동차 및 비동차 등 많은 미분 방정식 시스템은 하나의 미지 함수에 대한 하나의 방정식으로 축소될 수 있습니다. 예제를 통해 방법을 보여드리겠습니다.

예제 3.1.시스템을 해결하다

해결책. 1) 차별화 방법 티첫 번째 방정식을 사용하고 두 번째 및 세 번째 방정식을 사용하여 대체합니다. 그리고 , 우리는 찾는다

우리는 결과 방정식을 다음과 같이 차별화합니다. 다시

1) 시스템을 만든다

시스템의 처음 두 방정식에서 변수를 표현합니다. 그리고 ~을 통해
:

찾은 표현을 다음과 같이 대체해 보겠습니다. 그리고 시스템의 세 번째 방정식에

그래서 함수를 찾으려면
상수 계수를 갖는 3차 미분방정식을 얻었습니다.

.

2) 표준 방법을 사용하여 마지막 방정식을 통합합니다. 특성 방정식을 구성합니다.
, 그 뿌리를 찾아라
근 중 하나의 다중성을 고려하여 지수의 선형 조합 형태로 일반 솔루션을 구성합니다.

3) 다음으로 남은 두 가지 기능을 찾으십시오.
그리고
, 결과 함수를 두 번 미분합니다.

시스템 기능 간의 연결(3.1)을 사용하여 나머지 알려지지 않은 사항을 복구합니다.

.

답변. ,
,.

단일 미분으로도 알려진 기능 중 하나만 제외한 모든 기능이 3차 시스템에서 제외되는 것으로 나타날 수 있습니다. 이 경우 이를 찾기 위한 미분 방정식의 차수는 원래 시스템의 알려지지 않은 함수 수보다 적습니다.

예제 3.2.시스템 통합

(3.2)

해결책. 1) 차별화 방법 첫 번째 방정식, 우리는

변수 제외 그리고 방정식에서

우리는 에 관해 2차 방정식을 갖게 될 것입니다.

(3.3)

2) 시스템의 첫 번째 방정식(3.2)으로부터 우리는 다음을 얻습니다.

(3.4)

시스템의 세 번째 방정식 (3.2)에 발견된 식 (3.3)과 (3.4)를 다음과 같이 대입합니다. 그리고 , 우리는 함수를 결정하기 위해 1차 미분 방정식을 얻습니다.

이 불균일 방정식을 일정한 1차 계수와 통합하면 다음을 알 수 있습니다.
(3.4)를 사용하여 다음 함수를 찾습니다.

답변.
,,
.

과제 3.1. 동차 시스템을 하나의 미분 방정식으로 줄여서 해결합니다.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. 해의 기본 시스템을 찾아 상수 계수를 갖는 선형 균질 미분 방정식 시스템을 해결합니다.

선형 균질 미분 방정식 시스템의 일반 해는 시스템의 기본 해의 선형 조합으로 찾을 수 있습니다. 상수 계수를 갖는 시스템의 경우 선형 대수 방법을 사용하여 근본적인 솔루션을 찾을 수 있습니다.

예제 3.3.시스템을 해결하다

(3.5)

해결책. 1) 시스템을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

. (3.6)

2) 시스템의 근본적인 해를 벡터의 형태로 찾아보겠습니다.
. 함수 대체
(3.6)에서 다음과 같이 줄입니다. , 우리는 얻는다

, (3.7)

그게 그 숫자야 행렬의 고유값이어야 합니다.
, 그리고 벡터 대응하는 고유벡터

3) 선형 대수학 과정에서 시스템 (3.7)은 행렬식이 0인 경우 중요하지 않은 해를 갖는 것으로 알려져 있습니다.

,

즉 . 여기에서 우리는 고유값을 찾습니다.
.

4) 해당 고유벡터를 찾습니다. 첫 번째 값을 (3.7)에 대입
, 우리는 첫 번째 고유 벡터를 찾는 시스템을 얻습니다.

여기에서 우리는 미지의 것들 사이의 연결을 얻습니다
. 우리는 하나의 중요하지 않은 솔루션을 선택하는 것으로 충분합니다. 믿음
, 그 다음에
, 즉 벡터 고유값은 고유값입니다
, 그리고 함수 벡터
주어진 미분 방정식 시스템의 기본 해법(3.5). 마찬가지로, 두 번째 근을 대체할 때
(3.7)에는 두 번째 고유벡터에 대한 행렬 방정식이 있습니다.
. 구성 요소 간의 연결은 어디에서 얻습니까?
. 따라서 우리는 두 번째 근본적인 해결책을 얻었습니다.

