Funkcijų grafikas yra vaizdinis funkcijos elgsenos vaizdas koordinačių plokštuma. Grafikai padeda suprasti įvairius funkcijos aspektus, kurių negalima nustatyti pagal pačią funkciją. Galite sudaryti daugelio funkcijų grafikus ir kiekvienai iš jų bus suteikta konkreti formulė. Bet kurios funkcijos grafikas sudaromas naudojant konkretų algoritmą (jei pamiršote tikslų konkrečios funkcijos grafiko sudarymo procesą).

Žingsniai

Tiesinės funkcijos grafikas

Nustatykite, ar funkcija yra tiesinė. Tiesinė funkcija pateikiama pagal formos formulę F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) arba y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(pvz., ), o jo grafikas yra tiesi linija. Taigi formulė apima vieną kintamąjį ir vieną konstantą (konstantą) be jokių eksponentų, šaknies ženklų ar pan. Jei pateikiama panašaus tipo funkcija, gana paprasta nubraižyti tokios funkcijos grafiką. Štai kiti linijinių funkcijų pavyzdžiai:

Naudokite konstantą, kad pažymėtumėte tašką Y ašyje. Konstanta (b) yra taško, kuriame grafikas kerta Y ašį, „y“ koordinatė. Tai yra taškas, kurio „x“ koordinatė yra lygi 0. Taigi, jei x = 0 yra pakeistas į formulę. , tada y = b (konstanta). Mūsų pavyzdyje y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta lygi 5, tai yra, susikirtimo taškas su Y ašimi turi koordinates (0,5). Nubraižykite šį tašką koordinačių plokštumoje.

Raskite linijos nuolydį. Jis lygus kintamojo daugikliui. Mūsų pavyzdyje y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) su kintamuoju "x" yra koeficientas 2; taigi, nuolydžio koeficientas lygus 2. Nuolydžio koeficientas lemia tiesės pasvirimo kampą į X ašį, tai yra, kuo didesnis nuolydžio koeficientas, tuo funkcija greičiau didėja arba mažėja.

Parašykite nuolydį kaip trupmeną. Kampinis koeficientas yra lygus polinkio kampo liestinei, tai yra vertikalaus atstumo (tarp dviejų taškų tiesioje linijoje) ir horizontalaus atstumo (tarp tų pačių taškų) santykiui. Mūsų pavyzdyje nuolydis yra 2, todėl galime teigti, kad vertikalus atstumas yra 2, o horizontalus - 1. Parašykite tai kaip trupmeną: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Jei nuolydis neigiamas, funkcija mažėja.

1. Nuo taško, kur tiesi linija kerta Y ašį, nubrėžkite antrą tašką naudodami vertikalius ir horizontalius atstumus. Tvarkaraštis galima statyti iš dviejų taškų. Mūsų pavyzdyje susikirtimo taškas su Y ašimi turi koordinates (0,5); Nuo šio taško perkelkite 2 tarpus aukštyn ir 1 tarpu į dešinę. Pažymėkite tašką; jis turės koordinates (1,7). Dabar galite nubrėžti tiesią liniją.

   Naudodami liniuotę nubrėžkite tiesią liniją per du taškus. Kad išvengtumėte klaidų, raskite trečiąjį tašką, tačiau dažniausiai grafiką galima nubraižyti naudojant du taškus. Taigi jūs nubraižėte tiesinę funkciją.

   Taškų braižymas koordinačių plokštumoje

   1. Apibrėžkite funkciją. Funkcija žymima f(x). Visi galimas vertes kintamasis "y" vadinamas funkcijos domenu, o visos galimos kintamojo "x" reikšmės vadinamos funkcijos domenu. Pavyzdžiui, apsvarstykite funkciją y = x+2, būtent f(x) = x+2.

      Nubrėžkite dvi susikertančias statmenas linijas. Horizontali linija yra X ašis. Vertikali linija yra Y ašis.

      Pažymėkite koordinačių ašis. Padalinkite kiekvieną ašį į lygias dalis ir sunumeruokite jas. Ašių susikirtimo taškas yra 0. X ašiai: brėžiama į dešinę (nuo 0) teigiami skaičiai, o kairėje yra neigiami. Y ašiai: teigiami skaičiai brėžiami viršuje (nuo 0), o neigiami skaičiai apačioje.

