그리고 매트릭스로.
이 대칭 변환은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
y 1 = 11 x 1 + 12 x 2
y 2 = 12 x 1 + 22 x 2
여기서 y 1과 y 2는 기저의 벡터 좌표입니다.
분명히 이차 형식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
F(x 1, x 2) = x 1 y 1 + x 2 y 2.
보시다시피, 기하학적 의미수치 이차 형태좌표가 x 1 및 x 2인 지점의 Ф - 내적.
평면에서 또 다른 직교 기준을 취하면 이차 형식 Ф는 다르게 보일 것입니다. 기하학적 점그리고 그것은 변하지 않을 것입니다. 이차 형식이 1제곱 좌표를 포함하지 않고 정사각형의 좌표만 포함하는 기저를 찾으면 이차 형식은 표준 형식으로 축소될 수 있습니다.
선형 변환의 고유 벡터 세트를 기초로 사용하면 이 기초에서 선형 변환 행렬은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
변수 x 1 및 x 2에서 새로운 기준으로 이동할 때 변수 및로 이동합니다. 그 다음에:
라는 표현이 정식 견해이차 형태. 마찬가지로, 변수 수가 많은 2차 형식은 정규 형식으로 축소될 수 있습니다.
이차 형식 이론은 곡선 방정식과 2차 표면을 표준 형식으로 줄이는 데 사용됩니다.
예. 이차 형식을 표준 형식으로 줄입니다.
F(x 1, x 2) = 27.
승산: a 11 = 27, a 12 = 5, 22 = 3.
특성방정식을 만들어보자: ;
(27 - l)(3 - l) - 25 = 0
내가 2 - 30l + 56 = 0
내가 1 = 2; 내가 2 = 28;
예. 2차 방정식을 정식 형식으로 가져옵니다.
17x 2 + 12xy + 8y 2 - 20 = 0.
계수 a 11 = 17, a 12 = 6, 22 = 8. A =
특성 방정식을 만들어 보겠습니다.
(17 - l)(8 - l) - 36 = 0
136 - 8l - 17l + l 2 - 36 = 0
내가 2 - 25l + 100 = 0
내가 1 = 5, 내가 2 = 20.
총: - 표준 방정식타원.
해결 방법: 이차 형태의 특성 방정식을 만들어 보겠습니다.
이 방정식을 풀면 l 1 = 2, l 2 = 6이 됩니다.
고유벡터의 좌표를 찾아보겠습니다.
고유벡터:
정규선 방정식 새로운 시스템좌표는 다음과 같습니다:
예. 이차 형식 이론을 사용하여 2차 직선의 방정식을 정규 형식으로 가져옵니다. 그래프의 개략도를 그립니다.
해결 방법: 이차 형태의 특성 방정식을 만들어 보겠습니다.
이 방정식을 풀면 l 1 = 1, l 2 = 11이 됩니다.
고유벡터의 좌표를 찾아보겠습니다.
m 1 = 1이라고 하면 n 1 =을 얻습니다.
m 2 = 1을 넣으면 n 2 =을 얻습니다.
고유벡터:
새로운 기저의 단위 벡터의 좌표를 찾습니다.
새 좌표계의 선 방정식은 다음과 같습니다.
새 좌표계에서 선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
컴퓨터 버전을 사용하는 경우 “ 고등 수학 코스” 임의의 초기 조건에 대해 위의 예를 해결하는 프로그램을 실행하는 것이 가능합니다.
프로그램을 시작하려면 아이콘을 두 번 클릭하십시오.
열리는 프로그램 창에서 이차 형식의 계수를 입력하고 Enter를 누릅니다.
참고: 프로그램을 실행하려면 MapleV Release 4부터 모든 버전의 Maple 프로그램(Ó Waterloo Maple Inc.)이 컴퓨터에 설치되어 있어야 합니다.
이 방법은 이차 형태의 완전한 정사각형을 순차적으로 선택하는 것으로 구성됩니다.
이차 형태를 주어보자
행렬의 대칭성으로 인해
,
두 가지 가능한 경우가 있습니다:
1. 제곱 계수 중 하나 이상이 0과 다릅니다. 일반성을 잃지 않고 다음과 같이 가정하겠습니다(이는 항상 변수의 번호를 적절하게 다시 매겨서 달성할 수 있습니다).
2. 모든 계수
그러나 0이 아닌 계수가 있습니다(명확성을 위해 그렇게 합시다).
첫 번째 경우이차 형태를 다음과 같이 변환합니다.
,
다른 모든 용어는 다음과 같이 표시됩니다.
(n-1) 변수의 2차 형태입니다.
그들은 그녀를 같은 방식으로 대합니다.
참고하세요
두 번째 경우변수 대체
첫 번째로 내려옵니다.
예 1: 비퇴화 선형 변환을 통해 2차 형식을 정규 형식으로 줄입니다.