.

5) 시스템 (3.5)의 일반 해는 획득된 두 가지 기본 해의 선형 조합으로 구성됩니다.

또는 좌표 형식으로

.

답변.

.

과제 3.2. 솔루션의 기본 시스템을 찾아 시스템을 해결합니다.

기본 개념 및 정의 점의 역학에 대한 가장 간단한 문제는 미분 방정식 시스템으로 이어집니다. 재료 점에 작용하는 힘이 제공됩니다. 운동 법칙을 찾습니다. 즉, 시간에 따른 이동점 좌표의 의존성을 표현하는 함수 x = x(t), y = y(t), z = z(t)를 찾습니다. 이 경우에 얻어지는 시스템은 일반적으로 다음과 같은 형식을 갖습니다. 여기서 x, y, z는 이동점의 좌표이고, t는 시간이며, f, g, h는 인수의 알려진 함수입니다. 유형 (1)의 시스템을 표준이라고 합니다. 인수 t의 미지 함수 m개를 갖는 m개 미분 방정식 시스템의 일반적인 경우를 살펴보면, 우리는 고차 도함수에 대해 해결된 형식의 시스템을 정식이라고 부릅니다. 원하는 함수의 도함수에 대해 해결된 1차 방정식 시스템을 정규라고 합니다. 새로운 보조 함수를 사용하면 일반 정준 시스템(2)은 방정식으로 구성된 등가 정규 시스템으로 대체될 수 있습니다. 그러므로 일반적인 시스템만을 고려하는 것으로 충분하다. 예를 들어, 한 방정식은 표준 시스템의 특별한 경우입니다. ^ = y를 넣으면 원래 방정식을 통해 우리는 결과적으로 정규 방정식 시스템을 얻습니다. 미분 방정식 시스템 적분 방법 제거 방법 적분 조합 방법 선형 미분 방정식 시스템 기본 행렬 변형 방법 상수 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 시스템 원래 방정식과 동등한 행렬 방법. 정의 1. 인수 t를 변경하는 구간 (a, b)에서 정규 시스템 (3)에 대한 해는 시스템 (3)의 방정식을 t에 대한 항등식으로 바꾸는 구간에서 미분 가능한 n 함수 시스템입니다. 구간 (a, b)에서 시스템 (3)에 대한 코시 문제는 다음과 같이 공식화됩니다. t =에서 정리 1의 초기 조건(해의 존재 및 고유성)을 충족하는 시스템의 해(4)를 찾습니다. 의 작업에 따라) 일반적인 미분 방정식 시스템을 갖고 함수를 일부 (n + 1) - 변수 t, X\, x2, ...의 변화에 ​​대한 차원 영역 D에서 정의하겠습니다. xn 함수 ft가 인수 집합에서 연속이고 변수 X\, x2, ..., xn에 대해 제한된 부분 도함수를 갖는 이웃 ft가 있는 경우 - A0의 간격이 있습니다. 초기 조건을 만족하는 정규 시스템(3)의 고유한 해가 있는 t를 변경합니다. 정의 2. 임의 상수의 tun에 의존하는 n 함수 시스템을 일부에서는 정규 시스템(3)의 일반 해라고 합니다. 해 코시 문제의 존재 및 고유성 영역 Π 1) 허용 가능한 값에 대해 함수 시스템(6)이 방정식 (3)을 항등식으로 바꾸고, 2) 영역 Π에서 함수 (6)가 코시 문제를 해결하는 경우 . 상수의 특정 값에서 일반으로부터 얻은 해를 특정 해라고 합니다. 명확성을 위해 두 방정식의 일반 시스템으로 돌아가서 값 t> X\, x2를 좌표계 Otx\x2를 참조하는 3차원 공간의 한 점의 직사각형 직교 좌표로 간주하겠습니다. t에서 값을 취하는 시스템(7)의 해는 점을 통과하는 특정 선을 공간에서 정의합니다.) - 이 선을 정규 시스템(7)의 적분 곡선이라고 합니다. 시스템 (7)에 대한 Koshi 문제는 다음과 같은 기하학적 공식을 받습니다: 변수 t> X\, x2의 공간에서 주어진 점 Mo(to, x1, x2)를 통과하는 적분 곡선을 찾습니다(그림 1). 정리 1은 그러한 곡선의 존재와 고유성을 확립합니다. 정규 시스템(7)과 그 해는 다음과 같이 해석될 수도 있습니다. 독립 변수 t를 매개변수로 간주하고 시스템의 해를 x\Ox2 평면에 있는 곡선의 매개변수 방정식으로 간주합니다. 이 변수 X\X2 평면을 위상 평면이라고 합니다. 위상 평면에서 해(t = t0 초기 값 x°(, x2)를 취하는 시스템 (7)의 0은 점을 통과하는 곡선 AB로 표시됩니다.) 이 곡선을 시스템(위상 궤적) 시스템(7)의 궤적은 위상 평면에 대한 투영 적분 곡선입니다. 위상 궤적은 고유하게 결정되지만 그 반대는 아닙니다. § 2. 미분 방정식 시스템을 통합하는 방법. 2.1 제거 방법 적분 방법 중 하나는 최고 도함수에 대해 해결하는 방법입니다. 다음과 같은 n 방정식의 정규 시스템을 사용하여 새로운 함수 방정식을 도입합니다. 이 n차 방정식은 동일합니다. 정규 시스템(1)에 대해 일반적으로 말하면 n차 방정식의 정규 시스템은 하나의 차 방정식 p와 동일하다고 말할 수도 있습니다. 미분 방정식의 이렇게 끝났습니다. t에 관해 방정식 (2)의 첫 번째 방정식을 미분해보자. 우리는 오른쪽에 제품을 교체합니다. 즉, 방정식 (3)은 다시 t에 대해 미분됩니다. 시스템 (2)를 고려하여 이 프로세스를 얻거나 계속하면 행렬식(함수 시스템의 야코비안은 고려 중인 값에 대해 0이 아니라고 가정합니다. 