학생들은 대수학 공부 초기에 함수 그래프를 만들고 해마다 계속해서 그래프를 작성해야 하는 과제에 직면합니다. 두 개의 점만 알아야 하는 선형 함수 그래프에서 시작하여 이미 6개의 점이 필요한 포물선, 쌍곡선 및 사인파까지. 매년 함수는 점점 더 복잡해지고 있으며 더 이상 템플릿을 사용하여 그래프를 구성하는 것이 불가능합니다. 도함수와 극한을 사용하여 더 복잡한 연구를 수행해야 합니다.

함수 그래프를 찾는 방법을 알아 볼까요? 이를 위해 그래프가 점별로 표시되는 가장 간단한 함수부터 시작한 다음 더 복잡한 함수를 구성하기 위한 계획을 고려해 보겠습니다.

선형 함수 그래프 그리기

가장 간단한 그래프를 구성하려면 함수 값 테이블을 사용하십시오. 선형함수의 그래프는 직선이다. y=4x+5 함수 그래프에서 점을 찾아보겠습니다.

1. 이를 위해 변수 x의 임의 값 두 개를 가져와 함수에 하나씩 대입하고 변수 y의 값을 찾아 모든 것을 테이블에 입력해 보겠습니다.
2. x=0 값을 가져와 이를 x - 0 대신 함수에 대체합니다. 결과는 다음과 같습니다. y=4*0+5, 즉 y=5, 이 값을 표의 0 아래에 씁니다. 마찬가지로 x=를 사용합니다. 0이면 y=4*1+5 , y=9를 얻습니다.
3. 이제 함수 그래프를 작성하려면 좌표 평면에 이러한 점을 그려야 합니다. 그런 다음 직선을 그려야합니다.

2차 함수 그래프 그리기

2차 함수는 y=ax 2 +bx +c 형식의 함수입니다. 여기서 x는 변수이고, a,b,c는 숫자입니다(a는 0이 아닙니다). 예: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.

가장 간단한 이차 함수 y=x 2를 구성하려면 일반적으로 5-7개의 점이 사용됩니다. 변수 x의 값: -2, -1, 0, 1, 2를 취하고 첫 번째 그래프를 구성할 때와 같은 방법으로 y의 값을 찾아보겠습니다.

이차 함수의 그래프를 포물선이라고 합니다. 함수 그래프를 구성한 후 학생들은 그래프와 관련된 새로운 과제를 갖게 됩니다.

예 1: 세로 좌표가 9인 경우 함수 y=x 2의 그래프 점의 가로 좌표를 찾습니다. 문제를 해결하려면 해당 값 9를 y 대신 함수에 대체해야 합니다. 이 방정식. x=3 및 x=-3. 이는 함수 그래프에서도 확인할 수 있습니다.

함수 조사 및 플롯팅

더 복잡한 함수의 그래프를 그리려면 함수 연구를 목표로 하는 여러 단계를 수행해야 합니다. 이렇게 하려면 다음이 필요합니다.

1. 함수 정의 영역을 찾습니다. 정의 영역은 변수 x가 취할 수 있는 모든 값입니다. 분모가 0이 되거나 근호 표현이 음수가 되는 점은 정의 영역에서 제외되어야 합니다.
2. 함수가 짝수인지 홀수인지를 설정합니다. 짝수 함수는 f(-x)=f(x) 조건을 충족하는 함수라는 점을 기억하세요. 그래프는 Oy를 기준으로 대칭입니다. f(-x)=-f(x) 조건을 충족하면 함수는 홀수입니다. 이 경우 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.
3. 좌표축과의 교차점을 찾습니다. Ox 축과의 교차점의 가로 좌표를 찾으려면 방정식 f(x) = 0 (세로 좌표는 0과 같음)을 풀어야합니다. Oy 축과의 교차점의 세로 좌표를 찾으려면 변수 x 대신 함수에서 0을 대체해야 합니다(가로 좌표는 0임).
4. 함수의 점근선을 구합니다. 점근선은 그래프가 무한정 접근하지만 결코 교차하지 않는 직선입니다. 함수 그래프의 점근선을 찾는 방법을 알아봅시다.
   • 직선의 수직점근선 x=a
   • 수평 점근선 - 직선 y=a
   • 경사 점근선 - y=kx+b 형식의 직선
5. 함수의 극점, 함수의 증가 및 감소 간격을 찾습니다. 함수의 극점을 찾아봅시다. 이렇게 하려면 1차 도함수를 찾아 0과 동일시해야 합니다. 이 지점에서 함수가 증가에서 감소로 변경될 수 있습니다. 각 구간에서 미분의 부호를 결정해 보겠습니다. 도함수가 양수이면 함수 그래프가 증가하고, 음수이면 감소합니다.
6. 함수 그래프의 변곡점, 위쪽 및 아래쪽 볼록성 간격을 찾습니다.

