두 점을 지나는 선의 일반 방정식. 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식

선이 M 1 (x 1; y 1) 및 M 2 (x 2; y 2) 점을 통과하도록 합니다. 점 M 1을 통과하는 직선의 방정식은 y-y 1 = 형식을 갖습니다. 케이 (x - x 1), (10.6)

어디 케이 - 아직 알려지지 않은 계수.

직선이 점 M 2 (x 2 y 2)를 통과하므로 이 점의 좌표는 방정식 (10.6)을 충족해야 합니다. y 2 -y 1 = 케이 (x 2 - x 1).

여기에서 찾은 값을 대체합니다. 케이 방정식 (10.6)으로 점 M 1과 M 2를 통과하는 직선의 방정식을 얻습니다.

이 방정식에서는 x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2라고 가정합니다.

x 1 = x 2이면 점 M 1 (x 1,y I)과 M 2 (x 2,y 2)를 통과하는 직선은 세로축과 평행합니다. 그 방정식은 다음과 같습니다 x = x 1 .

y 2 = y I이면 선의 방정식은 y = y 1로 쓸 수 있으며 직선 M 1 M 2는 가로축에 평행합니다.

세그먼트의 선 방정식

직선이 M 1 (a;0) 지점에서 Ox 축과 M 2 (0;b) 지점에서 Oy 축과 교차한다고 가정합니다. 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
저것들.
. 이 방정식은 세그먼트의 직선 방정식, 왜냐하면 숫자 a와 b는 좌표축에서 선이 잘리는 세그먼트를 나타냅니다..

주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 통과하는 선의 방정식

지나는 직선의 방정식을 구해보자 이 지점 Mo (x O; y o)는 주어진 0이 아닌 벡터 n = (A; B)에 수직입니다.

선 위의 임의의 점 M(x; y)을 취하고 벡터 M 0 M (x - x 0; y - y o)를 고려해 보겠습니다(그림 1 참조). 벡터 n과 M o M은 수직이므로 스칼라 곱은 0과 같습니다.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

식 (10.8)은 다음과 같다. 주어진 벡터에 수직인 주어진 점을 지나는 직선의 방정식 .

선에 수직인 벡터 n= (A; B)를 법선이라고 합니다. 이 선의 법선 벡터 .

식 (10.8)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. 아 + 우 + C = 0 , (10.9)

여기서 A와 B는 법선 벡터의 좌표이고, C = -Ax o - Vu o는 자유항입니다. 식 (10.9) 있다 일반 방정식직접(그림 2 참조).

그림 1 그림 2

선의 정식 방정식

어디
- 선이 통과하는 지점의 좌표, 그리고
- 방향 벡터.

2차 곡선 원

원은 중심이라고 불리는 주어진 점으로부터 등거리에 있는 평면의 모든 점의 집합입니다.

반지름 원의 정식 방정식 아르 자형 한 점을 중심으로
:

특히 말뚝의 중심이 좌표 원점과 일치하면 방정식은 다음과 같습니다.

타원

타원은 평면 위의 점 집합으로, 각 점에서 주어진 두 점까지의 거리의 합입니다. 그리고 초점이라고 불리는 는 일정한 양입니다.
, 초점 사이의 거리보다 큼
.

초점이 Ox 축에 있고 초점 사이의 중간에 좌표의 원점이 있는 타원의 정식 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
G 드에이 반장축 길이;비 - 반단축의 길이(그림 2)

타원 매개변수 간의 종속성
그리고 비율로 표현됩니다 :

(4)

타원 이심률간초점거리비라고 한다2초주요 축으로2a:

교장선생님 타원은 Oy 축과 평행한 직선으로, 이 축에서 멀리 떨어져 있습니다. Directrix 방정식:
.

타원 방정식에 있는 경우
, 타원의 초점은 Oy 축에 있습니다.

그래서,

2점을 주어보자 중(엑스 1 ,유 1) 그리고 N(엑스 2,와이 2). 이 점들을 지나는 선의 방정식을 찾아봅시다.

이 선은 점을 지나기 때문에 중, 그러면 공식 (1.13)에 따르면 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

유 – 와이 1 = 케이(더블 엑스 1),

어디 케이– 알 수 없는 각도 계수.

