하자 엘- 공간의 일부 라인. 평면도에서와 같이 모든 벡터
ㅏ =/= 0, 동일선상에 있는 직선 엘, 라고 한다 안내 벡터이 직선.
공간에서 직선의 위치는 방향 벡터와 직선에 속하는 점을 지정하여 완전히 결정됩니다.
라인하자 엘가이드 벡터와 함께 ㅏ 는 점 M 0 을 통과하고 M은 공간의 임의의 점입니다. 분명히, 점 M(그림 197)은 선에 속합니다. 엘벡터 \(\overrightarrow(M_0 M)\)이 벡터와 동일선상에 있는 경우에만 ㅏ , 즉.
\(\overrightarrow(M_0 M)\) = 티 ㅏ , 티\(\에\) 아르 자형. (1)
점 M과 M 0이 반지름 벡터로 주어지면 아르 자형 그리고 아르 자형 0(그림 198) 공간의 어떤 점 O에 대해, 그러면 \(\overrightarrow(M_0 M)\) = 아르 자형 - 아르 자형 0 및 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.
아르 자형 = 아르 자형 0 + 티 ㅏ , 티\(\에\) 아르 자형. (2)
방정식 (1) 및 (2)는 직선의 벡터 매개변수 방정식. 변하기 쉬운 티벡터 매개변수 방정식에서 직선을 매개변수.
점 M 0 을 직선이라고 하자 엘방향 벡터는 좌표로 제공됩니다.
남 0 ( 엑스 0 ; ~에 0 , z 0), ㅏ = (ㅏ 1 ; ㅏ 2 ; ㅏ 3).
그렇다면 ( 엑스; 와이; 지) - 선의 임의의 점 M의 좌표 엘, 그 다음에
\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( 엑스 - 엑스 0 ; 유 - 유 0 ; z - z 0)
벡터 방정식 (1)은 다음 세 방정식과 같습니다.
엑스 - 엑스 0 = 고마워 1 , 유 - 유 0 = 고마워 2 , z - z 0 = 고마워 3
$$ \begin(케이스) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(케이스) (3)$$
방정식 (3)은 직선의 매개변수 방정식 공간에서.
작업 1.한 점을 지나는 직선의 매개변수 방정식 쓰기
M 0 (-3; 2; 4) 및 방향 벡터를 가짐 ㅏ = (2; -5; 3).
이 경우 엑스 0 = -3, ~에 0 = 2, 지 0 = 4; ㅏ 1 = 2; ㅏ 2 = -5; ㅏ 3 = 3. 이 값을 공식 (3)에 대입하면 이 직선의 매개변수 방정식을 얻습니다.
$$ \begin(케이스) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end(케이스) $$
매개변수 제외 티방정식 (3)에서. 이것은 할 수 있기 때문에 ㅏ =/= 0, 따라서 벡터의 좌표 중 하나 ㅏ 분명히 제로와 다릅니다.
먼저 모든 좌표를 0이 아닌 다른 좌표로 설정합니다. 그 다음에
$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$
따라서
$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$
이러한 방정식을 선의 정준 방정식 .
방정식 (4)는 3개의 변수가 있는 2개의 방정식 시스템을 형성합니다. x, y그리고 지.
방정식 (3)에서 벡터의 좌표 중 하나가 ㅏ , 예를 들어 ㅏ 1은 매개변수를 제외하고 0과 같습니다. 티, 우리는 다시 세 개의 변수가 있는 두 개의 방정식 시스템을 얻습니다. x, y그리고 지:
\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
이러한 방정식을 선의 정준 방정식이라고도 합니다. 균일성을 위해 조건부로 (4) 형식으로 작성됩니다.
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
분모가 0과 같으면 해당 분자가 0과 같다고 생각합니다. 이 방정식은 점 M 0 ( 엑스 0 ; ~에 0 , z 0) 병렬로 좌표 평면 요즈, 이 평면은 방향 벡터(0; ㅏ 2 ; ㅏ 3).
마지막으로 방정식 (3)에서 벡터의 두 좌표 ㅏ , 예를 들어 ㅏ 1 및 ㅏ 2가 0이면 이 방정식은 다음 형식을 취합니다.
엑스 = 엑스 0 , 와이 = ~에 0 , z = z 0 + 티 ㅏ 3 , 티\(\에\) 아르 자형.
다음은 점 M 0 ( 엑스 0 ; ~에 0 ; 지 0) 축에 평행 온스. 그러한 직접적인 엑스 = 엑스 0 , 와이 = ~에 0 , 에이 지- 임의의 숫자. 그리고 이 경우 균일성을 위해 직선의 방정식을 (4) 형식으로 작성할 수 있습니다(동일한 예약으로).
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
따라서 공간의 모든 라인에 대해 정규 방정식 (4)를 작성할 수 있으며 반대로 계수 중 하나 이상이 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3은 0이 아니며 공간의 일부 라인을 정의합니다.
작업 2.벡터에 평행한 점 M 0 (- 1; 1, 7)을 지나는 직선의 정준 방정식을 쓰십시오. ㅏ = (1; 2; 3).
이 경우 식 (4)는 다음과 같이 작성됩니다.
\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)
주어진 두 점 M 1 ( 엑스 1 ; ~에 1 ; 지 1) 그리고
M2( 엑스 2 ; ~에 2 ; 지 2). 이 직선의 방향 벡터를 벡터로 취할 수 있음은 분명합니다. ㅏ = (엑스 2 - 엑스 1 ; ~에 2 - ~에 1 ; 지 2 - 지 1) 그러나 선이 통과하는 점 M 0 너머, 예를 들어 점 M 1. 그러면 식 (4)는 다음과 같이 작성됩니다.
