1. 분수선형함수와 그 그래프
P(x)와 Q(x)가 다항식인 y = P(x) / Q(x) 형식의 함수를 분수 유리 함수라고 합니다.
당신은 아마도 이미 유리수의 개념에 익숙할 것입니다. 비슷하게 유리함수두 다항식의 몫으로 표현될 수 있는 함수입니다.
분수 유리 함수가 두 선형 함수의 몫인 경우 - 1차 다항식, 즉 형태의 기능
y = (ax + b) / (cx + d), 이를 분수 선형이라고 합니다.
함수 y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0(그렇지 않으면 함수는 선형 y = ax/d + b/d가 됨)이고 a/c ≠ b/d(그렇지 않으면 함수는 일정합니다). 분수 선형 함수는 모든 항목에 대해 정의됩니다. 실수, x = -d/c는 제외합니다. 분수 선형 함수 그래프는 여러분이 알고 있는 y = 1/x 그래프와 모양이 다르지 않습니다. 함수 y = 1/x의 그래프인 곡선이 호출됩니다. 과장법. x의 절대값이 무제한으로 증가하면 함수 y = 1/x는 절대값이 무제한으로 감소하고 그래프의 두 가지 모두 가로좌표에 접근합니다. 오른쪽은 위에서 접근하고 왼쪽은 아래에서 접근합니다. 쌍곡선의 가지가 접근하는 선을 점근선.
예시 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
해결책.
전체 부분을 선택해 봅시다: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
이제 이 함수의 그래프는 다음 변환을 통해 함수 y = 1/x의 그래프에서 얻어지는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 오른쪽으로 3단위 세그먼트만큼 이동하고 Oy 축을 따라 7번 늘린 다음 2만큼 이동합니다. 단위 세그먼트가 위로 향합니다.
모든 분수 y = (ax + b) / (cx + d)는 "정수 부분"을 강조하여 비슷한 방식으로 작성할 수 있습니다. 결과적으로 모든 분수 선형 함수의 그래프는 쌍곡선이며 좌표축을 따라 다양한 방식으로 이동되고 Oy 축을 따라 늘어납니다.
임의의 분수 그래프를 구성하려면 선형 함수이 함수를 정의하는 분수를 변환할 필요는 전혀 없습니다. 그래프가 쌍곡선이라는 것을 알고 있으므로 가지가 접근하는 직선, 즉 쌍곡선 x = -d/c 및 y = a/c의 점근선을 찾는 것으로 충분합니다.
예시 2.
함수 y = (3x + 5)/(2x + 2) 그래프의 점근선을 구합니다.
해결책.
함수는 x = -1에서 정의되지 않습니다. 이는 직선 x = -1이 수직 점근선 역할을 한다는 것을 의미합니다. 수평 점근선을 찾기 위해 인수 x의 절대값이 증가할 때 함수 y(x)의 값이 어떻게 접근하는지 알아봅시다.
이렇게 하려면 분수의 분자와 분모를 x로 나눕니다.
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
x → π로서 분수는 3/2가 되는 경향이 있습니다. 수단, 수평 점근선– 이것은 직선 y = 3/2입니다.
예시 3.
함수 y = (2x + 1)/(x + 1)을 그래프로 그려보세요.
해결책.
분수의 "전체 부분"을 선택해 보겠습니다.
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
이제 이 함수의 그래프는 다음 변환을 통해 함수 y = 1/x의 그래프에서 얻어지는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 왼쪽으로 1 단위 이동, Ox에 대해 대칭 표시 및 Oy 축을 따라 위쪽으로 2개의 단위 세그먼트가 있습니다.
도메인 D(y) = (-무한대; -1)ᴗ(-1; +무한대).
값의 범위 E(y) = (-무한대; 2)ᴗ(2; +무한대).
축과의 교차점: c Oy: (0; 1); c 황소: (-1/2; 0). 함수는 정의 영역의 각 간격에서 증가합니다.
답변: 그림 1.
2. 분수합리함수
y = P(x) / Q(x) 형식의 분수 유리 함수를 생각해 보세요. 여기서 P(x)와 Q(x)는 1차보다 높은 차수의 다항식입니다.
