전력 기능의 통합. 복소적분

이 페이지에서는 다음을 확인할 수 있습니다.

1. 실제로, 역도함수 표 - PDF 형식으로 다운로드하여 인쇄할 수 있습니다.

2. 이 테이블을 사용하는 방법에 대한 비디오;

3. 다양한 교과서와 테스트를 통해 역도함수를 계산하는 다양한 예.

비디오 자체에서 우리는 함수의 역도함수를 계산해야 하는 많은 문제를 분석할 것입니다. 종종 매우 복잡하지만 가장 중요한 것은 이 문제가 거듭제곱 함수가 아니라는 것입니다. 위에서 제안한 표에 요약된 모든 함수는 파생어처럼 암기해야 합니다. 그것들 없이는 적분에 대한 추가 연구와 실제 문제를 해결하기 위한 적용이 불가능합니다.

오늘도 우리는 역도함수에 대해 계속해서 연구하고 조금 더 나아갑니다. 복잡한 주제. 만약에 지난번에우리는 역파생상품만을 고려했습니다. 전력 기능조금 더 복잡한 구조에 대해 오늘은 삼각법 등을 살펴보겠습니다.

지난 강의에서 말했듯이, 역도함수는 파생상품과 달리 표준 규칙을 사용하여 "즉시" 해결되지 않습니다. 더욱이 나쁜 소식은 파생 상품과 달리 역 파생 상품이 전혀 고려되지 않을 수도 있다는 것입니다. 완전히 임의의 함수를 작성하고 그 도함수를 찾으려고 하면 매우 높은 확률로 성공할 수 있지만 이 경우 역도함수는 거의 계산되지 않습니다. 그러나 좋은 소식이 있습니다. 기본 함수라고 하는 상당히 큰 함수 클래스가 있으며, 그 역도함수는 계산하기가 매우 쉽습니다. 그리고 모든 종류의 테스트, 독립적인 테스트 및 시험에 제공되는 다른 모든 복잡한 구조는 실제로 덧셈, 뺄셈 및 기타 간단한 동작을 통해 이러한 기본 기능으로 구성됩니다. 그러한 함수의 프로토타입은 오랫동안 계산되어 다음과 같이 요약되었습니다. 특별한 테이블. 오늘 우리가 작업할 것은 바로 이러한 함수와 테이블입니다.

그러나 항상 그렇듯 반복부터 시작하겠습니다. 역도함수가 무엇인지, 왜 무한히 많은지, 그리고 일반적인 모양을 결정하는 방법을 기억해 봅시다. 이를 위해 저는 두 가지 간단한 문제를 골랐습니다.

쉬운 예 풀기

예시 #1

$\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ 및 일반적으로 $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$는 우리가 찾고 있는 것이 무엇인지 즉시 암시합니다. 함수의 역도함수삼각법과 관련된. 그리고 실제로 표를 보면 $\frac(1)(1+((x)^(2)))$는 $\text(arctg)x$에 불과하다는 것을 알 수 있습니다. 그럼 적어 보겠습니다.

찾으려면 다음 사항을 적어야 합니다.

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

예 2

여기도 우리 얘기 중이야삼각함수에 대해서. 표를 보면 실제로 다음과 같은 일이 발생합니다.

전체 역도함수 중에서 표시된 지점을 통과하는 역도함수를 찾아야 합니다.

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

마지막으로 적어 보겠습니다.

그렇게 간단합니다. 유일한 문제는 단순 함수의 역도함수를 계산하려면 역도함수 표를 학습해야 한다는 것입니다. 하지만 미분표를 공부한 후에는 이것이 문제가 되지 않을 것이라고 생각합니다.

지수 함수가 포함된 문제 풀기

우선 다음 수식을 작성해 보겠습니다.

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

이 모든 것이 실제로 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

예시 #1

괄호의 내용을 보면 역도함수 표에는 $((e)^(x))$가 정사각형에 있다는 표현이 없으므로 이 정사각형을 확장해야 함을 알 수 있습니다. 이를 위해 축약된 곱셈 공식을 사용합니다.

각 용어에 대한 역도함수를 찾아보겠습니다.

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \오른쪽))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

이제 모든 용어를 하나의 표현식으로 모아서 일반적인 역도함수를 구해 보겠습니다.

예 2

이번에는 차수가 더 크기 때문에 축약된 곱셈 공식이 상당히 복잡해집니다. 이제 대괄호를 열어 보겠습니다.

이제 이 구성에서 공식의 역도함수를 구해 보겠습니다.

보시다시피 프리미티브에서는 지수함수복잡하거나 초자연적인 것은 없습니다. 모두 표를 통해 계산되지만 주의 깊은 학생들은 아마도 역도함수 $((e)^(2x))$가 $((a)보다 단순히 $((e)^(x))$에 훨씬 더 가깝다는 것을 알아차릴 것입니다. )^(x ))$. 그렇다면 역도함수 $((e)^(x))$를 알고 $((e)^(2x))$를 찾는 것을 허용하는 좀 더 특별한 규칙이 있을까요? 예, 그런 규칙이 있습니다. 또한 이는 역도함수 표 작업에 필수적인 부분입니다. 이제 방금 예제로 작업했던 것과 동일한 표현식을 사용하여 분석하겠습니다.

역도함수 표 작업 규칙

함수를 다시 작성해 보겠습니다.

이전 사례에서는 다음 공식을 사용하여 해결했습니다.

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

하지만 이제 조금 다르게 해보겠습니다. $((e)^(x))\to ((e)^(x))$가 무엇인지 기억해 봅시다. 내가 이미 말했듯이, 도함수 $((e)^(x))$는 $((e)^(x))$에 불과하므로 그 역도함수는 동일한 $((e) ^와 같습니다. (x))$. 하지만 문제는 $((e)^(2x))$ 및 $((e)^(-2x))$가 있다는 것입니다. 이제 $((e)^(2x))$의 미분을 찾아보겠습니다.

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \프라임 ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

우리의 구성을 다시 작성해 봅시다:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\소수 ))\]

이는 역도함수 $((e)^(2x))$를 찾을 때 다음을 얻는다는 것을 의미합니다.

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

보시다시피 이전과 동일한 결과를 얻었지만 $((a)^(x))$를 찾는 데 공식을 사용하지 않았습니다. 이제 이것은 어리석은 것처럼 보일 수 있습니다. 표준 공식이 있는데 왜 계산을 복잡하게 합니까? 그러나 약간 더 복잡한 표현에서는 이 기술이 매우 효과적이라는 것을 알 수 있습니다. 파생 상품을 사용하여 역 파생 상품을 찾습니다.

준비운동으로 비슷한 방식으로 $((e)^(2x))$의 역도함수를 찾아보겠습니다.

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\소수 ))\]

계산할 때 우리의 구성은 다음과 같이 작성됩니다.

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

우리는 똑같은 결과를 얻었지만 다른 길을 택했습니다. 지금은 조금 더 복잡해 보이는 이 경로가 앞으로는 더 복잡한 역도함수를 계산하고 테이블을 사용하는 데 더 효과적인 것으로 판명될 것입니다.

주의하세요! 이는 매우 중요한 점입니다. 파생 상품과 마찬가지로 역파생 상품도 집합으로 간주될 수 있습니다. 다양한 방법으로. 그러나 모든 계산과 계산이 동일하면 답은 동일합니다. 우리는 방금 $((e)^(-2x))$의 예에서 이것을 보았습니다. 한편으로는 정의를 사용하고 다른 한편으로는 변환을 사용하여 계산하여 이 역도함수를 "완전히" 계산했습니다. 우리는 $ ((e)^(-2x))$가 $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$로 표시될 수 있다는 것을 기억하고 나서야 다음을 사용했습니다. $( (a)^(x))$ 함수에 대한 역도함수입니다. 그러나 모든 변환 후에 결과는 예상대로 동일했습니다.

이제 우리는 이 모든 것을 이해했으므로 더 중요한 것으로 넘어갈 때입니다. 이제 우리는 두 가지 간단한 구성을 분석할 것입니다. 그러나 이를 해결할 때 사용할 기술은 테이블에서 인접한 역도함수 사이를 단순히 "실행"하는 것보다 더 강력하고 유용한 도구입니다.

문제 해결: 함수의 역도함수 찾기

예시 #1

분자에 있는 양을 세 가지 분수로 나누어 보겠습니다.

