평행사변형 정의란 무엇입니까? 평행사변형 정리

평행사변형은 반대쪽 변이 쌍으로 평행한 사각형입니다.

평행사변형의 나머지 속성이 이 정의에서 따르고 정리의 형태로 증명되기 때문에 이 정의는 이미 충분합니다.

평행사변형의 주요 속성은 다음과 같습니다.
평행사변형은 볼록한 사변형입니다.
평행사변형에는 쌍으로 동일한 반대 변이 있습니다.
평행사변형에서는 반대 각도가 쌍으로 동일합니다.

평행사변형의 대각선은 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

평행사변형 - 볼록한 사변형 먼저 다음 정리를 증명해보자.평행사변형은 볼록한 사각형이다

. 다각형의 어느 한 쪽이 직선으로 확장되면 다각형의 다른 모든 쪽은 이 직선의 같은 쪽에 있게 됩니다.

AB가 CD의 반대변이고 BC가 AD의 반대변인 평행사변형 ABCD가 있다고 가정합니다. 그런 다음 평행사변형의 정의에서 AB || BC주 CD || AD 평행선이 없습니다.공통점

, 그들은 교차하지 않습니다. 이는 CD가 AB의 한쪽에 있다는 의미입니다. 선분 BC는 선분 AB의 점 B를 선분 CD의 점 C와 연결하고 선분 AD는 다른 점 AB와 CD를 연결하므로 선분 BC와 AD도 CD가 있는 선 AB의 같은 쪽에 놓입니다. 따라서 세 변(CD, BC, AD)은 모두 AB의 같은 면에 놓입니다.

마찬가지로, 평행사변형의 다른 변과 관련하여 나머지 세 변은 같은 변에 있다는 것이 증명되었습니다.

반대쪽 변과 각이 같습니다 평행사변형의 특징 중 하나는평행사변형에서는 마주보는 변과 마주보는 각도가 쌍으로 같습니다

. 예를 들어 평행사변형 ABCD가 주어지면 AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D가 됩니다. 이 정리는 다음과 같이 증명됩니다.

평행사변형은 사각형입니다. 이는 대각선이 두 개라는 뜻입니다. 평행사변형은 볼록한 사변형이므로 둘 중 하나는 두 개의 삼각형으로 나눕니다. 평행사변형 ABCD에서 대각선 AC를 그려 얻은 삼각형 ABC와 ADC를 생각해 보세요.

이 삼각형에서 변 AB는 변 CD에 해당하고 변 BC는 AD에 해당합니다. 따라서 AB = CD이고 BC = AD입니다.

각도 B는 각도 D에 해당합니다. 즉, ∠B = ∠D입니다. 평행사변형의 각도 A는 ∠BAC와 ∠CAD라는 두 각도의 합입니다. 각도 C는 ∠BCA 및 ∠ACD와 같습니다. 각 쌍이 서로 같으므로 ∠A = ∠C입니다.

따라서 평행사변형에서는 반대쪽 변과 각도가 동일하다는 것이 증명되었습니다.

대각선은 반으로 나누어져 있습니다

평행사변형은 볼록한 사각형이므로 두 개의 대각선이 있고 서로 교차합니다. 평행사변형 ABCD가 주어지고 대각선 AC와 BD가 점 E에서 교차한다고 가정합니다. 이들에 의해 형성된 삼각형 ABE와 CDE를 고려하십시오.

이 삼각형의 변 AB와 CD는 평행사변형의 반대 변과 같습니다. 각도 ABE는 평행선 AB 및 CD와 십자형으로 놓여 있으므로 각도 CDE와 같습니다. 같은 이유로 ∠BAE = ∠DCE입니다. 이는 두 각도와 그 사이의 측면에서 ΔABE = ΔCDE를 의미합니다.

또한 각도 AEB와 CED가 수직이므로 서로 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

삼각형 ABE와 CDE는 서로 동일하므로 해당하는 모든 요소는 동일합니다. 첫 번째 삼각형의 변 AE는 두 번째 삼각형의 변 CE에 해당하며 이는 AE = CE를 의미합니다. 마찬가지로 BE = DE. 동일한 세그먼트의 각 쌍은 평행사변형의 대각선을 구성합니다. 따라서 다음이 입증되었습니다. 평행사변형의 대각선은 교차점으로 이등분됩니다..

