데카르트-오일러 해법

대체를 수행하면 다음 형식의 방정식을 얻습니다("불완전"이라고 함).

와이 4 + 피와이 2 + 큐와이 + 아르 자형 = 0 .

뿌리 와이 1 , 와이 2 , 와이 3 , 와이그러한 방정식 중 4개는 다음 표현식 중 하나와 같습니다.

다음 관계가 충족되는 방식으로 문자 조합이 선택됩니다.

,

그리고 지 1 , 지 2 및 지 3개는 뿌리 삼차방정식

페라리의 솔루션

주요 기사: 페라리 방식

4차 방정식을 다음과 같은 형식으로 표현해 보겠습니다.

에이엑스 4 + 비엑스 3 + 기음엑스 2 + 디엑스 + 이자형 = 0,

그 해는 다음 표현식에서 찾을 수 있습니다.

β = 0이면 해결 유 4 + α 유 2 + γ = 0그리고 대체 작업을 수행합니다. , 뿌리를 찾아봅시다: . , (모든 기호 제곱근 will do), (세 개의 복소근 중 하나가 가능함) 두 개의 ± s는 동일한 부호를 가져야 하며 ± t는 독립적입니다. 모든 근을 찾으려면 부호 있는 조합 ± s , ± t = +,+의 경우 +,−의 경우 −,+의 경우 −,−에 대해 x를 찾아야 합니다. 이중근은 두 번, 삼중근은 세 번, 사근은 네 번 나타납니다. 근의 순서는 세제곱근에 따라 달라집니다. 유선택된.

또한보십시오

• 쉽게 풀 수 있는 4차방정식 종류 : 2차방정식, 4차 역방정식

문학

• Korn G., Korn T. (1974) 수학 핸드북.

모래밭

• 페라리의 결정

위키미디어 재단.

2010.

다른 사전에 "4차 방정식"이 무엇인지 확인하세요. 4차 방정식 - - [L.G. 정보 기술에 관한 영어-러시아어 사전. M.: 국영 기업 TsNIIS, 2003.] 주제정보 기술 일반적으로 EN 사차 방정식 ...

기술 번역가 가이드

4개의 근과 3개의 임계점이 있는 4차 다항식의 그래프입니다. 수학의 4차 방정식은 다음 형식의 대수 방정식입니다. 대수 방정식의 4차 방정식은 ... ... Wikipedia

anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 형식의 방정식은 대칭 위치의 계수가 동일한 경우, 즉 k = 0에 대해 an − k = ak인 경우 역수라고 합니다. 1, ..., 엔. 목차 1 4차 방정식 ... Wikipedia 여기서 미지의 항은 4제곱입니다. 완전한 사전외국어 , 러시아어로 사용되었습니다. Popov M., 1907. 위도의 BIQUADRATE EQUATION. 비스, 두 번 및 사각형, 정사각형. 가장 큰 차수가 나오는 방정식은... ...

산술과 함께 숫자에 관한 과학이 있고, 숫자를 통해 일반적으로 양에 관한 과학이 있습니다. 명확하고 구체적인 수량의 속성을 연구하지 않고 이 두 과학 모두 추상 수량의 속성을 조사합니다. 백과사전에프. 브록하우스와 I.A. 에프론

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방정식은 두 대수식의 동일성을 표현하는 수학적 관계입니다. 포함된 미지의 허용 가능한 값에 대해 동등성이 참인 경우 이를 항등이라고 합니다. 예를 들어, 형식의 비율은... ... 콜리어의 백과사전

아벨 루피니(Abel Ruffini)의 정리에 따르면 일반 거듭제곱 방정식은 근수로는 풀 수 없습니다. 목차 1 세부정보... Wikipedia

일반적인 경우, 4차 방정식의 해는 다음 방정식을 푸는 방법을 사용하여 수행됩니다. 더 높은 학위, 예를 들어 Ferrari 방법이나 Horner 방식을 사용합니다. 그러나 일부 4차 방정식에는 더 간단한 해가 있습니다.

4차 방정식에는 몇 가지 특별한 유형이 있으며, 이를 해결하는 방법은 아래에서 배우게 됩니다.

