밑수 x에 대한 로그입니다. 로그: 예제 및 솔루션

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 모든 방법으로 더하고, 빼고, 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 정확히 평범한 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 주요 속성.

이러한 규칙을 반드시 알아야 합니다. 이 규칙 없이는 심각한 로그 문제 하나도 해결할 수 없습니다. 또한 그 중 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 그럼 시작해 보겠습니다.

로그 더하기 및 빼기

밑이 동일한 두 개의 로그를 고려하십시오. 에이 엑스그리고 로그 에이 와이. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

통나무 에이 엑스+ 로그 에이 와이= 로그 에이 (엑스 · 와이);
통나무 에이 엑스- 로그 에이 와이= 로그 에이 (엑스 : 와이).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 그 차이는 몫의 로그와 같습니다. 참고하세요: 여기서 핵심은 다음과 같습니다. 동일한 근거. 이유가 다르면 이 규칙은 적용되지 않습니다!

이 공식은 개별 부분을 고려하지 않는 경우에도 로그 표현식을 계산하는 데 도움이 됩니다(“로그란 무엇인가” 레슨 참조). 예제를 살펴보고 다음을 확인하세요.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그는 밑이 동일하므로 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

일. 다음 표현식의 값을 구합니다: log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하므로 차이 공식을 사용합니다.
로그 2 48 - 로그 2 3 = 로그 2 (48:3) = 로그 2 16 = 4.

일. 다음 표현식의 값을 구합니다: log 3 135 − log 3 5.

이번에도 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
로그3 135 - 로그3 5 = 로그3(135:5) = 로그3 27 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 별도로 계산되지 않는 "나쁜" 로그로 구성됩니다. 그러나 변환 후에는 꽤 밝혀졌습니다. 보통 숫자. 많은 사람들이 이 사실을 토대로 만들어졌습니다. 테스트. 예, 통합 국가 시험에서는 시험과 같은 표현이 진지하게(때로는 거의 변경 없이) 제공됩니다.

로그에서 지수 추출하기

이제 작업을 조금 복잡하게 만들어 보겠습니다. 로그의 밑수 또는 인수가 거듭제곱이면 어떻게 되나요? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그 부호에서 제거될 수 있습니다.

마지막 규칙이 처음 두 규칙을 따르는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 어떤 경우에는 계산량이 크게 줄어들 것입니다.

물론 로그의 ODZ가 관찰되면 이러한 모든 규칙이 의미가 있습니다. 에이 > 0, 에이 ≠ 1, 엑스> 0. 그리고 한 가지 더: 모든 수식을 왼쪽에서 오른쪽으로 적용하는 방법뿐만 아니라 그 반대로도 적용하는 방법을 배우십시오. 로그 자체에 로그 기호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다. 이것이 가장 자주 필요한 것입니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 7 49 6 .

첫 번째 공식을 사용하여 인수의 정도를 제거해 보겠습니다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

일. 표현의 의미를 찾으십시오.
[사진 캡션]

분모에는 로그가 포함되어 있으며 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. 우리는:

[사진 캡션]

마지막 예에는 약간의 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔나요? 아주까지 마지막 순간우리는 분모로만 작업합니다. 우리는 거기에 있는 로그의 밑수와 인수를 거듭제곱의 형태로 제시하고 지수를 제거했습니다. 우리는 "3층" 분수를 얻었습니다.

이제 주요 분수를 살펴 보겠습니다. 분자와 분모에는 동일한 숫자인 log 2 7이 포함됩니다. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남아 있습니다. 산술 규칙에 따라 4개는 분자로 옮겨질 수 있으며, 이것이 이루어졌습니다. 그 결과는 2번이었습니다.

새로운 기반으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑수에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 이유가 다르다면? 만약 같은 수의 정확한 거듭제곱이 아니라면 어떻게 될까요?

새로운 기반으로의 전환을 위한 공식이 구출되었습니다. 정리의 형태로 공식화합시다.

로그 로그를 제공하자 에이 엑스. 그런 다음 임의의 숫자에 대해 기음그렇게 기음> 0 및 기음≠ 1, 평등은 참입니다:
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특히, 우리가 넣으면 기음 = 엑스, 우리는 다음을 얻습니다:
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두 번째 공식에서는 로그의 밑과 인수를 바꿀 수 있지만 이 경우 전체 표현식이 "뒤집어집니다". 로그는 분모에 나타납니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 로그 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 이전하지 않으면 전혀 해결할 수 없는 문제가 있다. 다음 중 몇 가지를 살펴보겠습니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수에는 정확한 거듭제곱이 포함되어 있습니다. 지표를 살펴보겠습니다. log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 "역전"시켜 보겠습니다.