이는 상당히 자연스럽고 이해하기 쉬운 전환입니다. 대부분의 학생들은 이에 대해 문제가 없습니다. 표현식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

이제 이 공식을 기억해 봅시다:

우리의 경우 다음을 얻게 됩니다:

이러한 3층짜리 분수를 모두 제거하려면 다음을 수행하는 것이 좋습니다.

예 2

이전 분수와 달리 분모는 곱이 아니라 합계입니다. 이 경우 더 이상 분수를 여러 개의 간단한 분수의 합으로 나눌 수는 없지만 분자에 분모와 거의 동일한 표현식이 포함되어 있는지 확인해야 합니다. 이 경우 수행하는 작업은 매우 간단합니다.

수학 용어로 "0 더하기"라고 불리는 이 표기법을 사용하면 분수를 다시 두 부분으로 나눌 수 있습니다.

이제 우리가 찾고 있던 것을 찾아봅시다:

그게 모든 계산입니다. 이전 문제보다 훨씬 복잡해졌음에도 불구하고 계산량은 훨씬 적은 것으로 나타났습니다.

솔루션의 뉘앙스

그리고 이것이 표 형식의 역도함수 작업의 주요 어려움이 있는 곳이며, 이는 두 번째 작업에서 특히 두드러집니다. 사실은 표를 통해 쉽게 계산할 수 있는 일부 요소를 선택하려면 우리가 찾고 있는 것이 정확히 무엇인지 알아야 하며, 이러한 요소를 검색하는 과정에서 전체 역도함수 계산이 구성됩니다.

즉, 역도함수 표를 암기하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 아직 존재하지 않지만 이 문제의 작성자와 편집자가 의미하는 바를 볼 수 있어야 합니다. 이것이 바로 많은 수학자, 교사, 교수들이 "역도함수나 통합을 취하는 것이 무엇인가? 그것은 단지 도구인가, 아니면 실제 예술인가?"라고 끊임없이 논쟁하는 이유입니다. 사실, 내 개인적인 견해로는 통합은 전혀 예술이 아닙니다. 거기에는 숭고한 것이 없으며 단지 연습이고 더 많은 연습일 뿐입니다. 그리고 연습을 위해 세 가지 더 심각한 예를 풀어보겠습니다.

실제로는 통합적으로 훈련한다

작업 번호 1

다음 수식을 작성해 보겠습니다.

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

다음을 작성해 보겠습니다.

문제 2번

다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

총 역도함수는 다음과 같습니다.

문제 3번

이 작업의 어려움은 위의 이전 함수와 달리 $x$ 변수가 전혀 없다는 것입니다. 적어도 아래에 있는 것과 유사한 것을 얻기 위해 무엇을 더하거나 빼야 할지 명확하지 않습니다. 그러나 실제로 이 표현식은 이전 표현식보다 훨씬 더 간단한 것으로 간주됩니다. 왜냐하면 이 함수는 다음과 같이 다시 작성될 수 있기 때문입니다.

이제 질문할 수 있습니다. 왜 이 함수들이 동일한가요? 확인해 봅시다:

다시 작성해 보겠습니다.

표현을 조금 변형해 보겠습니다.

그리고 제가 이 모든 것을 학생들에게 설명할 때 거의 항상 같은 문제가 발생합니다. 첫 번째 기능을 사용하면 모든 것이 다소 명확하고 두 번째 기능을 사용하면 운이나 연습을 통해 알아낼 수도 있지만 어떤 종류의 대안 의식을 사용합니까? 세 번째 예를 해결하려면 필요합니까? 사실, 겁먹지 마세요. 마지막 역도함수를 계산할 때 사용한 기술은 "함수를 가장 간단한 것으로 분해"라고 하며 이는 매우 심각한 기술이므로 이에 대해 별도의 비디오 강의에서 다룰 것입니다.

그 동안 나는 방금 연구한 것, 즉 지수 함수로 돌아가서 그 내용의 문제를 다소 복잡하게 만들 것을 제안합니다.

역도함수 지수 함수를 해결하기 위한 더 복잡한 문제

작업 번호 1

다음 사항에 유의하세요.

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

이 표현식의 역도함수를 찾으려면 표준 공식인 $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$를 사용하면 됩니다.

우리의 경우 역도함수는 다음과 같습니다.

물론, 우리가 방금 해결한 디자인에 비하면 이 디자인은 더 단순해 보입니다.

문제 2번

다시 말하지만, 이 함수가 두 개의 개별 용어, 즉 두 개의 개별 분수로 쉽게 나눌 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 다시 작성해 보겠습니다.

위에서 설명한 공식을 사용하여 이러한 각 용어의 역도함수를 찾는 것이 남아 있습니다.

거듭제곱 함수에 비해 지수 함수가 명백히 더 복잡함에도 불구하고 계산 및 계산의 전체 양은 훨씬 더 간단한 것으로 나타났습니다.

물론, 지식이 풍부한 학생들에게는 방금 논의한 내용(특히 이전에 논의한 내용을 배경으로)이 초보적인 표현처럼 보일 수 있습니다. 그러나 오늘 비디오 강의에서 이 두 가지 문제를 선택할 때 저는 여러분에게 또 다른 복잡하고 정교한 기술을 알려주려는 목표를 설정하지 않았습니다. 제가 보여주고 싶었던 것은 표준 대수 기술을 사용하여 원래 함수를 변환하는 것을 두려워해서는 안 된다는 것입니다. .

"비밀" 기술 사용

결론적으로 저는 오늘 우리가 주로 논의한 범위를 넘어서는 또 다른 흥미로운 기술을 살펴보고 싶습니다. 그러나 다른 한편으로는 전혀 복잡하지 않습니다. 초보 학생도 익힐 수 있으며, 둘째, 모든 종류의 시험과 시험에서 자주 발견됩니다. 독립적인 작업, 즉. 이에 대한 지식은 역도함수 표에 대한 지식 외에도 매우 유용할 것입니다.

작업 번호 1

분명히, 우리는 거듭제곱 함수와 매우 유사한 것을 가지고 있습니다. 이 경우 어떻게 해야 합니까? 생각해 봅시다. $x-5$는 $x$와 크게 다르지 않습니다. 단지 $-5$를 추가했을 뿐입니다. 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\프라임 ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

$((\left(x-5 \right))^(5))$의 미분을 구해 봅시다:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

이는 다음과 같습니다.

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ 오른쪽))^(\프라임 ))\]

표에는 그러한 값이 없으므로 이제 우리는 검정력 함수에 대한 표준 역도함수 공식을 사용하여 이 공식을 직접 유도했습니다. 답변을 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

문제 2번

첫 번째 해를 보는 많은 학생들은 모든 것이 매우 간단하다고 생각할 수 있습니다. 즉, 거듭제곱 함수의 $x$를 선형 표현식으로 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갈 것입니다. 불행히도 모든 것이 그렇게 간단하지는 않습니다. 이제 우리는 이것을 보게 될 것입니다.

첫 번째 표현과 유사하게 다음과 같이 작성합니다.

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

파생 상품으로 돌아가서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\프라임 ))\]

이는 즉시 다음과 같습니다.

솔루션의 뉘앙스

참고: 지난번에 본질적으로 변경된 사항이 없으면 두 번째 경우에는 $-10$ 대신 $-30$가 나타났습니다. $-10$와 $-30$의 차이점은 무엇인가요? 분명히 $-3$ 정도입니다. 질문: 그것은 어디에서 왔는가? 자세히 보면 미분계산 결과로 취해진 것을 알 수 있다. 복잡한 기능— $x$에 있던 계수는 아래 역도함수에 나타납니다. 이것은 매우 중요한 규칙입니다. 처음에는 오늘 비디오 강의에서 전혀 논의할 계획이 없었지만, 이것이 없으면 표 형식의 역도함수 제시가 불완전할 것입니다.

그럼 다시 해보자. 주요 전원 기능을 살펴보겠습니다.

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

이제 $x$ 대신 $kx+b$ 표현식으로 대체해 보겠습니다. 그러면 무슨 일이 일어날까요? 우리는 다음을 찾아야 합니다:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \오른쪽)\cdot k)\]

우리는 어떤 근거로 이것을 주장하는가? 매우 간단합니다. 위에 쓰여진 구성의 파생물을 찾아봅시다:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \프라임 ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

원래 있던 표현과 똑같네요. 따라서 이 공식도 맞는데, 역도함수 표를 보충하는데 활용하거나, 단순히 표 전체를 외워두는 것이 더 좋습니다.

