Vereshchagin의 규칙에 따른 움직임 결정. Vereshchagin의 법칙을 사용한 Mohr 적분 계산

위 내용 외에도 분석 방법빔의 움직임을 결정하는 데 더 많은 적용 가능한 다른 분석 및 그래픽 분석 방법이 있습니다. 복잡한 시스템, 예를 들어 깨진 축과 정적으로 부정확한 시스템이 있는 구조입니다.

그러한 방법 중 하나는 다음을 기반으로 합니다. 모어 적분 그리고 Vereshchagin의 규칙. 이 방법의 핵심은 관심 있는 이동 방향에 단위 하중(힘 또는 토크)을 적용하고 Mohr 적분을 계산하는 것입니다. Mohr 적분의 표현은 Castigliano의 정리에 기초하여 도출되었으며, 이는 여기에 증거 없이 명시되어 있습니다.

카스티글리아노의 정리. 일반화된 힘과 일반화된 변위에 대한 잠재적 변형 에너지를 파생합니다.

곡선 빔의 잠재적 변형 에너지는 다음 공식으로 표현됩니다.

Castigliano의 정리에 기초하여 일반화된(선형 또는 각도) 변위 D는 다음과 같이 정의됩니다.

일반화된 힘이라면 큐 06이 1과 같으면 편도함수는 수치적으로 순간과 같습니다. 남° 단위 부하

빔의 단면 r에서 (다른 힘의 모멘트의 부분 미분은 0과 같습니다. 왜냐하면 이 모멘트는 단위 하중에 의존하지 않기 때문입니다). 결과는 Mohr 적분이라는 공식입니다.

구조의 별도 섹션에 대해 Mohr 적분은 다음 형식으로 작성됩니다.

여기서 D는 일반화된(선형 또는 각도) 움직임입니다. / - 섹션의 길이; 중 - 모멘트 방정식 외력; 남° - 단위 하중 모멘트 방정식; τ7은 구조 단면의 강성이다.

선형 변위를 결정하기 위해 단면에 단위 무차원 힘을 적용하고, 각도 변위를 결정하기 위해 단위 무차원 모멘트를 적용합니다. 일정한 강성을 갖는 구조의 경우 적분 부호에서 이를 꺼낼 수 있습니다.

예를 들어, 그림 1에 표시된 빔에 대한 Mohr 적분을 계산해 보겠습니다. 6.27

쌀. 6.27

굽힘 모멘트의 함수는 모멘트 다이어그램으로 그래픽적으로 표현되므로 모어 적분을 다이어그램의 면적과 세로 좌표로 표현하는 것이 가능해 보입니다. Vereshchagin의 규칙 , 그렇지 않으면 호출 다이어그램을 곱하여. 이 규칙은 다음과 같이 공식화됩니다. 구하는 적분은 하중 다이어그램 M의 면적과 무게 중심 아래에 위치한 단위 다이어그램의 세로 좌표의 곱과 같습니다.뱃짐 외력의 굽힘 모멘트 다이어그램이 명명됩니다.

다이어그램의 면적과 세로 좌표는 플러스 또는 마이너스 기호로 표시되며, 양의 결과는 원하는 변위 방향이 단위 하중의 방향과 일치함을 의미합니다. 고려 중인 구조에 여러 섹션이 있는 경우 각 섹션에 대해 개별적으로 계산이 수행되고 결과가 요약됩니다.

예를 들어 Vereshchagin의 법칙을 사용하여 그림 1에 표시된 보 끝 부분의 선형 변위와 회전 각도를 결정해 보겠습니다. 6.24.

빔 자유단의 선형 변위를 결정하기 위해 빔 끝에 수직 단위 힘을 적용하고 하중 다이어그램과 단위 힘 모멘트 다이어그램을 고려합니다. 그 다음에

이는 y에 대한 표현식과 일치합니다. 다섯, 예제 6.8에서 얻은 것입니다.

보 끝 부분의 회전 각도를 결정하기 위해 보 끝 부분에 단위 모멘트를 적용하고 다이어그램을 구성합니다. 그 다음에

긍정적인 대답은 단위 하중과 변위의 방향이 일치한다는 것을 의미합니다. 단위 다이어그램의 면적에 단위 다이어그램 영역의 무게 중심 위에 위치한 하중 다이어그램의 세로 좌표를 곱하면 동일한 결과를 얻습니다.

시스템의 정적 불확정성을 나타내려면 지지대 중 하나를 폐기하고 반력으로 교체한 다음 단위 하중을 적용한 다음 하중 및 단위 다이어그램을 구성해야 합니다. Vereshchagin의 규칙에 따라 다이어그램을 곱하고 결과 변위를 0으로 동일시함으로써 시스템의 정적 불결정을 밝히는 데 필요한 추가 방정식을 얻습니다.

예제 6.11

그림 2에 표시된 측면 /가 있는 2개의 지지 사각형 프레임의 정적 불결정을 확장합니다. 6.28, 에이.

해결책. 지지대를 버리고 반응으로 교체하자 Хь 유 Х 2, Y 2. 지지점에 대한 모멘트 방정식을 구성하고 이를 해결하면 다음을 얻습니다. Y2-P , Y x = -P . 수평 축에 대한 투영 방정식 P-X x + X 2 = 0에는 두 개의 미지수가 있습니다. 그림과 같이 프레임의 오른쪽 끝에 단위 힘을 적용해 보겠습니다. 6.28, 디 그리고 개별 순간의 다이어그램을 구성합니다. 그림에서. 6.28, 비그 굽힘 모멘트의 하중 다이어그램이 구성되었습니다. 규칙에 따라 곱하기

쌀. 6.28

Vereshchagin 하중 및 단위 다이어그램을 사용하여 프레임의 정적 불확정을 밝히는 데 필요한 추가 방정식을 얻습니다.

세 번째 항의 빼기 기호는 활동력의 다이어그램 때문에 발생합니다. 아르 자형 및 단위 힘은 다음과 같이 위치합니다. 다른 측면막대의 축에서.

계산을 수행하면 , 어디. 대답에 마이너스가 있는 것은 반응이 X 2 보낸 사람 반대편. 다음으로 우리는 찾습니다

움직임의 결정. O. Simpson의 방법과 결합된 Mohr의 방법(공식)

움직임(선형 또는 각도)을 확인하려면 Mohr의 방법으로빔을 고려중입니다 두 가지 상태: 실제 및 보조. 보조 상태결과는 다음과 같습니다. 먼저 지정된 전체 하중을 제거한 다음 변위를 결정해야 하는 위치와 원하는 변위 방향으로 "단위 힘 계수"를 적용해야 합니다. 게다가 우리가 결정할 때 선형 운동(빔 편향),그런 다음 "단일 힘 요소"가 사용됩니다. 집중된 힘, 그리고 찾아야 할 경우 회전 각도, 그러면 첨부해야 합니다 집중된 커플.

다음으로, 두 상태(즉, 실제 및 보조 모두)의 동일한 임의 섹션에서 굽힘 모멘트에 대한 분석 표현이 컴파일되어 다음 공식으로 대체됩니다. "모어 적분":

어디에: 서명하다 Σ 에 적용 모든 지역빔,

에이 EI – 굽힘 엄격사이트에서.

많은 경우 Mohr 통합을 피할 수 있습니다그리고 방법을 적용하다 "곱하기" 다이어그램. 그러한 방법 중 하나는 심슨의 방식길이 섹션에 대한 Mohr 적분 값 ℓ 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

여기에 표시됩니다: 에이, 비그리고 와 함께 – 각각 실제 상태의 굽힘 모멘트 다이어그램의 극단 및 평균 세로 좌표 중,

– 굽힘 모멘트 다이어그램의 극단 및 중간 좌표, 그러나 보조 상태일 뿐이다.

서명 규칙:두 다이어그램의 "곱해진" 세로 좌표가 모두 있는 경우 다이어그램 축의 한쪽에(즉, 동일한 부호를 가짐)) 그런 다음 해당 제품 앞에 표지판을 넣어야 합니다. "을 더한: 만약 그들이 반대편에다이어그램 축에서 제품 앞에 표지판을 넣습니다. "마이너스".

다이어그램을 "곱하는" 방법(Simpson 방법 외에도 알려져 있음)을 명심해야 합니다. Vereshchagin의 방법) 가능한 경우에만 적용 가능 두 가지 조건:

고려 중인 영역에서 빔의 굽힘 강성은 일정해야 합니다. (EI= 상수),
이 섹션의 두 모멘트 다이어그램 중 하나는 다음과 같아야 합니다. 필연적으로 선형. 이 경우 두 다이어그램 모두에는 골절

여러 지역이 있는 경우지정된 두 가지 조건을 만족하는 빔에서 변위를 결정하는 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

결과가 나오면계산 긍정적으로 밝혀졌다, 그러므로, 원하는 움직임의 방향은 "단위 힘 계수"의 방향과 일치합니다.(), 결과가 음수이면 원하는 움직임이 이 요소와 반대 방향으로 발생합니다.

심슨의 공식은 다음과 같이 작성되었습니다. 순간들, 다음과 같습니다: 변위(편향 또는 회전 각도)가 동일합니다.