• 2차 방정식 $ax^4+bx^2+c=0$;
• $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ 형식의 역 방정식;
• $ax^4+b=0$ 형식의 방정식.

4차 이차방정식 풀기

2차 방정식 $ax^4+bx^2+c=0$은 $x^2$ 변수를 새 변수(예: $y$)로 대체하여 2차 방정식으로 축소됩니다. 대체 후 새로운 결과 방정식이 풀린 다음 발견된 변수의 값이 방정식 $x^2=y$에 대체됩니다. 해의 결과는 방정식 $x^2=y$의 근이 됩니다.

실시예 1

방정식 $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$를 풉니다.

다항식의 괄호를 확장해 보겠습니다.

$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$

이 형식에서는 $y=x^2-3x$ 표현식을 새 변수로 선택할 수 있다는 것이 분명해집니다.

$y\cdot (y+2)=24$

이제 두 개의 이차 방정식 $x^2-3x=-4$ 및 $x^2-3x=-6$을 풀어보겠습니다.

첫 번째 방정식의 근은 $x_1(1,2)=4;-1$이고, 두 번째 방정식에는 해가 없습니다.

4차 역방정식 풀기

$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ 형식의 이러한 방정식은 낮은 차수의 항에 대한 계수와 함께 더 높은 차수의 다항식에 대한 계수를 반복합니다. 이러한 방정식을 풀려면 먼저 $x^2$로 나눕니다.

$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$

$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$

$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$

그런 다음 $(x+\frac(1)(x))$를 새 변수로 바꾸고 $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$를 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. 다음 제곱 방정식:

$a(y^2-2)+by+c=0$

그런 다음 방정식 $x+\frac(1)(x)=y_1$ 및 $x+\frac(1)(x)=y_2$의 근을 찾습니다.

유사한 방법을 사용하여 $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ 형식의 역 방정식을 풀 수 있습니다.

실시예 2

방정식을 푼다:

$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$

이 방정식은 $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ 형식의 역 방정식입니다. 따라서 전체 방정식을 $x^2$로 나눕니다.

$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$

$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$

$x+\frac(2)(x)$ 표현식을 $3(y^2-4)-2y-9=0$로 바꾸겠습니다.

이 방정식의 근을 계산해 보겠습니다. $y_1=3$ 및 $y_2=-\frac(7)(3)$과 같습니다.

따라서 이제 $x+\frac(2)(x)=3$ 및 $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$ 두 방정식을 풀어야 합니다. 첫 번째 방정식의 해는 $x_1=1, x_2=2$이고 두 번째 방정식에는 근이 없습니다.

따라서 원래 방정식의 근은 $x_1=1, x_2=2$입니다.

$ax^4+b=0$ 형식의 방정식

이러한 유형의 방정식의 근은 축약된 곱셈 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

4차 방정식의 경우 모든 항목이 적용 가능합니다. 일반적인 계획이전 자료에서 살펴본 더 높은 차수의 방정식을 푸는 것입니다. 그러나 이항 방정식, 이차 방정식, 역 방정식을 푸는 데에는 여러 가지 뉘앙스가 있습니다. 이에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.

또한 이 기사에서는 다항식을 인수분해하고 근수로 푸는 인위적인 방법과 4차 방정식의 해를 3차 방정식으로 줄이는 데 사용되는 페라리 방법을 분석합니다.

4차 이항 방정식의 해

이것 가장 간단한 유형 4차 방정식. 방정식은 A x 4 + B = 0으로 작성됩니다.

정의 1

이러한 유형의 방정식을 풀기 위해 축약된 곱셈 공식이 사용됩니다.

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A - 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 - 2 B A x 2 = 0 x 2 - 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

이제 남은 것은 제곱삼항식의 근을 찾는 것뿐입니다.

실시예 1

4차 방정식 4 x 4 + 1 = 0을 푼다.

해결책

먼저 다항식 4 x 4 + 1을 인수분해해 보겠습니다.

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)

이제 제곱삼항식의 근을 찾아보겠습니다.

2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 2 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 2 = 1 2 + i x 2 = 2 - D 2 2 = 1 2 - i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 2 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 2 = - 1 2 + i x 4 = - 2 - D 2 2 = - 1 2 - i

우리는 4개의 복소수 근을 얻었습니다.