“비밀: 기술:

우리가 방금 조사한 두 기능은 실제로 차수를 확장하여 표에 표시된 역도함수로 축소될 수 있지만, 우리가 어느 정도 4차에 대처할 수 있다면 감히 9차를 고려하지 않을 것입니다. 공개하다.
학위를 확장하면 간단한 작업에 부적절하게 많은 시간이 걸릴 정도로 계산량이 많아지게 됩니다.
이것이 바로 선형 표현식이 포함된 문제를 "무작위"로 해결할 필요가 없는 이유입니다. 내부에 $kx+b$ 표현식이 있다는 것만으로 표의 것과 다른 역도함수를 발견하자마자 위에 작성된 공식을 즉시 기억하고 이를 표의 역도함수로 대체하면 모든 것이 훨씬 더 좋아질 것입니다. 더 빠르고 쉽게.

당연히 이 기술의 복잡성과 심각성으로 인해 향후 비디오 강의에서 여러 번 고려하게 될 것이지만 오늘은 그게 전부입니다. 이 수업이 역도함수와 적분법을 이해하려는 학생들에게 큰 도움이 되기를 바랍니다.

다시 안녕, 친구들!

제가 약속한 대로, 이번 수업을 통해 우리는 적분의 시적 세계의 끝없는 확장을 탐구하고 다양한(때로는 매우 아름다운) 예제를 해결하기 시작할 것입니다. :)

모든 완전한 다양성 속에서 유능하게 탐색하고 길을 잃지 않으려면 다음 네 가지만 필요합니다.

1) 적분표. 그녀에 대한 모든 세부 사항 - . 이것이 바로 그녀와 함께 일하는 방법입니다.

2) 부정적분(합/차의 적분과 상수의 곱)의 선형성의 특성.

3) 파생 상품 및 미분 규칙 표.

예, 예, 놀라지 마세요! 파생 상품을 계산하는 기능이 없으면 통합을 통해 얻을 수 있는 것이 전혀 없습니다. 예를 들어 곱셈 방법을 모르고 나눗셈을 배우는 것은 의미가 없습니다. :) 그리고 곧 연마된 미분 기술 없이는 기본 표 형식을 넘어서는 단일 적분을 계산할 수 없다는 것을 알게 될 것입니다.

4) 통합 방법.

아주 아주 많습니다. 특정 기능 클래스의 경우 - 사용자 고유의 기능입니다. 그러나 모든 풍부한 다양성 중에서 세 가지 기본 요소가 두드러집니다.

– ,

– .

각각은 별도의 수업에서 논의됩니다.

이제 마지막으로 오랫동안 기다려온 예제를 해결해 보겠습니다. 섹션에서 섹션으로 이동하지 않기 위해 전체 신사 세트를 다시 한 번 복제하겠습니다. 이는 추가 작업에 유용할 것입니다. 모든 도구를 가까이 두십시오.)

우선, 이 적분 테이블:

또한, 부정 적분의 기본 속성(선형 속성)이 필요합니다.

자, 필요한 장비는 준비되어 있습니다. 이제 갈 시간이다! :)

테이블 직접 적용

이 단락에서는 가장 단순하고 가장 무해한 예를 고려할 것입니다. 여기의 알고리즘은 매우 간단합니다.

1) 표를 보고 필요한 공식을 찾으십시오.

2) 선형성 속성을 적용합니다(필요한 경우).

3) 표 형식 공식을 사용하여 변환을 수행하고 끝에 상수를 추가합니다. 와 함께 (잊지 마세요!) ;

4) 답을 적어보세요.

그럼 가자.)

실시예 1

우리 테이블에는 그러한 기능이 없습니다. 그러나 여기에는 검정력 함수의 적분이 있습니다. 일반적인 견해(두 번째 그룹). 우리의 경우 n=5. 따라서 n을 5로 대체하고 신중하게 결과를 계산합니다.

준비가 된. :)

물론 이 예는 완전히 원시적이다. 순전히 아는 사람을 위한 것입니다.) 그러나 거듭제곱을 적분하는 기능을 사용하면 모든 다항식 및 기타 거듭제곱 구조의 적분을 쉽게 계산할 수 있습니다.

실시예 2

적분 아래에는 합계가 있습니다. 아 글쎄. 이 경우에는 선형성 속성이 있습니다. :) 우리는 적분을 세 개의 별도의 것으로 나누고, 적분의 부호에서 모든 상수를 제거하고 표(그룹 1-2)에 따라 각각의 수를 셉니다.

참고: 상수 와 함께정확히 그 순간에 나타난다. 모든 적분 기호가 사라집니다.! 물론 그 후에도 계속 가지고 다녀야 합니다. 무엇을 해야할지 ...

물론 일반적으로 그렇게 자세히 설명할 필요는 없습니다. 이는 순전히 이해를 위해 수행됩니다. 요점을 파악하기 위해.)

예를 들어, 머지않아 당신은 별로 생각하지 않고도 다음과 같은 몬스터에 대해 정신적으로 대답하게 될 것입니다.

다항식은 적분에서 가장 자유로운 함수입니다.) 그리고 확산, 물리학, 재료의 강도 및 기타 심각한 분야에서는 다항식을 지속적으로 적분해야 합니다. 익숙해지세요.)

다음 예는 조금 더 멋질 것입니다.

실시예 3

우리 피적분자는 다음과 같이 작성할 수 있다는 것을 모두가 이해하기를 바랍니다.

피적분 함수는 별개이고 인수 dx는 (차등 아이콘)- 별도로.

논평:이 수업의 승수 dx 통합 과정에서 안녕어떤 식으로든 참여하지 않으며 우리는 지금 정신적으로 그에 대해 "잊고 있습니다". :) 우리는 오직 피적분 함수. 하지만 그를 잊지 말자. 곧, 문자 그대로 다음 강의에서 우리는 그것에 대해 기억할 것입니다. 그리고 우리는 이 아이콘의 중요성과 힘을 본격적으로 느낄 것입니다!)

그러는 동안 우리의 시선은 피적분 함수에 끌립니다.

멱함수처럼 보이지는 않지만 그게 전부입니다. :) 뿌리와 힘의 학교 속성을 기억하면 기능을 변형하는 것이 가능합니다.

그리고 x의 2/3제곱은 이미 표 형식의 함수입니다! 두 번째 그룹 n=-2/3. 그리고 상수 1/2은 우리에게 방해가 되지 않습니다. 적분 기호를 넘어 외부로 가져와 다음 공식을 사용하여 직접 계산합니다.

이 예에서는 각도의 기본 속성이 도움이 되었습니다. 그리고 이것은 적분 아래에 외로운 근이나 분수가 있는 대부분의 경우에 수행되어야 합니다. 그러므로 부부 실용적인 조언전력 구성을 통합할 때:

분수를 음의 지수가 있는 거듭제곱으로 바꿉니다.

근을 분수 지수가 있는 거듭제곱으로 바꿉니다.

그러나 최종 답변에서 거듭제곱에서 분수와 근으로 다시 전환하는 것은 취향의 문제입니다. 개인적으로 저는 다시 전환합니다. 미학적으로 더 만족스럽습니다.

그리고 모든 분수를 주의 깊게 세어보세요! 우리는 부호와 무엇이 어디로 가는지, 즉 분자에 무엇이 있고 분모는 무엇인지 주의 깊게 모니터링합니다.

무엇? 이미 지루한 전원 기능에 지치셨나요? 좋아요! 황소의 뿔을 잡자!

실시예 4

이제 모든 것을 통합으로 가져오면 공통분모, 그러면 이 예제에서 오랫동안 진지하게 꼼짝 못하게 될 수 있습니다.) 그러나 피적분 함수를 자세히 살펴보면 차이점이 두 개의 표 형식 함수로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 그러므로 왜곡되지 말고 대신 우리의 적분을 두 가지로 분해합시다.

첫 번째 적분은 일반적인 거듭제곱 함수입니다(두 번째 그룹, n = -1): 1/x = x -1 .