\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)
이것은 두 점 M 1 ( 엑스 1 ; ~에 1 ; 지 1) 그리고
M2( 엑스 2 ; ~에 2 ;지 2).
작업 3.점 M 1 (-4; 1; -3)과 M 2 (-5; 0; 3)를 지나는 직선의 방정식을 쓰십시오.
이 경우 엑스 1 = -4, ~에 1 = 1, 지 1 = -3, 엑스 2 = -5, ~에 2 = 0, 지 2 = 3. 이 값을 공식 (5)에 대입하면 다음을 얻습니다.
\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)
작업 4.점 M 1 (3, -2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 작성하고
M 2 (5; -2; 1/2).
점 M 1 및 M 2의 좌표를 방정식 (5)에 대입하면 다음을 얻습니다.
\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)
미지의 양에 추가하여 특정 지역에서 다른 값을 가질 수 있는 또 다른 추가 양을 포함하는 방정식을 파라메트릭. 방정식의 이 추가 수량을 매개변수. 사실, 각 매개변수 방정식으로 많은 방정식을 작성할 수 있습니다. 우리는 매개변수 방정식의 계수와 간단한 매개변수 방정식의 해를 고려할 것입니다.
작업 1$x$에 대한 방정식 풀기
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
다) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x = x + b$
F) $ax = 3a$
결정:
A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, 즉 이 방정식의 해를 찾았습니다.
다양한 매개변수 값의 경우 솔루션은 $x = 7 – a$입니다.
B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$
C) $x + a = 2a – x \Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$
D) $ax = 5$, 0과 다를 때 두 부분을 모두 나눌 수 있으며 $x = 5$를 얻습니다.
$a = 0$이면 해가 없는 $0.x = 5$와 같은 방정식을 얻습니다.
E) $a – x = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$
F) a = 0일 때 방정식 ax = 3a는 0.x = 0입니다.
따라서 모든 x는 솔루션입니다. 0과 다른 경우
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$
작업 2가 매개변수인 경우 방정식을 풉니다.
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = 도끼 + 4$
다) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$
결정:
A) $a + 1$가 0과 다른 경우, 즉 $a \neq -1$,
$x = \frac(2a+3)(a+1)$;
$a + 1 = 0$인 경우, 즉 $a = - 1$
방정식은 $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$가 됩니다.
$0\cdot x = 1$, 솔루션이 없습니다.
B) $2a + x = 도끼 + 4 \왼쪽 화살표$
$x – 도끼 = 4 - 2a \왼쪽 화살표$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
$(1 – a) \neq 0$이면 $\neq 1$입니다. 결정은
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
$a = 1$인 경우 방정식은 $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$가 됩니다.
$0\cdot x = 2$, 솔루션이 없음
C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a \왼쪽 화살표$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
$a - 1 \neq 0$ 및 $a + 1 \neq 0$ 즉 $a \neq 1, -1$인 경우
솔루션은 $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
$a = 1$ 또는 $a = -1$이면 방정식은 $0\cdot x = \pm 1$가 되며 해가 없습니다.
D) $a^2x + x = a \Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
이 경우 $a^2 + 1 \neq 0$는 모든 $a$에 대해 양수(1)와 음수 하나의 합이기 때문입니다.
$(a^2 \geq 0)$ 그래서 $x = \frac(a)(a^2 + 1)$
작업 3와 b가 매개변수인 경우 방정식을 풉니다.
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
다) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$
결정:
A) $ax + b = 0 \왼쪽 화살표 도끼 = -b$
$a \neq 0$이면 솔루션은 $x = -\frac(b)(a)$입니다.
$a = 0, b \neq 0$이면 방정식은 $0\cdot x = -b$가 되고 해가 없습니다.
$a = 0$이고 $b = 0$이면 방정식은 $0\cdot x = 0$가 되고 모든 $x$는 해가 됩니다.
B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
$a - 1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq 1$, 솔루션은 $x = -\frac(2b)(a-1)$입니다.
$a - 1 = 0$, 즉 $a = 1$이고 $b \neq 0$이면 방정식은 $0\cdot x = - 2b$가 되고 해가 없습니다.
C) $b - 1 \neq 0$이면 $b \neq 1$,
솔루션은 $y = \frac(1-a)(b-1)$입니다.
$b - 1 = 0$, 즉 $b = 1$이지만 $1이 \neq 0$이면,
즉, $a \neq 1$, 방정식은 $0\cdot y = 1 – a$가 되고 해가 없습니다.
$b = 1$이고 $a = 1$이면 방정식은 $0\cdot y = 0$가 되고 모든 $y$는 해입니다.
D) $b^2 + 1 \neq 0$ 모든 $b$에 대해 (왜?), 그래서
$y = \frac(a+2)(b^2)$는 방정식의 해입니다.
문제 $4$$x$의 어떤 값에 대해 다음 표현식이 동일한 의미를 갖습니까?
A) $5x + a$ 및 $3ax + 4$
B) $2x - 2$ 및 $4x + 5a$
결정:
동일한 값을 얻으려면 방정식에 대한 해를 찾아야 합니다.
$5x + a = 3ax + 4$ 및 $2x – 2 = 4x + 5a$
A) $5x + a = 3ax + 4 \왼쪽 화살표$
$5x - 3ax = 4 - a \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 - a$
$5 - 3a \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq \frac(5)(3)$, 솔루션은 $x = \frac(4-a)(5-3a)$
$5 - 3a = 0$인 경우, 즉 $a = \frac(5)(3)$, 방정식은 $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$가 됩니다.