이제 변곡점을 찾는 것이 그 어느 때보다 쉬워졌습니다. 이차 도함수를 구한 다음 이를 0과 동일시하면 됩니다. 다음으로 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 찾습니다. 양수이면 함수 그래프가 아래쪽으로 볼록하고, 음수이면 위쪽으로 볼록합니다.

이 교육 자료는 참고용으로만 제공되며 다양한 주제와 관련되어 있습니다. 이 기사는 기본 기본 기능 그래프의 개요를 제공하고 가장 중요한 문제를 고려합니다. 그래프를 정확하고 빠르게 작성하는 방법. 기초적인 초등함수의 그래프에 대한 지식 없이 고등수학을 공부하는 과정에서는 어려울 것이므로 포물선, 쌍곡선, 사인, 코사인 등의 그래프가 어떻게 생겼는지 기억하고 몇 가지를 기억하는 것이 매우 중요합니다. 함수의 의미에 대해 알아봅니다. 또한 주요 기능의 일부 속성에 대해서도 이야기하겠습니다.

나는 자료의 완전성과 과학적 완전성을 주장하지 않습니다. 무엇보다도 실천에 중점을 둘 것입니다. 고등 수학의 모든 주제에서 문자 그대로 모든 단계에서 접하게 됩니다.. 인형용 차트? 당신도 그렇게 말할 수 있습니다.

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바로 시작해 보겠습니다.

좌표축을 올바르게 구성하는 방법은 무엇입니까?

실제로 시험은 거의 항상 학생들이 정사각형으로 늘어선 별도의 공책에 작성하여 완료합니다. 체크 무늬 표시가 필요한 이유는 무엇입니까? 결국 작업은 원칙적으로 A4 용지로 수행할 수 있습니다. 케이지는 고품질의 정확한 도면 설계에만 필요합니다.

함수 그래프 그리기는 좌표축으로 시작됩니다..

그림은 2차원일 수도 있고 3차원일 수도 있습니다.

먼저 2차원 경우를 생각해 봅시다. 데카르트 직각 좌표계:

1) 좌표축을 그립니다. 축이라고 합니다 x축 , 그리고 축은 y축 . 우리는 항상 그들을 그리려고 노력해요 깔끔하고 삐뚤어지지 않은. 화살은 또한 Papa Carlo의 수염과 닮지 않아야 합니다.

2) 큰 글자 "X"와 "Y"로 축에 서명합니다. 축에 라벨을 붙이는 것을 잊지 마세요.

3) 축을 따라 스케일을 설정합니다. 0과 1 두 개 그리기. 그림을 그릴 때 가장 편리하고 자주 사용되는 척도는 1 단위 = 2 셀(왼쪽 그림) - 가능하면 이를 고수하세요. 그러나 때때로 그림이 노트북 시트에 맞지 않는 경우가 발생합니다. 그런 다음 크기를 줄입니다: 1 단위 = 1 셀(오른쪽 그림). 드문 일이지만 도면의 규모를 더욱 줄여야(또는 늘려야 하는 경우도 있습니다)

"머신건"은 필요하지 않습니다...-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....좌표 평면은 데카르트의 기념비가 아니며 학생은 비둘기가 아닙니다. 우리는 넣어 영그리고 축을 따라 두 단위. 때때로 대신에단위의 경우 다른 값(예: 가로축에 "2", 세로축에 "3")을 "표시"하는 것이 편리합니다. 이 시스템(0, 2, 3)도 좌표 그리드를 고유하게 정의합니다.

도면을 구성하기 전에 도면의 예상 치수를 추정하는 것이 좋습니다.. 따라서 예를 들어 작업에 꼭지점 , , 가 있는 삼각형을 그려야 하는 경우 1 단위 = 2 셀이라는 널리 사용되는 척도가 작동하지 않는다는 것이 완전히 분명합니다. 왜? 요점을 살펴 보겠습니다. 여기서는 15cm 아래로 측정해야하며 분명히 그림이 노트북 시트에 맞지 않거나 거의 맞지 않습니다. 따라서 즉시 더 작은 규모인 1단위 = 1셀을 선택합니다.

그건 그렇고, 약 센티미터와 노트북 셀입니다. 노트북 셀 30개에 15센티미터가 들어 있다는 것은 맞나요? 재미삼아 자를 사용하여 공책에서 15cm를 측정해 보세요. 소련에서는 이것이 사실이었을 수도 있습니다... 동일한 센티미터를 수평과 수직으로 측정하면 (셀의) 결과가 달라진다는 점은 흥미롭습니다! 엄밀히 말하면 현대 노트북은 체크 무늬가 아니라 직사각형입니다. 말도 안되는 소리처럼 보일 수도 있지만, 예를 들어 그러한 상황에서 나침반이 있는 원을 그리는 것은 매우 불편합니다. 솔직히 말해서 그런 순간에 당신은 국내 자동차 산업, 추락하는 비행기 또는 폭발하는 발전소는 물론 생산 해킹 작업을 위해 수용소로 보내진 스탈린 동지의 정확성에 대해 생각하기 시작합니다.

