1차 편미분 - 총 미분. 강의 n21

함수의 부분 도함수가 한 지점이 아닌 특정 집합에 존재하는 경우 이 집합에 정의된 함수입니다. 이러한 함수는 연속적일 수 있으며 경우에 따라 해당 영역의 다양한 지점에서 부분 도함수를 가질 수도 있습니다.

이러한 함수의 부분 도함수를 2차 부분 도함수 또는 2차 부분 도함수라고 합니다.

2차 편도함수는 두 그룹으로 나뉩니다.

· 변수의 2차 편도함수;

· 변수에 대한 혼합 편도함수 및.

후속 미분을 통해 3차 부분 도함수 등을 결정할 수 있습니다. 유사한 추론을 통해 더 높은 차수의 부분 파생 상품이 결정되고 작성됩니다.

정리.독립 변수의 함수로 간주되는 계산에 포함된 모든 편도함수가 연속형인 경우 부분 미분의 결과는 미분 순서에 의존하지 않습니다.

종종 함수의 전체 미분이 다음 형식의 표현인지 여부를 결정하는 역 문제를 해결해야 할 필요가 있습니다. 연속 기능 1차 연속 도함수를 사용합니다.

전체 미분의 필요 조건은 증명 없이 받아들일 수 있는 정리로 공식화될 수 있습니다.

정리.어떤 영역에서 미분 표현이 이 영역에서 정의되고 미분 가능한 함수의 총 미분이 되기 위해서는 이 영역에서 임의의 독립 변수 쌍에 대한 조건이 동일하게 충족되어야 합니다.

함수의 2차 총미분을 계산하는 문제는 다음과 같이 풀 수 있습니다. 총미분의 표현도 미분이 가능한 경우, 두 번째 총미분(또는 2차 총미분)은 첫 번째 총미분에 미분연산을 적용하여 얻은 식, 즉 . 분석적 표현두 번째 총 미분의 형식은 다음과 같습니다.

혼합 파생 상품은 미분 순서에 의존하지 않는다는 사실을 고려하여 공식을 다음과 같이 그룹화하고 나타낼 수 있습니다. 이차 형태:

이차 형태의 행렬은 다음과 같습니다.

및 에 정의된 함수를 중첩하자

에 정의되어 있습니다. 동시에. 그런 다음 과 점에서 2차까지 연속 부분 도함수를 갖는 경우 두 번째가 있습니다. 완전 차동 복잡한 기능다음과 같은 형식입니다:

보시다시피, 두 번째 완전 미분에는 형태 불변의 속성이 없습니다. 복소 함수의 2차 미분 표현에는 단순 함수의 2차 미분 공식에 없는 형식의 항이 포함됩니다.

고차 함수의 부분 도함수 구성은 이 함수의 순차적 미분을 수행하여 계속될 수 있습니다.

인덱스가 에서 까지 값을 취하는 곳, 즉 차수 도함수는 차수 도함수의 1차 부분 도함수로 간주됩니다. 마찬가지로, 차수 미분과 1차 차수의 완전 미분으로서 함수 차수 완전 미분의 개념을 도입할 수 있습니다.

두 변수의 단순 함수의 경우 함수 차수의 총 미분을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

미분 연산자를 사용하면 뉴턴의 이항 공식과 유사하게 함수 차수의 전체 미분을 계산하기 위한 간결하고 기억하기 쉬운 형식의 표기법을 얻을 수 있습니다. 2차원의 경우에는 형태를 갖습니다.

함수가 일부 (개방형) 도메인에서 정의되도록 하세요. 디 전철기
차원 공간과
– 이 영역의 한 지점, 즉
디.

부분적인 기능 증가모든 변수에 대한 많은 변수의 증가는 다른 모든 변수가 상수 값을 갖는다고 가정하고 이 변수에 증분을 제공할 경우 함수가 받게 될 증분입니다.

예를 들어, 변수에 의한 함수의 부분 증가 ~ 할 것이다

독립변수에 대한 편도함수 그 시점에
함수의 부분 증분 비율의 한계(존재하는 경우)를 호출합니다.
증가시키는 함수
변하기 쉬운 노력하는 동안
0으로:

편도함수는 다음 기호 중 하나로 표시됩니다.

;
.

논평.색인 아래 표기법에서는 어떤 변수에 대해 도함수가 취해졌는지 나타내며, 어떤 지점과 관련이 없는지 나타냅니다.
이 파생물이 계산됩니다.

편도함수 계산은 일반 도함수 계산에 비해 새로운 것이 아닙니다. 변수에 대해 함수를 미분할 때 다른 모든 변수는 상수로 간주된다는 점만 기억하면 됩니다. 이를 예시로 보여드리겠습니다.

예시 1.함수의 편도함수 찾기
.

해결책. 함수의 편도함수를 계산할 때
논쟁으로 기능을 고려하다 단 하나의 변수의 함수로 , 즉. 우리는 그것을 믿는다 고정된 값을 가지고 있습니다. 고정시 기능
인수의 거듭제곱 함수입니다. .