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요소를 재배치해도 곱이 변하지 않기 때문에 차분하게 4와 2를 곱한 후 로그를 다루었습니다.

일. 다음 표현식의 값을 찾으세요: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑수와 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 이것을 기록하고 지표를 제거합시다.

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이제 새로운 밑수로 이동하여 십진 로그를 제거해 보겠습니다.

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기본 로그 항등식

풀이 과정에서 숫자를 주어진 밑수에 대한 로그로 표현해야 하는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 다음 공식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 N논쟁의 정도를 나타내는 지표가됩니다. 숫자 N그것은 단지 로그 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 다른 말로 표현된 정의입니다. 그것이 바로 기본 로그 항등이라고 불리는 것입니다.

사실 숫자가 틀리면 어떻게 될까요? 비그 숫자만큼 힘을 키워라. 비이 힘은 숫자를 제공합니다 에이? 맞습니다. 동일한 번호를 받게 됩니다. 에이. 이 단락을 다시 주의 깊게 읽으십시오. 많은 사람들이 이 단락에서 막히게 됩니다.

새로운 진수로 이동하기 위한 공식과 마찬가지로, 기본 로그 항등식은 때때로 유일한 해법입니다.

일. 표현의 의미를 찾으십시오.
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log 25 64 = log 5 8 - 단순히 로그의 밑과 인수에서 제곱을 취했다는 점에 유의하세요. 동일한 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 고려하면 다음을 얻습니다.

[사진 캡션]

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 상태 시험의 실제 작업이었습니다. :)

로그 단위 및 로그 0

결론적으로 나는 속성이라고 부르기 어려운 두 가지 항등식을 제시할 것입니다. 오히려 그것은 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에 나타나며 놀랍게도 "고급" 학생들에게도 문제를 일으킵니다.

통나무 에이 에이= 1은 로그 단위입니다. 한 번만 기억하세요: 임의의 밑수에 대한 로그 에이바로 이 밑에서부터 1과 같습니다.
통나무 에이 1 = 0은 로그 0입니다. 베이스 에이무엇이든 될 수 있지만 인수에 하나가 포함되어 있으면 로그는 0과 같습니다! 왜냐하면 에이 0 = 1은 정의의 직접적인 결과입니다.

그것이 모든 속성입니다. 꼭 실천에 옮기는 연습을 하세요! 수업 시작 시 치트 시트를 다운로드하여 인쇄한 후 문제를 해결하세요.

사회가 발전하고 생산이 더욱 복잡해지면서 수학도 발전했습니다. 단순한 것에서 복잡한 것으로의 움직임. 덧셈과 뺄셈의 방법을 사용하는 일반적인 회계에서 반복되는 반복을 통해 우리는 곱셈과 나눗셈의 개념에 도달했습니다. 곱셈의 반복 연산을 줄이는 것이 지수의 개념이 되었습니다. 밑수에 대한 숫자 의존성과 지수화 수에 대한 첫 번째 표는 인도 수학자 Varasena에 의해 8세기에 편집되었습니다. 그들로부터 로그 발생 시간을 계산할 수 있습니다.

역사적 스케치

16세기 유럽의 부흥 역시 기계의 발전을 자극했다. 티 많은 양의 계산이 필요함여러 자리 수의 곱셈과 나눗셈에 관한 것입니다. 고대 테이블은 훌륭한 서비스를 제공했습니다. 복잡한 연산을 더 간단한 연산, 즉 덧셈과 뺄셈으로 대체하는 것이 가능해졌습니다. 큰 발걸음 1544년에 출판된 수학자 미하엘 스티펠(Michael Stiefel)의 작품이 앞장섰고, 그는 많은 수학자들의 생각을 실현했다. 이로 인해 소수 형태의 거듭제곱뿐만 아니라 임의의 유리수에 대한 테이블도 사용할 수 있게 되었습니다.

1614년에 스코틀랜드인 존 네이피어(John Napier)는 이러한 아이디어를 발전시키면서 처음으로 "수의 로그(logarithm of a number)"라는 새로운 용어를 도입했습니다. 사인과 코사인의 로그와 탄젠트를 계산하기 위해 새로운 복잡한 테이블이 작성되었습니다. 이로 인해 천문학자들의 작업이 크게 줄어들었습니다.