이 계수의 값은 원하는 직선이 점을 통과하는 조건에서 결정됩니다. N, 이는 해당 좌표가 방정식 (1.13)을 충족함을 의미합니다.

와이 2 – 와이 1 = 케이(엑스 2 – 엑스 1),

여기에서 이 선의 기울기를 찾을 수 있습니다.

아니면 변환 후

(1.14)

공식(1.14)은 다음을 결정합니다. 두 점을 지나는 직선의 방정식 중(엑스 1, 와이 1) 그리고 N(엑스 2, 와이 2).

특별한 경우에 포인트를 부여하는 경우 중(에이, 0), N(0, 비), 에이 ¹ 0, 비¹ 0, 좌표축 위에 놓이면 방정식 (1.14)은 더 간단한 형식을 취합니다.

식 (1.15)~라고 불리는 세그먼트의 직선 방정식, 여기 에이그리고 비축에서 직선으로 잘린 세그먼트를 나타냅니다(그림 1.6).

그림 1.6

예제 1.10. 두 점을 지나는 선의 방정식을 쓰세요 중(1, 2) 및 비(3, –1).

. (1.14)에 따르면 원하는 직선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

2(와이 – 2) = -3(엑스 – 1).

모든 항을 왼쪽으로 옮기면 마침내 원하는 방정식을 얻습니다.

3엑스 + 2와이 – 7 = 0.

예제 1.11. 한 점을 지나는 선의 방정식을 쓰세요 중(2, 1)과 선의 교차점 엑스+ 예 – 1 = 0, 엑스 – 와이+ 2 = 0.

. 우리는 이 방정식을 함께 풀어서 선의 교차점의 좌표를 찾을 것입니다

이 방정식을 항별로 더하면 2를 얻습니다. 엑스+ 1 = 0, 여기서 . 찾은 값을 방정식에 대입하면 세로 좌표 값을 찾습니다. 유:

이제 점 (2, 1)을 통과하는 직선의 방정식을 작성해 보겠습니다.

또는 .

따라서 또는 -5( 와이 – 1) = 엑스 – 2.

우리는 마침내 원하는 선의 방정식을 다음과 같은 형태로 얻습니다. 엑스 + 5와이 – 7 = 0.

예제 1.12. 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하라 중(2.1) 및 N(2,3).

공식 (1.14)을 사용하여 방정식을 얻습니다.

두 번째 분모가 0이므로 의미가 없습니다. 문제의 조건에서 두 점의 가로 좌표가 동일한 값을 갖는 것이 분명합니다. 이는 원하는 직선이 축과 평행하다는 것을 의미합니다. 오오방정식은 다음과 같습니다. 엑스 = 2.

논평 . 공식 (1.14)을 사용하여 선의 방정식을 작성할 때 분모 중 하나가 0인 것으로 판명되면 해당 분자를 0으로 동일화하여 원하는 방정식을 얻을 수 있습니다.

평면에 선을 정의하는 다른 방법을 고려해 보겠습니다.

1. 0이 아닌 벡터를 주어진 선에 수직으로 둡니다. 엘, 그리고 포인트 중 0(엑스 0, 와이 0)이 이 선에 있습니다(그림 1.7).

그림 1.7

나타내자 중(엑스, 와이) 선의 모든 점 엘. 벡터와 직교. 이들 벡터의 직교성 조건을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다. 에이(엑스 – 엑스 0) + 비(와이 – 와이 0) = 0.

한 점을 지나는 직선의 방정식을 얻었습니다. 중 0은 벡터에 수직입니다. 이 벡터는 법선 벡터 직선으로 엘. 결과 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

오 + 우 + 와 함께= 0, 여기서 와 함께 = –(에이엑스 0 + 에 의해 0), (1.16),

어디 에이그리고 안에– 법선 벡터의 좌표.

우리는 파라메트릭 형태로 선의 일반 방정식을 얻습니다.

2. 평면 위의 직선은 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 0이 아닌 벡터를 주어진 직선과 평행하게 만듭니다. 엘및 기간 중 0(엑스 0, 와이 0) 이 선에 있습니다. 다시 임의의 점을 취해보자 중(엑스, y) 직선으로(그림 1.8).

그림 1.8

벡터와 동일선상.

이러한 벡터의 공선성에 대한 조건을 적어 보겠습니다. 티– 매개변수라고 하는 임의의 숫자. 이 평등을 좌표로 작성해 보겠습니다.