어디 리 – 단면 길이;

EIii – 빔 강성사이트에서;

남 여 – 하중 다이어그램의 굽힘 모멘트 값, 각각 사이트;

– 단일 다이어그램의 굽힘 모멘트 값,각기 처음에도, 중간에도, 마지막에도구성.

다이어그램을 곱할 때 다음을 결정하는 것이 유용합니다. 굽힘 모멘트의 세로 좌표:

, 어디

일

왼쪽 지지대 ψ 섹션의 회전 각도를 결정합니다. 에이

1) 찾기 실제 상태 지원 반응 .

2) 우리는 구축한다 실제 상태의 순간을 보여주는 다이어그램중.

3) 보조 상태 선택회전 각도 ψ를 결정하기 위해 에이.

4) 보조 상태의 지지 반응 찾기

우리는 빼기 기호에 "반응"합니다.

5) 우리는 보조 상태의 순간에 대한 다이어그램을 구성합니다.:

6) 다이어그램을 "곱하기"

그 중 하나(즉)는 전체 범위에 걸쳐 선형이고 파손이 없기 때문에 다이어그램은 중또한 골절이 없으면 Simpson 공식에는 섹션이 하나만 있고

더하기 기호는 해당 섹션을 나타냅니다. 에이'한 순간'을 향해 나아가다

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변위를 결정하는 심슨의 공식

Simpson의 공식을 사용하여 변위를 결정하려면 다음을 수행해야 합니다.

짓다 부하 다이어그램모멘트(모든 외부 하중이 작용하는 순간의 다이어그램).
짓다 단일 다이어그램순간. 이를 위해 선형변위(처짐)를 결정해야 하는 구간에서는 단위힘을 가하고, 각도변위를 결정하기 위해서는 단위모멘트를 가하고, 이 단위계수로부터 굽힘모멘트의 도표를 구성한다.
Simpson 공식이라는 공식을 사용하여 다이어그램(하중 및 단위)을 곱합니다.

어디 내가– 섹션 길이;

나는– 해당 지역의 빔 강성;

뱃짐다이어그램은 각각

– 굽힘 모멘트 값 하나의다이어그램은 각각

다이어그램의 좌표가 위치한 경우 빔 축의 한 쪽에서는 곱할 때 "+" 기호가 고려되고, 다른 쪽에서는 "-" 기호가 고려됩니다.

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2.8 다이어그램 곱셈의 기본 옵션

적용되는 분야가 다양하다는 것은 명백합니다.
하중과 기하학적 패턴
디자인은 다양하게 이어집니다.
기하학 관점, 곱셈 가능
다이어그램 Vereshchagin의 규칙을 구현하려면
기하학의 영역을 알아야 한다
무게 중심의 수치와 좌표.
그림 29는 몇 가지 기본 사항을 보여줍니다.
실제로 발생하는 옵션
계산.

복잡한 모양의 다이어그램을 곱하려면
그것들은 더 간단한 것으로 분해될 필요가 있습니다.
예를 들어, 두 개의 다이어그램을 곱하려면,
사다리꼴 모양이므로 그중 하나가 필요합니다.
삼각형과 직사각형으로 나누어서
각각의 면적에 곱하기
두 번째 다이어그램의 세로 좌표
적절한 무게중심 아래에서
결과를 합산하세요. 비슷하게
곡선을 곱하는데도 사용됩니다.
선형 다이어그램에 사다리꼴을 추가합니다.

위의 단계를 수행하면
다섯 일반적인 견해, 그러면 우리는 그런 것을 얻습니다
복잡한 사례편리한 수식
실제 계산에 사용
(그림 30). 그래서 곱셈의 결과는
두 개의 사다리꼴(그림 30, a):

쌀. 29

공식 (2.21)을 사용하면 다음과 같이 곱할 수 있습니다.
"뒤틀린" 것처럼 보이는 다이어그램
사다리꼴 (그림 30, b), 그러나 동시에 제품
서로 다른 측면에 위치한 좌표
기호를 고려하여 다이어그램 축에서
마이너스.

곱해지는 플롯 중 하나에 윤곽이 그려져 있는 경우
정사각형 포물선을 따라(에 해당함)
균일하게 분포된 하중
로드), 그런 다음
두 번째(반드시 선형) 다이어그램
이는 합계로 간주됩니다 (그림 30, c) 또는
차이 (그림 30, d) 사다리꼴 및
포물선 다이어그램. 결과
두 경우 모두 곱셈이 결정됩니다
공식:

그러나 f의 값은 결정됩니다
다른 방식으로 (그림 30, c, d).

쌀. 30

어느 하나도 해당되지 않는 경우가 있을 수 있습니다.
다이어그램은 곱할 수 없습니다
간단하지만 그 중 적어도 하나는
끊어진 직선으로 제한됩니다.
그러한 다이어그램을 곱하려면
미리 섹션으로 나누어져 있고,
각 항목 내에서 적어도
적어도 하나의 다이어그램은 직선입니다.

규칙 사용을 고려하세요.
구체적인 예를 사용하는 Vereshchagin.

실시예 15.처짐을 결정
중간 경간 및 좌회전 각도
하중을 받는 빔의 지지 부분
고르게 분산된 하중
(그림 31, a), Vereshchagin의 방법.

계산 방법의 순서
Vereshchagina - 방법과 동일
모라, 그럼 세 가지 상태를 고려해 봅시다
빔: 화물 - 작동 중
분산 하중 q; 그에게
다이어그램 M q (그림 31, b)에 해당합니다.
두 개의 단일 상태 - 작업 중
힘
C 지점에 적용(다이어그램
,
그림 31,c) 및 순간
,
B 지점에 적용(다이어그램
,
그림 31, d).

스팬 중간의 빔 편향:

비슷한 결과가 나왔습니다
이전에는 Mohr의 방법을 사용했습니다(예 13 참조). 해야 한다
그 사실에 주목하라
다이어그램의 곱셈이 수행되었습니다.
빔의 절반, 그리고 대칭으로 인해
결과는 두 배로 늘어났습니다. 해당 지역의 경우
전체 다이어그램에 M q를 곱한 값
무게 중심 아래에 위치
다이어그램의 세로 좌표
(
~에
그림 31, c), 그러면 이동량은
완전히 다르고 부정확하기 때문에
도표
파선으로 제한됩니다. ~에
그러한 접근 방식은 이미 허용되지 않습니다.
위에서 언급한.

그리고 단면의 회전 각도를 계산할 때
지점 B에서 다이어그램 M q의 면적에 중심 아래에 있는 면적을 곱할 수 있습니다.
중력 세로 좌표
(
,
그림 31, d), 다이어그램 이후
직선으로 제한됩니다.

이 결과는 다음과도 일치한다.
이전 방법으로 얻은 결과
모라(예 13 참조)

쌀. 31

실시예 16.수평 정의
그리고 점 A의 수직 이동
프레임 (그림 32, a).

이전 예와 마찬가지로 해결하려면
세 가지 문제를 고려해야 한다
프레임 상태: 화물 및 2개의 싱글.
순간의 다이어그램 M F 해당
첫 번째 상태, 다음에 제시됨
그림 32, b. 수평을 계산하려면
움직임은 A 지점에 적용됩니다.
원하는 이동 방향(예:
수평) 힘
,
수직을 계산하려면
움직이는 힘
수직으로 적용하십시오 (그림 32, c, d).
해당 다이어그램
그리고
그림 32, d, f에 나와 있습니다.

A점의 수평 이동:

계산할 때

AB 섹션에는 사다리꼴이 있습니다 (다이어그램 M F)
삼각형과 직사각형으로 나누어져 있으며,
그 후 다이어그램의 삼각형
"곱해"
이 수치 각각에 대해. 항공기 현장에서
곡선 사다리꼴로 나누어
곡선의 삼각형과 직사각형,
SD 섹션의 다이어그램을 곱하는 경우
공식(2.21)이 사용되었다.

계산 중에 얻은 "-" 기호

,
점 A가 따라 움직인다는 것을 의미합니다.
왼쪽이 아닌 수평(이 방향으로)
힘이 가해짐
),
그리고 오른쪽으로.

여기서 "-" 기호는 해당 지점을 의미합니다.
그리고 그것은 위로가 아니라 아래로 움직입니다.

순간의 단일 다이어그램에 주목하세요.
힘으로 지어진

,
길이와 단위의 차원을 가짐
순간으로부터 만들어진 순간의 다이어그램
,
무차원이다.

실시예 17.수직 정의
이동점 A 평면공간
시스템 (그림 33, a).

그림 23

알려진 바와 같이(1장 참조), 가로로
평면 공간 막대의 단면
시스템은 세 가지 내부에서 발생합니다.
역률: 전단력 Qy,
굽힘 모멘트 M x 및 토크
순간 M cr. 영향을 받은 이후
변위당 전단력
중요하지 않음(예 14 참조,
그림 27), 변위를 계산할 때
Mohr와 Vereshchagin의 6가지 방법
두 개의 용어만 남습니다.