3세기 동안 과학자들이 성공적으로 사용했던 새로운 테이블이 나타나기 시작했습니다. 새로운 대수학 연산이 완성된 형태를 갖추기까지는 많은 시간이 걸렸습니다. 로그의 정의가 주어지고 그 특성이 연구되었습니다.

20세기가 되어서야 계산기와 컴퓨터가 등장하면서 인류는 13세기 내내 성공적으로 작동했던 고대 탁자를 버렸습니다.

오늘날 우리는 a를 밑으로 하는 b의 로그를 b를 만드는 a의 거듭제곱인 x라고 부릅니다. 이는 다음 공식으로 작성됩니다: x = log a(b).

예를 들어 log 3(9)는 2와 같습니다. 정의를 따르면 이는 분명합니다. 3을 2제곱하면 9가 됩니다.

따라서 공식화된 정의에서는 단 하나의 제한 사항만 설정합니다. 즉, 숫자 a와 b는 실수여야 합니다.

로그의 유형

고전적인 정의는 실수 로그(real logarithm)라고 불리며 실제로 방정식 a x = b의 해입니다. 옵션 a = 1은 경계선에 있으며 관심이 없습니다. 주의: 1의 거듭제곱은 1과 같습니다.

로그의 실수값밑과 인수가 0보다 크고 밑이 1이 아니어야 하는 경우에만 정의됩니다.

수학 분야의 특별한 장소밑의 크기에 따라 이름이 지정되는 로그를 재생합니다.

규칙 및 제한사항

로그의 기본 속성은 규칙입니다. 곱의 로그는 로그 합계와 같습니다. 로그 abp = 로그 a(b) + 로그 a(p).

이 명령문의 변형은 다음과 같습니다: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), 몫 함수는 함수의 차이와 같습니다.

이전 두 규칙에서 다음을 쉽게 알 수 있습니다. log a(b p) = p * log a(b).

다른 속성은 다음과 같습니다:

논평. 일반적인 실수를 할 필요가 없습니다. 합계의 로그는 로그의 합계와 같지 않습니다.

수세기 동안 로그를 찾는 작업은 시간이 많이 걸리는 작업이었습니다. 사용된 수학자 잘 알려진 공식다항식 확장의 로그 이론:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), 여기서 n - 자연수 1보다 크면 계산의 정확성이 결정됩니다.

다른 염기와의 로그는 한 염기에서 다른 염기로의 전이에 대한 정리와 생성물의 로그 특성을 사용하여 계산되었습니다.

이 방법은 매우 노동집약적이며, 결정할 때 실질적인 문제 구현하기 어려웠기 때문에 사전 컴파일된 로그 테이블을 사용하여 모든 작업 속도를 크게 높였습니다.

어떤 경우에는 특별히 고안된 로그 그래프가 사용되어 정확도는 떨어지지만 검색 속도는 크게 향상되었습니다. 원하는 값. 여러 점에 걸쳐 구성된 함수 y = log a(x)의 곡선을 사용하면 일반 눈금자를 사용하여 다른 점에서 함수 값을 찾을 수 있습니다. 엔지니어 장기이를 위해 소위 그래프 용지가 사용되었습니다.

17세기에는 최초의 보조 아날로그 컴퓨팅 조건이 등장했습니다. 19세기완성된 모습을 얻었습니다. 가장 성공적인 장치는 슬라이드 자라고 불렸습니다. 장치의 단순성에도 불구하고 그 외관으로 인해 모든 엔지니어링 계산 프로세스가 크게 가속화되었으며 이는 과대평가하기 어렵습니다. 현재 이 장치에 대해 잘 아는 사람은 거의 없습니다.

계산기와 컴퓨터의 출현으로 인해 다른 장치를 사용할 수 없게 되었습니다.

방정식과 부등식

로그를 사용하여 다양한 방정식과 부등식을 풀기 위해 다음 공식이 사용됩니다.

한 밑수에서 다른 밑수로의 전이: log a(b) = log c(b) / log c(a);
이전 옵션의 결과: log a(b) = 1 / log b(a).

불평등을 해결하려면 다음 사항을 아는 것이 유용합니다.

로그 값은 밑수와 인수가 모두 1보다 크거나 작은 경우에만 양수입니다. 하나 이상의 조건이 위반되면 로그 값은 음수가 됩니다.
로그 함수가 부등식의 오른쪽과 왼쪽에 적용되고 로그의 밑이 1보다 크면 부등식의 부호가 유지됩니다. 그렇지 않으면 변경됩니다.