그런 다음 시스템의 첫 번째 방정식으로 구성된 방정식 시스템( 2) 방정식은 미지수에 대해 풀 수 있습니다. 방정식에 발견된 표현식을 도입하면 n차 방정식 하나를 얻을 수 있습니다. 구성 방법 자체에서 시스템에 대한 해법이 있습니다. (2), 그러면 함수 X\(t)는 방정식 (5)의 해가 될 것입니다. 반대로 방정식 (5)의 해를 구해보자. 이 해를 t에 대해 미분하여, 발견된 값을 알려진 함수로 계산하고 대체합니다. 가정에 따라 이 시스템은 t의 함수로 xn에 대해 해석될 수 있습니다. 이러한 방식으로 구성된 함수 시스템은 미분 방정식 시스템(2)에 대한 해를 구성한다는 것을 알 수 있습니다. 예. 시스템을 적분하는 것이 필요합니다. 시스템의 첫 번째 방정식을 미분하면 두 번째 방정식을 사용하여 하나의 미지 함수를 갖는 상수 계수를 갖는 2차 선형 미분 방정식을 얻을 수 있습니다. 일반적인 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 시스템의 첫 번째 방정식을 통해 우리는 함수를 찾습니다. 발견된 함수 x(t), y(t)는 쉽게 확인할 수 있듯이 C| C2는 주어진 시스템을 만족합니다. 함수는 시스템(6)의 적분 곡선이 공통 축 x = y = 0을 갖는 단계를 갖는 나선형 선이며 적분 곡선이기도 함을 알 수 있는 형태로 표현될 수 있습니다(그림 3). ). 공식 (7)에서 매개 변수를 제거하면 주어진 시스템의 위상 궤적이 좌표 원점에 중심이 있는 원이 되도록 방정식을 얻습니다. A = 0일 때 위상 궤적은 평면에 투영됩니다. 시스템의 휴지점(rest point)이라고 불리는 한 지점. " 그러면 우리는 원래 시스템과 동등한 n차 방정식을 얻지 못할 것입니다. 다음은 간단한 예입니다. 연립방정식은 x\ 또는 x2에 대한 동등한 2차 방정식으로 대체될 수 없습니다. 이 시스템은 한 쌍의 1차 방정식으로 구성되며, 각각은 독립적으로 적분되어 적분 조합 방법을 제공합니다. 일반 미분 방정식 시스템 dXi의 적분은 때때로 적분 조합 방법으로 수행됩니다. 적분 가능한 조합은 방정식 (8)의 결과이지만 이미 쉽게 적분 가능한 미분 방정식입니다. 예. 시스템 통합 미분 방정식 시스템 적분 방법 제거 방법 적분 가능한 조합 방법 선형 미분 방정식 시스템 기본 행렬 상수 변형 방법 상수 계수가 있는 선형 미분 방정식 시스템 행렬 방법 4 이러한 방정식을 항별로 추가하면 다음을 찾습니다. 적분 가능한 조합: 시스템의 첫 번째 방정식에서 두 번째 항을 빼면 두 번째 적분 가능한 조합을 얻습니다. 여기에서 시스템의 일반 해를 쉽게 결정할 수 있는 두 개의 유한 방정식을 찾았습니다. 하나의 적분 가능한 조합을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다. 독립변수 t와 미지의 함수를 연결하는 하나의 방정식. 이러한 유한 방정식을 시스템의 첫 번째 적분이라고 합니다(8). 그렇지 않은 경우: 미분 방정식 시스템(8)의 첫 번째 적분은 동일하게 일정하지 않지만 이 시스템의 모든 적분 곡선에서 일정한 값을 유지하는 미분 가능한 함수입니다. 시스템 (8)의 n번째 적분을 구하고 모두 독립인 경우, 즉 함수 시스템의 야코비안은 0이 아닌 경우: 미지의 함수 및 해당 도함수에 대해 선형인 경우 미분 방정식 시스템을 선형이라고 합니다. 방정식에 포함됩니다. 정규 형식으로 작성된 n개의 1차 선형 방정식 시스템은 행렬 형식으로 정리 2의 형식을 갖습니다. 모든 함수가 구간에서 연속인 경우 각 점의 충분히 작은 이웃에 있습니다. xn) , 여기서) 존재 정리의 조건이 충족되고 Causchia 문제에 대한 해법의 고유성이 있으므로 각 지점을 통해 시스템 (1)의 고유한 적분 곡선이 전달됩니다. 정의. 요소가 있는 행렬인 선형 동차 시스템을 생각해 보겠습니다. 구간에 대해 선형 독립인 선형 동차 시스템(6)에 대한 n 해의 시스템을 기본이라고 합니다. 정리 6. 구간 ab에서 연속적인 계수 a-ij(t)를 갖는 선형 동차 시스템(6)에 대한 구간 기반 해 시스템의 Wronski 행렬식 W(t)는 구간(a)의 모든 지점에서 0이 아닙니다. , 6). 정리 7 (선형 균질 시스템의 일반 해 구조에 관한) 구간에 연속적인 계수를 갖는 선형 동차 시스템 분야의 일반적인 해는 구간 a에 대해 선형 독립인 시스템(6)의 n 해(임의의 상수)의 선형 조합입니다. 마지막 관계를 통합하여 우리는 이러한 값을 대체하여 시스템 (2)에 대한 특정 솔루션을 찾습니다. (여기서 기호는 함수 §4에 대한 역도함수 중 하나로 이해됩니다. 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 시스템 선형을 고려하십시오. 모든 계수가 일정한 미분 방정식 시스템 일반적으로 이러한 시스템은 더 높은 차수의 하나의 방정식으로 축소되어 통합되며 이 방정식은 시스템을 상수 계수와 통합하는 또 다른 효과적인 방법입니다. 상수 계수는 미분 방정식의 선형 동차 시스템을 통합하는 오일러 방법도 고려합니다. 