이러한 유리 함수의 예:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) 또는 y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
함수 y = P(x) / Q(x)가 첫 번째 다항식보다 높은 차수의 두 다항식의 몫을 나타내는 경우 해당 그래프는 일반적으로 더 복잡해지고 때로는 정확하게 구성하기 어려울 수 있습니다. , 모든 세부정보가 포함되어 있습니다. 그러나 위에서 이미 소개한 것과 유사한 기술을 사용하는 것만으로도 충분할 때가 많습니다.
분수를 진분수(n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K초) ms + L 2 /(x – K초) ms-1 + … + L ms /(x – K초) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
분명히, 분수 유리 함수의 그래프는 기본 분수 그래프의 합으로 얻을 수 있습니다.
분수 유리 함수의 그래프 그리기
분수 유리 함수의 그래프를 구성하는 여러 가지 방법을 고려해 보겠습니다.
예시 4.
함수 y = 1/x 2 를 그래프로 그려보세요.
해결책.
우리는 y = x 2 함수의 그래프를 사용하여 y = 1/x 2의 그래프를 구성하고 그래프를 "나누는" 기술을 사용합니다.
도메인 D(y) = (-무한대; 0)ᴗ(0; +무한대).
값의 범위 E(y) = (0; +무한대).
축과의 교차점이 없습니다. 기능은 짝수입니다. 간격 (-무한대; 0)에서 모든 x에 대해 증가하고, 0에서 +까지 x에 대해 감소합니다.
답변: 그림 2.
실시예 5.
함수 y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x)를 그래프로 그려보세요.
해결책.
도메인 D(y) = (-무한대; 3)ᴗ(3; +무한대).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
여기서 우리는 선형 함수에 대한 인수분해, 축소 및 축소 기술을 사용했습니다.
답변: 그림 3.
실시예 6.
함수 y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1)을 그래프로 그려보세요.
해결책.
정의 영역은 D(y) = R입니다. 함수가 짝수이므로 그래프는 세로 좌표를 기준으로 대칭입니다. 그래프를 작성하기 전에 전체 부분을 강조하여 표현식을 다시 변환해 보겠습니다.
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
분수 유리 함수의 공식에서 정수 부분을 분리하는 것은 그래프를 구성할 때 주요 부분 중 하나입니다.
x → ±무한이면 y → 1입니다. 즉, 직선 y = 1은 수평 점근선입니다.
답변: 그림 4.
실시예 7.
y = x/(x 2 + 1) 함수를 고려하여 가장 큰 값을 정확하게 찾아보겠습니다. 즉 그래프 오른쪽 절반의 가장 높은 지점. 이 그래프를 정확하게 구성하려면 오늘날의 지식만으로는 충분하지 않습니다. 분명히 우리의 곡선은 매우 높게 "상승"할 수 없습니다. 분모는 빠르게 분자를 "추월"하기 시작합니다. 함수의 값이 1과 같을 수 있는지 봅시다. 이를 위해서는 방정식 x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0을 풀어야 합니다. 이 방정식에는 실제 근이 없습니다. 이는 우리의 가정이 틀렸다는 것을 의미합니다. 가장 많이 찾으려면 훌륭한 가치함수를 사용하려면 방정식 A = x/(x 2 + 1)이 어떤 최대 A에서 해를 얻을 수 있는지 알아내야 합니다. 원래 방정식을 2차 방정식(Аx 2 – x + А = 0)으로 바꾸겠습니다. 이 방정식은 1 – 4А 2 ≥ 0일 때 해를 얻습니다. 여기에서 우리는 다음을 찾습니다. 가장 높은 가치 A = 1/2. 
답: 그림 5, 최대 y(x) = ½.
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함수 그래프는 좌표 평면에서 함수의 동작을 시각적으로 표현한 것입니다. 그래프는 함수 자체에서 확인할 수 없는 함수의 다양한 측면을 이해하는 데 도움이 됩니다. 다양한 함수의 그래프를 만들 수 있으며 각 함수에 대한 그래프가 제공됩니다. 특정 공식. 모든 함수의 그래프는 특정 알고리즘을 사용하여 작성됩니다(특정 함수를 그래프로 표시하는 정확한 프로세스를 잊어버린 경우).
단계
선형 함수 그래프 그리기
- 기울기가 음수이면 함수가 감소합니다.
-
직선이 Y축과 교차하는 지점에서 수직 및 수평 거리를 사용하여 두 번째 점을 그립니다.
