우리는 시스템을 계속 고려합니다 선형 방정식. 이번 강의는 주제에 대한 세 번째 강의입니다. 일반적으로 선형 방정식 시스템이 무엇인지에 대한 막연한 아이디어가 있고 주전자처럼 느껴지면 페이지의 기본부터 시작하는 것이 좋습니다. 다음으로 수업을 공부하는 것이 유용합니다.

가우스 방법은 쉽습니다!왜? 독일의 유명한 수학자 요한 칼 프리드리히 가우스(Johann Carl Friedrich Gauss)는 일생 동안 인정을 받았습니다. 가장 위대한 수학자역대 천재이자 '수학의 왕'이라는 별명까지 붙은 천재. 아시다시피 독창적인 모든 것은 간단합니다!그건 그렇고, 바보뿐만 아니라 천재도 돈을 얻습니다. Gauss의 초상화는 10 Deutschmark 지폐 (유로 도입 전)에 있었고 Gauss는 여전히 일반 우표에서 독일인에게 신비하게 미소를 지었습니다.

가우스 방법은 5학년 학생의 지식만으로도 충분히 숙달할 수 있다는 점에서 간단합니다. 덧셈과 곱셈을 알아야 해요!교사가 학교 수학 선택과목에서 미지의 항목을 순차적으로 제외하는 방법을 자주 고려하는 것은 우연이 아닙니다. 역설적이지만 학생들은 가우스 방법을 가장 어렵게 생각합니다. 놀라운 일은 없습니다. 모든 것은 방법론에 관한 것이며 접근 가능한 형식으로 방법의 알고리즘에 대해 이야기하려고 노력할 것입니다.

먼저, 선형 방정식 시스템에 대한 약간의 지식을 체계화해 보겠습니다. 선형 방정식 시스템은 다음을 수행할 수 있습니다.

1) 독특한 솔루션을 가지고 있습니다. 2) 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다. 3) 해결책이 없다. 비관절).

가우스 방법은 솔루션을 찾는 가장 강력하고 보편적인 도구입니다. 어느선형 방정식 시스템. 우리가 기억하는 것처럼, 크레이머의 법칙과 행렬법시스템에 솔루션이 무한히 많거나 일관성이 없는 경우에는 적합하지 않습니다. 그리고 미지수를 순차적으로 제거하는 방법 그래도우리를 답으로 이끌 것입니다! ~에 이번 수업우리는 사례 번호 1(시스템의 유일한 솔루션)에 대한 가우스 방법을 다시 고려할 것이며, 기사는 포인트 번호 2-3의 상황에 대해 다룹니다. 메서드 자체의 알고리즘은 세 가지 경우 모두 동일하게 작동합니다.

다시 돌아가자 가장 간단한 시스템수업 중 선형 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?그리고 Gaussian 방법을 사용하여 이를 해결합니다.

첫 번째 단계는 글쓰기이다. 확장된 시스템 매트릭스: . 계수가 어떤 원리로 쓰여지는지는 누구나 알 수 있다고 생각합니다. 매트릭스 내부의 수직선은 수학적 의미가 없으며 단지 디자인의 용이성을 위한 취소선일 뿐입니다.

참조 : 기억해두시길 추천드려요 자귀 선형 대수학. 시스템 매트릭스 는 미지수에 대한 계수로만 구성된 행렬입니다. 이 예에서는 시스템의 행렬입니다. . 확장된 시스템 매트릭스 – 이는 시스템의 동일한 행렬에 자유항 열을 더한 것입니다. 이 경우: . 간결하게 하기 위해 모든 행렬을 간단히 행렬이라고 부를 수 있습니다.

확장된 시스템 매트릭스가 작성된 후에는 이를 사용하여 몇 가지 작업을 수행해야 합니다. 기본 변환.

다음과 같은 기본 변환이 존재합니다.

1) 문자열행렬 할 수 있다 재배열하다어떤 곳에서는. 예를 들어, 고려 중인 행렬에서 첫 번째 행과 두 번째 행을 쉽게 재배열할 수 있습니다.

2) 행렬이 비례하는 경우(또는 나타난 경우) 특별한 경우– 동일) 줄이 있으면 다음과 같습니다. 삭제이 모든 행은 하나를 제외하고 행렬에서 나온 것입니다. 예를 들어 행렬을 생각해 보세요. . 이 행렬에서 마지막 세 행은 비례적이므로 그 중 하나만 남겨두어도 충분합니다. .

3) 변환 중에 행렬에 0 행이 나타나는 경우에도 삭제. 물론 그리지 않겠습니다. 제로 라인은 모두 0.

4) 행렬 행은 다음과 같습니다. 곱하다(나누다)어떤 번호로든 0이 아닌. 예를 들어 행렬 을 고려하십시오. 여기서는 첫 번째 줄을 –3으로 나누고 두 번째 줄에 2를 곱하는 것이 좋습니다. . 이 작업은 행렬의 추가 변환을 단순화하므로 매우 유용합니다.

5) 이 변환은 가장 어려운 일이지만 실제로는 복잡한 것도 없습니다. 행렬의 행에 다음을 수행할 수 있습니다. 숫자를 곱한 다른 문자열을 추가하세요, 0과 다릅니다. 실제 예제에서 행렬을 살펴보겠습니다. 먼저 변환에 대해 자세히 설명하겠습니다. 첫 번째 줄에 -2를 곱합니다. , 그리고 두 번째 줄에 첫 번째 줄에 -2를 곱한 값을 추가합니다.: . 이제 첫 번째 줄을 -2: 로 "뒤로" 나눌 수 있습니다. 보시다시피 ADD 라인은 리 – 변하지 않았어. 언제나 TO WHICH IS ADDED 변경 내용 유타.

물론 실제로는 이렇게 자세히 쓰지 않고 간략하게 작성합니다. 다시 한 번 : 두 번째 줄로 -2를 곱한 첫 번째 줄을 추가했습니다.. 선은 일반적으로 구두로 또는 초안에 곱해지며 정신적 계산 과정은 다음과 같습니다.

“행렬을 다시 작성하고 첫 번째 줄을 다시 작성합니다. »

“첫 번째 칼럼. 맨 아래에서 0을 얻어야합니다. 따라서 맨 위에 있는 값에 –2: 를 곱하고 첫 번째 값을 두 번째 줄에 추가합니다: 2 + (–2) = 0. 두 번째 줄에 결과를 씁니다. »

“이제 두 번째 열입니다. 맨 위에서 -1에 -2를 곱합니다. 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가합니다: 1 + 2 = 3. 두 번째 줄에 결과를 씁니다. »

“그리고 세 번째 열. 맨 위에서 -5에 -2를 곱합니다. 두 번째 줄에 첫 번째를 추가합니다: –7 + 10 = 3. 두 번째 줄에 결과를 씁니다. »

이 예를 주의 깊게 이해하고 순차 계산 알고리즘을 이해하십시오. 이것을 이해한다면 가우시안 방법은 실제로 주머니에 있습니다. 그러나 물론 우리는 이러한 변화를 위해 계속 노력할 것입니다.