평행사변형은 반대쪽 변이 쌍으로 평행한 사각형입니다. 평행사변형의 면적은 밑변(a)과 높이(h)의 곱과 같습니다. 또한 양면과 각도, 대각선을 통해 면적을 찾을 수도 있습니다.

평행사변형의 속성

1. 반대편은 동일하다

먼저 대각선 $AC$ 을 그려보겠습니다. 우리는 $ABC$와 $ADC$라는 두 개의 삼각형을 얻습니다.

$ABCD$는 평행사변형이므로 다음이 성립합니다.

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2$마치 가로로 누워 있는 것처럼.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4$마치 가로로 누워 있는 것처럼.

따라서 (두 번째 기준에 따르면: 및 $AC$가 일반적입니다).

그리고 그 뜻은 $\삼각형 ABC = \삼각형 ADC$, $AB = CD$ 및 $AD = BC$ 입니다.

2. 반대각은 동일하다

증거에 따르면 속성 1우리는 그것을 알고 $\각도 1 = \각도 2, \각도 3 = \각도 4$. 따라서 반대 각도의 합은 다음과 같습니다. $\각도 1 + \각도 3 = \각도 2 + \각도 4$. 그것을 고려하면 $\삼각형 ABC = \삼각형 ADC$우리는 $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ 를 얻습니다.

3. 대각선은 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

에 의해 속성 1우리는 반대편이 동일하다는 것을 알고 있습니다: $AB = CD$ . 다시 한 번, 십자형으로 누워 있는 각도가 동일하다는 점에 유의하세요.

따라서 다음은 분명하다. $\삼각형 AOB = \삼각형 COD$삼각형의 평등의 두 번째 기호에 따라 (두 각도와 그 사이의 변). 즉, $BO = OD$(각도 $\angle 2$ 및 $\angle 1$ 의 반대) 및 $AO = OC$(각도 $\angle 3$ 및 $\angle 3$의 반대) $각각 4$).

평행사변형의 징후

문제에 단 하나의 특징만 있는 경우 그림은 평행사변형이며 이 그림의 모든 속성을 사용할 수 있습니다.

더 나은 암기를 위해 평행사변형 기호는 다음 질문에 답할 것입니다. “어떻게 알아?”. 즉, 주어진 도형이 평행사변형인지 알아내는 방법입니다.

1. 평행사변형은 두 변이 동일하고 평행한 사각형입니다.

$AB = CD$ ; $AB || CD \오른쪽 화살표 ABCD$- 평행사변형.

좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 왜 $AD || BC $ 입니까?

$\삼각형 ABC = \삼각형 ADC$에 의해 속성 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $는 $AB $와 $CD $와 시컨트 $AC $가 평행할 때 십자형으로 놓여 있습니다.

하지만 만약 $\삼각형 ABC = \삼각형 ADC$, 그런 다음 $\angle 3 = \angle 4 $ (반대 $AD || BC $ ($\angle 3 $ 및 $\angle 4 $ - 십자형으로 누워 있는 것들도 동일합니다).

첫 번째 기호가 정확합니다.

2. 평행사변형은 대변의 길이가 같은 사각형입니다.

$AB = CD $ , $AD = BC \오른쪽 화살표 ABCD $는 평행사변형입니다.

이 표시를 생각해 봅시다. 대각선 $AC$를 다시 그려보겠습니다.

에 의해 속성 1$\삼각형 ABC = \삼각형 ACD$.

이에 따르면 다음과 같습니다. $\각도 1 = \각도 2 \오른쪽 화살표 AD || BC $그리고 $\각도 3 = \각도 4 \오른쪽 화살표 AB || CD $, 즉 $ABCD$는 평행사변형입니다.

두 번째 기호가 맞습니다.

3. 평행사변형은 반대각이 같은 사각형입니다.

$\각 A = \각 C$ , $\각 B = \각 D \오른쪽 화살표 ABCD$- 평행사변형.

$2 \알파 + 2 \베타 = 360^(\circ) $($\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D$ 조건에 따라).

. 그러나 $\alpha $ 와 $\beta $ 는 시컨트 $AB $ 에서 내부 단측입니다.

그리고 뭐 $\알파 + \베타 = 180^(\circ) $또한 $AD || BC $ 라고 말합니다.

1. 평행사변형의 정의.

한 쌍의 평행선과 다른 한 쌍의 평행선을 교차시키면 반대쪽 변이 쌍으로 평행한 사각형이 됩니다.