답변: x = 1 2 ± i 및 x = - 1 2 ± i .

4차 반복 방정식의 해

정의 2

4차 역수식은 A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0입니다.

엑스 = 0는 이 방정식의 근이 아닙니다: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0. 따라서 이 방정식의 양변을 x 2로 안전하게 나눌 수 있습니다.

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

변수 x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2를 변경해 보겠습니다.

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C - 2 A = 0

그래서 우리는 4차 역 방정식을 이차 방정식으로 줄입니다.

실시예 2

모두 찾기 복잡한 뿌리방정식 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0.

해결책

계수의 대칭성은 우리가 4차 역수 방정식을 다루고 있음을 알려줍니다. 양변을 x 2로 나누자:

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

그룹화해보자:

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

변수 x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2를 바꾸겠습니다.

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 - 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

결과 이차 방정식을 풀어 보겠습니다.

D = 2 3 + 2 2 - 4 2 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 y 1 = - 2 3 - 2 + D 2 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 y 2 = - 2 3 - 2 - D 2 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3

대체법으로 돌아가 보겠습니다: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .

첫 번째 방정식을 풀어보겠습니다.

x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 2 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 + i 14 4 x 2 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 - 나는 14 4

두 번째 방정식을 풀어보겠습니다.

x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 1 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + i 1 2 x 4 = - 3 - D 2 = - 3 2 - 나는 1 2

답변: x = - 2 4 ± i · 14 4 및 x = - 3 2 ± i · 1 2 .

이차방정식 풀기

4차 이차 방정식의 형식은 A x 4 + B x 2 + C = 0입니다. 이러한 방정식을 y = x 2 로 대체하여 2차 방정식 A y 2 + B y + C = 0으로 줄일 수 있습니다. 이것은 표준 기술입니다.

실시예 3

2차 방정식 2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0을 풀어보세요.

해결책

변수 y = x 2를 바꾸면 원래 방정식을 2차 방정식으로 줄일 수 있습니다.

2 y 2 + 5 y - 3 = 0 D = 5 2 - 4 2 (- 3) = 49 y 1 = - 5 + D 2 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = - 5 - D 2 2 = - 5 - 7 4 = - 3

따라서 x 2 = 1 2 또는 x 2 = - 3입니다.

첫 번째 등식을 통해 근 x = ± 1 2 을 얻을 수 있습니다. 두 번째 등식에는 실수 근이 없지만 복소수 켤레 근 x = ± i · 3이 있습니다.

답변: x = ± 1 2 및 x = ± i · 3 .

실시예 4

2차 방정식 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0의 복소근을 모두 구합니다.

해결책

원래의 2차 방정식을 2차 방정식으로 줄이기 위해 대체 방법 y = x 2를 사용합니다.

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 - 4 16 9 = 20449 y 1 = - 145 + D 2 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 y 2 = - 145 - D 2 · 16 = - 145 - 143 32 = - 9

따라서 변수의 변화로 인해 x 2 = - 1 16 또는 x 2 = - 9가 됩니다.

답변: x 1, 2 = ± 1 4 · i, x 3, 4 = ± 3 · i.

유리근을 사용하여 사차 방정식 풀기

4차 방정식의 유리수 근을 찾는 알고리즘은 "고차 방정식 풀기" 자료에 나와 있습니다.

Ferrari 방법을 사용하여 4차 방정식 풀기

x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 형식의 4차 방정식은 일반적으로 Ferrari 방법을 사용하여 풀 수 있습니다. 이렇게 하려면 y 0을 찾아야 합니다. 이는 삼차 방정식 y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0의 근 중 하나입니다. 그런 다음 두 개의 이차 방정식 x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0을 풀어야 합니다. 그의 급진적 표현은 완전제곱식입니다.

계산 중에 얻은 근은 원래 4차 방정식의 근이 됩니다.

실시예 5

방정식 x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0의 근을 구합니다.

해결책

A = 3, B = 3, C = - 1, D = - 6이 있습니다. 이 방정식을 풀기 위해 Ferrari 방법을 적용해 보겠습니다.

삼차 방정식을 작성하고 풀어 봅시다.
y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0

삼차 방정식의 근 중 하나는 y 0 = 1입니다. 왜냐하면 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0이기 때문입니다.