문제를 해결하기 위해 다이어그램을 구성하겠습니다.
굽힘 모멘트 M x,q 및 토크
외부 하중으로부터의 순간 M cr,q
(그림 33, b) 그런 다음 A 지점에서 힘을 가합니다.
원하는 움직임 방향으로,
저것들. 수직 (그림 33, c) 및 빌드
굽힘 모멘트의 단일 다이어그램
그리고 토크
(그림 33, d).
토크 다이어그램의 화살표
트위스트 방향 표시
관련 분야
평면 공간 시스템.

A점의 수직 이동:

토크 다이어그램을 곱할 때
작업은 "+" 기호로 수행됩니다.
화살표가 방향을 가리키는 경우
비틀림, 양방향 및 기호 "
- " - 그렇지 않으면.

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Vereshchagin 방법을 사용하여 다이어그램 곱하기

계산하려면 다음 작업을 수행해야 합니다.

1. 굽힘 모멘트의 다이어그램 구성 씨그리고 MK각각 빔의 주어진 하중과 단위 하중에 따라 달라집니다. 빔의 복잡한 하중으로 (그림 19, 에이)다음: 두 다이어그램 중 하나 씨무게 중심의 영역과 위치가 알려진 가장 간단한 부분으로 분해하거나 (그림 19, b) 또는 (바람직하게는) 다이어그램을 구성합니다. 씨계층화 된 형태로 (그림 19, c).

보에 단계적 가변 단면이 있는 경우 다이어그램은 씨또한 단면 강성이 일정한 단면으로 나누어야 합니다.

2. 각 섹션에서 다이어그램 중 하나의 면적 Ω을 곱합니다(예: 다이어그램 씨)세로좌표 당 양다른 다이어그램(예: 다이어그램 MK)첫 번째 다이어그램의 무게 중심 아래에서 결과 제품을 단계 계수 j로 나눕니다.

이 경우 세로좌표는 양고려 중인 영역에서 선형 법칙에 따라 (중단 없이) 변경되는 다이어그램을 따라야 합니다. 다이어그램이 파손된 경우 선형이 될 섹션으로 나누어야 합니다.

3. 제2항에 명시된 조건의 합을 계산합니다.

고려 중인 방법을 사용하여 움직임을 결정하는 공식

빔의 모든 단면에 걸쳐 합산이 수행되는 곳

일부 다이어그램의 무게 중심 영역과 좌표가 표에 나와 있습니다. 11. 자주 발생하는 하중과 단위선도를 곱한 결과는 표와 같다. 12.

예.회전 각도 결정 가치 안에계단식 빔 (그림 19, a 참조).

지지 반응 A와 B를 결정한 후 , 다이어그램을 만들어보자 씨그림에서. 19, 비그리고 다섯비층화 다이어그램과 계층화 다이어그램이 표시됩니다. 씨.하중에서 해방된 보의 B점에 단위 모멘트를 적용하여 단위 다이어그램을 구성합니다. M1(그림 19.g).

공식 36과 표에 따라 계층 다이어그램 Mp를 사용합니다. 12 섹션 B의 원하는 회전 각도를 결정합니다.

무화과. 20

예.단면이 일정한 빔의 K 지점에서의 편향을 결정합니다(그림 20, a).

빔의 주어진 하중에서 벗어난 지점 K에 단위 힘을 적용함으로써 굽힘 모멘트 Mk의 단위 다이어그램을 구성합니다(그림 20, b).
주어진 하중으로부터 지지 반응을 결정한 후

콘솔을 잘라서 강제로 교체하자 qa 및 순간(그림 20, c).

단일 다이어그램의 중단점에 접근하여 계층화된 다이어그램 M(각 부하 유형에 대해 개별적으로)을 구성해 보겠습니다. MK양쪽에 (그림 20, 나 ).

표를 사용하여 공식 (36)에 따라. 12 필요한 변위를 결정

솔루션 주문 결제방법

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Simpson의 공식을 사용하여 빔의 변위 결정

빔의 경우 강도 조건에서 I-빔 단면을 이전에 선택한 A, B, C 지점의 선형 및 각도 변위를 결정합니다.

주어진:에이=2m,비=4m, s=3m,에프=20kN, M=18kN중,큐=6kN/m, σ아담=160MPa, E=210 5MPa

1) 보의 다이어그램을 그리고 지지 반응을 결정합니다.하드 씰에서는 발생합니다. 3개의 반응 - 수직과 수평, 게다가 지지하는 순간.수평 하중이 없으므로 해당 반응은 0입니다. E점에서의 반응을 찾기 위해 다음과 같이 구성합니다. 평형 방정식.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(기호는 다음을 가리킨다.

우리는 찾을 것이다 견고한 매립의 지지 모멘트, 선택한 점을 기준으로 모멘트 방정식을 푼다.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(기호는 다음을 가리킨다. 반응은 다음으로 향한다. 뒷면, 이를 다이어그램에 표시합니다)

2) 주어진 하중의 순간 다이어그램 인 하중 다이어그램 M F를 작성합니다.

순간의 다이어그램을 구성하기 위해 우리는 다음을 찾습니다. 특징적인 지점의 순간. 안에 B점우리는 순간을 결정합니다 좌우 세력 모두로부터, 이 시점에서 순간이 적용되기 때문입니다.

분산 하중의 작용선에 모멘트 다이어그램을 작성하려면(단면) AB와 BC) 우리는 필요하다 추가 포인트곡선을 그리는 것입니다. 순간을 정의하자 중간에이 지역. 섹션 AB와 BC의 중간에 있는 순간입니다. 15.34kNm 및 23.25kNm. 우리는 건물을 짓고 있다 화물 다이어그램.

3) 한 지점에서 선형 및 각도 변위를 결정하려면 이 지점에 첫 번째 경우를 적용해야 합니다. 단위 힘(F=1)두 번째 경우에는 순간의 다이어그램을 작성합니다. 단일 순간(M=1) 모멘트 다이어그램을 구성합니다. 우리는 각 지점(A, B, C)에 대한 단위 하중 다이어그램을 작성합니다.

4) 변위를 찾기 위해 Simpson의 공식을 사용합니다.

어디 내가 - 섹션의 길이;

나는– 해당 지역의 빔 강성;

남 여– 하중 다이어그램의 굽힘 모멘트 값, 각각 섹션의 시작, 중간, 끝 부분에;

– 단일 다이어그램의 굽힘 모멘트 값, 각각 섹션의 시작 부분, 중간 부분, 끝 부분에 있습니다.

다이어그램의 세로 좌표가 빔 축의 한쪽에 있으면 곱할 때 "+" 기호가 고려되고, 다른쪽에 있으면 "-" 기호가 고려됩니다.

결과에 "-" 기호가 있으면 원하는 방향 변위가 해당 단위 힘 계수의 방향과 일치하지 않습니다.

고려해 봅시다 점 A에서의 변위를 결정하는 예를 사용하여 Simpson의 공식을 적용합니다.

정의해보자 편향,하중 다이어그램에 단위 힘 다이어그램을 곱합니다.

편향이 밝혀졌습니다 "-" 기호가 있는필요한 변위를 의미합니다. 방향은 단위 힘의 방향(위쪽을 향함)과 일치하지 않습니다.

정의해보자 회전 각도, 단일 순간의 다이어그램에 부하 다이어그램을 곱합니다.

회전 각도는 다음과 같습니다. "-" 기호가 있는이는 원하는 방향 변위가 해당 단위 모멘트의 방향(시계 반대 방향)과 일치하지 않음을 의미합니다.

5) 특정 변위값을 결정하려면 단면을 선택해야 합니다. I빔의 단면을 선택해 봅시다

어디 M최대- 이것 부하 모멘트 다이어그램의 최대 모멘트

구색으로 선택합니다 W x = 472 cm 3 및 I x = 7080 cm 4인 I-빔 No. 30

6) 지점에서의 변위를 결정합니다.공개 단면 강성: E – 재료의 세로 탄성 계수 또는 영률(2 10 5 MPa),제이엑스 – 축 모멘트단면 관성

A 지점에서의 처짐(위쪽)

회전 각도(시계 반대 방향)

구축이 필요한 경우 곡선형 빔 축, 그런 다음 빔은 하중 없이 그려지고 해당 방향의 편향은 점(매끄러운 곡선이 구성됨), 즉 빔의 곡선 축에 배치됩니다.

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규칙, 방법 또는 Mohr-Vereshchagin 방법에 따라 다이어그램을 곱합니다.

안녕하세요! 이 기사에서는 움직임을 결정하는 방법을 배웁니다. 단면구부릴 때: Vereshchagin의 방법(방법, 규칙)에 따른 편향 및 회전 각도. 더욱이, 이 규칙은 변위를 결정하는 것뿐만 아니라 힘의 방법을 사용하여 시스템의 정적 불확정성을 밝히는 데에도 널리 사용됩니다. 이 방법의 본질, 다양한 복잡성의 다이어그램이 어떻게 곱해지는지, 이 방법을 사용하는 것이 언제 유익한지에 대해 설명하겠습니다.

이 수업의 자료를 성공적으로 익히려면 무엇을 알아야 합니까?

굽힘 모멘트 다이어그램이 어떻게 구성되는지 아는 것이 중요합니다. 이 기사에서는 이 다이어그램을 사용하여 작업합니다.