품질이라고 하면 문구류에 대한 간략한 추천. 오늘날 판매되는 대부분의 노트북은 말하자면 완전한 쓰레기입니다. 젤펜뿐만 아니라 볼펜에도 젖기 때문이죠! 그들은 종이에 돈을 절약합니다. 테스트를 완료하려면 비용이 더 들지만 Arkhangelsk Pulp and Paper Mill(18매, 정사각형) 또는 "Pyaterochka"의 노트북을 사용하는 것이 좋습니다. 젤 펜을 선택하는 것이 좋습니다. 가장 저렴한 중국 젤 리필이라도 종이가 번지거나 찢어지는 볼펜보다 훨씬 좋습니다. 내가 기억하는 유일한 "경쟁력 있는" 볼펜은 Erich Krause입니다. 그녀는 코어가 가득 차 있든 거의 비어 있든 명확하고 아름답고 일관되게 글을 씁니다.

추가적으로: 분석기하학의 눈을 통한 직교좌표계의 비전을 다룬 기사입니다. 벡터의 선형(비) 의존성. 벡터의 기초, 좌표 분기에 대한 자세한 정보는 강의의 두 번째 단락에서 확인할 수 있습니다. 선형 부등식.

3D 케이스

여기도 거의 똑같습니다.

1) 좌표축을 그립니다. 기준: 축 적용 – 위쪽으로 향함, 축 – 오른쪽으로 향함, 축 – 왼쪽으로 아래쪽으로 향함 엄격하게 45도 각도로.

2) 축에 라벨을 붙입니다.

3) 축을 따라 스케일을 설정합니다. 축의 눈금은 다른 축의 눈금보다 2배 작습니다.. 또한 오른쪽 그림에서는 축을 따라 비표준 "노치"를 사용했습니다. (이 가능성은 이미 위에서 언급했습니다). 내 관점에서는 이것이 더 정확하고 빠르며 미적으로도 더 좋습니다. 현미경으로 세포의 중앙을 찾고 좌표 원점에 가까운 단위를 "조각"할 필요가 없습니다.

3D 도면을 만들 때 역시 스케일을 우선으로 하세요
1 단위 = 2 셀(왼쪽 그림)

이 규칙은 모두 무엇을 위한 것인가요? 규칙은 깨지도록 만들어진 것입니다. 그것이 내가 지금 할 일이다. 사실 기사의 후속 그림은 제가 Excel에서 작성하게 되며 올바른 디자인의 관점에서 좌표축이 올바르지 않게 보일 것입니다. 그래프를 모두 손으로 그릴 수도 있지만 엑셀에서는 훨씬 더 정확하게 그리는 것을 꺼려하기 때문에 실제로 그리는 것이 겁이 납니다.

기본 함수의 그래프 및 기본 속성

선형 함수는 방정식으로 제공됩니다. 선형 함수의 그래프는 다음과 같습니다. 직접. 직선을 구성하려면 두 점만 알면 충분합니다.

실시예 1

함수의 그래프를 구성합니다. 두 가지 점을 찾아보자. 포인트 중 하나로 0을 선택하는 것이 유리합니다.

그렇다면

예를 들어 1과 같은 다른 점을 살펴보겠습니다.

그렇다면

작업을 완료할 때 점의 좌표는 일반적으로 표에 요약됩니다.

그리고 값 자체는 구두로 계산되거나 계산기 초안으로 계산됩니다.

두 가지 점이 발견되었습니다. 그림을 그려 보겠습니다.

그림을 준비할 때 우리는 항상 그래픽에 서명합니다..

선형 함수의 특별한 경우를 기억해 두는 것이 유용할 것입니다.

내가 서명을 어떻게 배치했는지 주목하세요. 서명은 그림을 연구할 때 불일치를 허용해서는 안 됩니다.. 이 경우 선의 교차점 옆이나 그래프 사이의 오른쪽 하단에 서명을 넣는 것은 매우 바람직하지 않았습니다.

1) () 형식의 선형 함수를 정비례라고 합니다. 예를 들어, . 정비례 그래프는 항상 원점을 통과합니다. 따라서 직선을 구성하는 것이 단순화됩니다. 한 점만 찾는 것으로 충분합니다.

2) 형식의 방정식은 축에 평행한 직선을 지정하며, 특히 축 자체는 방정식으로 지정됩니다. 함수의 그래프는 어떤 점도 찾지 않고 즉시 구성됩니다. 즉, 항목은 다음과 같이 이해되어야 합니다. "y는 x 값에 대해 항상 –4와 같습니다."