해결책.
미지수가 포함된 용어를 모두 모아보자 
, 완전한 정사각형에 추가하세요.
.
(왜냐하면 .)
또는 
(3)
또는 
(4)
그리고 알려지지 않은 것에서 
형태 
형태를 취하게 됩니다. 다음으로 우리는 가정합니다
또는 
그리고 알려지지 않은 것에서 
형태 
정식 형식을 취하게 됩니다.
평등 (3)을 해결합시다. 
:
또는 
선형 변환의 순차적 실행 
그리고 
, 어디
,
매트릭스를 가지고 있다
미지의 선형 변환
이차 형태를 제공합니다
정식 형식으로(4). 변수 
새로운 변수와 연관됨 
처지
워크숍 2_1에서 LU 분해에 대해 알아봤습니다.
워크숍 2_1에서 했던 말을 기억해보자
진술(L.5, 176페이지 참조)
이 스크립트는 Lagrange 방법에서 LU의 역할을 이해하도록 설계되었습니다. F9 버튼을 사용하여 EDITOR 메모장에서 작업해야 합니다.
그리고 아래에 첨부된 작업에서는 (이 작업의 틀 내에서) 선형 대수 문제를 계산하고 이해하는 데 도움이 되는 자신만의 M 함수를 만드는 것이 좋습니다.
Ax=X."*A*X % 우리는 이차 형식을 얻습니다.
Ax=simple(Ax) % 단순화
4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2
% 행렬 A의 행을 재배열하지 않고 LU 분해를 찾습니다.
% 행렬을 사다리꼴 형태로 변환하는 경우
%행 순열 없이 M1과 U3의 행렬을 얻습니다.
% U는 A U3=M1*A에서 구합니다.
이 기본 변환 행렬의 %
0.5000 1.0000 0
0.5000 0 1.0000
%U3=M1*A를 얻습니다. 여기서
4.0000 -2.0000 2.0000
% M1에서 부호를 변경하여 L1을 쉽게 얻을 수 있습니다.
첫 번째 행을 제외한 모든 행의 첫 번째 열에 %가 있습니다.
0.5000 1.0000 0
0.5000 0 1.0000
% L1은 다음과 같습니다.
A_=L1*U % 이것이 우리에게 필요한 LU 분해입니다.
% 주대각선 U의 요소 -
%는 제곱의 계수입니다. y i ^2
2차 형식으로 변환된 %
% 우리의 경우 계수는 하나뿐입니다.
%는 새 좌표에 4y 1 2 제곱만 있음을 의미합니다.
나머지 0y 2 2 및 0y 3 2 계수에 대한 %는 0과 같습니다.
행렬 L1의 % 열은 Y를 X로 분해한 것입니다.
첫 번째 열의 %는 y1=x1-0.5x2+0.5x3입니다.
% 두 번째로 y2=x2; 세 번째 y3=x3에 따르면.
L1이 전치된 경우 %,
% 즉 T=L1입니다."
% T - (X)에서 (Y)로의 전이 행렬: Y=TX
0.5000 1.0000 0
1.0000 -0.5000 0.5000
% A2 – 변환된 2차 형태의 행렬
% 참고 U=A2*L1." 및 A=L1* A2*L1."
4.0000 -2.0000 2.0000
|
1.0000 -0.5000 0.5000 |
% 그래서 우리는 분해 A_=L1* A2*L1." 또는 A_=T."* A2*T를 얻었습니다.
변수의 변화를 나타내는 %
% y1=x1-0.5x2+0.5x3
% 및 새 좌표의 2차 형태 표현
A_=T."*A2*T % T=L1." (X)에서 (Y)로의 전이 행렬: Y=TX
isequal(A,A_) %는 원본 A와 일치해야 합니다.
4.0000 -2.0000 2.0000
2.0000 1.0000 -1.5000
2.0000 -1.5000 1.0000
Q1=inv(T) % (Y)에서 (X)로의 전이 행렬을 찾습니다.
% 변환을 구해보자.
% 2차 Ax=X."*A*X
%를 새로운 유형 Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y."로 변경했습니다. (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (유)*Y
예 =4*y1^2 - y2*y3
x1 - x2/2 + x3/2
% 두 번째 변환 행렬,
%는 작성하기가 훨씬 간단합니다.
4*z1^2 - z2^2 + z3^2
% R=Q1*Q2, X=R*Z
R=Q1*Q2 % 비축퇴 선형 변환
% 연산자 행렬을 표준 형식으로 가져옵니다.
det(R) % 행렬식은 0이 아닙니다. 변환은 비축퇴적입니다.