Vereshchagin과 그의 방법, 규칙 또는 방법

A.K. 1925년의 베레샤긴 Mohr 적분을 풀기 위한 더 간단한 방법(공식)을 제안했습니다. 그는 두 가지 기능을 통합하는 대신 다이어그램을 곱하는 것을 제안했습니다. 첫 번째 다이어그램의 무게 중심 아래에 있는 두 번째 다이어그램의 세로 좌표를 한 다이어그램의 면적에 곱하는 것입니다. 이 방법은 다이어그램 중 하나가 직선이고 두 번째 다이어그램이 임의일 때 사용할 수 있습니다. 또한, 세로좌표는 직선도에서 따온 것입니다. 두 다이어그램이 모두 직선인 경우 누구의 영역을 차지할지, 누구의 세로 좌표를 사용할지는 전혀 중요하지 않습니다. 따라서 Vereshchagin에 따른 다이어그램은 다음 공식에 따라 곱해집니다.

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \omega )_( C )\cdot ( \overline ( M ) )_( C ) \)

Vereshchagin에 따른 다이어그램의 곱셈이 설명되어 있습니다. C는 첫 번째 다이어그램의 무게 중심, Ωс는 첫 번째 다이어그램의 영역, Mc는 첫 번째 다이어그램의 무게 중심 아래에 있는 두 번째 다이어그램의 세로 좌표입니다.

도표의 면적과 무게중심

Vereshchagin 방법을 사용하면 다이어그램의 전체 영역이 한 번에 표시되지 않고 부분적으로 섹션 내에서 표시됩니다. 굽힘 모멘트의 다이어그램은 간단한 그림으로 계층화됩니다.

모든 다이어그램은 직사각형, 직사각형, 세 가지 그림으로만 나눌 수 있습니다. 직각삼각형포물선 세그먼트.

Vereshchagin에 따른 다이어그램의 곱셈

이 기사 블록에서는 Vereshchagin에 따라 다이어그램을 곱하는 특별한 경우를 보여줍니다.

직사각형에서 직사각형으로

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot c ) \)

직사각형에서 삼각형으로

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( b\cdot h\cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)

삼각형에서 직사각형으로

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( 1 )( 2 ) \cdot b\cdot h\cdot c ) \)

직사각형으로 분할

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot c ) \)

삼각형당 세그먼트

\(( V=( M )_( F ) )\cdot \overline ( M ) =( \frac ( q\cdot ( l )^( 3 ) )( 12 ) \cdot \frac ( 1 )( 2 ) \cdot c ) \)

다이어그램을 간단한 그림으로 계층화하는 특수 사례

이 기사 블록에서는 다이어그램을 계층화하는 특별한 사례를 보여 드리겠습니다. 간단한 숫자, Vereshchagin에 따른 곱셈의 가능성.

직사각형과 삼각형

두 개의 삼각형

두 개의 삼각형과 세그먼트

삼각형, 직사각형 및 세그먼트

변위 결정의 예: Vereshchagin에 따른 편향 및 회전 각도

이제 횡단면의 변위, 즉 편향 및 회전 각도를 계산하는 구체적인 예를 고려할 것을 제안합니다. 모든 종류의 하중을 받는 강철 빔을 선택하고 단면 C의 처짐과 단면 A의 회전 각도를 결정해 보겠습니다.

굽힘 모멘트 다이어그램 구성

우선 굽힘 모멘트 다이어그램을 계산하고 구성합니다.

단일 순간 다이어그램 구성

이제 원하는 각 변위에 대해 단위 하중(1과 동일한 무차원 값)을 적용하고 단위 다이어그램을 구성해야 합니다.

처짐의 경우 단위 힘이 적용됩니다.
회전 각도의 경우 단일 모멘트가 적용됩니다.

게다가 이러한 하중의 방향은 중요하지 않습니다! 계산을 통해 올바른 이동 방향이 표시됩니다.

예를 들어, 계산 후 처짐 값은 양수로 나타났습니다. 이는 단면의 이동 방향이 이전에 적용된 힘의 방향과 일치함을 의미합니다. 회전 각도도 마찬가지입니다.

Vereshchagin에 따른 다이어그램 섹션의 곱셈

결국 준비 작업: 굽힘 모멘트 다이어그램을 구성하고 이를 기본 수치로 나누고 원하는 변위의 위치와 방향에 가해지는 하중으로 단일 다이어그램을 구성하면 해당 다이어그램을 직접 곱하는 작업을 진행할 수 있습니다.

이미 위에서 쓴 것처럼, 선형 다이어그램어떤 순서로든 곱할 수 있습니다. 즉, 기본 또는 단위 다이어그램의 영역을 취하고 다른 다이어그램의 세로 좌표를 곱할 수 있습니다. 그러나 일반적으로 계산에 혼동을 주지 않기 위해 해당 영역을 사용합니다. 굽힘 모멘트의 주요 다이어그램, 이번 강의에서는 동일한 규칙을 따르겠습니다.

단면 처짐 C 결정

해당 다이어그램을 왼쪽에서 오른쪽으로 곱하고 Mohr-Vereshchagin 방법을 사용하여 단면 C의 처짐을 계산합니다.

\[ ( V )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2+\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 2\cdot \frac ( 2 )( 3 ) \cdot 2)=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I ) _( x ) ) \]

계산되는 빔에 GOST 8239-89에 따라 I-빔 24번 형태의 단면이 있다고 가정하면 빔의 편향은 다음과 같습니다.

\[ ( V )_( C )=\frac ( 20kN( m )^( 3 ) )( E( I )_( x ) ) =\frac ( 20\cdot ( 10 )^( 9 )N\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( H )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =0.289 cm \]

섹션 C의 회전 각도 결정

해당 다이어그램을 왼쪽에서 오른쪽으로 곱하고 Mohr-Vereshchagin 규칙을 사용하여 섹션 C의 회전 각도를 계산합니다.

\[ ( \theta )_( C )=\frac ( 1 )( E( I )_( x ) ) (-\frac ( 1 )( 2 ) \cdot 6\cdot 3\cdot \frac ( 1 )( 3 ) \cdot 1)=-\frac ( 3kN(m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) \]

\[ ( ( \세타 ) )_( C )=-\frac ( 3kN( m )^( 2 ) )( E( I )_( x ) ) =-\frac ( 3\cdot ( 10 )^( 7 )Н\cdot ( cm )^( 3 ) )( 2\cdot ( 10 )^( 7 )\frac ( Н )( ( cm )^( 2 ) ) \cdot 3460( cm )^( 4 ) ) =- 0.0004rad\]

sopromats.ru

사다리꼴 및 심슨 공식

이점을 활용하자
Vereshchagin의 곱셈 법칙
다음 형식을 갖는 두 개의 직선 다이어그램
사다리꼴. 두 사다리꼴을 다음과 같이 나누어 보겠습니다.
삼각형의 면적과
무게중심 위치가 쉽다
결정됩니다.

도표
중 에프

ω 1

기음 1 기음 2

ω 2

도표

우리
받았다 공식
사다리꼴,
~에 따르면
해당 제품은
다이어그램의 왼쪽 및 오른쪽 세로 좌표가 필요합니다.
이중과 십자가의 산물
세로좌표를 단일 좌표로 취하고 그 결과
길이의 6분의 1을 곱하세요.
도표.

고려해 봅시다
하중 다이어그램이 제시된 경우
정사각형 포물선 및 단위 다이어그램
– 사다리꼴.

ω 추신

함께
극단적인 세로 좌표를 사용하면 평균 좌표도 표시됩니다.

그것을 분해하자
사다리꼴의 곡선 다이어그램과
포물선 세그먼트.

우리는 생산할 것입니다
해당 수치의 곱셈.

표현
나 티
우리는 가지고 있습니다. 우리는 찾을 것이다
.

정사각형
포물선 세그먼트:

세로좌표
무게 중심 아래 단일 플롯
포물선 세그먼트:

후에
우리가 얻는 대체물 공식
심슨:

일하다
두 다이어그램은 제품의 합과 같습니다
극좌표 및 4배
평균 세로좌표를 곱한 결과
다이어그램 길이의 1/6만큼.

§7. 정적으로 불확정 막대 시스템(SNS)의 힘 계산.

정적으로
불확정 시스템(INS)에는
장점과 단점 비교
정적으로 정의 가능한 시스템 포함
(위급 신호).

장점:

SNA
생존력이 더 높아요
SOS보다 부하가 걸린 상태에서 작동합니다. 안에
SOS 거의 모든 요소
똑같이 긴장되어 있기 때문에 그들은
한계 내에서만 힘을 비축합니다.
안전계수 케이
=1,5
– 2. 적어도 하나의 요소가 다음과 같은 경우
다섯 한계 상태, 전체 구조
관점에서 받아들일 수 없는 것을 받게 될 것이다
변형이나 붕괴를 계산하는 기준.
SNS는 불평등한 스트레스를 받는 구조이다
그리고 가장 강렬한 전환 중에
요소를 한계 상태로,
노력의 재분배가 있습니다
스트레스가 적은 부하 증가로 인해
강요.

SNS,
불필요한 연결과 중복으로 인해
개별 요소의 강성, 덜
SOS보다 더 변형적입니다. 그들은 더 적은 것을 가지고 있다
선형 각도 운동.