선형함수는 두 점을 사용하여 그래프로 그릴 수 있습니다. 이 예에서 Y축과의 교차점 좌표는 (0.5)입니다. 이 지점에서 위쪽으로 2칸 이동한 다음 오른쪽으로 1칸 이동합니다. 요점을 표시하십시오. 좌표는 (1,7)입니다. 이제 직선을 그릴 수 있습니다.눈금자를 사용하여 두 점을 지나는 직선을 그립니다.
실수를 방지하려면 세 번째 점을 찾으면 되지만, 대부분의 경우 두 점을 사용하여 그래프를 그릴 수 있습니다. 따라서 선형 함수를 플로팅했습니다.
-
좌표평면에 점을 찍는다함수를 정의합니다. 함수는 f(x)로 표시됩니다. 모두가능한 값
두 개의 교차하는 수직선을 그립니다.가로선은 X축입니다. 세로선은 Y축입니다.
좌표축에 레이블을 지정합니다.각 축을 동일한 세그먼트로 나누고 번호를 매깁니다. 축의 교차점은 0입니다. X축의 경우: 오른쪽(0부터)으로 플롯됩니다. 양수, 왼쪽은 음수입니다. Y축의 경우 양수는 위쪽(0부터)에 표시되고 음수는 아래쪽에 표시됩니다.
"x" 값에서 "y" 값을 찾습니다.이 예에서는 f(x) = x+2입니다. 특정 x 값을 이 공식에 대입하여 해당 y 값을 계산하세요. 복잡한 함수가 주어지면 방정식의 한쪽에 "y"를 분리하여 단순화합니다.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
좌표평면에 점을 그립니다.각 좌표 쌍에 대해 다음을 수행합니다. X축에서 해당 값을 찾아 수직선(점선)을 그립니다. Y축에서 해당 값을 찾아 수평선(점선)을 그립니다. 두 점선의 교차점을 표시하십시오. 따라서 그래프에 점을 그렸습니다.
점선을 지웁니다.그래프의 모든 점을 좌표평면에 그린 후 이 작업을 수행합니다. 참고: 함수 f(x) = x의 그래프는 좌표 중심[좌표(0,0)이 있는 점]을 통과하는 직선입니다. 그래프 f(x) = x + 2는 선 f(x) = x에 평행한 선이지만 2 단위만큼 위쪽으로 이동하여 좌표가 (0,2)인 점을 통과합니다(상수가 2이기 때문입니다). .
복잡한 함수 그래프 그리기
함수의 0을 찾습니다.함수의 0은 y = 0인 x 변수의 값입니다. 즉, 그래프가 X축과 교차하는 지점입니다. 모든 함수에 0이 있는 것은 아니지만 첫 번째라는 점을 명심하세요. 함수를 그래프로 그리는 과정의 단계입니다. 함수의 0을 찾으려면 함수를 0과 동일시하십시오. 예를 들어:
수평점근선을 찾아 표시하세요.점근선은 함수의 그래프가 접근하지만 결코 교차하지 않는 선입니다(즉, 이 영역에서는 함수가 정의되지 않습니다(예: 0으로 나눌 때)). 점근선을 점선으로 표시합니다. 변수 "x"가 분수의 분모에 있는 경우(예: y = 14 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), 분모를 0으로 설정하고 "x"를 찾습니다. 변수 "x"의 획득된 값에서 함수는 정의되지 않습니다(이 예에서는 x = 2 및 x = -2를 통해 점선을 그립니다). 0으로 나눌 수 없기 때문입니다. 그러나 점근선은 함수가 다음을 포함하는 경우에만 존재하는 것이 아닙니다. 분수 표현. 따라서 상식을 사용하는 것이 좋습니다.
-
함수가 선형인지 확인합니다.선형 함수는 다음 형식의 공식으로 제공됩니다. F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)또는 y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(예: )이며 그래프는 직선입니다. 따라서 수식에는 지수나 근호 등이 없이 하나의 변수와 하나의 상수(상수)가 포함됩니다. 유사한 유형의 함수가 주어지면 그러한 함수의 그래프를 그리는 것은 매우 간단합니다. 선형 함수의 다른 예는 다음과 같습니다.
상수를 사용하여 Y축의 점을 표시합니다.상수(b)는 그래프가 Y축과 교차하는 점의 “y” 좌표, 즉 “x” 좌표가 0인 점입니다. 따라서 x = 0이면 수식에 대입됩니다. , y = b(상수)입니다. 우리의 예에서는 y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)상수는 5와 같습니다. 즉, Y축과의 교차점 좌표는 (0.5)입니다. 이 점을 놓으십시오. 좌표평면.