거듭제곱 함수의 역도함수에 대한 전통적인 공식

여기서는 작동하지 않지만 우리에게는 작동하지 않습니다. n = -1가치있는 대안이 있습니다 - 자연 로그를 사용한 공식. 이것은:

그런 다음 이 공식에 따라 첫 번째 분수는 다음과 같이 적분됩니다.

그리고 두 번째 분수는 테이블 기능도 있어요!알아냈어? 예! 이것 제칠"높은" 로그가 포함된 공식:

이 공식에서 상수 "a"는 2와 같습니다. a=2.

중요 사항: 상수를 참고하세요와 함께 중간 통합 I 아무데도나는 그것을 속성으로 삼지 않는다!왜? 왜냐하면 그녀는 최종 답변으로 갈 것이기 때문입니다. 전체 예.이 정도면 충분합니다.) 엄밀히 말하면, 상수는 각 개별 적분 후에 작성되어야 합니다. 중간 적분이든 최종 적분이든: 이것이 무한 적분에 필요한 것입니다...)

예를 들어 첫 번째 통합 후에는 다음과 같이 작성해야 합니다.

두 번째 통합 후:

그러나 비결은 임의의 상수의 합/차가 다음과 같다는 것입니다. 또한 일부 상수!우리의 경우 최종 답을 얻으려면 첫 번째 적분에서 필요합니다. 덜다두번째. 그럼 우리는 할 수 있어 차이점두 개의 중간 상수:

C 1 -C 2

그리고 우리는 바로 이 상수의 차이를 대체할 권리가 있습니다. 하나의 상수!그리고 우리에게 익숙한 문자 "C"로 다시 지정하면 됩니다. 이와 같이:

C 1 -C 2 = C

그래서 우리는 이것을 동일한 상수로 간주합니다. 와 함께최종 결과에 대해 답을 얻습니다.

예, 예, 분수입니다! 통합된 다층 로그가 가장 일반적입니다. 우리도 익숙해지고 있어요.)

기억하다:

여러 항의 중간 통합 동안 상수 와 함께각각 후에는 쓸 필요가 없습니다. 전체 예제의 최종 답변에 이를 포함시키는 것으로 충분합니다. 맨 마지막에.

다음 예도 분수를 사용한 것입니다. 워밍업을 위해.)

실시예 5

물론 테이블에는 그러한 기능이 없습니다. 하지만 있습니다 비슷한기능:

이게 제일 마지막이야 여덟 번째공식. 아크탄젠트로. :)

이것은:

그리고 하나님께서는 우리에게 이 공식에 대한 적분을 조정하라고 명령하셨습니다! 하지만 한 가지 문제가 있습니다. 이전의 표 형식 공식에는 x 2계수는 없지만 9가 있습니다. 아직 공식을 직접 사용할 수는 없습니다. 그러나 우리의 경우 문제는 완전히 해결 가능합니다. 먼저 이 9를 괄호에서 빼낸 다음 분수에서 완전히 빼내겠습니다.)

그리고 새로운 분수는 우리에게 이미 필요한 테이블 함수인 8번입니다! 여기 2 = 4/9. 또는 a=2/3.

모두. 적분 부호에서 1/9을 취하고 여덟 번째 공식을 사용합니다.

대답은 다음과 같습니다. 이 예는 앞에 계수가 있습니다. x 2, 일부러 그렇게 선택했어요. 그러한 경우에 무엇을 해야 하는지 명확하게 합니다. :) 이전이라면 x 2계수가 없으면 그러한 분수도 마음에 통합됩니다.

예를 들어:

여기 2 = 5, 따라서 "a" 자체는 "5의 루트"가 됩니다. 일반적으로 이해합니다.)

이제 함수를 약간 수정해 보겠습니다. 근 아래에 분모를 쓰겠습니다.) 이제 다음 적분을 사용하겠습니다.

실시예 6

이제 분모에는 근이 있습니다. 당연히 해당 통합 공식도 변경되었습니다.) 다시 표로 가서 적합한 공식을 찾습니다. 우리는 5번째와 6번째 그룹의 공식에 뿌리를 두고 있습니다. 그러나 여섯 번째 그룹에서는 뿌리 아래에만 차이가 있습니다. 그리고 우리는 금액을 가지고 있습니다. 그래서 우리는 노력하고 있습니다 다섯 번째 공식, "긴" 로그 사용:

숫자 에이 다섯 개 있어요. 공식에 대입하여 다음을 얻습니다.

그리고 그게 전부입니다. 이것이 답입니다. 응, 응, 간단해!)

의심이 들 경우 항상 역미분을 통해 결과를 확인할 수 있습니다(그리고 그래야 합니다). 확인해볼까요? 만약 그것이 일종의 실수라면 어떨까요?

우리는 다음과 같이 구별합니다(모듈에 주의를 기울이지 않고 일반 괄호로 인식함).

모든 것이 공평합니다. :)

그런데 루트 아래 피적분 함수에서 부호를 플러스에서 마이너스로 변경하면 적분 공식은 동일하게 유지됩니다. 루트 아래 테이블에 다음이 있는 것은 우연이 아닙니다. 플러스/마이너스. :)

예를 들어:

중요한!마이너스의 경우에는 첫 번째루트 아래의 위치는 정확히 x 2, 그리고 두번째 – 숫자. 루트 아래에서 반대가 참이면 해당 표 형식 공식이 더 좁아집니다. 또 다른!

실시예 7

다시 루트 아래에서 마이너스이지만 x 2우리는 다섯 명과 자리를 바꿨습니다. 비슷하지만 같은 것은 아닙니다... 이 경우 테이블에도 공식이 있습니다.) 공식 번호 6은 아직 작업하지 않았습니다.

하지만 지금은 조심스럽게. 이전 예에서는 5를 숫자로 사용했습니다. 에이 . 여기서는 5가 숫자 역할을 합니다. 2!

따라서 공식을 올바르게 적용하려면 5의 근을 추출하는 것을 잊지 마십시오.

이제 예제는 한 번의 작업으로 해결됩니다. :)

딱 그래요! 루트 아래의 용어만 바뀌었고, 통합 결과가 크게 달라졌습니다! 로그와 아크사인... 그러니 제발 이 두 공식을 혼동하지 마세요!피적분 함수는 매우 유사하지만...

보너스:

표 공식 7-8에는 로그와 아크탄젠트 앞에 계수가 있습니다. 1/(2a)그리고 1/a각기. 그리고 놀라운 전투 상황에서 이러한 공식을 작성할 때 연구에 능숙한 괴짜조차도 종종 혼란스러워집니다. 1/a, 그리고 어디서 1/(2a). 기억해야 할 간단한 트릭이 있습니다.

공식 번호 7에서

피적분 함수의 분모에는 다음이 포함됩니다. 제곱의 차이 x 2 – 2. 두려운 학교 공식에 따르면 이는 다음과 같이 분류됩니다. (x-a)(x+a). ~에 둘승수 키워드 – 둘. 그리고 이것들은 둘통합할 때 대괄호는 로그로 이동합니다. 마이너스는 위로, 플러스는 아래로.) 그리고 로그 앞의 계수도 1/( 2 에이).

그러나 공식 번호 8에서는

분수의 분모에는 다음이 포함됩니다. 제곱의 합.하지만 제곱의 합은 x 2 +a 2더 간단한 요소로 분해할 수 없습니다. 그러므로 누가 뭐라고 말하든 분모는 그대로 유지될 것입니다. 하나요인. 그리고 아크탄젠트 앞의 계수도 1/a가 됩니다.

이제 변화를 위해 삼각법을 통합해 보겠습니다.)

실시예 8

예제는 간단합니다. 너무 간단해서 사람들은 테이블을 보지 않고도 즉시 즐겁게 답을 쓰고... 우리가 도착했습니다. :)

표지판을 따라가자! 이는 사인/코사인을 적분할 때 가장 흔히 저지르는 실수입니다. 파생상품과 혼동하지 마세요!

예, (죄 엑스)" = 코사인 엑스그리고 (코사인 엑스)’ = - 죄 엑스.

하지만!

사람들은 일반적으로 최소한 도함수를 기억하기 때문에 부호가 혼동되지 않도록 적분을 기억하는 기술은 매우 간단합니다.

사인/코사인의 적분 =마이너스 동일한 사인/코사인의 파생물입니다.

예를 들어, 우리는 사인의 도함수가 코사인과 같다는 것을 학교에서 알고 있습니다.