결점:

SNA
SOS보다 계산이 더 복잡합니다.
과잉 존재로 설명됨
(추가) 연결. 계산 복잡성
SNA는 3승에 비례합니다.
추가 연결 수, 즉
.
예를 들어 두 시스템의 경우 N 1 =1,
N 2 =4 ,
저것
티 1 = α ,
티 2 =64α,
저것들. 계산 시간이 64배 증가합니다.

안에
요소 내 힘의 SNA 분포
기하학적 치수에 따라 다릅니다.
그 정의는 차례로,
저항의 주요 임무는
재료. 따라서 발생하는
선험적 과제의 필요성
굽힘 강성과 가로 방향
개별 막대의 섹션: (어이) 케이 =α 케이 (어이),
이는 모호함으로 이어진다.
건설적인 솔루션.

더
강성의 성공적인 할당에 따라
저항 작업의 본질을 이해함으로써
재료는 더 많은 것을 창조하게 될 것입니다
최적의 디자인.

안에
SNS가 어려워 보일 수도 있다
예측 가능한 크기
응력-변형 상태,
온도 변화로 인한
독립적인 지원 정산. 변화
요소 중 하나의 온도로 인해
온도 스트레스의 출현
모든 SNA 막대에서. 부정확성과 동일
막대 중 하나를 제조하거나
하나의 결합이 변위되면 모양이 나타납니다.
모든 막대에 설치 응력이 가해집니다.
SOS에서는 그러한 긴장이 발생하지 않습니다.

고려해 봅시다
SNA를 계산하는 기본 방법
하중의 정적 충격.

일정한 강성을 갖는 직선 요소로 구성된 시스템에서 변위를 결정하는 것은 형태 적분을 계산하는 특수 기술을 사용하여 상당히 단순화할 수 있습니다. 피적분자에는 단일 및 실제 상태에 대해 구성된 다이어그램의 좌표인 노력의 곱이 포함된다는 사실로 인해 이 기술을 다이어그램 곱셈 방법이라고 합니다.

예를 들어 곱셈 다이어그램 중 하나가 직선인 경우에 사용할 수 있습니다. 이 경우(그림. 두 번째 다이어그램은 임의의 모양(직선, 부러진 또는 곡선)을 가질 수 있습니다.

표현식에 값을 대입해 보겠습니다.

다이어그램의 미분 영역은 어디에 있습니까 (그림 17.11).

적분은 축을 기준으로 다이어그램 영역의 정적 모멘트를 나타냅니다(그림 17.11).

이 정적 순간은 다르게 표현될 수 있습니다.

다이어그램 영역의 무게 중심의 가로좌표는 어디에 있습니까?

그러나 이후 (그림 17.11 참조)

(26.11)

따라서 두 다이어그램을 곱한 결과는 첫 번째 다이어그램 영역의 무게 중심에서 취한 다른 (직선) 다이어그램의 세로 좌표와 그 중 하나의 영역의 곱과 같습니다.

다이어그램을 곱하는 방법은 1925년 모스크바 철도 기술자 연구소의 학생인 A. N. Vereshchagin이 제안했기 때문에 Vereshchagin의 법칙(또는 방법)이라고 합니다.

식(26.11)의 왼쪽은 단면 강성이 없다는 점에서 Mohr 적분과 다릅니다. 결과적으로 원하는 변위를 결정하기 위해 Vereshchagin의 규칙에 따라 수행된 다이어그램의 곱셈 결과를 강성 값으로 나누어야 합니다.

세로 좌표는 직선 다이어그램에서 가져와야 한다는 점에 유의하는 것이 매우 중요합니다. 두 다이어그램이 모두 직선이면 모든 다이어그램에서 세로 좌표를 가져올 수 있습니다. 따라서 직선 다이어그램과 (그림 18.11, a)를 곱해야 할 경우 무엇을 취해야 하는지는 중요하지 않습니다. 다이어그램의 무게 중심 아래 세로 좌표로 다이어그램 영역을 곱하거나 다이어그램의 중심 중력 아래(또는 위)의 세로 좌표로 다이어그램의 면적 Q의 곱 Qkyt

사다리꼴 형태의 도형 2개를 곱하면 그 중 하나의 면적의 무게중심 위치를 찾을 필요가 없습니다. 다이어그램 중 하나를 두 개의 삼각형으로 나누고 각 삼각형의 면적에 다른 다이어그램의 무게 중심 아래 세로 좌표를 곱해야합니다. 예를 들어, 그림 1에 표시된 경우입니다. 11.18.b, 우리는

(27.11)

이 공식의 괄호 안에 두 다이어그램의 왼쪽 세로 좌표의 곱과 오른쪽 세로 좌표의 곱은 계수가 2이고 다른 측면에 위치한 세로 좌표의 곱은 계수가 1입니다.

공식(27.11)을 사용하면 "꼬인" 사다리꼴처럼 보이는 다이어그램을 곱할 수 있습니다. 이 경우 동일한 부호를 가진 세로좌표의 곱은 더하기 기호로, 다른 곱은 빼기 기호로 가져옵니다. 예를 들어 그림 1에 표시된 경우입니다. 18.11, b, "꼬인" 형태의 다이어그램과 일반 사다리꼴을 곱한 결과는 와 같습니다. 18.11, g, 동일

곱셈되는 도형 중 하나 또는 둘 다 삼각형 형태인 경우에도 공식 (27.11)을 적용할 수 있습니다. 이러한 경우 삼각형은 하나의 극좌표가 0인 사다리꼴로 처리됩니다. 예를 들어 그림 1에 표시된 다이어그램을 곱한 결과입니다. 18.11, d, 같음

"뒤틀린" 사다리꼴 형태의 다이어그램을 다른 다이어그램과 곱하는 것은 그림 1에 표시된 것처럼 "뒤틀린 사다리꼴을 두 개의 삼각형으로 나누어 수행할 수 있습니다. 18.11, 마.

다이어그램 중 하나 (그림 19.11)가 정사각형 포물선을 따라 윤곽이 그려지면 (균등하게 분포된 하중 q에서) 다른 다이어그램과의 곱셈을 위해 합계로 간주됩니다 (그림 19.11에 표시된 경우 a) 또는 차이 (그림 19.11의 경우, b) 사다리꼴 및 포물선 다이어그램

그림에 표시된 다이어그램을 곱한 결과입니다. 19.11, a는 그것에 대입한 후 동일합니다.

그림에 표시된 다이어그램을 곱한 결과입니다. 19.11, b는 그것에 대입한 후 동일합니다. 그리고 우리는 다음을 얻습니다.

얻은 두 식에서 괄호 안의 합은 두 다이어그램의 극단 세로좌표와 중간 세로좌표의 4배 곱의 합계입니다.

곱셈도형 중 직선이 하나도 없는데 그 중 하나(또는 둘 다)가 점선으로 제한되는 경우가 있습니다. 이 경우 다이어그램을 곱하기 위해 먼저 최소한 하나의 다이어그램이 직선인 각 섹션으로 나뉩니다. 예를 들어, 그림 1에 표시된 다이어그램을 곱할 때 20.11, a, b를 사용하여 두 부분으로 나누고 곱셈의 결과를 합으로 표시할 수 있습니다. 이 동일한 다이어그램을 곱하여 그림 1과 같이 세 부분으로 나눌 수 있습니다. 20.11, c, d; 이 경우 다이어그램을 곱한 결과는 다음과 같습니다.

Vereshchagin의 법칙을 사용할 때 서로 다른 면적을 계산해야 합니다. 기하학적 모양그리고 무게 중심의 위치를 결정합니다. 이와 관련하여 표. 그림 1.11은 가장 일반적인 기하학적 도형의 무게 중심의 면적 값과 좌표를 보여줍니다.

예를 들어, 그림 1에 표시된 보의 C점(힘 하에서)의 편향을 결정하기 위해 Vereshchagin의 방법을 사용하는 것을 고려하십시오. 16.11, 가; 동시에 굽힘 모멘트와 횡력의 작용을 고려합니다.

빔의 단일 상태와 하중 및 단위 힘으로 인한 내부 힘의 다이어그램이 그림 1에 나와 있습니다. 16.11, b, b, d, e, f.

공식 (24.11)에 따르면 다이어그램을 곱할 때 Vereshchagin의 방법을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

이 결과는 통합을 통해 얻은 결과와 일치합니다.

이제 그림에 표시된 프레임의 C 지점의 수평 변위를 결정해 보겠습니다. 21.11, 에이. 프레임 포스트와 크로스바 단면의 관성 모멘트가 그림에 표시되어 있습니다. .

실제 프레임 상태는 그림 1에 나와 있습니다. 21.11, 에이. 이 조건에 대한 굽힘 모멘트 다이어그램(하중 다이어그램)이 그림 1에 나와 있습니다. 21.11, 나.

단일 상태에서는 원하는 변위 방향(즉, 수평)으로 프레임의 C 지점에 1과 동일한 힘이 가해집니다.

표 1.11

(스캔 참조)

이 상태에 대한 굽힘 모멘트 M의 다이어그램(단위 다이어그램)이 그림 1에 나와 있습니다. 21.11, at.

다이어그램의 세로 좌표가 각 요소의 압축 섬유 측면에 표시되어 있기 때문에 다이어그램의 굽힘 모멘트 표시가 표시되지 않을 수 있습니다.

