평면 위의 선은 특정 속성을 갖는 이 평면 위의 점 모음인 반면, 주어진 선 위에 있지 않은 점은 이러한 속성을 갖지 않습니다. 선의 방정식은 이 선 위에 있는 점의 좌표 간의 분석적으로 표현된 관계를 정의합니다. 이 관계를 방정식으로 나타내자
에프( x,y)=0. (2.1)
(2.1)을 만족하는 숫자 쌍은 임의적이지 않습니다. 엑스주어진 다음 ~에아무것도 될 수 없어, 의미 ~에와 관련된 엑스. 변경할 때 엑스변화 ~에, 좌표가 있는 점( x,y)는 이 줄을 설명합니다. 만약 M점의 좌표가 0( 엑스 0 ,~에 0) 방정식 (2.1)을 충족합니다. 즉 에프( 엑스 0 ,~에 0)=0은 진정한 평등이며, 점 M 0이 이 선 위에 있습니다. 그 반대도 마찬가지입니다.
정의. 평면 위의 직선 방정식은 이 직선 위에 있는 임의의 점의 좌표로 만족되고, 이 직선 위에 있지 않은 점의 좌표로는 만족되지 않는 방정식입니다..
특정 선의 방정식이 알려진 경우 이 선의 기하학적 특성에 대한 연구는 해당 방정식에 대한 연구로 축소될 수 있습니다. 이것이 분석 기하학의 주요 아이디어 중 하나입니다. 방정식을 연구하기 위해 선의 속성 연구를 단순화하는 잘 개발된 수학적 분석 방법이 있습니다.
라인을 고려할 때 용어가 사용됩니다. 현재 지점 line – 변수 포인트 M( x,y), 이 선을 따라 이동합니다. 좌표 엑스그리고 ~에현재 지점이 호출됩니다. 현재 좌표라인 포인트.
방정식 (2.1)에서 명시적으로 표현할 수 있다면 ~에
~을 통해 엑스, 즉 방정식 (2.1)을 다음과 같은 형식으로 작성하면 이러한 방정식에 의해 정의되는 곡선이 호출됩니다. 일정기능 에프엑스(f(x)).
1. 방정식은 다음과 같습니다: , 또는 . 만약에 엑스임의의 값을 취한 다음 ~에다음과 같은 값을 취합니다. 엑스. 결과적으로 이 방정식으로 정의된 선은 좌표축 Ox 및 Oy에서 등거리에 있는 점으로 구성됩니다. 이는 I-III 좌표 각도의 이등분선입니다(그림 2.1의 직선).
방정식 는 II-IV 좌표 각도의 이등분선을 결정합니다(그림 2.1의 직선).
0x0xC0x
쌀. 2.1 그림. 2.2 그림. 2.3
2. 방정식은 다음과 같습니다. 여기서 C는 상수입니다. 이 방정식은 다음과 같이 다르게 작성할 수 있습니다. 이 방정식은 해당 점, 세로 좌표에 의해서만 충족됩니다. ~에가로좌표 값에 대해 C와 같습니다. 엑스. 이 점들은 Ox 축과 평행한 직선 위에 있습니다(그림 2.2). 마찬가지로 방정식은 Oy 축에 평행한 직선을 정의합니다(그림 2.3).
F( 형식의 모든 방정식이 있는 것은 아닙니다. x,y)=0은 평면의 선을 정의합니다. 방정식은 단일 점 O(0,0)에 의해 충족되고 방정식은 평면의 어떤 점에서도 충족되지 않습니다.
주어진 예에서 우리는 주어진 방정식을 사용하여 이 방정식에 의해 결정되는 선을 구성했습니다. 역 문제를 생각해 봅시다: 주어진 선을 사용하여 방정식을 구성합니다.
3. 점 P( a,b) 그리고
반경 R .