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, 솔루션이 없음
B) $2x - 2 = 4x + 5a \왼쪽 화살표$
$-2 - 5a = 4x - 2x \왼쪽 화살표$
$2x = - 2 - 5a \왼쪽 화살표$
$x = -\frac(2+5a)(2)$
작업 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
다) $|ax + 2a| = 3$
결정:
A) $|ax + 2| = 4 \왼쪽 화살표 도끼 + 2 = 4$ 또는 $ax + 2 = -4 \왼쪽 화살표 $
$ax = 2$ 또는 $ax = - 6$
$a \neq 0$이면 방정식은 $x = \frac(2)(a)$ 또는 $x = -\frac(6)(a)$가 됩니다.
$a = 0$이면 방정식에 해가 없습니다.
B) $a인 경우 $a > 0$인 경우 $2x + 1 = 3a$와 같습니다.
또는 $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ 또는
$2x = -3a - 1 \왼쪽 화살표 x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$
다) $|ax + 2a| = 3 \왼쪽 화살표 도끼 + 2a = 3$ 또는 $ax + 2a = - 3$,
$ax = 3 - 2a$ 또는 $ax = -3 - 2a$를 찾습니다.
a = 0이면 $a \neq 0$이면 솔루션이 없습니다.
솔루션은 다음과 같습니다. $x = \frac(3-2a)(a)$ 및 $x = -\frac(3+2a)(a)$
작업 6$2 - x = 2b - 2ax$ 방정식을 풉니다. 여기서 a와 b는 실수 매개변수입니다. 방정식의 어떤 값이 솔루션으로 있는지 찾기 자연수, $b = 7$인 경우
결정:
이 방정식을 다음 형식으로 나타냅니다. $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
다음 옵션이 가능합니다.
$2a - 1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq \frac(1)(2)$, 방정식에는 고유한 솔루션이 있습니다.
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
$a = \frac(1)(2)$이고 $b = 1$이면 방정식은 $0\cdot x = 0$가 되고 모든 $x$는 해입니다.
$a = \frac(1)(2)$이고 $b \neq 1$이면 $0\cdot x = 2(b - 1)$가 됩니다. 여기서 $2(b - 1) \neq 0$
이 경우 방정식에는 해가 없습니다.
$b = 7$이고 $a \neq \frac(1)(2)$가 유일한 솔루션인 경우
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
a가 정수이면 $2a - 1$도 정수이고 해는 다음과 같습니다.
$x = \frac(12)(2a-1)$는 다음과 같은 경우 자연수입니다.
$2a - 1$는 $12$의 양수 제수입니다.
정수가 되려면 $12$의 제수가 홀수여야 합니다. 그러나 $1$와 $3$만 12로 나누어 떨어지는 양의 홀수입니다.
따라서 $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ 또는 $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ 또는 $2a - 1 = 1 \왼쪽 화살표 a = 1$
작업 7$|ax - 2 – a| 방정식 풀기 = 4$, 여기서 a는 매개변수입니다. 방정식의 근의 값이 음의 정수인지 찾으십시오.
결정:
모듈 정의에서 우리는
$|도끼 - 2 – x| = 4 \왼쪽 화살표 도끼 - 2 - x = 4$ 또는 $ax - 2 - x = - 4$
첫 번째 평등에서 우리는 $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$를 얻습니다.
$(a - 1)x = 4 + 2 \왼쪽 화살표 (a - 1)x = 6$
두 번째 평등에서 우리는 $(a - 1)x = -2$를 얻습니다.
$a - 1 = 0$인 경우, 즉 $a = 1$, 마지막 방정식에는 해가 없습니다.
$a \neq 1$인 경우 $x = \frac(6)(a-1)$ 또는 $x = -\frac(2)(a-1)$
이러한 근이 정수 음수가 되려면 다음이 유지되어야 합니다.
첫 번째 경우 $a - 1$은 6의 음수 제수여야 하고 두 번째 경우에는 양수 제수 2여야 합니다.
그러면 $a - 1 = -1; -2; -삼; - 6$ 또는 $a - 1 = 1; 2$
$a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0을 얻습니다. a - 1 = -2 \왼쪽 화살표$
$a = -1; a - 1 = -3 \왼쪽 화살표 a = -2; a - 1 = -6 \왼쪽 화살표 a = -5$
또는 $a - 1 = 1 \왼쪽 화살표 a = 2; a - 1 = 2 \왼쪽 화살표 a = 3$
그러면 $a = -5; -2; -하나; 0; 2; 3$는 문제에 대한 솔루션입니다.
작업 8방정식을 풉니다.
A) $3ax - a = 1 - x$, 여기서 a는 매개변수입니다.
B) $2ax + b = 2 + x$ 여기서 a와 b는 매개변수입니다.
결정:
A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
$3a + 1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq -11 /3 /3$ , 해결책이 있습니다
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
$a = -\frac(1)(3)$이면 방정식은 $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$가 되며 이는 해가 없습니다.
B) $2ax – x = 2 – b \왼쪽 화살표 (2a - 1)x = 2 – b$
$2a - 1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ 가 해입니다.
$a = \frac(1)(2)$인 경우 방정식은 $0.x = 2 – b$가 됩니다.
$b = 2$이면 모든 x는 해이고 $b \neq 2$이면 방정식에는 해가 없습니다.