샘플 문제

로그와 그 속성을 사용하기 위한 몇 가지 옵션을 고려해 보겠습니다. 방정식 풀이의 예:

로그를 거듭제곱하는 옵션을 고려해보세요.

문제 3. 25^log 5(3)을 계산하라. 해결 방법: 문제가 발생한 상황에서 항목은 다음 (5^2)^log5(3) 또는 5^(2 * log 5(3))과 유사합니다. 다르게 적어봅시다: 5^log 5(3*2), 또는 함수 인수로서의 숫자의 제곱은 함수 자체의 제곱(5^log 5(3))^2으로 쓸 수 있습니다. 로그의 속성을 사용하면 이 표현식은 3^2와 같습니다. 답: 계산 결과 9를 얻습니다.

실제 적용

순전히 수학적 도구이기 때문에 실생활로그가 갑자기 획득된 것입니다. 훌륭한 가치사물을 묘사하기 위해 현실 세계. 그것이 사용되지 않는 과학을 찾는 것은 어렵습니다. 이는 자연 지식뿐만 아니라 인도주의 지식 분야에도 완전히 적용됩니다.

대수 종속성

다음은 수치 종속성의 몇 가지 예입니다.

역학 및 물리학

역사적으로 역학과 물리학은 항상 다음을 사용하여 발전해 왔습니다. 수학적 방법연구와 동시에 로그를 포함한 수학 발전을 위한 인센티브 역할을 했습니다. 대부분의 물리 법칙 이론은 수학 언어로 작성되었습니다. 설명의 두 가지 예만 들어보겠습니다. 물리 법칙로그를 사용합니다.

로켓의 속도와 같은 복잡한 양을 계산하는 문제는 우주 탐사 이론의 기초가 된 Tsiolkovsky 공식을 사용하여 해결할 수 있습니다.

V = I * ln(M1/M2), 여기서

V는 항공기의 최종 속도입니다.
I – 엔진의 특정 충동.
M 1 – 로켓의 초기 질량.
M 2 – 최종 질량.

또 다른 중요한 예- 이것은 열역학의 평형 상태를 평가하는 데 사용되는 또 다른 위대한 과학자 Max Planck의 공식에 사용됩니다.

S = k * ln(Ω), 여기서

S – 열역학적 특성.
k – 볼츠만 상수.
Ω은 다양한 상태의 통계적 가중치입니다.

화학

덜 분명한 것은 로그의 비율을 포함하는 화학 공식의 사용입니다. 두 가지 예만 들어보겠습니다.

Nernst 방정식은 물질의 활성 및 평형 상수와 관련된 매체의 산화환원 전위 조건입니다.
자기 분해 지수 및 용액의 산도와 같은 상수 계산도 우리 기능 없이는 수행할 수 없습니다.

심리학과 생물학

그리고 심리학이 그것과 어떤 관련이 있는지는 전혀 명확하지 않습니다. 감각의 강도는 이 함수에 의해 자극 강도 값과 낮은 강도 값의 역비로 잘 설명되는 것으로 나타났습니다.

위의 예를 보면 로그라는 주제가 생물학에서 널리 사용된다는 것은 더 이상 놀라운 일이 아닙니다. 로그 나선에 해당하는 생물학적 형태에 대해 전체 책을 쓸 수 있습니다.

기타 지역

이 기능과 연결되지 않으면 세상의 존재는 불가능한 것처럼 보이며 모든 법칙을 지배합니다. 특히 자연법칙이 다음과 관련되어 있을 때 기하학적 진행. MatProfi 웹사이트를 방문할 가치가 있으며 다음과 같은 활동 영역에 그러한 예가 많이 있습니다.

목록은 끝이 없을 수 있습니다. 이 기능의 기본 원리를 익히면 무한한 지혜의 세계로 뛰어들 수 있습니다.

자연 로그, 그래프, 정의 영역, 값 집합, 기본 공식, 도함수, 적분, 확장의 기본 속성 파워 시리즈및 복소수를 사용하여 함수 ln x를 표현합니다.

콘텐츠

역함수

자연로그의 역수는 지수입니다.

그렇다면

그렇다면.