Vereshchagin의 방법 (그림 21.11, b, c)에 따라 하중 다이어그램과 단위 다이어그램을 곱하고 랙 단면과 프레임 크로스바의 관성 모멘트의 다양한 값을 고려하여 다음을 찾습니다. C점의 필요한 변위:

다이어그램을 곱할 때 빼기 기호는 다이어그램과 M이 프레임 요소의 서로 다른 측면에 위치하므로 굽힘 모멘트와 M이 다른 표시.

점 C의 결과 변위의 음수 값은 이 점이 단위 힘의 방향(그림 21.11, c)으로 이동하지 않고 반대 방향, 즉 오른쪽으로 이동함을 의미합니다.

이제 변위를 계산하는 다양한 경우에 Mohr 적분을 적용하는 방법에 대한 몇 가지 실용적인 지침을 제공하겠습니다.

Vereshchagin의 규칙을 사용하여 Mohr 적분을 계산하여 전체 길이에 걸쳐 또는 개별 단면 내에서 단면 강성이 일정한 빔의 변위를 결정하는 것이 좋습니다. 일정하거나 단계적으로 변하는 강성을 갖는 직선 막대로 만들어진 프레임에도 동일하게 적용됩니다.

구조 요소 단면의 강성이 길이를 따라 연속적으로 변하는 경우 Mohr 적분의 직접(해석적) 계산을 통해 변위를 결정해야 합니다. 이러한 구조는 단계 가변 강성 요소가 있는 시스템으로 대체하여 대략적으로 계산할 수 있으며, 그 후 Vereshchagin의 방법을 사용하여 변위를 결정할 수 있습니다.

Vereshchagin의 방법은 변위 결정뿐만 아니라 위치 에너지 결정에도 사용될 수 있습니다.

EE "브슈어"

부서 엔지니어링 그래픽

“MOR 방법에 의한 변위 결정. 베레샤긴의 규칙"

민스크, 2008

이제 고려해 봅시다 일반적인 방법모든 하중 하에서 선형 변형이 가능한 시스템에 적합한 변위 결정. 이 방법은 뛰어난 독일 과학자 O. Mohr가 제안했습니다.

예를 들어, 그림 1에 표시된 보의 A 지점의 수직 변위를 결정하려고 합니다. 7.13, 가. 주어진 (하중) 상태를 문자 k로 표시합니다. 단위를 사용하여 동일한 빔의 보조 상태를 선택하겠습니다.

A 지점과 원하는 변위 방향으로 작용하는 힘. 보조 상태를 문자 i로 표시합니다(그림 7.13,6).

외부 작업을 계산해 보겠습니다. 내부 세력부하 상태의 힘의 작용으로 인한 움직임에 대한 보조 상태.

외부 힘의 작용은 단위 힘과 원하는 변위의 곱과 같습니다.

절대 값의 내부 힘의 작용은 적분과 같습니다

(1)

공식(7.33)은 선형 변형 시스템의 모든 지점에서 변위를 결정할 수 있는 Mohr의 공식(Mohr의 적분)입니다.

이 공식에서 MiMk의 피적분 함수는 두 굽힘 모멘트가 동일한 부호를 갖는 경우 양수이고 Mi와 Mk의 부호가 다른 경우 음수입니다.

점 A에서 각도 변위를 결정하려면 상태 i에서 점 A에 1(차원 없이)과 동일한 모멘트를 적용해야 합니다.

모든 움직임(선형 또는 각도)을 문자 Δ로 표시하여 Mohr의 공식(적분)을 다음과 같은 형식으로 작성합니다.

(2)

일반적으로 분석적 표현 Mi와 Mk는 일반적으로 빔이나 탄성 시스템의 다양한 섹션에서 다를 수 있습니다. 따라서 공식 (2) 대신에 더 많은 것을 사용해야 합니다. 일반 공식

(3)

시스템의 막대가 굽힘 상태가 아닌 장력(압축) 상태(예: 트러스)에서 작동하는 경우 Mohr의 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(4)

이 공식에서 NiNK 곱은 두 힘이 모두 인장력이거나 둘 다 압축력이면 양수입니다. 막대가 굽힘과 인장(압축)에서 동시에 작동하는 경우 일반적인 경우 비교 계산에서 알 수 있듯이 굽힘 모멘트만 고려하여 변위를 결정할 수 있습니다. 종방향 힘아주 조금.

앞에서 언급한 것과 같은 이유로 일반적인 경우 전단력의 영향은 무시될 수 있습니다.

Mohr 적분을 직접 계산하는 대신 그래프 분석 기술인 "다이어그램을 곱하는 방법" 또는 Vereshchagin의 규칙을 사용할 수 있습니다.

굽힘 모멘트에 대한 두 가지 다이어그램을 고려해 보겠습니다. 그 중 하나는 Mk가 임의의 윤곽선을 갖고 다른 하나는 직선입니다(그림 7.14, a 및 b).

(5)

값 MKdz는 다이어그램 Mk(그림에서 음영 처리됨)의 기본 영역 dΩk를 나타냅니다. 따라서,

(6)

따라서,

(8)

그러나 점 O를 통과하는 일부 축 y에 대한 다이어그램 Mk 영역의 정적 모멘트를 나타냅니다. 여기서 Ωk는 모멘트 다이어그램의 영역입니다. zc는 Mk 다이어그램의 y축에서 무게 중심까지의 거리입니다. 도면을 보면 다음과 같은 것이 분명합니다.

여기서 Msi는 다이어그램 Mk의 무게 중심 아래(점 C 아래)에 위치한 다이어그램 Mi의 세로 좌표입니다. 따라서,

(10)

즉, 필요한 적분은 무게 중심 아래에 위치한 직선 다이어그램 Msi의 세로 좌표로 다이어그램 Mk (모든 모양)의 면적을 곱한 것과 같습니다. ΩкМсi의 값은 두 다이어그램이 막대의 같은 쪽에 있으면 양수로 간주되고, 서로 다른 쪽에 있으면 음수로 간주됩니다. 다이어그램을 곱한 결과가 양수라는 것은 이동 방향이 단위 힘(또는 모멘트)의 방향과 일치한다는 것을 의미합니다.

세로좌표 Msi는 직선 다이어그램으로 가져와야 한다는 점을 기억해야 합니다. 두 다이어그램이 모두 직선인 특별한 경우에는 두 다이어그램 중 하나의 면적에 다른 다이어그램의 해당 세로 좌표를 곱할 수 있습니다.

가변 단면 막대의 경우 Vereshchagin의 다이어그램 곱셈 규칙이 적용되지 않습니다. 이 경우 적분 기호 아래에서 EJ 값을 더 이상 제거할 수 없기 때문입니다. 이 경우 EJ는 단면의 가로 좌표의 함수로 표현되어야 하며 Mohr 적분(1)을 계산해야 합니다.

로드의 강성을 단계적으로 변경하는 경우 각 섹션에 대해 개별적으로(자체 EJ 값으로) 적분(또는 다이어그램의 곱셈)을 수행한 다음 결과를 합산합니다.

테이블에 그림 1은 몇 가지 간단한 다이어그램의 영역과 무게 중심의 좌표를 보여줍니다.

표 1

다이어그램 유형	다이어그램의 영역	무게 중심까지의 거리

계산 속도를 높이려면 미리 만들어진 다이어그램 곱셈표를 사용할 수 있습니다(표 2).

이 표에는 해당 기본 다이어그램의 교차점에 있는 셀에 이러한 다이어그램을 곱한 결과가 나와 있습니다.

복잡한 다이어그램을 기본 다이어그램으로 분해하면 표에 표시됩니다. 1과 7.2에서 포물선 다이어그램은 단 하나의 분산 하중의 작용으로부터 얻어졌다는 점을 명심해야 합니다.

복잡한 다이어그램에서 곡선 단면이 집중 모멘트, 힘 및 균일하게 분포된 하중의 동시 작용으로 얻어지는 경우 오류를 방지하기 위해 복잡한 다이어그램을 먼저 "계층화"해야 합니다. 즉, 여러 개로 나누어야 합니다. 독립 다이어그램: 집중된 모멘트, 힘의 작용 및 균일하게 분포된 하중의 작용으로부터.

다이어그램의 계층화가 필요하지 않고 극점을 연결하는 현을 따라 다이어그램의 곡선 부분만 선택하면 되는 다른 기술을 사용할 수도 있습니다.

구체적인 예를 통해 두 가지 방법을 모두 보여 드리겠습니다.

예를 들어, 빔 왼쪽 끝의 수직 변위를 결정한다고 가정해 보겠습니다(그림 7.15).

부하의 전체 다이어그램은 그림 1에 나와 있습니다. 7.15, 가.

표 7.2

A 지점에서 단위 힘의 작용을 나타내는 다이어그램이 그림 1에 나와 있습니다. 7.15, 시

A 지점의 수직 변위를 결정하려면 하중 다이어그램에 단위 힘 다이어그램을 곱해야 합니다. 그러나 전체 다이어그램의 BC 섹션에서 곡선 다이어그램은 균일하게 분포된 하중의 작용뿐만 아니라 집중된 힘 P의 작용에서도 얻어집니다. 결과적으로 BC 섹션에는 더 이상 표 7.1과 7.2에 주어진 기본 포물선 다이어그램이 아니지만 본질적으로 이 표의 데이터가 유효하지 않은 복잡한 다이어그램에 따릅니다.