(죄 엑스)" = 코사인 엑스.

그럼 완전한 동일한 사인으로부터 그것은 사실이 될 것입니다:

그게 다입니다.) 코사인도 마찬가지입니다.

이제 예제를 수정해 보겠습니다.

피적분 함수의 예비 기본 변환

지금까지 가장 간단한 예가 있었습니다. 표가 어떻게 작동하는지에 대한 느낌을 얻고 공식을 선택할 때 실수하지 않기 위해.)

물론 우리는 몇 가지 간단한 변환을 수행했습니다. 즉, 요소를 꺼내어 항으로 나누었습니다. 그러나 대답은 여전히 어떤 식으로든 표면에 있습니다.) 그러나... 적분 계산이 테이블의 직접적인 적용에만 국한된다면 주변에 많은 공짜가 있을 것이고 인생은 지루해질 것입니다.)

이제 좀 더 인상적인 사례를 살펴보겠습니다. 아무것도 직접적으로 결정될 것 같지 않은 타입. 하지만 초등학교 공식이나 변형 몇 개만 기억해두면 답을 찾는 길은 간단하고 명확해집니다. :)

삼각법 공식의 적용

계속해서 삼각법을 재미있게 즐겨봅시다.

실시예 9

테이블을 닫아도 그런 기능은 없습니다. 하지만 학교 삼각법 잘 알려지지 않은 정체성이 있습니다.

이제 우리는 필요한 제곱 탄젠트를 표현하고 이를 적분 아래에 삽입합니다.

왜 이런 일이 일어났습니까? 그런 다음 이러한 변환 후에 우리의 적분은 두 개의 표 형식으로 축소되어 염두에 둘 것입니다!

보다:

이제 우리의 행동을 분석해 봅시다. 언뜻 보면 모든 것이 그 어느 때보다 단순해 보입니다. 하지만 이것에 대해 생각해 봅시다. 우리가 과제에 직면했다면 구별 짓다같은 기능을 사용한다면 정확히무엇을 해야할지 정확히 알았습니다. - 지원하세요 공식 복잡한 함수의 파생물:

그게 다야. 간단하고 문제가 없는 기술. 이는 항상 효과가 있으며 성공으로 이어지도록 보장됩니다.

적분은 어떻습니까? 그러나 여기서 우리는 삼각법을 뒤지고 적분을 표 형식으로 줄이는 데 도움이 될 것이라는 희망으로 모호한 공식을 파헤쳐야 했습니다. 그리고 그것이 우리에게 도움이 될 것이라는 것은 사실이 아니며 전혀 사실이 아닙니다. 이것이 바로 통합이 차별화보다 더 창의적인 과정인 이유입니다. 예술이라고 말하고 싶습니다. :) 그리고 이것은 최고가 아닙니다 복잡한 예. 아니면 더 있을 겁니다!

실시예 10

그것은 무엇에 영감을 주나요? 적분표는 여전히 무력합니다. 그렇습니다. 그러나 너희가 우리 금고를 다시 들여다보면 삼각법 공식, 그러면 매우 유용한 정보를 찾아볼 수 있습니다. 이중 각도 코사인 공식:

그래서 우리는 이 공식을 피적분 함수에 적용합니다. "알파" 역할에는 x/2가 있습니다.

우리는 다음을 얻습니다:

효과는 정말 놀랍지 않나요?

이 두 가지 예는 함수를 사전 변환한다는 것을 명확하게 보여줍니다. 통합 전그것은 완전히 받아들일 수 있고 때로는 삶을 훨씬 더 쉽게 만들어 줍니다! 그리고 적분에서 이 절차(피적분의 변환)는 미분에서보다 훨씬 더 정당합니다. 나중에 다 보게 될 거예요.)

몇 가지 일반적인 변환을 더 살펴보겠습니다.

약식 곱셈 공식, 괄호 열기, 비슷한 것을 가져오는 방법 및 항별 나눗셈 방법.

일반적인 진부한 학교 변화. 하지만 때로는 그들만이 구원을 받는 경우도 있습니다. 그렇습니다.)

실시예 11

미분을 계산한다면 문제가 없을 것입니다. 제품의 미분에 대한 공식과 계속 진행하십시오. 하지만 표준 공식은 완전한작품에서 존재하지 않습니다. 그리고 여기서 나가는 유일한 방법은 모든 괄호를 열어 적분 아래에서 다항식을 얻는 것입니다. 그리고 우리는 어떻게든 다항식을 적분할 것입니다.) 그러나 우리는 또한 괄호를 현명하게 열 것입니다: 축약된 곱셈 공식은 강력한 것입니다!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1

이제 우리는 다음을 계산합니다:

그리고 그게 전부입니다.)

실시예 12

다시 말하지만, 표준 공식은 분수의 적분존재하지 않습니다. 그러나 피적분의 분모에는 다음이 포함됩니다. 외롭다x.이는 상황을 근본적으로 변화시킵니다.) 분자를 분모 항으로 나누어서 끔찍한 부분을 표로 작성된 전력 함수의 무해한 합으로 줄입니다.

학위 통합 절차에 대해서는 구체적으로 언급하지 않겠습니다. 더 이상 작지 않습니다.)

거듭제곱 함수의 합을 적분해 보겠습니다. 표지판에 따르면.)

그게 다입니다.) 그런데 분모가 X가 아니고, x+1, 이와 같이:

용어별로 구분하는 이 트릭은 그렇게 쉽게 작동하지 않았을 것입니다. 이는 바로 분자에 근이 있고 분모에 단위가 있기 때문입니다. 뿌리를 뽑아야 겠습니다. 그러나 그러한 적분은 훨씬 더 복잡합니다. 그들에 대해 - 다른 수업에서.

보다! 기능을 약간만 수정하면 통합에 대한 접근 방식이 즉시 변경됩니다. 때로는 극적으로!) 명확한 표준 체계가 없습니다. 각 기능에는 고유한 접근 방식이 있습니다. 때로는 독특하기도 합니다.)

어떤 경우에는 분수로 변환하는 것이 훨씬 더 까다롭습니다.

실시예 13

그리고 여기서 적분을 표 형식의 집합으로 어떻게 줄일 수 있습니까? 여기에 표현식을 더하거나 빼면 교묘하게 피할 수 있습니다. x 2분수의 분자에 이어서 용어별로 나누는 방식입니다. 적분의 매우 영리한 트릭입니다! 마스터 클래스를 시청하세요! :)

이제 원래 분수를 두 분수의 차이로 대체하면 적분은 두 개의 표 형식으로 분할됩니다. 즉, 우리에게 이미 익숙한 거듭제곱 함수와 아크탄젠트(공식 8)입니다.

글쎄, 내가 뭐라고 말할 수 있니? 우와!

분자에서 항을 덧셈/뺄셈하는 이 방법은 유리분수를 적분하는 데 매우 널리 사용됩니다. 매우! 메모하는 것이 좋습니다.

실시예 14

여기서도 동일한 기술 규칙이 적용됩니다. 분자에서 분모의 표현식을 추출하려면 1을 더하거나 빼면 됩니다.

일반적으로 유리 분수(분자와 분모에 다항식이 있는)는 별개의 매우 광범위한 주제입니다. 요점은 유리 분수는 보편적인 통합 방법이 적용되는 매우 소수의 함수 클래스 중 하나라는 것입니다. 존재한다. 간단한 분수로 분해하는 방법과 결합 . 그러나 이 방법은 노동집약적이며 일반적으로 중포로 사용됩니다. 그에게 한 가지 이상의 수업이 제공될 것입니다. 그 동안 우리는 간단한 기능을 훈련하고 향상시키고 있습니다.

오늘의 교훈을 요약해 보겠습니다.

오늘 우리는 모든 뉘앙스와 함께 테이블을 사용하는 방법을 자세히 살펴보고 많은 예(가장 사소한 예는 아님)를 분석했으며 적분을 표 형식으로 줄이는 가장 간단한 기술에 대해 알게 되었습니다. 이제 우리는 이렇게 할 것입니다 언제나. 적분 아래에 어떤 끔찍한 기능이 있더라도, 다양한 변환의 도움으로 우리는 조만간 우리의 적분이 어떤 식으로든 표 형식의 집합으로 축소되도록 보장할 것입니다.

