수로 나누어 얻을 수도 있습니다. 에이, 서 있는 x 2 .
그림 3은 축소제곱을 풀기 위한 다이어그램을 보여줍니다. 
방정식. 이 기사에서 논의된 공식을 적용한 예를 살펴보겠습니다.
예. 방정식을 풀어보세요
3x 2 + 6x – 6 = 0.
그림 1의 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 이 방정식을 풀어보겠습니다.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
답: –1 – √3; -1 + √3
이 방정식에서 x의 계수는 짝수, 즉 b = 6 또는 b = 2k이며 k = 3이라는 것을 알 수 있습니다. 그런 다음 그림 D의 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 방정식을 풀어 보겠습니다. 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
답: –1 – √3; -1 + √3. 이 이차 방정식의 모든 계수가 3으로 나누어지는 것을 확인하고 나눗셈을 수행하면 축소된 이차 방정식 x 2 + 2x – 2 = 0을 얻습니다. 
방정식 그림 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
답: –1 – √3; -1 + √3.
보시다시피, 다른 공식을 사용하여 이 방정식을 풀 때 동일한 답을 얻었습니다. 따라서 그림 1의 다이어그램에 표시된 공식을 완전히 익히면 언제든지 완전한 이차 방정식을 풀 수 있습니다.
웹사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 출처에 대한 링크가 필요합니다.
", 즉 1차 방정식입니다. 이번 강의에서 우리가 살펴볼 내용은 이차방정식이라고 불리는 것그리고 그것을 해결하는 방법.
이차 방정식이란 무엇입니까?
중요한!
방정식의 차수는 미지수의 가장 높은 차수에 따라 결정됩니다.
미지수의 최대 전력이 "2"이면 이차 방정식이 됩니다.
2차 방정식의 예
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0.25x = 0
- x 2 − 8 = 0
중요한! 이차 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b" 및 "c"에는 숫자가 지정됩니다.- "a"는 첫 번째 또는 가장 높은 계수입니다.
- "b"는 두 번째 계수입니다.
- "c"는 무료 회원입니다.
"a", "b" 및 "c"를 찾으려면 방정식을 2차 방정식 "ax 2 + bx + c = 0"의 일반 형식과 비교해야 합니다.
이차방정식에서 계수 "a", "b", "c"를 결정하는 연습을 해보세요.
| 방정식 | 승산 | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = -1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0.25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = -8
이차 방정식을 푸는 방법
같지 않은 선형 방정식이차 방정식을 풀기 위해 특별한 뿌리를 구하는 공식.
기억하다!
이차 방정식을 풀려면 다음이 필요합니다.
- 이차방정식을 일반 형식 “ax 2 + bx + c = 0”으로 가져옵니다.
- 즉, 오른쪽에는 "0"만 남아 있어야 합니다.
뿌리에 대한 공식을 사용하십시오:
이차 방정식의 근을 찾기 위해 공식을 사용하는 방법에 대한 예를 살펴보겠습니다. 이차 방정식을 풀어 봅시다.
엑스 2 − 3x − 4 = 0 방정식 "x 2 − 3x − 4 = 0"은 이미 일반 형식 "ax 2 + bx + c = 0"으로 축소되었으며 추가 단순화가 필요하지 않습니다. 이를 해결하려면 신청만 하면 됩니다..
이차방정식의 근을 구하는 공식
이 방정식의 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정해 보겠습니다.
이 방정식의 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정해 보겠습니다.
이 방정식의 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정해 보겠습니다.
이 방정식의 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정해 보겠습니다.
x 1;2 =
이차 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다.
공식 “x 1;2 = ”에서 근호 표현은 종종 대체됩니다.
문자 "D"에 대한 "b 2 − 4ac"를 판별식이라고 합니다. 판별기의 개념은 "판별기란 무엇인가" 단원에서 더 자세히 설명합니다.