기본 변환은 방정식 시스템의 해를 변경하지 않습니다.

! 주목: 조작으로 간주됨 사용할 수 없습니다, 행렬이 "스스로" 제공되는 작업이 제공되는 경우. 예를 들어 '클래식' 행렬을 이용한 연산어떠한 경우에도 행렬 내부의 내용을 재배열해서는 안 됩니다! 우리 시스템으로 돌아가자. 그것은 실제로 조각난 것입니다.

시스템의 확장된 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 이를 다음과 같이 줄여보겠습니다. 계단식 뷰:

(1) 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가하고 -2를 곱했습니다. 그리고 다시: 왜 첫 번째 줄에 –2를 곱합니까? 맨 아래에서 0을 얻으려면 두 번째 줄에서 하나의 변수를 제거하는 것을 의미합니다.

(2) 두 번째 줄을 3으로 나눕니다.

기본 변환의 목적 – 행렬을 단계적 형식으로 줄입니다. . 작업을 설계할 때 간단한 연필로 "계단"을 표시하고 "계단"에 있는 숫자에 동그라미를 칩니다. "단계적 관점"이라는 용어 자체는 과학 및 교육 문헌에서 완전히 이론적인 것이 아닙니다. 사다리꼴 뷰또는 삼각형의 모습.

기본 변환의 결과로 우리는 다음을 얻었습니다. 동등한원래 방정식 시스템:

이제 시스템을 반대 방향으로 "풀어야" 합니다. 즉, 아래에서 위로 이 프로세스를 호출합니다. 가우스 방법의 반대.

하위 방정식에는 이미 준비된 결과가 있습니다.

시스템의 첫 번째 방정식을 고려하고 이미 알려진 "y" 값을 여기에 대체해 보겠습니다.

가우스 방법이 3개의 미지수를 갖는 3개의 선형 방정식 시스템을 풀어야 하는 가장 일반적인 상황을 고려해 보겠습니다.

실시예 1

가우스 방법을 사용하여 방정식 시스템을 풉니다.

시스템의 확장 행렬을 작성해 보겠습니다.

이제 솔루션 중에 얻게 될 결과를 즉시 그려 보겠습니다. 다시 한번 말씀드리지만, 우리의 목표는 기본 변환을 사용하여 행렬을 단계적 형태로 만드는 것입니다. 어디서부터 시작해야 할까요?

먼저 왼쪽 상단의 숫자를 살펴보세요. 거의 항상 여기에 있어야 해요 단위. 일반적으로 말하면 -1(때때로 다른 숫자)이 적합하지만, 전통적으로 1이 일반적으로 거기에 배치되는 경우가 있었습니다. 유닛을 구성하는 방법은 무엇입니까? 첫 번째 열을 살펴보겠습니다. 완성된 단위가 있습니다! 변환 1: 첫 번째 줄과 세 번째 줄을 바꿉니다.

이제 첫 번째 줄은 솔루션이 끝날 때까지 변경되지 않습니다.. 이미 더 쉽습니다.

왼쪽 상단에 유닛이 구성되어 있습니다. 이제 다음 위치에서 0을 얻어야 합니다.

"어려운" 변환을 사용하여 0을 얻습니다. 먼저 두 번째 줄(2, –1, 3, 13)을 처리합니다. 첫 번째 위치에서 0을 얻으려면 어떻게 해야 합니까? 필요 두 번째 줄에 –2를 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다.. 정신적으로 또는 초안에서 첫 번째 줄에 –2(–2, –4, 2, –18)를 곱합니다. 그리고 우리는 지속적으로 (다시 정신적으로 또는 초안에) 추가를 수행합니다. 두 번째 줄에 이미 -2를 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다.:

두 번째 줄에 결과를 씁니다.

세 번째 줄도 같은 방식으로 처리합니다(3, 2, -5, -1). 첫 번째 위치에서 0을 얻으려면 다음이 필요합니다. 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 -3을 곱한 값을 추가합니다.. 정신적으로 또는 초안에서 첫 번째 줄에 –3을 곱합니다: (–3, –6, 3, –27). 그리고 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 -3을 곱한 값을 추가합니다.:

세 번째 줄에 결과를 씁니다.

실제로 이러한 작업은 일반적으로 구두로 수행되고 한 단계로 기록됩니다.

모든 것을 한 번에 동시에 계산할 필요가 없습니다.. 계산 순서 및 결과 "기록" 일관된일반적으로 다음과 같습니다. 먼저 첫 번째 줄을 다시 작성하고 천천히 자신을 부풀립니다. 주의 깊게:
그리고 위에서 계산 자체의 정신적 과정에 대해 이미 논의했습니다.

이 예에서는 두 번째 줄을 -5로 나눕니다. (모든 숫자는 나머지 없이 5로 나눌 수 있기 때문입니다.) 동시에 세 번째 줄을 -2로 나눕니다. 숫자가 작을수록 해가 더 간단해지기 때문입니다.

기본 변환의 마지막 단계에서는 여기서 또 다른 0을 얻어야 합니다.

이를 위해 세 번째 줄에 –2를 곱한 두 번째 줄을 추가합니다.:
이 동작을 스스로 알아내십시오. 정신적으로 두 번째 줄에 -2를 곱하고 덧셈을 수행하십시오.

수행된 마지막 작업은 결과의 헤어스타일이며 세 번째 줄을 3으로 나눕니다.

기본 변환의 결과로 동등한 선형 방정식 시스템이 얻어졌습니다. 시원한.

이제 가우스 방법의 반대가 작용합니다. 방정식은 아래에서 위로 "풀립니다".

세 번째 방정식에서는 이미 준비된 결과를 얻었습니다.

두 번째 방정식을 살펴보겠습니다. "zet"의 의미는 이미 알려져 있습니다.

그리고 마지막으로 첫 번째 방정식은 다음과 같습니다. "Igrek"과 "zet"는 알려져 있지만 이는 사소한 문제일 뿐입니다.

답변:

반복해서 언급했듯이, 모든 방정식 시스템에 대해 찾은 해를 확인하는 것이 가능하고 필요합니다. 다행히도 이는 쉽고 빠릅니다.

실시예 2

이것은 독립적인 솔루션의 예, 최종 디자인 샘플 및 수업 마지막 답변입니다.