3) 형식의 방정식은 축에 평행한 직선을 지정하며, 특히 축 자체는 방정식으로 지정됩니다. 함수의 그래프도 즉시 그려집니다. 항목은 다음과 같이 이해되어야 합니다. "x는 항상 y 값에 대해 1과 같습니다."

어떤 사람들은 "왜 6학년을 기억하나요?!"라고 묻습니다. 그럴 수도 있고, 그럴 수도 있지만, 수년 동안 연습하면서 나는 와 같은 그래프를 구성하는 작업에 당황하는 수십 명의 학생들을 만났습니다.

직선을 구성하는 것은 그림을 만들 때 가장 일반적인 작업입니다.

직선에 대해서는 해석기하학 과정에서 자세히 다루며, 관심 있는 분은 해당 기사를 참고하시기 바랍니다. 평면 위의 직선 방정식.

2차, 3차 함수 그래프, 다항식 그래프

포물선. 이차 함수의 그래프 ()는 포물선을 나타낸다. 유명한 사례를 생각해 보십시오:

함수의 몇 가지 속성을 기억해 봅시다.

따라서 우리 방정식의 해는 다음과 같습니다. - 포물선의 정점이 위치하는 지점이 바로 이 지점입니다. 이것이 왜 그런지는 도함수에 대한 이론적 기사와 함수의 극값에 대한 교훈에서 배울 수 있습니다. 그동안 해당 "Y" 값을 계산해 보겠습니다.

따라서 정점은 점에 있습니다.

이제 우리는 포물선의 대칭성을 뻔뻔하게 이용하면서 다른 점을 찾아냅니다. 주의할 점은 다음과 같습니다. – 심지어는 아니다, 그러나 그럼에도 불구하고 아무도 포물선의 대칭을 취소하지 않았습니다.

남은 포인트를 어떤 순서로 찾는지는 최종 테이블에서 명확해질 것이라고 생각합니다.

이 구성 알고리즘은 Anfisa Chekhova에서 비유적으로 "셔틀" 또는 "앞뒤로" 원리라고 부를 수 있습니다.

그림을 그려보자:

조사한 그래프에서 또 다른 유용한 기능이 떠오릅니다.

이차 함수의 경우 () 다음은 사실이다:

이면 포물선의 가지가 위쪽을 향합니다..

이면 포물선의 가지가 아래쪽을 향합니다..

곡선에 대한 심층적인 지식은 쌍곡선과 포물선 수업에서 얻을 수 있습니다.

3차 포물선은 함수에 의해 제공됩니다. 다음은 학교에서 친숙한 그림입니다.

함수의 주요 속성을 나열해 보겠습니다.

함수 그래프

포물선의 가지 중 하나를 나타냅니다. 그림을 그려보자:

함수의 주요 속성:

이 경우 축은 수직 점근선 에서 쌍곡선 그래프의 경우 .

그림을 그릴 때 부주의하게 그래프가 점근선과 교차하도록 허용한다면 그것은 큰 실수가 될 것입니다.

또한 단측 극한은 쌍곡선이 위에서 제한되지 않음그리고 아래로부터 제한되지 않음.

무한대에서 함수를 살펴보겠습니다. 즉, 축을 따라 왼쪽(또는 오른쪽)으로 무한대로 이동하기 시작하면 "게임"이 질서정연한 단계가 됩니다. 무한히 가까운 0에 접근하고 그에 따라 쌍곡선의 가지 무한히 가까운축에 접근합니다.

그래서 축은 수평 점근선 함수 그래프의 경우 "x"가 플러스 또는 마이너스 무한대를 향하는 경향이 있는 경우입니다.

기능은 이상한, 따라서 쌍곡선은 원점을 기준으로 대칭입니다. 이 사실은 도면에서 분명하며 분석적으로도 쉽게 확인할 수 있습니다. .

() 형식의 함수 그래프는 쌍곡선의 두 분기를 나타냅니다..

이면 쌍곡선은 첫 번째와 세 번째 좌표 분기에 위치합니다.(위 그림 참조).

이면 쌍곡선은 두 번째와 네 번째 좌표 분기에 위치합니다..

표시된 쌍곡선 거주 패턴은 그래프의 기하학적 변환 관점에서 분석하기 쉽습니다.

실시예 3

쌍곡선의 오른쪽 가지를 구성합니다

우리는 point-wise 구성 방법을 사용하며, 전체로 나눌 수 있도록 값을 선택하는 것이 유리합니다.