이차방정식의 또 다른 예를 살펴보겠습니다.
x 2 + 9 + x = 7x
이 형식에서는 계수 "a", "b" 및 "c"를 결정하는 것이 매우 어렵습니다. 먼저 방정식을 일반적인 형태인 "ax 2 + bx + c = 0"으로 줄여보겠습니다.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
이제 근에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =
| 6 |
| 2 |
x =
엑스 = 3
답: x = 3
이차방정식에는 근이 없는 경우가 있습니다. 이 상황은 수식의 루트 아래에 음수가 포함된 경우 발생합니다. Kop'evskaya 농촌 중등
중등 학교
이차 방정식을 푸는 10가지 방법
머리: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
수학 선생님
마을 코페보, 2007
1. 이차 방정식 개발의 역사 1.1 2차 방정식
고대 바빌론
1.2 디오판토스가 이차방정식을 구성하고 해결한 방법
1.3 인도의 이차방정식 1.4 이차방정식
알-코레즈미
1.5 유럽 XIII - XVII 세기의 이차 방정식
1.6 비에타의 정리에 대하여
2. 이차 방정식을 푸는 방법
결론
1. 문학
이차 방정식 개발의 역사
고대에도 1차 방정식뿐만 아니라 2차 방정식을 풀어야 할 필요성은 토지 구역 찾기 및 군사적 성격의 발굴 작업과 관련된 문제를 해결해야 할 필요성 때문에 발생했습니다. 천문학과 수학 자체의 발전과 마찬가지로. 이차 방정식은 기원전 2000년경에 풀릴 수 있었습니다. 이자형. 바빌로니아인.
현대 대수 표기법을 사용하면 설형 문자 텍스트에 불완전한 것 외에도 완전한 이차 방정식과 같은 것이 있다고 말할 수 있습니다.
엑스 2 + 엑스 = ¾; 엑스 2 - 엑스 = 14,5
바빌로니아 문헌에 제시된 이러한 방정식을 푸는 규칙은 본질적으로 현대의 규칙과 일치하지만 바빌로니아인들이 어떻게 이 규칙에 도달했는지는 알려져 있지 않습니다. 지금까지 발견된 거의 모든 설형 문자 텍스트는 조리법 형식으로 제시된 해결책에 대한 문제만 제공하며, 어떻게 발견되었는지에 대한 표시는 없습니다.
에도 불구하고 높은 수준바빌론에서 대수가 발달함에 따라 설형 문자 텍스트에는 음수 개념이 부족하고 일반적인 방법이차방정식 풀기.
1.2 디오판토스가 어떻게 이차방정식을 구성하고 풀었는지.
디오판투스의 『산수』에는 대수학의 체계적인 표현이 포함되어 있지 않지만, 설명이 수반되고 다양한 차수의 방정식을 구성하여 해결되는 체계적인 일련의 문제가 포함되어 있습니다.
방정식을 작성할 때 Diophantus는 미지수를 능숙하게 선택하여 솔루션을 단순화합니다.
예를 들어, 그의 임무 중 하나는 다음과 같습니다.
문제 11."합이 20이고 곱이 96이라는 것을 알고 두 숫자를 찾으세요."
Diophantus는 다음과 같이 추론합니다. 문제의 조건에 따르면 필요한 숫자가 같지 않습니다. 왜냐하면 숫자가 같으면 그 곱은 96이 아니라 100이 되기 때문입니다. 따라서 그 중 하나는 다음보다 클 것입니다. 그 금액의 절반, 즉 . 10 + 엑스, 다른 하나는 더 적습니다. 10대. 그들 사이의 차이점 2배.
따라서 방정식은 다음과 같습니다.
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
여기에서 엑스 = 2. 필요한 숫자 중 하나는 다음과 같습니다. 12 , 다른 8 . 해결책 x = -2디오판토스는 존재하지 않는다. 왜냐하면 그리스 수학은 오직 양수.
필요한 숫자 중 하나를 미지수로 선택하여 이 문제를 해결하면 방정식에 대한 해결책을 찾을 수 있습니다.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
필요한 숫자의 절반 차이를 미지수로 선택함으로써 Diophantus가 솔루션을 단순화한다는 것은 분명합니다. 그는 불완전한 이차 방정식(1)을 푸는 문제를 해결했습니다.