당신의 결정의 진행내 결정 과정과 일치하지 않을 수도 있습니다. 이것이 가우스법의 특징입니다. 하지만 대답은 같아야 합니다!

실시예 3

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템 풀기

우리는 왼쪽 상단의 "단계"를 봅니다. 거기 하나쯤은 있어야 해. 문제는 첫 번째 열에 단위가 전혀 없기 때문에 행을 재배열해도 아무런 문제가 해결되지 않는다는 것입니다. 이러한 경우 단위는 기본 변환을 사용하여 구성되어야 합니다. 이는 일반적으로 여러 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 나는 이것을 했다: (1) 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가하고 -1을 곱합니다.. 즉, 우리는 두 번째 줄에 –1을 정신적으로 곱하고 첫 번째와 두 번째 줄을 추가했지만 두 번째 줄은 변경되지 않았습니다.

이제 왼쪽 상단에는 우리에게 아주 잘 어울리는 "마이너스 1"이 있습니다. +1을 원하는 사람은 누구나 추가 이동을 수행할 수 있습니다. 첫 번째 줄에 -1을 곱합니다(부호 변경).

(2) 첫 번째 줄에 5를 곱한 값이 두 번째 줄에 추가되었습니다. 첫 번째 줄에 3을 곱한 값이 세 번째 줄에 추가되었습니다.

(3) 첫 번째 줄에는 –1을 곱했는데, 원칙적으로는 아름다움을 위한 것입니다. 세 번째 줄의 기호도 변경되어 두 번째 위치로 이동하여 두 번째 "단계"에서 필요한 단위를 갖게 되었습니다.

(4) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 2를 곱했습니다.

(5) 세 번째 줄은 3으로 나누어졌습니다.

계산 오류(드물게는 오타)를 나타내는 나쁜 신호는 "나쁜" 결론입니다. 즉, 아래와 같은 것을 얻은 경우 그에 따라 , 그러면 높은 확률로 기본 변환 중에 오류가 발생했다고 말할 수 있습니다.

우리는 예제 설계에서 시스템 자체를 다시 작성하지 않는 경우가 많지만 방정식은 "주어진 행렬에서 직접 가져옵니다." 역방향 스트로크는 아래에서 위로 작동합니다. 예, 여기 선물이 있습니다.

답변: .

실시예 4

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템 풀기

이것은 스스로 해결해야 하는 예이며 다소 복잡합니다. 누군가 혼란스러워도 괜찮습니다. 수업이 끝나면 전체 솔루션과 샘플 디자인을 제공합니다. 귀하의 솔루션은 내 솔루션과 다를 수 있습니다.

마지막 부분에서는 가우스 알고리즘의 몇 가지 기능을 살펴보겠습니다. 첫 번째 특징은 시스템 방정식에서 일부 변수가 누락되는 경우가 있다는 것입니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 확장 시스템 매트릭스를 올바르게 작성하는 방법은 무엇입니까? 나는 이미 수업 시간에 이 점에 대해 이야기했습니다. 크레이머의 법칙. 매트릭스 방식. 시스템의 확장 행렬에서는 누락된 변수 대신 0을 넣습니다. 그건 그렇고, 이것은 첫 번째 열에 이미 0이 하나 있고 수행할 기본 변환이 적기 때문에 매우 쉬운 예입니다.

두 번째 특징은 이것이다. 고려한 모든 예에서 우리는 "단계"에 -1 또는 +1을 배치했습니다. 거기에 다른 번호가 있을 수 있나요? 어떤 경우에는 그럴 수 있습니다. 시스템을 고려하십시오. .

여기 왼쪽 상단의 "단계"에는 2가 있습니다. 그러나 첫 번째 열의 모든 숫자는 나머지 없이 2로 나눌 수 있고 다른 열은 2와 6이라는 사실을 알 수 있습니다. 그리고 왼쪽 상단에 있는 두 개가 우리에게 적합할 거예요! 첫 번째 단계에서는 다음 변환을 수행해야 합니다. 첫 번째 줄에 -1을 곱한 값을 두 번째 줄에 추가합니다. 세 번째 줄에 첫 번째 줄에 –3을 곱한 값을 추가합니다. 이렇게 하면 첫 번째 열에서 필요한 0을 얻을 수 있습니다.

또는 또 다른 일반적인 예: . 여기서 두 번째 "단계"의 3도 우리에게 적합합니다. 왜냐하면 12(0을 얻어야 하는 자리)는 나머지 없이 3으로 나눌 수 있기 때문입니다. 다음 변환을 수행해야 합니다. 두 번째 줄을 세 번째 줄에 추가하고 -4를 곱하면 필요한 0이 얻어집니다.

가우스의 방법은 보편적이지만 한 가지 특이점이 있습니다. 다른 방법(Cramer의 방법, 매트릭스 방법) 말 그대로 처음으로 할 수 있습니다. 매우 엄격한 알고리즘이 있습니다. 그러나 가우스 방법에 자신감을 가지려면 "이를 확실하게 익히고" 최소한 5-10개의 시스템을 풀어야 합니다. 따라서 처음에는 계산에 혼란과 오류가 있을 수 있으며 이에 대해 특이하거나 비극적인 것은 없습니다.

창밖에는 비가 내리는 가을 날씨.... 그러므로 더 많은 것을 원하는 모든 사람들을 위해 복잡한 예독립적인 솔루션의 경우:

실시예 5

가우스 방법을 사용하여 4개의 미지수가 있는 4개의 선형 방정식 시스템을 풉니다.

실제로 그러한 작업은 그리 드물지 않습니다. 이 페이지를 철저하게 공부한 찻주전자라도 그러한 시스템을 해결하기 위한 알고리즘을 직관적으로 이해할 것이라고 생각합니다. 기본적으로 모든 것이 동일합니다. 단지 더 많은 작업만 있을 뿐입니다.

시스템에 솔루션이 없거나(일관되지 않음) 무한히 많은 솔루션이 있는 경우가 수업에서 논의됩니다. 호환되지 않는 시스템 및 공통 솔루션이 있는 시스템. 거기에서 가우시안 방법의 고려된 알고리즘을 수정할 수 있습니다.

나는 당신의 성공을 기원합니다!