몇 가지 실용적인 팁.

1) 적분이 분수인 경우, 분자는 거듭제곱(근)의 합이고 분모는 다음과 같습니다. 외로운×파워, 그런 다음 분자를 분모로 용어별로 나누는 방법을 사용합니다. 근을 c의 거듭제곱으로 대체 분수 표시기 및 공식 1-2에 따른 작업.

2) 삼각법 구조에서는 먼저 삼각법의 기본 공식인 이중/삼중각을 시도합니다.

당신은 매우 운이 좋을 수도 있습니다. 아니면 아닐 수도 있습니다 ...

3) 필요한 경우(특히 다항식과 분수에서) 다음을 사용합니다.약식 곱셈 공식:

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

(a-b) 2 = 2 -2ab+b 2

(a-b)(a+b) = a 2 -b 2

4) 다항식과 분수를 통합할 때, 분자의 분모에 있는 식을 인위적으로 분리하려고 합니다. 분수는 단순화되고 적분은 표 형식의 조합으로 축소되는 경우가 많습니다.

글쎄, 친구들? 나는 당신이 적분을 좋아하기 시작했다고 봅니다. :) 그러면 우리는 예제를 스스로 해결하는 데 더 능숙해집니다.) 오늘의 자료는 이러한 문제에 성공적으로 대처하기에 충분합니다.

무엇? 모르시나요? 예! 아직 이 과정을 거치지 않았습니다.) 그러나 여기서 직접 통합할 필요는 없습니다. 그리고 학교 과정이 당신을 도울 수 있습니다!)

답변(혼란):

을 위한 최고의 결과 G.N.을 기반으로 한 문제집을 구매하는 것이 좋습니다. 버먼. 멋진 것들!

오늘은 그게 전부입니다. 행운을 빌어요!

복소적분

이 글은 부정적분이라는 주제를 마무리하며, 제가 보기엔 상당히 복잡하다고 생각되는 적분을 포함하고 있습니다. 이 강의는 더 어려운 사례를 현장에서 분석해 달라는 방문객들의 반복적인 요청으로 만들어졌습니다.

이 책의 독자는 잘 준비되어 있고 기본 통합 기술을 적용하는 방법을 알고 있다고 가정합니다. 적분에 대해 별로 자신이 없는 초보자나 사람들은 첫 번째 교훈을 참조해야 합니다. 무기한 적분. 솔루션의 예, 거의 처음부터 주제를 마스터할 수 있습니다. 경험이 많은 학생들은 내 기사에서 아직 접하지 못한 기술과 통합 방법에 익숙해질 수 있습니다.

어떤 적분을 고려할 것인가?

먼저 우리는 근이 있는 적분을 고려할 것입니다. 그 해에 대해 우리는 연속적으로 사용합니다. 변수 교체그리고 부품별 통합. 즉, 한 예에서는 두 가지 기술이 동시에 결합됩니다. 그리고 훨씬 더.

그러면 우리는 흥미롭고 독창적인 것을 알게 될 것입니다. 적분을 자기 자신으로 줄이는 방법. 꽤 많은 적분은 이런 식으로 해결됩니다.

프로그램의 세 번째 문제는 이전 기사에서 현금 데스크를 지나쳐 버린 복소 분수의 적분입니다.

넷째, 삼각함수의 추가 적분을 분석합니다. 특히, 시간이 많이 걸리는 범용 삼각법 치환을 피하는 방법이 있습니다.

(2) 피적분함수에서는 분자를 분모로 나눕니다.

(3) 부정적분의 선형성 성질을 이용한다. 마지막 적분에서는 즉시 함수를 미분 기호 아래에 넣습니다..

(4) 나머지 적분을 취합니다. 로그에서는 모듈러스 대신 괄호를 사용할 수 있습니다.

(5) 직접 교체에서 "te"를 표현하여 역 교체를 수행합니다.

마조히즘 학생들은 제가 방금 했던 것처럼 답을 미분하고 원래의 피적분 함수를 얻을 수 있습니다. 아니요, 아니요, 올바른 의미로 확인했습니다 =)

보시다시피, 솔루션 중에 우리는 두 가지 이상의 솔루션 방법을 사용해야 했기 때문에 이러한 적분을 처리하려면 자신감 있는 통합 기술과 상당한 경험이 필요합니다.

실제로는 물론 제곱근이 더 일반적입니다. 다음은 이에 대한 세 가지 예입니다. 독립적인 결정:

실시예 2

찾다 부정 적분

실시예 3

부정 적분 찾기

실시예 4

부정 적분 찾기

이러한 예제는 동일한 유형이므로 기사 끝 부분의 전체 솔루션은 예제 2에만 해당됩니다. 예제 3-4에는 동일한 답변이 있습니다. 결정을 시작할 때 어떤 대체품을 사용할지는 분명하다고 생각합니다. 동일한 유형의 예를 선택한 이유는 무엇입니까? 종종 그들의 역할에서 발견됩니다. 더 자주, 아마도 다음과 같은 것입니다. .

그러나 아크탄젠트, 사인, 코사인, 지수 및 기타 함수 아래에 항상 그런 것은 아닙니다. 선형 함수, 한 번에 여러 가지 방법을 사용해야 합니다. 많은 경우에 "쉽게 벗어나는" 것이 가능합니다. 즉, 교체 직후에 쉽게 취할 수 있는 간단한 적분이 얻어집니다. 위에 제안된 작업 중 가장 쉬운 작업은 예제 4로, 교체 후 상대적으로 간단한 적분을 얻습니다.

적분을 그 자체로 축소함으로써

재치 있고 아름다운 방법이다. 장르의 고전을 살펴 보겠습니다.

실시예 5

부정 적분 찾기

루트 아래에는 2차 이항식이 있으며, 이 예제를 적분하려고 하면 찻주전자가 몇 시간 동안 골치 아픈 일을 겪게 될 수 있습니다. 이러한 적분은 부분적으로 취해져서 그 자체로 축소됩니다. 원칙적으로는 어렵지 않습니다. 방법을 알고 있다면.

고려중인 적분을 표시합시다 라틴 문자문제 해결을 시작해 보겠습니다.

부분별로 통합해 보겠습니다.

(1) 항별 분할을 위한 피적분 함수를 준비합니다.

(2) 피적분 함수 항을 항별로 나눕니다. 모든 사람에게 명확하지 않을 수 있지만 더 자세히 설명하겠습니다.

(3) 부정적분의 선형성 성질을 이용한다.

(4) 마지막 적분("긴" 로그)을 취합니다.

이제 솔루션의 시작 부분을 살펴보겠습니다.

그리고 마지막에는:

무슨 일이에요? 우리가 조작한 결과 적분은 그 자체로 축소되었습니다!

시작과 끝을 동일시합시다.

기호가 변경되어 왼쪽으로 이동합니다.

그리고 두 개를 오른쪽으로 옮깁니다. 결과적으로:

엄밀히 말하면 상수를 더 일찍 추가했어야 했는데 마지막에 추가했습니다. 나는 여기에 엄격한 내용이 무엇인지 읽어볼 것을 적극 권장합니다.

메모: 보다 엄밀하게 말하면 솔루션의 마지막 단계는 다음과 같습니다.

따라서:

상수는 로 재지정될 수 있습니다. 왜 재지정될 수 있나요? 왜냐면 그 사람은 아직도 그걸 받아들이고 있으니까 어느값이며 이러한 의미에서 상수와 상수 사이에는 차이가 없습니다.
결과적으로:

지속적인 재주술을 사용하는 유사한 트릭이 다음에서 널리 사용됩니다. 미분 방정식. 그리고 나는 엄격해질 것입니다. 그리고 여기서 나는 불필요한 것들과 혼동하지 않고 통합 방법 자체에 정확하게주의를 집중하기 위해서만 그러한 자유를 허용합니다.

실시예 6

부정 적분 찾기

독립 솔루션을 위한 또 다른 전형적인 통합입니다. 완벽한 솔루션그리고 수업이 끝나면 답변이 나옵니다. 이전 예의 답변과 차이가 있습니다!

미만인 경우 제곱근위치한 이차 삼항식, 그러면 어쨌든 솔루션은 분석된 두 가지 사례로 귀결됩니다.