1.3 인도의 이차 방정식
2차 방정식의 문제는 인도의 수학자이자 천문학자인 Aryabhatta가 499년에 편찬한 천문학 논문 "Aryabhattiam"에서 이미 발견되었습니다. 또 다른 인도 과학자인 브라마굽타(7세기)는 단일 방정식으로 축소된 이차 방정식을 풀기 위한 일반 규칙을 설명했습니다. 정식 형식:
아 2 +비x = c, a > 0. (1)
방정식 (1)에서 다음을 제외한 계수는 에이, 음수일 수도 있습니다. 브라마굽타의 법칙은 본질적으로 우리의 법칙과 동일합니다.
안에 고대 인도어려운 문제를 해결하기 위한 공개 경쟁이 흔했습니다. 인도의 오래된 책 중 하나는 그러한 대회에 관해 다음과 같이 말합니다. “태양이 그 광채로 별들을 가릴 때, 식자대수 문제를 제안하고 해결함으로써 대중 집회에서 다른 사람의 영광을 가릴 수 있습니다.” 문제는 종종 시적인 형태로 제시되었습니다.
이것은 12세기 인도의 유명한 수학자들이 제기한 문제 중 하나입니다. 바스카르.
문제 13.
“흥미진진한 원숭이 떼와 덩굴을 따라 있는 열두 마리...
식사를 마친 당국은 즐거웠습니다. 그들은 뛰어오르고, 매달리기 시작했습니다...
광장에 원숭이가 있어요, 8부 원숭이가 몇 마리 있었나요?
나는 공터에서 재미있게 놀고 있었다. 말해 보세요, 이 팩에 들어있어요?
Bhaskara의 해법은 그가 이차 방정식의 근이 2값이라는 것을 알고 있음을 나타냅니다(그림 3).
문제 13에 해당하는 방정식은 다음과 같습니다.
(엑스/8) 2 + 12 = 엑스
Bhaskara는 다음과 같이 썼습니다.
x 2 - 64x = -768
그리고 이 방정식의 좌변을 정사각형으로 완성하려면, 양변에 더합니다. 32 2 , 다음을 얻습니다.
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 al의 이차방정식 - Khorezmi
al-Khorezmi의 대수학 논문에서는 선형 및 이차 방정식의 분류가 제공됩니다. 저자는 6가지 종류의 방정식을 세어 다음과 같이 표현한다.
1) "제곱은 뿌리와 같습니다", 즉 도끼 2 + C =비엑스.
2) "사각형은 숫자와 같습니다", 즉 도끼 2 = c.
3) "근은 숫자와 같습니다.", 즉 아 = s.
4) "제곱과 숫자는 근과 같습니다", 즉 도끼 2 + C =비엑스.
5) "제곱과 근은 숫자와 같습니다", 즉 아 2 +bx= s.
6) "근과 숫자는 제곱과 같습니다", 즉bx+c = 도끼 2 .
음수의 사용을 피한 알-코레즈미(al-Khorezmi)의 경우, 이들 방정식 각각의 항은 뺄셈이 아닌 덧셈입니다. 이 경우 양의 해가 없는 방정식은 분명히 고려되지 않습니다. 저자는 솔루션을 간략하게 설명합니다. 위의 방정식, al-jabr 및 al-muqabala 기술을 사용합니다. 물론 그의 결정은 우리의 결정과 완전히 일치하지는 않습니다. 순전히 수사적이라는 점은 말할 것도 없고, 예를 들어 첫 번째 유형의 불완전한 이차 방정식을 풀 때 다음과 같은 점에 유의해야 합니다.
al-Khorezmi는 17세기 이전의 모든 수학자처럼 영점 해를 고려하지 않았습니다. 실질적인 문제그것은 중요하지 않습니다. 부분적으로 완전한 2차 방정식 al-Khorezmi를 풀 때 수치 예해법에 대한 규칙을 제시한 다음 기하학적 증명을 제시합니다.
문제 14.“제곱과 숫자 21은 10근과 같습니다. 뿌리를 찾아라" (방정식 x 2 + 21 = 10x의 근을 의미합니다).