미분 ln x

자연로그의 미분:
.
모듈러스 x의 자연 로그의 미분:
.
n차 도함수:
.
수식 도출 > > >

완전한

적분은 부분별 적분으로 계산됩니다.
.
그래서,

복소수를 사용한 표현식

복소수 변수 z의 기능을 고려해보세요.
.
복소변수를 표현해보자 지모듈을 통해 아르 자형그리고 논쟁 φ :
.
로그의 속성을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
.
또는
.
인수 ψ는 고유하게 정의되지 않았습니다. 당신이 넣으면
여기서 n은 정수이고,
다른 n에 대해 동일한 숫자가 됩니다.

그렇기 때문에 자연로그은 복소수 변수의 함수로서 단일 값 함수가 아닙니다.

파워 시리즈 확장

확장이 발생하는 경우:

사용된 문헌:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.

참조:

로그란 무엇입니까?

주목!
추가사항이 있습니다
특별 조항 555의 자료.
매우 "별로..."인 사람들을 위해
그리고 "아주 많이…"라고 하시는 분들을 위해)

로그란 무엇입니까? 로그를 푸는 방법? 이러한 질문은 많은 졸업생을 혼란스럽게 합니다. 전통적으로 로그라는 주제는 복잡하고 이해하기 어렵고 무서운 것으로 간주되었습니다. 특히 로그가 포함된 방정식.

이것은 절대 사실이 아닙니다. 전적으로! 나를 믿지 못합니까? 괜찮은. 이제 단 10~20분 안에 다음을 수행할 수 있습니다.

1. 이해가 되실 겁니다 로그란 무엇인가?.

2. 전체 수업을 해결하는 방법을 배우세요 지수 방정식. 비록 당신이 그들에 대해 아무것도 들어본 적이 없더라도 말이죠.

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오늘 우리는 로그 공식그리고 우리는 지표를 줄 것입니다 솔루션 예시.

그것들 자체는 로그의 기본 속성에 따른 해법 패턴을 암시합니다. 문제를 해결하기 위해 로그 공식을 적용하기 전에 모든 속성을 상기시켜 드리겠습니다.

이제 이러한 공식(속성)을 바탕으로 다음을 보여드리겠습니다. 로그 해결의 예.

공식을 기반으로 로그를 푸는 예.

로그 정수 b를 밑수 a로(log a b로 표시)는 b > 0, a > 0, 1인 b를 얻기 위해 a를 반올림해야 하는 지수입니다.

정의에 따르면 log a b = x는 a x = b와 동일하므로 log a a x = x입니다.

로그, 예:

로그 2 8 = 3, 왜냐하면 2 3 = 8

로그 7 49 = 2, 왜냐하면 7 2 = 49

로그 5 1/5 = -1, 왜냐하면 5 -1 = 1/5

십진 로그- 이것은 밑이 10인 일반 로그입니다. lg로 표시됩니다.

로그 10 100 = 2, 왜냐하면 10 2 = 100

자연로그- 또한 일반 로그, 로그이지만 e를 밑으로 합니다(e = 2.71828... - 무리수). ln으로 표시됩니다.

로그, 로그 방정식, 부등식을 풀 때 로그가 필요하기 때문에 로그의 공식이나 속성을 기억해 두는 것이 좋습니다. 예제를 통해 각 공식을 다시 살펴보겠습니다.

기본 로그 항등식
a 로그 a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
곱의 로그는 로그의 합과 같습니다.
로그 a (bc) = 로그 a b + 로그 a c
로그 3 8.1 + 로그 3 10 = 로그 3 (8.1*10) = 로그 3 81 = 4
몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다.
로그 a (b/c) = 로그 a b - 로그 a c
9 로그 5 50 /9 로그 5 2 = 9 로그 5 50- 로그 5 2 = 9 로그 5 25 = 9 2 = 81
로그 수의 거듭제곱과 로그 밑의 속성
로그 수의 지수 log a b m = mlog a b

로그 밑의 지수 log a n b =1/n*log a b

로그 a n b m = m/n*log a b,

m = n이면 log a n b n = log a b를 얻습니다.

로그 4 9 = 로그 2 2 3 2 = 로그 2 3
새로운 기반으로의 전환
로그 a b = 로그 c b/로그 c a,
c = b이면 log b b = 1을 얻습니다.

그런 다음 로그 a b = 1/log b a

로그 0.8 3*로그 3 1.25 = 로그 0.8 3*로그 0.8 1.25/로그 0.8 3 = 로그 0.8 1.25 = 로그 4/5 5/4 = -1