솔루션 및 답변:

예시 2: 해결책 : 시스템의 확장된 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 이를 단계적 형태로 만들어 보겠습니다.
수행된 기본 변환: (1) 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가하고 -2를 곱했습니다. 첫 번째 줄이 세 번째 줄에 추가되고 -1이 곱해졌습니다. 주목! 여기서는 세 번째 줄에서 첫 번째 줄을 빼고 싶은 유혹을 느낄 수 있습니다. 빼지 않는 것이 좋습니다. 오류가 발생할 위험이 크게 높아집니다. 그냥 접으세요! (2) 두 번째 줄의 부호가 변경되었습니다(-1을 곱함). 두 번째와 세 번째 줄이 바뀌었습니다. 참고하세요 , "단계"에서 우리는 하나뿐만 아니라 -1에도 만족하므로 훨씬 더 편리합니다. (3) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 5를 곱했습니다. (4) 두 번째 줄의 부호가 변경되었습니다(-1을 곱함). 세 번째 줄은 14개로 나누어졌습니다.

뒤집다:

답변 : .

예시 4: 해결책 : 시스템의 확장된 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 이를 단계별 형식으로 만들어 보겠습니다.

수행된 전환: (1) 첫 번째 줄에 두 번째 줄이 추가되었습니다. 따라서 원하는 단위는 왼쪽 상단의 "단계"에 구성됩니다. (2) 첫 번째 줄에 7을 곱한 값이 두 번째 줄에 추가되었습니다. 첫 번째 줄에 6을 곱한 값이 세 번째 줄에 추가되었습니다.

두 번째 "단계"에서는 모든 것이 더욱 악화됩니다. , 이에 대한 "후보"는 숫자 17과 23이며 1 또는 –1이 필요합니다. 변환 (3)과 (4)는 원하는 단위를 얻는 것을 목표로 합니다. (3) 세 번째 줄에 두 번째 줄을 더하고 -1을 곱했습니다. (4) 두 번째 줄에 세 번째 줄을 더하고 –3을 곱했습니다. 2단계 필수항목이 접수되었습니다. . (5) 두 번째 줄을 세 번째 줄에 더하고 6을 곱했습니다. (6) 두 번째 줄에는 -1을 곱하고, 세 번째 줄에는 -83을 곱했습니다.

뒤집다:

답변 :

예시 5: 해결책 : 시스템의 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 단계별 형식으로 만들어 보겠습니다.

수행된 전환: (1) 첫 번째와 두 번째 줄이 바뀌었습니다. (2) 첫 번째 줄을 두 번째 줄에 추가하고 -2를 곱했습니다. 첫 번째 줄이 세 번째 줄에 추가되고 –2가 곱해졌습니다. 첫 번째 줄이 네 번째 줄에 추가되고 –3이 곱해졌습니다. (3) 두 번째 줄은 세 번째 줄에 4를 곱하여 추가되었습니다. 두 번째 줄은 네 번째 줄에 -1을 곱하여 추가되었습니다. (4) 두 번째 줄의 부호가 변경되었습니다. 네 번째 줄을 3으로 나누어 세 번째 줄 대신 배치했습니다. (5) 세 번째 줄을 네 번째 줄에 추가하고 -5를 곱했습니다.

뒤집다:

답변 :

선형 시스템을 보자 대수 방정식, 해결이 필요합니다 (시스템의 각 방정식을 동등하게 바꾸는 미지수 xi의 값을 찾으십시오).

우리는 선형 대수 방정식 시스템이 다음을 수행할 수 있다는 것을 알고 있습니다.

1) 해결책이 없습니다. 비관절).
2) 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다.
3) 단일 솔루션을 사용하십시오.

우리가 기억하는 것처럼 Cramer의 법칙과 행렬 방법은 시스템에 무한히 많은 해가 있거나 일관성이 없는 경우에는 적합하지 않습니다. 가우스법 – 모든 선형 방정식 시스템의 해를 찾기 위한 가장 강력하고 다재다능한 도구, 어느 모든 경우에우리를 답으로 이끌 것입니다! 메서드 알고리즘 자체는 세 가지 경우 모두 동일하게 작동합니다. Cramer 및 행렬 방법에 행렬식에 대한 지식이 필요한 경우 Gauss 방법을 적용하려면 산술 연산에 대한 지식만 필요하므로 초등학생도 접근할 수 있습니다.

증강 행렬 변환( 이것은 시스템의 행렬입니다. 미지수의 계수와 자유항 열로만 구성된 행렬입니다.가우스 방법의 선형 대수 방정식 시스템:

1) 와 함께 트로키행렬 할 수 있다 재배열하다어떤 곳에서는.

2) 행렬에 비례하는(특별한 경우 – 동일한) 행이 나타나거나 존재하는 경우 다음을 수행해야 합니다. 삭제이 행은 모두 하나를 제외하고 행렬에서 나온 것입니다.

3) 변환 중에 행렬에 0 행이 나타나는 경우에도 삭제.

4) 행렬의 행은 다음과 같습니다. 곱하다(나누다) 0이 아닌 임의의 숫자로 변환됩니다.

5) 행렬의 행에 다음을 수행할 수 있습니다. 숫자를 곱한 다른 문자열을 추가하세요, 0과 다릅니다.

가우스 방법에서 기본 변환은 방정식 시스템의 해를 변경하지 않습니다.

가우스 방법은 두 단계로 구성됩니다.

1. "직접 이동" - 기본 변환을 사용하여 선형 대수 방정식 시스템의 확장된 행렬을 "삼각형" 단계 형태로 가져옵니다. 주 대각선 아래에 있는 확장된 행렬의 요소는 0과 같습니다(하향식 이동). 예를 들어 다음과 같은 유형입니다.

이렇게 하려면 다음 단계를 수행하십시오.

1) 선형 대수 방정식 시스템의 첫 번째 방정식을 고려해 보겠습니다. x 1의 계수는 K와 같습니다. 두 번째, 세 번째 등 우리는 방정식을 다음과 같이 변환합니다. 각 방정식(자유 항을 포함한 미지수의 계수)을 각 방정식에 있는 미지수 x 1의 계수로 나누고 K를 곱합니다. 그런 다음 첫 번째 방정식을 뺍니다. 두 번째 방정식(미지수 및 자유 항의 계수). 두 번째 방정식의 x 1에 대해 계수 0을 얻습니다. 세 번째 변환 방정식에서 알 수 없는 x 1에 대한 첫 번째 방정식을 제외한 모든 방정식이 계수 0을 가질 때까지 첫 번째 방정식을 뺍니다.

2) 다음 방정식으로 넘어 갑시다. 이것이 두 번째 방정식이고 x 2에 대한 계수가 M이라고 가정합니다. 위에서 설명한 대로 모든 "하위" 방정식을 진행합니다. 따라서 미지의 x 2 "아래"에는 모든 방정식에 0이 있습니다.

3) 마지막 미지수와 변환된 자유 항이 남을 때까지 다음 방정식으로 이동합니다.