예를 들어, 적분을 고려하십시오. . 당신이 먼저 해야 할 일은 완전한 정사각형을 선택하세요:
.
다음으로, "어떤 결과도 없이" 수행되는 선형 대체가 수행됩니다.
, 결과적으로 적분 . 뭔가 익숙한 것 맞죠?

또는 이차 이항식을 사용한 다음 예:
완전한 정사각형을 선택하세요.
그리고 선형 치환 후에 우리는 적분을 얻습니다. 이 적분 역시 이미 논의한 알고리즘을 사용하여 해결됩니다.

적분을 그 자체로 줄이는 방법에 대한 두 가지 일반적인 예를 살펴보겠습니다.
– 사인을 곱한 지수의 적분;
– 코사인을 곱한 지수의 적분.

부품별로 나열된 적분에서는 두 번 적분해야 합니다.

실시예 7

부정 적분 찾기

피적분 함수는 사인에 지수를 곱한 값입니다.

우리는 부분별로 두 번 통합하고 적분 자체를 줄입니다.

부품에 의한 이중 통합의 결과로 적분 자체가 축소되었습니다. 우리는 솔루션의 시작과 끝을 동일시합니다.

부호를 변경하여 이를 왼쪽으로 이동하고 적분을 표현합니다.

준비가 된. 동시에 오른쪽을 빗질하는 것이 좋습니다. 괄호에서 지수를 꺼내고 사인과 코사인을 괄호 안에 "아름다운" 순서로 배치합니다.

이제 예제의 시작 부분, 더 정확하게는 부분별 통합으로 돌아가 보겠습니다.

우리는 지수를 다음과 같이 지정했습니다. 질문이 생깁니다: 항상 으로 표시되어야 하는 지수입니까? 반드시 그런 것은 아닙니다. 실제로, 고려되는 적분에서 근본적으로 상관없어, 는 무엇을 의미합니까? 다른 방향으로 갈 수도 있습니다.

이것이 가능한 이유는 무엇입니까? 지수는 (미분과 적분 중에 모두) 그 자체로 변하기 때문에 사인과 코사인은 (다시 미분과 적분 중에 모두) 서로 서로 변합니다.

즉, 삼각함수를 나타낼 수도 있습니다. 그러나 고려된 예에서는 분수가 나타나기 때문에 이는 덜 합리적입니다. 원한다면 두 번째 방법을 사용하여 이 예제를 풀어볼 수 있습니다. 답변은 일치해야 합니다.

실시예 8

부정 적분 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 결정하기 전에 이 경우 지수 함수 또는 삼각 함수로 지정하는 것이 더 유리한 것이 무엇인지 생각해 보십시오. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

그리고 물론 대부분의 대답은 다음과 같습니다. 이번 수업차별화를 통해 확인하는 방법은 간단합니다!

고려된 예는 가장 복잡하지 않았습니다. 실제로 적분은 상수가 지수와 삼각 함수의 인수 모두에 있는 경우에 더 일반적입니다(예: ). 이런 적분에 많은 사람들이 헷갈려 할 것이고, 나도 종종 헷갈린다. 사실은 용액에 분수가 나타날 확률이 높으며, 부주의로 인해 무언가를 잃어버리기 매우 쉽습니다. 또한 기호에 오류가 발생할 가능성이 높으며 지수에 마이너스 기호가 있으므로 추가 어려움이 발생합니다.

최종 단계에서 결과는 대개 다음과 같습니다.

풀이가 끝날 때에도 매우 주의를 기울여 분수를 정확하게 이해해야 합니다.

복소수 통합하기

우리는 수업의 적도에 천천히 접근하고 분수의 적분을 고려하기 시작합니다. 다시 말하지만, 그것들 모두가 매우 복잡한 것은 아닙니다. 단지 어떤 이유로든 다른 기사에서는 예제가 약간 "주제에서 벗어났습니다".

뿌리라는 주제를 이어가다

실시예 9

부정 적분 찾기

근 아래의 분모에는 이차 삼항식과 근 외부에 "X" 형태의 "부속물"이 있습니다. 이 유형의 적분은 표준 대체를 사용하여 풀 수 있습니다.

우리는 다음을 결정합니다:

여기서 교체는 간단합니다.

교체 후의 삶을 살펴 보겠습니다.

(1) 치환 후, 근 아래의 항을 공통 분모로 줄입니다.
(2) 뿌리 아래에서 꺼냅니다.
(3) 분자와 분모는 으로 감소됩니다. 동시에 루트 아래에서 편리한 순서로 용어를 재배열했습니다. 약간의 경험이 있으면 주석이 달린 작업을 구두로 수행하여 (1), (2) 단계를 건너뛸 수 있습니다.
(4) 수업에서 기억하는 것처럼 결과 적분 일부 분수의 통합, 결정중 완전한 제곱 추출 방법. 완전한 정사각형을 선택하세요.
(5) 적분을 통해 일반적인 "긴" 로그를 얻습니다.
(6) 역교체를 실시합니다. 처음에 이면 뒤로: .
(7) 최종 조치는 결과를 바로잡는 것을 목표로 합니다. 루트 아래에서 용어를 다시 공통 분모로 가져오고 루트 아래에서 제거합니다.

실시예 10

부정 적분 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 여기에서는 단독 "X"에 상수가 추가되며 교체는 거의 동일합니다.

추가로 수행해야 할 유일한 작업은 수행되는 교체에서 "x"를 표현하는 것입니다.

강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

때때로 그러한 적분에서는 근 아래에 2차 이항식이 있을 수 있습니다. 이는 해법의 방법을 변경하지 않으며 훨씬 더 간단할 것입니다. 차이점을 느껴보세요:

실시예 11

부정 적분 찾기

실시예 12

부정 적분 찾기

간단한 솔루션그리고 수업이 끝나면 대답합니다. 예제 11은 정확히 다음과 같다는 점에 유의해야 합니다. 이항적분, 수업 시간에 논의된 해결 방법 비합리적 함수의 적분.

분해 불가능한 2차 다항식의 거듭제곱 적분

(분모의 다항식)

좀 더 드문 유형의 적분이지만 그럼에도 불구하고 실제 예제에서는 발생합니다.

실시예 13

부정 적분 찾기

하지만 행운의 숫자 13의 예로 돌아가 보겠습니다(솔직히 추측이 정확하지 않았습니다). 이 적분은 또한 해결 방법을 모른다면 상당히 실망스러울 수 있는 적분 중 하나입니다.

솔루션은 인위적인 변환으로 시작됩니다.

분자를 분모로 나누는 방법은 모두가 이미 이해하고 있다고 생각합니다.

결과 적분은 다음과 같이 부분적으로 취해집니다.

형식의 적분의 경우 ( – 자연수) 철회됨 반복되는감소 공식:
, 어디 – 1도 낮은 적분.

풀린 적분에 대한 이 공식의 유효성을 검증해 보겠습니다.
이 경우: , , 다음 공식을 사용합니다.

보시다시피 대답은 동일합니다.

실시예 14

부정 적분 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 샘플 솔루션에서는 위의 공식을 두 번 연속 사용합니다.

학위 이하인 경우 분할할 수 없는제곱 삼항식인 경우 완전제곱식을 분리하여 해를 이항식으로 축소합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

분자에 추가 다항식이 있으면 어떻게 되나요? 이 경우에는 다음과 같은 방법이 사용됩니다. 불확실한 계수, 피적분 함수는 분수의 합으로 확장됩니다. 하지만 실제로는 그런 예가 있습니다 한 번도 만난 적이 없다, 그래서 기사에서 이 사건을 놓쳤습니다 분수-유리 함수의 적분, 이제 건너뛰겠습니다. 여전히 그러한 통합이 발생하면 교과서를 살펴보십시오. 모든 것이 간단합니다. 나는 물질(간단한 것이라도)을 포함하는 것이 바람직하지 않다고 생각하는데, 만남의 확률은 0이 되는 경향이 있습니다.

복잡한 삼각 함수 통합

대부분의 예에서 형용사 "복잡함"은 대체로 조건부입니다. 탄젠트와 코탄젠트부터 시작해 보겠습니다. 높은 학위. 사용된 풀이 방법의 관점에서 볼 때, 탄젠트와 코탄젠트는 거의 동일하므로, 적분을 풀기 위해 시연된 방법이 코탄젠트에도 유효함을 암시하면서 탄젠트에 대해 더 이야기하겠습니다.