검정력 함수를 미분하는 공식을 사용하여 다음을 얻습니다. 마찬가지로 편도함수를 계산할 때 값이 고정되어 있다고 가정합니다.
, 그리고 기능을 고려 어떻게지수함수 논쟁

.. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:실시예 2 N IT 부분 파생상품
.

그리고기능 해결책. 에 대한 편도함수를 계산할 때 주어진 함수 우리는 그것을 하나의 변수의 함수로 간주할 것입니다
및 다음을 포함하는 표현식 , 상수 요소가 될 것입니다. 즉 일정한 계수로 작용(
~에 전력 함수

). 이 표현을 다음과 같이 차별화합니다. , 우리는 다음을 얻습니다: 이제 반대로 기능은 하나의 변수의 함수로 간주
(
, 다음을 포함하는 표현식 , 계수로 작용

).차별화 삼각 함수의 미분 규칙에 따라 다음을 얻습니다.
예시 3.
.

그리고함수의 편도함수 계산
그 시점에 먼저 임의의 지점에서 이 함수의 편도함수를 찾습니다.
정의의 영역입니다. 에 대한 편도함수를 계산할 때

우리는 그것을 믿는다 영구적입니다.
:

으로 구별할 때 영구적일 것이다 그리고 다음과 관련하여 편도함수를 계산할 때
N
그리고

마찬가지로, 각각 일정할 것입니다.
, 즉.:

이제 해당 지점에서 이러한 파생 상품의 값을 계산해 보겠습니다.

, 변수의 특정 값을 표현식으로 대체합니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:
11. 부분 및 완전 미분 기능 이제 부분적으로 증가하면 변수의 유한 증분에 라그랑주의 정리 적용

, 그렇다면 고려
,
연속적으로 우리는 다음과 같은 관계를 얻습니다.

어디– 무한한 값. 편미분 기능
변수별

부분 증분의 주요 선형 부분이라고 합니다.

, 이 변수에 대한 편도함수와 이 변수의 증분의 곱과 동일하며 다음과 같이 표시됩니다.분명히, 편미분은 극미량의 고차에 의한 부분 증분과 다릅니다.

전체 기능 증가
많은 변수의 증가분은 모든 독립 변수에 증분을 줄 때 받게 될 증분이라고 합니다.

다들 어디 있어? , 의존하고 그들과 함께 0이되는 경향이 있습니다. 아래에 독립변수의 미분암시하기로 합의했다
임의의
증분

그들을 지정하고 . 따라서 편미분에 대한 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

예를 들어 편미분
에 의해
다음과 같이 정의됩니다. 완전 차동

여러 변수의 함수를 전체 증분의 주요 선형 부분이라고 합니다.
연속 부분 도함수가 있습니다

그 시점에
그럼 그녀는 특정 지점에서 미분 가능.

미분 가능한 함수를 위해 충분히 작은 경우
대략적인 평등이 있습니다

이를 통해 대략적인 계산을 할 수 있습니다.

예시 4.함수의 완전미분 구하기
세 가지 변수
.

그리고우선, 우리는 편도함수를 찾습니다:

모든 값에 대해 연속적임을 확인
, 우리는 다음을 찾습니다:

많은 변수의 함수에 대한 미분의 경우, 하나의 변수에 대한 함수의 경우에 대해 입증된 미분의 속성에 대한 모든 정리가 참입니다. 예를 들면 다음과 같습니다. N – 연속 변수의 함수
, 모든 변수에 대해 연속 부분 도함수를 가지며, N 임의의 상수이면 다음과 같습니다.

(6)

자료의 기록과 표현을 단순화하기 위해 우리는 두 변수의 함수의 경우로 제한하겠습니다. 다음의 모든 내용은 다양한 변수의 함수에도 적용됩니다.

정의. 편도함수기능 z = f(엑스, 와이) 독립변수별 엑스파생상품이라고 불리는

상수로 계산됨 ~에.

변수에 대한 편도함수는 비슷하게 결정됩니다. ~에.

부분 파생 상품의 경우 다음이 적용됩니다. 정상적인 규칙그리고 차별화 공식.

정의.편도함수와 인수의 증분의 곱 엑스(y)라고 불린다 편미분변수별 엑스(~에) 두 변수의 함수 z = f(엑스, 와이) (기호: ):

독립변수의 미분 미만인 경우 dx(다이) 증분 이해 엑스(~에), 저것

기능을 위해 z = f(엑스, 와이) 주파수 도함수와 의 기하학적 의미를 알아봅시다.

요점을 고려하세요, 요점 피 0 (엑스 0 ,와이 0 , 지 0) 표면에 z = f(엑스,~에) 및 곡선 엘, 평면으로 표면을 절단하여 얻은 것 와이 = 와이 0 . 이 곡선은 하나의 변수에 대한 함수의 그래프로 볼 수 있습니다. z = f(엑스, 와이) 비행기에서 와이 = 와이 0 . 시점에서 개최된다면 아르 자형 0 (엑스 0 , y 0 , z 0) 곡선에 접함 엘, 그런 다음 하나의 변수 함수의 미분의 기하학적 의미에 따라 , 어디 에이 – 접선이 이루는 각도 긍정적인 방향축 오.