따라서 복잡한 다이어그램을 그림 1에 따라 계층화하는 것이 필요합니다. 7.15 및 그림 7.15에 제시된 기본 다이어그램. 7.15, b 및 7.15, c.

그림에 따른 다이어그램. 7.15, b는 집중된 힘으로부터만 얻어졌으며, 그림 7.15에 따른 다이어그램. 7.15, c - 균일하게 분포된 하중의 작용에서만 가능합니다.

이제 표를 사용하여 다이어그램을 곱할 수 있습니다. 1 또는 2.

이렇게하려면 그림 1에 따라 삼각형 다이어그램을 곱해야합니다. 7.15, b는 그림 1에 따른 삼각형 다이어그램입니다. 7.15, d에 그림 1의 포물선 다이어그램을 곱한 결과를 추가합니다. 7.15, 그림 1에 따른 BC 단면의 사다리꼴 다이어그램. 7.15, d, 섹션 AB에서 그림 7.15에 따른 다이어그램의 세로 좌표가 있기 때문입니다. 7.15, in은 0과 같습니다.

이제 다이어그램을 곱하는 두 번째 방법을 보여 드리겠습니다. 그림의 다이어그램을 다시 살펴보겠습니다. 7.15, 가. 섹션 B에서 참조 원점을 살펴보겠습니다. 곡선 LMN의 한계 내에서 굽힘 모멘트는 직선 LN에 해당하는 굽힘 모멘트와 포물선 다이어그램의 굽힘 모멘트의 대수적 합으로 얻을 수 있음을 보여줍니다. LNML은 길이가 a인 단순 빔과 동일하며 균일하게 분포된 하중 q가 적용됩니다.

중앙의 가장 큰 세로좌표는 와 같습니다.

이를 증명하기 위해 B점에서 z만큼 떨어진 구간에 굽힘모멘트의 실제 수식을 작성해 보겠습니다.

(에이)

이제 직선 LN과 포물선 LNML의 세로 좌표의 대수적 합으로 얻은 굽힘 모멘트에 대한 표현식을 같은 섹션에 작성해 보겠습니다.

라인 LN의 방정식

여기서 k는 이 선의 경사각의 접선입니다.

결과적으로 직선 LN과 포물선 LNMN의 방정식의 대수적 합으로 얻은 굽힘 모멘트 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이는 식 (A)와 일치합니다.

Vereshchagin의 규칙에 따라 다이어그램을 곱할 때 BC 섹션의 단위 다이어그램에서 사다리꼴 BLNC에 사다리꼴을 곱하고 (그림 7.15, d 참조) 포물선 다이어그램 LNML (면적 )에 동일한 사다리꼴을 곱한 결과를 빼야합니다. 단위 다이어그램에서. 다이어그램을 레이어링하는 이 방법은 다이어그램의 곡선 부분이 빔의 중간 부분 중 하나에 위치할 때 특히 유용합니다.

예제 7.7. 하중이 가해지는 지점에서 캔틸레버 빔의 수직 및 각도 변위를 결정합니다(그림 7.16).

해결책. 하중 상태에 대한 굽힘 모멘트 다이어그램을 구성합니다(그림 7.16, a).

수직 변위를 결정하기 위해 하중 적용 지점에서 단위 힘을 갖는 빔의 보조 상태를 선택합니다.

우리는 이 힘으로부터 굽힘 모멘트의 다이어그램을 구성합니다(그림 7.16, b). Mohr의 방법을 사용하여 수직 변위 결정

하중에 의한 굽힘 모멘트 값

단위 힘에 의한 굽힘 모멘트 값

우리는 이러한 МР 및 Mi 값을 적분 기호로 대체하고 적분합니다.

이전에는 다른 방법으로 동일한 결과를 얻었습니다.

양의 편향 값은 하중 P의 적용 지점이 아래쪽(단위 힘의 방향)으로 이동하고 있음을 나타냅니다. 단위 힘을 아래에서 위로 향하게 하면 Mi = 1z가 되고 적분 결과 마이너스 기호가 있는 편향을 얻게 됩니다. 빼기 기호는 실제로 움직임이 상승하는 것이 아니라 하락하는 것을 나타냅니다.

이제 Vereshchagin의 규칙에 따라 다이어그램을 곱하여 Mohr 적분을 계산해 보겠습니다.

두 다이어그램 모두 직선이므로 어느 다이어그램에서 면적을 취하고 어느 다이어그램에서 세로 좌표를 가져오는지는 중요하지 않습니다.

하중 다이어그램의 면적은 다음과 같습니다.

이 다이어그램의 무게 중심은 매립물로부터 1/3l 거리에 위치합니다. 우리는 아래에 위치한 단위 힘으로부터 모멘트 다이어그램의 세로 좌표를 결정합니다.

하중 다이어그램의 무게 중심. 1/3l와 같은지 쉽게 확인할 수 있습니다.

따라서.

적분표에서도 동일한 결과가 얻어집니다. 두 다이어그램 모두 막대 아래에 있으므로 다이어그램을 곱한 결과는 긍정적입니다. 결과적으로, 하중 적용 지점은 아래쪽으로, 즉 허용되는 단위 힘의 방향을 따라 이동합니다.

각도 변위(회전 각도)를 결정하기 위해 1과 동일한 집중 모멘트가 빔 끝에 작용하는 빔의 보조 상태를 선택합니다.

이 경우에 대한 굽힘 모멘트 다이어그램을 구성합니다(그림 7.16, c). 다이어그램을 곱하여 각도 변위를 결정합니다. 로드 다이어그램 영역

단일 순간의 다이어그램 좌표는 모든 곳에서 동일합니다. 따라서 원하는 섹션 회전 각도는 다음과 같습니다.

두 다이어그램이 모두 아래에 있으므로 다이어그램을 곱한 결과는 양수입니다. 따라서 보의 끝 부분은 시계 방향(단위 모멘트 방향)으로 회전합니다.

예: Mohr-Vereshchagin 방법을 사용하여 그림 1에 표시된 보의 D 지점에서의 처짐을 결정합니다. 7.17..

해결책. 우리는 부하 순간의 계층화된 다이어그램을 만듭니다. 즉, 각 부하의 동작에서 별도의 다이어그램을 만듭니다. 이 경우 다이어그램 곱셈의 편의를 위해 단면을 기준으로 계층화(기본) 다이어그램을 구성하는 것이 좋습니다. 이 경우 편향은 단면 D를 기준으로 결정됩니다.

그림에서. 7.17, a는 반응 A(단면 AD) 및 하중 P = 4 T(단면 DC)로부터의 굽힘 모멘트 다이어그램을 보여줍니다. 다이어그램은 압축 섬유를 기반으로 작성되었습니다.

그림에서. 7.17, b는 반응 B(BD 단면), 왼쪽 균일 분포 하중(AD 단면) 및 BC 단면에 작용하는 균일 분포 하중의 모멘트 다이어그램을 보여줍니다. 이 다이어그램은 그림 1에 나와 있습니다. 7.17, b 아래에서 DC 섹션.

다음으로, 편향이 결정되는 지점 D에 단위 힘을 적용하는 빔의 보조 상태를 선택합니다(그림 7.17, c). 단위 힘의 모멘트 다이어그램이 그림 1에 나와 있습니다. 7.17, d. 이제 부호를 고려하여 다이어그램 곱셈표를 사용하여 다이어그램 1~7을 다이어그램 8 및 9와 곱해 보겠습니다.

이 경우 빔의 한쪽에 있는 다이어그램에는 더하기 기호를 곱하고 빔의 반대쪽에 있는 다이어그램에는 빼기 기호를 곱합니다.

다이어그램 1과 다이어그램 8을 곱하면 다음을 얻습니다.

플롯 5에 플롯 8을 곱하면 다음을 얻습니다.

플롯 2와 9를 곱하면 다음과 같습니다.

플롯 4와 9 곱하기

다이어그램 6과 9를 곱하기

다이어그램을 곱한 결과를 요약하면 다음과 같습니다.

마이너스 기호는 단위 힘이 위쪽으로 향하므로 점 D가 아래쪽으로 이동하지 않고 위쪽으로 이동함을 나타냅니다.

이전에 보편 방정식을 사용하여 동일한 결과를 얻었습니다.

물론 이 예에서는 AD 섹션에서만 다이어그램을 계층화하는 것이 가능했습니다. 왜냐하면 섹션 DB에서는 전체 다이어그램이 직선이고 계층화할 필요가 없기 때문입니다. BC 섹션에서는 이 섹션의 단위 힘에서 다이어그램이 0과 같기 때문에 박리가 필요하지 않습니다. C점에서의 처짐을 결정하려면 BC 단면의 다이어그램 층화가 필요합니다.

예. 그림 1에 표시된 부러진 막대의 단면 A의 수직, 수평 및 각도 변위를 결정합니다. 7.18, 가. 로드의 수직 단면의 단면 강성은 EJ1이고 수평 단면의 단면 강성은 EJ2입니다.