두 개의 이차 방정식을 작성해 보겠습니다.
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 또는 x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 또는 x 2 + x - 2 = 0

첫 번째 방정식의 근은 x = - 1 ± i · 2이고, 두 번째 방정식의 근은 x = 1 및 x = - 2입니다.

답변: x 1, 2 = - 1 ± i 2, x 3 = 1, x 4 = - 2.

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먼저 권력의 기본 공식과 그 속성을 기억해 봅시다.

숫자의 곱 에이자체적으로 n번 발생하면 이 표현식을 a a … a=an으로 쓸 수 있습니다.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (an) m = nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / a m = an - m

전원 또는 지수 방정식 – 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.

지수 방정식의 예:

이 예에서는 숫자 6이 밑수이며 항상 아래쪽에 있습니다. 엑스학위 또는 지표.

지수 방정식의 더 많은 예를 들어보겠습니다.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

이제 지수 방정식이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.

간단한 방정식을 생각해 봅시다:

2 x = 2 3

이 예는 머리 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국, 왼쪽과 오른쪽이 같아지려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 결정을 공식화하는 방법을 살펴보겠습니다.

2 x = 2 3
엑스 = 3

그러한 방정식을 풀기 위해 우리는 제거했습니다. 동일한 근거(즉, 2) 남은 것을 적었습니다. 이것이 도입니다. 우리는 우리가 찾고 있던 답을 얻었습니다.

이제 우리의 결정을 요약해 보겠습니다.

지수 방정식을 풀기 위한 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 동일한방정식의 밑이 오른쪽과 왼쪽에 있는지 여부. 이유가 동일하지 않은 경우 이 예를 해결할 수 있는 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같아진 후, 같게 하다학위를 취득하고 결과로 나온 새로운 방정식을 푼다.

이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

간단한 것부터 시작해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽에 있는 베이스는 숫자 2와 같습니다. 이는 베이스를 버리고 그 힘을 동일하게 할 수 있음을 의미합니다.

x+2=4 가장 간단한 방정식이 얻어집니다.
x=4 - 2
x=2
답: x=2

다음 예에서는 밑수가 3과 9로 서로 다른 것을 볼 수 있습니다.

3 3x - 9 x+8 = 0

먼저 9를 오른쪽으로 이동하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

이제 동일한 기반을 만들어야 합니다. 우리는 9=3 2라는 것을 알고 있습니다. 거듭제곱 공식(an) m = a nm을 사용해 보겠습니다.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16을 얻습니다.

3 3x = 3 2x+16 이제 왼쪽과 오른쪽의 밑변이 동일하고 3과 같다는 것이 분명합니다. 이는 밑변을 버리고 각도를 동일시할 수 있음을 의미합니다.

3x=2x+16 가장 간단한 방정식을 얻습니다.
3x - 2x=16
x=16
답: x=16.

다음 예를 살펴보겠습니다.

2 2x+4 - 10 4x = 2 4

먼저, 베이스 2번과 4번을 살펴보겠습니다. 그리고 우리는 그것들이 동일해야 합니다. 우리는 공식 (an) m = a nm을 사용하여 4개를 변환합니다.

4 x = (2 2) x = 2 2x

그리고 우리는 또한 하나의 공식 a n a m = a n + m을 사용합니다:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

방정식에 추가:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 하지만 다른 숫자 10과 24는 우리를 어떻게 해야 할까요? 자세히 살펴보면 왼쪽에 2 2x가 반복되어 있음을 알 수 있습니다. 답은 다음과 같습니다. 괄호 안에 2 2x를 넣을 수 있습니다.

2 2x (2 4 - 10) = 24

괄호 안의 표현식을 계산해 보겠습니다.

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

전체 방정식을 6으로 나눕니다.

4=2 2를 상상해 봅시다:

2 2x = 2 2 염기는 동일하므로 이를 버리고 각도를 동일시합니다.
2x = 2는 가장 간단한 방정식입니다. 2로 나누면 이렇게 됩니다.
엑스 = 1
답: x = 1.