작업 9$6(kx - 6) + 24 = 5kx$ 방정식이 주어지면 여기서 k는 정수입니다. k 방정식의 어떤 값을 찾으십시오.
A) $-\frac(4)(3)$ 루트가 있습니다.
B) 해결책이 없습니다.
다) 자연수로서 근을 갖는다.
결정:
방정식을 $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$로 다시 작성하십시오.
A) $x = -\frac(4)(3)$인 경우 k에 대해 $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$ 방정식을 얻습니다.
B) 방정식 $kx = 12$는 $k = 0$일 때 해가 없습니다.
다) $k \neq 0$이 근 $x = \frac(12)(k)$이고 자연수일 때 k가 12로 나누어 떨어지는 양의 정수인 경우 즉, $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$
작업 10방정식을 풉니다.
A) $2ax + 1 = x + a$, 여기서 a는 매개변수입니다.
B) $2ax + 1 = x + b$, 여기서 a와 b는 매개변수입니다.
결정:
A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
$2a - 1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq \frac(1)(2)$, 방정식의 유일한 해는 다음과 같습니다.
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
$2a - 1 = 0$인 경우, 즉 $a = \frac(1)(2)$, 방정식은
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, 솔루션이 없음
B) $2ax + 1 = x + b \왼쪽 화살표$
$2ax – x = b – 1 \왼쪽 화살표$
$(2a - 1)x = b - 1$
$2a - 1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq \frac(1)(2)$, 솔루션은
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
$a = \frac(1)(2)$이면 방정식은 $0.x = b - 1$와 같습니다.
b = 1이면 임의의 x가 해이고 $b \neq 1$이면 해가 없습니다.
작업 11$3(ax - 4) + 4 = 2ax$ 방정식이 제공되며 여기서 매개변수는 정수입니다. 방정식의 어떤 값이 근으로 있는지 찾으십시오.
A) $\left(-\frac(2)(3)\right)$
나) 정수
다) 자연수
결정:
A) $x = -\frac(2)(3)$가 방정식의 해이면 참이어야 합니다.
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \왼쪽 화살표$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \왼쪽 화살표 a = -12$
B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
$a \neq 0$ 해가 $x = \frac(8)(a)$이면 a가 $8$의 배수이면 정수입니다.
그래서; $±2; ±4; ±8$
$a=0$이면 방정식에 해가 없습니다.
C) 이 해에 대한 자연수(양의 정수)를 얻으려면 $x=\frac(8)(a)$ 숫자는 다음과 같아야 합니다. $a=1, 2, 4, 8$
작업 12$2 – x = 2b – 2ax$ 방정식이 제공되며 여기서 $a$ 및 $b$는 매개변수입니다. $b = 7$인 경우 자연수 형태의 해를 갖는 방정식의 값 찾기
결정:
우리는 $b = 7$를 방정식에 대입하고 $2 – x = 2.7 – 2ax \Leftrightarrow$를 얻습니다.
$2ax – x = 14 – 2 \왼쪽 화살표(2a - 1)x = 12$
$2a -1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq \frac(1)(2)$, 방정식은
$x = \frac(12)(2a-1)$이고 분모 $2a - 1$가 양의 배수인 $12$이고 정수인 것 외에도 $2a - 1$는 홀수였습니다.
따라서 $2a - 1$는 $1$ 또는 $3$일 수 있습니다.
$2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ 및 $2a - 1 = 3$에서
$\왼쪽 화살표 2a = 4 \왼쪽 화살표 a = 2$
작업 13주어진 함수 $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, 여기서 a는 매개변수입니다. 함수 그래프의 값을 찾으십시오.
A) x축과 교차합니다.
B) x축과 교차
결정:
함수 그래프가 x축을 가로지르려면 다음이 필요합니다.
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ 에는 해가 있고 x축을 교차하지 않는 해는 없습니다.
방정식에서 우리는 $(3a - 1)x = 2a - 1$를 얻습니다.
$3a - 1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq \frac(1)(3)$, 방정식에는 해가 있습니다.
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$이므로 함수의 그래프는 x축과 교차합니다.
$a = \frac(1)(3)$이면 $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$를 얻습니다. 솔루션이 있습니다.
따라서 $a = \frac(1)(3)$이면 함수 그래프는 x축을 교차하지 않습니다.
작업 14매개변수 방정식을 풉니다.
A) $|x -2| = 에이$
나) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - $2
결정:
A) $a 0$인 경우:
$|x - 2| = a \왼쪽 화살표 x - 2 = a$ 또는 $x - 2 = -a$
$x - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, 그리고
$x - 2 = -a \오른쪽 화살표 x = 2 – a$
$a = 0$이면 $x - 2 = 0$ 또는 $x = 2$
B) $|ax - 1| = 3 \왼쪽 화살표 도끼 - 1 = 3$ 또는 $ax - 1 = -3$
$ax = 4$ 또는 $ax = - 2$
$a \neq 0$인 경우 솔루션은 다음과 같습니다. $x = \frac(4)(a)$ 또는 $x = -\frac(2)(a)$
$a = 0$이면 여기에 솔루션이 없습니다.
C) $a - 2인 경우 $a - 2 > 0$인 경우, 즉 $a > 2$
$|도끼 - 1| = a - 2 \왼쪽 화살표 도끼 - 1 = a - 2$ 또는 $ax - 1 = 2 - a$
따라서 우리는 $ax = a - 1$ 또는 $ax = 3 - a$를 얻습니다.
$a > 2이므로 \neq 0$이므로
$x = \frac(a-1)(a)$ 또는 $x = \frac(3-a)(a)$.
