점에서 평면까지의 거리를 찾기 위한 수학 통일 상태 시험의 문제 C2
쿨리코바 아나스타샤 유리예브나
수학과 5학년 학생입니다. 분석, 대수학 및 기하학 EI KFU, 러시아 연방, 타타르스탄 공화국, 엘라부가
가네바 아이굴 리포브나
과학 감독관, Ph.D. ped. 과학, 부교수 EI KFU, 러시아 연방, 타타르스탄 공화국, 엘라부가
안에 통합 상태 시험 과제수학에서는 최근 몇 년점에서 평면까지의 거리를 계산하는 데 문제가 있는 것으로 보입니다. 이 기사에서는 한 가지 문제의 예를 사용하여 고려합니다. 다양한 방법한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 것. 가장 적합한 방법을 사용하여 다양한 문제를 해결할 수 있습니다. 한 가지 방법을 사용하여 문제를 해결한 후 다른 방법을 사용하여 결과의 정확성을 확인할 수 있습니다.
정의.한 점에서 이 점을 포함하지 않는 평면까지의 거리는 이 점에서 주어진 평면까지 그린 수직 선분의 길이입니다.
일.단 직육면체 에이비와 함께D.A. 1 비 1 기음 1 디측면이 있는 1개 AB=2, 기원전=4, A.A. 1=6. 점으로부터의 거리 구하기 디비행기로 교류디 1 .
편도. 사용 정의. 거리 r( 디, 교류디 1) 지점에서 디비행기로 교류디 1 (그림 1).
그림 1. 첫 번째 방법
실행하자 D.H.⊥교류, 그러므로 세 수직의 정리에 의해 디 1 시간⊥교류그리고 (DD 1 시간)⊥교류. 실행하자 직접 D.T.수직 디 1 시간. 똑바로 D.T.비행기에 누워 DD 1 시간, 따라서 D.T.⊥A.C.. 따라서, D.T.⊥교류디 1.
에이DC빗변을 찾아보자 교류그리고 키 D.H.
직각 삼각형에서 디 1 D.H. 빗변을 찾아보자 디 1 시간그리고 키 D.T.
답변: .
방법 2.볼륨 방식 (보조 피라미드 사용). 이러한 유형의 문제는 피라미드의 높이를 계산하는 문제로 축소될 수 있습니다. 여기서 피라미드의 높이는 점에서 평면까지 필요한 거리입니다. 이 높이가 필요한 거리임을 증명하십시오. 이 피라미드의 부피를 두 가지 방법으로 구하고 이 높이를 표현해 보세요.
이 방법을 사용하면 주어진 점에서 주어진 평면까지 수직선을 구성할 필요가 없습니다.
직육면체는 모든 면이 직사각형인 평행육면체입니다.
AB=CD=2, 기원전=광고=4, A.A. 1 =6.
필요한 거리는 높이입니다. 시간피라미드 ACD 1 디, 위에서 아래로 내려 디기지에 ACD 1 (그림 2).
피라미드의 부피를 계산해 봅시다 ACD 1 디두 가지 방법으로.
계산할 때 첫 번째 방법으로 Δ를 기본으로 사용합니다. ACD 1 그럼
두 번째 방법으로 계산할 때 Δ를 기본으로 사용합니다. ACD, 그 다음에
마지막 두 등식의 우변을 동일시하고 다음을 얻습니다.
그림 2. 두 번째 방법
에서 직각삼각형 교류디, 추가하다 1 , CDD 1. 피타고라스 정리를 이용하여 빗변을 구하세요.
ACD
삼각형의 면적을 계산 교류디 1 헤론의 공식을 사용하여
답변: .
3방향. 좌표 방법.
포인트를 주자 중(엑스 0 ,와이 0 ,지 0) 그리고 비행기 α , 방정식에 의해 주어진 도끼+~에 의해+cz+디직사각형 직교 좌표계에서는 =0입니다. 지점으로부터의 거리 중평면에 대한 α는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
좌표계를 소개하겠습니다(그림 3). 한 점에서의 좌표 원점 안에;
똑바로 AB- 축 엑스, 똑바로 해- 축 와이, 똑바로 BB 1 - 축 지.
그림 3. 세 번째 방법
비(0,0,0), 에이(2,0,0), 와 함께(0,4,0), 디(2,4,0), 디 1 (2,4,6).
허락하다 에이엑스+~에 의해+ cz+ 디=0 – 평면 방정식 ACD 1. 그것에 점의 좌표를 대입하면 에이, 기음, 디 1 우리는 다음을 얻습니다:
평면 방정식 ACD 1 형식을 취하겠습니다.