      Raskite „y“ reikšmes iš „x“ reikšmių. Mūsų pavyzdyje f(x) = x+2. Norėdami apskaičiuoti atitinkamas y vertes, į šią formulę pakeiskite konkrečias x reikšmes. Jei suteikiama sudėtinga funkcija, supaprastinkite ją, išskirdami „y“ vienoje lygties pusėje.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Nubraižykite taškus koordinačių plokštumoje. Kiekvienai koordinačių porai atlikite šiuos veiksmus: suraskite atitinkamą reikšmę X ašyje ir nubrėžkite vertikalią liniją (taškinę); raskite atitinkamą reikšmę Y ašyje ir nubrėžkite horizontalią liniją (punktyrinę liniją). Pažymėkite dviejų punktyrinių linijų susikirtimo tašką; taigi grafike nubraižėte tašką.

      Ištrinkite punktyrines linijas. Atlikite tai nubraižę visus grafiko taškus koordinačių plokštumoje. Pastaba: funkcijos f(x) = x grafikas yra tiesė, einanti per koordinačių centrą [taškas su koordinatėmis (0,0)]; grafikas f(x) = x + 2 yra tiesė, lygiagreti tiesei f(x) = x, bet pasislinkusi į viršų dviem vienetais ir todėl einanti per tašką su koordinatėmis (0,2) (nes konstanta yra 2) .

   Sudėtingos funkcijos grafikas

   Raskite funkcijos nulius. Funkcijos nuliai yra x kintamojo reikšmės, kur y = 0, tai yra, tai yra taškai, kuriuose grafikas kerta X ašį. Atminkite, kad ne visos funkcijos turi nulius, bet jos yra pirmosios bet kurios funkcijos grafikas. Norėdami rasti funkcijos nulius, prilyginkite ją nuliui. Pavyzdžiui:

   Raskite ir pažymėkite horizontalias asimptotes. Asimptotė yra linija, prie kurios artėja funkcijos grafikas, bet niekada nesusikerta (ty šioje srityje funkcija neapibrėžiama, pavyzdžiui, dalijant iš 0). Asimptotą pažymėkite punktyrine linija. Jei kintamasis "x" yra trupmenos vardiklyje (pvz., y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nustatykite vardiklį į nulį ir raskite „x“. Gautose kintamojo „x“ reikšmėse funkcija neapibrėžta (mūsų pavyzdyje nubrėžkite punktyrines linijas per x = 2 ir x = -2), nes negalite padalyti iš 0. Tačiau asimptotai egzistuoja ne tik tais atvejais, kai funkcijoje yra trupmeninė išraiška. Todėl rekomenduojama vadovautis sveiku protu:

Sukūrimo funkcija

Jūsų dėmesiui siūlome funkcijų grafikų konstravimo internetu paslaugą, į kurią visos teisės priklauso įmonei Desmos. Norėdami įvesti funkcijas, naudokite kairįjį stulpelį. Galite įvesti rankiniu būdu arba naudodami virtualią klaviatūrą lango apačioje. Norėdami padidinti langą su grafiku, galite paslėpti ir kairįjį stulpelį, ir virtualiąją klaviatūrą.

Internetinio diagramų sudarymo pranašumai

• Vizualus įvestų funkcijų rodymas
• Labai sudėtingų grafikų kūrimas
• Netiesiogiai nurodytų grafikų kūrimas (pvz., elipsė x^2/9+y^2/16=1)
• Galimybė išsaugoti diagramas ir gauti nuorodą į jas, kuri tampa prieinama visiems internete
• Mastelio valdymas, linijos spalva
• Galimybė braižyti grafikus taškais, naudojant konstantas
• Kelių funkcijų grafikų braižymas vienu metu
• Braižymas polinėmis koordinatėmis (naudokite r ir θ(\theta))

Su mumis paprasta kurti įvairaus sudėtingumo diagramas internete. Statyba atliekama akimirksniu. Paslauga yra paklausi ieškant funkcijų susikirtimo taškų, atvaizduojant grafikus, siekiant juos toliau perkelti į Word dokumentą kaip iliustracijas sprendžiant uždavinius, analizuoti funkcijų grafikų elgsenos ypatybes. Optimali naršyklė darbui su grafikais šiame svetainės puslapyje yra Google Chrome. Tinkamas veikimas negarantuojamas naudojant kitas naršykles.

Pirmiausia pabandykite rasti funkcijos domeną:

Ar susitvarkei? Palyginkime atsakymus:

Ar viskas gerai? Gerai padaryta!

Dabar pabandykime rasti funkcijos reikšmių diapazoną:

Radai? Palyginkime:

Supratai? Gerai padaryta!

Vėl dirbkime su grafikais, tik dabar bus šiek tiek sudėtingiau – raskite ir funkcijos apibrėžimo sritį, ir funkcijos reikšmių diapazoną.