$a = 2$인 경우 방정식은 동일합니다.
$2x - 1 = 0 \왼쪽 화살표 2x = 1 \왼쪽 화살표 x = \frac(1)(2)$
작업 15매개 변수 m (a)의 값을 찾으면 두 방정식이 동일합니다.
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ 및 $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 - m$ 및 $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ 및 $ax + 2a = 1 + x$인 경우 $x > 3$
결정:
A) 두 번째 방정식을 풀자. 다음과 같은 형식으로 작성해 봅시다.
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \왼쪽 화살표$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \왼쪽 화살표$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \왼쪽 화살표$
$2x = 0 \왼쪽 화살표 x = 0$
첫 번째로 얻을 수 있는
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \왼쪽 화살표 x + m = 2 - 2m \왼쪽 화살표 x = 2 - 3m$
이 두 방정식은 루트가 같으면 동일합니다.
$2 - 3m = 0 \왼쪽 화살표$ $m = \frac(2)(3)$
B) 첫 번째 방정식의 경우 솔루션은 $x = 2 - 3m$이고 두 번째 방정식의 경우 다음을 얻습니다.
$x – m = 3 - 6m \왼쪽 화살표$ $x = 3 – 5m$
그들은 같은 뿌리를 가지고 있습니다.
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$
C) $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 - x) = x - $3
첫 번째 방정식은 다음과 같습니다. $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ 또는 $x = 4$
$x > 3$인 조건에서 $x = 4$만 솔루션입니다. 두 번째 방정식에 대해 다음을 얻습니다.
$ax – x = 1 - 2a \왼쪽 화살표 (a - 1)x = 1 - 2a$
$a - 1 = 0$인 경우 솔루션이 없습니다(왜?), $a - 1 \neq 0$인 경우, 즉 $a \neq 1$, 해결책이 있습니다
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \ 왼쪽 오른쪽 화살표 4a + 2a = 1 + 4 \왼쪽 화살표 6a = 5 \왼쪽 화살표 a = \frac(5)(6)$
이 기사에서는 평면에서 직선의 매개 변수 방정식을 고려할 것입니다. 이 직선의 두 점을 알고 있거나 이 직선의 한 점과 방향 벡터를 알고 있는 경우 직선의 매개변수 방정식을 구성하는 예를 들어 보겠습니다. 매개변수 형식의 방정식을 정준 및 일반 형식으로 변환하는 방법을 제시합니다.
직선의 모수 방정식 엘평면에서 다음 공식으로 표시됩니다.
| (1) |
어디 엑스 1 , 와이어떤 점의 1 좌표 중 1 직선으로 엘. 벡터 큐={중, 피)는 선의 방향 벡터입니다. 엘, 티일부 매개변수입니다.
직선의 방정식을 매개변수 형식으로 작성할 때 직선의 방향 벡터는 0 벡터, 즉 방향 벡터의 하나 이상의 좌표가 아니어야 합니다. 큐 0과 달라야 합니다.
파라메트릭 방정식 (1)로 주어진 직교 직교 좌표계에서 평면에 직선을 구성하려면 매개변수를 설정하면 충분합니다. 티둘 다른 의미, 계산하다 엑스그리고 와이그리고 이 점들을 지나는 직선을 그립니다. ~에 티=0 포인트가 있습니다 중 1 (엑스 1 , 와이 1) 에 티=1, 우리는 포인트를 얻습니다 중 2 (엑스 1 +중, 와이 1 +피).
평면에 있는 직선의 매개변수 방정식을 작성하려면 엘라인에 포인트가 있으면 충분합니다. 엘그리고 선의 방향 벡터, 또는 선에 속하는 두 점 엘. 첫 번째 경우 직선의 매개변수 방정식을 구성하려면 점의 좌표와 방향 벡터를 수학식 1에 삽입해야 합니다. 두 번째 경우에는 먼저 선의 방향 벡터를 찾아야 합니다. 큐={중, 피), 해당 점 좌표의 차이 계산 중 1 및 중 2: 중=엑스 2 −엑스 1 , 피=와이 2 −와이 1(그림 1). 또한 첫 번째 경우와 유사하게 점 중 하나의 좌표(어느 것이든 상관 없음)와 방향 벡터를 대입합니다. 큐(1)의 직선.
예 1. 한 점을 지나는 선 중=(3,−1)이고 방향 벡터가 있습니다. 큐=(−3, 5). 직선의 매개변수 방정식을 구성합니다.
결정. 직선의 매개변수 방정식을 구성하려면 점의 좌표와 방향 벡터를 방정식 (1)에 대입합니다.
결과 방정식을 단순화합시다.
식 (3)에서 우리는 평면에 있는 직선의 정준 방정식을 쓸 수 있습니다.
이 직선의 방정식을 표준 형식으로 가져옵니다.
솔루션: 매개변수 표현 티변수를 통해 엑스그리고 와이:
 | (5) |
식 (5)에서 우리는 쓸 수 있습니다.
"평면 위의 직선 방정식" 주제의 하위 항목 중 하나는 직교 좌표계에서 평면 위의 직선의 매개 변수 방정식을 컴파일하는 문제입니다. 아래 기사에서는 알려진 특정 데이터에 대해 이러한 방정식을 컴파일하는 원리에 대해 설명합니다. 매개변수 방정식에서 다른 형식의 방정식으로 전달하는 방법을 보여 드리겠습니다. 일반적인 문제의 솔루션을 분석해 보겠습니다.
특정 선은 해당 선에 속하는 점과 선의 방향 벡터를 지정하여 정의할 수 있습니다.