답변: .
4 방향. 벡터 방법.
그 근거를 소개하겠습니다 (그림 4) , .
그림 4. 네 번째 방법
공간에서 특정 평면 π와 임의의 점 M 0을 고려해 보겠습니다. 비행기를 선택하자 단위 법선 벡터 n 와 시작어떤 점 M 1 ∈ π에서 p(M 0 ,π)를 점 M 0에서 평면 π까지의 거리로 둡니다. 그런 다음 (그림 5.5)
р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM1M0 |, (5.8)
이후 |n| = 1.
π 평면이 다음과 같이 주어지면 직사각형 시스템일반 방정식에 의한 좌표 Ax + By + Cz + D = 0이면 법선 벡터는 좌표(A; B; C)가 있는 벡터이고 다음을 선택할 수 있습니다.
(x 0 ; y 0 ; z 0) 및 (x 1 ; y 1 ; z 1)을 점 M 0 및 M 1 의 좌표로 둡니다. 그러면 점 M 1이 평면에 속하고 벡터 M 1 M 0의 좌표를 찾을 수 있으므로 등식 Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0이 유지됩니다. M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; 녹음 내적 nM 1 M 0 좌표 형태로 변환하고 (5.8), 우리는 다음을 얻습니다.
Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D이므로, 점에서 평면까지의 거리를 계산하려면 점의 좌표를 평면의 일반 방정식에 대입한 후, 절대값을 나누어야 합니다. 정규화 요인에 의한 결과, 길이와 같음해당 법선 벡터
점에서 평면까지의 거리를 찾는 것은 분석 기하학의 다양한 문제를 해결할 때 발생하는 일반적인 문제입니다. 예를 들어 이 문제는 교차하는 두 직선 사이 또는 직선과 평행한 평면 사이의 거리를 찾는 것으로 축소될 수 있습니다. 그것.
평면 $β$와 좌표 $(x_0;y_0; z_0)$를 갖는 점 $M_0$를 고려하십시오. 비행기에 속한 $β$.
정의 1
점과 평면 사이의 최단 거리는 점 $M_0$에서 평면 $β$까지 그어진 수직선이 됩니다.
그림 1. 점에서 평면까지의 거리. Author24 - 학생 작품의 온라인 교환
아래에서는 좌표 방법을 사용하여 점에서 평면까지의 거리를 찾는 방법에 대해 설명합니다.
공간의 점에서 평면까지의 거리를 찾는 좌표 방법에 대한 공식 유도
좌표 $(x_1;y_1; z_1)$를 사용하여 $M_1$ 점에서 평면 $β$와 교차하는 점 $M_0$로부터의 수직선은 방향 벡터가 평면 $β$의 법선 벡터인 직선 위에 있습니다. 이 경우 단위 벡터 $n$의 길이는 1과 같습니다. 따라서 $β$에서 $M_0$ 지점까지의 거리는 다음과 같습니다.
$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, 여기서 $\vec(M_1M_0)$는 $β$ 평면의 법선 벡터이고 $\vec( n)$는 고려 중인 평면의 단위 법선 벡터입니다.
평면 방정식이 다음과 같이 주어진 경우 일반적인 견해$Ax+ By + Cz + D=0$, 평면의 법선 벡터의 좌표는 $\(A;B;C\)$ 방정식의 계수이며, 이 경우의 단위 법선 벡터는 다음과 같이 계산된 좌표를 갖습니다. 다음 방정식:
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.
이제 법선 벡터 $\vec(M_1M_0)$의 좌표를 찾을 수 있습니다.
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\왼쪽(3\오른쪽)$.
또한 $β$ 평면에 있는 점의 좌표를 사용하여 $D$ 계수를 표현합니다.
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
등식 $(2)$의 단위 법선 벡터의 좌표는 $β$ 평면의 방정식으로 대체될 수 있으며, 그러면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\왼쪽(4\오른쪽)$
등식 $(4)$는 공간상의 한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 공식입니다.
$M_0$ 지점에서 평면까지의 거리를 찾는 일반 알고리즘
- 평면의 방정식이 지정되지 않은 경우 일반적인 형태, 먼저 일반에 가져와야합니다.
- 그 후에는 다음과 같이 표현해야 합니다. 일반 방정식평면은 $M_0$ 점과 다음에 속하는 점을 통과하는 주어진 평면의 법선 벡터입니다. 주어진 비행기, 이를 위해서는 $(3)$ 등식을 사용해야 합니다.
- 다음 단계는 $(2)$ 공식을 사용하여 평면의 단위 법선 벡터의 좌표를 검색하는 것입니다.