1. 가우스 방법의 "역 이동"은 선형 대수 방정식 시스템에 대한 해를 구하는 것입니다("상향식" 이동). 마지막 "낮은" 방정식에서 우리는 하나의 첫 번째 해, 즉 미지의 xn을 얻습니다. 이를 위해 우리는 결정합니다기본 방정식

A*x n = B. 위에 주어진 예에서 x 3 = 4. 발견된 값을 "상위" 다음 방정식에 대입하고 다음 미지수에 대해 푼다. 예를 들어 x 2 – 4 = 1, 즉 x 2 = 5. 모든 미지수를 찾을 때까지 계속됩니다.

예.

일부 저자의 조언에 따라 가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀어 보겠습니다.

시스템의 확장된 행렬을 작성하고 기본 변환을 사용하여 이를 단계별 형식으로 만들어 보겠습니다.
우리는 왼쪽 상단의 "단계"를 봅니다. 거기 하나쯤은 있어야 해. 문제는 첫 번째 열에 단위가 전혀 없기 때문에 행을 재배열해도 아무런 문제가 해결되지 않는다는 것입니다. 이러한 경우 단위는 기본 변환을 사용하여 구성되어야 합니다. 이는 일반적으로 여러 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 이렇게 해보자: 1단계

. 첫 번째 줄에 –1을 곱한 두 번째 줄을 추가합니다. 즉, 우리는 두 번째 줄에 –1을 정신적으로 곱하고 첫 번째와 두 번째 줄을 추가했지만 두 번째 줄은 변경되지 않았습니다.

이제 왼쪽 상단에는 우리에게 아주 잘 어울리는 "마이너스 1"이 있습니다. +1을 원하는 사람은 누구나 추가 작업을 수행할 수 있습니다. 첫 번째 줄에 -1을 곱합니다(부호 변경). . 5를 곱한 첫 번째 줄이 두 번째 줄에 추가되었습니다. 3을 곱한 첫 번째 줄이 세 번째 줄에 추가되었습니다.

3단계 . 첫 번째 줄에 -1을 곱했는데, 이는 원칙적으로 아름다움을 위한 것입니다. 세 번째 줄의 기호도 변경되어 두 번째 위치로 이동하여 두 번째 "단계"에서 필요한 단위를 갖게 되었습니다.

4단계 . 세 번째 줄이 두 번째 줄에 추가되고 2가 곱해졌습니다.

5단계 . 세 번째 줄은 3으로 나누어졌습니다.

계산 오류(드물게는 오타)를 나타내는 기호는 "나쁜" 결론입니다. 즉, 아래 (0 0 11 |23)과 같은 결과가 나오고 그에 따라 11x 3 = 23, x 3 = 23/11이 되면 높은 확률로 초등학교에서 오류가 발생했다고 말할 수 있습니다. 변형.

예를 설계할 때 시스템 자체는 종종 다시 작성되지 않지만 방정식은 "주어진 행렬에서 직접 가져옵니다". 역방향 동작은 아래에서 위로 작동한다는 점을 상기시켜 드립니다. 이 예에서는 결과가 선물이었습니다.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, 따라서 x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

답변:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

제안된 알고리즘을 사용하여 동일한 시스템을 풀어보겠습니다. 우리는 얻는다

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

두 번째 방정식을 5로 나누고 세 번째 방정식을 3으로 나눕니다. 다음을 얻습니다.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

두 번째와 세 번째 방정식에 4를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

두 번째 및 세 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면 다음과 같습니다.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

세 번째 방정식을 0.64로 나눕니다.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

세 번째 방정식에 0.4를 곱합니다.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

세 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면 "계단식" 확장 행렬이 생성됩니다.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

따라서 계산 중에 오류가 누적되었으므로 x 3 = 0.96 또는 대략 1을 얻습니다.

x 2 = 3이고 x 1 = -1입니다.

이런 식으로 해결하면 계산에 혼란이 생기지 않으며 계산 오류에도 불구하고 결과를 얻을 수 있습니다.

선형 대수 방정식 시스템을 푸는 이 방법은 프로그래밍하기 쉽고 고려하지 않습니다. 특정 기능실제로 (경제적 및 기술적 계산에서) 정수가 아닌 계수를 처리해야 하기 때문에 미지수에 대한 계수입니다.

나는 당신의 성공을 기원합니다! 수업시간에 만나요! 교사 Dmitry Aystrakhanov.

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오늘 우리는 선형 대수 방정식 시스템을 푸는 가우스 방법을 살펴보겠습니다. Cramer 방법을 사용하여 동일한 SLAE를 해결하는 데 관한 이전 기사에서 이러한 시스템이 무엇인지 읽을 수 있습니다. 가우스 방법에는 특별한 지식이 필요하지 않으며 주의력과 일관성만 필요합니다. 수학적 관점에서 학교 교육만으로도 이를 적용할 수 있다는 사실에도 불구하고 학생들은 종종 이 방법을 익히기가 어렵다고 생각합니다. 이 글에서 우리는 그것들을 전혀 없애려고 노력할 것입니다!

가우스법

중 가우스 방법– SLAE를 해결하는 가장 보편적인 방법입니다(매우 큰 시스템 제외). 앞서 논의한 것과는 달리 크레이머의 방법, 단일 솔루션을 갖는 시스템뿐만 아니라 무한한 수의 솔루션을 갖는 시스템에도 적합합니다. 여기에는 세 가지 가능한 옵션이 있습니다.

1. 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다(시스템의 주 행렬의 행렬식은 0이 아닙니다).
2. 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.
3. 해결책이 없으며 시스템이 호환되지 않습니다.

따라서 우리는 시스템(하나의 솔루션을 가지도록 함)을 갖고 있으며 가우스 방법을 사용하여 이를 해결하려고 합니다. 어떻게 작동하나요?

가우스 방법은 순방향 및 역방향의 두 단계로 구성됩니다.

가우스 방법의 직접 스트로크

먼저 시스템의 확장행렬을 적어보자. 이렇게 하려면 기본 매트릭스에 자유 멤버 열을 추가하세요.

가우스 방법의 전체 본질은 이 행렬을 기본 변환을 통해 계단식(또는 삼각형이라고도 함) 형태로 만드는 것입니다. 이 형식에서는 행렬의 주대각선 아래(또는 위)에 0만 있어야 합니다.

당신이 할 수 있는 일:

1. 행렬의 행을 다시 정렬할 수 있습니다.
2. 행렬에 동일한(또는 비례) 행이 있는 경우 그 중 하나만 남기고 모두 제거할 수 있습니다.
3. 문자열을 임의의 숫자(0 제외)로 곱하거나 나눌 수 있습니다.
4. Null 행은 제거됩니다.
5. 문자열에 0이 아닌 숫자를 곱한 문자열을 추가할 수 있습니다.