사변형 ABDC 및 EFNM에서 (그림 224) ВD || AC와 AB || CD;

EF || 미네소타와 EM || FN.

마주보는 변이 쌍으로 평행한 사각형을 평행사변형이라고 합니다.

2. 평행사변형의 속성.

정리. 평행사변형의 대각선은 평행사변형을 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.

AB || CD와 에어컨 || ВD.

대각선이 그것을 두 개의 동일한 삼각형으로 나눈다는 것을 증명해야 합니다.

평행사변형 ABDC에 대각선 CB를 그려보겠습니다. $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ임을 증명해 보겠습니다.

NE 측은 이러한 삼각형에 공통적입니다. ∠ABC = ∠BCD, 평행 AB와 CD 및 시컨트 CB를 갖는 내부 횡각으로; ∠ACB = ∠СВD, 또한 평행한 AC와 BD 및 할선 CB를 갖는 내부 횡각과 같습니다.

따라서 $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

같은 방법으로 대각선 AD가 평행사변형을 두 개의 동일한 삼각형 ACD와 ABD로 나눌 것임을 증명할 수 있습니다.

결과:

1 . 평행사변형의 반대각은 서로 같습니다.

∠A = ∠D, 이는 삼각형 CAB와 CDB의 동일성에 따른 것입니다.

마찬가지로 ∠C = ∠B입니다.

2. 평행사변형의 대변은 서로 같습니다.

AB = CD 및 AC = BD, 이는 동일한 삼각형의 변이고 동일한 각도 반대편에 놓여 있기 때문입니다.

정리 2. 평행사변형의 대각선은 교차점에서 반으로 나뉩니다.

BC와 AD를 평행사변형 ABC의 대각선이라고 하자(그림 226). AO = OD, CO = OB임을 증명해보자.

이렇게 하려면 $\Delta$AOB 및 $\Delta$СOD와 같이 반대쪽에 위치한 삼각형 쌍을 비교하십시오.

이 삼각형 AB = CD에서는 평행사변형의 반대쪽 변과 같습니다.

∠1 = ∠2, 평행 AB 및 CD와 시컨트 AD와 십자형으로 놓인 내부 각도;

같은 이유로 ∠3 = ∠4 AB || CD와 SV는 시컨트입니다.

$\Delta$AOB = $\Delta$СOD가 됩니다. 그리고 동일한 삼각형같은 각도 반대편에 누워 등변. 따라서 AO = OD이고 CO = OB입니다.

정리 3. 평행사변형의 한 변에 인접한 각도의 합은 다음과 같습니다. 180°.

평행사변형 ABCD에서 대각선 AC를 그리고 두 개의 삼각형 ABC와 ADC를 얻습니다.

∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3(평행선의 교차 각도) 및 변 AC가 공통이므로 삼각형은 동일합니다.
$\Delta$ABC = $\Delta$ADC 등식으로부터 AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D가 됩니다.

한 변에 인접한 각도의 합(예: 각도 A와 D)은 평행선의 한면 각도로 180°와 같습니다.

정의

평행사변형는 마주보는 변이 쌍으로 평행한 사각형이다.

평행사변형의 대각선이 만나는 점을 평행사변형이라고 합니다. 센터.

평행사변형의 속성:

평행사변형의 인접한 두 각도의 합은 $180^(\circ)$이고 반대쪽 각도는 같습니다.
평행사변형의 반대쪽은 동일합니다.
평행사변형의 대각선은 교차점에서 교차하고 이등분됩니다.

증거

평행사변형 $ABCD$가 주어집니다.

1. 평행사변형의 인접각 $A$ 및 $B$는 평행선 $AD$ 및 $BC$와 할선 $AB$가 있는 한 쪽 내각입니다. 즉, 그 합은 $180^입니다. \circ$. 다른 각도 쌍에도 마찬가지입니다.

$\angle A + \angle B=180^\circ$이고 $\angle C + \angle B=180^\circ$이면 $\angle A = \angle C$입니다. 마찬가지로 $\angle B = \angle D$입니다.

2. 삼각형 $ABC$와 $CDA$를 고려해보세요. 평행사변형의 반대쪽 평행도로부터 $\angle BAC=\angle DCA$ 및 $\angle BCA=\angle DAC$가 됩니다. $AC$가 공통이므로 삼각형 $ABC$와 $CDA$는 두 번째 기준에 따라 동일합니다. 삼각형의 동일성으로부터 $AB=CD$ 및 $BC=AD$가 나옵니다.