방정식을 풀어 봅시다:

9 x – 12*3 x +27= 0

변환해보자:
9 x = (3 2) x = 3 2x

우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3 x +27 = 0

우리의 밑수는 동일하며 3과 같습니다. 이 예에서 처음 3개는 두 번째(단지 x)보다 두 배(2x)의 차수를 가짐을 알 수 있습니다. 이런 경우에는 해결할 수 있습니다. 교체 방법. 숫자를 가장 작은 각도로 바꿉니다.

그러면 3 2x = (3 x) 2 = t 2

방정식의 모든 x 거듭제곱을 t로 바꿉니다.

티 2 - 12티+27 = 0
우리는 이차 방정식을 얻습니다. 판별식을 통해 풀면 다음을 얻습니다.
D=144-108=36
티 1 = 9
t2 = 3

변수로 돌아가기 엑스.

t 1을 취하십시오:
티 1 = 9 = 3 x

그러므로,

3×=9
3×=3 2
x 1 = 2

루트가 하나 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다:
티 2 = 3 = 3 x
3×=3 1
x 2 = 1
답: x 1 = 2; x 2 = 1.

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Cardano가 삼차 방정식을 푸는 방법을 발표한 직후, 그의 학생들과 추종자들은 4차 일반 방정식을 삼차 방정식으로 줄이는 방법을 찾았습니다. L. Ferrari의 가장 간단한 방법을 제시해 보겠습니다.

방법을 제시할 때 다음과 같은 기본 보조정리를 사용해야 합니다.

보조정리. 하기 위해 이차 삼항식는 선형 이항식의 제곱이므로 판별식이 0과 같아야 충분합니다.

증거. 필요성. 허락하다 . 그런 다음 충분함. 그러면

제시된 방법의 아이디어는 방정식의 왼쪽을 두 제곱의 차이로 표시하는 것입니다. 그런 다음 2차 요소의 두 가지 요소로 분해될 수 있으며 방정식의 해는 두 가지 요소의 해로 이어질 것입니다. 이차 방정식. 목표를 달성하기 위해 왼쪽을 다음 형식으로 표현해 보겠습니다.

여기서 y는 보조 미지수이며 대괄호 안의 표현이 선형 이항식의 제곱이 되도록 선택해야 합니다. 보조정리 덕분에 조건을 만족하는 데 필요하고 충분합니다.

이 조건은 y에 대한 3차 방정식입니다. 괄호를 열면 다음과 같은 형식으로 변환됩니다.

이 방정식의 근 중 하나가 되기를 바랍니다. 그러면 조건이 만족되므로 유지됩니다.

일부 k와 I에 대해. 원래 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

각 요소를 0으로 동일시하면 원래 방정식의 네 가지 근을 찾을 수 있습니다.

한 가지 더 언급해 보겠습니다. 첫 번째 요소의 근을 이라고 하고, 두 번째 요인의 근을 이라고 합시다. 그런 다음 이러한 평등을 추가하면 다음을 얻습니다.

따라서, 우리는 4차 원래 방정식의 근으로 보조 삼차 방정식의 근에 대한 표현식을 얻었습니다.

예. 방정식을 푼다. 위에서 설명한 방법에 따라 왼쪽을 변환합니다.

이제 . 형성 후에 우리는 방정식을 얻습니다.

이 방정식의 근원 중 하나가 숫자라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 원래 방정식의 변환된 좌변에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

요소를 0으로 동일시하면 다음을 얻습니다.

4차보다 높은 방정식의 경우 상대적으로 특정한 형태의 방정식의 일부 클래스가 알려져 있습니다. 대수적 해법라디칼로, 즉 산술 연산의 결과와 근을 추출하는 동작의 형태로 나타납니다. 그러나 해결책을 제시하려는 시도 일반 방정식 5급 이상은 19세기 초까지 성공하지 못했습니다. 루피니와 아벨은 4차 이상의 일반 방정식에 대한 이러한 종류의 해가 불가능하다는 것을 증명하지 못했습니다. 마침내 1830년에 뛰어난 프랑스 수학자 E. 갈루아(E. Galois)는 필요한 것을 찾아냈습니다. 충분한 조건(매우 어려운 것으로 확인됨) 특히 라디칼의 용해도 주어진 방정식. 동시에 갈루아는 당시로서는 새로운 순열군 이론을 창안하고 사용했습니다.