역가우스 방법

이런 식으로 시스템을 변환한 후, 알려지지 않은 하나 Xn 알려지면 나머지 모든 미지수를 역순으로 찾아 이미 알려진 x를 시스템 방정식에 첫 번째까지 대체하여 찾을 수 있습니다.

인터넷이 항상 가까이에 있으면 가우스 방법을 사용하여 방정식 시스템을 풀 수 있습니다. 온라인.온라인 계산기에 계수를 입력하기만 하면 됩니다. 하지만 인정해야 합니다. 예제가 해결되지 않았다는 사실을 깨닫는 것이 훨씬 더 즐겁습니다. 컴퓨터 프로그램, 하지만 당신 자신의 두뇌로.

가우스 방법을 사용하여 방정식 시스템을 푸는 예

그리고 이제 모든 것이 명확하고 이해 가능해지는 예입니다. 선형 방정식 시스템이 주어지면 가우스 방법을 사용하여 이를 풀어야 합니다.

먼저 확장 행렬을 작성합니다.

이제 변환을 해보겠습니다. 우리는 행렬의 삼각형 모양을 구현해야 한다는 것을 기억합니다. 첫 번째 줄에 (3)을 곱해 보겠습니다. 두 번째 줄에 (-1)을 곱합니다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가하고 다음을 얻습니다.

그런 다음 세 번째 줄에 (-1)을 곱합니다. 두 번째 줄에 세 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

첫 번째 줄에 (6)을 곱해 보겠습니다. 두 번째 줄에 (13)을 곱해 봅시다. 첫 번째 줄에 두 번째 줄을 추가해 보겠습니다.

짜잔 - 시스템이 적절한 형태로 바뀌었습니다. 알려지지 않은 것을 찾는 것이 남아 있습니다.

이 예의 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. 시스템을 해결하는 방법 무한한 수별도의 기사에서 솔루션을 살펴보겠습니다. 처음에는 행렬 변환을 어디서 시작해야 할지 모를 수도 있지만, 적절한 연습을 하고 나면 익숙해지고 마치 견과류처럼 가우스 방법을 사용하여 SLAE를 해독할 수 있을 것입니다. 갑자기 너무 어려워서 깨기 어려운 SLA를 발견했다면 작성자에게 문의하세요! 통신실에 요청을 남겨주시면 저렴한 에세이를 주문하실 수 있습니다. 우리는 어떤 문제라도 함께 해결할 것입니다!

RCB 보호 군사 대학교 코스트로마 지점

병력통제자동화학과

교사 전용

"나는 승인한다"

9부장

YAKOVLEV A.B.

"____"______________ 2004

부교수 SMIRNOVA A.I.

"행렬. 가우스 방법"

강의 2/3

9차 부서회의에서 논의

"____"___________ 2003

프로토콜 번호___________

코스트로마, 2003년

기음소유

소개

1. 행렬 연산.

2. 가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 해결합니다.

결론

문학

1. V.E. Schneideret al. 단기 코스고등 수학, 1권, 2장, §6, 7.

2. V.S. Shchipachev, 고등 수학, Ch. 10, § 1, 7.

소개

강의에서는 행렬의 개념, 행렬에 대한 연산, 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법에 대해 논의합니다. 특수한 경우, 소위 정사각 행렬의 경우, 이전 강의에서 그 개념을 논의한 행렬식을 계산할 수 있습니다. 가우스 방법은 선형 시스템을 해결하기 위해 앞서 설명한 Cramer 방법보다 더 일반적입니다. 강의에서 논의되는 문제들은 수학의 다양한 분야와 응용문제에서 활용됩니다.

1위 연구 문제 행렬에 대한 작업

정의 1. 직사각형 테이블중, N다음을 포함하는 숫자중– 라인과N– 다음과 같은 열:

~라고 불리는 크기 매트릭스 중 ´ N

행렬을 구성하는 숫자를 호출합니다. 행렬의 요소.

요소 위치 에이나 j 매트릭스에서 이중 인덱스가 특징입니다.

첫 번째 나– 줄 번호;

두번째 j– 요소가 위치한 교차점의 열 번호.

행렬은 대문자로 축약됩니다. 에이, 비, 씨...

간단히 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

정의 2.행의 개수와 열의 개수가 동일한 행렬, 즉중 = N, 라고 불리는 정사각형.

정방행렬의 행(열) 개수를 행렬의 차수라고 합니다.

예.

REMARK 1. 요소가 숫자인 행렬을 고려해 보겠습니다. 수학과 그 응용에는 요소가 함수, 벡터와 같은 다른 객체인 행렬이 있습니다.

REMARK 2. 행렬은 특별한 수학적 개념이다. 행렬을 이용하면 다양한 변환을 적는 것이 편리하고, 선형 시스템따라서 행렬은 수학 및 기술 문헌에서 자주 발견됩니다.

정의 3.크기 매트릭스 1' N, 한 줄로 구성된 것을 이라고 합니다. 행렬 - 행.

T 크기 매트릭스′ 1 하나의 열로 구성된 것을 이라고 합니다. 행렬 - 열.

정의 4. 제로 매트릭스 요소가 모두 0인 행렬입니다.

정사각 행렬을 생각해 보세요. N:

측면 대각선

주 대각선

테이블의 왼쪽 상단 요소에서 오른쪽 하단으로 가는 정사각 행렬의 대각선을 호출합니다. 행렬의 주대각선(주 대각선에는 다음과 같은 형태의 요소가 있습니다. 에이나 나).

오른쪽 상단 요소에서 왼쪽 하단 요소까지 이어지는 대각선을 호출합니다. 행렬의 2차 대각선.

몇 가지 특정 유형의 정사각 행렬을 고려해 보겠습니다.

1) 정사각 행렬이 호출됩니다. 대각선, 주대각선에 없는 모든 요소가 0인 경우.

2) 주대각선의 모든 요소가 1인 대각행렬을 호출합니다. 하나의. 다음으로 표시:

3) 정사각 행렬이 호출됩니다. 삼각형,주대각선의 한쪽에 위치한 모든 요소가 0인 경우:

상단 하단

삼각행렬 삼각행렬

정사각 행렬의 경우 다음 개념이 도입됩니다. 행렬식. 이는 행렬 요소로 구성된 행렬식입니다. 다음으로 표시:

단위행렬의 행렬식은 1:½인 것이 분명하다. 이자형½ = 1

논평. 비정방 행렬에는 행렬식이 없습니다.

2차 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우, 행렬은 다음과 같이 호출됩니다. 비퇴화, 행렬식이 0이면 행렬이 호출됩니다. 퇴화하다.

정의 5.행을 동일한 숫자의 열로 대체하여 주어진 행렬에서 얻은 행렬을 호출합니다. 주어진 것으로 옮겨졌습니다.