이러한 방정식을 다음과 같이 부릅니다. 파라메트릭 방정식 직접. 이 방정식에서 매개변수를 제외해 보겠습니다. 티:

이 방정식은 그렇지 않으면 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

. (1.18)

결과 방정식은 다음과 같습니다. 직선의 표준 방정식. 벡터는 다음과 같습니다. 방향 벡터는 직선입니다. .

논평 . 가 선에 대한 법선 벡터라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 엘이면 방향 벡터는 , 즉 .

예제 1.13. 한 점을 지나는 선의 방정식을 쓰세요 중 0(1, 1)은 라인 3에 평행함 엑스 + 2유– 8 = 0.

해결책 . 벡터는 주어진 선과 원하는 선에 대한 법선 벡터입니다. 한 점을 지나는 선의 방정식을 이용해보자 중주어진 법선 벡터 3( 엑스 –1) + 2(유– 1) = 0 또는 3 엑스 + 2у– 5 = 0. 원하는 직선의 방정식을 얻었습니다.

이 기사에서는 두 개의 직선을 통과하는 직선의 방정식을 얻는 방법을 보여줍니다. 주어진 포인트다섯 직사각형 시스템평면에 위치한 좌표. 직교좌표계에서 주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 유도해 보자. 다루는 내용과 관련된 몇 가지 사례를 명확하게 보여주고 풀어보겠습니다.

주어진 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하기 전에 몇 가지 사실에 주의할 필요가 있습니다. 평면 위의 두 개의 발산점을 통해 직선은 하나만 그릴 수 있다는 공리가 있습니다. 즉, 평면 위의 주어진 두 점은 이 점을 통과하는 직선으로 정의됩니다.

평면이 직각 좌표계 Oxy로 정의된 경우 평면에 표시된 모든 직선은 평면의 직선 방정식에 해당합니다. 직선의 방향 벡터와의 연결도 있습니다. 이 데이터는 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 컴파일하는 데 충분합니다.

비슷한 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다. 데카르트 좌표계에 있는 두 개의 발산점 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2)를 통과하는 선 a에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

x - x 1 a x = y - y 1 a y 형식의 평면 선의 표준 방정식에서 직교 좌표계 O x y는 좌표 M 1 (x 1, y 1) 가이드 벡터 a → = (a x , a y) .

작성하는 것이 필요하다 표준 방정식좌표 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2)를 사용하여 두 점을 통과하는 직선 a.

직선 a는 점 M 1과 M 2와 교차하기 때문에 방향 벡터 M 1 M 2 → 좌표 (x 2 - x 1, y 2 - y 1)를 갖습니다. 우리는 방향 벡터 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1)의 좌표와 그 위에 놓인 점 M 1의 좌표를 사용하여 표준 방정식을 변환하기 위해 필요한 데이터를 얻었습니다. (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2 , y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 또는 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 형식의 방정식을 얻습니다.

아래 그림을 고려하십시오.

계산에 따라 좌표 M 1 (x 1, y 1) 및 M 2 (x 2, y 2)를 사용하여 두 점을 통과하는 평면 위의 선의 매개변수 방정식을 작성합니다. x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ 또는 x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ 형식의 방정식을 얻습니다. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

몇 가지 예를 해결하는 방법을 자세히 살펴보겠습니다.

실시예 1

좌표 M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6을 사용하여 주어진 두 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하십시오.

해결책

좌표가 x 1, y 1 및 x 2, y 2인 두 점에서 교차하는 선에 대한 표준 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 형식을 취합니다. 문제의 조건에 따르면 x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6입니다. 숫자 값을 방정식 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1로 대체해야 합니다. 여기에서 표준 방정식은 x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 형식을 취합니다.

답: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

다른 유형의 방정식으로 문제를 해결해야 하는 경우 먼저 표준 방정식으로 이동할 수 있습니다. 왜냐하면 이 방정식에서 다른 방정식으로 이동하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

실시예 2

O x y 좌표계에서 좌표 M 1 (1, 1) 및 M 2 (4, 2)를 사용하여 점을 통과하는 직선의 일반 방정식을 작성하십시오.

해결책

먼저, 주어진 두 점을 통과하는 주어진 직선의 표준 방정식을 적어야 합니다. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 형식의 방정식을 얻습니다.