그림을 그려보자:

쌍곡선의 왼쪽 가지를 구성하는 것은 어렵지 않을 것입니다. 여기서는 함수의 기이함이 도움이 될 것입니다. 대략적으로 말하면, 점별 구성표에서 우리는 정신적으로 각 숫자에 마이너스를 추가하고 해당 점을 배치하고 두 번째 가지를 그립니다.

고려된 선에 대한 자세한 기하학적 정보는 쌍곡선 및 포물선 기사에서 찾을 수 있습니다.

지수함수 그래프

이 섹션에서는 고등 수학 문제에서 95%의 경우 지수 함수가 나타나기 때문에 지수 함수를 즉시 고려할 것입니다.

이것은 무리수라는 점을 상기시켜 드리겠습니다. , 이는 그래프를 구성할 때 필요하며 실제로는 의식 없이 작성할 것입니다. 세 가지 사항이면 충분할 것입니다.

지금은 함수 그래프만 남겨두고 나중에 자세히 설명하겠습니다.

함수의 주요 속성:

함수 그래프 등은 기본적으로 동일해 보입니다.

두 번째 경우는 실제로는 덜 자주 발생한다고 말해야 하겠지만, 발생하기 때문에 이 글에 포함시킬 필요가 있다고 생각했습니다.

로그 함수 그래프

자연로그를 갖는 함수를 생각해 보세요.
점별로 그림을 그려 봅시다.

로그가 무엇인지 잊어버린 경우 학교 교과서를 참조하세요.

함수의 주요 속성:

정의 영역:

값 범위: .

기능은 위에서 제한되지 않습니다. , 비록 느리기는 하지만 로그의 분기는 무한대로 올라갑니다.
오른쪽에서 0 근처의 함수 동작을 살펴보겠습니다. . 그래서 축은 수직 점근선 함수 그래프의 경우 "x"는 오른쪽에서 0이 되는 경향이 있습니다.

로그의 일반적인 값을 알고 기억하는 것이 중요합니다.: .

원칙적으로 밑을 밑으로 하는 로그 그래프는 , , (밑이 10인 십진 로그) 등으로 동일하게 보입니다. 게다가 밑변이 클수록 그래프는 더 평평해집니다.

우리는 그 사례를 고려하지 않을 것입니다. 그러한 기초로 그래프를 마지막으로 구축한 것이 언제인지 기억이 나지 않습니다. 그리고 로그는 고등 수학 문제에서 매우 드문 손님인 것 같습니다.

이 단락의 끝에서 나는 한 가지 사실을 더 말할 것입니다: 지수함수와 로그함수– 이것은 두 개의 상호 역함수입니다.. 로그 그래프를 자세히 보면 동일한 지수이고 위치가 조금 다를 뿐이라는 것을 알 수 있습니다.

삼각함수 그래프

삼각법 고통은 학교에서 어디에서 시작됩니까? 오른쪽. 사인에서

함수를 그려보자

이 줄은 정현파.

"pi"는 무리수라는 점을 상기시켜 드리겠습니다. , 삼각법에서는 눈이 부시게 만듭니다.

함수의 주요 속성:

이 기능은 주기적마침표로 . 그것은 무엇을 의미합니까? 세그먼트를 살펴보겠습니다. 그 왼쪽과 오른쪽에는 정확히 같은 그래프 조각이 끝없이 반복됩니다.

정의 영역: 즉, "x" 값에는 사인 값이 있습니다.

값 범위: . 기능은 제한된: 즉, 모든 "게임"은 엄격하게 세그먼트에 위치합니다.
이런 일은 일어나지 않습니다. 더 정확하게는 이런 일이 발생하지만 이러한 방정식에는 해결책이 없습니다.

지식 기본 기본 기능, 해당 속성 및 그래프구구단을 아는 것만큼 중요하지 않습니다. 그것들은 기초와 같고 모든 것이 그것들을 기반으로 하며 모든 것이 그것들로부터 만들어지고 모든 것이 그것들로 귀결됩니다.

이 기사에서는 모든 주요 기본 기능을 나열하고 그래프를 제공하며 결론이나 증거 없이 제공합니다. 기본 기본 함수의 속성계획에 따르면 :

• 정의 영역의 경계, 수직 점근선에서의 함수 동작(필요한 경우 함수의 불연속점 분류 항목 참조)
• 짝수와 홀수;
• 볼록함(위로 볼록함) 및 오목함(아래로 볼록함)의 간격, 변곡점(필요한 경우 함수의 볼록성, 볼록함 방향, 변곡점, 볼록함 및 변곡 조건 항목 참조)
• 경사 및 수평 점근선;
• 기능의 특이점;
• 일부 함수의 특수 속성(예: 삼각 함수의 최소 양의 주기)

또는에 관심이 있다면 이론의 다음 섹션으로 이동할 수 있습니다.

기본 기본 기능상수 함수(상수), n제곱근, 거듭제곱 함수, 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수 및 역삼각 함수입니다.