다음으로 전치된 행렬 에이, 표시하다 에.

예.

3 3 2

정의.같은 크기의 두 행렬을 호출합니다. 동일한해당 요소가 모두 동일한 경우 .

행렬에 대한 연산을 고려해 봅시다.

매트릭스 추가.

덧셈 연산은 동일한 크기의 행렬에 대해서만 도입됩니다.

정의 7. 두 행렬 A의 합 = (a 나 j ) 및 B = ( 비 나는 j ) 같은 크기 행렬 C라고 불리는 = (c나 j)동일한 크기의 요소는 행렬 항의 해당 요소의 합과 같습니다. 와 함께나는 j = a 나는 j + b 나는 j

행렬의 합은 다음과 같이 표시됩니다. A + B.

예.

실수로 행렬 곱하기

정의 8.행렬에 숫자를 곱하려면케이, 행렬의 각 요소에 이 숫자를 곱해야 합니다.:

만약에 A=(에이나 j ), 저것 케이 · 에이= (케이 · 에이 나 j )

예.

숫자에 의한 행렬 덧셈과 곱셈의 속성

1. 교환성: A + B = B + A

2. 결합 속성: (A + B) + C = A + (B + C)

3. 분배재산권: 케이 · (에이 + 비) = 케이 에이 + 케이 비, 어디 케이 – 숫자

행렬 곱셈

행렬 에이그것을 행렬과 일치한다고 부르자 안에, 행렬 열의 수가 에이행렬의 행 수와 같습니다. 안에, 즉. 일치 행렬 행렬의 경우 에이크기가 있습니다 중 ´ N, 행렬 안에크기가 있습니다 N ´ 케이 . 정사각형 행렬순서가 같으면 일관성이 있습니다.

정의 9.크기가 A인 행렬의 곱중 ´ N매트릭스 B 크기당N ´ 케이크기 C의 행렬이라고 함중 ´ 케이, 그 요소 a나 j , 위치나-번째 줄과j– 번째 열, 요소 곱의 합과 같습니다.나– 행렬 A의 번째 행을 해당 요소로 변환j– 행렬 B의 열, 즉

기음 나 j = 에이 나 1 비 1 j + 에이 나 2 비 2 j +……+ 에이 나 N 비 N j

다음을 나타내자: C = A· 안에.

저것

일하다 안에´ 에이말이 안 되니까. 행렬

동의하지 않았습니다.

참고 1. 만약 에이´ 안에그렇다면 말이 된다 안에´ 에이말이 안 될 수도 있습니다.

참고 2. 타당하다면 에이´ 안에그리고 안에´ 에이, 그렇다면 일반적으로 말하면

에이´ 안에 ¹ 안에´ 에이, 즉. 행렬 곱셈에는 교환법칙이 없습니다.

참고 3. 만약 에이정사각 행렬이고 이자형는 동일한 차수의 단위 행렬이고, 그러면 에이´ 이자형= 이자형´ A = A.

따라서 항등행렬은 곱해질 때 1의 역할을 합니다.

예. 가능하다면 찾아보세요 에이´ 안에그리고 안에´ 에이.

해결책: 동일한 2차의 정사각형 행렬은 다른 순서에서 일관성을 갖습니다. 에이´ 안에그리고 안에´ 에이존재하다.

가우스 방법의 정의 및 설명

선형 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 변환 방법(방정식이나 행렬에서 알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 방법이라고도 함)은 다음과 같습니다. 고전적인 방법대수 방정식 시스템(SLAE)을 푸는 중입니다. 이 고전적인 방법은 다음과 같은 문제를 해결하는 데에도 사용됩니다. 역행렬그리고 행렬의 순위를 결정하는 단계를 포함합니다.

가우스 방법을 사용한 변환은 선형 대수 방정식 시스템에 작은(기본) 순차적 변경을 수행하여 원래와 동일한 새로운 삼각 방정식 시스템을 형성하여 위에서 아래로 변수를 제거하는 것으로 구성됩니다. 하나.

정의 1

솔루션의 이 부분은 전체 프로세스가 위에서 아래로 수행되므로 순방향 가우스 솔루션이라고 합니다.

원래 방정식 시스템을 삼각형 시스템으로 줄이면 시스템의 모든 변수가 아래에서 위로 발견됩니다(즉, 발견된 첫 번째 변수는 정확하게 시스템 또는 행렬의 마지막 행에 위치합니다). 솔루션의 이 부분은 가우스 솔루션의 역함수로도 알려져 있습니다. 그의 알고리즘은 다음과 같습니다. 먼저 방정식 시스템이나 행렬의 맨 아래에 가장 가까운 변수를 계산한 다음 결과 값을 더 높은 값으로 대체하여 다른 변수를 찾는 식입니다.

가우시안 방법 알고리즘에 대한 설명

가우스 방법을 사용하는 방정식 시스템의 일반적인 솔루션에 대한 일련의 작업은 SLAE를 기반으로 매트릭스에 앞으로 및 뒤로 스트로크를 교대로 적용하는 것으로 구성됩니다. 초기 방정식 시스템의 형식은 다음과 같습니다.

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(건)$

가우스 방법을 사용하여 SLAE를 풀려면 원래 방정식 시스템을 행렬 형식으로 작성해야 합니다.

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

행렬 $A$를 주행렬이라고 하며, 순서대로 작성된 변수의 계수를 나타내고, $b$를 자유항의 열이라고 합니다. 자유항 열이 있는 막대를 통해 작성된 행렬 $A$를 확장 행렬이라고 합니다.

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

이제 방정식 시스템(또는 이것이 더 편리하기 때문에 행렬)에 대한 기본 변환을 사용하여 다음 형식으로 가져와야 합니다.

$\begin(사례) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(건수)$ (1)

변환된 방정식 (1) 시스템의 계수에서 얻은 행렬을 단계 행렬이라고 하며, 이는 일반적으로 단계 행렬의 모양입니다.

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(배열)$

이러한 행렬의 특징은 다음과 같은 속성 집합입니다.

1. 모든 0 라인은 0이 아닌 라인 뒤에 옵니다.
2. 숫자가 $k$인 행렬의 일부 행이 0이 아닌 경우 동일한 행렬의 이전 행은 숫자가 $k$인 이 행보다 0이 적습니다.

단계 행렬을 얻은 후에는 결과 변수를 나머지 방정식(끝부터 시작)에 대입하고 변수의 나머지 값을 구해야 합니다.

가우스 방법을 사용할 때 기본 규칙 및 허용되는 변환

이 방법을 사용하여 행렬이나 방정식 시스템을 단순화하는 경우 기본 변환만 사용해야 합니다.