직교 좌표계 O x y 가 주어졌다고 가정합니다. 또한 직선 a가 주어지며 그 위에 놓인 점 M 1 (x 1, y 1)과 주어진 직선의 방향 벡터 a → = (x , y) . 우리는 방정식을 사용하여 주어진 라인에 대한 설명을 제공합니다.
임의의 점 M(x, y)을 사용하고 벡터를 얻습니다. 남 1 남 →; 시작점과 끝점의 좌표에서 좌표를 계산합니다. M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . 결과를 설명하겠습니다. 선은 점 집합 M(x, y)으로 지정되고 점 M 1(x 1, y 1)을 통과하고 방향 벡터를 갖습니다. a → = (x , y) . 지정된 집합은 벡터 M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) 및 a → = (a x , a y)가 동일선상에 있는 경우에만 직선을 정의합니다.
필요하고 충분한 조건벡터의 공선성, 이 경우 벡터 M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) 및 a → = (a x , a y)는 다음 방정식으로 작성할 수 있습니다.
M 1 M → = λ · a → 여기서 λ는 실수입니다.
정의 1
방정식 M 1 M → = λ · a → 선의 벡터 매개변수 방정식이라고 합니다.
좌표 형식에서는 다음과 같습니다.
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
결과 시스템 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ의 방정식을 직교 좌표계의 평면에 있는 직선의 매개변수 방정식이라고 합니다. 이름의 본질은 다음과 같습니다. 선의 모든 점의 좌표는 모든 실제 값을 반복할 때 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ 형식의 평면에서 매개변수 방정식으로 결정할 수 있습니다. 매개변수 λ의
위에 따르면 평면 x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ 위의 직선의 매개 변수 방정식은 점 M 1을 통과하는 직교 좌표계에서 주어진 직선을 결정합니다 (x 1, y 1) 및 가이드 벡터가 있습니다. a → = (x , y) . 따라서 직선의 특정 지점의 좌표와 방향 벡터의 좌표가 주어지면 주어진 직선의 매개 방정식을 즉시 쓸 수 있습니다.
실시예 1
직교 좌표계에서 평면에 직선의 매개 변수 방정식을 구성해야합니다. 그것에 속하는 점 M 1 (2, 3)과 방향 벡터가 주어집니다 a → = (3, 1) .
결정
초기 데이터를 기반으로 x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1을 얻습니다. 매개변수 방정식다음과 같이 보일 것입니다:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
명확하게 설명하겠습니다.
답: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
주의해야 할 사항: 벡터 a → = (a x , a y) 선 a의 방향 벡터 역할을 하고 점 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2)가 이 선에 속하면 다음 형식의 매개변수 방정식을 설정하여 결정할 수 있습니다. x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ 및 이 옵션: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .
예를 들어, 직선의 방향 벡터가 주어집니다. a → \u003d (2, - 1) 및 이 선에 속하는 M 1(1, - 2) 및 M 2(3, - 3) 점. 그런 다음 직선은 매개변수 방정식에 의해 결정됩니다. x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ 또는 x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .
다음 사실에도 주의를 기울여야 합니다. a → = (x , y) 는 직선의 방향 벡터이고 모든 벡터는 방향 벡터이기도 합니다. μ a → = (μ a x , μ a y) , 여기서 μ ϵ R , μ ≠ 0 .
따라서 직교 좌표계에서 평면의 직선 a는 매개변수 방정식으로 정의할 수 있습니다. x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ 0과 다른 μ 값에 대해.
라인 a가 매개변수 방정식 x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ 로 주어진다고 가정합니다. 그 다음에 a → = (2, - 5) - 이 선의 방향 벡터입니다. 그리고 또한 벡터 μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 은 주어진 직선에 대한 방향 벡터가 됩니다. 명확성을 위해 특정 벡터 - 2 · a → = (- 4 , 10) 을 고려하면 μ = - 2 값에 해당합니다. 이 경우, 주어진 직선은 매개변수 방정식 x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ 에 의해 결정될 수도 있습니다.
평면에 있는 직선의 매개변수 방정식에서 주어진 직선의 다른 방정식으로 또는 그 반대로 전환
일부 문제를 해결할 때 매개변수 방정식을 사용하는 것이 가장 최적의 옵션이 아니며 직선의 매개변수 방정식을 다른 유형의 직선 방정식으로 변환해야 합니다. 어떻게 하는지 봅시다.
직선 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ 의 매개변수 방정식은 x - x 1 a x = y - y 1 a y 평면에 있는 직선의 정준 방정식에 해당합니다.
우리는 매개변수 λ에 대해 각 매개변수 방정식을 풀고, 얻은 등식의 오른쪽 부분을 동일시하고, 주어진 직선의 정준 방정식을 얻습니다.
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
이 경우 x 또는 y가 0과 같아도 당황하지 않아야 합니다.
실시예 2
직선 x = 3 y = - 2 - 4 · λ의 매개변수 방정식에서 표준 방정식으로의 전환을 수행해야 합니다.
결정
주어진 매개변수 방정식을 다음 형식으로 씁니다. x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ
각 방정식에서 매개변수 λ를 표현합니다. x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
우리는 방정식 시스템의 오른쪽 부분을 동일시하고 평면에서 직선의 필요한 정준 방정식을 얻습니다.
x - 3 0 = y + 2 - 4
답변: x - 3 0 = y + 2 - 4
A x + B y + C = 0 형식의 직선 방정식을 작성해야 하는 경우 평면 위의 직선의 매개변수 방정식이 제공되는 동안 먼저 정준 방정식으로 전환한 다음 직선의 일반 방정식으로 전환합니다. 전체 작업 순서를 적어 보겠습니다.