선의 기울기를 구합니다.변수의 승수와 같습니다. 우리의 예에서는 y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)변수 "x"에는 2의 인수가 있습니다. 따라서 기울기 계수는 2와 같습니다. 기울기 계수는 X축에 대한 직선의 기울기 각도를 결정합니다. 즉, 기울기 계수가 클수록 함수가 더 빠르게 증가하거나 감소합니다.
기울기를 분수로 씁니다.각도 계수는 경사각의 탄젠트, 즉 수직 거리(직선 위의 두 점 사이)와 수평 거리(동일한 점 사이)의 비율과 같습니다. 이 예에서는 기울기가 2이므로 수직 거리가 2이고 수평 거리가 1이라고 말할 수 있습니다. 이것을 분수로 쓰십시오. 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
지수는 , 또는 로 표시됩니다.
번호 e
지수 차수의 기초는 다음과 같습니다. 번호 e. 이것 무리수. 거의 같습니다
이자형 ≈ 2,718281828459045...
숫자 e는 수열의 극한을 통해 결정됩니다. 이것이 소위 두 번째 놀라운 한계:
.
숫자 e는 계열로 표시될 수도 있습니다.
.
지수 그래프
지수 그래프, y = e x .그래프는 지수를 보여줍니다 이자형어느 정도 엑스.
와이 (x) = 전자x
그래프는 지수가 단조롭게 증가하는 것을 보여줍니다.
방식
기본 공식은 와 같습니다. 지수함수전력 기반 e.
;
;
;
지수를 통해 임의의 기준을 갖는 지수 함수의 표현:
.
개인적인 가치
하자 (x) = 전자x.
.
그 다음에
지수 속성 이자형 > 1 .
지수는 거듭제곱을 기반으로 하는 지수 함수의 속성을 갖습니다.
도메인, 값 세트 (x) = 전자x지수 y
모든 x에 대해 정의됩니다.
- ∞ < x + ∞
.
정의 영역:
0
< y < + ∞
.
다양한 의미:
극단, 증가, 감소
지수는 단조 증가하는 함수이므로 극값이 없습니다. 주요 속성이 표에 나와 있습니다.
역함수
;
.
지수의 역수는 자연 로그입니다.
지수의 미분 이자형어느 정도 엑스유도체 이자형어느 정도 엑스
:
.
같음
.
n차 도함수:
수식 도출 > > >
완전한
복소수 다음을 사용한 작업복소수 사용하여 수행:
,
오일러의 공식
.
허수 단위는 어디에 있습니까?
;
;
.
쌍곡선 함수를 통한 표현
;
;
;
.
삼각함수를 이용한 표현
파워 시리즈 확장
사용된 문헌:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.
빌드 기능 우리는 온라인으로 함수 그래프를 구성하는 서비스를 제공하며 모든 권리는 회사에 속합니다.데스모스
. 기능을 입력하려면 왼쪽 열을 사용하세요. 수동으로 입력하거나 창 하단의 가상 키보드를 사용해 입력할 수 있습니다. 그래프가 포함된 창을 확대하려면 왼쪽 열과 가상 키보드를 모두 숨길 수 있습니다.
- 온라인 차트의 이점
- 입력된 기능의 시각적 표시
- 매우 복잡한 그래프 작성
- 암시적으로 지정된 그래프 구성(예: 타원 x^2/9+y^2/16=1)
- 차트를 저장하고 그에 대한 링크를 수신하는 기능(인터넷상의 모든 사람이 사용할 수 있음)
- 스케일, 선 색상 제어
- 상수를 사용하여 점별로 그래프를 그리는 가능성
- 여러 함수 그래프를 동시에 플롯하기
우리와 함께라면 온라인에서 다양한 복잡성의 차트를 쉽게 만들 수 있습니다. 공사는 즉시 완료됩니다. 이 서비스는 함수의 교차점을 찾고, 문제를 해결할 때 그림으로 Word 문서로 이동하기 위해 그래프를 묘사하고, 함수 그래프의 동작 특징을 분석하기 위해 수요가 많습니다. 이 웹사이트 페이지의 차트 작업에 가장 적합한 브라우저는 Google Chrome입니다. 다른 브라우저를 사용하는 경우 올바른 작동이 보장되지 않습니다.