저자의 해결책은 다음과 같습니다. 뿌리의 수를 반으로 나누고 5를 얻고 5를 곱하고 곱에서 21을 빼고 남은 것은 4입니다. 4에서 뿌리를 취하면 2를 얻습니다. 5에서 2를 뺍니다. , 3을 얻으면 이것이 원하는 루트가 됩니다. 또는 2에 5를 더하면 7이 됩니다. 이것도 근입니다.
알-코레즈미(al-Khorezmi)의 논문은 이차 방정식의 분류를 체계적으로 설명하고 해법에 대한 공식을 제공하는 첫 번째 책입니다.
1.5 유럽의 이차방정식13세 - XVIIbb
유럽의 알-코레즈미(al-Khorezmi) 방식을 따라 이차 방정식을 푸는 공식은 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치가 1202년에 쓴 주판에 처음으로 명시되어 있습니다. 이슬람 국가와 이슬람 국가 모두에 수학의 영향을 반영하는 이 방대한 작업은 고대 그리스, 표현의 완전성과 명확성으로 구별됩니다. 저자는 문제 해결을 위한 몇 가지 새로운 대수적 예를 독립적으로 개발했으며 유럽에서 처음으로 음수 도입에 접근했습니다. 그의 책은 이탈리아뿐만 아니라 독일, 프랑스 및 기타 유럽 국가에서도 대수학 지식의 확산에 기여했습니다. 주판의 많은 문제들이 16~17세기 유럽의 거의 모든 교과서에 사용되었습니다. 그리고 부분적으로 XVIII.
일반 규칙단일 표준 형식으로 축소된 이차 방정식의 해:
× 2 +bx=c,
계수 부호의 가능한 모든 조합에 대해 비, 와 함께 M. Stiefel이 1544년에 유럽에서 공식화했습니다.
이차 방정식을 풀기 위한 공식 유도 일반적인 견해 Viet에는 그것이 있지만 Viet은 긍정적인 뿌리만을 인식했습니다. 이탈리아 수학자 Tartaglia, Cardano, Bombelli는 16세기 최초의 수학자 중 하나입니다. 긍정적인 것 외에도 부정적인 뿌리도 고려됩니다. 17세기에만요. Girard, Descartes, Newton 및 기타 과학자들의 작업 덕분에 이차 방정식을 푸는 방법이 현대적인 형태를 취하게 되었습니다.
1.6 비에타의 정리에 대하여
비에타(Vieta)의 이름을 딴 이차 방정식의 계수와 그 근 사이의 관계를 표현하는 정리는 1591년에 그가 처음으로 다음과 같이 공식화했습니다. 비 + 디, 곱하기 에이 - 에이 2 , 같음 BD, 저것 에이같음 안에그리고 평등하다 디».
비에타를 이해하려면 다음을 기억해야 한다. 에이, 다른 모음 문자와 마찬가지로 알 수 없는 것을 의미했습니다(우리의 엑스), 모음 안에,디- 미지의 계수. 현대 대수학의 언어에서 위의 Vieta 공식은 다음을 의미합니다.
(a +비)x - x 2 =ab,
x 2 - (a +비)x+a비 = 0,
x 1 = 가, x 2 =비.
방정식의 근과 계수 사이의 관계 표현 일반 공식기호를 사용하여 작성된 Viet은 방정식 풀이 방법의 통일성을 확립했습니다. 그러나 베트남의 상징성은 아직 멀다. 현대적인 모습. 그는 음수를 인식하지 못했기 때문에 방정식을 풀 때 모든 근이 양수인 경우만 고려했습니다.
2. 이차 방정식을 푸는 방법
이차방정식은 장엄한 대수학 체계의 기초입니다. 이차 방정식은 삼각법, 지수 방정식, 로그 방정식, 비합리 방정식, 초월 방정식 및 부등식을 푸는 데 널리 사용됩니다. 우리 모두는 학교(8학년)부터 졸업할 때까지 이차방정식을 푸는 방법을 알고 있습니다.