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
실시예 3
적어야 한다 일반 방정식직선을 정의하는 매개변수 방정식이 주어지면 x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ
결정
먼저 표준 방정식으로 전환해 보겠습니다.
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
결과 비율은 평등과 동일합니다 - 3 · (x + 1) = 2 · y. 대괄호를 열고 직선의 일반 방정식을 구해 봅시다. - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .
답: 3x + 2y + 3 = 0
위의 동작 논리에 따라 기울기가 있는 직선의 방정식, 선분의 직선 방정식, 또는 정규 방정식직선, 직선의 일반 방정식을 얻고 그로부터 추가 전환을 수행해야합니다.
이제 반대 동작을 고려하십시오. 이 직선의 방정식의 다른 주어진 형식에 대해 직선의 매개변수 방정식을 작성합니다.
가장 쉬운 전환: 표준 방정식에서 매개변수 방정식으로. 형식의 정준 방정식이 주어집니다. x - x 1 a x = y - y 1 a y . 우리는 이 평등의 각 관계를 매개변수 λ와 동일하게 취합니다.
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
변수 x와 y에 대한 결과 방정식을 풀어보겠습니다.
x = x 1 + a x λ y = y 1 + y λ
실시예 4
평면상의 직선의 정준 방정식이 알려진 경우 직선의 매개 변수 방정식을 기록해야 합니다. x - 2 5 = y - 2 2
결정
알려진 방정식의 일부를 매개변수 λ와 동일시합시다. x - 2 5 = y - 2 2 = λ . 얻은 평등에서 우리는 직선의 매개 변수 방정식을 얻습니다. x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
답: x = 2 + 5λ y = 2 + 2λ
직선의 주어진 일반방정식, 기울기가 있는 직선의 방정식 또는 선분의 직선 방정식에서 매개변수 방정식으로 전환해야 할 때 원래 방정식을 다음으로 가져와야 합니다. 정식 방정식으로 전환한 다음 매개변수 방정식으로 전환합니다.
실시예 5
이 직선의 알려진 일반 방정식으로 직선의 매개변수 방정식을 기록해야 합니다. 4 x - 3 y - 3 = 0 .
결정
주어진 일반 방정식을 표준 형식의 방정식으로 변환합니다.
4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
우리는 평등의 두 부분을 매개 변수 λ와 동일시하고 직선의 필요한 매개 변수 방정식을 얻습니다.
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
답변: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
평면에 있는 직선의 매개변수 방정식의 예와 문제
직교 좌표계에서 평면상의 직선의 매개 변수 방정식을 사용하여 가장 일반적인 유형의 문제를 고려합시다.
- 첫 번째 유형의 문제에서는 매개변수 방정식으로 설명되는 직선에 속하는지 여부에 관계없이 점의 좌표가 제공됩니다.
이러한 문제의 솔루션은 다음 사실을 기반으로 합니다. 일부 실수 값 λ에 대한 매개변수 방정식 x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ에서 결정된 숫자 (x, y)는 a의 좌표입니다. 이러한 매개변수 방정식으로 설명되는 직선에 속하는 점.
실시예 6
λ = 3일 때 매개변수 방정식 x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ로 주어진 직선 위에 있는 점의 좌표를 결정할 필요가 있습니다.
결정
알려진 값 λ = 3을 주어진 매개변수 방정식에 대입하고 원하는 좌표를 계산합니다. x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
답변: 1 1 2 , 5
다음 문제도 가능합니다. 직교 좌표계의 평면에 어떤 점 M 0 (x 0, y 0)이 주어지고 이 점이 매개변수 방정식 x = x로 설명되는 선에 속하는지 여부를 결정할 필요가 있습니다. 1 + 에이 x λ y = y 1 + 에이 y λ .
이러한 문제를 해결하려면 주어진 점의 좌표를 알려진 직선의 매개변수 방정식으로 대입해야 합니다. 두 매개변수 방정식이 모두 참인 매개변수 λ = λ 0의 값이 가능하다고 결정되면 주어진 점은 주어진 직선에 속합니다.
실시예 7
포인트 M 0(4, - 2) 및 N 0(- 2, 1)이 제공됩니다. 매개변수 방정식 x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ 에 의해 정의된 직선에 속하는지 여부를 결정할 필요가 있습니다.
결정
주어진 매개변수 방정식에 점 M 0 (4, - 2)의 좌표를 대입합니다.
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
우리는 점 M 0이 주어진 선에 속한다고 결론지었습니다. 값 λ = 2에 해당합니다.
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
N 0 지점에 해당하는 매개변수 λ가 없음이 분명합니다. 즉, 주어진 선은 점 N 0 (- 2 , 1) 을 통과하지 않습니다.
답변:점 M 0은 주어진 선에 속합니다. 점 N 0 은 주어진 선에 속하지 않습니다.
- 두 번째 유형의 문제에서는 직교 좌표계에서 평면 위의 직선에 대한 매개변수 방정식을 구성해야 합니다. 그러한 문제의 가장 간단한 예(선과 방향 벡터의 좌표를 알고 있는 경우)가 위에서 고려되었습니다. 이제 먼저 방향 벡터의 좌표를 찾은 다음 매개변수 방정식을 작성해야 하는 예를 살펴보겠습니다.
점 M 1 1 2 , 2 3이 주어집니다. 이 점을 지나는 직선과 평행한 직선 x 2 \u003d y - 3 - 1의 매개변수 방정식을 작성해야 합니다.