3. 평행사변형은 볼록한 사각형이므로 대각선이 교차합니다. $O$를 교차점으로 둡니다. 평행사변형의 변 $BC$와 $AD$의 평행성으로부터 $\angle OAD=\angle OCB$ 및 $\angle ODA=\angle OBC$가 됩니다. $BC=AD$ 등식을 고려하면 두 번째 기준에 따라 삼각형 $AOD$와 $COB$가 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 필요에 따라 $AO=CO$ 및 $DO=BO$입니다.

평행사변형의 징후:

사각형에서 인접한 두 각도의 합이 $180^(\circ)$이면 이 사각형은 평행사변형입니다.
사각형에서 반대쪽 각도가 쌍으로 동일하면 이 사각형은 평행사변형입니다.
사각형에서 반대쪽 변이 쌍으로 같으면 이 사각형은 평행사변형입니다.
사각형의 두 변이 동일하고 평행하면 사각형은 평행사변형입니다.
사각형의 대각선이 교차점에 의해 이등분되면 사각형은 평행사변형입니다.

증거

$ABCD$를 사각형으로 둡니다.

1. 인접각 $A$ 및 $B$는 직선 $AD$ 및 $BC$와 횡단선 $AB$가 있는 단면 내부 각도입니다. 그 합이 $180^\circ$이므로 선 $AD$와 $BC$는 평행합니다. 마찬가지로 다른 선 쌍의 경우에도 $ABCD$는 정의에 따라 평행사변형입니다.

2. $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$에 유의하세요. $\angle A = \angle C$이고 $\angle B = \angle D$이면 $\angle A + \angle B=180^\circ$이고 다른 인접 각도 쌍에 대해서도 유사합니다. 다음으로 이전 기호를 사용합니다.

3. 삼각형 $ABC$와 $CDA$를 고려해보세요. $AC$가 공통이므로, 평행사변형의 반대쪽 변이 같음에 따라 삼각형 $ABC$와 $CDA$는 세 번째 기준에 따라 같습니다. 따라서 $\angle BAC=\angle DCA$ 및 $\angle BCA=\angle DAC$는 대변의 평행성을 의미합니다.

4. $BC$와 $AD$를 동일하고 병렬로 둡니다. 삼각형 $ABC$와 $CDA$를 고려해보세요. 선의 평행성으로부터 $\angle BCA=\angle DAC$가 됩니다. $AC$는 일반적이고 $BC=AD$이므로 삼각형 $ABC$와 $CDA$는 첫 번째 기준에 따라 동일합니다. 따라서 $AB=CD$입니다. 다음으로 이전 기호를 사용합니다.

5. $O$를 대각선과 $AO=CO$, $DO=BO$의 교차점으로 두고 수직 각도의 동등성을 고려하여 삼각형 $AOD$와 $COB$는 다음과 같습니다. 첫 번째 기준에 따르면 동일합니다. 따라서 $\angle OAD=\angle OCB$는 $BC$와 $AD$의 병렬성을 의미합니다. 다른 쌍의 측면에도 마찬가지입니다.

정의

세 각이 직각인 사각형을 사각형이라고 합니다. 구형.

직사각형 속성:

직사각형의 대각선은 같습니다.

증거

직사각형 $ABCD$가 주어집니다. 직사각형은 평행사변형이므로 반대쪽 변의 길이가 같습니다. 그 다음에 직각삼각형$ABD$와 $DCA$는 두 구간에서 동일합니다. 이는 $BD=AC$를 의미합니다.

직사각형의 특징:

평행사변형의 각도가 직각이면 이 평행사변형은 직사각형입니다.
평행사변형의 대각선이 같으면 이 평행사변형은 직사각형입니다.

증거

1. 평행사변형의 각 중 하나가 직선이라면, 인접한 각의 합이 $180^(\circ)$임을 고려하면 나머지 각도 직선임을 알 수 있습니다.

2. 평행사변형 $ABCD$에서 대각선 $AC$와 $BD$를 동일하게 만듭니다. 대변 $AB$와 $DC$의 동일성을 고려하여 세 번째 기준에 따라 삼각형 $ABD$와 $DCA$가 동일하다는 것을 얻습니다. 따라서 $\angle BAD=\angle CDA$, 즉 직선입니다. 이전 기호를 사용하는 것이 남아 있습니다.