위 강의에서 살펴본 내용은 보편적인 삼각법 치환특정 유형의 적분을 풀기 위해 삼각함수. 만능 삼각법 치환의 단점은 이를 사용하면 계산이 어렵고 번거로운 적분이 발생하는 경우가 많다는 것입니다. 그리고 어떤 경우에는 보편적인 삼각법 치환을 피할 수 있습니다!

또 다른 표준적인 예인 사인으로 나눈 적분을 고려해 보겠습니다.

실시예 17

부정 적분 찾기

여기에서는 범용 삼각법 대체를 사용하여 답을 얻을 수 있지만 더 합리적인 방법이 있습니다. 각 단계에 대한 설명과 함께 완전한 솔루션을 제공하겠습니다.

(1) 이중각의 사인에 대해 삼각법 공식을 사용합니다.
(2) 인위적인 변환을 수행합니다. 분모를 나누고 를 곱합니다.
(3) 에 의해 잘 알려진 공식분모에서 분수를 접선으로 바꿉니다.
(4) 함수를 미분 기호 아래로 가져옵니다.
(5) 적분을 취합니다.

쌍 간단한 예독립적인 솔루션의 경우:

실시예 18

부정 적분 찾기

참고: 첫 번째 단계는 축소 공식을 사용하는 것입니다. 이전 예와 유사한 작업을 신중하게 수행합니다.

실시예 19

부정 적분 찾기

음, 이것은 매우 간단한 예입니다.

수업이 끝나면 완전한 솔루션과 답변을 얻을 수 있습니다.

이제 아무도 적분에 문제가 없을 것이라고 생각합니다.
등.

이 방법의 아이디어는 무엇입니까? 아이디어는 변환과 삼각법 공식을 사용하여 탄젠트와 탄젠트 도함수만 피적분 함수로 구성하는 것입니다. 즉, 우리는 다음을 교체하는 것에 대해 이야기하고 있습니다. . 예제 17-19에서 우리는 실제로 이 대체를 사용했지만 적분은 너무 단순해서 동등한 동작(미분 부호 아래에 함수를 포함)으로 처리했습니다.

이미 언급했듯이 코탄젠트에 대해서도 비슷한 추론을 수행할 수 있습니다.

위 대체를 적용하기 위한 공식적인 전제 조건도 있습니다.

코사인과 사인의 거듭제곱의 합은 음의 정수 짝수입니다., 예를 들어:

적분 – 음의 정수 짝수.

! 메모 : 피적분 함수에 사인만 또는 코사인만 포함된 경우 적분은 음의 홀수 차수에도 적용됩니다(가장 간단한 경우는 예제 번호 17, 18에 있습니다).

이 규칙을 기반으로 하는 몇 가지 더 의미 있는 작업을 살펴보겠습니다.

실시예 20

부정 적분 찾기

사인과 코사인의 거듭제곱의 합: 2 – 6 = –4는 음의 정수 짝수입니다. 이는 적분이 탄젠트 및 그 도함수로 축소될 수 있음을 의미합니다.

(1) 분모를 변형해 봅시다.
(2) 잘 알려진 공식을 사용하여 다음을 얻는다.
(3) 분모를 변형해 봅시다.
(4) 우리는 공식을 사용합니다 .
(5) 함수를 미분 기호 아래로 가져옵니다.
(6) 교체를 실시합니다. 경험이 많은 학생들은 교체를 수행하지 않을 수도 있지만 접선을 한 글자로 바꾸는 것이 더 좋습니다. 혼동될 위험이 적습니다.

실시예 21

부정 적분 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다.

조금만 기다려주세요. 챔피언십 라운드가 곧 시작됩니다 =)

종종 피적분 함수에는 "hodgepodge"가 포함됩니다.

실시예 22

부정 적분 찾기

이 적분은 처음에 이미 친숙한 생각으로 즉시 이어지는 접선을 포함합니다.

모든 것이 이미 위에서 논의되었으므로 처음부터 인공 변형과 나머지 단계는 설명하지 않고 그대로 두겠습니다.

자신만의 솔루션을 위한 몇 가지 창의적인 예:

실시예 23

부정 적분 찾기

실시예 24

부정 적분 찾기

예, 물론 사인과 코사인의 거듭제곱을 낮추고 보편적인 삼각법 대체를 사용할 수 있지만 접선을 통해 수행되면 솔루션이 훨씬 더 효율적이고 짧아집니다. 강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

모든 학생이 알아야 할 주요 통합

나열된 적분은 기초, 기본의 기초입니다. 이 공식은 꼭 기억해 두셔야 합니다. 더 복잡한 적분을 계산할 때는 이를 지속적으로 사용해야 합니다.

공식 (5), (7), (9), (12), (13), (17) 및 (19)에 특히 주의하십시오. 적분할 때 답에 임의의 상수 C를 추가하는 것을 잊지 마세요!

상수의 적분

∫ A d x = A x + C (1)

거듭제곱 함수 통합하기

사실, 공식 (5)와 (7)로만 제한하는 것이 가능했지만 이 그룹의 나머지 적분은 너무 자주 발생하므로 약간 주의를 기울일 가치가 있습니다.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | 엑스 | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ xn d x = xn + 1n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

지수 함수와 쌍곡선 함수의 적분

물론 (아마도 암기에 가장 편리한) 식 (8)은 식 (9)의 특별한 경우로 볼 수 있다. 쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인의 적분에 대한 공식 (10)과 (11)은 공식 (8)에서 쉽게 파생되지만 이러한 관계를 간단히 기억하는 것이 좋습니다.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

삼각 함수의 기본 적분

학생들이 자주 범하는 실수는 공식 (12)와 (13)의 부호를 혼동한다는 것입니다. 사인의 미분은 코사인과 동일하다는 것을 기억하면서 어떤 이유로 많은 사람들이 적분을 믿습니다. sinx 함수 cosx와 같습니다. 이것은 사실이 아닙니다! 사인의 적분은 "마이너스 코사인"과 동일하지만 cosx의 적분은 "정사인"과 같습니다.

∫ 사인 x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = 사인 x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 죄 2 x d x = − c t g x + C (15)

역삼각함수로 감소하는 적분

아크탄젠트로 이어지는 공식 (16)은 당연히 a=1에 대한 공식 (17)의 특별한 경우입니다. 마찬가지로 (18)은 (19)의 특별한 경우이다.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = 아크사인 x + C = − 아크코사인 x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = 아크사인 x a + C = − 아크코사인 x a + C (a > 0) (19)

더 복잡한 적분

이 공식을 기억하는 것도 좋습니다. 또한 꽤 자주 사용되며 출력이 매우 지루합니다.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 아크사인 x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

통합의 일반 규칙

1) 두 함수의 합의 적분은 해당 적분의 합과 같습니다. ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) 두 함수의 차이의 적분은 해당 적분의 차이와 같습니다. ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26) 3) 상수는 적분 부호에서 취할 수 있습니다: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)속성 (26)은 단순히 속성 (25)와 (27)의 조합임을 쉽게 알 수 있습니다.

4) 다음과 같은 경우 복잡한 함수의 적분

내부 기능 선형이다: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)여기서 F(x)는 함수 f(x)에 대한 역도함수입니다. 참고: 이 공식은 내부 함수가 Ax + B인 경우에만 작동합니다.

중요: 존재하지 않습니다

보편적인 공식

두 함수의 곱의 적분 및 분수의 적분:

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

물론 이는 부분이나 제품을 통합할 수 없다는 의미는 아닙니다. 단지 (30)과 같은 적분을 볼 때마다 이를 "싸울" 방법을 고안해야 한다는 것입니다. 어떤 경우에는 부분별 통합이 도움이 될 것이고, 다른 경우에는 변수를 변경해야 하며 때로는 "학교" 대수학 또는 삼각법 공식도 도움이 될 수 있습니다.

부정 적분 계산의 간단한 예

예 1. 적분 구하기: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

공식 (25)와 (26)을 사용하겠습니다 (함수의 합 또는 차의 적분은 해당 적분의 합 또는 차와 같습니다. 우리는 다음을 얻습니다. ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12d x

X 3 − 2 cos x − 7e x + 12 x + C

미분을 통해 자신을 테스트하십시오. 결과 함수의 도함수를 취하고 그것이 원래 피적분 함수와 동일한지 확인하십시오.