페이지 탐색.

영구적인 기능.

상수 함수는 모든 실수 집합에 대해 공식으로 정의됩니다. 여기서 C는 실수입니다. 상수 함수는 독립 변수 x의 각 실수 값을 종속 변수 y의 동일한 값(값 C)과 연관시킵니다. 상수 함수는 상수라고도 합니다.

상수 함수의 그래프는 x축에 평행하고 좌표가 (0,C)인 점을 통과하는 직선입니다. 예를 들어, 아래 그림에서 각각 검은색, 빨간색, 파란색 선에 해당하는 상수 함수 y=5, y=-2의 그래프를 보여드리겠습니다.

상수 함수의 속성.

• 도메인(Domain): 실수의 전체 집합입니다.
• 상수 함수는 짝수입니다.
• 값의 범위: 단수 C로 구성된 집합입니다.
• 상수 함수는 증가하지도 않고 감소하지도 않습니다(그래서 상수입니다).
• 상수의 볼록함과 오목함을 이야기하는 것은 의미가 없습니다.
• 점근선이 없습니다.
• 함수는 좌표평면의 점 (0,C)를 통과합니다.

n차 루트입니다.

공식으로 제공되는 기본 기본 함수를 고려해 봅시다. 여기서 n은 1보다 큰 자연수입니다.

n차근, n은 짝수입니다.

근 지수 n의 짝수 값에 대한 n번째 근 함수부터 시작해 보겠습니다.

예를 들어, 다음은 함수 그래프 이미지가 포함된 그림입니다. , 검은색, 빨간색, 파란색 선에 해당합니다.

짝수근 함수의 그래프는 지수의 다른 값과 비슷한 모양을 갖습니다.

짝수 n에 대한 n번째 근 함수의 속성입니다.

n차근, n은 홀수입니다.

홀수 근 지수 n을 갖는 n차 근 함수는 전체 실수 집합에 대해 정의됩니다. 예를 들어, 다음은 함수 그래프입니다. 그리고 , 그들은 검은색, 빨간색, 파란색 곡선에 해당합니다.

루트 지수의 다른 홀수 값의 경우 함수 그래프는 비슷한 모양을 갖습니다.

홀수 n에 대한 n번째 근 함수의 속성입니다.

전원 기능.

검정력 함수는 다음 형식의 공식으로 제공됩니다.

멱함수 그래프의 형태와 지수의 값에 따른 멱함수의 성질을 생각해 봅시다.

정수 지수 a를 갖는 거듭제곱 함수부터 시작하겠습니다. 이 경우, 거듭제곱 함수의 그래프 유형과 함수의 속성은 지수의 짝수성 또는 홀수성과 부호에 따라 달라집니다. 따라서 먼저 지수 a의 홀수 양수 값, 짝수 양수 지수, 홀수 음수 지수, 마지막으로 짝수 음수 a에 대한 검정력 함수를 고려합니다.

분수 및 무리 지수가 있는 검정력 함수의 속성(및 해당 검정력 함수의 그래프 유형)은 지수 a의 값에 따라 달라집니다. 첫째로 0에서 1까지, 둘째로 1보다 큰 경우, 세 번째로 마이너스 1에서 0까지, 넷째로 마이너스 1 미만의 경우를 고려할 것입니다.

이 섹션의 마지막 부분에서는 완전성을 위해 지수가 0인 거듭제곱 함수를 설명하겠습니다.

홀수 양의 지수를 갖는 거듭제곱 함수입니다.

홀수 양의 지수, 즉 a = 1,3,5,...를 갖는 거듭제곱 함수를 생각해 봅시다.

아래 그림은 검정색 선, 파란색 선, 빨간색 선, 녹색 선의 검정력 함수 그래프를 보여줍니다. a=1에 대해 우리는 선형 함수 y=x.

홀수 양의 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성입니다.

양의 지수가 짝수인 거듭제곱 함수입니다.

짝수 양의 지수를 갖는 거듭제곱 함수, 즉 a = 2,4,6,...에 대해 생각해 봅시다.

예를 들어, 검은색 선, 파란색 선, 빨간색 선 등 검정력 함수 그래프를 제공합니다. a=2에 대해 우리는 이차 함수를 가지며, 그 그래프는 다음과 같습니다: 이차 포물선.

양의 지수가 짝수인 거듭제곱 함수의 속성입니다.

홀수 음수 지수를 갖는 거듭제곱 함수입니다.

지수의 홀수 음수 값, 즉 a = -1, -3, -5,...에 대한 검정력 함수 그래프를 살펴보세요.

그림에는 검은색 선, - 파란색 선, - 빨간색 선, - 녹색 선 등 검정력 함수 그래프가 예시되어 있습니다. a=-1에 대해 우리는 역비례, 그의 그래프는 쌍곡선.