Kaip rasti funkcijos domeną ir diapazoną (išplėstinė)

Štai kas atsitiko:

Manau, kad jūs supratote grafikus. Dabar pabandykime rasti funkcijos apibrėžimo sritį pagal formules (jei nežinote, kaip tai padaryti, skaitykite skyrių apie):

Ar susitvarkei? Patikrinkim atsakymai:

1. , nes radikalų išraiška turi būti didesnė arba lygi nuliui.
2. , nes negalima dalyti iš nulio, o radikali išraiška negali būti neigiama.
3. , kadangi, atitinkamai, visiems.
4. , nes negalima dalyti iš nulio.

Tačiau turime dar vieną neatsakytą dalyką...

Dar kartą pakartosiu apibrėžimą ir pabrėžsiu:

Ar pastebėjai? Žodis „tik“ yra labai, labai svarbus elementas mūsų apibrėžimas. Pabandysiu tau tai pirštais paaiškinti.

Tarkime, kad turime funkciją, apibrėžtą tiesia linija. . Mes pakeičiame šią reikšmę į savo „taisyklę“ ir gauname ją. Viena reikšmė atitinka vieną reikšmę. Mes netgi galime sudaryti skirtingų verčių lentelę ir pavaizduoti šią funkciją, kad įsitikintume patys.

„Žiūrėk! - jūs sakote: „atsitinka du kartus! Tai gal parabolė nėra funkcija? Ne, tai yra!

Tai, kad „ “ pasirodo du kartus, nėra priežastis apkaltinti parabolę dviprasmiškumu!

Faktas yra tas, kad skaičiuodami gavome vieną žaidimą. O skaičiuojant su gavome vieną igreką. Tai tiesa, parabolė yra funkcija. Pažiūrėkite į grafiką:

Supratai? Jei ne, štai gyvenimo pavyzdys labai toli nuo matematikos!

Tarkime, turime grupę pareiškėjų, kurie susitiko teikdami dokumentus, kurių kiekvienas pokalbio metu pasakojo, kur gyvena:

Sutikite, viename mieste gali gyventi keli vaikinai, tačiau vienam žmogui keliuose miestuose vienu metu gyventi neįmanoma. Tai tarsi loginis mūsų „parabolės“ vaizdas – Keli skirtingi X atitinka tą patį žaidimą.

Dabar pateiksime pavyzdį, kai priklausomybė nėra funkcija. Tarkime, tie patys vaikinai papasakojo, į kokias specialybes pretendavo:

Čia yra visiškai kitokia situacija: vienas žmogus gali nesunkiai pateikti dokumentus vienai ar kelioms kryptims. Tai yra vienas elementas rinkiniai dedami į korespondenciją keli elementai minios. Atitinkamai, tai nėra funkcija.

Išbandykime savo žinias praktiškai.

Iš paveikslėlių nustatykite, kas yra funkcija, o kas ne:

Supratai? Ir štai atsakymai:

• Funkcija yra - B, E.
• Funkcija nėra - A, B, D, D.

Klausiate kodėl? Taip, štai kodėl:

Visose nuotraukose, išskyrus IN) Ir E) Yra keli už vieną!

Esu tikras, kad dabar galite lengvai atskirti funkciją nuo ne funkcijos, pasakyti, kas yra argumentas ir kas yra priklausomas kintamasis, taip pat nustatyti leistinų argumento reikšmių diapazoną ir funkcijos apibrėžimo diapazoną. . Pereikime prie kito skyriaus – kaip nustatyti funkciją?

Funkcijos nustatymo metodai

Kaip manote, ką reiškia žodžiai? "nustatyti funkciją"? Teisingai, tai reiškia, kad reikia visiems paaiškinti, kokia šiuo atveju yra funkcija. mes kalbame apie. Ir paaiškink taip, kad visi tave teisingai suprastų ir pagal tavo paaiškinimą žmonių nubraižyti funkcijų grafikai būtų vienodi.

Kaip tai galima padaryti? Kaip nustatyti funkciją? Paprasčiausias metodas, kuris šiame straipsnyje jau buvo naudojamas ne kartą, yra naudojant formulę. Rašome formulę, o pakeitę į ją reikšmę, apskaičiuojame reikšmę. Ir kaip pamenate, formulė yra dėsnis, taisyklė, pagal kurią mums ir kitam žmogui tampa aišku, kaip X virsta Y.

Paprastai jie daro būtent tai - užduotyse matome paruoštas funkcijas, nurodytas formulėmis, tačiau yra ir kitų būdų nustatyti funkciją, apie kurią visi pamiršta, todėl kyla klausimas „kaip kitaip galite nustatyti funkciją? glumina. Supraskime viską iš eilės ir pradėkime nuo analizės metodo.