○ 점 P에 중심이 있고 반지름 R이 있는 원은 점 P로부터 거리 R에 위치한 점들의 집합입니다. 이는 원 위에 있는 임의의 점 M에 대해 MP = R이지만 점 M이 위에 있지 않은 경우 원, MP ≠ R.. ●
복습해 봅시다. * 이차 방정식이라고 불리는 방정식은 무엇입니까? * 불완전 이차 방정식이라고 불리는 방정식은 무엇입니까? * 어떤 이차방정식을 축소라고 부르나요? * 이차 방정식의 근이라고 불리는 것은 무엇입니까? * 이차 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까? 어떤 방정식을 이차 방정식이라고 하나요? 불완전 이차 방정식이라고 불리는 방정식은 무엇입니까? 어떤 이차방정식을 축소라고 부르나요? 이차 방정식의 근은 무엇입니까? 이차 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까? 어떤 방정식을 이차 방정식이라고 하나요? 불완전 이차 방정식이라고 불리는 방정식은 무엇입니까? 어떤 이차방정식을 축소라고 부르나요? 이차 방정식의 근은 무엇입니까? 이차 방정식을 푼다는 것은 무엇을 의미합니까?
이차 방정식을 푸는 알고리즘: 1. 이차 방정식을 푸는 가장 합리적인 방법 결정 2. 가장 합리적인 풀이 방법 선택 3. 이차 방정식의 근 수 결정 4. 이차 방정식의 근 찾기 더 나은 방법 암기하려면 표를 작성하세요... 더 잘 암기하려면 표를 작성하세요... 더 잘 암기하려면 표를 작성하세요...
추가 조건 방정식 근 예 1. b = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1.2 = ±(c/a), 여기서 c/a 0. b) c/a 0이면 해가 없습니다. 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/2 a, 여기서 D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – 짝수(b = 2k), a 0, in 0, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1.2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, 여기서 k = 6. Vieta 정리 x 2 + px + q의 역정리 = 0x1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q
II. 특별한 방법 7. 이항식의 제곱을 분리하는 방법. 목표: 일반 방정식을 불완전한 이차 방정식으로 줄입니다. 참고: 이 방법은 모든 이차 방정식에 적용할 수 있지만 항상 사용하기 편리한 것은 아닙니다. 이차 방정식의 근에 대한 공식을 증명하는 데 사용됩니다. 예: 방정식 풀기 x 2 -6 x+8=0 8. 가장 높은 계수를 "전송"하는 방법. 2차 방정식 ax 2 + bx + c = 0 및 y 2 +by+ac=0의 근은 다음 관계로 연결됩니다. 참고: 이 방법은 "편리한" 계수를 갖는 2차 방정식에 적합합니다. 어떤 경우에는 이차 방정식을 구두로 풀 수 있습니다. 예: 방정식 2 x 2 -9 x-5=0 풀기 정리에 기초: 예: 방정식 157 x x-177=0 9를 풉니다. 9. 이차 방정식 a+b+c=0에서 다음 중 하나입니다. 근은 1이고 Vieta의 정리에 따르면 두 번째는 c / a 10과 같습니다. 이차 방정식 a + c = b에서 근 중 하나는 -1이고 두 번째는 Vieta의 정리에 따르면 정리는 –c / a와 같습니다. 예: 방정식 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a를 풉니다.
III. 방정식을 푸는 일반적인 방법 11. 인수분해 방법. 목표: 일반 2차 방정식을 A(x)·B(x)=0 형식으로 줄입니다. 여기서 A(x)와 B(x)는 x에 대한 다항식입니다. 방법: 괄호에서 공통 인수를 제거합니다. 축약된 곱셈 공식을 사용합니다. 그룹화 방법. 예: 방정식 3 x 2 +2 x-1=0 풀기 12. 새 변수를 도입하는 방법. 새로운 변수를 잘 선택하면 방정식의 구조가 더욱 투명해집니다. 예: 방정식 풀기 (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8
목표:평면 위의 선 개념을 고려하고 예를 들어보세요. 선의 정의를 바탕으로 평면 위의 선 방정식의 개념을 소개합니다. 직선의 유형을 고려하고 직선을 정의하는 예와 방법을 제시하십시오. 직선 방정식을 일반 형태에서 각도 계수를 사용하여 "세그먼트 단위"의 직선 방정식으로 변환하는 기능을 강화합니다.