오일러 방법 상수 시스템이 있는 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다. (3) n개의 미지수를 갖는 선형 균질 대수 방정식의 행렬식은 0과 같아야 하는 것이 필요하고 충분합니다. 방정식 (4)를 특성이라고 합니다. 왼쪽에는 n차의 A에 대한 다항식이 있습니다. 이 방정식에서 우리는 시스템 (3)이 특성 방정식 (4)의 모든 근을 갖는 A의 값을 결정합니다. 그런 다음 이를 차례로 시스템( 3)에 대체하여 이 시스템의 해당 중요하지 않은 솔루션을 찾고 따라서 원래 미분 방정식 시스템(1)에 대한 n 솔루션을 두 번째 인덱스가 다음과 같은 형식으로 찾습니다. 는 해의 번호를 나타내고 첫 번째는 미지의 함수의 번호를 나타냅니다. 이러한 방식으로 구성된 선형 동차 시스템(1)의 n개 부분 해는 검증할 수 있듯이 이 시스템에 대한 해의 기본 시스템을 형성합니다. 결과적으로 균질 미분 방정식 시스템 (1)의 일반 해법은 임의 상수의 형식을 갖습니다. 특성방정식의 근이 여러 개인 경우는 고려하지 않습니다. M 우리는 특성 방정식 형태의 해를 찾고 있습니다. 01.02를 결정하기 위한 시스템(3)은 다음과 같습니다. 우리가 어디서 얻는지를 대입하면 따라서 다음을 찾는다고 가정합니다. 이 시스템의 일반적인 해: 미분 방정식 시스템 적분 방법 제거 방법 적분 결합 방법 선형 미분 방정식 시스템 기본 행렬 변동 상수 방법 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식 시스템 행렬 방법 동차 시스템을 적분하기 위한 행렬 방법도 제시하겠습니다(1). 시스템 (1)을 상수 실수 요소 a,j를 갖는 행렬로 작성해 보겠습니다. 선형대수학의 몇 가지 개념을 떠올려 보겠습니다. 숫자 A가 고유벡터 g에 대응하는 행렬 A의 고유값이고 I가 단위 행렬인 특성 방정식의 근이 되는 경우 벡터 g ФО는 행렬 A의 고유벡터라고 합니다. 행렬 A의 고유값 A가 모두 다르다고 가정하겠습니다. 이 경우 고유벡터는 선형 독립이며 행렬 A를 대각선 형태로 줄이는 n x n 행렬 T가 존재합니다. 즉, 행렬 T의 열이 고유벡터의 좌표가 되도록 하겠습니다. 다음 개념을 소개하겠습니다. B(ξ)는 n × n-행렬이고, 요소는 6이고, 그 중 0은 집합에 정의된 인수 t의 함수입니다. 행렬 B(f)는 모든 요소가 6,j인 경우 Π에 대해 연속이라고 합니다. (f)는 Q에서 연속입니다. 행렬 B(*)는 이 행렬의 모든 요소가 Q에서 미분 가능하면 행렬 B(*)는 Π에서 미분 가능하다고 합니다. 이 경우 ^p-행렬 B(*)의 도함수는 다음과 같습니다. 행렬 B(*)의 해당 요소의 도함수인 행렬 행렬 대수학의 규칙을 고려하면 특히 B가 상수 행렬인 경우 공식의 유효성을 직접 확인할 수 있습니다. ^는 널 행렬이므로 정리 9. 행렬 A의 고유값이 다른 경우 시스템 (7)의 일반 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 행렬의 고유 벡터 열은 임의의 상수입니다. T는 행렬 A를 대각선 형태로 줄이는 행렬인 공식에 따라 새로운 미지의 벡터 열을 도입합니다. 이를 대체하면 왼쪽의 마지막 관계의 양변에 T 1을 곱하고 다음을 고려하는 시스템을 얻습니다. T 1 AT = А, 우리는 시스템에 도달합니다. 우리는 쉽게 통합할 수 있는 n개의 독립 방정식 시스템을 얻었습니다. (12) 여기에 임의의 상수가 있습니다. 단위 n차원 열 벡터를 도입함으로써 해는 행렬 T의 열이 행렬의 고유벡터이므로 행렬 A의 고유벡터라는 형식으로 표현될 수 있습니다. 따라서 (13)을 (11)에 대입하면 다음과 같습니다. 공식 (10)을 얻습니다. 따라서 행렬 미분 방정식 시스템 (7)이 다른 고유값을 갖는 경우 이 시스템의 일반 솔루션을 얻으려면 다음을 수행하십시오. 1) 행렬의 고유값을 대수 방정식의 근으로 찾습니다. 2) 모든 고유벡터를 찾습니다. 3) 식 (10 )을 사용하여 연립미분방정식 (7)의 일반해를 작성합니다. 예제 2. 시스템 풀기 매트릭스 방법 4 시스템의 매트릭스 A는 다음과 같은 형태를 갖습니다. 1) 특성 방정식을 구성합니다. 특성 방정식의 근입니다. 2) 고유벡터 찾기 A = 4에 대해 = 0|2인 시스템을 얻습니다. 따라서 A = 1에 대해서도 유사하게 I를 찾습니다. 3) 공식 (10)을 사용하여 미분방정식 시스템에 대한 일반 해를 구합니다. 특성 방정식의 근은 실수일 수도 있고 복소수일 수도 있습니다. 가정에 따라 시스템 (7)의 계수 y는 실수이므로 특성 방정식은 실수 계수를 갖게 됩니다. 따라서 복소수 근 A와 함께 A에 대한 복소수 켤레인 근 \*도 갖게 됩니다. g가 A의 고유값에 해당하는 고유벡터이면 A*도 다음과 같은 고유값이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 고유벡터 g*는 g와 복소공액에 해당합니다.