홀수 음수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성입니다.

음수 지수가 짝수인 거듭제곱 함수입니다.

a=-2,-4,-6,…에서 거듭제곱 함수로 넘어가겠습니다.

그림은 검정색 선, 파란색 선, 빨간색 선의 검정력 함수 그래프를 보여줍니다.

짝수 음수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성입니다.

값이 0보다 크고 1보다 작은 유리수 또는 무리수 지수를 갖는 거듭제곱 함수입니다.

주의하세요! a가 홀수 분모를 갖는 양의 분수인 경우 일부 저자는 검정력 함수의 정의 영역을 구간으로 간주합니다. 지수 a는 기약분수라고 규정되어 있습니다. 이제 대수학 및 분석 원리에 관한 많은 교과서의 저자는 인수의 음수 값에 대해 홀수 분모가 있는 분수 형태의 지수로 거듭제곱 함수를 정의하지 않습니다. 우리는 정확하게 이 관점을 고수할 것입니다. 즉, 집합을 분수 양의 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 정의 영역으로 간주할 것입니다. 의견 차이를 피하기 위해 학생들은 이 미묘한 점에 대해 선생님의 의견을 알아보는 것이 좋습니다.

유리수 또는 무리수 지수 a, 및 를 갖는 거듭제곱 함수를 고려해 보겠습니다.

a=11/12(검은색 선), a=5/7(빨간색 선), (파란색 선), a=2/5(녹색 선)에 대한 검정력 함수 그래프를 제시해 보겠습니다.

정수가 아닌 유리수 또는 무리수 지수가 1보다 큰 거듭제곱 함수입니다.

정수가 아닌 유리수 또는 무리수 지수 a, 및 를 갖는 거듭제곱 함수를 고려해 보겠습니다.

공식으로 주어진 전력 함수의 그래프를 제시하겠습니다. (각각 검정, 빨강, 파랑 및 녹색 선).

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지수 a의 다른 값의 경우 함수 그래프는 비슷한 모양을 갖습니다.

에서의 거듭제곱 함수의 속성.

-1보다 크고 0보다 작은 실수 지수를 갖는 거듭제곱 함수입니다.

주의하세요! a가 홀수 분모를 갖는 음수인 경우 일부 저자는 검정력 함수의 정의 영역을 구간으로 간주합니다. . 지수 a는 기약분수라고 규정되어 있습니다. 이제 대수학 및 분석 원리에 관한 많은 교과서의 저자는 인수의 음수 값에 대해 홀수 분모가 있는 분수 형태의 지수로 거듭제곱 함수를 정의하지 않습니다. 우리는 정확하게 이 관점을 고수할 것입니다. 즉, 분수 분수 음수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 정의 영역을 각각 하나의 집합으로 간주할 것입니다. 의견 차이를 피하기 위해 학생들은 이 미묘한 점에 대해 선생님의 의견을 알아보는 것이 좋습니다.

거듭제곱 함수인 kgod로 넘어가겠습니다.

에 대한 거듭제곱 함수 그래프의 형태에 대한 좋은 아이디어를 얻기 위해 함수 그래프의 예를 제공합니다. (각각 검정, 빨강, 파랑 및 녹색 곡선).

지수 a를 갖는 거듭제곱 함수의 속성 .

-1보다 작은 정수가 아닌 실수 지수를 갖는 거듭제곱 함수입니다.

다음에 대한 검정력 함수 그래프의 예를 들어 보겠습니다. , 각각 검은색, 빨간색, 파란색, 녹색 선으로 표시됩니다.

-1보다 작은 정수가 아닌 음수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성입니다.

a = 0이면 함수가 있습니다. 이는 점 (0;1)이 제외되는 직선입니다(0 0이라는 표현에 어떤 의미도 부여하지 않기로 합의했습니다).

지수 함수.

주요 기본 함수 중 하나는 지수 함수입니다.

지수 함수의 그래프는 밑수 a의 값에 따라 다른 형태를 취합니다. 이것을 알아 봅시다.

먼저, 지수함수의 밑이 0에서 1까지의 값, 즉 를 취하는 경우를 생각해보자.

예를 들어, a = 1/2 – 파란색 선, a = 5/6 – 빨간색 선에 대한 지수 함수 그래프를 제시합니다. 지수 함수의 그래프는 구간의 다른 밑값에 대해 비슷한 모양을 갖습니다.

밑이 1보다 작은 지수 함수의 속성입니다.

지수 함수의 밑이 1보다 큰 경우, 즉 .

그림으로 파란색 선과 빨간색 선의 지수 함수 그래프를 제시합니다. 1보다 큰 다른 밑수 값의 경우 지수 함수 그래프는 비슷한 모양을 갖습니다.