4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok
4*z1^2 - z2^2 + z3^2
쿼드를 줄이기 위한 알고리즘을 공식화해 보겠습니다. 비평적 형태 직교 변환을 통해 표준 형식으로:
이차 형태의 축소
이차 형식을 표준 형식으로 줄이는 가장 간단하고 실제로 자주 사용되는 방법을 고려해 보겠습니다. 라그랑주 방법. 이는 이차 형태의 완전한 정사각형을 분리하는 것을 기반으로 합니다.
정리 10.1(라그랑주의 정리) 모든 이차 형식(10.1):
비특수 선형 변환(10.4)을 사용하면 정규 형식(10.6)으로 축소될 수 있습니다.
□ 완전제곱수를 식별하는 라그랑주 방법을 사용하여 건설적인 방법으로 정리를 증명하겠습니다. 작업은 선형 변환(10.4)이 정규 형식의 2차 형식(10.6)을 생성하도록 비특이 행렬을 찾는 것입니다. 이 행렬은 특수 유형의 유한한 수의 행렬의 곱으로 점진적으로 얻어집니다.
포인트 1 (준비).
1.1. 2차 형태의 제곱과 동시에 1제곱에 포함된 변수 중 하나를 선택해 보겠습니다. 선행변수). 2번 항목으로 넘어가겠습니다.
1.2. 2차 형식(모두 : )에 선행 변수가 없으면 계수가 0이 아닌 형식에 곱이 포함된 변수 쌍을 선택하고 3단계로 이동합니다.
1.3. 이차 형식에 반대 변수의 곱이 없으면 이 이차 형식은 이미 표준 형식(10.6)으로 표시됩니다. 정리의 증명이 완료되었습니다.
포인트 2(완전한 정사각형 선택)
2.1. 선행 변수를 사용하여 완전한 정사각형을 선택합니다. 일반성을 잃지 않고 선행 변수가 이라고 가정합니다. 을 포함하는 용어를 그룹화하면 다음을 얻습니다.
의 변수에 대해 완전한 정사각형을 분리하면 다음을 얻습니다.
따라서 완전한 제곱을 변수로 분리한 결과 제곱의 합을 얻습니다. 선형 모양
여기에는 선행 변수가 포함되며 선행 변수에 더 이상 포함되지 않는 변수의 2차 형태가 포함됩니다. 변수를 변경해 봅시다(새 변수 도입)
우리는 행렬을 얻습니다
() 비단수 선형 변환, 그 결과 이차 형식(10.1)은 다음 형식을 취합니다.
우리는 포인트 1에서와 같이 이차 형태에 대해서도 동일한 작업을 수행할 것입니다.
2.1. 선행 변수가 변수인 경우 두 가지 방법으로 이를 수행할 수 있습니다. 이 변수에 대해 완전한 정사각형을 선택하거나 이름 바꾸기 (번호 다시 매기기) 변수:
비특이 변환 행렬을 사용하면 다음과 같습니다.
포인트 3(선행변수 생성)선택한 변수 쌍을 두 개의 새 변수의 합과 차이로 바꾸고 나머지 기존 변수를 해당 새 변수로 바꿉니다. 예를 들어 단락 1에서 해당 용어가 강조된 경우
그러면 해당 변수 변경은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
그리고 이차 형태(10.1)에서 주요 변수가 얻어질 것입니다.
예를 들어, 변수 대체의 경우:
이 비특이 선형 변환의 행렬은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
위 알고리즘(점 1, 2, 3의 순차적 적용)의 결과로 이차 형식(10.1)은 표준 형식(10.6)으로 축소됩니다.
2차 형식에서 수행된 변환(완전한 정사각형 선택, 이름 바꾸기 및 선행 변수 생성)의 결과로 우리는 세 가지 유형의 기본 비특이 행렬(기저에서 기저로의 전환 행렬)을 사용했습니다. 형식(10.1)이 표준 형식(10.6)을 갖는 비특이 선형 변환(10.4)의 필수 행렬은 세 가지 유형의 기본 비특이 행렬의 유한 개수를 곱하여 얻습니다. ■
예제 10.2.이차 형태 제공
라그랑주 방법을 통해 정규형으로 변환합니다. 해당하는 비특이 선형 변환을 나타냅니다. 점검을 수행하십시오.
해결책.선행변수(계수)를 선택해 보겠습니다. 을 포함하는 항을 그룹화하고 그것으로부터 완전한 정사각형을 선택하면 다음을 얻습니다.
표시된 곳에
변수를 변경해 봅시다(새 변수 도입)
새로운 변수의 관점에서 이전 변수를 표현하면 다음과 같습니다.
우리는 행렬을 얻습니다
비특이 선형 변환(10.4)의 행렬을 계산해 보겠습니다. 평등을 고려하면
우리는 행렬이 다음과 같은 형태를 가지고 있음을 발견했습니다.
수행된 계산을 확인해 보겠습니다. 원래 이차 형식과 표준 형식의 행렬은 다음 형식을 갖습니다.
평등의 타당성을 검증해 보겠습니다(10.5).