밖은 무더운 시간이고, 포플러 솜털이 날아다니고, 이 날씨는 휴식에 도움이 됩니다. 학기 중에는 누구나 피로가 쌓이지만, 여름 방학/휴가에 대한 기대는 시험과 테스트에 성공적으로 합격할 수 있는 활력소가 될 것입니다. 그런데, 시즌 중에는 선생님들도 너무 지루해서, 나도 곧 머리를 푸는 시간을 가질 예정이다. 그리고 이제 커피 소리, 시스템 장치의 리드미컬한 윙윙거리는 소리, 창턱에 죽은 모기 몇 마리, 그리고 완전히 작동하는 상태... ...오, 젠장... 빌어먹을 시인.

요점까지. 누가 신경쓰나요? 하지만 오늘은 6월 1일입니다. 우리는 복잡한 분석의 또 다른 전형적인 문제를 살펴보겠습니다. 연산 미적분학 방법을 사용하여 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해 찾기. 문제를 해결하는 방법을 배우려면 무엇을 알아야 하고 무엇을 할 수 있어야 합니까? 가장 먼저, 적극 추천합니다강의를 참조하세요. 서론 부분을 읽고 주제의 일반적인 설명, 용어, 표기법 및 최소한 두세 가지 예를 이해하십시오. 사실 디퓨저 시스템을 사용하면 모든 것이 거의 동일하고 더 단순해질 것입니다!