- 평면 위의 선 방정식.
- 평면 위의 직선 방정식. 방정식의 유형.
- 직선을 지정하는 방법.
1. x와 y를 두 개의 임의 변수로 둡니다.
정의: F(x,y)=0 형식의 관계를 호출합니다. 방정식 , 숫자 x와 y 쌍에 대해 참이 아닌 경우.
예: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.
F(x,y)=0이 임의의 x, y에 대해 성립하는 경우 F(x,y) = 0은 항등식입니다.
예: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0
그들은 숫자 x가 0이고 y가 0이라고 말합니다. 방정식을 만족시키다 , 이를 이 방정식에 대입하면 진정한 평등이 됩니다.
분석기하학의 가장 중요한 개념은 선방정식의 개념이다.
정의: 주어진 직선의 방정식은 방정식 F(x,y)=0이며, 이는 이 직선 위에 있는 모든 점의 좌표로 만족되고 이 직선 위에 있지 않은 점의 좌표로는 만족되지 않습니다.
방정식 y = f(x)로 정의된 선을 f(x)의 그래프라고 합니다. 변수 x와 y는 변수 지점의 좌표이기 때문에 현재 좌표라고 합니다.
일부 예라인 정의.
1) x – y = 0 => x = y. 이 방정식은 직선을 정의합니다.
2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => 점은 방정식 x - y = 0 또는 방정식 x + y = 0을 충족해야 합니다. 이는 평면에서 다음과 같습니다. 좌표 각도의 이등분선인 한 쌍의 교차 직선:
3) x 2 + y 2 = 0. 이 방정식은 단 하나의 점 O(0,0)으로 만족됩니다.
2. 정의: 평면 위의 모든 직선은 1차 방정식으로 지정될 수 있습니다.
도끼 + 우 + C = 0,
더욱이, 상수 A와 B는 동시에 0이 아닙니다. 즉, A 2 + B 2 ¹ 0. 이 1차 방정식은 다음과 같습니다. 직선의 일반 방정식.
상수 A, B, C의 값에 따라 다음과 같은 특별한 경우가 가능합니다.
C = 0, A 1 0, B 1 0 – 직선이 원점을 통과합니다.
A = 0, B 1 0, C 1 0 (By + C = 0) - Ox 축에 평행한 직선
B = 0, A 1 0, C 1 0 (Ax + C = 0) – Oy 축에 평행한 직선
B = C = 0, A ¹ 0 – 직선이 Oy 축과 일치합니다.
A = C = 0, B ¹ 0 – 직선이 Ox 축과 일치합니다.
직선의 방정식은 주어진 초기 조건에 따라 다양한 형태로 표현될 수 있습니다.
각도 계수가 있는 직선의 방정식.
직선 Ax + By + C = 0의 일반 방정식이 다음 형식으로 축소되면:
을 표시하면 결과 방정식이 호출됩니다. 기울기가 k인 직선의 방정식.
세그먼트의 직선 방정식.
직선 Ах + Ву + С = 0 С 1 0의 일반 방정식에서 –С로 나누면 다음을 얻습니다. 또는 , 여기서
계수의 기하학적 의미는 계수가 에이는 Ox 축과 선의 교차점 좌표이고, 비– Oy 축과 직선의 교차점 좌표.
직선의 정규 방정식.
방정식 Ax + By + C = 0의 양변을 다음과 같은 숫자로 나누면 정규화 인자, 그러면 우리는 얻는다
xcosj + ysinj - p = 0 – 직선의 정규 방정식.