Analitinis funkcijos nurodymo metodas

Analitinis metodas yra nurodyti funkciją naudojant formulę. Tai universaliausias, išsamiausias ir nedviprasmiškiausias metodas. Jei turite formulę, tuomet apie funkciją žinote absoliučiai viską – iš jos galite sudaryti reikšmių lentelę, sudaryti grafiką, nustatyti, kur funkcija didėja, o kur mažėja, apskritai ją išstudijuokite. pilnai.

Panagrinėkime funkciją. koks skirtumas?

— Ką tai reiškia? - klausi tu. Dabar paaiškinsiu.

Priminsiu, kad žymėjime skliausteliuose esanti išraiška vadinama argumentu. Ir šis argumentas gali būti bet kokia išraiška, nebūtinai paprasta. Atitinkamai, kad ir koks būtų argumentas (išraiška skliausteliuose), mes jį parašysime reiškinyje.

Mūsų pavyzdyje tai atrodys taip:

Panagrinėkime kitą užduotį, susijusią su analitiniu funkcijos nurodymo metodu, kurią turėsite egzamino metu.

Raskite išraiškos reikšmę ties.

Esu tikras, kad iš pradžių išsigandote, kai pamatėte tokią išraišką, bet tame nėra visiškai nieko baisaus!

Viskas yra taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje: kad ir koks būtų argumentas (išraiška skliausteliuose), mes jį parašysime reiškinyje. Pavyzdžiui, funkcijai.

Ką reikia padaryti mūsų pavyzdyje? Vietoj to reikia parašyti, o vietoj to -:

sutrumpinkite gautą išraišką:

tai viskas!

Savarankiškas darbas

Dabar pabandykite patys surasti šių posakių reikšmę:

1. , Jei
2. , Jei

Ar susitvarkei? Palyginkime savo atsakymus: Esame įpratę, kad funkcija turi formą

Netgi savo pavyzdžiuose funkciją apibrėžiame būtent taip, tačiau analitiškai funkciją galima apibrėžti, pavyzdžiui, numanoma forma.

Pabandykite sukurti šią funkciją patys.

Ar susitvarkei?

Štai kaip aš jį sukūriau.

Kokią lygtį galiausiai išvedėme?

Teisingai! Tiesinis, o tai reiškia, kad grafikas bus tiesi linija. Padarykime lentelę, kad nustatytų, kurie taškai priklauso mūsų linijai:

Būtent apie tai ir kalbėjome... Vienas atitinka kelis.

Pabandykime nupiešti, kas atsitiko:

Ar tai, ką turime, yra funkcija?

Teisingai, ne! Kodėl? Pabandykite atsakyti į šį klausimą piešinio pagalba. ką gavai?

„Kadangi viena reikšmė atitinka kelias reikšmes!

Kokią išvadą galime padaryti iš to?

Taip, funkcija ne visada gali būti aiškiai išreikšta, o tai, kas yra „užmaskuota“ kaip funkcija, ne visada yra funkcija!

Lentelinis funkcijos nurodymo metodas

Kaip rodo pavadinimas, šis metodas yra paprastas ženklas. taip, taip. Kaip tą, kurią jūs ir aš jau padarėme. Pavyzdžiui:

Čia iškart pastebėjote modelį – Y yra tris kartus didesnis už X. O dabar užduotis „labai gerai pagalvoti“: ar manote, kad lentelės pavidalu pateikta funkcija yra lygiavertė funkcijai?

Ilgai nekalbėkime, o pieškime!

Taigi. Užsklandoje nurodytą funkciją nubrėžiame šiais būdais:

Ar matote skirtumą? Tai ne viskas apie pažymėtus taškus! Pažiūrėkite atidžiau:

Ar dabar matėte? Kai apibrėžiame funkciją lentelės metodas, grafike atspindime tik tuos taškus, kuriuos turime lentelėje ir linija (kaip ir mūsų atveju) eina tik per juos. Kai funkciją apibrėžiame analitiškai, galime paimti bet kokius taškus, ir mūsų funkcija jais neapsiriboja. Tai yra ypatumas. Prisimink!

Grafinis funkcijos konstravimo metodas

Ne mažiau patogus ir grafinis funkcijos konstravimo būdas. Nubraižome savo funkciją, o kitas suinteresuotas asmuo gali rasti, kam y yra lygus tam tikrame x ir pan. Grafiniai ir analitiniai metodai yra vieni iš labiausiai paplitusių.