해결책. 하중으로 인한 굽힘 모멘트 다이어그램을 작성합니다. 이는 그림에 나와 있습니다. 7.18, b(예 6.9 참조) 단면 A의 수직 변위를 결정하기 위해 그림 1에 표시된 시스템의 보조 상태를 선택합니다. 7.18, c. A점에서는 단위 수직력이 아래쪽으로 가해집니다.

이 상태의 굽힘 모멘트 다이어그램이 그림 1에 나와 있습니다. 7.18, c.

다이어그램을 곱하는 방법을 사용하여 Mohr의 방법을 사용하여 수직 변위를 결정합니다. 보조상태의 수직봉에는 다이어그램 M1이 없기 때문에 수평봉에 관련된 다이어그램만 곱해보겠습니다. 부하 상태에서 다이어그램의 면적을 취하고, 보조 상태에서 세로 좌표를 취합니다. 수직 변위는

두 다이어그램 모두 아래에 있으므로 곱셈 결과에 더하기 기호를 사용합니다. 결과적으로 점 A는 아래쪽으로, 즉 단위 수직력의 방향으로 이동합니다.

점 A의 수평 이동을 결정하기 위해 수평 단위 힘이 왼쪽으로 향하는 보조 상태를 선택합니다(그림 7.18, d). 이 경우의 순간 다이어그램이 여기에 표시됩니다.

우리는 다이어그램 MP와 M2를 곱하여 다음을 얻습니다.

곱해진 다이어그램이 막대의 같은 쪽에 위치하므로 다이어그램을 곱한 결과는 긍정적입니다.

각도 변위를 결정하기 위해 그림 1에 따라 시스템의 보조 상태를 선택합니다. 7.18.5 이 상태에 대한 굽힘 모멘트 다이어그램을 구성합니다(같은 그림에서). MP와 M3 다이어그램을 곱합니다.

곱한 다이어그램이 한쪽에 있으므로 곱셈의 결과는 양수입니다.

따라서 단면 A는 시계 방향으로 회전합니다.

테이블을 사용해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
곱하기 다이어그램.

변형된 막대의 모습이 그림 1에 나와 있습니다. 7.18, e, 변위가 크게 증가합니다.

문학

Feodosiev V.I. 재료의 강도. 1986년

Belyaev N.M. 재료의 강도. 1976년

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. 기기 메커니즘 및 컴퓨터 시스템의 계산 및 설계. 1991년

Rabotnov Yu.N. 변형의 역학 단단한. 1988

스테핀 P.A. 재료의 강도. 1990년

그리고 그의 손으로 쓴 메모는 프리카즈 대사 서기의 손에 들어가게 되었고, 그곳으로부터 전달되었습니다. 기타 전기 정보는 "Walk" 자체의 텍스트에서만 추출됩니다. Afanasy Nikitin이 자신의 작품을 "세 바다를 건너다"라고 부른 이유는 무엇입니까? 저자 자신이 이 질문에 대한 답을 제공합니다. “보라, 나는 나의 죄악된 “세 바다를 건너며”, 제1 데르벤스키(카스피해) 바다, 도리아를 썼습니다...

모든 의사소통 행위의 실행을 위한 필수 조건은 "언어 의사소통의 기초가 되는 화자와 청자의 현실에 대한 상호 지식"이어야 하며, 이를 언어학에서는 "배경 지식"이라고 합니다. 그녀의 올바른 발언에 따르면, “특정 모국어에서 그러한 것을 지칭하기 위해 사용되는 단어의 의미는 중앙 유럽 문화의 관점과 완전히 다릅니다...

보 및 막대 시스템, 직선 막대로 구성, 단일 상태의 내부 힘 NK, MK그리고 질문~이다 선형 함수각 막대의 전체 길이에 걸쳐 또는 개별 섹션에서. 내부 하중 상태 힘 Np, M R그리고 큐피막대의 길이에 따라 임의의 변화 법칙이 있을 수 있습니다. 빔과 로드의 강성이 일정하거나 계단식으로 일정한 경우 E.F., E.J.그리고 GF,그런 다음 Mohr 공식의 적분 계산은 내부 힘 다이어그램을 사용하여 수행될 수 있습니다.

예를 들어 굽힘 모멘트 다이어그램을 고려하십시오. 씨그리고 M k다섯 직선 막대일정한 강성(그림 8.31). 다이어그램 로드 씨임의적이며 단위 다이어그램 M k -선의. 좌표의 원점은 다이어그램 선의 교차점에 배치됩니다. M k축 포함 오.이 경우 굽힘 모멘트는 M k법률에 의한 변경 M k = xtga. 적분 기호 아래에서 공식 (8.22)의 상수 값 tga/ЕУ를 취하고 막대의 길이에 걸쳐 적분하면 다음을 얻습니다.

크기 M P dx = dQ. 피하중 다이어그램 영역의 요소입니다. 씨.이 경우 적분 자체는 다이어그램 영역의 정적 모멘트로 간주될 수 있습니다. 씨축을 기준으로 오,이는 다음과 같다

어디 Q.p -다이어그램 영역 xc-무게 중심의 가로좌표입니다. x c tga =를 고려하면 응,우리는 최종 결과를 얻습니다:

어디 네 -선형 플롯의 세로좌표 M k곡선 다이어그램 영역의 무게 중심 아래 씨 (쌀. 8.31).

공식 (8.23)을 사용하여 Mohr의 공식에서 적분을 계산하는 방법을 Vereshchagin의 규칙 또는 다이어그램의 "곱셈" 규칙이라고 합니다. 공식 (8.23)에 따르면 두 다이어그램을 "곱한"결과는 비선형 다이어그램의 면적과 선형 다이어그램의 무게 중심 아래 세로 좌표의 곱과 같습니다. 고려 중인 영역의 두 다이어그램이 모두 선형인 경우 "곱하기"를 수행할 때 둘 중 하나의 영역을 사용할 수 있습니다. 단일 값 다이어그램을 "곱셈"한 결과는 양수이고 다중 값 다이어그램은 음수입니다.

두 개의 사다리꼴을 "곱한" 결과(그림 8.32)는 다음 공식으로 나타낼 수 있습니다.

Vereshchagin의 법칙을 사용할 때 복잡한 다이어그램은 무게 중심의 영역과 위치를 알 수 있는 간단한 그림으로 나누어야 합니다. 대부분의 경우 분할 요소는 삼각형과 사각형 포물선입니다(균일하게 분포된 하중의 경우). 다이어그램 분할의 예가 그림 1에 나와 있습니다. 8.33.

단일 값 또는 혼합 값 사다리꼴은 두 개의 삼각형으로 나눌 수 있습니다 (그림 8.33, 에이).세로좌표가 있는 정사각형 포물선 에이그리고 비섹션의 시작과 끝에서 두 개의 단일 값 또는 혼합 값 삼각형으로 나뉘며 정사각형 포물선초기 및 최종 값이 0인 경우(그림 8.33, 비).그 면적은 공식에 의해 결정됩니다

어디 큐-균일하게 분포된 하중의 강도.

Vereshchagin의 규칙은 두 다이어그램이 모두 비선형인 경우(예: 곡선 축이 있는 막대의 경우)와 가변 강성이 있는 막대의 경우에는 적용할 수 없습니다. E.J.이 경우 Mohr 방법으로 변위를 결정할 때 식 (8.20)의 적분에 대한 분석적 또는 수치적 계산이 수행됩니다.

예제 8.7.일정한 강성을 갖는 캔틸레버 빔의 경우 EJ= const (그림 8.34, 에이) 단면의 처짐을 결정합니다. 안에및 단면 회전 각도 와 함께.

굽힘 모멘트의 다이어그램을 작성해 봅시다 씨주어진 하중의 작용으로부터 (그림 8.34, 비).필요한 변위를 결정하기 위해 섹션에 적용해 보겠습니다. 안에단위 힘 아르 자형= 1, 단면 C - 단위 모멘트 중= 1이고 단위 다이어그램 M을 구성하고, 남 2(그림 8.34, CD).다이어그램 로드 씨두 번째 섹션에서는 이를 삼각형과 사각형 포물선으로 나눌 것입니다.

Vereshchagin의 규칙을 사용하여 부하 다이어그램과 단위 다이어그램을 서로 "곱해" 보겠습니다. 다이어그램을 "곱셈"하는 경우 씨그리고 Mx첫 번째 부분에서는 공식 (8.24)을 사용합니다. 계산 결과 다음을 얻습니다.

이동 방향은 단위 하중의 작용 방향과 일치합니다. 단면의 빔 편향 안에아래쪽으로 발생하고 섹션 C는 시계 방향으로 회전합니다.

예제 8.8.일정한 강성을 갖는 단순 지지 빔의 경우(그림 8.35, 에이)단면 C의 편향, 단면의 회전 각도를 결정합니다. 안에.

다이어그램 로드 씨그림에 표시됩니다. 8.35, 비.섹션 C의 섹션에 단위 힘을 적용해 보겠습니다. 안에 -단위 순간 및 구성 단위 다이어그램 Mx그리고 남 2(그림 8.35, CD).부하 다이어그램 "곱하기" 씨단일 다이어그램을 사용하여 필요한 변위를 찾습니다.