물론 그것이 무엇인지 이해해야합니다. 미분 방정식 시스템, 이는 시스템에 대한 일반적인 솔루션과 시스템에 대한 특정 솔루션을 찾는 것을 의미합니다.

미분 방정식 시스템은 "전통적인" 방식으로 풀 수 있다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 제거로또는 특성 방정식을 사용하여. 논의될 연산 계산 방법은 작업이 다음과 같이 공식화될 때 원격 제어 시스템에 적용 가능합니다.

동차 미분방정식 시스템에 대한 특정 해 찾기 , 초기 조건에 해당 .

또는 시스템이 이질적일 수 있습니다. 즉, 함수 형태의 "추가 가중치"가 오른쪽에 있습니다.

그러나 두 경우 모두 상태의 두 가지 기본 사항에 주의를 기울여야 합니다.

1) 대략 개인 솔루션에 대해서만.
2) 초기조건의 괄호 ~이다 엄격하게 0, 그리고 다른 것은 없습니다.

일반적인 과정과 알고리즘은 다음과 매우 유사합니다. 연산 방법을 사용하여 미분 방정식 풀기. 참고 자료에서 동일한 내용이 필요합니다. 원본과 이미지 표.

실시예 1

, ,

해결책:시작은 간단합니다. 라플라스 변환 테이블원본에서 해당 이미지로 넘어 갑시다. 원격 제어 시스템 문제에서 이러한 전환은 일반적으로 간단합니다.

초기 조건을 고려하여 표 형식 1, 2를 사용하여 다음을 얻습니다.

"게임"으로 무엇을 해야 할까요? 표의 "X"를 마음속으로 "I"로 변경합니다. 초기 조건을 고려하여 동일한 변환 1, 2를 사용하여 다음을 찾습니다.

찾은 이미지를 원래 방정식에 대입해 보겠습니다. :

지금 왼쪽 부분에는방정식을 수집해야합니다 모두또는 존재하는 용어. 올바른 부분으로방정식은 "공식화"되어야 합니다 다른 사람들자귀:

다음으로, 각 방정식의 왼쪽에서 브라케팅을 수행합니다.

이 경우 첫 번째 위치에 다음을 배치하고 두 번째 위치에 배치해야 합니다.

두 개의 미지수를 갖는 방정식의 결과 시스템은 일반적으로 해결됩니다. Cramer의 공식에 따르면. 시스템의 주요 결정 요인을 계산해 보겠습니다.

행렬식을 계산한 결과 다항식이 얻어졌다.

중요한 기술!이 다항식은 더 좋습니다 즉시그것을 고려해보세요. 이러한 목적을 위해서는 이차 방정식을 풀어야 합니다. 그러나 훈련된 2학년 안목을 가진 많은 독자들은 다음과 같은 사실을 알아차릴 것입니다. .

따라서 시스템의 주요 결정 요인은 다음과 같습니다.

시스템의 추가 분해는 Kramer에게 감사드립니다. 표준입니다.