Tačiau čia reikia prisiminti, apie ką kalbėjome pačioje pradžioje - ne kiekvienas koordinačių sistemoje nubrėžtas „skraidymas“ yra funkcija! Ar prisimeni? Tik tuo atveju, nukopijuosiu čia funkcijos apibrėžimą:

Paprastai žmonės dažniausiai įvardija būtent tris funkcijos nurodymo būdus, kuriuos aptarėme – analitinį (naudojant formulę), lentelę ir grafinį, visiškai pamiršdami, kad funkciją galima apibūdinti žodžiu. Kaip čia yra? Taip, labai paprasta!

Žodinis funkcijos aprašymas

Kaip apibūdinti funkciją žodžiu? Paimkime naujausią pavyzdį – . Šią funkciją galima apibūdinti kaip „kiekviena tikroji x reikšmė atitinka jos trigubą reikšmę“. Tai viskas. Nieko sudėtingo. Jūs, žinoma, prieštarausite - „yra tokių sudėtingos funkcijos, kurių tiesiog neįmanoma paklausti žodžiu! Taip, tokių yra, bet yra funkcijų, kurias lengviau aprašyti žodžiu, nei apibrėžti formule. Pavyzdžiui: „kiekviena natūrali x reikšmė atitinka skirtumą tarp skaitmenų, iš kurių ji susideda, o minuend yra didžiausias skaitmuo, esantis skaičiaus žymėjime“. Dabar pažiūrėkime, kaip mūsų žodinis funkcijos aprašymas įgyvendinamas praktiškai:

Didžiausias skaičius duotas numeris- , atitinkamai yra minuend, tada:

Pagrindiniai funkcijų tipai

Dabar pereikime prie įdomiausios dalies – pažvelkime į pagrindinius funkcijų tipus, su kuriais dirbote/dirbate ir dirbsite mokyklinės ir koleginės matematikos kurse, tai yra susipažinkime su jomis, taip sakant. , ir duoti jiems trumpas aprašymas. Daugiau apie kiekvieną funkciją skaitykite atitinkamame skyriuje.

Linijinė funkcija

Formos funkcija, kur, - realūs skaičiai.

Šios funkcijos grafikas yra tiesi linija, todėl tiesinės funkcijos kūrimas yra dviejų taškų koordinačių nustatymas.

Tiesės padėtis koordinačių plokštumoje priklauso nuo kampo koeficiento.

Funkcijos apimtis (dar žinoma kaip galiojančių argumentų reikšmių sritis) yra .

Vertybių diapazonas - .

Kvadratinė funkcija

Formos funkcija, kur

Funkcijos grafikas yra parabolė, kai parabolės šakos nukreiptos žemyn, kai šakos nukreiptos į viršų.

Daug savybių kvadratinė funkcija priklauso nuo diskriminanto vertės. Diskriminantas apskaičiuojamas pagal formulę

Parabolės padėtis koordinačių plokštumoje vertės ir koeficiento atžvilgiu parodyta paveikslėlyje:

Apibrėžimo sritis

Reikšmių diapazonas priklauso nuo nurodytos funkcijos ekstremumo (parabolės viršūnės taško) ir koeficiento (parabolės šakų krypties)

Atvirkštinis proporcingumas

Funkcija, pateikta formule, kur

Skaičius vadinamas atvirkštinio proporcingumo koeficientu. Priklausomai nuo reikšmės, hiperbolės šakos yra skirtinguose kvadratuose:

Apibrėžimo sritis – .

Vertybių diapazonas - .

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

1. Funkcija – tai taisyklė, pagal kurią kiekvienas aibės elementas susiejamas su vienu aibės elementu.

• - tai formulė, žyminti funkciją, tai yra, vieno kintamojo priklausomybę nuo kito;
• - kintamoji reikšmė arba argumentas;
• - priklausomas kiekis - keičiasi pasikeitus argumentui, tai yra, kai kurių nuomone tam tikra formule, atspindintis vieno kiekio priklausomybę nuo kito.

2. Tinkamos argumentų reikšmės, arba funkcijos sritis, yra tai, kas yra susijusi su galimybėmis, kuriose funkcija turi prasmę.

3. Funkcijų diapazonas- štai kokių vertybių reikia, atsižvelgiant į priimtinas vertes.

4. Yra 4 būdai nustatyti funkciją:

• analitinis (naudojant formules);
• lentelės;
• grafinis
• žodinis aprašymas.

5. Pagrindiniai funkcijų tipai:

• : , kur, yra realieji skaičiai;
• : , Kur;
• :, Kur.