- 마지막으로 점에서 평면까지의 거리를 찾기 시작할 수 있습니다. 이는 $\vec(n)$ 및 $\vec(M_1M_0)$ 벡터의 스칼라 곱을 계산하여 수행됩니다.
, 공모전 "수업 발표"
수업: 11
수업 프레젠테이션
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목표:
- 학생들의 지식과 기술의 일반화 및 체계화;
- 분석, 비교, 결론 도출 기술 개발.
장비:
- 멀티미디어 프로젝터;
- 컴퓨터;
- 문제 텍스트가 있는 시트
수업 진행
I. 조직적 순간
II. 지식 업데이트 단계(슬라이드 2)
점에서 평면까지의 거리가 어떻게 결정되는지 반복합니다.
III. 강의(슬라이드 3-15)
수업시간에 우리가 살펴보겠습니다. 다양한 방법한 점에서 평면까지의 거리를 구하는 것.
첫 번째 방법: 단계별 계산
M점에서 평면 α까지의 거리:
– 점 M을 통과하고 평면 α와 평행한 직선 a 위에 있는 임의의 점 P로부터 평면 α까지의 거리와 같습니다.
– 는 점 M을 통과하고 평면 α와 평행한 평면 β 위에 있는 임의의 점 P로부터 평면 α까지의 거리와 같습니다.
우리는 다음과 같은 문제를 해결할 것입니다:
№1. 입방체 A...D 1에서 점 C 1에서 평면 AB 1 C까지의 거리를 구합니다.
세그먼트 O 1 N의 길이 값을 계산하는 것이 남아 있습니다.
№2. 모든 모서리가 1인 정육각형 프리즘 A...F 1에서 점 A에서 평면 DEA 1까지의 거리를 찾습니다.
다음 방법: 볼륨 방식.
피라미드 ABCM의 부피가 V와 같으면 점 M에서 ΔABC를 포함하는 평면 α까지의 거리는 공식 ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =로 계산됩니다.
문제를 해결할 때 우리는 두 가지 다른 방식으로 표현되는 한 그림의 부피 동일성을 사용합니다.
다음 문제를 해결해 보겠습니다.
№3. 피라미드 DABC의 모서리 AD는 기본 평면 ABC에 수직입니다. A에서 변 AB, AC, AD의 중간점을 통과하는 평면까지의 거리를 구합니다.
문제를 해결할 때 좌표 방법점 M에서 평면 α까지의 거리는 공식 ρ(M; α) =를 사용하여 계산할 수 있습니다. 
, 여기서 M(x 0; y 0; z 0), 평면은 방정식 ax + by + cz + d = 0으로 제공됩니다.
다음 문제를 해결해 보겠습니다.
№4. 단위 입방체 A...D 1에서 점 A 1에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.
점 A를 원점으로 하는 좌표계를 도입해 보겠습니다. y축은 모서리 AB를 따라, x축은 모서리 AD를, z축은 모서리 AA 1을 따라 전달됩니다. 그런 다음 점 B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)의 좌표
점 B, D, C 1을 통과하는 평면에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다.
그러면 – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. 따라서 ρ = 
이러한 유형의 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 다음 방법은 다음과 같습니다. 지원 방법 문제.
애플리케이션 이 방법정리로 공식화되는 알려진 지원 문제를 적용하는 것으로 구성됩니다.
다음 문제를 해결해 보겠습니다.
№5. 단위 입방체 A...D 1에서 점 D 1에서 평면 AB 1 C까지의 거리를 구합니다.
응용 프로그램을 고려해 봅시다 벡터 방법.
№6. 단위 입방체 A...D 1에서 점 A 1에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.
그래서 우리는 이러한 유형의 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 다양한 방법을 살펴보았습니다. 하나의 방법을 선택하는 것은 특정 작업과 선호도에 따라 다릅니다.
IV. 그룹 작업
다양한 방법으로 문제를 해결해 보세요.
№1. 큐브 AD...D 1의 모서리는 와 같습니다. 꼭지점 C에서 평면 BDC 1까지의 거리를 구합니다.
№2. 모서리가 있는 정사면체 ABCD에서 점 A에서 평면 BDC까지의 거리를 구합니다.
№3. 모든 모서리가 1인 정삼각형 프리즘 ABCA 1 B 1 C 1에서 A에서 평면 BCA 1까지의 거리를 구합니다.
№4. 모든 모서리가 1인 정사각형 피라미드 SABCD에서 A에서 평면 SCD까지의 거리를 찾습니다.