표준 방정식을 원하는 형식으로 가져오면 다음을 얻습니다.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

답변: x - 3 y + 2 = 0 .

그러한 작업의 예는 다음에서 논의되었습니다. 학교 교과서대수 수업에서. 학교 과제각도 계수를 갖는 직선의 방정식이 y = k x + b 형식으로 알려져 있다는 점에서 다릅니다. 기울기 k와 숫자 b의 값을 찾아야 하는 경우 방정식 y = k x + b는 점 M 1 (x 1, y 1)과 M 2를 통과하는 O x y 시스템의 선을 정의합니다. (x 2, y 2) , 여기서 x 1 ≠ x 2입니다. x 1 = x 2일 때 , 각도 계수는 무한대의 값을 취하고 직선 M 1 M 2는 다음과 같이 정의됩니다. 불완전한 방정식 x - x 1 = 0 형식 .

왜냐하면 포인트는 남 1그리고 남 2직선 위에 있으면 해당 좌표는 방정식 y 1 = k x 1 + b 및 y 2 = k x 2 + b를 충족합니다. k와 b에 대해 방정식 y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b의 방정식을 풀어야 합니다.

이를 위해 k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 또는 k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b =를 찾습니다. 와이 2 - 와이 2 - 와이 1 x 2 - x 1 x 2 .

이러한 k와 b 값을 사용하면 주어진 두 점을 통과하는 선의 방정식은 y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x가 됩니다. 1 또는 y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

이렇게 많은 공식을 한꺼번에 외우는 것은 불가능합니다. 그러기 위해서는 문제 풀이의 반복 횟수를 늘려야 합니다.

실시예 3

좌표가 M 2 (2, 1)이고 y = k x + b인 점을 통과하는 각도 계수를 갖는 직선의 방정식을 작성합니다.

해결책

문제를 해결하기 위해 y = k x + b 형식의 기울기가 있는 공식을 사용합니다. 계수 k와 b는 이 방정식이 좌표 M 1(-7, - 5) 및 M 2(2, 1)을 갖는 두 점을 통과하는 직선에 해당하는 값을 취해야 합니다.

전철기 남 1그리고 남 2직선 위에 위치하면 해당 좌표는 방정식 y = k x + b가 진정한 동등성을 나타내도록 해야 합니다. 이것으로부터 우리는 - 5 = k · (- 7) + b 및 1 = k · 2 + b를 얻습니다. 방정식을 시스템 - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b에 결합하고 풀어 보겠습니다.

대체하면 우리는 그것을 얻습니다

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

이제 k = 2 3 및 b = - 1 3 값이 y = k x + b 방정식으로 대체됩니다. 주어진 점을 통과하는 필수 방정식은 y = 2 3 x - 1 3 형식의 방정식이 될 것입니다.

이 해결 방법은 많은 시간 낭비를 미리 결정합니다. 말 그대로 두 단계로 작업을 해결하는 방법이 있습니다.

M 2 (2, 1)과 M 1 (-7, - 5)을 통과하는 선의 표준 방정식을 x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 형식으로 작성해 보겠습니다. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

이제 기울기 방정식으로 넘어가겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

답: y = 2 3 x - 1 3 .

만약에 3차원 공간좌표 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 M 2 (x 2, y 2, z 2), 직선 M 1 M 2를 사용하여 두 개의 일치하지 않는 점이 있는 직교 좌표계 O x y z가 있습니다. 이를 통과하면 이 직선의 방정식을 얻는 것이 필요합니다.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z 형식의 표준 방정식과 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 형식의 매개변수 방정식이 있습니다. 1 + a z · λ는 좌표계 O x y z에서 방향 벡터 a → = (a x, a y, a z)로 좌표 (x 1, y 1, z 1)를 갖는 점을 통과하는 선을 정의할 수 있습니다.

스트레이트 M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) 형식의 방향 벡터를 가지며, 여기서 직선은 점 M 1 (x 1, y 1, z 1) 및 M 2 (x 2 , y 2 , z 2), 따라서 표준 방정식은 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 형식일 수 있습니다. z 2 - z 1 또는 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, 차례로 파라메트릭 x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ 또는 x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

공간의 주어진 두 점과 직선의 방정식을 보여주는 그림을 생각해 보세요.