정규화 인자의 부호 ±는 m×С가 되도록 선택되어야 합니다.< 0.
p는 원점에서 직선으로 떨어진 수직선의 길이이고, j는 Ox 축의 양의 방향과 이 수직선이 이루는 각도입니다.
3. 점과 기울기를 이용한 직선의 방정식.
선의 각도 계수를 k와 같게 하면 선은 점 M(x 0, y 0)을 통과합니다. 그런 다음 직선의 방정식은 다음 공식으로 구됩니다. y – y 0 = k(x – x 0)
두 점을 지나는 선의 방정식.
두 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 M 2 (x 2, y 2, z 2)가 공간에 주어지면 이 점을 통과하는 선의 방정식은 다음과 같습니다.
분모 중 하나라도 0이면 해당 분자는 0으로 설정되어야 합니다.
평면에서는 위에 적힌 직선의 방정식이 단순화됩니다.
x 1 1 x 2이고 x = x 1인 경우, x 1 = x 2인 경우.
분수 = k가 호출됩니다. 경사직접.
평면 위의 선은 두 가지 방정식을 사용하여 정의할 수 있습니다.
어디 엑스그리고 y-임의의 지점의 좌표 중(엑스; ~에), 이 줄에 누워 있고, 티- 라는 변수 매개변수.
매개변수 티점의 위치를 결정합니다( 엑스; ~에) 비행기에서.
그렇다면 만약
그런 다음 매개변수 값 티= 2는 평면의 점 (4; 1)에 해당합니다. 왜냐하면 엑스 = 2 + 2 = 4, 와이= 2 2 – 3 = 1.
매개변수인 경우 티변화하면 평면 위의 점이 이동하여 이 선을 설명합니다. 곡선을 정의하는 이 방법을 호출합니다. 파라메트릭및 방정식 (1) - 파라메트릭 선 방정식.
매개변수 형식으로 지정된 잘 알려진 곡선의 예를 고려해 보겠습니다.
1) 아스트로이드:
어디 에이> 0 – 상수 값.
~에 에이= 2의 형식은 다음과 같습니다.
그림 4. 아스트로이드
2) 사이클로이드: 
어디 에이> 0 – 상수.
~에 에이= 2의 형식은 다음과 같습니다.
그림 5. 사이클로이드
벡터선 방정식
평면 위의 선을 지정할 수 있습니다. 벡터 방정식
어디 티– 스칼라 변수 매개변수.
각 매개변수 값 티 0은 특정 평면 벡터에 해당합니다. 매개변수를 변경할 때 티벡터의 끝은 특정 선을 설명합니다(그림 6).
좌표계의 선의 벡터 방정식 오오
두 개의 스칼라 방정식(4)에 해당합니다. 즉 투영 방정식
선의 벡터 방정식의 좌표축에는 매개변수 방정식이 있습니다.
 |
그림 6. 벡터선 방정식
벡터 방정식과 파라메트릭 선 방정식은 기계적 의미를 갖습니다. 점이 평면에서 이동하면 표시된 방정식이 호출됩니다. 운동 방정식, 선 - 궤도점, 매개변수 티- 시간.
방정식 풀기
방정식의 근을 찾는 그래픽 방법을 보여주는 그림
방정식을 푸는 것은 이러한 평등이 달성되는 인수의 값을 찾는 작업입니다. 인수의 가능한 값에 추가 조건(정수, 실수 등)을 부과할 수 있습니다.
다른 루트를 대체하면 잘못된 설명이 생성됩니다.
.따라서 두 번째 루트는 외부 루트로 삭제되어야 합니다.
방정식의 유형
대수적, 매개변수적, 초월적, 함수적, 미분적 및 기타 유형의 방정식이 있습니다.