V. 수업 요약, 숙제, 반사
평행성과 직각성의 조건
1°. 두 평면의 동일 평면성에 대한 조건
두 개의 평면이 주어집니다.
에이 1 엑스 + 비 1 와이 + 기음 1 지 + 디 1 = 0, N 1 = {에이 1 ; 비 1 ; 기음 1 } ≠ 0 ;(1)
에이 2 엑스 + 비 2 와이 + 기음 2 지 + 디 2 = 0, N 2 = {에이 2 ; 비 2 ; 기음 2 } ≠ 0 .(2)
언제 동일 평면에 위치합니까(즉, 평행 또는 일치)? 분명히 이는 법선 벡터가 동일 선상에 있는 경우에만 해당됩니다. 동일 평면성 기준을 적용하면 다음을 얻습니다.
문장 1.법선 벡터의 외적이 영 벡터와 동일한 경우에만 두 평면이 동일 평면에 있습니다.
[N 1 , N 2 ] = 0 .
2°. 두 평면의 일치 조건
제안 2.평면 (1)과 (2)는 네 개의 계수가 모두 비례하는 경우에만 일치합니다. 즉, 다음과 같은 숫자 λ가 있습니다.
에이 2 = λ 에이 1 , 비 2 = λ 비 1 , 기음 2 = λ 기음 1 , 디 2 = λ 디 1 . (3)
증거.조건 (3)을 만족시키자. 그러면 두 번째 평면의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
λ 에이 1 엑스 + λ 비 1 와이 + λ 기음 1 지 + λ 디 1 = 0.
λ ≠ 0, 그렇지 않으면 에이 2 = 비 2 = 기음 2 = 디 2 = 0, 이는 조건과 모순됩니다. N 2 ≠ 0 . 따라서 마지막 방정식은 방정식 (1)과 동일하며 이는 두 평면이 일치한다는 것을 의미합니다.
반대로 이제 이 평면들이 일치한다는 것을 알아두자. 그러면 그들의 법선 벡터는 동일선상에 있습니다. 즉, 다음과 같은 숫자 λ가 있습니다.
에이 2 = λ 에이 1 , 비 2 = λ 비 1 , 기음 2 = λ 기음 1 .
방정식 (2)는 이제 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
λ 에이 1 엑스 + λ 비 1 와이 + λ 기음 1 지 + 디 2 = 0.
방정식 (1)에 λ를 곱하면 첫 번째 평면의 등가 방정식을 얻습니다(λ ≠ 0이므로).
λ 에이 1 엑스 + λ 비 1 와이 + λ 기음 1 지 + λ 디 1 = 0.
몇 가지 요점을 살펴 보겠습니다 ( 엑스 0 , 와이 0 , 지 0) 첫 번째(따라서 두 번째) 평면에서 해당 좌표를 마지막 두 방정식으로 대체합니다. 우리는 올바른 평등을 얻습니다.
λ 에이 1 엑스 0 + λ 비 1 와이 0 + λ 기음 1 지 0 + 디 2 = 0 ;
λ 에이 1 엑스 0 + λ 비 1 와이 0 + λ 기음 1 지 0 + λ 디 1 = 0.
위쪽에서 아래쪽을 빼면 다음과 같습니다. 디 2 – λ 디 1 = 0, 즉 디 2 = λ 디 1, QED.
3°. 두 평면의 직각 조건
분명히 이를 위해서는 법선 벡터가 수직인 것이 필요하고 충분합니다.
제안 3.법선 벡터의 스칼라 곱이 0인 경우에만 두 평면이 수직입니다.
(N 1 , N 2) = 0 .
평면방정식을 주어보자
도끼 + 에 의해 + Cz + 디 = 0, N = {에이; 비; 기음} ≠ 0 ,
및 기간 중 0 = (엑스 0 , 와이 0 , 지 0). 점에서 평면까지의 거리 공식을 유도해 보겠습니다.
임의의 점을 취하자 큐 = (엑스 1 , 와이 1 , 지 1) 이 비행기에 누워있습니다. 해당 좌표는 평면 방정식을 충족합니다.
도끼 1 + 에 의해 1 + Cz 1 + 디 = 0.
이제 필요한 거리를 살펴보겠습니다. 디벡터 투영의 절대값과 같습니다. 벡터 방향으로 N (여기서는 투영을 벡터가 아닌 수치적 수량으로 간주합니다). 다음으로, 투영을 계산하기 위해 공식을 적용합니다:
거리에도 비슷한 공식이 적용됩니다. 디지점에서 중 0 = (엑스 0 , 와이 0) 일반 방정식에 의해 주어진 직선에 대한 평면 도끼 + 에 의해 + 기음 = 0.