결과적으로 우리는 시스템의 운영자 솔루션:

문제의 작업의 장점은 분수가 일반적으로 단순하고 분수를 다루는 것이 문제의 분수보다 훨씬 쉽다는 것입니다. 운영 방법을 사용하여 DE에 대한 특정 솔루션 찾기. 당신의 예감은 당신을 속이지 않았습니다 - 좋은 옛날 불확실한 계수 방법, 이를 통해 각 분수를 기본 분수로 분해합니다.

1) 첫 번째 분수를 다루겠습니다.

따라서:

2) 유사한 방식에 따라 두 번째 부분을 분류하지만 다른 상수(정의되지 않은 계수)를 사용하는 것이 더 정확합니다.

따라서:

나는 인형에게 분해된 연산자 솔루션을 다음 형식으로 적어 두라고 조언합니다.
- 이렇게 하면 마지막 단계인 역 라플라스 변환이 더 명확해집니다.

표의 오른쪽 열을 사용하여 이미지에서 해당 원본으로 이동해 보겠습니다.

좋은 수학적 매너의 규칙에 따라 결과를 약간 정리하겠습니다.

답변:

답은 수업에서 자세히 논의되는 표준 체계에 따라 확인됩니다. 미분 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?작업에 큰 도움이 되도록 항상 완료하려고 노력하십시오.

실시예 2

연산 미적분학을 사용하여 주어진 초기 조건에 해당하는 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해를 찾습니다.
, ,

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제의 최종 형태에 대한 대략적인 샘플과 수업이 끝나면 답변이 제공됩니다.

비동질적인 미분 방정식 시스템을 푸는 것은 기술적으로 조금 더 복잡하다는 점을 제외하면 알고리즘적으로 다르지 않습니다.

실시예 3

연산 미적분학을 사용하여 주어진 초기 조건에 해당하는 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해를 찾습니다.
, ,

해결책:초기 조건을 고려하여 라플라스 변환 테이블 사용 , 원본에서 해당 이미지로 이동해 보겠습니다.

하지만 그게 전부는 아닙니다. 방정식의 우변에는 외로운 상수가 있습니다. 상수가 그 자체로 완전히 단독인 경우 어떻게 해야 합니까? 이것은 수업 시간에 이미 논의되었습니다. 연산 방법을 사용하여 DE를 해결하는 방법. 반복하겠습니다. 단일 상수에 정신적으로 1을 곱해야 하며 다음 라플라스 변환이 단위에 적용되어야 합니다.

발견된 이미지를 원래 시스템으로 대체해 보겠습니다.

, 를 포함하는 항을 왼쪽으로 이동하고 나머지 항을 오른쪽에 배치하겠습니다.

왼쪽에서 우리는 브라케팅을 수행할 것이고, 또한 두 번째 방정식의 오른쪽을 공통 분모로 가져올 것입니다:

결과를 즉시 인수분해하는 것이 바람직하다는 점을 잊지 말고 시스템의 주요 결정 요인을 계산해 보겠습니다.
이는 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 의미합니다.

계속 진행해 봅시다:



따라서 시스템의 운영자 솔루션은 다음과 같습니다.

때로는 분수 중 하나 또는 둘 다를 줄일 수도 있고 때로는 너무 성공적이어서 아무것도 확장할 필요조차 없습니다! 그리고 어떤 경우에는 즉시 공짜를 얻을 수 있습니다. 그런데 다음 수업 예가 예시가 될 것입니다.

무한 계수 방법을 사용하여 기본 분수의 합을 구합니다.

첫 번째 부분을 분석해 보겠습니다.

그리고 우리는 두 번째 목표를 달성합니다.

결과적으로 운영자 솔루션은 우리에게 필요한 형식을 취합니다.

올바른 열 사용 원본 및 이미지 표역 라플라스 변환을 수행합니다.

결과 이미지를 시스템의 운영자 솔루션으로 대체하겠습니다.

답변:개인 솔루션:

보시다시피, 이종 시스템에서는 동종 시스템에 비해 더 많은 노동 집약적 계산을 수행해야 합니다. 사인과 코사인을 사용하는 몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다. 이것으로 충분합니다. 거의 모든 유형의 문제와 대부분의 솔루션의 뉘앙스가 고려되기 때문입니다.

실시예 4

연산 미적분학 방법을 사용하여 주어진 초기 조건을 사용하여 미분 방정식 시스템에 대한 특정 해를 찾습니다.

해결책:이 예도 직접 분석하겠지만 의견은 특별한 순간에만 적용됩니다. 나는 당신이 이미 솔루션 알고리즘에 정통하다고 가정합니다.