이러한 변환은 의미를 변경하지 않고 행렬이나 방정식 시스템에 적용할 수 있는 연산으로 간주됩니다.

• 여러 줄을 재배치하고,
• 행렬의 한 행에서 다른 행을 더하거나 빼는 것,
• 문자열을 0이 아닌 상수로 곱하거나 나누는 것,
• 시스템을 계산하고 단순화하는 과정에서 얻은 0으로만 구성된 선을 삭제해야 합니다.
• 또한 추가 계산에 더 적합하고 편리한 계수가 있는 유일한 시스템을 선택하여 불필요한 비례선을 제거해야 합니다.

모든 기본 변환은 되돌릴 수 있습니다.

단순 가우스 변환 방법을 사용하여 선형 방정식을 풀 때 발생하는 세 가지 주요 사례 분석

시스템을 풀기 위해 가우스 방법을 사용할 때 발생하는 세 가지 경우가 있습니다.

1. 시스템이 일관성이 없을 때, 즉 해결책이 없을 때
2. 방정식 시스템에는 해와 고유한 해가 있으며 행렬의 0이 아닌 행과 열의 수는 서로 같습니다.
3. 시스템에는 특정 수량 또는 세트가 있습니다. 가능한 해결책, 행 수가 열 수보다 적습니다.

일관되지 않은 시스템을 사용한 솔루션의 결과

이 옵션의 경우 가우스 방법을 사용하여 행렬 방정식을 풀 때 등식을 충족할 수 없는 직선을 얻는 것이 일반적입니다. 따라서 하나 이상의 잘못된 등식이 발생하면 결과 시스템과 원래 시스템에는 포함된 다른 방정식에 관계없이 솔루션이 없습니다. 불일치 행렬의 예:

$\begin(배열)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(배열)$

마지막 줄에서 불가능한 평등이 나타났습니다: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

해가 하나만 있는 연립방정식

이러한 시스템은 단계 행렬로 축소되고 0이 있는 행을 제거한 후 기본 행렬에서 동일한 수의 행과 열을 갖습니다. 여기 가장 간단한 예그러한 시스템:

$\begin(케이스) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(케이스)$

이를 행렬 형태로 작성해 보겠습니다.

$\begin(배열)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(배열)$

두 번째 행의 첫 번째 셀을 0으로 만들기 위해 맨 위 행에 $-2$를 곱하고 이를 행렬의 맨 아래 행에서 뺀 다음 맨 위 행을 원래 형식으로 유지합니다. 결과적으로 다음과 같습니다. :

$\begin(배열)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(배열)$

이 예는 시스템으로 작성할 수 있습니다.

$\begin(케이스) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(케이스)$

아래 방정식은 $x$에 대해 다음 값을 산출합니다: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. 이 값을 상위 방정식 $x_1 – 3 \frac(1)(3)$에 대입하면 $x_1 = 1 \frac(2)(3)$이 됩니다.

가능한 많은 솔루션을 갖춘 시스템

이 시스템은 열 수보다 유효 행 수가 더 적다는 특징이 있습니다(주 행렬의 행이 고려됨).

이러한 시스템의 변수는 기본과 무료의 두 가지 유형으로 나뉩니다. 이러한 시스템을 변환할 때, 그 안에 포함된 주요 변수들은 “=” 기호까지 왼쪽 영역에 남겨두고, 나머지 변수들은 등식의 오른쪽으로 옮겨야 합니다.

이러한 시스템에는 특정한 일반적인 솔루션만 있습니다.

다음 방정식 시스템을 분석해 보겠습니다.

$\begin(건수) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(건수)$

이를 행렬 형태로 작성해 보겠습니다.

$\begin(배열)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(배열)$

우리의 임무는 시스템에 대한 일반적인 솔루션을 찾는 것입니다. 이 행렬의 경우 기본 변수는 $y_1$ 및 $y_3$입니다($y_1$의 경우 - 먼저 나오므로 $y_3$의 경우 - 0 뒤에 위치함).

기본 변수로 행의 첫 번째 변수와 0이 아닌 변수를 정확하게 선택합니다.

나머지 변수는 free라고 하며 이를 통해 기본 변수를 표현해야 합니다.

소위 역방향 스트로크를 사용하여 시스템을 아래에서 위로 분석합니다. 이를 위해 먼저 시스템의 하단 라인에서 $y_3$을 표현합니다.

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

이제 표현된 $y_3$를 시스템 $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$의 상위 방정식으로 대체합니다: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

$y_1$을 자유 변수 $y_2$ 및 $y_4$로 표현합니다.

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

솔루션이 준비되었습니다.

실시예 1

가우스 방법을 사용하여 슬러프를 해결합니다. 예. 가우스 방법을 사용하여 3x3 행렬로 제공되는 선형 방정식 시스템을 푸는 예

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

확장된 행렬의 형태로 시스템을 작성해 보겠습니다.

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

이제 편의성과 실용성을 위해 $1$이 가장 바깥쪽 열의 위쪽 모서리에 오도록 행렬을 변환해야 합니다.

이렇게 하려면 첫 번째 줄에 중간에서 줄을 추가하고 $-1$을 곱한 다음 중간 줄 자체를 그대로 작성해야 합니다.

$\begin(배열)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(배열)$

$\begin(배열)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(배열) $

맨 위 줄과 마지막 줄에 $-1$을 곱하고 마지막 줄과 중간 줄도 바꿉니다.

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(배열)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(배열)$

그리고 마지막 줄을 $3$로 나눕니다.

$\begin(배열)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(배열)$

우리는 원래 방정식과 동등한 다음 방정식 시스템을 얻습니다.

$\begin(케이스) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(케이스)$

상위 방정식에서 $x_1$을 표현합니다.

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

실시예 2

가우시안 방법을 사용하여 4x4 행렬을 사용하여 정의된 시스템을 해결하는 예

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(배열)$.

처음에는 왼쪽 상단에 $1$을 얻기 위해 맨 위 줄을 바꿉니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(배열)$.

이제 윗줄에 $-2$를 곱하고 두 번째와 세 번째를 더하세요. 4번째 줄에 $-3$를 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(배열)$

이제 3번 줄에 2번 줄에 $4$를 곱한 값을 추가하고, 4번 줄에 2번 줄에 $-1$을 곱한 값을 추가합니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(배열)$

2번째 줄에 $-1$을 곱하고, 4번째 줄을 $3$로 나누어 3번째 줄을 바꿉니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(배열)$

이제 마지막 줄에 $-5$를 곱한 두 번째 줄을 추가합니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(배열)$

우리는 결과 방정식 시스템을 해결합니다.

$\begin(케이스) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(케이스)$