정의

모든 변이 동일한 사각형을 사각형이라고 합니다. 다이아몬드

마름모의 속성:

마름모의 대각선은 서로 수직이며 각의 이등분선입니다.

증거

마름모 $ABCD$의 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $O$에서 교차한다고 가정합니다. 마름모는 평행사변형이므로 $AO=OC$입니다. 고려해 봅시다 이등변삼각형$ABC$. $AO$는 밑면에 그려진 중앙값이므로 필요한 것은 이등분선과 높이입니다.

다이아몬드의 징후:

평행사변형의 대각선이 서로 수직이면 이 평행사변형은 마름모입니다.
평행사변형의 대각선이 각도의 이등분선이면 이 평행사변형은 마름모입니다.

증거

평행사변형 $ABCD$의 대각선 $AC$와 $BD$가 $O$ 지점에서 교차한다고 가정합니다. 삼각형 $ABC$를 생각해 보세요.

1. 대각선이 수직이면 $BO$는 삼각형의 중앙값과 높이입니다.

2. 대각선 $BD$에 각도 $ABC$의 이등분선이 포함되어 있으면 $BO$는 삼각형의 중앙값이자 이등분선입니다.

두 경우 모두 삼각형 $ABC$는 이등변이고 평행사변형에서는 인접한 변이 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 그것은 꼭 필요한 마름모이다.

정의

인접한 두 변이 동일한 직사각형을 직사각형이라고 합니다. 정사각형.

사각형의 표시:

마름모의 각이 직각이면 그 마름모는 정사각형입니다.
마름모의 대각선 길이가 같으면 마름모는 정사각형입니다.

증거

평행사변형의 각이 직각이거나 대각선의 길이가 같으면 직사각형입니다. 사각형이 직사각형이고 마름모이면 정사각형입니다.

정의

평행사변형는 마주보는 변이 쌍으로 평행한 사각형이다.

그림 1은 평행사변형 $A B C D, A B\|C D, B C\| D$.

평행사변형의 속성

평행사변형에서는 반대쪽 변이 같습니다: $A B=C D, B C=A D$(그림 1).
평행사변형에서 반대각은 $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$와 같습니다(그림 1).
교차점에서 평행사변형의 대각선은 $A O=O C, B O=O D$로 반으로 나뉩니다(그림 1).
평행사변형의 대각선은 평행사변형을 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.

한 변에 인접한 평행사변형의 각의 합은 $180^(\circ)$입니다.

$$\각 A+\각 B=180^(\circ), \각 B+\각 C=180^(\circ)$$

$$\angle C+\angle D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$

평행사변형의 대각선과 변은 다음 관계로 연결됩니다.

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

평행사변형에서 높이 사이의 각도는 높이와 같습니다. 날카로운 모서리: $\각 K B H=\각 A$.
평행사변형의 한 변에 인접한 각의 이등분선은 서로 수직입니다.
평행사변형의 반대쪽 두 각도의 이등분선은 평행합니다.

평행사변형의 징후

사각형 $ABCD$는 다음과 같은 경우 평행사변형입니다.

$A B=C D$ 및 $A B \| C D$
$A B=C D$ 및 $B C=A D$
$A O=O C$ 및 $B O=O D$
$\angle A=\angle C$ 및 $\angle B=\angle D$

평행사변형의 면적은 다음 공식 중 하나를 사용하여 계산할 수 있습니다.

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

문제 해결의 예

예

운동.평행사변형의 두 각의 합은 $140^(\circ)$입니다. 평행사변형의 가장 큰 각도를 찾아보세요.

해결책.평행사변형에서는 반대각이 동일합니다. 평행사변형의 큰 각도를 $\alpha$로, 작은 각도를 $\beta$로 표시하겠습니다. 각도 $\alpha$와 $\beta$의 합은 $180^(\circ)$이므로 $140^(\circ)$와 동일한 주어진 합은 반대되는 두 각도의 합이고 $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. 따라서 더 작은 각도는 $\beta=70^(\circ)$입니다. 관계식에서 더 큰 각도 $\alpha$를 찾습니다.

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\오른쪽 화살표 \알파=180^(\circ)-70^(\circ) \오른쪽 화살표 \알파=110^(\circ)$

답변.$\알파=110^(\circ)$

예

운동.평행사변형의 한 변의 길이는 18cm와 15cm이고, 짧은 변의 높이는 6cm입니다. 평행사변형의 다른 높이를 구하세요.

해결책.그림을 그려보자(그림 2)