일부 방정식 클래스에는 분석적 해법이 있는데, 이는 정확한 근값을 제공할 뿐만 아니라 매개변수를 포함할 수 있는 공식 형식으로 해법을 작성할 수 있기 때문에 편리합니다. 분석식을 사용하면 근을 계산할 수 있을 뿐만 아니라 매개변수 값에 따라 근의 존재와 수량을 분석할 수 있는데, 이는 근의 특정 값보다 실제 사용에 훨씬 더 중요한 경우가 많습니다.
분석적 해법이 알려진 방정식에는 4차 방정식, 즉 1차 방정식, 2차 방정식, 3차 방정식 및 4차 방정식과 같은 대수 방정식이 포함됩니다. 일반적인 경우 더 높은 차수의 대수 방정식에는 분석적 솔루션이 없지만 일부는 더 낮은 차수의 방정식으로 축소될 수 있습니다.
초월 함수를 포함하는 방정식을 초월 방정식이라고 합니다. 그 중에서도 삼각 함수의 영점은 잘 알려져 있기 때문에 일부 삼각 방정식에 대한 분석 솔루션이 알려져 있습니다.
일반적으로 해석적 해를 구할 수 없을 때에는 수치해석법을 사용한다. 수치적 방법은 정확한 해를 제공하지 않지만 근이 미리 결정된 특정 값에 놓이는 간격을 좁힐 수만 있습니다.
방정식의 예
또한보십시오
문학
- Bekarevich, A. B. 학교 수학 과정의 방정식 / A. B. Bekarevich. -M., 1968.
- Markushevich, L. A. 고등학교 대수 과정의 최종 반복에서 방정식과 부등식 / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / 학교에서 수학. - 2004. - 1위.
- Kaplan Y. V. Rivnyannya. - 키예프: 라디얀스카 학교, 1968.
- 방정식- 소련 대백과사전 기사
- 방정식// 콜리어의 백과사전. - 열린사회. 2000.
- 방정식// 전 세계 백과사전
- 방정식// 수학 백과사전. -M.: 소련 백과사전. I. M. 비노그라도프. 1977-1985.
모래밭
- EqWorld - 수학 방정식의 세계 - 수학 방정식 및 방정식 시스템에 대한 광범위한 정보가 포함되어 있습니다.
위키미디어 재단.
2010.:동의어:
- 반의어
- 카드짐바, 라울 드줌코비치
에스컴퓨터
다른 사전에 "방정식"이 무엇인지 확인하십시오.방정식 대형 폴리테크닉 백과사전
다른 사전에 "방정식"이 무엇인지 확인하십시오.- 방정식, 방정식, 참조. 1. Ch.에 따른 조치 채널에 따라 균등화 및 조건을 조정합니다. 이퀄라이징. 평등한 권리. 시간 방정식(진태양시를 평균태양시로 변환, 사회와 과학에서 인정됨.... ... Ushakov의 설명 사전
다른 사전에 "방정식"이 무엇인지 확인하십시오.- (방정식) 수학적 표현이 특정 값을 취해야 한다는 요구 사항입니다. 예를 들어, 2차 방정식은 ax2+bx+c=0으로 작성됩니다. 해는 주어진 방정식이 항등원이 되는 x 값입니다. 안에… … 경제사전
다른 사전에 "방정식"이 무엇인지 확인하십시오.- 주어진 두 함수의 값이 동일한 인수 값을 찾는 문제에 대한 수학적 표현입니다. 이러한 함수가 의존하는 인수를 미지수라고 하며, 함수 값이 동일한 미지수의 값을... ... 큰 백과사전
다른 사전에 "방정식"이 무엇인지 확인하십시오.- EQUATION, 등호로 연결된 두 표현; 이러한 표현식에는 미지수라고 불리는 하나 이상의 변수가 포함됩니다. 방정식을 푼다는 것은 방정식이 항등원이 되는 미지수의 모든 값을 찾거나... 현대 백과사전