원본에서 해당 이미지로 이동해 보겠습니다.

발견된 이미지를 원래의 원격 제어 시스템으로 대체해 보겠습니다.

Cramer의 공식을 사용하여 시스템을 풀어 보겠습니다.
이는 시스템에 고유한 솔루션이 있음을 의미합니다.

결과 다항식은 인수분해할 수 없습니다. 그러한 경우에는 어떻게 해야 합니까? 절대 아무것도 아닙니다. 이것도 그럴 것이다.

결과적으로 시스템의 운영자 솔루션은 다음과 같습니다.

여기 행운의 티켓이 있습니다! 부정계수법을 사용할 필요가 전혀 없습니다! 유일한 것은 테이블 변환을 적용하기 위해 다음 형식으로 솔루션을 다시 작성한다는 것입니다.

이미지에서 해당 원본으로 이동해 보겠습니다.

결과 이미지를 시스템의 운영자 솔루션으로 대체하겠습니다.

우리는 이 섹션을 가장 단순한 형태의 미분방정식 시스템을 푸는 데 전념하기로 결정했습니다. d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2(여기서 a 1, b 1, c) 1, a 2, b 2 , c 2 - 일부 실수. 이러한 연립방정식을 푸는 가장 효과적인 방법은 적분법입니다. 또한 주제에 대한 예에 대한 솔루션을 고려할 것입니다.

미분 방정식 시스템에 대한 해는 시스템의 두 방정식을 항등식으로 바꿀 수 있는 함수 x(t)와 y(t)의 쌍입니다.

DE 시스템 d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2를 통합하는 방법을 고려해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 미지의 함수 x(t)를 제거하기 위해 시스템의 두 번째 방정식에서 x를 표현해 보겠습니다.

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

2차 방정식을 다음과 같이 미분해보자. 티그리고 d x d t에 대한 방정식을 풀어보세요:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

이제 이전 계산 결과를 시스템의 첫 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다.

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

그래서 우리는 미지의 함수 x(t)를 제거하고 상수 계수를 갖는 2차 선형 불균일 미분방정식을 얻었습니다. 이 방정식 y(t)의 해를 구하고 이를 시스템의 두 번째 방정식에 대입해 보겠습니다. 우리는 찾을 것이다 x(티). 이것이 방정식 시스템의 해를 완성한다고 가정하겠습니다.

실시예 1

미분방정식 d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3의 해를 구하세요.

해결책

시스템의 첫 번째 방정식부터 시작하겠습니다. x를 기준으로 해결해 보겠습니다.

x = d y d t - 2 y + 3

이제 시스템의 두 번째 방정식을 미분한 후 d x d t에 대해 이를 풀어보겠습니다. d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

계산 중에 얻은 결과를 원격 제어 시스템의 첫 번째 방정식으로 대체할 수 있습니다.

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

변환의 결과로 우리는 일정한 계수 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2를 갖는 2차 선형 불균일 미분 방정식을 얻었습니다. 일반적인 해를 찾으면 다음 함수를 얻습니다. y(티).

특성 방정식 k 2 - 3 k + 2 = 0의 근을 계산하여 해당 LOD y 0의 일반 해를 찾을 수 있습니다.

D = 3 2 - 4 2 = 1k 1 = 3 - 1 2 = 1k 2 = 3 + 1 2 = 2

우리가 얻은 뿌리는 실제적이고 뚜렷합니다. 이와 관련하여 LODE의 일반 해는 y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t 형식을 갖습니다.

이제 선형 불균일 미분 방정식 y ~에 대한 특정 해를 찾아보겠습니다.

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

방정식의 우변은 0차 다항식입니다. 이는 y ~ = A 형식의 특정 솔루션을 찾는다는 의미입니다. 여기서 A는 결정되지 않은 계수입니다.

등식 d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2로부터 부정 계수를 결정할 수 있습니다.
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

따라서 y ~ = 1 및 y(t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 입니다. 알 수 없는 함수를 하나 발견했습니다.

이제 찾은 함수를 DE 시스템의 두 번째 방정식에 대입하고 다음 방정식을 풀어보겠습니다. x(티):
d (C1et + C2e2t + 1) dt = x + 2 (C1et + C2e 2t + 1) - 3C1et + 2C2e2t = x + 2C1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

그래서 우리는 두 번째 미지 함수 x(t) = - C 1 · e t + 1을 계산했습니다.

답: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

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