결정
문제의 조건에 따라 우리가 앞서야 하는 방정식인 직선은 직선 x 2 \u003d y - 3 - 1과 평행합니다. 그런 다음 방향 벡터로 통과하는 직선 주어진 포인트, 직선 x 2 = y - 3 - 1 의 방향 벡터를 사용할 수 있습니다. a → = (2 , - 1) 형식으로 작성합니다. 이제 원하는 매개변수 방정식을 구성하는 데 필요한 모든 데이터가 알려져 있습니다.
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ
답변: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .
실시예 9
포인트 M 1(0, - 7)이 주어집니다. 직선 3 x – 2 y – 5 = 0 에 수직인 이 점을 지나는 직선의 매개변수 방정식을 작성할 필요가 있습니다.
결정
방정식을 구성해야 하는 직선의 방향 벡터로 직선 3 x - 2 y - 5 = 0 의 법선 벡터를 취하는 것이 가능합니다. 좌표는 (3 , - 2) 입니다. 직선의 필수 매개변수 방정식을 작성합니다.
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
답변: x = 3λ y = - 7 - 2λ
- 세 번째 유형의 문제에서는 주어진 직선의 매개변수 방정식에서 이를 결정하는 다른 유형의 방정식으로 전환해야 합니다. 우리는 위의 그러한 예의 해결책을 고려했으며 하나 더 줄 것입니다.
매개변수 방정식 x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ 로 정의되는 직교 좌표계의 평면 위의 직선이 주어집니다. 이 선의 법선 벡터의 좌표를 찾아야 합니다.
결정
법선 벡터의 원하는 좌표를 결정하기 위해 매개변수 방정식에서 일반 방정식으로 전환합니다.
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
변수 x와 y의 계수는 법선 벡터의 필요한 좌표를 제공합니다. 따라서 직선 x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ 의 법선 벡터는 좌표가 1 , 3 4 입니다.
답변: 1 , 3 4 .
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
이 단락을 반드시 읽으십시오!물론 매개변수 방정식은 공간 기하학의 알파와 오메가가 아니라 많은 문제에서 작동하는 개미입니다. 더욱이, 이러한 유형의 방정식은 종종 예기치 않게 적용되며, 우아하게 말할 수 있습니다.
선에 속하는 점과 이 선의 방향 벡터를 알고 있으면 이 선의 매개변수 방정식은 다음과 같이 계산됩니다.
나는 수업에서 매개변수 방정식의 개념에 대해 이야기했습니다. 평면 위의 직선 방정식그리고 매개변수로 정의된 함수의 도함수.
모든 것이 찐 순무보다 간단하므로 작업에 양념을 더해야 합니다.
실시예 7
결정: 선은 표준 방정식으로 주어지며 첫 번째 단계에서 선과 그 방향 벡터에 속하는 점을 찾아야 합니다.
a) 방정식에서 점과 방향 벡터를 제거합니다. 다른 점을 선택할 수 있지만(이를 수행하는 방법은 위에 설명되어 있음) 가장 분명한 점을 선택하는 것이 좋습니다. 그건 그렇고, 실수를 피하기 위해 항상 좌표를 방정식에 대입하십시오.
이 직선의 매개변수 방정식을 작성해 보겠습니다.
매개변수 방정식의 편리함은 도움으로 선의 다른 점을 찾는 것이 매우 쉽다는 것입니다. 예를 들어, 좌표가 매개변수의 값에 해당하는 점을 찾아보겠습니다.
따라서:
b) 정준 방정식을 고려하십시오. 여기서 포인트 선택은 간단하지만 교활합니다. (좌표를 혼동하지 않도록 주의하세요!!!). 가이드 벡터를 추출하는 방법은 무엇입니까? 이 선이 무엇에 평행한지 추측하거나 간단한 형식 트릭을 사용할 수 있습니다. 비율은 "Y"와 "Z"이므로 방향 벡터를 작성하고 나머지 공간에 0을 넣습니다.
우리는 직선의 매개변수 방정식을 구성합니다.
c) 방정식을 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 즉, "Z"는 무엇이든 될 수 있습니다. 그리고 있다면, 예를 들어 . 따라서 점은 이 선에 속합니다. 방향 벡터를 찾기 위해 다음 형식 기술을 사용합니다. 초기 방정식에는 "x"와 "y"가 있고 이 위치의 방향 벡터에는 다음과 같이 씁니다. 0: . 우리가 넣은 나머지 장소에 단위: . 1 대신 0을 제외한 모든 숫자가 수행됩니다.
우리는 직선의 매개 변수 방정식을 씁니다.
훈련:
실시예 8
다음 행에 대한 매개변수 방정식을 작성하십시오.
수업이 끝나면 솔루션과 답변이 제공됩니다. 귀하의 답변은 제 답변과 약간 다를 수 있습니다. 사실은 매개변수 방정식은 여러 가지 방법으로 작성할 수 있습니다.. 당신과 나의 방향 벡터가 동일선상에 있고 당신의 점이 내 방정식과 "맞는" 것이 중요합니다(그 반대의 경우도 마찬가지입니다).
우주에서 직선을 또 어떻게 정의할 수 있습니까? 나는 법선 벡터를 가지고 뭔가를 생각해내고 싶습니다. 그러나 숫자는 작동하지 않습니다. 스페이스 라인의 경우 법선 벡터는 완전히 다른 방향을 볼 수 있습니다.
다른 방법은 이미 강의에서 언급되었습니다. 평면 방정식그리고 이 기사의 시작 부분에서.