밑이 1보다 큰 지수 함수의 속성입니다.

로그 함수.

다음 기본 기본 함수는 로그 함수입니다. 여기서 , . 로그 함수는 인수의 양수 값, 즉 for 에 대해서만 정의됩니다.

로그 함수의 그래프는 밑수 a의 값에 따라 다른 형태를 취합니다.

전원 기능. 이 기능은 다음과 같습니다. y = 도끼, 어디 에이, 엔- 영구적인. ~에 N= 1 우리는 얻습니다 정비례: 와이 = 도끼; N = 2 - ~에 ; N = - 1 - 역비례정사각형 포물선 또는. 과장법 따라서 이러한 함수는 거듭제곱 함수의 특별한 경우입니다. 우리는 0이 아닌 숫자의 0승이 다음과 같다는 것을 알고 있습니다. 1 그러므로, N= 0이면 거듭제곱 함수는 상수 값으로 변합니다. = 와이에이 , 즉. 그녀의 일정은축에 평행한 직선엑스, 원점 제외 (설명해주세요 와이= 1 ) 왜 ? ). 이 모든 경우( (N그림 13에 표시됨 0) 및 그림 14( < 0). Отрицательные значения N엑스 여기서는 고려되지 않으므로

다음과 같은 일부 기능: 0) 및 그림 14(만약에– 정수, 거듭제곱 함수는 다음과 같은 경우에도 의미가 있습니다.< 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли 0) 및 그림 14(엑스짝수 또는 홀수. N그림 15는 이러한 두 가지 전력 함수를 보여줍니다. N = 3.


을 위한 N= = 2 및~에 2 함수는 짝수이고 그래프가 대칭이다. 축을 기준으로 0) 및 그림 14(와이 ~에와이 = N 3 = 3 함수는 홀수이고 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다. 좌표 기능.

그림 16에서는 해당 기능을 보여줍니다. 이것 기능은 = 0이면 거듭제곱 함수는 상수 값으로 변합니다. = N 2 정사각형 포물선에 반대. , 그 그래프는 첫 번째 좌표각의 이등분선을 중심으로 사각 포물선의 그래프를 회전시켜 얻습니다.

이는 원래 함수의 그래프에서 역함수의 그래프를 얻는 방법입니다. 그래프를 보면 이것이 두 값을 갖는 함수라는 것을 알 수 있습니다(이것은 제곱근 앞에 ± 기호로도 표시됩니다). 이러한 함수는 초등 수학에서는 연구되지 않으므로 함수로서 우리는 일반적으로 상위 또는 하위 분기 중 하나를 고려합니다.

평면의 모든 점의 좌표는 가로축과 세로축의 두 가지 수량에 의해 결정됩니다. 그러한 많은 점들의 집합은 함수의 그래프를 나타냅니다. 여기에서 X 값의 변화에 ​​따라 Y 값이 어떻게 변하는지 확인할 수 있으며, 어느 구간(간격)에서 함수가 증가하고 감소하는지 확인할 수도 있습니다.

• 지침
• 그래프가 직선이라면 함수에 대해 무엇을 말할 수 있나요? 이 선이 좌표 원점(즉, X와 Y 값이 0인 점)을 통과하는지 확인하세요. 통과하면 이러한 함수는 방정식 y = kx로 설명됩니다. k의 값이 클수록 이 직선이 세로축에 가깝게 위치하게 된다는 것을 이해하기 쉽습니다. 그리고 Y축 자체는 실제로 무한히 큰 k 값에 해당합니다.
• 함수의 방향을 살펴보세요. “왼쪽 아래에서 오른쪽 위로” 즉, 3, 1좌표 분기를 거치면 증가하고, “왼쪽 위에서 오른쪽 아래로”(2분기와 4분기를 거쳐) 가면 증가합니다. 감소.
• 선이 원점을 통과하지 않는 경우 방정식 y = kx + b로 설명됩니다. 직선은 y = b인 지점에서 y축과 교차하며, y의 값은 양수 또는 음수일 수 있습니다.
• n이 홀수인 경우 이 함수의 그래프는 3차 포물선입니다. 곡선은 첫 번째 및 세 번째 좌표 분기에 위치하고 Y축을 기준으로 대칭이며 좌표 원점과 점 (-1;-1), (1;1)을 통과합니다. 이차 함수가 방정식 y = ax^2 + bx + c인 경우 포물선의 모양은 가장 간단한 경우(y = x^2)와 동일하지만 정점이 원점에 있지 않습니다.
• 방정식 y = k/x로 설명되는 함수를 쌍곡선이라고 합니다. x 값이 0에 가까워질수록 y 값은 무한대로 증가한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 함수의 그래프는 두 개의 분기로 구성되고 서로 다른 좌표 분기에 위치한 곡선입니다.